Ứng dụng của đồng dư thức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ HƯỜNG

ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

HÀ NỘI - 2016


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ HƯỜNG

ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ KIỀU NGA

HÀ NỘI - 2016


Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều

Nga , người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến
thức nền tảng để em có thể hoàn thành bài khóa luận này. Cô cũng là
người đã giúp em ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong
suốt thời gian được làm việc cùng cô.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong tổ đại số khoa
Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi để
em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện
thuân lợi cho em trong quá trình thực hiện khóa luận.
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thân
còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, em rất mong
nhận được những ý kiến đóng góp từ các thầy cô, các bạn sinh viên để
khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Sinh viên

Trần Thị Hường


Lời cam đoan

Em xin cam đoan khóa luận "Ứng dụng của đồng dư thức" được
hoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô giáo Nguyễn Thị Kiều Nga và sự
nỗ lực của bản thân. Khóa luận không trùng với bất kỳ đề tài nghiên
cứu nào khác.
Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã thừa kế những thành
tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Sinh viên

Trần Thị Hường


Mục lục
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 1: Đồng dư thức
1.1

1.2

Đồng dư thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa đồng dư thức. . . . . . . . . .
1.1.2 Các điều kiện tương đương với định nghĩa
1.1.3 Các tính chất của đồng dư thức . . . . .
Một số định lý cơ bản về đồng dư thức . . . . .
1.2.1 Hàm Ơ-le . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Hệ thặng dư đầy đủ . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Hệ thặng dư thu gọn . . . . . . . . . . .
1.2.4 Định lý Ơ-le . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Định lý Phec-ma . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Định lý Vin-sơn . . . . . . . . . . . . . .

1
4

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

4
4

4
5
9
9
10
12
13
13
14

Chương 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC 15
2.1

2.2

Ứng dụng của đồng dư thức tìm số dư trong phép chia .
2.1.1 Sử dụng tính chất của đồng dư thức . . . . . . .
2.1.2 Sử dụng các định lý Ơ-le, định lý Phec-ma . . .
2.1.3 Sử dụng định lý Vin-sơn . . . . . . . . . . . . .
Ứng dụng của đồng dư thức chứng minh tính chia hết .
2.2.1 Sử dụng tính chất của đồng dư thức . . . . . . .
2.2.2 Sử dụng định lý Ơ-le và Phec-ma chứng minh tính
chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

15
15
16
18
20
20

. 23


2.2.3 Sử dụng định lý Vin-sơn chứng minh tính chia hết 26
2.3 Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa . . . . . 30
2.3.2 Tìm ba chữ số tận cùng của một lũy thừa . . . . . 34
2.4 Ứng dụng của đồng dư thức nhận biết dấu hiệu chia hết . 37
2.4.1 Các dấu hiệu chia hết đơn giản . . . . . . . . . . . 37
2.4.2 Một số dấu hiệu chia hết khác . . . . . . . . . . . 39
2.5 Ứng dụng của đồng dư thức giải phương trình nghiệm nguyên 43
2.6 Ứng dụng của đồng dư thức giải phương trình đồng dư và
phương trình vô định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6.1 Giải phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn . . . . 45
2.6.2 Giải phương trình vô định ax + by = c . . . . . . . 47
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một bộ môn khoa học trừu tượng, có suy luận lôgic

và là nền tảng cho việc nghiên cứu các bộ môn khoa học khác. Đại số
là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong toán học. Nó góp phần
thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại. Số học là một phần
không thể thiếu và nó chiếm một vai trò khá quan trọng trong bộ
môn này.Các bài toán số học luôn hấp dẫn và cuốn hút mọi người.
Từ các nhà toán học lỗi lạc của mọi thời đại đến đông đảo các bạn
trẻ yêu toán. Thế giới các con số quen thuộc đối với chúng ta trong
cuộc sống hàng ngày, nhưng nó cũng là một thế giới hết sức kỳ lạ và
đầy bí ẩn. Loài người đã phát hiện trong đó biết bao tính chất, quy
luật đồng thời cũng gặp khó khăn khi chưa thể chứng minh được
một số các dự đoán toán học.
Các bài toán số học luôn có mặt trong các đề thi chọn học sinh
giỏi toán ở tất cả các cấp học và đối với hầu hết các nước trên thế
giới. Là một phần kiến thức của số học, đồng dư thức có vai trò rất
quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng. Sử dụng đồng dư
thức có thể giải quyết dễ dàng nhiều bài toán trong các môn học
khác và nhiều bài toán trong thực tiễn cuộc sống.
Với lòng yêu thích, niềm say mê muốn được nghiên cứu và tìm
hiểu sâu hơn về số học nói chung và đồng dư thức nói riêng, em đã
chọn đề tài "Ứng dụng của đồng dư thức" để nghiên cứu.
Nội dung khóa luận gồm 2 chương:
Trần Thị Hường - K38C SP Toán

1


MỤC LỤC

Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ bản về lý thuyết đồng dư, các
định lý cơ bản của đồng dư thức là Định lý Ơ-le, định lý Phec-ma,

định lý Vin-sơn, Hệ thặng dư đầy đủ - Hệ thặng dư thu gọn.
Chương 2: Trình bày một số ứng dụng của đồng dư thức qua các
ví dụ và bài tập áp dụng như: Tìm số dư trong phép chia, chứng
minh tính chia hết, tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa, tìm các
dấu hiệu chia hết, giải phương trình vô định, nghiệm nguyên.
2. Mục đích - Yêu cầu
+ Đây là một dịp để có thể tập dượt nghiên cứu (với sự định hướng
của giáo viên hướng dẫn) về một nội dung khoa học.
+ Nắm bắt được những nội dung cơ bản của lý thuyết đồng dư
(Các khái niệm, các tính chất, các định lý cơ bản, một số ứng
dụng, ...).
+ Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình.
3. Cơ sở lý luận
Lý thuyết đồng dư được xây dựng trên nền tảng là phép chia trên
vành số nguyên. Đồng dư là một nội dung được suy luận một cách
lôgic, chặt chẽ. Trên cơ sở các tính chất, các định lý rất nổi tiếng
của hai nhà bác học Ơ-le và Phec-ma thì đồng dư thức có tính ứng
dụng rất cao trong việc giải quyết các bài toán số học.
4. Cơ sở thực tiễn
Đồng dư là một phương pháp có kĩ thuật. Nó có thể coi là một công
cụ giúp ta đạt được những kết quả sâu sắc (ví dụ như trong vấn
đề chia hết hay trong vấn đề phương trình nghiệm nguyên) mà nếu
dùng phương pháp khác thì việc giải quyết sẽ rất cồng kềnh.
Đề tài này giúp cho các học sinh phổ thông có phương pháp và định
hướng cũng như kĩ năng cần thiết trong quá trình giải quyết các bài
toán số học trong chương trình phổ thông.
Trần Thị Hường - K38C SP Toán

2

MỤC LỤC

5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống lý thuyết, phân loại, đưa ra bài tập chi tiết liên quan đến
Đồng dư thức.
6. Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu
- Trong môn toán có nhiều dạng bài tập có thể giải bằng phương
pháp đồng dư thức. Tuy nhiên trong khóa luận này em chỉ đưa
ra một số ứng dụng sau:
+ Tìm số dư trong một phép chia.
+ Chứng minh sự chia hết.
+ Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa.
+ Tìm dấu hiệu chia hết.
+ Giải phương trình nghiệm nguyên.
+ Giải phương trình vô định.
7. Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập và đọc các tài liệu tìm được từ nhiều nguồn khác nhau
để phân tích, nghiên cứu.
• Phương pháp quan sát, đọc sách.
• Trao đổi với thầy cô, bạn bè.

Trần Thị Hường - K38C SP Toán

3


Chương 1

Đồng dư thức
1.1
1.1.1

Đồng dư thức
Định nghĩa đồng dư thức.

Định nghĩa 1.1.1.
Cho m là một số nguyên dương. Ta nói hai số nguyên a và b đồng
dư với nhau theo môđun m nếu trong các phép chia a và b cho m ta
được cùng một số dư.
Khi a và b đồng dư với nhau theo môđun ta viết

a ≡ b(mod m)
Hệ thức a ≡ b(modm) được gọi là một đồng dư thức.
1.1.2

Các điều kiện tương đương với định nghĩa

Các khẳng định sau đây là tương đương:
i) a và b đồng dư với nhau theo môđun m
ii) m chia hết a − b
iii) tồn tại số nguyên t sao cho a = b + mt.

Trần Thị Hường - K38C SP Toán

4


CHƯƠNG 1. ĐỒNG DƯ THỨC

1.1.3

Các tính chất của đồng dư thức

Tính chất 1.1.2.
Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập hợp số
nguyên Z, nghĩa là nó có:
Với mỗi số tự nhiên m = 0 cho trước ta có
i) Với mọi a ∈ Z thì a ≡ a(mod m).
ii) Với mọi a, b ∈ Z nếu a ≡ b(mod m) thì b ≡ a(mod m).
iii) Với mọi a, b, c ∈ Z nếu a ≡ b(mod m) và b ≡ c(modm) thì
a ≡ c(mod m).
Tính chất 1.1.3.
Ta có thể cộng hoặc trừ từng vế nhiều đồng dư thức theo cùng một
môđun m với nhau, cụ thể là nếu ta có

ai ≡ bi (mod m),

i = 1, ...., k.

thì ta cũng có:
k

k

ε i ai ≡
i=1

εi bi (mod m)

i=1

với ε = ±1.
Tính chất 1.1.4.
Ta có thể nhân từng vế nhiều đồng dư thức theo cùng một môđun
m với nhau, cụ thể là nếu

ai ≡ bi (mod m),

i = 1, ..., k.

thì ta cũng có:
k

k

ai ≡
i=1
Trần Thị Hường - K38C SP Toán

bi (mod m).
i=1
5


CHƯƠNG 1. ĐỒNG DƯ THỨC

Hệ quả 1.1.5.
i) Ta có thể cộng hoặc trừ cùng một số vào hai vế của một đồng dư
thức, cụ thể là nếu:

a ≡ b(mod m)
thì với mọi c ∈ Z ta có

a ± c ≡ b ± c(mod m).
ii) Ta có thể chuyển vế các số hạng của một đồng dư thức bằng cách
đổi dấu các số hạng đó, cụ thể là nếu ta có

a + c ≡ b(mod m)
thì ta cũng có

a ≡ b − c(mod m).
iii) Ta có thể cộng vào một vế của một đồng dư thức một bội của môđun,
cụ thể là nếu ta có
a ≡ b(mod m)
thì với mọi k ∈ Z ta có

a + km ≡ b(mod m).
iv) Ta có thể nhân hai vế của một đồng dư thức với cùng một số, cụ
thể là nếu ta có
a ≡ b(mod m)
thì với mọi c ∈ Z, ta có

ac ≡ bc(mod m).
v) Ta có thể nâng lên lũy thừa bậc nguyên không âm hai vế của một

Trần Thị Hường - K38C SP Toán

6

CHƯƠNG 1. ĐỒNG DƯ THỨC

đồng dư thức, cụ thể là nếu

a ≡ b(mod m)
thì với mọi n ∈ N, ta có

an ≡ bn (mod m).
vi) Nếu ta có
ai ≡ bi (mod m)
i = 0, 1, ...., n
x ≡ y(mod m)
thì ta có
n

n
n−i

ai x
i=0

bi y n−i (mod m).

≡
i=0

Tính chất 1.1.6.
Ta có thể chia hai vế của một đồng dư thức cho một ước chung nguyên
tố với mođun, cụ thể là nếu δ|a, δ|b và (δ, m) = 1 thì từ đồng dư thức

a ≡ b(mod m)
ta cũng có
a
b
≡ (mod m).
δ
δ
Tính chất 1.1.7.
Ta có thể nhân hai vế của một đồng dư thức và môđun với cùng
một số nguyên dương và chia hai vế và môđun cho cùng một số nguyên
dương là ước chung của chúng, cụ thể là nếu

a ≡ b(mod m)

Trần Thị Hường - K38C SP Toán

7


CHƯƠNG 1. ĐỒNG DƯ THỨC

thì với mọi số nguyên dương c, ta có:

ac ≡ bc(mod mc)
và với mọi δ nguyên dương, δ|(a, b, m)ta cũng có

b
m
a
≡ (mod ).

δ
δ
δ
Tính chất 1.1.8.
Nếu hai số đồng dư với nhau theo nhiều môđun thì chúng cũng đồng
dư với nhau theo môđun là bội chung nhỏ nhất của các môđun đã cho,
cụ thể là nếu
a ≡ b(mod mi ) i = 1, 2, . . . , k
và m = [m1 , m2 , . . . , mk ] thì ta có

a ≡ b(mod m)
Tính chất 1.1.9.
Nếu hai số đồng dư với nhau theo môđun m thì chúng đồng dư với
nhau theo mọi môđun là ước của m, cụ thể là nếu ta có

a ≡ b(mod m) và δ|m, δ > 0
thì ta có

a ≡ b(mod δ).
Tính chất 1.1.10.
Nếu hai số a và b đồng dư với nhau theo môđun m thì tập hợp các
ước chung của a và m trùng với tập hợp các ước chung của b và m và
riêng (a, m) = (b, m).

Trần Thị Hường - K38C SP Toán

8


CHƯƠNG 1. ĐỒNG DƯ THỨC

1.2
1.2.1

Một số định lý cơ bản về đồng dư thức
Hàm Ơ-le

Định nghĩa 1.2.1. Cho m là một số tự nhiên khác 0. Hàm Ơ-le của m
ký hiệu là ϕ(m) xác định như sau:

• Với m = 1 ta qui ước ϕ(m) = 1.
• Với m > 1 ta có ϕ(m) = | {a ∈ N |a < m, (a, m) = 1} |.
Nhận xét 1.2.2. ϕ(m) là số các phần tử khả nghịch của vành các lớp
thặng dư môđun m.
Định lý 1. Với hai số tự nhiên m1 , m2 = 0, (m1 , m2 ) = 1 ta có:

ϕ(m1 .m2 ) = ϕ(m1 ).ϕ(m2 ).
Chứng minh.

• Nếu trong hai số m1 và m2 có một số bằng 1 thì hiển nhiên:
ϕ(m1 m2 ) = ϕ(m1 )ϕ(m2 ) vì ϕ(1) = 1.
• Giả sử m1 > 1, m2 > 1 ta đặt m1 m2 = m. Lấy Sm = {z ∈ N/z < m}
là đoạn m số tự nhiên đầu tiên, đó chính là hệ thặng dư đầy đủ
môđun m không âm nhỏ nhất, theo định nghĩa trong đó có ϕ(m) số
nguyên tố với m.
ϕ(m) =

1
z∈Sm (z,m)=1

• Bây giờ ta biểu diễn Sm như sau
Sm = m1 .x + y|x = 0, 1, . . . , m1 − 1, y = 0, 1, . . . , m2 − 1 hay
Sm = m1 .x + y|y ∈ Sm1 , x ∈ Sm2
nghĩa là nếu z ∈ Sm thì z biểu diễn được một cách duy nhất dưới
dạng z = m1 x + y với x ∈ Sm2 , y ∈ Sm1 vì
m = m1 m2 nên ta có (z, m) = 1 khi và chỉ khi (z, m1 ) = (z, m2 ) =
Trần Thị Hường - K38C SP Toán

9


CHƯƠNG 1. ĐỒNG DƯ THỨC

1. Nhưng ta có (z, m1 ) = (m1 x + y, m1 ) = (y, m1 )cho nên ta được
(z, m1 ) = 1 khi và chỉ khi (y, m1 ) = 1. Ta có ϕ(m1 ) số y như vậy.
Khi đó các số:
{m1 x + y|x = 0, 1, ..., m2 − 1}
đều nguyên tố với m1 và lập thành một hệ thặng dư đầy đủ môđun
m2 , do đó trong này có ϕ(m2 ) số nguyên tố với m2 , nghĩa là có
ϕ(m2 ) số nguyên tố đồng thời với m1 , m2 . Ta biết rằng có ϕ(m1 ) số
y như vậy nên tạo nên trong Sm ϕ(m1 ) hệ như trên, do đó có tất cả
ϕ(m1 )ϕ(m2 ) số z = m1 .x + y nguyên tố đồng thời với m1 và m2 do
đó nguyên tố với m.
Công thức tính ϕ(m)
Với m > 1, giả sử m có phân tích tiêu chuẩn:

m = p1 α1 .p2 α2 ......pk αk
ta có

ϕ(m) = m.(1 −

1
1
1
).(1 − ).......(1 − ).
p1
p2
pk

Ví dụ 1.2.3.

1
1
ϕ(100) = ϕ(22 .52 ) = 100.(1 − ).(1 − ) = 40
2
5
1.2.2

Hệ thặng dư đầy đủ

Định nghĩa 1.2.4. Ta xác định ánh xạ

f : Zm → Z
như sau: Với mỗi A ∈ Zm , ta lấy một số nguyên a ∈ A và đặt f (A) = a.
Như vậy f (A) ∈ A với mọi A ∈ Zm . Tập hợp ảnh f (Zm ) = H được gọi
là một hệ thặng dư đầy đủ môđun m.

Trần Thị Hường - K38C SP Toán

10

CHƯƠNG 1. ĐỒNG DƯ THỨC

Nhận xét 1.2.5.
Vậy một bộ phận H của vành số nguyên Z là một hệ thăng dư đầy
đủ môđun m khi và chỉ khi H thỏa mãn các điều kiện sau đây:
i) Nếu a, b ∈ H và a = b thì a ≡ b(mod m).
ii) Với mọi x ∈ H thì ta có a ∈ H sao cho a ≡ x(mod m).
Tính chất 1.2.6.
i) Mỗi hệ thặng dư đầy đủ môđun m đều gồm m số.
ii) Mọi hệ H gồm m số nguyên đôi một không đồng dư với nhau theo
môđun m đều lập thành một hệ thặng dư đầy đủ môđun m.
iii) Cho (a, m) = 1 và b là một số nguyên tùy ý và x chạy qua một hệ
thặng dư đầy đủ môđun m, thế thì ax + b cũng chạy qua một hệ
thặng dư đầy đủ môđun m.
Ví dụ 1.2.7. Với m = 8 ta có {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} là một hệ thặng dư
đầy đủ môđun 8, nó được gọi là hệ thặng dư đầy đủ không âm nhỏ nhất;
{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} là một hệ thặng dư đầy đủ môđun 8 và gọi là
hệ thặng dư đầy đủ giá trị tuyệt đối nhỏ nhất.
Tổng quát:

• H = {0, 1, 2, ..., m − 1} là một hệ thặng dư đầy đủ môđun m và
được gọi là hệ thặng dư đầy đủ không âm nhỏ nhất.
m−1 m−1
m−1
,−
+ 1, ....,
là
2

2
2
một hệ thặng dư đầy đủ môđun m và được gọi là hệ thặng dư đầy
đủ giá trị tuyệt đối nhỏ nhất.

• Nếu m là một số lẻ thì H =

−

• Nếu m là một số chẵn thì hệ thặng dư đầy đủ môđun m với giá trị
m m
m
tuyệt đối nhỏ nhất sẽ là − , − + 1, .., − 1 hoặc
2
2
2
m
m
m
− + 1, − + 2, ....,
.
2
2
2
Trần Thị Hường - K38C SP Toán

11


CHƯƠNG 1. ĐỒNG DƯ THỨC

1.2.3

Hệ thặng dư thu gọn

Định nghĩa 1.2.8. Cho ánh xạ:

f : Zm → Z
Tập hợp f (Z∗m ) ký hiệu Z∗m là tập gồm các phần tử khả nghịch của vành
Zm được gọi là một hệ thặng dư thu gọn môđun m. Như vậy, một bộ
phận K của vành số nguyên Z là một hệ thặng dư thu gọn môđun m khi
và chỉ khi nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:
i) Nếu a ∈ K thì (a, m) = 1.
ii) Nếu a, b ∈ K và a = b thì a ≡ b(mod m).
iii) Với mỗi x ∈ Z mà (x, m) = 1, thì tất có a ∈ K sao cho
a ≡ x(mod m).
Tính chất 1.2.9.
i) Mỗi hệ thặng dư thu gọn môđun m đều gồm ϕ(m) số.
ii) Mọi hệ K gồm ϕ(m) số nguyên, nguyên tố với m và đôi một không
đồng dư với nhau theo môđun m đều lập thành một hệ thặng dư
thu gọn môđun m.
iii) Cho (a, m) = 1 và x chạy qua một hệ thặng dư thu gọn môđun m
khi đó ax cũng chạy qua một hệ thặng dư thu gọn môđun m.
Ví dụ 1.2.10. Với m = 8 ta có {1, 3, 5, 7} là hệ thặng dư thu gọn không
âm nhỏ nhất và {−3, −1, 1, 3} là hệ thặng dư thu gọn giá trị tuyệt đối
nhỏ nhất.
Tổng quát:
Nếu m = p là một số nguyên tố thì {1, 2, ....., p − 1} là hệ thặng dư thu
gọn không âm nhỏ nhất và với p > 2 thì
p−1

p−1
là hệ thặng dư thu gọn giá trị
−
, ......, −2, −1, 1, 2, ...,
2
2
tuyệt đối nhỏ nhất.
Trần Thị Hường - K38C SP Toán

12


CHƯƠNG 1. ĐỒNG DƯ THỨC

1.2.4

Định lý Ơ-le

Định lý 2.
Nếu m là số nguyên dương và a là số nguyên thỏa mãn (a, m) = 1
thì

aϕ(m) ≡ 1(mod m)
Chứng minh. • Trước tiên ta chứng minh Nếu r1 , r2 , ...., rϕ(m) là các
số nguyên dương không vượt quá m và nguyên tố cùng nhau với m, a
là một số nguyên dương và (a, m) = 1 thì các số ar1 , ar2 , ..., arϕ(m)
cũng nguyên tố cùng nhau với m.Thật vậy, ta giả sử ngược lại là
(ari , m) > 1 với i nào đó i = 1, ϕ(m). Khi đó tồn tại ước nguyên tố
p của ari và m. Do đó p|a hoặc p|ri tức là hoặc p|a và p|m hoặc p|ri
và p|m. Tuy nhiên, không thể có p|ri và p|m vì ri và m nguyên tố

cùng nhau. Tương tự không thể có p|a và p|m vì (a, m) = 1.
Vậy điều giả sử là sai. Do đó (ari , m) = 1 với mọi i = 1, 2, ..., ϕ(m).

• Giả sử r1 , r2 , ..., rϕ (m) là các số nguyên dương không vượt quá m và
nguyên tố cùng nhau với m.Khi đó theo chứng minh trên ta có các
số ar1 , ar2 , ..., arϕ(m) cũng nguyên tố cùng nhau với m do (a, m) = 1
Như vậy, các số ar1 , ar2 , ..., arϕ(m) khi chia cho m sẽ có số dư là
r1 , r2 , ...., rϕ(m) xếp theo thứ tự nào đó.
Vì thế ta có ar1 .ar2 .....arϕ(m) ≡ r1 .r2 .....rϕ (m)(mod m).
Do đó: aϕ(m) .r1 .r2 ....rϕ(m) ≡ r1 .r2 ....rϕ (m)(mod m)
Vì (r1 .r2 ....rϕ(m) , m) = 1 nên aϕ(m) ≡ 1(mod m) đpcm.

1.2.5

Định lý Phec-ma

Định lý 3.
1. Nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên, (a, p) = 1 thì:

ap−1 ≡ 1(mod p)
Trần Thị Hường - K38C SP Toán

13


CHƯƠNG 1. ĐỒNG DƯ THỨC

2. Nếu p là số nguyên tố, a là số nguyên tùy ý thì:

ap ≡ a(mod p)

1.2.6

Định lý Vin-sơn

Định lý 4.
Cho p là một số nguyên tố. Khi đó:

(p − 1)! ≡ −1(mod p).
Chứng minh. Xét đa thức:
g(x) = (x − 1).(x − 2). · · · .(x − (p − 1))
và f (x) = g(x) − (xp−1 − 1).
Phương trình g(x) ≡ 0(mod p) có p − 1 nghiệm là 1, 2, . . . , p − 1
Theo định lý Phec-ma ta có xp−1 − 1 ≡ 0(mod p) có p − 1 nghiệm là
1, 2, . . . , p − 1. Vậy phương trình f (x) ≡ 0(mod p) cũng có p − 1 nghiệm
là 1, 2, . . . , p − 1. Mặt khác đa thức f(x) có bậc nhỏ hơn p − 1. Do đó
theo định lý Lagrange các hệ số của f(x) đồng dư với 0 theo môđun p.
Hệ số tự do của f(x) là (p − 1)! + 1 nên ta ⇒ (p − 1)! + 1 ≡ 0(mod p).
Hay (p − 1)! ≡ −1(mod p).
Vậy định lý được chứng minh.

Trần Thị Hường - K38C SP Toán

14


Chương 2

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA
ĐỒNG DƯ THỨC
2.1

Ứng dụng của đồng dư thức tìm số dư trong phép chia

Cơ sở lý luận
Cho a, m ∈ Z, m > 0. Giả sử a = mq + r(∗), 0 ≤ r < m. Theo điều kiện
tương đương của đồng dư thức ta có (*) tương đương với a ≡ r(mod m).
Do đó bài toán tìm số dư trong phép chia cho m chuyển về bài toán tìm
số r, 0 ≤ r < m thỏa mãn a ≡ r(mod m).
2.1.1

Sử dụng tính chất của đồng dư thức

Ví dụ 2.1.1. Tìm số dư trong phép chia 29455 − 3 cho 9
Giải.
Ta có 2945 ≡ 2(mod 9) suy ra 29455 − 3 ≡ 25 − 3(mod 9).
Mà 25 − 3 ≡ 2(mod 9). Vậy số dư trong phép chia 29455 − 3 cho 9 là 2.
Ví dụ 2.1.2. Tìm số dư trong phép chia A = 776776 + 777777 + 778778
cho 3 và cho 5.
Giải.
Ta có
776 ≡ −1(mod 3) nên 776776 ≡ 1(mod 3)
Trần Thị Hường - K38C SP Toán

15


CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC

777 ≡ 0(mod 3) nên 777777 ≡ 0(mod 3)
778 ≡ 1(mod 3) nên 778778 ≡ 1(mod 3)

Do đó 776776 + 777777 + 778778 ≡ 2(mod 3).
Vì 776 ≡ 1(mod 5) ⇒ 776776 ≡ 1(mod 5)
777 ≡ −3(mod 5) ⇒ 777777 ≡ −3777 (mod 5)
778 ≡ 3(mod 5) ⇒ 778778 ≡ 3778 (mod 5)
Suy ra 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 − 3777 + 3778 (mod 5)
776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 3.3777 − 3777 (mod 5)
776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 2.3777 (mod 5).
Mà 32 ≡ −1(mod 5) suy ra (32 )338 .3 ≡ 3(mod 5).
Suy ra A = 776776 + 777777 + 778778 ≡ 2(mod 5).
Vậy A chia cho 3 dư 2 và A chia cho 5 dư 2.
2.1.2

Sử dụng các định lý Ơ-le, định lý Phec-ma

Ví dụ 2.1.3. Tìm số dư trong phép chia 32005 cho 100.
Giải.
Vì (3, 100 = 1).Theo định lý Ơ-le ta có:

3ϕ(100) ≡ 1(mod 100)
Do đó 340 ≡ 1(mod 100).
Mà 100 = 22 .52 . Do đó ϕ(100) = 40
Suy ra 32005 = 340.50+5 ≡ 35 (mod 100) ≡ 43(mod 100).
Vậy 32005 chia cho 100 dư 43.
Ví dụ 2.1.4. Tìm số dư trong phép chia 109345 cho 14.
Giải.
Ta có 109 ≡ −3(mod 14) nên 109345 ≡ −3345 (mod 14)
Ta lại có (3, 14) = 1, ϕ(14) = 6.

Trần Thị Hường - K38C SP Toán

16


CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC

Theo định lý Ơ-le ta có

(−3)6 ≡ 1(mod 14)
Mà (−3)345 = (−3)57.6 .(−3)3 suy ra (−3)345 ≡ (−3)3 (mod 14) ≡ 1(mod 14).
Vậy số dư trong phép chia 109345 cho 14 là 1.
1996

Ví dụ 2.1.5. Tìm số dư trong phép chia 32
cho 11.
Giải.
Vì 11 là số nguyên tố nên theo định lý Phec-ma ta có:

310 ≡ 1(mod 11)
Ta cần tìm dư trong phép chia số mũ 21996 cho 10.
Ta có 21996 = 24k ≡ 6(mod 10), k ∈ Z suy ra 21996 = 10l + 6, l ∈ Z.
Suy ra (32 )1996 = 310l+6 ≡ 36 (mod 11) ≡ 3(mod 11).
Vậy dư trong phép chia (32 )1996 cho 11 là 3.
Ví dụ 2.1.6. Tìm dư trong phép chia 19971997 cho 13.
Giải.
Ta có 1997 ≡ 8(mod 13) ⇒ 19971997 ≡ 81997 (mod 13)
Theo định lý Phec-ma ta có 812 ≡ 1(mod 13) và 1997 = 12.166 + 5
Suy ra 81997 = 812.166+5 ≡ 85 (mod 13) ≡ 8(mod 13)
Vậy dư trong phép chia 19971997 cho 13 là 8.
Ví dụ 2.1.7. Cho m = p2 , p ∈ P, a ∈ Z, (a, p) = 1, n ∈ N. Tìm dư trong
phép chia an cho m.

Giải.
Ta có m = p2 , p ∈ P, (a, p) = 1 nên theo định lý Phec-ma ta có:

ap−1 ≡ 1(mod p)
Ta chứng minh ap(p−1) ≡ 1(mod p2 ). Thật vậy
ap(p−1) −1 = (a(p−1)p −1) = (ap−1 −1) (a(p−1)(p−1) + a(p−1)(p−2) + · · · + ap−1 + 1)
p số

Trần Thị Hường - K38C SP Toán

17


CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC

Ta có a(p−1) ≡ 1(mod p) ⇒ a(p−1).k ≡ 1(mod p) với k = 0, p − 1
.
.
suy ra ap−1 − 1 .. p và a(p−1)(p−1) + a(p−1)(p−2) + · · · + ap−1 + 1 .. p
Do vậy ap(p−1) ≡ 1(mod p2 )
Cụ thể:
Tìm số dư trong phép chia 32016 cho 121.
Giải
Ta có 121 = 112 , 11 ∈ P, (3, 11) = 1
Theo định lý Phec-ma 310 ≡ 1(mod 11) ⇒ 311.10 ≡ 1(mod 121). Hay
3110 ≡ 1(mod 121). Mà 2016 = 110.18 + 36 nên 32016 = 3110.18+36
suy ra 32016 ≡ 336 (mod 121)
Lại có 35 ≡ 1(mod 121) mà 36 = 5.7+1 nên 336 = 35.7+1 ≡ 3(mod 121).
Suy ra 32016 ≡ 3(mod 121).
Vậy số dư trong phép chia 32016 cho 121 là 3.

2.1.3

Sử dụng định lý Vin-sơn

Ví dụ 2.1.8. Tìm dư trong phép chia
a, 10! chia cho 11
b, 21! + 522 + 1 chia cho 23
Giải
a, Vì 11 ∈ P nên áp dụng định lý Vin-sơn ta được:
(11 − 1)! = 10! ≡ −1(mod 11).Do đó 10! ≡ 10(mod 11)
Vậy dư trong phép chia 10! cho 11 là 10.
b, Ta có 23 ∈ P , theo định lý Vin-sơn ta có
22! ≡ −1(mod 23)
suy ra 22! ≡ 22(mod 23)
suy ra 21! ≡ 1(mod 23).
Theo định lý Phec-ma ta có: 522 ≡ 1(mod 23)
21! + 522 + 1 ≡ 1 + 1 + 1 ≡ 3(mod 23).
Vậy số dư trong phép chia 21! + 522 + 1 cho 23 là 3.
Bài tập áp dụng
Trần Thị Hường - K38C SP Toán

18


CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC

Bài 1) Tìm số dư trong phép chia
a, 19442005 cho 7
b, 20042004 cho 11
c, 19972008 cho 2003

d, 32003 cho 13
Đáp số a, Số dư là 5
b, Số dư là 5
c, Số dư là 1
d, Số dư là 9
Bài 2) Tìm số dư trong phép chia
a, A = 32005 + 42005 cho 11, cho13
b, 570 + 750 cho 12
Đáp số a, Số dư khi A chia cho 11 là 2, số dư khi A chia cho 13 là 7.
b, Số dư là 2.
Bài 3) Tìm số dư (19971998 + 19981999 + 19992000 )10 chia cho 111.
Đáp số Số dư là 25.
Bài 4) Biết a100 ≡ 2(mod73), a101 ≡ 69(mod73).
Tìm số dư trong phép chia a cho 73.
Đáp số Số dư là 71.
Bài 5) Cho m là số tự nhiên lẻ. Hãy tìm
a, Số dư trong phép chia 2ϕ(m)−1 cho m.
b, Số dư trong phép chia 4ϕ(m)−1 cho m.
Đáp số a, Ta có (2, m) = 1 áp dụng định lý Ơ-le ta suy ra số dư là

m+1
.
2

b, Ta có (4, m) = 1. Xét 2 trường hợp của số lẻ m là
+ Nếu m = 4k + 3 thì m + 1 chia hết cho 4, suy ra số dư là

m+1
= k + 1.
4

Trần Thị Hường - K38C SP Toán

19