Về otomat hữu hạn và ngôn ngữ chính quy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Huyền

VỀ OTOMAT HỮU HẠN
VÀ NGÔN NGỮ CHÍNH QUY

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Huyền

VỀ OTOMAT HỮU HẠN
VÀ NGÔN NGỮ CHÍNH QUY

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TSKH. Kiều Văn Hưng

Hà Nội – Năm 2016


Lời cảm ơn

Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành tới các thầy giáo và cô giáo trong Khoa Toán – Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo trong suốt thời gian em theo
học tại khoa và trong thời gian làm khóa luận.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Kiều Văn Hưng
– người thầy đã trực tiếp hướng dẫn em, luôn tận tâm chỉ bảo và định
hướng cho em trong suốt quá trình làm khóa luận để em có được kết quả
như ngày hôm nay.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản
thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu
sót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh
viên và bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Huyền

i


Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫn
tận tình của thầy giáo TS. Kiều Văn Hưng.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham
khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Về otomat hữu hạn và ngôn
ngữ chính quy" là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của
bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Nếu sai
em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, 02 tháng 05 năm 2015
Sinh viên
Nguyễn Thị Huyền

ii


Mục lục
Lời mở đầu

ii

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

iv

1 Otomat hữu hạn

1

1.1 Otomat hữu hạn đơn định . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1

Otomat hữu hạn đơn định . . . . . . . . . . . . .

1.1.2

Biểu diễn Otomat hữu hạn đơn định

. . . . . .

1.1.3

Ngôn ngữ được đoán nhận bởi otomat đơn định

1.2 Otomat hữu hạn không đơn định . . . . . . . . . . . . .
1.2.1

Otomat hữu hạn không đơn định . . . . . . . . .

1.2.2

Biểu diễn otomat hữu hạn không đơn định

1.2.3

Ngôn ngữ được đoán nhận bởi otomat hữu hạn
không đơn định

1.2.4

. . .

1

1
2
6
9
9
11

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Đơn định hóa các otomat . . . . . . . . . . . . .

14

1.3 Sự tương đương giữa otomat hữu hạn đơn định và otomat
hữu hạn không đơn định . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Ngôn ngữ chính quy và biểu thức chính quy

i

17
19


NGUYỄN THỊ HUYỀN

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.1 Ngôn ngữ chính quy và biểu thức chính quy . . . . . . .

19

2.2

23

Sự liên hệ giữa otomat hữu hạn và ngôn ngữ chính quy

3 Bài tập

31

Tài liệu tham khảo

41

ii


NGUYỄN THỊ HUYỀN

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lời mở đầu
Ngôn ngữ là một phương tiện để giao tiếp, sự giao tiếp có thể hiểu là
giao tiếp giữa con người với nhau, giao tiếp giữa người với máy hay giao
tiếp giữa máy với máy. Nếu như ngôn ngữ mà con người có thể giao tiếp
với nhau được gọi là ngôn ngữ tự nhiên, thì ngôn ngữ mà chúng ta vẫn
thường sử dụng để giao tiếp với máy, hay giữa máy với máy được gọi là

ngôn ngữ hình thức. Con người muốn máy tính thực hiện công việc phải
viết các yêu cầu đưa cho máy bằng ngôn ngữ máy hiểu được. Việc viết
các yêu cầu như thế gọi là lập trình. Ngôn ngữ dùng để lập trình được
gọi là ngôn ngữ lập trình. Các ngôn ngữ lập trình đều là ngôn ngữ hình
thức. Trong đó, otomat và ngôn ngữ hình thức là một nội dung khá mới
mẻ giúp chúng ta hiểu sâu hơn về cấu trúc ngôn ngữ lập trình, đặc biệt
nội dung otomat hữu hạn và ngôn ngữ chính quy là một nội dung khá
hay đối với em.
Xuất phát từ sự yêu thích đối với chuyên ngành Toán Ứng dụng và lòng
đam mê nghiên cứu khoa học, em đã chọn để tài Về otomat hữu hạn
và ngôn ngữ chính quy để làm nội dung nghiên cứu khóa luận tốt
nghiệp.
Otomat hữu hạn là một mô hình "máy trừu tượng" để đoán nhận ngôn
ngữ. Chúng ta sẽ thấy rằng lớp ngôn ngữ được đoán nhận bởi otomat
hữu hạn khá đơn giản , đó chính là lớp ngôn ngữ chính quy do văn phạm
chính quy sinh ra.
Khóa luận gồm ba chương.
iii


NGUYỄN THỊ HUYỀN

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chương 1 "Otomat hữu hạn" trình bày về một mô hình máy trừu
tượng để đoán nhận ngôn ngữ, đó chính là các otomat hữu hạn.
Chương 2 "Ngôn ngữ chính quy và biểu thức chính quy" sẽ định
nghĩa các ngôn ngữ chính quy trực tiếp từ các khái niệm về ngôn ngữ.
Đồng thời với các ngôn ngữ chính quy, chúng ta đưa ra khái niệm về
biểu thức chính quy là công cụ để biểu diễn các ngôn ngữ chính quy.

Chương 3 "Bài tập " đưa ra 8 bài tập minh họa cho các nội dung
kiến thức được đưa ra trong Chương 1 và Chương 2.
Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn TS Kiều Văn Hưng đã tận tình
hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu.
Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Ứng dụng, đã tạo điều kiện thuận
lợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận
này.

Hà Nội, ngày 02/05/2016
Tác giả khóa luận

NGUYỄN THỊ HUYỀN

iv


NGUYỄN THỊ HUYỀN

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt
R

tập số thực

Rn

không gian Euclid n chiều

∅

tập rỗng

x∈M

x thuộc tập M

x∈
/M

x không thuộc tập M

∀ x ∈ M với mọi x thuộc tập M
∃x

tồn tại x

M ∩N

giao của hai tập hợp M và N

M ∪N

hợp của hai tập hợp M và N

M \N

hiệu của hai tập hợp M và N

M ⊂N

M là một tập con thực sự của N

M ⊆N

M là một tập con của N

v


Chương 1
Otomat hữu hạn
1.1
1.1.1

Otomat hữu hạn đơn định
Otomat hữu hạn đơn định

Định nghĩa 1.1 Một otomat hữu hạn đơn định hay một DFA ( Deteministic Finite Automata) là một bộ năm
A =< Q,

, δ, q0, F >

trong đó
+ Q là một tập hữu hạn khác rỗng, được gọi là tập các trạng thái;
+

là một bảng chữ cái, được gọi là bảng chữ vào;

+δ : D → Q , là một ánh xạ từ D vào Q, trong đó D ⊆ Q ×

, được

gọi là hàm chuyển trạng thái (hay hàm chuyển);
+q0 ∈ Q , được gọi là trạng thái khởi đầu;
+F ⊆ Q , được gọi là tập các trạng thái kết thúc.
Trong trường hợp D = Q ×

, ta nói A là otomat đầy đủ. Sau này ta

sẽ thấy rằng mọi otomat hữu hạn đều đưa được về otomat hữu hạn đầy
1


NGUYỄN THỊ HUYỀN

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

đủ tương đương. Khi bắt đầu làm việc, otomat ở trạng thái khởi đầu
q0 và đầu đọc đang nhìn vào ô có kí hiệu a1 . Tiếp theo otomat chuyển
từ trạng thái q0 dưới tác động của kí hiệu vào a1 về trạng thái mới
δ(q0, a1 ) = q1 ∈ Q và đầu đọc chuyển sang phải một ô, tức là nhìn vào ô
có kí hiệu a2 . Sau đó otomat A có thể lại tiếp tục chuyển từ trạng thái
q1 nhờ hàm chuyển δ về trạng thái mới q2 = δ(q1 , a2) ∈ Q . Quá trình
đó sẽ tiếp tục cho tới khi gặp một trong các tình huống sau :
- Otomat A đọc hết sâu vào ω và δ(qn−1, an ) = qn ∈ F , ta nói rằng A
đoán nhận xâu ω
- Hoặc otomat A đọc hết sâu vào ω và δ(qn−1, an ) = qn ∈
/ F , ta nói A

không đoán nhận sâu ω .
- Hoặc khi otomat A đọc đến aj , (j ≤ n) và hàm δ(qj−1, aj ) không xác
định, ta cũng nói A không đoán nhận xâu ω .

Hình 1.1: Mô tả quá trình đoán nhận xâu ω của otomat A

1.1.2

Biểu diễn Otomat hữu hạn đơn định

Ánh xạ chuyển là một bộ phận quan trọng của một otomat hữu hạn đơn
định. Nó có thể cho dưới dạng bảng chuyển hoặc dưới dạng đồ thị.
1, Phương pháp cho bảng chuyển
Cho otomat A =< Q,

, δ, q0, F > và Q = {q0, q1, ..., qm} là tập trạng
2


NGUYỄN THỊ HUYỀN

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

thái, và bảng chữ cái

= {a0 , a1 , ..., am} , khi đó ánh xạ chuyển có

thể cho bởi bảng sau ; trong đó dòng i, cột j của bảng là ô trống nếu
(qi, aj ) ∈
/ D , tức là δ(qi , aj ) không xác định.

Hình 1.2: Bảng chuyển trạng thái của otomat A

Khi cho bảng chuyển trạng thái, và chỉ rõ tập trạng thái kết thúc F, ta
sẽ xác định được otomat A.
2, Phương pháp cho bằng đồ thị chuyển
Cho otomat A =< Q,

, δ, q0, F > . Ánh xạ chuyển δ có thể cho bằng

một đa đồ thị có hướng, có khuyên G sau đây, được gọi là đồ thị chuyển
của otomat A. Tập đỉnh của G được dán nhãn bởi các phần tử thuộc
Q, còn các cung được gán nhãn bởi các phần tử thuộc
a ∈

, tức là nếu

và từ trạng thái q chuyển sang trạng thái p theo công thức

δ(q, a) = p thì sẽ có một cung từ đỉnh q tới đỉnh p được gán nhãn a.
Đỉnh vào của đồ thị chuyển là đỉnh ứng với trạng thái ban đầu q0 . Các
đỉnh sẽ được khoanh bởi các vòng tròn, tại đỉnh q0 có một mũi tên đi
vào, riêng đỉnh với trạng thái kết thúc được phân biệt bởi các vòng tròn
đậm hoặc hình vuông ...
Nói chung với việc cho đồ thị chuyển là hoàn toàn xác định được otomat
3


NGUYỄN THỊ HUYỀN

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

A.
Ví dụ 1.1 Cho hai otomat hữu hạn đơn định :
1/. A1 =< {q0 , q1, q2} , {a, b,} , δ, q0, {q2} >
trong đó δ(q0 , a) = q0 , δ(q0, b) = q0 , δ(q1, a) = q0 , δ(q1, b) = q2 ,
δ(q2, a) = q2 , δ(q2 , b) = q2 .
Ta có bảng chuyển trạng thái và đồ thị chuyển trạng thái của otomat
A1 như sau :

Hình 1.3: Bảng chuyển trạng thái của A1

Hình 1.4: Đồ thị chuyển trạng thái của A1

Dãy trạng thái của otomat A1 trong quá trình đoán nhận xâu vào
α = ababbab là :

4


NGUYỄN THỊ HUYỀN

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hình 1.5: Quá trình đoán nhận xâu α = ababbab của A1

Như vậy , xâu α được đoán nhận bởi otomat A1 .
2, A2 =< {q0, q1, q2, q3} , {0, 1} , q0, {q0 } > ,
trong đó δ(q0 , 0) = q2 , δ(q0 , 1) = q1 , δ(q1, 0) = q3 , δ(q1, 1) = q0 ,
δ(q2, 0) = q0 , δ(q2 , 1) = q3 , δ(q3, 0) = q1 , δ(q3 , 1) = q2 .

Ta có bảng chuyển trạng thái của otomat A2 như sau : .

Hình 1.6: Bảng chuyển trạng thái của A2

Đồ thị chuyển trạng thái của otomat A2 như sau :

Hình 1.7: Đồ thị chuyển trạng thái của A2

Như vậy otomat A2 không chấp nhận xâu β .
5


NGUYỄN THỊ HUYỀN

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.3

Ngôn ngữ được đoán nhận bởi otomat đơn định

Để mô tả hình thức quá trình đoán nhận một từ, người ta đưa vào ánh
xạ mở rộng δ1 từ D ⊆ Q ×

∗

vào Q như trong định nghĩa sau :

Định nghĩa 1.2 Cho otomat hữu hạn đơn định A =< Q,
mở rộng δ1 của δ là một ánh xạ từ D ⊆ Q ×

, δ, q0, F >,

vào Q được xác định

như sau :
1/. δ1 (q, ε) = q, ∀q ∈ Q .
2/. δ1 (q, ωa) = δ(δ1(q, ω), a), ∀a ∈

∗

sao cho δ1 (q, ω) được xác định.

Chú ý : Do δ1 (q, a) = δ(δ1(q, εa)) = δ(δ1 (q, ε), a) = δ(q, a) . Ta có thể
đồng nhất δ1 với δ . Nếu không cần phân biệt, từ đây về sau ta viết
δ thay cho δ1 , và được hiểu là ánh xạ δ trên miền Q ×
δ1 trên miền Q ×

∗

.

Định nghĩa 1.3 Cho otomat hữu hạn đơn định A =< Q,
, và một xâu ω ∈

∗

là ánh xạ

, δ, q0, F >,

. Ta nói :

+ ω được đoán nhận bởi A nếu δ(q0, ω) ∈ F ;
+ Ngôn ngữ được đoán nhận bởi otomat A và kí hiệu là T(A), là tập từ:
∗

T (A) =

ω∈

|δ (q0 , ω) ∈ F

Lưu ý rằng trong đồ thị chuyển của A, ω ∈

∗

được đoán nhận bởi A

khi và chỉ khi ω là xâu của các nhãn ứng với một đường đi từ đỉnh q0
đến một trong các đỉnh kết thúc. Cụ thể, nếu ω = a1 a2 ....an thì đường
đi là (qn−1, qi) có nhãn ai với 1 ≤ i ≤ k và qk ∈ F .
Như vậy T(A) là tập hợp tất cả các xâu ghi trên các đường đi từ q0 đến
các đỉnh kết thúc
6


NGUYỄN THỊ HUYỀN

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Định nghĩa 1.4 Hai otomat hữu hạn A =< Q,
Q1 ,

1 ,δ1 , q0 1 , F1

, δ, q0, F > và A1 =<

> được gọi là tương đương nếu T (A) = T (A1) .

Ví dụ 1.2 Cho otomat hữu hạn :
A3 =< {q0 , q1, q2, q3, q4} , {0, 1} , δ, q0, {q1 , q2, q4} > với δ(q0 , 0) = q0 ,
δ(q0, 1) = q1 , δ(q1, 1) = q3 , δ(q1 , 1) = q2 , δ(q2 , 0) = q2 , δ(q2, 1) = q2 ,
δ(q3, 1) = q3 , δ(q4 , 0) = q2 , δ(q4, 1) = q3 .
Đồ thị chuyển A3 là :

Hình 1.8: Đồ thị chuyển trạng thái của A3

Trước hết ta nhận thấy rằng không có đường đi từ q0 đến đỉnh kết thúc
q4 , tức là sẽ không có từ nào được đoán nhận từ A3 với đỉnh kết thúc
q4 . Ngoài ra cũng không có một đường đi nào từ q0 đến đỉnh một đỉnh
kết thúc mà đi qua q3 . Như vậy, ta có thể bỏ qua đỉnh q3 và q4 mà không
ảnh hưởng đến việc đoán nhận các từ của otomat A3 . Do đó otomat
A3 tương đương với otomat A4 như sau :
A4 =< {q0 , q1, q2} , {0, 1} , δ, q0, {q1, q2} >
trong đó δ(q0 , 0) = q0 , δ(q0 , 1) = q1 , δ(q1 , 1) = q2 , δ(q2, 1) = q2 . Đồ thị
chuyển của A4 được cho trong hình 1.9
7


NGUYỄN THỊ HUYỀN

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hình 1.9: Đồ thị chuyển trạng thái của A4

Các đường đi từ q0 đến đỉnh kết thúc q1 ứng với các xâu 0n 1 , n ≥ 0 .
Các đường đi từ q0 đến đỉnh kết thúc q2 ứng với các xâu 0n11 ω , n ≥ 0 ,
ω ∈ {0, 1}∗ .Vậy ngôn ngữ được đoán nhận bởi các otomat trên là :
T (A3) = T (A4) = {0n1, 0n11ω/n ≥ 0, ω ∈ {0, 1}∗ }
Bổ đề 1.1
Cho otomat hữu hạn đơn định A =< Q,
∗

, δ, q0, F > . Khi đó ∀ω1 , ω2 ∈

, ∀q ∈ Q sao cho δ(q1 , ω1ω2) xác định, ta có :
δ(q1 , ω1ω2) = δ(δ(q1 , ω1), ω2)

Chứng minh : Ta chứng minh đẳng thức trên bằng quy nạp theo độ
dài của ω2 .
+ Khi |ω2 | = 1 hay ω2 = a, a ∈

, ta có δ(q1 , ω1a) = δ(δ(q1, ω1), a) .

Đẳng thức (1) đúng.
+ Giả sử đẳng thức (1) đúng với mọi ω2 có độ dài |ω2 | ≤ n . Ta cần
chứng minh nó cũng đúng với ω2 có độ dài |ω2 | = n + 1 .
Đặt ω2 = ω21 a , với ω21 ∈

∗

, |ω21| = n , a ∈

. Ta có δ(q, ω1ω2 ) =

δ(q, ω1ω21 a) = δ(δ(q, ω1ω2 1 ), a) = δ(δ(δ(q, ω1), ω21 ), a) = δ(δ(q, ω1), ω21a) =
δ(δ(q, ω1), ω2).
8


NGUYỄN THỊ HUYỀN

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Do đó đẳng thức (1) đúng với ω2 có độ dài n+1.
Bổ đề được chứng minh.
Chú ý : Với otomat hữu hạn đơn định A =< Q,

, δ, q0, F > bất kì, ta

luôn có thể xây dựng một otomat hữu hạn đơn định đầy đủ A1 tương
đương với A.

1.2
1.2.1

Otomat hữu hạn không đơn định
Otomat hữu hạn không đơn định

Định nghĩa 2.1 Một otomat hữu hạn không đơn định ( Nondeterministic Finite Automata - NFA) là một bộ năm

A =< Q,

, δ, q0, F >,

trong đó
+ Q,

, q0, F như trong định nghĩa 1.1

+ δ : Q×

→ 2Q , ở đây 2Q , (hay P(Q) , là kí hiệu tập hợp các tập

con của Q ), gọi là ánh xạ chuyển.
Ở đây, ánh xạ δ là một hàm đa trị ( hàm không đơn định), vì vậy otomat
A trong định nghĩa trên được gọi là không đơn định .
Trong trường hợp δ(q, a) xác định với ∀q ∈ Q, ∀a ∈

, ta nói otomat

A là đầy đủ.
Nếu δ(q, a) = {p1 , p2, ..., pk } thì ta nói rằng otomat A ở trạng thái q gặp
kí hiệu a thì có thể chuyển đến một trong các trạng thái p1 , p2, ..., pk .
Nếu δ(q, a) = {p} thì ở trạng thái q gặp kí hiệu a, otomat A chỉ chuyển
9


NGUYỄN THỊ HUYỀN

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

đến một trạng thái duy nhất p.
Nếu δ(q, a) = ∅ thì ở trạng thái q gặp kí hiệu a, otomat A không thể
chuyển đến trạng thái nào, cũng tương tự như với otomat hữu hạn đơn
định.
Như vậy, ta thấy rằng một otomat hữu hạn đơn định là một trường hợp
đặc biệt của một otomat hữu hạn không đơn định.
Hoạt động của otomat hữu hạn không đơn định A =< Q,

, δ, q0, F >

khi cho vào xâu ω = a1 a2 ...an có thể được mô tả như sau :
Khi bắt đầu làm việc, otomat ở trạng thái đầu q0 và đầu đọc đang nhìn
vào ô có kí hiệu a1 . Từ trạng thái q0 , dưới tác động của kí hiệu vào
a1 , δ(q0, a1 ) = {p1, p2,...,pk } , otomat xác định các trạng thái có thể tiếp
theo là p1 , p2, ..., pk và đầu đọc chuyển sang phải một ô, tức là nhìn vào
ô có kí hiệu a2 . Tiếp tục với mỗi qi (i ≤ 1 ≤ k) và kí hiệu tiếp theo là
a2 , các trạng thái tiếp theo có thể đến được là δ(p1, a2 ) ∪ ... ∪ δ(pk , a2 ) .
Quá trình đó sẽ được tiếp tục cho tới khi gặp một trong các tình huống
sau :
+ Trong trường hợp tập trạng thái tiếp theo sau khi đọc aj nào đó là
rỗng hoặc sau khi đọc kí hiệu an là Q1 mà Q1 ∩ F = ∅ , ta nói rằng A
không đoán nhận xâu ω .
+ Trong trường hợp tập trạng thái tiếp theo sau khi đọc kí hiệu an là
Q1 mà Q1 ∩ F = ∅ , ta nói rằng otomat A đoán nhận xâu ω .

10


NGUYỄN THỊ HUYỀN

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.2

Biểu diễn otomat hữu hạn không đơn định

Một otomat hữu hạn không đơn định có thể biểu diễn dưới dạng bảng
chuyển hoặc đồ thị chuyển như trong trường hợp otomat hữu hạn đơn
định.
Nếu δ(q, a) = {p1 , p2, ..., pk } thì trong đồ thị chuyển có k cung từ q sang
p1, p2, ..., pk được ghi cùng một nhãn a.
Quá trình đoán nhận một xâu vào ω của một otomat hữu hạn không
đơn định A có thể biểu diễn bằng một cây có gốc mà gốc là trạng thái
đầu q0 . Trong cây này, nếu có một đường đi qua một dãy các trạng thái
ứng với xâu vào ω từ q0 đến một lá chứa trạng thái kết thúc thì xâu
vào này được đoán nhận bởi otomat A. Ngược lại nếu không có một lá
nào trong cây chứa trạng thái kết thúc thì ω không được đoán nhận bởi
A.
Ví dụ 1.3 Cho otomat hữu hạn không đơn định :
A =< {q0 , q1, q2, q3, q4} , {0, 1} , δ, q0, {q2 , q4} >
, với δ(q0 , 0) = {q0 , q3} , δ(q0 , 1) = {q0, q1} , δ(q1, 0) = ∅ , δ(q1, 1) = {q2} ,
δ(q2, 0) = {q2 } , δ(q2 , 1) = {q2} , δ(q3, 0) = {q4 } , δ(q3, 1) = ∅ ,
δ(q4, 0) = {q4} , δ(q4, 1) = {q4 } .
Cho xâu vào ω = 01001 . Ta có cây đoán nhận ω như sau :
Trong cây trên có một đường đi từ q0 đến q4 ∈ F nên xâu ω = 01001 là
xâu được đoán nhận bởi otomat A.
Đồ thị chuyển của otomat A là :

11

NGUYỄN THỊ HUYỀN

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hình 1.10: Cây đoán nhận ω

Hình 1.11: Đồ thị chuyển của otomat A

1.2.3

Ngôn ngữ được đoán nhận bởi otomat hữu hạn không
đơn định

Định nghĩa 1.5 Cho otomat hữu hạn không đơn định A =< Q,
. Mở rộng của δ là ánh xạ δ1 từ tập Q ×
sau :
1, δ1(q, ε) = {q} , ∀q ∈ Q ,

12

∗

, δ, q0, F >

vào 2Q được xác định như


NGUYỄN THỊ HUYỀN

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2, δ1(q, ωa) =

δ1(q, ω), ∀q ∈ Q, ∀a ∈

∗

, ∀ω ∈

sao cho δ1 (q, ω) được

p∈δ(q,a)

xác định.
Ta có δ1(q, a) = δ1 (q, εa) =
, tức là trên Q ×

δ1(q, a), ∀q ∈ Q, ∀a ∈

δ1 (q, ε) =
p∈δ(q,a)

p∈δ(q,a)

ta có thể đồng nhất δ1 với δ . Vì vậy , cũng như

trường hợp otomat hữu hạn đơn định, ta có thể sử dụng kí hiệu δ thay
cho δ1 và được hiểu là ánh xạ δ1 trên miền Q ×

trên Q ×

∗

, tức là ánh xạ δ1

.

Định nghĩa 1.6 Cho otomat hữu hạn không đơn định A =< Q,
, ω∈

∗

và L là một ngôn ngữ trên

, δ, q0, F >

. Ta nói :

+ ω được đoán nhận bởi A nếu δ(q0, ω) ∩ F = ∅ ,
+ L được đoán nhận bởi A nếu L = {ω ∈

∗

|δ(q0 , ω) ∩ F = ∅} và kí

hiệu L là T(A).
Ví dụ 1.4 Cho otomat hữu hạn không đơn định :
A =< {q0 , q1, q2} , {a, b} , δ, q0,, {q2} >
, trong đó δ(q0 , a) = {q0 } , δ(q0 , b) = {q0, q1} , δ(q1, a) = {q1} , δ(q1, b) =

{q1, q2} , δ(q2 , a) = {q2 } , δ(q2 , b) = {q2} .
Bảng chuyển và đồ thị chuyển của otomat A được cho trong hình 1.12
và 1.13.

13


NGUYỄN THỊ HUYỀN

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hình 1.12: Bảng chuyển của otomat A

Hình 1.13: Đồ thị chuyển của otomat A

Có thể kiểm tra được rằng từ ω = an bn ∈ T (A) , tuy nhiên otomat A
không đoán nhận ngôn ngữ L = {an bn |∀n ≥ 1} .
Ngôn ngữ được đoán nhận bởi otomat A là :
T (A) = {ω1 bω2bω3|ω1 , ω2, ω3 ∈ {a, b}∗ }
.
1.2.4

Đơn định hóa các otomat

Giả sử A =< Q,

, δ, q0, F >, ω ∈

∗

là một otomat không đơn định,

khi đó ta có thể xây dựng otomat đơn định và đầy đủ M tương đương
với otomat A ( theo định nghĩa cùng đoán nhận một ngôn ngữ). Việc
xây dựng M được thực hiện theo thuật toán sau đây, được gọi là thuật

14


NGUYỄN THỊ HUYỀN

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

toán đơn định hóa otomat .
Thuật toán đơn định hóa :
Input: Otomat hữu hạn không đơn định A =< Q,
ω∈

∗

, δ, q0, F > ,

.

Output:Otomat hữu hạn đơn định M =< Q1 ,

, δ1, s0 , F1 > .

Phương pháp:
Bước 1: Xây dựng hàm hai biến T : 2Q ×

→ 2Q thỏa mãn các điều

kiện :
1, ∀q ∈ Q, ∀a ∈

thìT (q, a) = {q1 ∈ Q|q1 = δ(q, a)} .

2, ∀B ⊆ Q màδ(q, a) = B , ∀a ∈

thìT (B, a) =

T (p, a) .
p∈B

Bước 2: Xác định tập trạng thái mới Q1 = s0 , s1, ..., sk |k ≤ 2|Q| − 1

:

1, Đặt s0 = {q0 } , s1 = {q1 } , ..., si = {qi} ∀ {q0 } , {q1} , ..., {qi } ∈ Q ,
2, Đặt si+1 = B1, si+2 = i2 , ...∀B1, B2... ⊆ Q mà δ(qj , a) = Bj .
3, Nếu otomat A là không đầy đủ, đặt sk = ∅ và thêm vào hàm chuyển
δ1 các giá trị δ1(sk , a) = sk ∀a ∈

để otomat M là otomat đầy đủ.

4, Trạng thái khởi đầu của otomat M là s0 .
5, Tập trạng thái kết thúc của otomat M là F1 = {s ∈ Q1|s ∩ F = ∅} .
Bước 3: Xác định hàm chuyển δ1 : Q1 ×
∀s ∈ Q1 , ∀a ∈

→ Q1 của otomat M :

thì δ1(s, a) = T (s, a) .

Ví dụ 1.5 Cho otomat A =< {p0, p1, p2} , {a, b, c} , δ, p0, {p1, p2} > với
hàm chuyển δ cho bởi bảng sau:

15


NGUYỄN THỊ HUYỀN

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hình 1.14: Bảng chuyển của otomat A

Hãy xây dựng otomat M =< Q1, {a, b, c} , δ1, s0 , F1 > đơn định và đầy
đủ, tương đương với otomat A. 1, Xây dựng hàm T : 2Q ×

→ 2Q ,

+, T (p0, a) = {p1} , T (p0, b) = {p1 , p2} , T (p0, c) = {p2 } ,
+, T (p1, a) = {p2} , T (p1, b) = ∅ , T (p1, c) = {p0 , p2} ,
+, T (p2, a) = {p1} , T (p2, b) = {p1 } , T (p2, c) = {p2 } ,
+, T ({p1 , p2} , a) = T (p1, a)∪T (p2, a) = {p2}∪{p1 } = {p1,p2 } , T ({p1 , p2} , b) =
∅ ∪ {p1 } = {p1} , T ({p1 , p2} , c) = {p0, p2} ∪ {p2} = {p0 , p2} .
+, T ({p0 , p2} , a) = {p1 } , T ({p0, p2} , b) = {p1 , p2} , T ({p0 , p2} , c) =
{p2} .
2, Đặt s0 = {p0 } , s1 = {p1} , s2 = {p2} , s3 = {p1 , p2} , s4 = {p0, p2} , s5 =

∅ ta có :
+, Tập trạng thái mới Q1 = {s0 , s1 , s2, s3, s4, s5} .
+, Trạng thái khởi đầu của M là s0 .
+, Tập trạng thái kết mới : F1 = {s1 , s2, s3, s4 } .
3, Hàm chuyển mới δ1 : Q1 ×

→ Q1 được xác định như sau :

16