NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG CỦA VẬT LIỆU GRAPHENE

Header Page 1 of 161.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÍ

Khổng Thị Minh Hiền

NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG
CỦA VẬT LIỆU GRAPHENE

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
Ngành: Vật lí đại cương

GV hướng dẫn: TS. Ngô Thị Phương

Hồ Chí Minh - 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.
i

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Vật lí, Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tận
tình dạy dỗ em trong suốt bốn năm học tập tại khoa.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Ngô Thị Phương, người đã tận
tình hướng dẫn, quan tâm và giúp đỡ để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Nhân dịp này, em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã
luôn ở bên, cổ vũ, động viên em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt

nghiệp.
Tp.Hồ Chí Minh, ngày 18 tháng 04 năm 2016
Sinh viên

Khổng Thị Minh Hiền

Footer Page 2 of 161.


Header Page 3 of 161.

Mục lục
Lời cảm ơn

i

Mục lục

iii

Danh sách hình vẽ

iv

Mở đầu

1

1 Cơ sở lí thuyết của graphene
1.1 Giới thiệu vật liệu carbon . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Một số tính chất vật lí của graphene . . . . . . . .
1.2.1 Graphene là vật liệu mỏng nhất trong tất cả
1.2.2 Tính dẫn điện . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Độ bền và độ cứng cơ học . . . . . . . . . .
1.3 Lai hóa orbital nguyên tử trong graphene . . . . .
1.4 Cấu trúc tổ ong của graphene . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

4
4
7
7
7
7
8
9

.
.
.
.
.
.

.
.

11
11
12
12
13
13
15
16
17

3 Mô phỏng cấu trúc vùng năng lượng trong cấu trúc tinh thể graphene
3.1 Giới thiệu phần mềm MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Cấu trúc vùng năng lượng của graphene trong không gian hai chiều . . . .
3.2.1 Các thông số lập trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Thủ thuật lập trình trong Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Cấu trúc vùng năng lượng trong không gian hai chiều . . . . . . . .
3.3 Cấu trúc vùng năng lượng của graphene trong không gian ba chiều . . . .
3.3.1 Thủ thuật lập trình trong Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Cấu trúc vùng năng lượng trong không gian ba chiều . . . . . . . .

19
19
20
20
21
21
22

22
23

. .
. .
các
. .
. .
. .
. .

. . . . .
. . . . .
vật liệu
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .

2 Cấu trúc vùng năng lượng của graphene
2.1 Mô hình liên kết chặt cho electron trong tinh thể tổ ong
2.2 Cơ sở lí thuyết vật lí chất rắn . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Trường thế tuần hoàn trong tinh thể . . . . . . .
2.2.2 Định lí Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Bài toán tìm vùng năng lượng trong tinh thể graphene .
2.3.1 Trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Trường hợp tinh thể graphene . . . . . . . . . . .
2.3.3 Tọa độ điểm K . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Footer Page 3 of 161.

ii

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.


Header Page 4 of 161.
iii

MỤC LỤC

3.4

Cận cảnh cấu trúc năng lượng trong vùng Brioullin thứ nhất . . . . . . . . 26

Kết luận

31

Tài liệu tham khảo

31

Footer Page 4 of 161.


Header Page 5 of 161.

Danh sách hình vẽ
1

Số lượng các công trình nghiên cứu về graphene tăng vọt sau năm 2004 . .

2

1.1
1.2

.

4

.
.
.

5
5
6

.

6

1.7
1.8

Than chì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sự khác nhau giữa các liên kết C − C trong cấu trúc của kim cương và
graphite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hai dạng thù hình của carbon được phát hiện trước graphene. . . . . . .

Graphene tồn tại lơ lửng như mặt sóng vi mô. . . . . . . . . . . . . . . .
Graphene - thành phần cơ bản cấu tạo nên graphite, fullerene và ống nano
carbon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cấu hình electron của nguyên tử carbon ở trạng thái cơ bản và trạng thái
kích thích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lai hóa orbital nguyên tử trong graphene . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cấu trúc tổ ong và vùng Brioullin thứ nhất của graphene . . . . . . . . .

2.1

Mô hình electron liên kết chặt trong cấu trúc tinh thể dạng tổ ong. . . . . 14

3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10

Cửa sổ làm việc của phần mềm MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cấu trúc vùng năng lượng của graphene trong không gian hai chiều . . . .
Cấu trúc vùng năng lượng của graphene trong không gian ba chiều . . . .
Nón Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vùng năng lượng trong vùng Brioullin thứ nhất trên mặt phẳng vector sóng.
Đường viền năng lượng trong vùng Brioullin thứ nhất. . . . . . . . . . . .
Vùng năng lượng trong vùng Brioullin thứ nhất trên mặt phẳng vector sóng.

Silicon và cấu trúc tinh thể của silicon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vùng năng lượng của silicon trong vùng Brioullin thứ nhất . . . . . . . . .
Cấu trúc vùng năng lượng của silicon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3
1.4
1.5
1.6

Footer Page 5 of 161.

iv

. 8
. 9
. 10

19
22
24
24
26
27
27
28
29
29


Header Page 6 of 161.

Mở đầu
Trong bối cảnh hội nhập kinh tế quốc tế như hiện nay, khoa học và công nghệ thực
sự đóng vai trò động lực đẩy mạnh công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước. Sự phát triển
của khoa học đã mang đến nhiều diện mạo mới cho đời sống. Khoảng hơn một thập niên
trở lại đây, cuộc sống của con người đã thay đổi cách chóng mặt nhờ các sản phẩm công
nghệ vô cùng tinh vi và hiện đại, mạng lưới truyền thông, y học phát triển, các thiết bị
phục vụ cho đời sống con người không ngừng được nâng cao. Hiện nay công nghệ điện tử
truyền thống đang tiến đến những giới hạn cuối cùng của kích thước thang vi mô. Trong
bối cảnh như vậy, ngành khoa học và công nghệ nano ra đời, mở ra hướng nghiên cứu
mới cho lĩnh vực điện tử. Trong đó, khoa học vật liệu được nhìn nhận là tâm điểm trong
ngành công nghệ nano do các tính chất cơ bản của vật liệu thay đổi mạnh mẽ khi kích
thước của nó giảm tới mức siêu nhỏ. Nổi bật trong số các vật liệu đáng được quan tâm
nhất ở thế kỉ 21 là graphene, vật liệu có bề dày bằng kích thước một nguyên tử.
Kể từ khi ống nano carbon được phát hiện và nghiên cứu vào đầu những năm 90 của
thế kỉ trước, các nhà khoa học đã từng nhận định rằng không có gì mà ống nano carbon
không thể làm được. Sự đóng góp của ống nano carbon vào các ngành công nghiệp mũi
nhọn hiện nay khá phong phú từ điện tử, động cơ siêu nhỏ tới bộ nhớ, pin và cả trong lĩnh
vực vũ trụ. Nhưng từ khi một lớp graphene được chế tạo thành công vào năm 2004, nó
đã gây chấn động trong thế giới khoa học và trở thành tâm điểm nghiên cứu của lĩnh vực
vật liệu trong thập kỉ 2000 - 2009. Không chỉ là vật liệu thông thường mà graphene được
đánh giá là “siêu vật liệu” chưa từng có trong thế giới vật liệu từ trước đến nay, những
tính chất vật lí của graphene đều được chọn làm giới hạn trên cho mọi vật liệu: siêu cứng,
siêu bền và siêu mỏng. Chính những tính chất vật lí hết sức đặc biệt đó, graphene được
hi vọng sẽ mở ra những ứng dụng to lớn cho các ngành công nghiệp mũi nhọn, đặc biệt
trong lĩnh vực điện tử và có tiềm năng thay thế vật liệu silicon 1 trong tương lai.
Năm 2004, hai nhà bác học Andre Geim và Konstantin Novoselov, hai nhà vật lí gốc
Nga hiện đang làm việc tại trường Đại học Manchester ở Vương quốc Anh, đã tìm ra một
cách đơn giản để bóc những lớp phân tử dày đơn nguyên tử của các nguyên tử carbon
khỏi các khoanh graphite bằng băng keo [1]. Kể từ đó, số bài báo cáo về graphene trên

các tạp chí gia tăng đột biến, đạt gần 3500 bài năm 2010 [Hình 1] và hàng trăm các công
trình nghiên cứu về những ứng dụng của graphene trong ngành điện tử ồ ạt được công
bố từ siêu tụ điện graphene, pin graphene, transistor graphene, quang detector graphene
đến mạng lưới internet graphene. . .
1

Trong tiếng Anh, silicon chỉ nguyên tố silic; trong tiếng Việt, silicon là một loại vật liệu tổng hợp từ
thành phần chủ yếu là nguyên tố silic, từ silicon trong luận văn được hiểu theo nghĩa tiếng Anh.

Footer Page 6 of 161.

1


Header Page 7 of 161.
DANH SÁCH HÌNH VẼ

2

Hình 1: Số lượng các công trình nghiên cứu về graphene tăng vọt sau năm 2004 [2].
Tại Việt Nam ngành khoa học và công nghệ nano đã bắt đầu phát triển và được đưa
vào giảng dạy tại các trường Đại học trên cả nước. Các nhóm nghiên cứu của Viện tiên
tiến Khoa học và Công nghệ, Đại học Bách khoa Hà Nội và Viện Vật lí Việt Nam cũng
đã triển khai các dự án nghiên cứu những tính chất cơ bản cũng như khả năng ứng dụng
của graphene trong ngành quang điện tử.
Tại Đại học Sư phạm Tp.HCM, môn học “Vật lí nano và ứng dụng” bắt đầu được đưa
vào giảng dạy từ năm 2013 cho sinh viên với mục đích cung cấp những kiến thức cơ bản
về ngành khoa học và vật liệu nano. Tuy nhiên, đến nay graphene đối sinh viên Việt Nam
nói chung và sinh viên tại Đại học Sư phạm nói riêng còn là vật liệu rất mới mẻ và hầu
như sinh viên cũng chưa tự trang bị cho mình kiến thức về loại vật liệu này. Mặt khác,

tại các trường Đại học trên cả nước, việc nghiên cứu về vật liệu graphene chỉ dừng lại ở
mức tìm hiểu lí thuyết như lịch sử hình thành các vật liệu carbon, trong đó có graphene,
cấu trúc tinh thể graphene, các cách chế tạo graphene và chủ yếu biên dịch từ các bài báo
nước ngoài. Thế mạnh nhất của vật liệu này là tính chất siêu dẫn điện cùng với những
ứng dụng rộng rãi trong ngành điện tử như chế tạo các transistor với kích thước siêu nhỏ,
khả năng hoạt động với tốc độ cao lại chưa được chú trọng nghiên cứu nhiều. Xuất phát
từ những lí do đó, tôi quyết định chọn đề tài: “Nghiên cứu cấu trúc vùng năng lượng của
vật liệu graphene”.
Mặc dù điều kiện vật chất, cơ sở tại trường Đại học Sư phạm Tp.HCM còn chưa
đủ đáp ứng cho các nghiên cứu sâu về tính chất điện của graphene, nhưng với những
kiến thức đã được tích lũy từ các môn cơ học lượng tử, vật lí chất rắn, vật lí nano và
ứng dụng, phương pháp số lập trình, cùng với đó là các nghiên cứu đi trước từ khắp
các nước trên thế giới, tôi tin đề tài “Nghiên cứu cấu trúc vùng năng lượng của vật liệu
graphene” hoàn toàn có thể được nghiên cứu cách bài bản, đầy đủ thông tin, kiến thức
và trở thành một đề tài có ích cho sinh viên khoa Vật lí, trường Đại học Sư phạm Tp.HCM.

Footer Page 7 of 161.


Header Page 8 of 161.
DANH SÁCH HÌNH VẼ

3

Nhận thức được tầm ảnh hưởng của graphene trong ngành khoa học, cũng như để
luận văn có thể trở thành tài liệu tham khảo chung cho các sinh viên, tác giả nghiên cứu
đề tài này với những mục đích đặt ra như sau:
• Hiểu được sự hình thành cấu trúc tinh thể dạng tổ ong của graphene.
• Tính toán được hệ thức tán sắc thể hiện mối liên hệ giữa vùng năng lượng và vector
sóng k.

• Mô phỏng trên phần mềm MATLAB cho ra được hình ảnh cấu trúc vùng năng
lượng của graphene.
• So sánh được sự khác biệt giữa cấu trúc vùng năng lượng của graphene và silicon.
Luận văn dài 32 trang được chia thành ba chương:
Chương 1. Cơ sở lí thuyết của graphene: giới thiệu về họ vật liệu carbon, một
số tính chất vật lí nổi bật của graphene và giải thích sự hình thành cấu trúc mạng tổ ong
dựa vào thuyết lai hóa orbital.
Chương 2. Cấu trúc vùng năng lượng của graphene: tính toán hệ thức tán sắc
năng lượng dựa vào mô hình electron liên kết chặt.
Chương 3. Mô phỏng cấu trúc vùng năng lượng trong cấu trúc tinh thể
graphene: bằng cách lập trình trên phần mềm MATLAB, thu được hình ảnh vùng năng
lượng của graphene.

Footer Page 8 of 161.


Header Page 9 of 161.

Chương 1
Cơ sở lí thuyết của graphene
1.1

Giới thiệu vật liệu carbon

Carbon là nguyên tố thứ sáu trong bảng tuần hoàn hóa học, kí hiệu C và có hóa trị
4. Carbon có khả năng tự liên kết hóa học với chính nó và các nguyên tố khác tạo thành
nhiều hợp chất hữu cơ khác nhau. Chính những hợp chất phong phú có chứa carbon góp
phần duy trì sự sống trên Trái Đất, vì vậy carbon được xem là nguyên tố kì diệu và là
một trong những nguyên tố quan trọng nhất trong bảng tuần hoàn hóa học.
Các dạng thù hình khác nhau của carbon được tạo nên do sự liên kết khác nhau giữa

các nguyên tử carbon trong mỗi mạng tinh thể. Dạng thù hình gắn bó lâu đời nhất và
được con người biết đến đầu tiên là graphite, tồn tại trong than chì; trong đó mỗi nguyên
tử carbon liên kết với ba nguyên tử carbon khác gần nhất tạo ra cấu trúc hình lục giác.

Hình 1.1: Than chì.
Khi đưa vào điều kiện áp suất rất cao, các nguyên tử carbon lập tức sắp xếp theo
một trật tự hoàn toàn khác tạo thành dạng thù hình mới gọi là kim cương; trong đó mỗi
nguyên tử carbon liên kết với bốn nguyên tử carbon khác gần nhất tạo thành bốn mối
liên kết cộng hóa trị rất mạnh so với ba mối liên kết trong graphite [Hình 1.2]. Do vậy,
dù cùng được cấu tạo từ các nguyên tử carbon nhưng than chì rất dễ vỡ vụn, trong khi
đó kim cương lại hoàn toàn ngược lại, rất cứng và bền chắc.
Năm 1985, nhóm ba nhà khoa học người Mỹ và Anh đã phát hiện ra dạng thù hình
mới của carbon là fullerene [3] hay còn gọi là C60 , gồm 60 nguyên tử carbon xếp với nhau
thành hình giống quả bóng đá [Hình 1.3(a)]. Sau đó ống nano carbon tiếp tục được khám

Footer Page 9 of 161.

4


Header Page 10 of 161.
5

1.1. GIỚI THIỆU VẬT LIỆU CARBON

Hình 1.2: Sự khác nhau giữa các liên kết trong cấu trúc của kim cương và graphite. Bên
trái: mỗi nguyên tử carbon liên kết với bốn nguyên tử carbon khác gần nhất tạo thành
bốn liên kết cộng hóa trị. Bên phải: mỗi nguyên tử carbon liên kết với ba nguyên tử
carbon khác gần nhất tạo ba liên kết cộng hóa trị.
phá năm 1991 bởi nhà vật lí người Nhật Bản [4], gồm một lớp than chì cuộn lại thành

hình một cái ống [Hình 1.3(b)]. Năm 2004 đánh dấu cột mốc đáng nhớ nhất trong thế
giới khoa học nano. Việc "siêu vật liệu" graphene ra đời là sự bổ sung hoàn hảo nhất cho
họ vật liệu nhà carbon theo các chiều không gian: fullerene (0D), ống nano carbon (1D),
graphene (2D) và graphite (3D).

(a) Cấu trúc quả banh của fullerene.

(b) Cấu trúc dạng ống nano carbon.

Hình 1.3: Hai dạng thù hình của carbon được phát hiện trước graphene.
Graphene đã từng được xem xét nghiên cứu trong quá khứ từ năm 1947 [5], nhưng do
hạn chế về mặt công nghệ, các nhà khoa học không thể quan sát được những lớp graphene
tồn tại trong than chì. Chính vì vậy, sự ra đời của graphene là minh chứng rõ nét cho sự
phát triển ngày càng vượt bậc của công nghệ trong thế kỉ 21. Dưới kính hiển vi, Geim,
Novoselov và các cộng sự đã quan sát được những mảng graphene lơ lửng trong trạng

Footer Page 10 of 161.


Header Page 11 of 161.
6

1.1. GIỚI THIỆU VẬT LIỆU CARBON

(a)

(b)

Hình 1.4: Graphene không tồn tại trong một mặt phẳng tuyệt đối (a), nhưng tồn tại với
mặt lồi lõm của không gian 3 chiều (b).

thái tự do không phẳng mà lồi lõm như mặt sóng vi mô [6] [Hình 1.4].
Câu hỏi được đặt ra lúc này vậy graphene là gì? Graphene là một lớp nguyên tử carbon
có độ dày bằng một nguyên tử. Cấu trúc của graphene có dạng mạng lưới lục giác nối kết
các nguyên tử carbon tạo thành cấu trúc giống hình tổ ong. Thực chất graphite, loại vật
liệu đã được phát hiện từ rất lâu, chính là tổ hợp của rất nhiều lớp graphene.
Theo trình tự lịch sử, graphene là dạng thù hình mới nhất của carbon được phát hiện
sau cùng, nhưng chính graphene là thành phần cơ bản cấu tạo nên graphite, fullerene và
ống nano carbon [Hình 1.5]. Sự ra đời của graphene kéo theo rất nhiều công trình nghiên
cứu về tính chất của graphene nhằm khai thác triệt để những ứng dụng tiềm tàng của nó
vào các ngành khoa học nói chung, đặc biệt là ngành quang điện tử.

Hình 1.5: Lớp trên cùng: graphene gồm một lớp nguyên tử carbon. Từ trái sang phải:
graphene được cuộn lại thành hình tròn tạo nên C60 , cuộn lại thành hình ống tạo ống
nano carbon, rất nhiều lớp graphene xếp chồng lên nhau tạo nên graphite [7].

Footer Page 11 of 161.


Header Page 12 of 161.
1.2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT VẬT LÍ CỦA GRAPHENE

1.2

7

Một số tính chất vật lí của graphene

Kích thước của graphene được tính theo đơn vị nanomet. Tại thang tỉ lệ nanomet, các
tính chất vật lí, hóa học của vật liệu hoàn toàn thay đổi so với ban đầu, chúng trở thành
những tính chất mới phụ thuộc vào kích thước của vật liệu.

1.2.1

Graphene là vật liệu mỏng nhất trong tất cả các vật liệu
Khoảng cách giữa hai lớp graphene trong than chì là 0.34 nm,
như vậy cứ 1 mm than chì thì có 3 triệu lớp graphene xếp chồng
lên nhau.
Theo nhóm nghiên cứu của Geim, mắt người không thể nhìn
thấy màng graphene và chỉ được quan sát dưới kính hiển vi tối
tân nhất, độ dày của một lớp graphene được xác định bằng một
nguyên tử.

1.2.2

Tính dẫn điện

Khả năng dẫn điện của một vật liệu được đánh giá dựa trên
tính linh động của các electron trong vật liệu đó. Tính linh động trên mặt phẳng graphene
tinh khiết không pha tạp chất đạt đến 200 000 cm2 /V.s, giá trị này gấp 140 lần so với tính
linh động của silicon (1 400 cm2 /V.s), gấp đôi so với ống nano carbon (100 000 cm2 /V.s)
và gấp gần 3 lần so với indium antimonide (77 000 cm2 /V.s) [8].
Với độ mỏng đạt mức nguyên tử và tính linh động rất cao, trong tương lai, graphene
có triển vọng thay thế những chip bán dẫn bằng silicon trong các mạch máy tính, cho
ra đời những chip bán dẫn có kích thước mỏng hơn, tốc độ xử lí nhanh hơn và tiết kiệm
năng lượng hơn. Ngoài ra các nhà khoa học cũng đang nghiên cứu chế tạo những bóng
đèn graphene với dự đoán hiệu suất hoạt động tốt hơn 10% và kéo dài tuổi thọ hơn so
với các bóng đèn LED hiện nay trên thị trường.

1.2.3

Độ bền và độ cứng cơ học

Độ bền và độ cứng (suất Young) 1 lí thuyết của vật rắn thường được quy về độ bền
của các liên kết hóa học, tức là độ lớn của lực tác động để làm gãy các liên kết hóa học
trong cấu trúc tinh thể của vật rắn.
Lực cần thiết để làm thủng một tấm phim graphene là 42 N/m tương đuơng với 125
GPa, và độ cứng 342 N/m tương đương 1 020 GPa [9]. Thép thường được dùng như một
tiêu chuẩn so sánh cho sức bền của vật liệu. Bảng 1.1 cho thấy graphene có cơ tính tương
tự như ống than nano nhưng độ bền lớn gấp 100 lần và độ cứng gấp 5 lần so với thép.
1

Độ bền và độ cứng liên hệ với nhau qua công thức: σ = EG/a; trong đó σ là độ bền (strain energy),
E là suất Young, G là năng lượng bề mặt và a là khoảng cách giữa hai nguyên tử. Các vật rắn thường
có độ bền trong khoảng E/5 đến E/10.

Footer Page 12 of 161.


Header Page 13 of 161.
1.3.

8

LAI HÓA ORBITAL NGUYÊN TỬ TRONG GRAPHENE

Độ cứng và sức bền của graphene có được là nhờ các mối liên kết cộng hóa trị C-C rất
bền chặt giữa các nguyên tử carbon cũng như sự vắng mặt của các khiếm khuyết trong
cấu trúc của graphene.
Vật liệu
Thép

Ống than nano
Graphene
Kim cương
Poly

Độ bền (GPa 2 )
0.25 - 1.2

Độ cứng 3 (GPa)
203

80 - 150
125
60 - 225
0.06

1000
1020
1220
2.5

Bảng 1.1: So sánh cơ tính giữa thép và các vật liệu carbon.
Tính linh động cao cùng với các đặc điểm siêu cứng, siêu bền, graphene đã và đang
được nghiên cứu để chế tạo những tấm màng trong suốt, dẫn điện, mỏng và dẻo dai.
Những tấm màng như thế vô cùng cần thiết trong các ứng dụng điện tử, đặc biệt trong
việc sản xuất màn hình điện thoại cảm ứng, tạo ra những chiếc smartphone không thể
vỡ. Thêm vào đó, với độ dày chỉ bằng một lớp nguyên tử, graphene hoàn toàn có thể tạo
nên các thiết bị điện tử mỏng bằng một tờ giấy và có khả năng gấp mở linh hoạt.

1.3

Lai hóa orbital nguyên tử trong graphene

Ở trạng thái cơ bản, cấu hình electron của nguyên tử carbon là 1s2 2s2 2p2 ; trong đó hai
electron ở phân lớp trong cùng 1s không tham gia vào các liên kết hóa học. Bốn electron
còn lại lần lượt chiếm giữ các orbital của phân lớp 2s và 2p. Vì năng lượng của các orbital
2p cao hơn khoảng 4eV so với orbital 2s, nên ở trạng thái kích thích, một electron của
phân lớp 2s dễ dàng bị kích thích nhảy lên chiếm giữ một orbital còn trống của phân lớp
2p [Hình 1.6].

Hình 1.6: Cấu hình electron của nguyên tử carbon ở trạng thái cơ bản (trái) và trạng thái
kích thích (phải).
2
3

GPa (Giga Pascal) = 109 Pa. MPa (Mega Pascal) = 106 Pa.
Còn gọi là môđun Young (Young’s modulus.)

Footer Page 13 of 161.


Header Page 14 of 161.
9

1.4. CẤU TRÚC TỔ ONG CỦA GRAPHENE

(a)

(b)

Hình 1.7: (a) Lai hóa sp2 tạo thành 3 orbital lai hóa giống nhau. (b) Mỗi nguyên tử carbon
lai hóa sp2 tạo ba orbital lai hóa sp2 giống nhau, orbital 2pz còn lại vuông góc với mặt
phẳng chứa ba orbital lai hóa.
Lai hóa orbital nguyên tử là sự tổ hợp của các orbital có mức năng lượng xấp xỉ nhau
trong cùng một nguyên tử để được các orbital lai hóa giống nhau nhưng định hướng khác
nhau trong không gian. Các dạng lai hóa thường gặp trong mạng tinh thể chất rắn gồm
sp1 , sp2 và sp3 .
Cấu trúc dạng tổ ong của graphene được tạo nên do sự lai hóa sp2 giữa các nguyên
tử carbon. Lai hóa sp2 là sự tổ hợp của một orbital 1s với hai orbital 2p của cùng một
nguyên tử tham gia liên kết tạo thành ba orbital lai hóa sp2 giống hệt nhau nằm trong
một mặt phẳng, định hướng từ tâm đến đỉnh của một tam giác đều, góc liên kết giữa hai
orbital lai hóa bằng 120◦ [Hình 1.7(a)]. Orbital 2pz còn lại vuông góc với mặt phẳng chứa
ba orbital lai hóa [Hình 1.7(b)]. Mỗi nguyên tử carbon tham gia lai hóa sp2 tạo nên ba
orbital lai hóa sp2 , ba orbital lai hóa này có sự xen phủ trục với ba orbital lai hóa của ba
nguyên tử carbon khác gần nhất tạo nên ba liên kết σ, mỗi orbital 2pz còn lại của một
nguyên tử không tham gia lai hóa sẽ tiến hành xen phủ bên với orbital 2pz của nguyên
tử gần kề tạo nên các liên kết π. Cứ như vậy, các nguyên tử carbon lần lượt liên kết với
nhau tạo thành cấu trúc hình tổ ong có tính tuần hoàn.

1.4

Cấu trúc tổ ong của graphene

Mạng tổ ong trong tinh thể graphene được tạo thành do sự lai hóa sp2 giữa các nguyên
tử carbon và được xem như gồm hai mạng tinh thể con Bravais 4 A và B lồng ghép vào
nhau. Khoảng cách giữa hai nguyên tử carbon là 0.142 nm.
Hình 1.8a mô tả cấu trúc dạng tổ ong của graphene; trong đó mỗi nguyên tử carbon
trên mạng con A sẽ liên kết với ba nguyên tử carbon gần nhất trên mạng con B và được
xác định thông qua ba vector
a √

δ1 = ( 3 + ey ),
2
4

a √
δ2 = (− 3ex + ey ),
2

δ3 = −aey

(1.1)

Mạng Bravais là tập hợp tất cả các điểm có bán kính R được xác định theo R = n1 a1 + n2 a2 với
n1 , n2 là các số nguyên,; a1 , a2 là các vector cơ sở của mạng tinh thể.

Footer Page 14 of 161.


Header Page 15 of 161.
10

1.4. CẤU TRÚC TỔ ONG CỦA GRAPHENE

(a)

(b)

Hình 1.8: (a) Cấu trúc tổ ong graphene gồm hai mạng con A và B. Các vector δ1 , δ2 và
δ3 nối hai nguyên tử carbon ở vị trí gần nhau nhất. a1 và a2 là các vector cơ sở trong
mạng Bravais. (b) Cấu trúc mạng đảo 5 của graphene; a∗1 và a∗2 là các vector cơ sở trong

mạng đảo. Vùng được bôi đậm tương ứng với vùng Brioullin thứ nhất với Γ là trung tâm,
ở sáu góc của vùng là sáu điểm K và K , còn được gọi là điểm Dirac.
và các vector cơ sở trong mạng Bravais được xác định
√
√
√
3a
a1 = 3aex và a2 =
(ex + 3ey ).
2

(1.2)

Từ
√ các vector cơ sở, hằng số mạng được định nghĩa bằng module của vector cơ sở
a
˜ = 3a = 0.24 nm. Trường hợp mạng đảo [Hình 1.8(b)], các vector cơ sở được xác định
bằng
ey
4π
2π
ex − √
và a∗2 =
ey .
(1.3)
a∗1 = √
3a
3a
3
Theo lí thuyết vật lí chất rắn, việc giải phương trình năng lượng (k ) ứng với vector

sóng k nằm ngoài vùng Brioullin thứ nhất tương đương với việc giải (k) ứng với vector
sóng k nằm trong vùng Brioullin thứ nhất nếu k và k tuân theo hệ thức k = k − G; trong
đó G là vector mạng đảo. Theo đó việc giải bài toán xác định vùng năng lượng trong cấu
trúc tinh thể của graphene quy về bài toán tìm các giá trị được phép của năng lượng ứng
với các vector sóng nằm trong vùng Brioullin thứ nhất.

5

Mạng đảo là mạng tinh thể biểu diễn trong không gian xung lượng. Mạng đảo của một mạng đảo là
mạng tinh thể ban đầu.

Footer Page 15 of 161.


Header Page 16 of 161.

Chương 2
Cấu trúc vùng năng lượng của
graphene
Cấu trúc tổ ong của graphene được tạo nên do sự lai hóa sp2 giữa các nguyên tử
carbon; trong đó ba electron ở các phân lớp 2s, 2px và 2py tham gia vào sự hình thành
liên kết σ, một electron còn lại của phân lớp 2pz hình thành liên kết π, các electron này
được gọi là electron π. Chính các electron π này quyết định đến tính chất điện của vật
liệu graphene. Trong chương này, vùng năng lượng của graphene sẽ được nghiên cứu và
tính toán cụ thể thông qua mô hình electron liên kết chặt (phương pháp gần đúng tight
- binding); trong đó sẽ xem xét trường hợp tổng quát cho một tinh thể chất rắn bất kì
trước khi xét cụ thể cho tinh thể graphene.

2.1

Mô hình liên kết chặt cho electron trong tinh thể
tổ ong

Xét một tinh thể chất rắn bất kì, trong đó các electron liên kết chặt chẽ với lõi nguyên
tử. Trạng thái của electron trong trường hợp này gần giống với trạng thái nguyên tử hơn
là trạng thái của các electron tự do. Nếu sử dụng phương pháp tính toán gần đúng cho
các electron tự do thì phải xét đến tổ hợp của rất nhiều hàm sóng phẳng, điều này gây
bất lợi trong quá trình tính toán. Trong trường hợp này, phương pháp gần đúng mô hình
electron liên kết chặt được sử dụng, thích hợp việc nghiên cứu tính chất của các electron
ở những lớp bên trong nguyên tử.
Ý tưởng chung cho phương pháp này là viết ra được dạng hàm sóng của electron trong
tinh thể được xây dựng từ hàm sóng electron trong mỗi nguyên tử. Từ đó giải phương trình
Schr¨odinger tìm được hệ thức tán sắc thể hiện mối liên hệ giữa năng lượng và vector sóng.
Trước tiên xét trường hợp đơn giản nhất của mạng tinh thể Bravais, một ô cơ sở
chứa một nguyên tử và một electron một nguyên tử.
1

Ô cơ sở là ô đơn vị trong mạng tinh thể có thể tích nhỏ nhất.

Footer Page 16 of 161.

11

1


Header Page 17 of 161.
12

2.2. CƠ SỞ LÍ THUYẾT VẬT LÍ CHẤT RẮN

Toán tử Hamiltonian cho một electron bất kì thuộc tinh thể là
H=

− 2 2
∇ +
2m

N

V (r − Rj );

(2.1)

j=1

∂
∂
trong đó ∇2 là toán tử Laplacian trong không gian hai chiều, ∇ = ∂x
+ ∂y
với vị trí của
electron được xác định bởi tọa độ r(x; y), m là khối lượng của electron, Rj = mj a1 + nj a2
là vector mạng với mj , nj là các số nguyên, N là tổng các nguyên tử đặt tại các nút mạng
của tinh thể.

Phép tính toán gần đúng mô hình electron liên kết chặt giả thiết rằng electron thuộc
nguyên tử nào chỉ chịu tác dụng của trường lực thế do nguyên tử đó gây ra.
Theo ý đó, từ (2.1), Hamiltonian của một electron thuộc nguyên tử a, kí hiệu H a lúc
này là
− 2 2

∇ + V (r − Ra ).
(2.2)
Ha =
2m
Phương trình trên đã bỏ qua đại lượng thế năng ∆V = N
j=a V (r − Ra ) do các nguyên
tử còn lại của tinh thể tác động lên electron đang xét.

2.2
2.2.1

Cơ sở lí thuyết vật lí chất rắn
Trường thế tuần hoàn trong tinh thể

Khi xét chuyển động của các electron trong trường tinh thể của chất rắn, tính chất
quan trọng nhất của trường lực này là tính tuần hoàn của cấu trúc tinh thể trong không
gian. Điều này được suy ra từ tính chất đối xứng tịnh tiến của mạng tinh thể. Hàm thế
năng V (r) tuần hoàn với chu kì vector mạng
V (r + R) = V (r);

(2.3)

trong đó r là vector vị trí của electron, R là vector mạng tinh thể.
Thế năng này tuần hoàn trong không gian mạng thuận và có thể phân tích thành
chuỗi Fourier
V (r) =
VG . eiGr ;
(2.4)
G

trong đó VG là các hệ số phân tích.
Từ (2.3) và (2.4):
VG . eiG(r+R) =
G

VG . eiGr .

(2.5)

G

Đẳng thức này thỏa mãn với mọi R nếu
eiGR = 1

Footer Page 17 of 161.

(2.6)


Header Page 18 of 161.
2.3. BÀI TOÁN TÌM VÙNG NĂNG LƯỢNG TRONG TINH THỂ GRAPHENE

13

hay
GR = 2πn;

(2.7)

nghĩa là G chính là vector mạng đảo.

2.2.2

Định lí Bloch

Hàm sóng của electron trong tinh thể chất rắn có dạng
c (k + G) eiGr .

ψk (r) = eikr

(2.8)

G

Đặt uk (r) =

G

c(k + G) eiGr thì
ψk (r) = eikr uk (r).

(2.9)

Hàm uk (r) chính là một chuỗi Fourier theo các vector mạng đảo, vì vậy uk (r) cũng là
hàm tuần hoàn với chu kì vector mạng.
Nếu xét hàm uk (r + R) thì
c(k + G) eiGr eiGR .

c(k + G) eiG(r+R) =

uk (r + R) =

(2.10)

G

G

Vì G là vector mạng đảo nên eiGR = 1, hệ thức (2.10) có thể viết lại
uk (r + R) = uk (r).

(2.11)

Hàm sóng có dạng (2.9), trong đó uk (r) thỏa (2.11) được gọi là hàm Bloch.

2.3

Bài toán tìm vùng năng lượng trong tinh thể
graphene

Sự không tương đương giữa các nguyên tử carbon lân cận dẫn đến mạng graphene
được xem là sự kết hợp giữa hai mạng tinh thể gồm các nguyên tử carbon ở vị trí A và
các nguyên tử ở vị trí B [Hình 2.1]. Do đó hàm sóng toàn phần mô tả trạng thái của
electron trong tinh thể graphene có thể xem là sự tổ hợp tuyến tính các trạng thái của
electron trong hai mạng con A và B.
(A)

(B)

ψk (r) = ak ψk (r) + bk ψk (r);

(A)

(2.12)

(B)

trong đó ψk (r) và ψk (r) lần lượt là hàm sóng trong mạng con A và B với
(j)

eikRl φ(j) (r + δj − Rl );

ψk (r) =

(2.13)

Rl

δj là vector nối từ điểm chọn làm gốc của mạng Bravais tới nguyên tử j nằm trong ô cơ
sở. Theo ý đó, nếu chọn một trong hai nguyên tử thuộc ô cơ sở làm gốc thì δj chính là

Footer Page 18 of 161.


Header Page 19 of 161.
14

2.3. BÀI TOÁN TÌM VÙNG NĂNG LƯỢNG TRONG TINH THỂ GRAPHENE

Hình 2.1: Mô hình electron liên kết chặt trong cấu trúc tinh thể dạng tổ ong.
vector nối hai nguyên tử A và B. Gọi

Rl

eikRl và φ(j) (r + δj − Rl ) lần lượt là yếu tố pha

(j)

và giá trị của hàm sóng ψk (r).
Vì (2.13) là hàm sóng mô tả trạng thái của electron π trong tinh thể nên (2.13) phải
thỏa định lí Bloch. Thật vậy,
(j)

eikRl φ(j) (r + δj + R − Rl ) = eikR

ψk (r + R) =
Rl

=

eikRm φ(j) (r + δj − Rm ) (2.14)
Rm

(j)
eikR . ψk (r).

Giải phương trình Schr¨odinger để tìm hệ thức mô tả vùng năng lượng:
H ψk =
Nhân hai vế của (2.15) với ψk∗

k

ψk .

ψk∗ H ψk = ψk∗

k

(2.15)

ψk .

(2.16)

Từ (2.12) và (2.13), ta có thể viết (2.16) dưới dạng ma trận
(a∗k b∗k ) Hk

ak
bk

=

k

(a∗k b∗k ) Sk

ak
;
bk

(2.17)

trong đó Hk là ma trận của toán tử Hamiltonian được định nghĩa
Hk =

ψkA | H | ψkA
ψkB | H | ψkA

ψkA | H | ψkB
ψkB | H | ψkB

(2.18)

hoặc có thể viết dưới dạng tổng quát khi xét hai nguyên tử i và j bất kì
(i)

(j)

Hkij = ψk |H|ψk .

Footer Page 19 of 161.

(2.19)


Header Page 20 of 161.
2.3. BÀI TOÁN TÌM VÙNG NĂNG LƯỢNG TRONG TINH THỂ GRAPHENE

15

Từ đây định nghĩa ma trận Sk là

ψkA | ψkA
ψkB | ψkA

Sk =
hoặc dạng tổng quát của Sk là
Trị riêng năng lượng

k

ψkA | ψkB
ψkB | ψkB

Skij = ψki |ψkj .

(2.20)

(2.21)

thu được từ việc giải phương trình đặc trưng
det [ Hk −

λ
k

Sk ] = 0.

(2.22)

Cần nhấn mạnh lại rằng trong cấu trúc tinh thể của graphene thì chính các electron
π của mỗi nguyên tử carbon quyết định đến tính chất điện của vật liệu. λ = ± lần lượt

kí hiệu cho vùng năng lượng dẫn π ∗ và vùng hóa trị π. Càng xét nhiều nguyên tử trong
một ô cơ sở, càng nhiều phương đặc trưng, do đó càng nhiều vùng năng lượng được hình
thành. Riêng trường hợp của graphene đang xét, chỉ hình thành hai vùng năng lượng do
đang xét sự tương tác giữa hai nguyên tử A và B trong một ô cơ sở.

2.3.1

Trường hợp tổng quát

Xét một ô cơ sở chứa một vài nguyên tử. Dựa vào (2.13), hệ thức (2.19) có thể viết
lại dưới dạng
Hkij = N

eikRm

φ(i)∗ (r)[H a + ∆V ] φ(j) (r + δij − Rm ) d2 r;

(2.23)

Rm

trong đó δij là vector nối hai nguyên tử i và j trong cùng một ô cơ sở. Tới đây định nghĩa
tij
k =

eikRm

φ(i)∗ (r)∆V φ(j) (r + δij − Rm ) d2 r

(2.24)

φ(i)∗ (r) φ(j) (r + δij − Rm ) d2 r.

(2.25)

Rm

và
sij
k =

eikRm
Rm

Từ (2.24) và (2.25) có thể viết (2.23) lại thành
ij
Hkij = N ( i sij
k + tk ).

(2.26)

trong đó i là năng lượng riêng của nguyên tử, trị riêng của toán tử H a . Phương trình
đặc trưng (2.22) trở thành
i
λ
(2.27)
det [tij
k − ( k − )sk ] = 0.
Đối với tinh thể graphene, do hai mạng con A và B đều được cấu thành do các nguyên
tử carbon có cấu hình electron giống hệt nhau nên chúng có cùng năng lượng i . Vì vậy

trong tính toán thường bỏ qua năng lượng i .

Footer Page 20 of 161.


Header Page 21 of 161.
2.3. BÀI TOÁN TÌM VÙNG NĂNG LƯỢNG TRONG TINH THỂ GRAPHENE

2.3.2

16

Trường hợp tinh thể graphene

Xét một ô cơ sở trong cấu trúc tổ ong gồm hai nguyên tử A và B, sự lặp đi lặp lại của
các ô cơ sở cho ra toàn bộ mạng tinh thể graphene.
AB

AB

AB

AB

..... AB

Thế năng tương tác giữa nguyên tử A và B trong cùng một ô cơ sở
φ(A)∗ (r)∆V φ(B) (r + δ3 ) d2 r.

t=

(2.28)

Thế năng tương tác giữa nguyên tử A của ô cơ sở thứ nhất và nguyên tử A của ô cơ
sở thứ hai
tnnn = φ(A)∗ (r)∆V φ(A) (r + a1 ) d2 r.
(2.29)
Sự xen phủ hàm sóng giữa hai nguyên tử trong cùng một ô cơ sở
φ(A)∗ (r)φ(B) (r + δ3 ) d2 r.

s=

(2.30)

Trong phép tính gần đúng liên kết chặt, không xét đến sự xen phủ snnn giữa các
nguyên tử không nằm trong cùng một ô cơ sở.
Tới đây cần xác định thêm yếu tố pha để có thể viết hoàn chỉnh phương trình (2.24)
và (2.25) cho tinh thể graphene. Yếu tố pha giữa nguyên tử A và B trong cùng một ô cơ
sở
eikRm = 1 + eika2 + eika3 = γk .
(2.31)
Rm

Yếu tố pha giữa nguyên tử A của ô cơ sở thứ nhất và nguyên tử A của ô cơ sở thứ hai
eikRm = eika1 + e−ika1 + eika2 + e−ika2 + eika3 + e−ika3

(2.32)

Rm
3

cos(kai ) = |γk |2 − 3.

=2
i=1

Từ (2.31) và (2.32) có thể viết
tAB = t γk ;
=t

AB

= s γk .

t
s

BB

(2.33)

AA

2

= tnnn (|γk | − 3);

(2.34)
(2.35)

Phương trình đặc trưng (2.27) được viết lại dựa vào ba biểu thức (2.33),(2.34) và (2.35)
det

Footer Page 21 of 161.

λ
tAA
(t − s λk )γk
k − k
= 0.
λ ∗
(t − s k )γk tBB
− λk
k

(2.36)


Header Page 22 of 161.
17

2.3. BÀI TOÁN TÌM VÙNG NĂNG LƯỢNG TRONG TINH THỂ GRAPHENE

Giải phương trình đặc trưng (2.36) thu được hai giá trị năng lượng
λ
k

=

tAA

k + λt|γk |
,
1 + λs|γk |

(2.37)

λ = + cho giá trị năng lượng vùng dẫn (vùng π ∗ ) và λ = − cho giá trị năng lượng vùng
hóa trị (vùng π). Phương trình (2.37) chính là hệ thức tán sắc mô tả hai vùng năng lượng
hình thành trong cấu trúc của graphene.
Trong hầu hết các trường hợp, giá trị s thường được chọn sao cho s
hệ thức (2.37) có thể viết lại
λ
k

1 và tnnn

2
= tAA
k + λt|γk | = tnnn (|γk | − 3) + λt|γk |

(2.38)
3

3
2

= tnnn |γk | + λt|γk | = 2tnnn

t,

cos(kai ) + λt

3+2

cos(kai ).
i=1

i=1

Từ phương trình trên rút ra nhận xét, nếu tnnn = 0 thì λk = − −λ
k . Điều đó có nghĩa
nếu xét đến sự tương tác giữa các nguyên tử không nằm trong cùng một ô cơ sở thì tính
đối xứng của vùng năng lượng sẽ bị phá vỡ, hay nói cách khác hai vùng năng luượng π
và π ∗ không có tính đối xứng, điều này sẽ được thấy rõ hơn khi mô phỏng ở chương sau.

2.3.3

Tọa độ điểm K

Cấu trúc mạng đảo tồn tại những điểm có tính chất đối xứng cao, trong đó các điểm
K và K tại sáu góc của vùng Brioullin [Hình 1.8(b)] được xem là những điểm đặc biệt
nhất, vì chúng trùng với vị trí của các điểm Dirac, được định nghĩa là những điểm giao
nhau của hai vùng dẫn và vùng hóa trị.
Tọa độ điểm K trên mặt phẳng vector sóng được xác định khi
λ
kD

= 0.

(2.39)

Phương trình (2.39) xảy ra khi γkD = 0, khi đó:
ReγkD = 1 + cos(kD .a2 ) + cos(kD .a3 )
√
√
√
3a D √ D
3a
(kx + 3ky ) + cos
(−kxD ) + 3kyD = 0
= 1 + cos
2
2
và

√
ImγkD = sin

3a D √ D
(kx + 3ky ) + sin
2

√
√
3a
(−kxD ) + 3kyD = 0.
2

(2.40)

(2.41)

Phương trình (2.41) xảy ra khi và chỉ khi kyD = 0, hệ thức (2.40) trở thành
1 + 2 cos

Footer Page 22 of 161.

√
3a D
k
2 x

=0

⇒

4π
kxD = ± √ .
3 3a

(2.42)


Header Page 23 of 161.
2.3. BÀI TOÁN TÌM VÙNG NĂNG LƯỢNG TRONG TINH THỂ GRAPHENE

18

Khi tiến hành mở rộng vùng năng lượng xung quanh các điểm Dirac, hệ thức tán sắc
năng lượng - xung lượng trở thành tuyến tính ở vùng lân cận điểm Dirac. Điều này hoàn

toàn khác biệt so với các hệ chất rắn thông thường, khi giá trị năng lượng luôn tỉ lệ với
bậc hai vector sóng.
Nếu đặt k = K ± q, với q
lượng tương đối tính [5]

K, hệ thức tán sắc được mô tả bằng phương trình năng

λ

= λ vF |q|;

trong đó |q| là xung lượng, vF là vận tốc Fermi.

Footer Page 23 of 161.

(2.43)


Header Page 24 of 161.

Chương 3
Mô phỏng cấu trúc vùng năng lượng
trong cấu trúc tinh thể graphene
Sự hình thành cấu trúc vùng năng lượng và hệ thức tán sắc đã được nghiên cứu và tính
toán cụ thể trong hai chương đầu. Trong chương cuối của luận văn, hình ảnh vùng năng
lượng của graphene sẽ được mô phỏng bằng cách lập trình trên phần mềm MATLAB. Từ
hình ảnh thu được, tác giả sẽ tiến hành so sánh cấu trúc vùng năng lượng của graphene
và silicon, vật liệu bán dẫn phổ biến nhất hiện nay, để thấy được sự khác biệt về cấu
trúc vùng năng lượng giữa hai vật liệu cũng như tiềm năng ứng dụng của graphene so với
silicon trong tương lai ngành quang điện tử.

3.1

Giới thiệu phần mềm MATLAB

Hình 3.1: Cửa sổ làm việc của phần mềm MATLAB.

Footer Page 24 of 161.

19


Header Page 25 of 161.
3.2. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG CỦA GRAPHENE TRONG KHÔNG GIAN HAI CHIỀU

20

MATLAB là một môi trường tính toán số và lập trình, được thiết kế bởi công ty
MathWorks. MATLAB cho phép tính toán số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu
đồ thông tin, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những
chương trình máy tính viết trên nhiều ngôn ngữ lập trình khác.
MATLAB có cửa sổ trực quan, giao diện thân thiện với người dùng, thích hợp giải
những bài toán vừa yêu cầu về mặt hình ảnh vừa giải các phương trình toán học phức
tạp.

3.2

Cấu trúc vùng năng lượng của graphene trong
không gian hai chiều

Cấu trúc mạng đảo của graphene vẫn giữ được tính tuần hoàn như trong cấu trúc
mạng tinh thể thuận. Những điểm có tính đối xứng cao trong vùng Brioullin thứ nhất lần
lượt được kí hiệu là Γ, M và K [Hình 1.8(b)]. Điểm Γ được chọn là tâm vùng Brioullin có
giá trị năng lượng cao nhất, sau đó giảm dần về điểm M và cuối cùng giá trị năng lượng
bằng 0 tại điểm K, tương ứng với điểm Dirac.

3.2.1

Các thông số lập trình

Các thông số trong cấu trúc vùng năng lượng của graphene cần được xác định để tiến
hành mô phỏng trên MATLAB bao gồm:
• t = 2.7 eV: thế năng tương tác giữa hai nguyên tử A và B trong cùng một ô cơ sở
(PT 2.28).
√
• lattice = 0.142 3: độ lớn của vector cơ sở trong mạng Bravais.
• miền xác định các vector sóng kx và ky được lấy theo chẵn một chu kì trong vùng
Brioullin thứ nhất.
• acc = 0.142 nm: khoảng cách giữa hai nguyên tử carbon gần nhất trong mạng tinh
thể tổ ong.
Cuối cùng, phương trình năng lượng (2.38) của graphene có thể được biến đổi và viết
dưới dạng của một hàm cos:
√
λ±
k

= ±t 1 + 4 cos

ky a
ky a

3kx a
cos
+ 4 cos2
.
2
2
2

(3.1)

Phương trình (3.1) được dùng để đưa vào các thủ thuật lập trình thay vì sử dụng phương
trình năng lượng (2.38).

Footer Page 25 of 161.