Khoá luận tốt nghiệp phép đối xứng và ứng dụng

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

T rần T h ị Q u ỳ n h M a i

P H É P Đ Ố I X Ứ N G VÀ Ứ N G D Ụ N G

KHÓA LUẬN T Ố T N G H IỆP ĐẠI HỌC

H à N ội —N ăm 2016


B Ộ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

T rần T h ị Q u ỳ n h M a i

P H É P Đ Ố I X Ứ N G VÀ Ứ N G D Ụ N G

C h u y ên n gành : H ìn h h ọ c
M ã số:

K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I H Ọ C

NGƯ Ờ I HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

P G S .T S . N G U Y Ễ N N Ă N G TÂ M

H à N ội —N ăm 2016


1

Lời cảm ơn

Em xin chân th à n h cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy, cô giáo tro n g tổ H ình học,
các thầy, cô giáo tro n g khoa Toán, các thầy, cô giáo trư ờ ng Đ H SP Hà Nội 2 và các bạn
sinh viên. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của m ình tới P G S .T S Nguyễn
N ăng Tâm đã tậ n tìn h giúp đỡ em tro n g suốt quá trìn h hoàn th à n h khóa luận này.
Do lần đầu làm quen với công tá c nghiên cứu khoa học, hơn nữa do thời gian và
năng lực của bản th â n còn h ạn chế, m ặc dù rấ t cố gắng nhưng chắc chắn không trá n h
khỏi những th iếu sót. Em kính m ong n h ận được sự đóng góp ý kiến của các th ầ y cô
và các bạn để khóa luận của em được hoàn th à n h hơn.
Em xin chân th à n h cảm ơn!

Hà Nội, ngày Oị tháng 05 năm 2016
Sinh viên

Trần T h ị Q u ỳn h M ai


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Trần Thị Quỳnh Mai

Lời cam đoan

K hóa luận này là kết quả của bản th â n em qua quá trìn h học tậ p và nghiên cứu.
Bên cạnh đó em được sự quan tâ m và tạo điều kiện của các thầy, cô giáo tro n g khoa
Toán Trường Đ H SP H à Nội 2, đặc biệt sự hướng d ẫn tậ n tìn h của P G S .T S . Nguyễn
N ăng Tâm .
Trong khi nghiên cứu hoàn th à n h khóa luận này em có th a m khảo m ột số tà i liệu
đ ã ghi tro n g p h ần tà i liệu th a m khảo.
Em xin cam đoan rằng khóa luận này là tru n g thực, là kết quả của em dưới sự giúp
đỡ của th ầ y P G S .T S . Nguyễn N ăng Tâm .

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Trần T h ị Q u ỳn h M ai

1


M uc luc

Lời m ở đ ầ u

1

1

K IẾ N T H Ứ C C H U Ẩ N B Ị

3

1.1

Phép biến h ì n h ...........................................................................

3

1.1.1

Định nghĩa

....................................................................

3

1.1.2

Ví dụ

..............................................................................

5

1.1.3

Sự xác đ ị n h ....................................................................

5

Phép biến hình a f í n ....................................................................

6

1.2.1

Định nghĩa

....................................................................

6

1.2.2

T ính c h ấ t ........................................................................

6

1.2.3

Định lý

7

1.2

1.3

2

...........................................................................

Phép biến hình đẳng cự

..........................................................

7

1.3.1

Định nghĩa

....................................................................

7

1.3.2

T ính c h ấ t ........................................................................

7

1.3.3

Định lý

8

...........................................................................

P H É P Đ Ố I X Ứ N G T R O N G E"

9

2.1

Phép đối xứng t â m .....................................................................

9

2.1.1

Định nghĩa

....................................................................

9

2.1.2

T ính c h ấ t ........................................................................

9

ii


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

2.2

2.3

3

Trần Thị Quỳnh Mai

Phép đối xứng qua đường t h ẳ n g ............................................

12

2.2.1

Định nghĩa

....................................................................

12

2.2.2

T ính c h ấ t ........................................................................

13

Phép đối xứng qua siêu p h ẳ n g ................................................

14

2.3.1

Định nghĩa

....................................................................

14

2.3.2

T ính c h ấ t ........................................................................

15

SỬ D Ụ N G P H É P Đ Ố I X Ứ N G Đ E g i ả i c á c b à i t o á n
H ÌN H H Ọ C

17

3.1

Phép đối xứng và bài to án chứng m i n h ...............................

17

3.1.1

Bài to án chứng m i n h ...................................................

17

3.1.2

Sử dụng phép đối xứng trong bài to án chứng m inh

17

3.1.3

K hai th ác bài to án chứng m inh nhờ phép đối xứng

18

3.1.4

M ột số ví d ụ ....................................................................

18

3.2

3.3

3.4

Phép đối xứng và bài to án tín h to án

..................................

25

3.2.1

Bài to án tín h t o á n .....................................................

25

3.2.2

Sử dụng phép đối xứng trong bài to án tín h to án

.

25

3.2.3

M ột số ví d ụ ....................................................................

25

Phép đối xứng và bài to án dựng h ì n h ..................................

32

3.3.1

Bài to án dựng h ì n h .....................................................

3.3.2

Sử dụng phép đối xứng giải bài to án dựng

hình .

34

3.3.3

K hai th ác bài to án dựng hình nhờ phép đối xứng

34

3.3.4

M ột số ví dụ

.................................................................

35

Phép đối xứng và bài to án quỹ t í c h .....................................

43

3.4.1

Bài to án quỹ t í c h ..........................................................

43

3.4.2

Sử dụng phép đối xứng để giải bài to án quỹ tích .

44

iii

32


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Trần Thị Quỳnh Mai

3.4.3

Sáng tạo bài to án tìm quỹ tích nhờ phép đối xứng

44

3.4.4

M ột số ví d ụ ....................................................................

45

T À I L IỆ U T H A M K H Ả O

50

IV

Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Trần Thị Quỳnh Mai

Lời m ở đầu
1. L ý d o ch ọ n đ ề tà i
Trong nhà trường phổ thông, hình học là m ột trong những m ôn học
khó đối với học sinh bởi vì tín h chặt chẽ, logic và tín h trừ u tượng của
hình học, đặc biệt là các phép biến hình, v ấ n đề này học sinh được
tiếp xúc ít và khi tiếp cận tới nó, học sinh thường lúng tú n g và bỡ ngỡ.
Nhưng phép biến hình sơ cấp là m ột phần quan trọng của hình học và
nó là m ột công cụ hữu ích để giải các bài to án hình học.
Phép đối xứng là m ột trong những phép biến hình sơ cấp được vận
dụng để giải quyết các bài to án dựng hình, chứng m inh, tín h toán, quĩ
tích... Để làm rõ các vấn đề nêu trên, em xin trìn h bày trong khóa luận
này m ột số kiến thức cơ bản về phép đối xứng và ứng dụng giải toán
trong hình học với đề tài: " Phép đối xứng và ứng dụng". Vì thời gian
có hạn nên em xin trìn h bày những kiến thức cơ bản về phép đối xứng
tâm , phép đối xứng qua đường th ẳn g và phép đối xứng qua siêu phẳng.
2. M ụ c đ ích n g h iê n cứ u
Tìm hiểu sâu hơn về phép biến hình, đặc biệt là phép đối xứng.
Làm rõ tín h ưu việt của phép đối xứng trong giải to án hình học.
3. Đ ố i tư ợ n g n g h iê n cứ u
Phép đối xứng.
4. N h iệ m v ụ n g h iê n cứ u
T rình bày cơ sở lý thuyết về phép đối xứng.
Đề x u ất phương pháp vận dụng phép đối xứng để giải quyết m ột số
bài to án hình học.
1

Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Trần Thị Quỳnh Mai

Xây dựng hệ thống bài tậ p và ví dụ m inh họa.
5. P h ư ơ n g p h á p n g h iê n cứ u
Đọc sách, nghiên cứu các tà i liệu có liên quan đến phép đối xứng.
Nghiên cứu, sử dụng các lí luận, các công cụ to án học, tà i liệu th am
khảo.
6. C ấu tr ú c k h ó a lu ận
K hóa luận gồm 3 phần:
Mở đầu
Nội dung gồm 3 chương:
Chương l.K iến thức chuẩn bị.
Chương 2.Phép đối xứng trong E n.
Chương 3.Sử dụng phép đối xứng giải các bài to án hình học.
K ết luận

2


Chương 1
KIẾN THỨC CH UẨN BỊ
Trong Chương này chúng ta sẽ trìn h bày m ột số kiến thức chuẩn bị
cho chương sau, những kiến thức này chủ yếu lấy từ tà i liệu th am khảo.

1.1
1.1.1

P h é p b iến hìn h
Đ ịn h n g h ĩa

Đ ịn h n g h ĩa 1.1. Mỗi song ánh f : E n —»• E n được gọi là phép biến hình

của không gian E n.
Như vậy cho một phép biến hình f : E n —>E n là cho một quy tắc để
với bất kỳ M thuộc E n ta tìm được một điểm M ' = f ( M ) hoàn toàn xác
định thỏa mãn hai điều kiện sau đây:
- Nếu M ,N là hai điểm bất kỳ của E n thì f ( M ) , f ( N ) là hai điểm
phân biệt của E n
- Với mỗi điểm M ' thuộc E n bao giờ cũng có một điểm M thuộc E n

sao cho f ( M ) = M '
Điểm f ( M ) được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f . Ngược
lại điểm M gọi là tạo ảnh của điểm f ( M ) qua phép biến hình f nói trên.
3


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Trần Thị Quỳnh Mai

Người ta còn nói phép biến hình f biến điểm M thành điểm f ( M ) và ta
có f ( M ) = M '.
Nếu H là một hình nào đó của E71 thì ta có thể xác định tập hợp
f(H ) =

£ H }. Khi đó f ( H ) gọi là ảnh của hình H qua phép

biến hình f và hình H được gọi là tạo ảnh của f ( H ) qua phép biến hình
đó.
Đ ịn h n g h ĩa 1.2. Cho phép biến hình f ;En —»• En. Ta có các khái niệm

sau:
a. Điểm M thuộc En được gọi ỉà điểm bất động (hoặc ỉà điểm kép)
đối với phép biến hình f nếu f ( M ) = M . Như vậy M là điểm bất động
đối với phép biến hình f nếu điểm M đó biến thành chính nó qua f .
b. Hình H c E" được gọi là hình bất biến đối với phép biến hình /
nếu f ( H ) = H.
c. Hình H c E" được gọi là hình bất động đối với phép biến hình f
nếu mọi điểm của H đều ỉà điểm bất động đối với f .
Đ ịn h n g h ĩa 1.3. Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm M

thành điểm M '. Ta có f ( M ) = M '. Khi đó phép biến hình biến điểm M '
thành điểm M gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f đã
cho.
Ví dụ: Phép tịn h tiến Tijỳ theo vecto ~ử có phép biến hình đảo ngược
là phép tịn h tiến T ỷ .
Đ ịn h n g h ĩa 1.4. Phép biến hình f : En —>En mà f o / = id^n được gọi

là phép biến hình đối hợp.
Ví dụ: Phép đối xứng tâm (phép đối xứng tâ m o trong En là phép
biến hình biến điểm M th à n h điểm M ' sao O M ' = —O M )
4


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

1.1.2

Trần Thị Quỳnh Mai

V í dụ

V í d ụ 1 .1 .1 . Cho đường thẳng A thuộc E 71. Phép biến hình biến mỗi

điềm M không thuộc A thành điểm M ' đối xứng với M qua A được gọi
ỉà phép đối xứng trục. Dường thẳng A được gọi là trục đối xứng. Phép
đối xứng trục với trục A thường được ký hiệu là D a ■
Cấc điểm thuộc A đều là điểm bất động của phép D a ■
V í d ụ 1 .1 .2 . Trong E n, cho điểm o cố định. Phép biến hình biến mỗi

điểm M 7^ o thành điểm M ' đối xứng với M qua o được gọi ỉà phép đối
xứng tâm o . Điểm o gọi là tâm của phép đối xứng đó và là điểm bất
động duy nhất của phép đối xứng tâm o . Phép đối xứng tâm o được ký
hiệu là D0.
V í d ụ 1 .1 .3 . Trong E n; phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc E n đều

thành chính điểm M được gọi là phép đồng nhất. Ta thường ký hiệu e là
phép đồng nhất. Như vậy ta có e : E 71 —»• E 71 và e(M ) = M với mọi điểm
M thuộc E n . Dối với phép đồng nhất e: E n —>E n mọi điểm đều là điểm
bất động.
1 .1 .3

S ự x á c đ ịn h

M uốn xác định m ột phép biến hình / :En —)• E n ta cần nêu rõ quy
tắc / đó bằng các cách sau đây:

- Quy tắc / được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong
m ặt phẳng như: tìm giao điểm của hai đường th ẳn g đã được xác định
nào đó, dựng đường th ẳn g đi qua m ột giao điểm và vuông góc với m ột
đường th ẳn g cho trước, dựng đường trò n với tâm và bán kính đã cho.

5


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Trần Thị Quỳnh Mai

- Quy tắc / còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọ a độ (x, y )
của điểm M với tọ a độ (x ',y ') của điểm M ' = f ( M ) đối với hệ tọ a độ

Oxy cho trước nào đó. T h í dụ như phép biến hình / được cho bởi hệ
thức :

Í

x ’

= —X

y'

= -y

Phép biến hình này gọi là phép đối xứng qua tâm o của hệ tọ a độ

Oxy nói trên.

1.2

P h é p b iến h ìn h afin

1.2.1

Đ ịn h n g h ĩa

Đ ịn h n g h ĩa 1.5. Không gian ơclit là không gian afin liên kết với không

gian vecto ơclit hữu hạn chiều.
Ví dụ: Mỗi không gian vecto ơ c lit hữu hạn chiều với cấu trú c afin
chính tắc là m ột không gian ơ c lit, chẳng hạn như Kn.
Đ ịn h n g h ĩa 1.6. Phép biến hình của không gian ơcỉit E n biến đường

thẳng thành đường thẳng gọi là phép biến hình afin hay gọi tắt là phép
afin.
1 .2 .2

T ín h ch ấ t

T ín h ch ấ t 1 .2 .1 . Phép afin biến mặt phẳng thành mặt phẳng.
T ín h ch ấ t 1 .2 .2 . Phép afin bảo tồn tính song song của hai đường thẳng.
T ín h ch ấ t 1 .2 .3 . Phép afin biến vecto thành tổng các vecto.
6


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Trần Thị Quỳnh Mai

T ín h ch ấ t 1 .2 .4 . Phép afin bảo tồn tỷ số đơn của 3 điểm thẳng hàng.

1 .2 .3

Đ ịn h lý

Đ ịn h lý 1.1. Một phép biến hình f của không gian được gọi là một phép

afin khi và chỉ khi nó biến 3 điềm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng
và biến 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng.

1.3
1.3.1

P h é p b iến h ìn h đ ẳn g cự
Đ ịn h n g h ĩa

Đ ịn h n g h ĩa 1.7. Cho hai điểm M, N của không gian ơclit E n. Khoảng

cách giữa hai điểm đó, kí hiệu d( M, N) , được định nghĩa là d ( M, N ) =
||M ^ || = V W Ï Ï 2.
Đ ịn h n g h ĩa 1.8. Phép biến hình f :E n —>E 71 được gọi là phép biến hình

đẳng cự của E n nếu nó bảo toàn khoảng cách của hai điểm bất kỳ, tức là:
f ỉà phép biến hình đẳng cự nếu d(M, N ) = d( f ( M) , f ( N ) ) VM , N € E n
trong đó d(M, N ) là khoảng cách của hai điểm M, N .
1.3.2

T ín h ch ấ t

T ín h ch ấ t 1 .3 .1 . Phép biến hình đẳng cự là phép biến hình afin.
T ín h ch ấ t 1 .3 .2 . Phép biến hình đẳng cự bảo toàn độ lớn của góc.
T ín h ch ấ t 1 .3 .3 . Phép biến hình đẳng cự biến đường thẳng thành đường

thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

7


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Trần Thị Quỳnh Mai

T ín h c h ấ t 1 .3 .4 . Phép biến hình đẳng cự biến một siêu cầu của E n

thành một siêu cầu có cùng bán kính.
1 .3 .3

Đ ịn h lý

Đ ịn h lý 1.2. Tập hợp các phép biến hình của E 71 lập thành một nhóm

với phép toán lấy tích ánh xạ và được ký hiệu là Isom (En).
Chứng m inh
T h ậ t vậy: Tích các ánh xạ có tín h chất kết hợp, ánh xạ ngược của m ột
phép biến hình cũng là m ột phép biến hình của m ặt phẳng và cuối cùng
ánh xạ đồng n h ất đóng vai trò đơn vị của nhóm nhân này.

8


Chương 2
PH ÉP ĐỐI XỨNG TRONG En
Trong Chương này chúng ta sẽ trìn h bày về m ột vài phép đối xứng,
những kiến thức này chủ yếu lấy từ tà i liệu th am khảo.

2.1
2 .1 .1

P h é p đối xứ n g tâ m
Đ ịn h n g h ĩa

Đ ịn h n g h ĩa 2 .1 . Trong không gian E n; cho một điểm 0. Phép biến hình
„

------ >

----- >

của không gian cho ứng điếm M ’ sao cho O M = —O M gọi là phép đồi
xứng qua tâm 0 và được ký hiệu là D0. Điểm 0 được gọi là tâm đối
xứng.
2 .1 .2

T ín h c h ấ t

T ín h c h ấ t 2 .1 .1 . Phép đối xứng tâm là phép biến hình đẳng cự nên nó

có đầy đủ các tính chất của phép đẳng cự, đối hợp, có điểm bất động duy
nhất là 0.
Chứng m inh

9


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Trần Thị Quỳnh Mai

Gọi M ' = D0(M), N' = D0(N). Ta có

M 'N ' = Õ N ’ - ÕM '
= -Õ È + Õ Ê
=NÊ
Suy ra d(M' , N' ) = \n É \ .
M à \NM\ = d ( N , M ) = d( M, N) . Suy ra phép đối xứng tâm là phép
biến hình đẳng cự.
Gọi M ' = D0(M ) suy ra D0(D0(M)) = D0(M') = M = id(M).
Suy ra phép đối xứng tâm là phép biến hình đối hợp.

D0( 0 ) = o nên o là điểm b ất động của D0.
G iả sử M là điểm b ất động của D0 suy ra D0(M) = M => O M = —OAằ.
Suy ra M = o .
Vậy o là điểm b ấ t động duy n h ất của D0.
T ín h c h ấ t 2 .1 .2 . Nếu A' và B' là ảnh của hai điểm A và B trong phép

D0 thì Ã^B' = - Ã Ề .

Chứng m inh
Theo định nghĩa ta có OA' = —OA và OB' = —o è . Suy ra:

W b ' = Õ B' - Õ A '

= -õê+õì
= -(õ ề -Õ Ẳ )
= -Ã è
Suy ra đpcm .
10


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Trần Thị Quỳnh Mai

T ín h c h ấ t 2 .1 .3 . Phép đối xứng tâm o là phép biến đổi 1-1.
Chứng m inh
T h ậ t vậy, nếu điểm A' là ảnh của các điểm A và B trong phép đối xứng

D0 th ì ta có OA' = —OA và OA' = —o è .
Suy ra OA = —o è nên A = B.
T ính chất này cho ta th ấy phép đối xứng tâm o có phép biến đổi ngược
và phép biến đổi ngược chính là D0.
T ín h c h ấ t 2 .1 .4 . Phép đối xứng tâm o biến ba điểm thẳng hàng thành

ba điểm thẳng hàng.
Chứng m inh
G iả sử A ' , B ' , C' là ảnh của các điểm A, B , c trong phép đối xứng tâm

o.
Theo tín h chất 2, ta có A 'B ' = —A ồ và B'C ' = —B ồ .

Vì A , B , C th ẳn g hàng nên A ồ cùng phương với B ồ suy ra tồ n tạ i k sao
cho A ồ — kBỎ . Suy ra A 'B ' — kB 'C ' nên A 'B ' cùng phương với B 'C '.
Điều đó chứng tỏ A ', B ', c ' th ẳn g hàng.
T ín h c h ấ t 2 .1 .5 . Phép đối xứng tâm biến mọi đường thẳng, mặt phẳng

qua o thành chính nó, biến một vecto thành vecto đối của nó.
Chứng m inh
Gọi d là đường th ẳn g qua o . Lấy điểm M € d, khi đó ta có:

D0( M ) = M ' , D0( 0 ) = o =>- D0(d) = d' và d' là đường th ẳn g qua M '
và o .
Do M ' £ d nên d' = d. Gọi (P ) là m ặt phẳng qua o . X ét hai đường
thẳn g d và d’ nằm trong (P ) và cắt nhau tạ i o . Khi đó D 0 biến d th à n h
11


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Trần Thị Quỳnh Mai

d, biến d' th à n h d’ nên ( p ) cũng biến th à n h (P ) qua D 0.
X ét vecto W Ê . Ta có D0(M) = M' , D0(N) = N '.

=> ÕM ' = —Ỡ M , Õ N ' = - Õ N .
M 'N ' = õ ĩ v ' - ÕM '

= -Õ Ê + Õ Ê

= NÊ
= -W ă
T ín h c h ấ t 2 .1 .6 . Phép đối xứng tâm bảo toàn phương của mọi đường

thẳng, mặt phẳng.
Chứng m inh
G iả sử D0{d) = d v ầ M , N e d, D0( M ) = M ' , D0( N ) = N '.
=>• M 'N ' = ~ m Ề . Suy ra d cùng phương với d'.
Do D0 bảo to àn phương của đường th ẳn g nên nó bảo to àn phương của
m ặt phẳng.

2.2

P h é p đối xứ n g qua đường th ẳ n g

2 .2 .1

Đ ịn h n g h ĩa

Đ ịn h n g h ĩa 2 .2 . Cho một đường thẳng A . Một phép biến hình biến

điểm X G A thành điểm X và biến điểm M ị A thành điểm M ' sao
cho A là đường trung trực của đoạn thẳng M M ' được gọi là phép đối
xứng qua A và được ký hiệu là S(A). Dường thẳng A được gọi là trục đối
xứng và là đường thẳng bất động của phép biến hình.

12


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Trần Thị Quỳnh Mai

Đ ịn h n g h ĩa 2 .3 . Cho trước một hình H . Tập hợp ảnh của mọi điểm

thuộc H trong phép biến đổi /S(A) lập thành một hình H' được gọi là hình
đối xứng với H qua A . Nếu H = H' thì ta nói H là hình có trục đối
xứng.
2 .2 .2

T ín h c h ấ t

T ín h c h ấ t 2 .2 .1 . Phép biến hình S(A) có duy nhất một đường thẳng bất

động.
Chứng m inh
T h ậ t vậy, nếu A ' là m ột đường th ẳn g b ất động th ứ hai của S a ) th ì với
điểm X b ất kỳ thuộc A ' ảnh của X trong phép biến hình đó là X . Như
vậy A là đường tru n g trực của đoạn th ẳn g X X , nghĩa là X thuộc A .
Điều đó chứng tỏ A ' và A trù n g nhau.
T ín h c h ấ t 2 .2 .2 . Phép biến hình S(A) là 1-1 và có biến đổi ngược. Dó

chính là 5(A)Chứng m inh
T h ậ t vậy, nếu M và Mi là các tạo ảnh của điểm M ' trong phép biến
đổi S(A), th ì A là đường tru n g trực của hai đoạn th ẳn g M M ' và Mi M,
tức là M, M \ Mị th ẳn g hàng. Hai điểm Mị và M cùng phía đối với A .
Gọi H là giao điểm của A với M M ' th ì H M = H M ' = HMi . Điều đó
chứng tỏ M và Mị trù n g nhau.
T ính chất này cho ta th ấy nếu M ' là ảnh của M trong phép biến đổi S a
th ì M là ảnh của M ' trong phép biến đổi đó.

T ín h c h ấ t 2 .2 .3 . Nếu A', B' là ảnh của hai điểm phân biệt A, B trong

phép biến đỗi S a thì A 'B ' = A ồ .
13


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Trần Thị Quỳnh Mai

Chứng m inh
Ta xét các trường hợp sau:
- Trường hợp A B không vuông góc với A , khi đó tứ giác lập bởi các
điểm A , B , B ' , A ' hoặc là hình chữ n h ật m à m ột cặp cạnh song song tức
là AA' và B B ' hoặc là hình th an g cân với hai đáy A A ' và B B '. Do đó

A 'B ' = A B .
- Trường hợp A B T A , khi đó A là đường tru n g trự c chung của hai
đoạn AA' và B B '.
Gọi H là giao điểm của AA' và A , khi đó H là tâm đối xứng của các
điểm A và A \ B và B '.
Theo tín h chất của phép đối xứng tâ m ta suy ra A 'B ' = A B .
T ín h c h ấ t 2 .2 .4 . Phép biến đổi 5(A) biến 3 điểm thẳng hàng thành 3

điểm thẳng hàng và bảo tồn thứ tự của chúng.
Chứng m inh
T h ậ t vậy, phép biến đổi

là m ột phép dời hình, do đó ảnh của 3

điểm th ẳn g hàng trong phép biến đổi đó th ẳn g hàng và giữ nguyên th ứ
tự của chúng.

2.3

P h é p đối xứ n g qua siêu p h ẳn g

2 .3 .1

Đ ịn h n g h ĩa

Đ ịn h n g h ĩa 2 .4 . Trong E n cho siêu phẳng a. Phép biến hình của không

gian cho ứng mỗi điểm M với điểm M ' xác định như sau:
• M M ’ vuông góc với siêu phẳng a.

14


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Trần Thị Quỳnh Mai

• M M ’ cắt a tại 0 là trung điểm của nó

gọi ỉà phép đối xứng qua siêu phẳng a, phép đối xứng này kí hiệu
là Da.
Siêu phẳng a được gọi là siêu phẳng đối xứng của phép đối xứng.
2 .3 .2

T ín h c h ấ t

T ín h c h ấ t 2 .3 .1 . Phép đối xứng qua siêu phẳng ỉà một phép biến hình

đẳng cự nên nó có đầy đủ tính chất của phép đẳng cự.
Chứng m inh
Gọi M, N là hai điểm b ất kỳ trong E n. X ét phép đối xứng qua siêu phẳng
Oi.

D a :M ^ M '
N

N'

Gọi I, J lần lượt là tru n g điểm của M M ’, N N ’ th ì M M ' _L ĩ J , N N ' _L ĩ J
ta có:

W Ề = M Ì + ĩ ỉ + T Ê => Ã ĨÊ 2 = Ã ĩì2 + ĩ ì 2 + J Ỉ ỉ 2 + 2 M Ì .l ĩ ỳ
M 'N ' = ĨÃĩI + Ĩ Ì + 1 n '
=>
M 'N '2 = ÃẼÌ2 + ĩ ì 2 + J n '2 + 2 Ã Ẽ Ì I n '
= M Ì2+ ĩ } 2+ J ỈỈ2+ 2 ( - M l ) . ( - J N )
Suy ra d(M, N ) = ịÃĨÊị = \M 'N'\ = d { M N ' )
Vậy phép đối xứng qua siêu phẳng là phép biến hình đẳng cự.
15


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

Trần Thị Quỳnh Mai

T ín h c h ấ t 2 .3 .2 . Da là phép đối hợp.
Chứng m inh
Gọi M ' = Da( M ) ta có Da(Da(M)) = Da{M') = M = ỉd{M).

D a là phép đối hợp.
T ín h c h ấ t 2 .3 .3 . a là quỹ tích điểm bất động của Da.

16


Chương 3
SỬ D Ụ N G PH ÉP ĐỐI XỨNG ĐE
GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC
3.1

P h é p đối xứ n g và bài to á n chứ ng m in h

3 .1 .1

B à i t o á n c h ứ n g m in h

Bài to án chứng m inh chứa đựng trong tấ t cả các loại bài to án hình
học khác: các bài to án tín h toán, bài to án dựng hình, bài to án quỹ tích.

3 .1 .2

S ử d ụ n g p h é p đ ố i x ứ n g tr o n g b à i t o á n c h ứ n g m in h

Nếu ta th iế t lập mối quan hệ giữa các điểm hay các đường đã cho

trong giả th iết A với các điểm hay các đường trong kết luận B thông
qua phép đối xứng th ì nhờ tín h chất đẳng cự của phép đối xứng ta nhận
được các kết quả về tín h đồng quy, th ẳn g hàng, quan hệ song song, quan
hệ vuông góc, các đoạn th ẳn g bằng nhau, các góc bằng nhau, các tam
giác, các đường trò n bằng nhau... T ừ đó ta sẽ dễ dàng giải quyết được
các bài to án chứng minh.

17


Khóa luận tốt nghiệp Dại học

3 .1 .3

Trần Thị Quỳnh Mai

K h a i t h á c b à i t o á n c h ứ n g m in h n h ờ p h é p đ ố i x ứ n g

Nếu m ệnh đề A => B đã được khẳng định nhờ sử dụng phép đối
xứng th ì ta có th ể sử dụng phép đối xứng xét m ệnh đề đảo B =>• A, xét
các trường hợp đặc biệt hóa, khái q u át hóa, tương tự hóa của m ệnh đề
này ta sẽ được bài to án mới.

3 .1 .4

M ộ t số v í d ụ

Dưới đây là m ột số ví dụ áp dụng.
V í d ụ 3 .1 .1 . Cho hình chóp S.ABC đều. Gọi Ả \ B ’, C ’ lần lượt là

trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng tứ diện S.ABA ’ và
S.B C B ’ bằng nhau.
Bài giải
X ét phép đối xứng qua hai m ặt phẳng (SAA’) và (SC C ’)
s

H ình 3.1:

18