Khoá luận tốt nghiệp ứng dụng của số phức để giải các bài toán trong hình học phẳng

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

KHOA TOÁN

Lê T hị T hủy

Ứ NG D Ụ N G C Ủ A s ố PH Ứ C ĐE g i ả i
CÁC B À I TO Á N TR O N G H ÌN H HỌC PH A N G

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

H à N ội —N ăm 2016


BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

KHOA TOÁN

Lê T hị T hủy

Ứ NG D Ụ N G C Ủ A s ố PH Ứ C ĐE g i ả i
CÁC B À I TO Á N TR O N G H ÌN H HỌC PH A N G

C huyên ngành: H ình H ọc

K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I HỌC

NG Ư ỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
ThS. N G U Y Ễ N TH Ị TR À

H à N ội —N ăm 2016


LỜI C Ả M ƠN
Để hoàn th à n h khóa luận tố t nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân th à n h tới
các thầy, cô giáo trong khoa Toán Học - Trường Đại Học Sư P hạm Hà Nội 2, đã tậ n
tìn h giúp đỡ và chỉ bảo trong suốt thời gian tôi theo học tạ i khoa và trong suốt thời
gian làm khóa luận.
Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T h S . N g u y ễ n T h ị T r à - giảng
viên khoa Toán - Trường Đại Học Sư P hạm H à Nội 2, người trự c tiếp hướng dẫn tôi,
luôn tậ n tâm chỉ bảo và định hướng trong suốt quá trìn h làm khóa luận để tôi có được
kết quả như ngày hôm nay.
Mặc dù đã có rấ t nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản th â n còn nhiều
hạn chế nên khóa luận không thể trá n h khỏi những thiếu sót rấ t m ong được sự đóng
góp ý kiến của các th ầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạn đọc.
Tôi xin chân th àn h cảm ơn!
Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016
Sinh viên

Lê T hị T hủy


LỜI C A M Đ O A N
K hóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản th â n tôi dưới sự hướng dẫn tậ n tình
của cô giáo T h S . N g u y ễ n T h ị Trà.
Trong khi nghiên cứu hoàn th à n h đề tà i nghiên cứu này tôi đã th am khảo m ột số
tài liệu đã ghi trong ph ần tà i liệu th am khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tà i " ứ n g d ụ n g c ủ a số p h ứ c đ ể g iả i cá c b à i
to á n tr o n g h ìn h h ọ c p h ẳn g" là kết quả của việc nghiên cứu, học tậ p và nỗ lực của

bản th ân , không có sự trù n g lặp với kết quả của các vấn đề khác.
Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Lê Thị Thủy


M ục lục

Lời mở đầu

1

1

SỐ PH Ứ C

4

1.1

Định nghĩa và các tính chất của số p h ứ c ..........................

4

1.1.1

Định nghĩa số p h ứ c ...................................................

4

1.1.2

Các tính chất của số p h ứ c .......................................

5

1.2

Biểu diễn hình học của số p h ứ c ..........................................

7

1.3

Số phức liên hợp và môđun của số phức

..........................

8

1.4

1.5

1.3.1

Số phức liên hợp

.......................................................

8

1.3.2

Môđun của số p h ứ c ....................................................

9

Dạng lượng giác của số p h ứ c ................................................

9

1.4.1

Số phức dưới dạng lượng g i á c ................................

9

1.4.2

Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác . . . .

11

1.4.3

Tọa vị của một điểm trong E 2 ................................

11

1.4.4

Tọa vị của một vectơ trong E 2 ................................

11

1.4.5

Biếu diễn số phức theo những đ i ể m .......................

11

1.4.6

Khoảng cách giữa hai đ iể m .......................................

12

Công thức M oivre...................................................................

12

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.6

Lê Thị Thủy

1.5.1

Công thức M oivre.......................................................

12

1.5.2

Căn bậc n của số p h ứ c .............................................

13

Phương trình bậc hai với hệ số phức

................................

13

2 M Ộ T SỐ D Ạ N G T O Á N H ÌN H HỌC P H A N G ứ n g
D Ụ N G SỐ PH Ứ C Đ Ể G IẢ I

14

2.1

Dạng 1 : Góc định hướng của hai v e c tơ .............................

14

2.1.1

Định nghĩa

................................................................

14

2.1.2

Mệnh đ ề .......................................................................

15

2.1.3

Tỉ số đơn

...................................................................

18

2.1.4

Ví dụ

..........................................................................

18

Dạng 2 : Đường thẳng trong mặt phẳng p h ứ c ................

25

2.2.1

Phương trình đường t h ẳ n g .......................................

25

2.2.2

Ví dụ

..........................................................................

29

Dạng 3: Đường t r ò n ................................................................

41

2.3.1

Đường t r ò n ................................................................

41

2.3.2

Ví dụ

..........................................................................

47

Dạng 4: Đường thẳng và đường tròn E u l e r ......................

57

2.2

2.3

2.4

.

57

..........................................................................

60

Dạng 5: Đường thẳng S im s o n .............................................

67

2.5.1

Đường thẳng S im s o n ................................................

67

2.5.2

Ví dụ

..........................................................................

70

Tài liệu tham k h ả o .......................................................................

81

2.5

2.4.1

Tọa vị của những điểm đặc biệt trong tam giác

2.4.2

Ví dụ

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

Lời m ở đầu
1. LÝ DO C H Ọ N Đ Ề TÀI
Do nhu cầu phát triển của toán học, số phức đã ra đời từ những thế kỷ
trước. Sau đó, số phức lại thúc đẩy sự phát triển không những toán học
mà còn cả các ngành khoa học khác. Ngày nay, số phức được giảng dạy
trong chương trình toán ở các cấp bậc học TH PT hoặc đại học ở hầu hết
các nước trên thế giới, số phức được biết đến như một số ảo và trường
số phức đóng vai trò như một công cụ đắc lực trong toán. Như trong đại
số, mọi phương trình đa thức đều giải được đủ nghiệm trên trường số
phức. Trong giải tích phức một trong những đối tượng chính là ánh xạ
chỉnh hình vì phần thực và phần ảo là các hàm giải tích hai biến thỏa
mãn phương trình Laplace, nên giải tích phức được ứng dụng rộng rãi
trong các bài toán vật lý hai chiều. Hơn thế nữa trong hình học sử dụng
số phức giúp chúng ta giải nhanh một số một số dạng toán và có nhiều
thuận lợi trong hình học phẳng. Vì vậy tôi đã lựa chọn đề tài “ứ n g
dụng của số phức để giải các bài toán trong hình học phẳng”
nhằm giới thiệu một phương pháp mới để giải quyết một phần nào đó
các bài toán trong hình học phẳng, đồng thời thể hiện một phần nào đó
vẻ đẹp và ứng dụng to lớn của số phức. Luận văn gồm hai chương.
Chương 1 "Số phức "
ở chương này, khóa luận trình bày sơ lược các lý thuyết liên quan
về số phức và một số tính chất của nó, đồng thời thiết lập mối quan hệ
giữa số phức với hình học phẳng. Đây là lý thuyết cơ sở được áp dụng
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

cho các chương sau.
Chương 2 "Một số dạng toán hình học phẳng ứng dụng số phức để
giải"
Chương này trình bày 5 dạng toán cơ bản ứng dụng của số phức để
giải các bài toán trong hình học phẳng.
1- Góc định hướng của hai vectơ.
2- Đường thẳng trong mặt phẳng phức.
3- Đường tròn.
4- Đường thẳng và đường tròn Euler.
5- Đường thẳng Simson.
Trong mỗi dạng tôi có trình bày các kiến thức cơ sở liên quan, đồng
thời xây dựng hệ thống các ví dụ điển hình.
2. M Ụ C Đ ÍC H VÀ N H IỆ M v ụ N G H IÊ N c ứ u
2.1. M ục đích nghiên cứu
Trình bày những ứng dụng của số phức để giải một số bài toán chứng
minh trong hình học phẳng và một phần nào đó giúp các em học sinh
có kiến thức một cách chi tiết hơn về số phức cũng như tiếp cận một số
phương pháp giải điển hình cho một số bài toán cụ thể, đồng thời cũng
là tài liệu bố ích cho học sinh phổ thông, sinh viên kỹ thuật cũng như
giáo viên trong quá trình giảng dạy.
2.2. N hiệm vụ nghiên cứu
Xây dựng và đưa ra cơ sở lý thuyết về phương pháp ứng dụng của số
phức vào giải một số bài toán trong hình học phẳng.

3. P H Ư Ơ N G P H Á P NGHIÊN c ứ u

2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

Nghiên cứu sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo có liên quan đến
nội dung đề tài. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu
sắc tới các thầy, cô trong tổ Hình học, đặc biệt là cô giáo T hS. N guyễn
T hị Trà người đã hướng dẫn tận tình và chu đáo tôi trong suốt quá
trình nghiên cứu và trình bày khóa luận. Tác giả chân thành cảm ơn các
thầy, cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là
tổ Hình Học, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học
Đại học và thực hiện bản khóa luận này.

Hà Nội, ngày 03/05/2016
Tác giả khóa luận

LÊ THỊ THỦY

3


Chương 1
SỐ PH Ứ C
Trong chương này, khóa luận trình bày sơ lược các lý thuyết liên quan
về số phức và một số tính chất của nó, đồng thời thiết lập mối quan hệ
giữa số phức với hình học phẳng. Đây là lý thuyết cơ sở được áp dụng
cho các chương sau.

1.1
1.1.1

Đ ịn h n gh ĩa và các tín h ch ất củ a số phức
Đ ịnh nghĩa số phức

Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a và b là những số
thực và số i thỏa mãn i2 — —1. Kí hiệu số phức đó là z và viết z — a + bi.
i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực, kí hiệu Rez và b được
gọi là phần ảo, kí hiệu Imz.
Tập hợp các số phức được kí hiệu là
KcC.

4

c, c =

{z = a + bi, Va, b Ễ R} và


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

Chú ý:
• Số phức z = a + OỈ cổ phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là
a + Oi = a e K c C .
• Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn được gọi là số
thuần ảo) z = 0 + bi{ b e R).
• Số 0 = 0 + 0« vừa là số thực vừa là số ảo.

• Hai số phức z — a + bi (a, b e R), z' = a' + ưi (a', b' G R) gọi là
bằng nhau nếu a = a' và b = b'. Khi đó ta viết z = z'.
1.1.2

Các tín h chất của số phức

i) P hép cộng và phép trừ số phức
a) Tổng của hai số phức
Đ ịnh nghĩa: Tổng của hai số phức z = a + bỉ (a, b G R),
z' = a' + b'i (a1, b' € R) là số phức z + z' — a + a' + (6 + b')i.
Như vậy, để cộng hai số phức ta cộng các phần thực với nhau, cộng các
phần ảo với nhau.
b) T ính chất của phép cộng số phức
Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng các số thực.
• Tính chất kết hợp: (z + z') + z" = z + (z' + z ff), Vz, z', z" G R.
• Tính chất giao hoán: z + z' = z' + z, \fz, z'

Gc.

• Với số phức z = a + bi(a, b G R), nếu kí hiệu số phức —a — bi là -z
thì ta có: z + (—z ) = (—z ) + z — 0. số -z được gọi là số đối của số
phức z.
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

• Cộng với số0:2: + 0 = 0 + 2: = 2: với \/z €

c.

c) P h ép trừ hai số phức
Đ ịnh nghĩa: Hiệu của hai số phức z và z’ là tổng của z và z’, tức
z — z' = z + { —z').
Nếu z = a + bi (a,b e M), z' = a' + b'i (a!, b' e M) thì z —z' = a —a' +
(6 — b')i.
d) Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức
Trong mặt phẳng phức, ta đã coi điểm M có tọa độ (a,b) biểu diễn số
phức z = a + bi. Ta cũng coi mỗi vectơ l ì có tọa độ (a,b) biểu diễn số
phức z = a + bi. Khi đó nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa
là vectơ

oú

biểu diễn số phức đó.

Dễ thấy rằng nếu l ì , u' theo thứ tự biểu diễn các số phức z,z’ thì l ì + u'
biểu diễn số phức z + z\ l ì — u' biểu diễn số phức z - z \
ii) P hép nhân số phức
a) Tích của hai số phức
Cho 2 số phức z = a + bi, z' = a' + b'ỉ (a, b, a', b' G K). Thực hiện phép
nhân một cách hình thức biểu thức a + bi với biểu thức a' + b'i rồi thay
i2 = —1 ta được :
(a + bi) .(a' + ư i ) = aa' + bưi2 + (ab' + a'b) i
= aa' —bư + (ab' + a'b) i.
Đ ịn h nghĩa: Tích của 2 số phức z = a + bi, z' = a' + b'ỉ
(V a, b, a', b' G R) là số phức z.z' = aa' —66' + (ab' + a'b) i.
N hận xét: Với mọi số thực k và mọi số phức a + bỉ (a,b G M) ta có

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

k . (a + bi) = (A; + 0ỉ) .(a + bỉ) = ka + kbỉ, đặc biệt 0.z = 0 với mọi số phức
z.
b) T ính chất của phép nhân số phức
Phép nhân số phức có tính chất tương tự như phép nhân các số thực
• Tính chất giao hoán: z.z' = z'.z, V z ,z '

ẽ c.

• Tính chất kết hợp: (z.z') .z = z. ự . z " ) , V z : z', z" €

1

• Nhân với 1: l.z = z. = z,

c.

Vz E c.

• Tính chất phân phối (của phép nhân đối với phép cộng):
ự + z") = z.z' + z.z", Vz, z !, z" €

c.

Từ các tính chất vừa trình bày ta đi đến kết luận là mọi số phức đều
viết được dưới dạng đai số z — a + bi(a,b G M) và để thực hiện phép
cộng, phép nhân số phức ta có thể tiến hành như đối với nhị thức a+bi
(coi a+ bi là đa thức của biến i với hệ số thực ) mà khi gặp i2 thì ta thay
bằng -1.

l.2

B iể u d iễn h ìn h h ọc củ a số phức

Ta đã biết biểu diễn hình học các số thực bởi các điểm trên trục số. Đối
với số phức, ta hãy xét trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Mỗi số phức z = a + bi ( được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ (a,b)).
Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z=a+bi.
Ta còn viết M (a+bi) hay M(z).
Vì lẽ đó, mặt phẳng tọa độ với việc biểu số phức như thế được gọi là mặt
phẳng.
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

Gốc tọa độ o biểu diễn số 0.
Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn
các số thực, do đó trục Ox còn được gọi
là trục thực. Các điểm trên trục tung Oy
biểu diễn các số ảo, do đó trục Oy còn
được gọi là trục ảo.

1.3

Số phức liên hợp và m ô đ u n củ a số phức

1.3.1

Số phức liên hợp

Đ ịnh nghĩa: số phức liên hợp của z = a + bỉ(a, b e K) là a —bi và được
kí hiệu bởi 2. Như vậy z = a + bi = a — bi.
Rõ ràng z = z nên người ta còn nói z và z là hai số phức liên hợp với
nhau (gọi tắ t là hai số phức liên hợp).
Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối
xứng với nhau qua trục thực Ox.
T ín h chất:
• z + z = 2Rez , V2 e c .
• z — z = 2ỉ \ to.z , \/z

• Vz ẽ C,z = 2 ^
• V2 G c ,2 = —z
• z = z , \/z €

Ec.

zẽ

M

c

C.

z là số thuần ảo

c.
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

• Z\ + z2 —Z\ + Z2 , V Z\, Z2

Gc.

• Zị.Z2 = ^1-^2, VZi,Z2 € c.

—, Vzi,Z2ẽ c.
• A.z = A.z VA € M,Vz e

c.

• z.z = a2 + b2 (hay z.z >
1.3.2

0) , V Z = a + bi Gc.

M ôđun của số phức

Đ ịnh nghĩa: Môđun của số phức z = a + bi (a, 6 G M) là số thực không
âm \/a 2 + b2 và được ký hiệu là |z|.
Như vậy thì z = a + bi (a, b € M) thì \z\ = y/z.z = y/a2 + b2.
N h â n xét:
• Nếu z là số thực thì môđun của z là giá trị tuyệt đối của số thực
đó.
• z = 0 & \z\ = 0.

1.4

D ạ n g lượng giác củ a số phức

1.4.1

Số phức dưới dạng lượng giác

i) A rgum en của số phức
Đ ịnh nghĩa: Cho số phức z Ỷ 0- Gọi M là điểm trong m ặt phẳng phức
biểu diễn số phức z. số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox,
tia cuối OM được gọi là một argumen của z.
Chú ý: Nếu ip là một argumen của z thì mọi argumen của z có dạng
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

ip + /c27T, k E z .

ii) D ạng lượng giác của số phức
Xét số phức: z = a + bi ( a ,6 ẽ R ) .
Ký

hiệu

r

là

mô đun

của

z và

ip là

argumen

của

z thì

a = r cos tp , b = r cos ip.
Vậy z = a + bỉ Ỷ 0 có thể viết dưới dạng
z = r(cos<£ + ¿sin<^).
Đ ịnh nghĩa: Dạng z — r(cos<^ + zsin(^)
trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác
của số phức z Ỷ 0.

Còn dạng z = a + bỉ (a, b G M) được gọi là
dạng đại số của số phức z.
N hận x é t: Để tìm dạng lượng giác r(costp + ¿siny?) của số phức
z = a + bi (a, 6 7^ 0) ta cần:
• Tìm r: Đó là môđun của z, r = y/a2 + b2 số r đó cũng là khoảng
cách từ gốc o đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức.
• Tìm ip: Đó là một argumen của z, ip là một số thực sao cho:
cos<£ = —và sin tp =
số tp đó cũng là số đo một góc lượng giác
r
r
tia đầu Ox, tia cuối OM.
+ ) 1^1 = 1 khi và chỉ khi z = r(cos<£ + isiĩìip)(ip € M).
+ ) Khi z = 0 thì \z\ = r = 0 nhưng argumen của z không xác
định (đôi khi acgumen của 0 là một số thực tùy ý và vẫn viết
0 = 0 (costp + i sin
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4.2

Lê Thị Thủy

N hân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Nếu z = r(cos ip + ỉ sin ip), z' = r'(cos p ’ + i sirup') (r > 0, r' > 0) thì
z.z' = r.r'[c0 8 (ip+ip') + isin(í^+í^/)].

— = —[cos(<£ —ip') + Ĩsin(<y9 —tp')] khi r > 0.
z'
r'
Như vậy để nhân các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy tích các môđun
và tổng các argumen, để chia các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy
thương các mô đun và hiệu các argumen.
1.4.3

Tọa vị của m ột điểm tron g E 2

Đ ịnh nghĩa: Trong E 2, điểm M(a; b) cho tương ứng với số
m = a + bi thì số m được gọi là tọa vị của điểm M, kí hiệu là M(m).
Kí hiệu một điểm trong m ặt phẳng bởi chữ cái in hoa và tọa vị của nó
là chữ cái in thường tương ứng.

1.4.4

Tọa vị của m ột vectơ trong E 2

Đ ịnh nghĩa: Trong E 2 vectơ ~ẳ (a; b) cho tương ứng với số
z — a + bi. Khi đó z được gọi là tọa vị của vectơ ~ầ. Kí hiệu là vectơ
-ẳ(z).

1.4.5

B iếu diễn số phức th eo những điểm

Đ ịn h nghĩa: Trong E 2 cho hai số phức dưới dạng đại số
Z\ = Xi -\-i Vị, Z<1 = x 2 -\-ỉ IJ2 ■
Điểm o là gốc tọa độ. Xác định hai vectơ O Z i , O Z 2 biểu diễn hai số

phức Zị,z2.
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nếu Zị,

Lê Thị Thủy

z2có cùng giá: số phức z =

• Nếu Z ị , Z 2 không cùng giá: Dựng hình bình hành O Z i Z Z 2.
=>- z = (a?! + x 2]Vi + Vĩ) biểu diễn tọa vị của Zị + z2.
Do đó tổng của hai số phức có thể biểu diễn như tổng của hai vectơ
trong m ặt phẳng.

H ình2 : Zị Z 2 không cùng giá.

N hận xét: Sự biểu diễn số phức trong m ặt phẳng hoàn toàn thích hợp
khi xem xét cộng, trừ hai vectơ với cộng, trừ hai số phức.
1.4.6

K hoảng cách giữa hai điểm

Giả sử M ( z l )ì N ( z 2) e E 2. Ta có M Ẻ = z2 —Zị. Khi đó khoảng cách
giữa hai điểm M, N được tính theo công thức:
M N = M N = V{Z2 - Z1)(z2 - zx)

1.5

C ôn g th ứ c M oivre

1.5.1

C ông thức M oivre

Với mọi số nguyên dương n thì ta có:
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

[rịcosip + i sin y?)]n = rn(cosmp + i sin rup).
và khi r = 1 ta có (cosip + i sin Cả hai công thức đó đều là công thức Moivre.
Chú ý: Công thức Moivre còn đúng khi n nguyên âm
(và cả khi n = 0,z = r(cos tp + ỉ sin tp) Ỷ- 0).
1.5.2

Căn bậc n của số phức

Nếu số nguyên n > 2. Căn bậc n của số phức z là một số phức z’ sao
cho z n = z (nếu z = 0 thì z' = 0). Như vậy
w G

c, z ^

0, 2 = \z\ (C0 S(p + i sin ụ>) n G N* thì


=

(trong đó \f\z\ là căn bậc n của một số thực không âm).

1.6

P h ư ơ n g trìn h bậc hai với h ệ số phức

Ax2+ Bx +

c — 0 (A Ỷ

0) với A,B,C là các số phức
A = B 2 - 4AC.

-B
~2Ã
+) Nếu A Ỷ 0 thì ta tìm các căn bậc hai w của A thì phương trình có
, . n
—B ± w
hai nghiệm phân biệt Zị 2 — ------------ .
+) Nếu A = 0 thì phương trình có nghiệm kép z =

13

Chương 2
MỘT SÔ D Ạ N G TO Á N HÌNH
HỌC P H Ẳ N G

ứ n g d ụ n g số

PHỨC ĐỂ GIẢI
Trong chương này chúng ta sẽ phần nào thấy được nét ưu việt của
số phức trong hình học nói chung và hình học phẳng nói riêng. Trong
mỗi dạng tôi có trình bày các kiến thức cơ sở liên quan, đồng thời xây
dựng hệ thống các ví dụ điển hình và bài tập tương tự có hướng dẫn ở
chương sau.

2.1
2.1.1

D ạ n g 1 : G óc đ ịn h hướng củ a hai v ectơ
Đ ịnh nghĩa

Để tính góc đinh hướng a tạo bởi hai vectơ đi qua gốc tọa độ o , ta chọn
hai

điểm

Z \,

z2

có

tọa

vị

tương

14

ứng

lần

lượt

là

Zị, z2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

nằm trên mỗi vectơ. Khi đó:
^2
a = arg z2 — arg Zị = arg —.
2i
Trong trường hợp hai vectơ xuất phát từ điểm

V

z'0, ta cũng làm tương tự và có:
z 2 20
- z ’o) - arg ự 1 - z'o) = arg - - ---z 1 —z 0
Một cách tổng quát, biểu diễn độ đo góc theo

a = arg ự

2

o

X

hướng dương của hai vectơ bất kỳ theo tọa vị
của các số phức thì sao?
Đ ịnh nghĩa: Trong m ặt phẳng cho bốn điểm Zị, Z2,U1,Ư2 có tọa
vị tương ứng lần lượt là 21,^2 5^ 1 , 1*2. Góc định hướng giữa hai vectơ
Z\ Z2, U1 U2 là góc quay vectơ đơn vị đặt trên ZịZ2 một góc íp theo chiều
dương (ngược chiều kim đồng hồ) đến trùng với vectơ đơn vị đặt trên
ũ j f 2. Kí hiệu Ợ j ? 2 , ŨĨỬ-?) = y.
2.1.2

M ệnh đề

Trong E 2 cho hệ tọa độ trực chuẩn (O, ẽ i , ẽ ị) và hai điểm M [zi) , N (z2).
Khi đó góc định hướng giữa hai vectơ O M và ON.

Đặt 2: = —. Ta lại có:

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

z+z
cos ip — ------^
2r

Lê Thị Thủy

z+ z
2 \z\

<=>• cos ịoi\ằ, Oỉìr ^

£2 \
m )

1*2
U i,

^2
Zl
zl .z2 + zl . z 2
2 l-^il2

£2
Zl

Z\ .Z2 + Zị. Z2
z2
Zl
zl .z2 + zl . z 2
2 \Zị\ . ịz2ị
2 Zị ,z2.

Chứng minh tương tự, ta có:
i{zl .z^ - z{. z2)
sin(z> =
—: ; ; ;----.
2 l^ il. \z2\
Từ mệnh đề ta rút ra cách tính tổng quát góc định hướng giữa hai vectơ
Zi z l , Ui u 2 cho bởi bốn điểm Zi, Z 2 ,Ui, Ư2 có tọa vị tương ứng lần lượt
là z1:z2, u ĩ : u2:
z% Z\
.
u2 - u,
---------- -(cos p + isiĩup) = 7----------7 (*).
ịz2 —Z1ị
\u2 —Ui\
.

.

Từ đó (cos (p + ỉ sin tp) =

ĩlo —

Zo — Z \

l i 2 — 1^1

: --------- = --------- :
\u2 —Uịị Ịz2 - z1 Ị z2 - z!

------------------------- 7

7

16

7

u2 ~ U1
= p.
Z2 - Z !


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

p+ p
p —p
Ta CÓ cosIf= — -— ; siny>=— — từ đó ta có:

2

u2 - u 1

u2 Z2 u2 z2

¿2 - Zi

u2 - 1Í1
- Zl

cosy?

u1
z1
u1
Z\

(z2 - Zị).(u2 - Mi) + (u2 - Ui).(z2 - Zị)

2

smy? =

n I

,2

u 2 ~ Uị

2. ịz2 - 2i| . ------—
22 - Z\

i[(z2 - Zị).(u2 - Ui) - (u 2 - Uị ).( 22 - £ ị )]
2. \z2 - Zi \. \u2 - Ui|

Từ ( 1) và (2)
=>Zl z l-U Jl IỈ2 & (z2 - 2i).(ữ^ - ũĩ) + (u2 - wl)-(^2 - 2T) = 0 .

Zl z \ l¡U l ĨỈ2

{z2 - 2i).(ũ^ - ŨT) = (u2 -

- *ĩ).

H ệ quả:
Theo công thức (*) nếu Zi = Wi và \z2 —z1 ị = Iư2—Iti|. Khi biết ^2 và y?
với các giá trị đặc biệt thì u2 được tính theo z2:
T ) y? — 90° thì u 2 — Zị

t (22 —Zi'ji.

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.1.3

Lê Thị Thủy

T ỉ số đơn

Đ ịnh nghĩa: Trong mặt phẳng phức cho ba điểm phân biệt Mo, Mi, M2
có tọa vị theo thứ tự là z0, z 1, z 2 ta gọi số phức, kí hiệu và xác định bởi:
[M0ì M i , M ĩ ] = [ZQ, ¿1 , z 2 ] = —— — là tỉ số đơn của bộ ba điểm Mo, M u Mỉ
z2 —Zi
(hay tỉ số đơn của bộ ba số phức z0, z 1, z 2).
Chú ý:
[M0, M ị , M 2] là số phức w mà |w| =

2 0 và arg w là số đo góc
ÌK/2-^l
định hướng ^M2m |, M2M qj ; điều đó nói rằng tỉ số đơn của bộ ba
điểm là một khái niệm hình học, không phụ thuộc vào việc chọn hệ
tọa độ Oxy.
• Ta thấy —— — G l o arg —— — = k7ĩ, k e z .
z 2 — Zi

z 2 - Zi

<=> ^M2m \ , M 2M ^ có số đo kĩĩ, k € z <=$ M 2M >
i , M 2AỈữ cùng
phương.
Do đó [M0,M i ,M 2] = —------ G M, k E z

Ba điểm M0, Mị, M 2

cùng thuộc một đường thẳng và M qM\ = kMịM^.
2.1.4

V í dụ

V í dụ 2.1.1. Cho hình vuông ABCD. Điểm M là trung điểm của CD,
điểm p nằm trên đường chéo AC sao cho \PC\ = 3 \AP\ . Chứng minh
rằng B P M — 90°.
Lời giải.
+ ) Lấy hệ tọa độ vuông góc sao cho A là điểm gốc và A ồ là vectơ đơn
vị theo chiều dương của trục hoành => Tọa vị của những điểm A,B,C,D
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thủy

D

M

c

tương ứng lần lượt là a — 0, b — 1, c = 1 + ỉ, d = i.
+)Theo giả thiết M là trung điểm của CD => Điểm M có tọa vị là m
thỏa mãn: 777, = - (c + d) = -(1 + 2i).
2
2
Lại có \PC\ = 3 \AP\ =>• Ã ồ = 4Ã ^,nên p = - c = - { ỉ + 1).
+) Xét
p - m _ ^ * + 1 ) - 2(1 + 20
|(* + 1) - 1
(1 + í) - (2 + 4i) _ 1 + 3ỉ _ 10®
ỉ —3

3 —ỉ
10
(m, b,p) = i mà arg ỉ — —.
2
Góc định hướng giữa hai vectơ P M và P ồ là 90°.
\PB\
Hơnn nữa u\ỉ I = 1 =>■ 7—-— = 1 +> P B = P M , nên A B P M là vuông cân.
11
\PM\
V í dụ 2.1.2. Cho tam giác ABC. Trong nửa mặt phẳng
điểm

c

dựng hình vuông ABDE. Trong nửa m ặt phẳng

bờ AB
bờ BC

chứa
chứa

điểm A dựng hình vuông BCFG. Chứng minh G A ^ C D và GA = CD.
Lời giải.
+) Giả sử tọa vị các đỉnh A,B,C của A A B C có tọa vị tương ứng lần
19