Bài tập toán lớp 11

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p toán 11

O DI N: TRUNG đ p trai ---hehe

www.MATHVN.com

64

www.MATHVN.com


Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p toán 11

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p toán 11

®Ò 2
Bài 1: Tìm

x +3 −2

x 3 + 3x 2 − 9 x − 2
b) lim
3
x →1
x→2
x2 −1
x − x−6
Bài 2: Xét tính liên t c c a hàm s sau trên t p xác đ nh c a nó:
a) lim

⎧ x 2 + 3x + 2
, khi x ≠ −2
⎪
f (x) = ⎨ x + 2
⎪3
, khi x = -2
⎩
3
Bài 3: Cho hàm s y = f(x) = 2x – 6x +1 (1)
a) Tìm đ o hàm c p hai c a hàm s (1) r i suy ra f ′′(−5) .
b) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s (1) t i
đi m Mo(0; 1).
c) Ch ng minh PT f(x) = 0 có ít nh t m t nghi m n m
trong kho ng (-1; 1).
Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh
a có góc BAD = 600 và SA=SB = SD = a.
a) Ch ng minh (SAC) vuông góc v i (ABCD).
b) Ch ng minh tam giác SAC vuông.
c) Tính kho ng cách t S đ n (ABCD).

www.MATHVN.com

2

63

www.MATHVN.com


Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

M TS

Bài t p toán 11

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

THI THAM KH O
HÀM S

Bài t p toán 11

Ch ng I:
NG GIÁC – PH
L
NG GIÁC

L

NG TRÌNH

®Ò 1

PH N 1. HÀM S

L

NG GIÁC

Câu 1: Tính gi i h n c a hàm s

2 x2 − 9x − 9
a) lim
x →3
x −3

2 x2 − 4 x + 1
b) lim
x →−∞
−3 x + 2

Câu 2: Xét tính liên t c c a hàm s trên t p xác đ nh c a nó:

⎧ −2 x 2 + x + 10
⎪
f(x) = ⎨

2x + 4
⎪ 4 x + 17
⎩

Bài 1. Tìm t p xác đ nh c a các hàm s sau:
3sin2x
x +1
2. y =
1. y = sin
2cos3x
x −1

π

nÕu

x < −2

3. y = cot(2 x − )
4

nÕu

x ≥ −2

1− x
1+ x
1
7. y =
sin x − cos x

Câu 3: Tính đ o hàm c a các hàm s :
a) y = 3x3 - 4x2 + 8

2 x2 + 5x − 1
b) y =
3x − 4

5. y = cos

2π
+ 5 x)
3
sin x + 2
6. y =
cos + 1
3 + tan x
8. y =
cos 2 x − sin 2 x

4. y = tan(

1
sin x
cos x
10. y = 2 + sin x −
+
2
tan x − 1
cos x − 1 1 + sin x

Bài 2. Xác đ nh tính ch n, l c a các hàm s :
cos3x
1. y =
2. y = 2 x − 2sin x
x
1
3. y = sin x + x 2
4. y = tan 2 x + 1
2
2
6. y = tan x + 2 cos x
5. y = 3sin x − cos x
Bài 3. Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a các hàm s :
π
1
2. y=3- cos2x
1. y = 2sin(x − ) + 3
2
3
2
1 + 3cos x
3. y=
4. y = 2 − 4sin x cos x
2
9. y =

2

c) y = 3sin3x - 3cos 4x
Câu 4:

a) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s (C)
y = - 2x4 + x2 – 3 t i đi m thu c (C) có hoành đ x0 = 1.
b) Cho hàm s y = x.cosx.
Ch ng minh r ng: x.y – 2(y’ - cosx) + x.y” = 0
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân B và

ABC =1200, SA ⊥ (ABC) và SA = AB = 2a. G i O là trung

đi m c a đo n AC, H là hình chi u c a O trên SC.
a) Ch ng minh: OB ⊥ SC.
b) Ch ng minh: (HBO) ⊥ (SBC).
c) G i D là đi m đ i x ng v i B qua O. Tính kho ng
cách gi a hai đ ng th ng AD và SB.

5. y = 4 sin 2 x − cos 2 x

www.MATHVN.com

62

6. y = 3 cos 2 x + 1
3

www.MATHVN.com


Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p toán 11
8. y = 5 − 2sin 2 x cos2 x

7. y = 7 − 3 s in3x

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p toán 11

3. D ng và tính đ dài đo n vuông góc chung c a AB và
SD
4. Tính : d [CM , ( SA)]

Bài 4. Hãy xét s bi n thiên và v đ th các hàm s sau:
1. y = − sin x
2. y = 2 − sin x
3. y = sin( x +

π
3

PH N 2. PH
D NG 1. PH
Bài 1. Gi i các ph
1. s in3x =

)

NG TRÌNH L
NG TRÌNH L

NG GIÁC

NG GIÁC C

B N

2. cos 2 x = −

π

3. tan( x − ) = 3
4
5. s in3x − cos 2 x = 0

2
2

t A′ đ n m t ph ng (ABC′).
ng ABCD.A’B’C’D’.

1. Ch ng minh: B’D ⊥ (BA’C’); B’D ⊥ (ACD’)

4. s in2x − s in2x cos x = 0
6. t an4x cot 2 x = 1

π

= a, đáy ABC là tam giác vuông t i A có BC = 2a, AB = a 3 .
1. Tính kho ng cách t AA′ đ n m t ph ng (BCC′B′).
2. Tính kho ng cách t A đ n (A′BC).
3. Ch ng minh r ng AB ⊥ (ACC′A′) và tính kho ng cách

Bài 7. Cho hình l p ph

ng trình sau:

1
2

2. Tính d ⎡⎣(BA 'C'),(ACD')⎤⎦
3. Tính d ⎡⎣(BC'),(CD')⎤⎦

π

7. 2 cos( x − ) + 1 = 0
6
9. cos x − 2sin 2

Bài 6. Cho hình l ng tr ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ (ABC) và AA′

4. y = cos x + 1

8. tan(2 x + ) + t an3x = 0
3

x

=0
2

10. cos4 x − sin 4 x =

2
2

π
π
x
x 1
11. sin cos + sin cos =
2
3
3
2 2
2
8
2
2
2
13. cos x + cos 2 x + cos 3 x = 1
2
17π
+ 10 x )
14. s in 2x − cos2 8 x = sin(
2
15. cos4 x + sin 6 x = cos 2 x

12. sin3 x cos x − cos3 x sin x =

www.MATHVN.com

4

61

www.MATHVN.com


Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p toán 11

1. OA và BC
2. AI và OC.
Bài 2. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O,
c nh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Tính kho ng cách gi a hai
đ ng th ng:
1. SC và BD.
2. AC và SD.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
canh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a 3 . Tính:
1. Gi a SC và BD ; gi a AC và SD.
2. d [A, ( ABCD)]
3. d [O, ( SBC )] v i O là tâm c a hình vuông.
4. d [I , ( ABCD )] v i I là trung đi m c a SC.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
vuông t i A và D AB = DC = a , SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a
Tính :
1. d [A, ( SCD )] ; d [A, ( SBC )]
2. d [AB, ( SCD )]

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

1 − cos 4 x
s in4x
−
=0
2s in2x 1 + cos 4 x
2 +1
17. sin x cos x + cos2 x =
2
x π
(2 − 3) cos x − 2sin 2 ( − )
2 4 =1
18.
2 cos x − 1
Bài 2. Gi i và bi n lu n ph ng trình:
1. sin x = 2m − 1
2. (4m − 1) cos x = m cos x − 8
3. 4 tan x − m = (m + 1) tan x
16.

4. (3m − 2) cos 2 x + 4m sin 2 x + m = 0

Bài 3. Tìm m đ ph ng trình:

π

4. d [DE , ( SBC )] , E là trung đi m c a AB
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a ,tam
giac SAD đ u và (SAD) ⊥ (ABCD) .g i I là trung đi m c a Sb
va K =CM ∩ BI

Bài 1. Gi i các ph

NG TRÌNH B C HAI
HÀM S L
NG GIÁC

1. 4 cos2 x − 2( 3 + 1) cos x + 3 = 0
2.  2cos2 x + 5sinx – 4 = 0
3. 2cos2x – 8cosx + 5 = 0 
4. 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x

3
= 3 + 2 tan 2 x
2
cos x

1. Ch ng minh (CMF) ⊥ (SIB)
2. Ch ng minh : tam giac BKF cân t i K

6.  5tan x − 2cotx − 3 = 0
7. 6sin2 3 x + cos12 x = 4

60

IV IM T

ng trình sau:

5.

www.MATHVN.com

π

2 sin( x + ) = m có nghi m x ∈ (0; )
4
2
7π
2. (2 + m)sin( x +
) − (3m + 2) cos(2π − x ) + m − 2 = 0 có
2
nghi m.
1.

D NG 2. PH

3. d [AB, ( SCD )]

Bài t p toán 11

5

www.MATHVN.com


Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m
8. cos 2 x − 3 cos x = 4 cos2
9. cot x = tan x +
10.
11.
12.
13.
14.

Bài t p toán 11

2 cos 4 x
s in2x

t là trung đi m c a AB và BC. Ch ng

3. G i H, I l n l

ng trình sau có nghi m:

2. 4 cos2 2 x − 4 cos 2 x − 3 − 3m = 0
Bài 3. Cho ph ng trình: cos 2 x + (a + 2)sin x − a − 1 = 0
1. Gi i ph ng trình đã cho khi a = 1.
2. V i giá tr nào c a a thì ph ng trình đã cho có

nghi m?
NG TRÌNH B C NH T THEO
SINu VÀ COSu

Bài 1. Gi i các ph ng trình sau:
1. 3 cos x − sin x = 2

2. cos x − 3 sin x = −1

www.MATHVN.com

Bài t p toán 11

2. Tính góc gi a hai mp (SAD), (SBC).

1. cos2 x + (1 − m) cos x + 2m − 6 = 0

D NG 3. PH

ng THPT Ngô Th i Nhi m

1. Ch ng minh: (SAB) ⊥ (SAD), (SAB) ⊥ (SBC).

x
2

cos x (2 sin x + 3 2) + 2 sin 2 x − 3
=1
1 + s in2x
3 tan 4 x + 2 tan 4 x − 1 = 0

1
1
−
cos x − sin x =
sin x cos x
1
1
− 2(cos x +
cos2 x +
) =1
2
cos x
cos x
1
1
+
=4
2
2
sin x cos x sin x cos x

Bài 2. Tìm m đ ph

Tr

6

minh: (SHC) ⊥ (SDI).
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông t i A. G i O, I, J l n l
trung đi m c a BC và AB, AC. T

O k

t là

đo n th ng

OS ⊥ (ABC).
1. Ch ng minh: (SBC) ⊥ (ABC).
2. Ch ng minh: (SOI) ⊥ (SAB).
3. Ch ng minh: (SOI) ⊥ (SOJ).
Bài 11. Cho tam di n ba góc vuông Oxyz (3 tia Ox, Oy, Oz đôi
m t vuông góc). L n l

t l y trên Ox, Oy, Oz các đi m B, C, A

sao cho OA = a, OB = b, OC = c. Các đ

ng cao CH va BK c a

tam giác ABC c t nhau t i I.
1. Ch ng minh: (ABC) ⊥ (OHC).
2. Ch ng minh: (ABC) ⊥ (OKB).
3. Ch ng minh: OI ⊥ (ABC).
4. G i , , l n l
2

Ch ng minh: cos

t là góc t o b i OA, OB, OC v i OI.

+ cos2

+ cos2 = 1.

KHO NG CÁCH
Bài 1. Cho hình t di n OABC, trong đó OA, OB, OC = a. G i I
là trung đi m c a BC. Hãy d ng và tính đ dài đo n vuông góc
chung c a các c p đ ng th ng:
59 www.MATHVN.com


Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p toán 11

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

1. Ch ng minh: (SBC) ⊥ (ABC).

3. s in3x + 3 cos3 x = 2

2. Ch ng minh: (SOI) ⊥ (ABC).

4. 2 cos2 x − 3 s in2x = 2

Bài t p toán 11

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông c nh a. Tam

5. 2 s in2x cos 2 x + 3 cos 4 x + 2 = 0

giác SAB đ u n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy. I, J, K

6. cos 7 x − sin 5 x = 3 (cos 5 x − sin 7 x )

l nl

t là trung đi m c a AB, CD, BC.

1. Ch ng minh: SI ⊥ (ABCD).
2. Ch ng minh: trên m t ph ng SAD và SBC là nh ng tam

9. sin 2 x + sin 2 x =

giác vuông.
3. Ch ng minh: (SAD) ⊥ (SAB), (SBC) ⊥ (SAB).
4. Ch ng minh: (SDK) ⊥ (SIC).
Bài 7. Cho t di n ABCD có c nh AD ⊥ (BCD). G i AE, BF
là hai đ

ng cao c a tam giác ABC, H và K l n l

t là tr c tâm

c a tam giác ABC và tam giác BCD.
1. Ch ng minh: (ADE) ⊥ (ABC).

2. Ch ng minh: (BFK) ⊥ (ABC).
3. Ch ng minh: HK ⊥ (ABC).
Bài 8. Trong mp (P) cho hình thoi ABCD v i AB = a, AC =

2a 6
. Trên đ
3
c a hai đ

ng th ng vuông góc v i mp (P) t i giao đi m O

ng chéo hình thoi ta l y S sao cho SB = a.

1. Ch ng minh: ∆ SAC vuông.
2. Ch ng minh: (SAB) ⊥ (SAD).
Bài 9. Cho hình vuông ABCD. G i S là đi m trong không gian

sao cho SAB là tam giác đ u và (SAB) ⊥ (ABCD).

www.MATHVN.com

58

π

1
4
4
8. tan x − 3cot x = 4(sin x + 3 cos x)
4

4
7. sin x + cos ( x +

)=

1
2

10. 3sin 3 x − 3 cos 9 x = 1 + 4sin3 3 x
3(1 − cos 2 x)
= cos x
2sin x
cos x − sin x
12. cot x − tan x =
sin x cos x
Bài 2. nh m đ ph ng trình sau đây có nghi m:
1. m sin x + 2 cos x = 3
2. s in2x + m cos 2 x + 2m = 0
3. m cos3 x + (m + 2)s in3x = 2
4. (sin x + 2 cos x + 3)m = 1 + cos x
5. m(cos x − sin x − 1) = sin x
6. (3 + 4m) cos 2 x + (4m − 3)s in2x + 13m = 0
Bài 3. Cho ph ng trình: sin x + m cos x = 1
11.

1. Gi i ph ng trình khi m = − 3 .
2. nh m đ ph ng trình trên vô nghi m.
D NG 4. PH

NG TRÌNH THU N NH T B C HAI

THEO SINu VÀ COSu

Bài 1. Gi i các ph ng trình sau:
1. sin 2 x + 3 sinxcosx – 4cos2 x = 0

7

www.MATHVN.com


Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p toán 11

2. 3sin 2 x + 8sinxcosx + ( 8 3 − 9)cos2 x = 0
3. 4sin 2 x + 3 sin2x – 2cos2 x = 4
4. 2sin 2 x – 5sinx.cosx – cos2 x = − 2
x
x
5. 4sin2 + 3 3 sin x − 2 cos2 = 4
2
2
6. 2sin 2 x + 6sin x cos x + 2(1 + 3) cos2 x = 5 + 3
7. sin 3 x + 2 sin 2 x cos x − 3cos3 x = 0
8. 4 sin 3 x + 3sin 2 x cos x − sin x − cos3 x = 0
9. sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x
2
10. 2 tan x + cot x = 3 +

s in2x
Bài 2. Tìm m đ ph ng trình sau có nghi m:
1. m sin 2 x + 2 s in2x + 3m cos2 x = 2
2. sin 2 x − m s in2x − (m + 1) cos2 x = 0
D NG 5. PH

NG TRÌNH

I X NG – PH N X NG

Bài 1. Gi i các ph ng trình sau:
1. 2(sin x + cos x ) + 3sin x cos x + 2 = 0

2.  3 ( sinx + cosx

)

+ 2sin2x + 3 = 0

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

3. G i BE, DF là hai đ

Bài t p toán 11

ng cao c a tam giác SBD. Ch ng

minh r ng: (ACF) ⊥ (SBC), (AEF) ⊥ (SAC).

Bài 2. Cho t di n ABCD có các m t ABD và ACD cùng vuông

góc v i m t BCD. G i DE ,BK là đ
BF là đ

ng cao tam giác BCD và

ng cao tam giác ABC

1. Ch ng minh : AD ⊥ (BCD)
2. Ch ng minh : (ADE) ⊥ (ABC)
3. Ch ng minh : (BKF) ⊥ (ABC)
4. Ch ng minh : (ACD) ⊥ (BKF)
5. G i O và H l n l

t là tr c tâm c a hai tam giác BCD và

ABC ch ng minh : OH ⊥ (ABC)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh

a. SA= SB= SC=a. Ch ng minh :
1. (ABCD) ⊥ (SBD)
2. Tam giác SBD là tam giác vuông.
Bài 4. Cho tam giác đ u ABC c nh a, I là trung đi m c a c nh

3. sin2x –12 ( sinx – cosx ) = −12

BC, D là đi m đ i x ng c a A qua I. D ng đo n SD =

5. cosx –sinx – 2sin2x –1 = 0

vuông góc v i (ABC). Ch ng minh:

4. 2 ( cosx + sinx ) = 4sinxcosx + 1

6. (1 + 2)(sin x + cos x ) − 2sin x cos x − 1 − 2 = 0

a 6
2

1. (SAB) ⊥ (SAC).
2. (SBC) ⊥ (SAD).

7. sin 3 x + cos3 x = 1 − sin x cos x
8. sin 3 x + cos3 x = 2(sin x + cos x ) − 1

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác là tam

9. tan x + cot x = 2(sin x + cos x )

giác vuông t i A, AB = 2a, AC = a, SA = SB = SC = a 2 . G i
O là trung đi m c a BC, I là trung đi m c a AB.

www.MATHVN.com

8

57

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p toán 11

3. Tính góc [(SMC), (ABC)].
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang

vuông t i A và D v i AB = 2a, AD = DC = a, SA = a 2 . SA

⊥ (ABCD). Tính góc gi a các m t ph ng.

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m
10. sin x + cos x =

cos 2 x
1 − s in2x

Bài 2. nh m đ ph ng trình sau có nghi m:
1. sin x + cos x = 1 + m s in2x

2. s in2x − 2 2m(sin x + cos x ) + 1 − 6m 2 = 0

1. (SBC) và (ABC).
2. (SAB) và (SCB).

D NG 6. PH

3. (SCB) và (SCD).
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm

O, c nh a ABC = 600, SO ⊥ (ABCD) và SO =

Bài t p toán 11

3a
. Tính s đo
4

nh di n c nh AB.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

NG TRÌNH L
NG GIÁC KHÔNG M U
M C

Bài t p. Gi i các ph ng trình sau:
1. sin x.s in2x = −1
2. 7 cos2 x + 8sin100 x = 8

3. sin x + cos x = 2(2 − s in3x )
4. sin 3 x + cos3 x = 2 − s in 4 x

c nh a, tâm O, SA ⊥ (ABCD) và SA = x (x>0).

M TS

1. Tính sđ [S, BC, A] theo a và x. Tính x theo a đ s đo nh

THI

IH C

1. (1 + 2sin x) 2 cos x = 1 + sin x + cos x

di n trên b ng 600.
2. Tính sđ[B, BC, D] theo a và x. Tính x theo a đ s đo nh
di n trên b ng 1200

HAI M T PH NG VUÔNG GÓC
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA

⊥ (ABCD).
1. Ch ng minh: (SAC) ⊥ (SBD).

2.

3 cos 5 x − 2sin 3 x cos 2 x − sin x = 0

3. sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2(cos 4 x + sin 3 x)
(1 − 2sin x)cosx
= 3
4.
(1 + 2sin x)(1 − s inx)
5. sin 3 x − 3 cos 3x = 2sin 2 x

6. 2sin x(1 + cos 2 x) + sin 2 x = 1 + 2 cos x
7. sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x
1
1
7π
+
= 4sin( − x)
8.
sin x sin( x − 3π )
4
2

2. Ch ng minh: (SAD) ⊥ (SCD), (SAB) ⊥ (SBC).

www.MATHVN.com

56

9

www.MATHVN.com


Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p toán 11

x

x
9. (sin + cos ) 2 + 3 cos x = 2
2
2
2
10. 2sin 2 x + sin 7 x − 1 = sin x
11. (1 + sin 2 x) cos x + (1 + cos 2 x) sin x = 1 + sin 2 x
12. cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0
x
13. cot x + sin x(1 + tan x tan ) = 4
2
6
6
2(cos x + sin x) − sin x cos x
14.
=0
2 − 2sin x
π
π 3
15. cos 4 x + sin 4 x + cos( x − ) sin(3 x − ) − = 0
4
4 2
16. 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0
17. cos 2 3 x cos 2 x − cos 2 x = 0
18. 5sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan 2 x
19. (2 cos x − 1)(2sin x + cos x) = sin 2 x − sin x
2
20. cot x − tan x + 4sin 2 x =
sin 2 x

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p toán 11

Bài 4. Cho hình vuông ABCD và tam giác đ u SAB c nh a n m

trong hai m t ph ng vuông góc nhau. G i I là trung đi m c a
AB.
1. Ch ng minh: SI ⊥ (ABCD) và tính góc gi a SC và
(ABCD).
2. G i J là trung đi m CD. Ch ng t : (SIJ) ⊥ (ABCD) . Tính
góc h p b i SI và (SDC).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm

O, c nh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Tính:
1. [SAB, (SCD)].
2. [SAB, (SBC)].
3. [SAB, (SAC)].
4. [SCD, (ABCD)].
5. [SBC, (SCD)].
6. sđ [S, BC, A].
7. sđ[C, SA, D].
8. sđ[A, SB, D].
9. sđ[B, SC, A].
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông

t i B, AB = 2a, BC = a 3 , SA ⊥ (ABC) và SA = 2a. G i M là
trung đi m c a AB.

1. Tính góc [(SBC), (ABC)].
2. Tính đ

www.MATHVN.com

10

ng cao AK c a ∆ AMC.
55

www.MATHVN.com


Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

4. G i d là đ
K c a BC tìm d

Bài t p toán 11

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p toán 11

ng th ng vuông góc v i (ABC) t i trung đi m

Ch

( α ).

ng II. TÔ H P – XÁC SU T

PH N 1. HOÁN VN - CH NH H P - T
- GÓC GI A

NG TH NG VÀ M T PH NG

- GÓC GI A HAI M T PH NG
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

c nh a, tâm O, SO ⊥ (ABCD), M, N l n l

t là trung đi m c a

SA và BC, bi t ( MN ,( ABCD )) = 600 .
1. Tính MN và SO.
2. Tính góc gi a MN và mp(BCD).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

c nh a. SA ⊥ (ABCD) và

SA = a 6 . Tính góc gi a:

1. SC và (ABCD)
2. SC và (SAB)
3. SC và (SBD)

4. SB và (SAC)
Bài 3. Cho t di n ABCD có AB ⊥ (BCD) và AB = a 3 ,

BCD là tam giác đ u c nh a. Tính góc gi a:
1. AC và (BCD).
2. AD và (BCD).
3. AD và (ABC).

www.MATHVN.com

54

H P

Bài 1. Có 25 đ i bóng tham gia thi đ u, c 2 đ i thì đá v i nhau
2 tr n ( đi và v ). H i có t t c bao nhiêu tr n đ u?
Bài 2.
1. T các ch s 1, 2, 3, 4, 5 có th l p đ c bao nhiêu s
t nhiên có 5 ch s ?
2. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có th l p đ c bao
nhiêu s t nhiên có 3 ch s và là s ch n?
3. Có bao nhiêu s t nhiên có 6 ch s đôi m t khác nhau
và chia h t cho 5?
Bài 3. M t h i đ ng nhân dân có 15 ng i, c n b u ra 1 ch
t ch, 1 phó ch t ch, 1 th kí. H i có m y cách n u không ai
đ c kiêm nhi m?
Bài 4. Trong m t tu n, An đ nh m i t i đi th m 1 ng i b n
trong s 10 ng i b n c a mình. H i An có th l p đ c bao
nhiêu k ho ch th m b n n u:
1. Có th th m 1 b n nhi u l n?

2. Không đ n th m 1 b n quá 1 l n?
Bài 5. Có bao nhiêu cách x p 10 h c sinh thành m t hàng d c?
Bài 6. Có bao nhiêu cách x p 5 b n A, B,C,D,E vào m t gh dài
5 ch n u:
1. B n C ng i chính gi a.
2. Hai b n A và E ng i hai đ u gh .
Bài 7. T các ch s 1,2,3,4,5,6 có th thi t l p đ c bao nhiêu
s có 6 ch s khác nhau mà hai ch s 1 và 6 không đ ng c nh
nhau?
Bài 8. Có 2 sách Toán khác nhau, 3 sách Lý khác nhau và 4
sách Hóa khác nhau.C n s p x p các sách thành m t hàng sao
cho các sách cùng môn k nhau. H i có bao nhiêu cách?
Bài 9. Gi i :
1. P2.x2 – P3.x = 8

11

www.MATHVN.com


Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m
2.

Px − Px −1
Px +1

=

Bài t p toán 11

m y s t nhiên có 4 ch s khác nhau.
Bài 12. Có 10 quy n sách khác nhau và 7 cây bút khác nhau.
C n ch n ra 3 quy n sách và 3 cây bút đ t ng cho 3 h c sinh,
m i em đ c t ng 1 quy n sách và 1 cây bút. Có m y cách?
Bài 13. Gi i:
1. 2A 2x +50=A 22x , x ∈ N
2. An3 + 5 An2 = 2(n + 15)

ng th ng vuông góc v i (ABC) t i

O, l y đi m S sao cho OS = 2a. G i I là m t đi m trên OH, đ t
AI = x (a1. Xác đ nh ( α )
2. Tìm thi t di n c a t di n SABC và α
3. Tính di n tích cua thi t diên theo a và x
Bài 14. Cho t di n SABC có hai m t ABC và SBC là 2 tam

a 3
. L y đi m M thu c AB và AM =
2

là trung đi m c a BC

9
8
5. A10
x + Ax = 9 Ax .

1. Ch ng minh: ( α ) // (SAD)

143
<0
4 Pn−1

2. Tìm thi t di n c a t di n SABC và ( α )

An4+ 4

15
<
7.
(n + 2)! (n − 1)!
Bài 14. Có 10 cu n sách toán khác nhau. Ch n ra 4 cu n, h i có
bao nhiêu cách?
Bài 15. M t nhóm có 5 nam và 3 n . Ch n ra 3 ng i sao cho
trong đó có ít nh t 1 n . H i có bao nhiêu cách?
Bài 16. T 20 câu h i tr c nghi m g m 9 câu d , 7 câu trung
bình và 4 câu khó ng i ta ch n ra 10 câu đ làm đ ki m tra
sao cho ph i có đ c 3 lo i d , trung bình và khó. H i có th
l p đ c bao nhiêu đ ki m tra ?

www.MATHVN.com

trung đi m c a AH. Trên đ

ng cao AH = 2a. G i O là

x (0

4. 2 Pn + 6 An2 − Pn An2 = 12

Pn+2

Bài 12. Cho tam giác đ u ABC có đ

giác đ u c nh a và SA =

3. 3 An2 − A22n + 42 = 0.

−

Bài t p toán 11

2. Tính di n tích c a thi t di n c a t giác v i m t ph ng α

Pn + 4
15
<
Pn .Pn + 2 Pn −1
Bài 10. S p x p 5 ng i vào m t b ng gh có 7 ch . H i có bao
nhiêu cách?
Bài 11. T t p h p X = { 0; 1; 2; 3; 4; 5 } có th l p đ c

6.

ng THPT Ngô Th i Nhi m
1. Xác đ nh m t ph ng α

1
6

3.

An4+2

Tr

12

3. Tính di n tích c a thi t di n theo a và x
Bài 15. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông cân t i B,

AB = BC =2a. C nh SA ⊥ (ABC) và SA =a 2
1. Ch ng minh các m t c a hình chóp là các tam giac vuông
2. G i ( α ) là m t ph ng trung tr c c a c nh SB. Tìm thi t
di n c a hình chóp v i ( α )
3. Tính di n tích c a thi t di n
53

www.MATHVN.com


Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p toán 11

5. Tam giác ABC là tam giác nh n các góc c a tam giác đ u
nh n.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD đáy là tam giác đ u c nh a, SA
⊥ (ABC). G i O là tr c tâm tam giác ABC, H là tr c tâm tam

giác SBC, I là trung đi m c a BC .
1. Ch ng minh: BC ⊥ (SAI) và CO ⊥ (SAB).
2. Ch ng minh: H = h/c O/(SBC).
3. G i N = OH

SA. Ch ng minh : SB ⊥ CN và SC ⊥

BN
Bài 9. Cho t di n S.ABC có SA ⊥ (ABC). G i H, K l n l

t

là tr c tâm c a các tam giác ABC và SBC. Ch ng minh:
1. AH, SK, BC đ ng quy
2. SC ⊥ (BHK)
3. HK ⊥ (SBC)
Bài 10. Cho t di n S.ABC có tam giác ABC vuông cân đ nh B,

AB =a,SA ⊥ (ABC) và SA =a 3 . L y đi m M tùy ý thu c
c nh AB v i AM =x (0vuông góc v i AB
1. Tìm thi t di n c a t di n và α
2. Tính di n tích c a thi t di n theo a và x
Bài 11. Cho t di n S.ABC có tam giác ABC vuông cân đ nh B,

AB =a, SA ⊥ (ABC) SA =a. G i α là m t ph ng qua trung
đi m M c a AB và vuông góc vói SB

www.MATHVN.com

52

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p toán 11

Bài 17. H i đ ng qu n tr c a m t công ty g m 12 ng i, trong
đó có 5 n . T h i đ ng qu n tr đó ng i ta b u ra 1 ch t ch
h i đ ng qu n tr , 1 phó ch t ch h i đ ng qu n tr và 2 y viên.
H i có m y cách b u sao cho trong 4 ng i đ c b u ph i có
n ?
Bài 18.
i thanh niên xung kích c a m t tr ng ph thông có
12 h c sinh g m 5 h c sinh l p A, 4 h c sinh l p B và 3 h c
sinh l p C. Tính s cách ch n 4 h c sinh đi làm nhi m v sao
cho 4 h c sinh này thu c không quá 2 trong 3 l p trên.
Bài 19. M t h p đ ng 15 viên bi khác nhau g m 4 bi đ , 5 bi
tr ng và 6 bi vàng. Tính s cách ch n 4 viên bi t h p đó sao
cho không có đ 3 màu.
Bài 20. M t l p h c có 30 h c sinh nam và 15 h c sinh n . Có 6
h c sinh đ c ch n ra đ l p m t t p ca. H i có bao nhiêu cách
ch n khác nhau.
1. N u ph i có ít nh t là 2 n .

2. N u ph i ch n tu ý.
Bài 21. Có 5 tem th khác nhau và 6 bì th khác nhau. Ng i ta
mu n ch n ra 3 tem th và 3 bì th r i dán 3 tem th vào 3 bì
th đó. Có bao nhiêu cách ?
Bài 22. M t đ i thanh niên tình nguy n có 15 ng i, g m 12
nam, 3 n . H i có bao nhiêu cách phân công đ i đó v 3 t nh
mi n núi sao cho m i t nh đ u có 4 nam, 1 n ?
Bài 23. Gi i :
7
1.
C1x +C 2x +C3x = x
2
2
2.
C3x-1 − C2x-1 = A 2x-2
3
1
1
7
− 2 = 1
3.
1
C x C x+1 6C x+4

2C x2+1 + 3 Ax2 < 30
1 x
6
5.
A2 x − Ax2 ≤ C x3 + 10
2

x
Bài 24. Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n c a nh th c:
4.

13

www.MATHVN.com


Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p toán 11

10

⎛
1 ⎞
1. ⎜ x + ⎟
x4 ⎠
⎝

⎛x
2. ⎜ +
⎝3

⎛
1 ⎞
3. ⎜ x 3 − ⎟

x2 ⎠
⎝

5

3⎞
⎟
x⎠

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p toán 11

3. Ch ng minh: HK// BD OH=OK.

12

⎛
1 ⎞
4. ⎜⎜ 3 x + 4 ⎟⎟
x⎠
⎝

Tr

4. Ch ng minh: HK ⊥ (SAC).
5. Ch ng minh: AI ⊥ HK.

7

1 ⎞
⎛
Bài 25. Tìm s h ng th 31 trong khai tri n ⎜ x + 2 ⎟
x ⎠
⎝

6. Tìm m t ph ng trung tr c c a đo n BD và HK. Gi i thích.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O c nh a

40

SA ⊥ (ABCD) và SA=a 2 . G i ( α ) là m t ph ng qua A và
10

⎞
⎛ 1
Bài 26. Tìm s h ng đ ng gi a trong khai tri n ⎜⎜ 5 + 3 x ⎟⎟
⎠
⎝ x
8
Bài 27. Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n nh th c
n

⎛1
⎞
Niu-t n ⎜ 3 + x5 ⎟ , bi t r ng Cnn++41 − Cnn+3 = 7 ( n + 3) .
⎝x
⎠
Bài 28. Cho bi t t ng 3 h s c a 3 s h ng đ u tiên trong khai
n

⎛
2⎞
tri n ⎜ x 2 − ⎟ là 97. Tìm s h ng ch a x4.
3⎠
⎝
Bài 29. Tính t ng:
1. S1 = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn .
2. S2 = Cn0 + Cn2 + Cn4 + ...
4. S4 = Cn0 + 2Cn1 + 22 Cn2 + ... + 2k Cnk + ... + 2n Cnn .
5.

2

+2 C

n2

+2

4

Cn4

+ ...

Bài 30. Ch ng minh:
1. C n0 + C n1 + C n2 + ....... + C nn = 2 n

2. C20n + C22n + +C24n + ... + C22nn = C21n + +C23n + +C25n + ... + C22nn−1

3. Cn0 + 6Cn1 + 62 Cn2 + ... + 6 n Cnn = 7n

www.MATHVN.com

t H, M, K.

1. Ch ng minh: AH ⊥ SB, AK ⊥ SD.
2. Ch ng minh: BD // ( α ) suy ra BD // HK.
3. Ch ng minh: HK qua tr ng tâm c a tam giác SAC.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O.

Bi t r ng SA=SC SB=SD. Ch ng minh:
1. SO ⊥ (ABCD).
2. AC ⊥ SD
Bài 6. Cho t di n ABCD. Ch ng minh r ng n u AB ⊥ BD và

AC ⊥ BD thì AD ⊥ BC.

3. S3 = Cn1 + Cn3 + Cn5 + ...
S5 = Cn0

vuông góc v i SC, c t SB, SC, SD l n l

14

Bài 7. Cho t di n có OA, OB, OC đôi m t vuông góc v i nhau.

G i H là hình chi u vuông góc c a đi m O trên (ABC). Ch ng
minh:
1. OA ⊥ BC, OB ⊥ CA, OC ⊥ AB.

2. BC ⊥ (OAH), AB ⊥ (OCH)
3. H là tr c tâm c a tam giác ABC
4.

1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
OH
OA OB OC 2
51

www.MATHVN.com


Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p toán 11

1. Xác đ nh góc gi a các c p vect :

AB vaø A ' C ' ;

Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p toán 11

0
1
17
4. 317 C17
+ 41.316.C17
+ ... + 417 C17
= 717

AB vaø A ' D ' ; AC ' vaø BD .

2. Tính các tích vô h

ng c a các c p vect : AB vaø A ' C ' ;

AB vaø A ' D ' ; AC ' vaø BD .

-

NG TH NG VUÔNG GÓC V I M T PH NG
- HAI
NG TH NG VUÔNG GÓC

Bài 1. Cho t

di n SABC có tam giác ABC vuông t i B và

SA ⊥ (ABC).
1. Ch ng minh: BC ⊥ (SAB).
2. G i M và N là hình chi u c a A trên SB và SC, MN c t BC
t i I. Ch ng minh: AM ⊥ (SBC) , SC ⊥ (AMN).
3. Ch ng minh AI ⊥ SC
Bài 2. Cho t di n ABCD có AB=AC , DB=DC . G i I là trung

đi m c a BC.
1. Ch ng minh BC ⊥ (AID).
2. V

d

ng cao AH c a tam giác AID. Ch ng minh

AH ⊥ (BCD).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm

O, SA ⊥ (ABCD). G i H,I,K l n l

t là hình chi u vuông góc

c a đi m A trên SB, SC, SD.
1. Ch ng minh: BC ⊥ (SAB) CD ⊥ (SAD) BD ⊥ (SAC).
2. Ch ng minh: AH ⊥ SC AK ⊥ SC suy ra AH, AI, AK
đ ng ph ng .

www.MATHVN.com

50

PH N 2. XÁC SU T
Bài 1. Gieo hai con xúc x c cân đ i đ ng ch t. G i A là bi n c
“ t ng s ch m trên m t c a hai con xúc x c b ng 4 “
1. Li t kê các k t qu thu n l i c a bi n c A
2. Tính xác su t c a bi n c A
Bài 2. Ch n ng u nhiên 5 con bài trong b bài tú –l –kh :
1. Tính xác su t sao cho trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân
bài đó thu c 1 b ( ví d : có 3 con 4)
2. Tính xác su t sao cho trong 5 quân bài đó có 4 quân bài
thu c m t b
Bài 3. Gieo m t con xúc x c 2 l n . Tính xác su t đ :
1. M t 4 ch m xu t hi n l n đ u tiên
2. M t 4 ch m xu t hi n ít nh t 1 l n
Bài 4. Trong m t bình có 3 qu c u đen khác nhau và 4 qu c u
đ khác nhau. L y ra 2 qu c u. Tính xác su t đ :
1. Hai qu c u l y ra màu đen
2. Hai qu c u l y ra cùng màu
Bài 5. Gieo 3 con đ ng xu. Tính xác su t đ
1. Có đ ng xu l t ng a
2. Không có đ ng xu nào s p
Bài 6. Cho m t h p đ ng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu
đ , 5 viên bi màu xanh. L y ng u nhiên m i l n 3 viên bi. Tính
xác su t trong hai tr ng h p sau:
1. L y đ c 3 viên bi màu đ
2. L y đ c ít nh t hai viên bi màu đ
Bài 7. Gieo đ ng th i hai con súc s c. Tính xác su t đ

1. T ng s ch m xu t hi n trên hai con là 9
2. T ng s ch m xu t hi n trên hai con là 5
3. S ch m xu t hi n trên hai con h n kém nhau 3
Bài 8. Gieo đ ng th i 3 con súc s c. Tính xác su t đ
1. T ng s ch m xu t hi n c a ba con là 10
2. T ng s ch m xu t hi n c a 3 con là 7

15

www.MATHVN.com


Tr

ng THPT Ngô Th i Nhi m

Bài t p toán 11

Bài 9. M t đ t x s phát hành 20.000 vé trong đó có 1 gi i
nh t, 100 gi i nhì, 200 gi i ba, 1000 gi i t và 5000 gi i khuy n

khích. Tính xác su t đ m t ng i mua 3 vé trúng m t gi i nhì
và hai gi i khuy n khích.
Bài 10. Trong 100 vé x s có 1 vé trúng 100.000đ, 5 vé trúng
50.000đ và 10 vé trúng 10.000. M t ng i mua ng u nhiên 3
vé.Tính xác su t đ
1. Ng i mua trúng th ng đúng 30.000
2. Ng i mua trúng th ng 20.000
Bài 11. M t khách s n có 6 phòng đ n. Có 10 khách đ n thuê
phòng, trong đó có 6 nam và 4 n . Ng i qu n lí ch n ng u

nhiên 6 ng i. Tính xác su t đ
1. Có 6 khách là nam
2. Có 4 khách nam, 2 khách n
3. Có ít nh t 2 khách là n
Bài 12. Có 9 t m th đánh s t 1 đ n 9. Ch n ng u nhiên ra hai
t m th . Tính xác su t đ tích c a hai s trên t m th là m t s
ch n
Bài 13. M t lô hàng g m 100 s n phNm , trong đó có 30 s n
phNm x u. L y ngNu nhiên 1 s n phNm t lô hàng.
1. Tìm xác su t đ s n phNm l y ra là s n phNm t t
2. L y ra ng u nhiên (1 l n) 10 s n phNm t lô hàng. Tìm
xác su t đ 10 s n phNm l y ra có đúng 8 s n phNm t t
Bài 14. K t qu (b,c) c a vi c gieo hai con xúc x c cân đ i hai
l n, đ c thay vào ph ng trình x2+ bx+ c =0. Tính xác su t đ :
1. Ph ng trình vô nghi m
2. Ph ng trình có ngh êm kép
3. Ph ng trình có hai nghi m phân bi t
Bài 15. M t h p ch a 30 bi tr ng, 7 bi đ và 15 bi xanh. M t
h p khác ch a 10 bi tr ng , 6 bi đ và 9 bi xanh. L y ng u nhiên
t m i h p bi. Tìm xác su t đ 2 bi l y ra cùng màu.

www.MATHVN.com

16

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

CH

Bài t p toán 11

NG III. QUAN H VUÔNG GÓC
VECT

TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1. Ch ng minh r ng G là tr ng tâm t di n ABCD khi và
ch khi nó th a mãn m t trong hai đi u ki n sau:
1. GA + GB + GC +  GD = 0

2. OA + OB + OC +  OD = 4OG v i O là m t đi m tùy ý.
Bài 2. Trong không gian cho 4 đi m tùy ý A, B, C, D. Ch ng
minh r ng: AB.DC + BC.DA + CA.DB = 0 .
Bài 3. Cho hình h p ABCD.A’B’C’D’. G i P, R th t là trung
đi m AB, A’D’. G i P’, Q, Q’, R’ th t là giao đi m c a các
đ ng chéo trong các m t ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’,
ADD’A’. Ch ng minh r ng:
1. PP ' + QQ ' + RR ' = 0 .
2. Hai tam giác PQR, P’Q’R’ có cùng tr ng tâm.
Bài 4. Cho t di n ABCD. G i G, G’ l n l t là tr ng tâm t
di n ABCD và tam giác BCD. Ch ng minh r ng: A, G, G’
th ng hàng.
Bài 5. Cho hình l ng tr tam giác ABC.A’B’C’. G i I, J l n l t
là trung đi m BB’, A’C’. K là đi m trên B’C’ sao cho
KC' = −2KB . Ch ng minh b n đi m A, I, J, K th ng hàng.
Bài
6.
Cho

hình
h p
ABCD.A’B’C’D’
có
BA = a, BB ' = b, BC = c . G i M, N l n l t là hai đi m n m trên

AC, DC’ sao cho MC = n. AC , C ' N = mC ' D .
1. Hãy phân tích BD ' theo các véct a, b, c .
2. Ch ng minh r ng: MN = (m − n)a + (1 − m)b + nc .
3. Tìm m, n đ MN //BD’.
Bài 7. Cho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’.
49 www.MATHVN.com


Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

Bài 1. Cho hình l ng tr ABC.A’B’C’.G i I và I’ l n l t là
trung đi m c a các c nh BC và B’C’
1. Ch ng minh r ng AI // A’I’.
2. Tìm giao đi m IA’ ∩ (AB’C’).
3. Tìm giao tuy n c a (AB’C’) ∩ (BA’C’).
Bài 2. Cho l ng tr tam giác ABC.A’B’C’. G i I , K , G l n l t
là tr ng tâm c a các tam giác ABC, A’B’C’ và ACC’ . Ch ng
minh r ng:
1. (IKG) // (BB’C’C)
2. (A’KG) // (AIB’)

Bài 3. Cho hình l ng tr ABC.A’B’C’. G i H là trung đi m
A’B’
1. Ch ng minh r ng CB’ // (AHC’)
2. Tìm giao tuy n d = (AB’C’) ∩ (A’BC) .
Ch ng minh r ng: d // (BB’C’C)
Bài 4. Cho l ng tr tam giác ABC.A’B’C’.
1. Tìm giao tuy n c a (AB’C’) và (BA’C’).
2. G i M, N l n l t là hai đi m b t kì trên AA’ và BC. Tìm
giao đi m c a B’C’ v i mp(AA’N ) và giao đi m c a MN
v i mp(AB’C’).
Bài 5. Cho hình h p ABCD.A’B’C’D’
1. Ch ng minh r ng (BA’C’) // (ACD’)
2. Tìm các giao đi m I = B’D ∩ (BA’C’); J = B’D ∩ (ACD’).
Ch ng minh r ng 2 đi m I, J chia đo n B’D thành 3 ph n
b ng nhau.
3. G i M, N là trung đi m c a C’B’ và D’D. D ng thi t di n
c a hình h p v i m t ph ng (BMN ).

www.MATHVN.com

48

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

DÃY S

CH
NG III.

- C P S C NG – C P S
PH

Bài t p toán 11

NHÂN

NG PHÁP QUY N P

Bài 1. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ n ∗ , ta có đ ng th c:
n(3n + 1)
.
1. 2 + 5 + 8 + ... + 3n − 1 =
2
n(n + 1)(2n + 1)
2. 12 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 =
.
6
n(4n 2 − 1)
.
3. 12 + 3 2 + ... + (2n − 1) 2 =
3
2n(n + 1)(2n + 1)
4. 2 2 + 4 2 + ... + (2n) 2 =
3
2
n (n + 1) 2
.
5. 13 + 2 3 + 33 + ... + n 3 =
4

(n − 1)n(n + 1)
6. 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + (n − 1)n =
.
3
7. 1.2 + 2.5 + ... + n(3n − 1) = n 2 (n + 1).
1
1
1
n
+
+ ... +
=
8.
1.2 2.3
n(n + 1) n + 1
1
1
1
n
9.
+
+ ... +
=
1.5 5.9
(4n − 3)(4n + 1) 4n + 1
1
1
n +1
1
.

10. (1 − )(1 − )...(1 − 2 ) =
4
2n
9
n
Bài 2. Ch ng minh r ng v i n ∈ n ∗ , ta có:
1. n 3 + 3n 2 + 5n chia h t cho 3.
2. n(2n 2 − 3n + 1) chia h t cho 6.
3. 4 n + 15n − 1 chia h t cho 9.
4. n 5 − n chia h t cho 30.
5. 5 n +3 + 113n +1 chia h t cho 17.
17 www.MATHVN.com


Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài 3. Cho n là m t s nguyên l
đ ng th c
1
1
1
+
+ ... +
2n
n +1 n + 2
Bài 4. Ch ng minh v i m i s t
đ ng th c sau:
1. 3 n > 3n + 1

3
2. 2 n − n >
2
n +1
3. 2 > 2n + 3
Bài 5. Ch ng minh v i m i s t
2 n > 2n + 1

Bài t p toán 11
n h n 1.Hãy ch ng minh b t
13
24
nhiên n ≥ 2 , ta có các b t

>

nhiên n ≥ 3 , ta có:

DÃY S
Bài 1. Xét tính đ n đi u các dãy s sau :
3n
1
2. u n = n
1. un = 2
n +1
2 +1

⎛ 1⎞
3. un = ⎜ − ⎟
⎝ 2⎠

2n − 1
5. un = n
2

n

4. u n = n + 1 − n .
6. u n =

n+2
2n

7. u n = 3 n − n
8. u n = n − n 2 − 1 .
Bài 2. Xét tính b ch n các dãy s sau :
1
1. u n = 3n − 2
2. un =
n(n + 1)
n −1
4. u n = (−3) n
3. un = 3.2
5. u n =

4n − 3
4n + 3

www.MATHVN.com

6. un =

18

n −1
n2 + 1

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

2. Gi s AB ⊥ CD thì MN QG là hình gì? Tính SMN PQ bi t
AM = x, AB = AC = CD = a. Tính x đ di n tích này l n
nh t.

HAI M T PH NG SONG SONG
Bài 1. Cho hai hình bình hành ABCD , ABEF có chung c nh
AB và không đ ng ph ng . I, J, K l n l t là trung đi m c a các
c nh AB, CD, EF. Ch ng minh:
1. (ADF) // (BCE).
2. (DIK) // (JBE).
Bài 2. Cho t di n ABCD.G i H, K, L là tr ng tâm c a các tam
giác ABC, ABD, ACD. Ch ng minh r ng (HKL)//(BCD).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O.
Tam giác SBD là tam giác đ u. M t mp (α) di đ ng song song
v i (SBD) qua đi m I trên đo n AC. Xác đ nh thi t di n c a
hình chóp c t b i (α).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông
t i A và D; AD = CD = a ; AB = 2a, tam giác SAB vuông cân

t iA.Trên c nh AD l y đi m M. t AM =x. M t ph ng (α) qua
M và //(SAB).
1. D ng thi t di n c a hình chóp v i (α).
2. Tính di n tích và chu vi thi t di n theo a và x.
Bài 5. Cho hai mp (P) và (Q) song song v i nhau và ABCD là
m t hình bình hành n m trong mp (P). các đ ng th ng song
song đi qua A, B, C, D l n l t c t mp (Q) t i các đi m A', B',
C', D'.
1. T giác A'B'C'D' là hình gì?
2. Ch ng minh (AB'D') // (C'BD).
3. Ch ng minh r ng đo n th ng A'C đi qua tr ng tâm c a hai
tam giác AB'D' và C'BD. Hai mp (AB’D’), (C’BD) chia
đo n A'C làm ba ph n b ng nhau.

HÌNH L NG TR
47

www.MATHVN.com


Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

Ch ng minh : MN // (BCD) và MN // (ABC).
Bài 2. Cho t di n ABCD .G i I, J là trung đi m c a BC và CD
1. Ch ng minh r ng BD//(AIJ)
2. G i H, K là tr ng tâm c a các tam giác ABC và ACD.

Ch ng minh r ng HK//(ABD)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .G
là tr ng tâm c a tam giác SAB và E là đi m trên c nh AD sao
cho DE = 2EA. Ch ng minh r ng GE // (SCD).
Bài 4. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
G i M , N theo th t là trung đi m c a các c nh AB, CD .
1. Ch ng minh MN // (SBC) và MN // (SAD)
2. G i P là trung đi m c a c nh SA. Ch ng minh SB //
(MN P) và SC // (MN P).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai đi m b t kì trên
SB và CD. (α) là m t ph ng qua MN và song song v i SC.
1. Tìm các giao tuy n c a (α ) v i các m t ph ng (SBC),
(SCD) và (SAC).
2. Xác đ nh thi t di n c a S.ABCD v i m t ph ng (α) .
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .G i
M,N là trung đi m SA,SB. i m P thay đ i trên c nh BC
1. Ch ng minh r ng CD//(MN P)
2. D ng thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (MN P) .
Ch ng minh r ng thi t di n là 1 hình thang.
3. G i I là giao đi m 2 c nh bên c a thi t di n ,tìm qu tích
đi m I
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai đi m trên AB,
CD, (α ) là m t ph ng qua MN và song song v i SA.
1. Xác đ nh thi t di n c a hình chóp và m t ph ng (α).
2. Tìm đi u ki n c a MN đ thi t di n là hình thang.
Bài 8. Cho t di n ABCD. T đi m M trên AC ta d ng m t mp
(α) song song AB và CD. Mp này l n l t c t BC, BD, AD t i
N , P, Q.
1. T giác MN QG là hình gì?

www.MATHVN.com

46

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

⎧u1 = 1
⎪
Bài 3. Cho dãy s (un ) xác đ nh b i: ⎨
u n + 2 ; ∀n ≥ 1 .
⎪u n +1 = u + 1
n
⎩
3
Ch ng minh r ng u n b ch n trên b i và b ch n d i b i 1.
2
⎧u1 = 2
⎪
Bài 4. Cho dãy s (un ) xác đ nh b i: ⎨
u n + 1 ; ∀n ≥ 1 .
⎪⎩u n +1 = 2
Ch ng minh r ng u n là dãy gi m và b ch n.
⎧u1 = 1
Bài 5. Cho dãy s (un ) xác đ nh b i: ⎨
n
⎩u n +1 = u n + (n + 1).2

; ∀n ≥ 1 .
Ch ng minh r ng :
1. (un ) là dãy t ng.

2. u n = 1 + (n − 1).2 n , ∀n ≥ 1 .
C PS

C NG

Bài 1. Tìm s h ng đ u và công sai c a các c p s c ng, bi t :
⎧u1 − u 3 + u 5 = 10
⎧u 7 − u 3 = 8
2. ⎨
1. ⎨
⎩u1 + u 6 = 17
⎩u 2 u15 = 75
⎧u 7 + u15 = 60
4. ⎨ 2
2
⎩u 4 + u12 = 1170
⎧u 7 − u 3 = 8
6. ⎨
⎩u 2 .u 7 = 75

⎧u + u 5 = 14
3. ⎨ 3
⎩s12 = 129
⎧u1 + u 4 + u 5 = 25
5. ⎨
⎩u 2 − u8 = −24

Bài 2.
1. Cho c p s c ng có a1 =10, d = -4 .Tính a10 và S10 .

19

www.MATHVN.com


Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

2. M t c p s c ng h u h n có s h ng đ u b ng 2, công sai
b ng -5 và t ng các s h ng b ng -205. H i c p s c ng đó có
bao nhiêu só h ng?
3. Cho c p s c ng có s h ng đ u b ng -2, công sai b ng 3.
H i 55 là s h ng th bao nhiêu c a CSC. Tính t ng c a 20 s
h ng liên ti p k t s h ng th 15.
4. Tính t ng t t c các nghi m c a ph ng trình:
sin23x-5sin3x +4=0 trên kho ng (0; 50 π ).
Bài 3. Hãy tìm s h ng t ng quát c a c p s c ng ( u n ), bi t
⎧u 23 − u17 = 30
.
r ng: ⎨
2
2
+

=
(
)
(
)
450
u
u
23
⎩ 17
Bài 4. Hãy tìm t ng 16 s h ng đ u tiên c a c p s c ng ( u n )
có u 2 + u15 = 30 .
Bài 5. Tính các t ng sau:
1. S1 = 1 + 3 + 5 + ... + 999
2. S 2 = 2 + 4 + 6 + ... + 2010
3. S 3 = 3 + 6 + 9 + ... + 3003
Bài 6. góc c a m t tam giác vuông l p thành m t c p s c ng.
Tìm ba góc c a tam giác đó.
Bài 7. M t c p s c ng có 11 s h ng. T ng các s h ng là 176.
Hi u gi a s h ng cu i và s h ng đ u là 30. Tìm c p s c ng
đó.
Bài 8. B n s l p thành m t c p s c ng. T ng c a chúng b ng
22. T ng các bình ph ng c a chúng b ng 166. Tìm b n s đó.
Bài 9. N g i ta tr ng 3003 cây theo hình m t tam giác nh sau:
hàng th nh t có 1 cây, hàng th hai có 2 cây, hàng th ba có 3
cây,…. H i có t t c bao nhiêu hàng?
Bài 10. Tìm x đ 3 s sau l p thành c p s c ng theo th t đó:
1. 10 − 3 x ; 2 x 2 + 3 ; 7-4x
2. 3 x + 2 ; x 2 + 5 x + 4 ; x 3 + 8 x + 6

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

2. Xác đ nh thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (IJG).
Thi t di n là hình gì? Tìm đi u ki n đ i v i AB và CD đ
thi t di n là hình bình hành.
Bài 6. Hình chóp S.ABCD,đáy ABCD là hình bình hành. L y
m t đi m M thu c c nh SC .M t ph ng (ABM) c t c nh SD t i
đi m N . Ch ng minh N M// CD.
Bài 7. Hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng n m
trong m t mp. Trên AC l y m t đi m M và trên BF l y m t
AM BN
đi m N sao cho
=
= k . M t mp( α ) qua MN và song
AC BF
song v i AB, c t c nh AD t i M' và c nh AF t i N '.
1. Ch ng minh : M'N ' // DF.
1
2. Cho k = , ch ng minh MN // DE.
3
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang v i các
c nh đáy AB và CD (AB > CD). G i M, N l n l t là trung
đi m c a SA và SB.
1. Ch ng minh: MN // CD
2. Tìm giao đi m P c a SC và m t ph ng (ADN )
3. Kéo dài AN và DP c t nhau t i . Ch ng minh SI // AB //

CD, t giác SABI là hình gì?
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành.
G i M, N , P, Q là các đi m n m trên BC, SC, SD, AD sao cho
MN // BS, N P // CD, MQ // CD
1. Ch ng minh: PQ // SA.
2. G i K là giao đi m c a MN và PQ, ch ng minh SK // AD
// BC.
3. Qua Q d ng các đ ng th ng Qx // SC và Qy // SB. Tìm
giao đi m c a Qx v i (SAB) và c a Qy v i (SCD).
NG TH NG SONG SONG V I M T PH NG
Bài 1. Cho t di n ABCD. G i M, N l n l
tam giác ABD và ACD.

www.MATHVN.com

20

45

t là tr ng tâm c a

www.MATHVN.com


Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

2. Tìm giao đi m c a SD v i m t ph ng (AMN ) ?
3. Tìm ti t di n t o b i m t ph ng (AMN ) v i hình chóp
Bài 18: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành .
M là trung đi m SC
1. Tìm giao đi m I c a AM v i (SBD) ? Ch ng minh IA
= 2IM .
2. Tìm giao đi m F c a SD v i (AMB) ? Ch ng minh F là
trung đi m SD ?
3. Xác đ nh hình d ng ti t di n t o b i (AMB) v i hình
chóp.
4. G i N là m t đi m trên c nh AB .Tìm giao đi m c a
MN v i (SBD) ?
HAI

NG TH NG SONG SONG

Bài 1. Cho t di n ABCD. G i I, J, K, L theo th t là trung
đi m c a các c nh AB, BC ,CD ,DA Ch ng minh : IJ//KL và
JK//IL .
Bài 2. Cho t di n ABCD .G i H, K là tr ng tâm c a các tam
giác BCD và ACD .Ch ng minh r ng HK//AB.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là m t t giác l i. G i M
,N ,E ,F l n l t là trung đi m c a các c nh bên SC, SB, SC và
SD.
1. Ch ng minh r ng ME//AC , N F//BD
2. Ch ng minh r ng ba đ ng th ng ME ,N F ,và SO(O là
giao đi m c a AC và BD) đ ng qui
3. Ch ng minh r ng 4 đi m M,N ,E,F đ ng ph ng
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. G i
H, K là trung đi m SA, SB.

1. Ch ng minh r ng HK//CD
2. Trên c nh SC l y đi m M. D ng thi t di n c a hình chóp
v i m t ph ng (MKH).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang v i các c nh
đáy là AB và CD. G i I, J l m l t là trung đi m c a DA và BC
và G là tr ng tâm tam giác SAB.
1. Tìm giao tuy n c a (SAB) và (IJG)
www.MATHVN.com 44

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

Bài 11. Ch ng minh r ng ba s d ng a, b, c l p thành c p s
1
1
1
c ng khi và ch khi các s :
,
,
l p
b+ c c+ a a+ b
thành c p s c ng.
Bài 12. Tìm b n s h ng liên ti p c a m t c p s c ng bi t t ng
c a chúng là 20 và tích c a chúng là 348.
C PS

NHÂN

Bài 1. Trong các c p s nhân d i đây, hãy tính s h ng u n đã
ch ra:
1 1
1. 2; 1; ; ;…
u7 = ?
2 4
2. -3; 6; -12; 24;…
u10 = ?
1 1 1
u8 = ?
3. 1; ; ;
;…
3 9 27
Bài 2. Tìm s h ng đ u, công b i c a các c p s nhân, bi t :
⎧u = 96
1. ⎨ 5
⎩u 6 = 192
⎧u 3 + u 5 = 90
3. ⎨
⎩u 2 − u 6 = 240

⎧u + u 3 + u 5 = −21
2. ⎨ 1
⎩u 2 + u 4 = 10
⎧u − u 2 = 72
4. ⎨ 4
⎩u 5 − u 3 = 144

⎧u1 − u 3 + u 5 = 65

5. ⎨
⎩u1 + u 7 = 325

⎧u 2 − u 4 + u 5 = 10
6. ⎨
.
⎩u 3 − u 5 + u 6 = 20

⎧⎪u1 + u2 + u3 + u4 = 15
Bài 3. Tìm c p s nhân ( u n ) bi t: ⎨ 2
2
2
2
⎪⎩u1 + u2 + u3 + u4 = 85
Bài 4. Hãy tìm s h ng c a c p s nhân, bi t c p s nhân đó:
1.Có 5 s h ng v i công b i d ng, s h ng th hai b ng 3
và s h ng th t b ng 6.

21

www.MATHVN.com


Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

1

s h ng th nh t và
4
t ng c a hai s h ng d u b ng 24.

2. Có 5 s h ng v i công b i b ng

Bài 5. Cho m t c p s nhân có 7 s h ng, s h ng th t b ng 6
và s h ng th b y g p 243 l n s h ng th hai. Hãy tìm
các s h ng còn l i c a c p s nhân đó.
Bài 6. Hãy tìm s h ng t ng quát c a c p s nhân ( u n ) có
⎧6u 2 + u 5 = 1
.
⎨
⎩3u 3 + 2u 4 = −1

Bài 7. Tính t ng:
n

2 4
⎛2⎞
1. S = −1 + − + ... + (−1) n +1 .⎜ ⎟ + ...
3 9
⎝3⎠
1
2. S = 1 + a 2 + a 3 + ... v i a =
1+ 2

Bài 8. Tính t ng t t c các s h ng c a c p s nhân (un) bi t:
⎧u1 = 2
⎪

⎨u2 = −2
⎪
⎩un = 64 2
Bài 9. M t c p s c ng và m t c p s nhân đ u là các dãy t ng.
Các s h ng th nh t đ u b ng 3, các s h ng th hai b ng
nhau. T s gi a các s h ng th ba c a c p s nhân và c p s
c ng là 9/5 .Tìm hai c p s y.
Bài 10. Tìm hai s a, b bi t r ng 1,a,b là c p s c ng và 1,a2,b2
là c p s nhân.

www.MATHVN.com

22

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, c nh đáy l n
AB. G i I, J, K l n l t là các đi m n m trên SA, AB, CD
1. Tìm giao đi m c a IK và (SBD).
2. Tìm giao đi m c a SD và (IJK).
3. Tìm giao đi m c a SC và (IJK) .

THI T DI N
Bài 1: Cho t di n ABCD. G i M, N l n l t là trung đi m các
c nh AB và CD. P là đi m n m trên c nh AD nh ng không là
trung đi m. Tìm thi t di n c a t di n c t b i m t ph ng(MN P).

Bài 2: Cho t di n ABCD. Trên các đo n AC, BC, BD l y các
đi m M, N , P sao cho MN không song song v i AB, N P không
song song v i CD. Xác đ nh thi t di n t o b i m t ph ng
(MN P) và t di n ABCD.
Bài 6: Cho hình chóp SABCD. G i M là 1 đi m thu c mi n
trong c a tam giác SCD.
1. Tìm giao tuy n c a hai m t ph ng (SBM) và (SAC).
2. Tìm giao đi m c a BM và m t ph ng (SAC).
3. Tìm thi t di n c a hình chóp c t b i m t ph ng (ABM).
Bài 9: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O.
M t đi m M trên c nh SD sao cho SD = 3SM.
1. Tìm giao tuy n c a (SAC) và (SBD).
2. Xác đ nh giao đi m I c a BM và (SAC). Ch ng t I là
trung đi m c a SO.
nh thi t di n c a hình chóp SABCD và (MAB).
3.
Bài 14: Cho t di n ABCD ; đi m I n m trên BD và ngoài
BD sao cho ID = 3IB; M; N là hai đi m thu c c nh AD; DC sao
1
2

cho MA= MD; N D =

1
2

NC

1. Tìm giao tuy n PQ c a (IMN ) v i (ABC) ?
2. Xác d nh thi t di n t o b i (IMN ) v i t di n ?

3. Ch ng minh MN ; PQ ; AC đ ng qui ?
Bài 17: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang v i AB
là đáy . G i M ; N là trung đi m SB ; SC .
1. Tìm giao tuy n c a (SAD) và (SBC) ?
43 www.MATHVN.com


Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

Bài 6: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang v i đáy
l n là AB. G i I, J l n l t là trung đi m c a SA, SB. M là đi m
tu ý trên c nh SD.
1. Tìm giao tuy n c a(SAD) và (SBC).
2. Tìm giao đi m K c a IM v i m t ph ng (SBC).
3. Tìm giao đi m N c a SC v i m t ph ng (IJM).
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. G i M
là trung đi m c a SC.
1. Tìm giao đi m I c a đ ng th ng AM v i m t ph ng
(SBD).
2. Ch ng minh IA= 2IM.
3. Tìm giao đi m F c a SD và (ABM).
4. i m N thu c AB. Tìm giao đi m c a MN và (SBD).
Bài 8: Cho t giác ABCD n m trong m t ph ng (P) có hai c nh
AB và CD không song song. G i S là đi m n m ngoài (P) và M
là trung đi m c a đo n SC.
1. Tìm giao đi m N c a SD và (MAB)

2. G i O là giao đi m c a AC và BD . CMR: SO, AM, BN
đ ng qui
Bài 9: Cho t di n ABCD. Hai đi m M, N l n l t n m trong
tam giác ABC và tam giác ABD. I là đi m tu ý trên CD. Tìm
giao c a (ABI) và đ ng th ng MN .
Bài 10: Cho hình chóp SABCD. G i I, J là hai đi m trên c nh
AD, SB
1. Tìm các giao đi m K, L c a IJ và DJ v i (SAC)
2. AD c t BC t i O; OJ c t SC t i M. Ch ng minh A, K, L,
M th ng hàng
Bài 11: Cho t di n ABCD. G i M, N l n l t là trung đi m c a
AC, BC. K là đi m trên c nh BD và không trùng v i trung đi m
c a BD.
1. Tìm giao đi m c a CD và (MN K).
2. Tìm giao đi m c a AD và (MN K)
Bài 12: Cho t di n ABCD. M, N là 2 đi m trên c nh AC, AD.
O là 1 đi m bên trong Δ BCD. Tìm giao đi m c a:
1. MN và (ABO).
2. AO và (BMN ).
www.MATHVN.com 42

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

CH

Bài t p toán 11

NG IV. GI I H N

GI I H N C A DÃY S
Bài 1. Tính các gi i h n sau:
4n 2 − n − 1
1. lim
2n 2 + 9
−n+2
3. lim 5
8n + 10n
3n 4 + 7n − 33
5. lim
100n 3 − 11n 2

7n 2 − n 5 + n 6
− n 6 + 7n − 3
4
n + 3n − 4
4.
− 6n 5 − n 2 + 3
(1 − 3n 2 ) 2 n
6. lim
− 3n 3 (2 + 3n 2 )

2. lim

(3n 2 − 2) 3 (−2n)
( 2 − 4n 3 ) 2
Bài 2. Tính các gi i h n sau:
7. lim

n +1

1. lim

7. lim

2n 4 + 3n − 2
2n 2 − n + 3
n2 + 3 n6 + 1 + 3 n

2. lim

n3 + n
n+2

4. lim

n 2 + 1 − 2n
2n + 1

6. lim

6n 4 + 5n − 7
n2 + 1 + n
4

(1 − 5n 3 ) 2 (n + 5) 3
2n + 3 − 4n 7
3

n +1

3. lim

5. lim

8. lim

8. lim

n3 + n − n

Bài 3. Tính các gi i h n sau:
3n + 1
1. lim n
2 −1
(−3) n + 5 n
3. lim
(−3) n +1 + 5 n +1

n +3 n +4 n
2n + 1
n2 + 1 − n + 1
3n + 2

3 n − 2.5 n
2. lim
7 + 3.5 n
3 n + 2 − 4 n +1
4. lim

5.4 n + 2 − 2 n + 5
23

www.MATHVN.com


Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

Bài 4. Tính các gi i h n sau:

( n + 1 − n)
3. lim( n + n + 1 − n )
5. lim n( n + 1 − n )
7. lim(n + 1 − n )
1. lim

2

2. lim( n + 3 − n )

2

4. lim

(

3

n + 2 − n +1

6. lim n 2 − n 3 + n

)

8. lim⎛⎜ n + n + n − n ⎞⎟

3

⎠

⎝

GI I H N C A HÀM S
Bài 1. Tính các gi i h n sau:
2
1. lim x 3 − 3

x 2 + 5x + 3
x → −2 2 x 3 + 2 x 2 + x + 6

2. lim

x +2
5x − 1
3. lim
x →1

2x + 7
x → −1

4
4. lim 3 2 x2 + 3x + 2
x → −2

x −x+2

Bài 2. Tính các gi i h n sau:
x 2 + 2 x − 15
x → −5
x+5

2
1. lim x + 2 x − 15

2. lim

3 ⎞
⎛ 1
−
3. lim⎜
⎟
x →1 1 − x
1 − x3 ⎠
⎝
x 2 + 3x − 4
5. lim
x → −4

x 2 + 4x

x 2 + 3x − 10
4. lim 2
x→2 3x − 5 x − 2
x3 −1
6. lim
x →1 x ( x + 5) − 6

3
2
7. lim x +2 4 x + 4 x

8. lim

3
2
9. lim x + 33 x − 9 x − 2
x→2

10. lim

x →3

x → −2

x−3

x 3 + 3x 2 + 2 x
x → −2

x2 − x − 6

x − x−6
x − x−6

x →1

x4 −1
x 2 + 2x − 3

Bài 3. Tính các gi i h n sau:

1. lim
x→2

3. lim
x →0

x2 + 5 − 3
.
x−2
x

2. lim
x→2

3. lim

1+ x −1

www.MATHVN.com

x →5

24

3x − 5 − 1
x−2
5− x

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành ; O
là giao đi m hai đ ng chéo; M ; N l n l t là trung đi m SA;
SD. Ch ng minh ba đ ng th ng SO; BN ; CM đ ng quy.

1
3

2

Tr

GIAO I M C A

NG TH NG VÀ M T PH NG

Bài 1: Cho t di n ABCD. G i M, N l n l t là trung đi m c a

AC và BC. G i K là m t đi m trên c nh BD không ph i là trung
đi m. Tìm giao đi m c a:
1. CD và m t ph ng (MN K)
2. AD và m t ph ng (MN K)
Bài 2: Cho t di n ABCD. Trên các c nh AB và Ac l n l t l y
các đi m M, N sao cho MN không song song v i BC. G i O là
m t đi m n m trong tam giác BCD.
1. Tìm giao đi m c a MN và (BCD)
2. Tìm giao tuy n c a (OMN ) và (BCD)
3. M t ph ng (OMN ) c t các đ ng th ng BD và CD t i H
và K. Xác đ nh các đi m H và K.
Bài 3: Cho hình chóp SABCD. G i I, J, K l n l t là các đi m
trên các c nh SA, AB, BC. Gi s đ ng th ng JK c t các
đ ng th ng AD, CD t i M, N . Tìm giao đi m c a các đ ng
th ng SD và SC v i m t ph ng (IJK).
Bài 4: Cho t di n ABCD. G i M, N , P là các đi m l n l t trên
các c nh AC, BC, BD.
1. Tìm giao đi m c a CP và (MN D).
2. Tìm giao đi m c a AP và (MN D).
Bài 5: Cho 4 đi m A, B, C, D không đ ng ph ng. G i M, N l n
l t là trung đi m c a AC và BC. Trên BD l y đi m P sao cho
BP=2PD.
1. Tìm giao đi m c a các đ ng th ng CD v i m t
ph ng(MN P)
2. Tìm giao đi m c a hai m t ph ng (MN P) và (ACD).

5− x
41

www.MATHVN.com

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m

Bài t p toán 11

SE, SB l n l t t i M, N . M t m t ph ng (Q) qua BC c t SD và
SA l n l t t i H và R.
1. G i I là giao đi m c a AM và DN , J là giao đi m c a
BH và ER. CMR b n đi m S, I, J, G th ng hàng.
2. Gi s K là giao đi m c a AN và DM, L là giao đi m
c a BR và EH. CMR ba đi m S, K, L th ng hàng.
Bài 9: Cho A; B; C không th ng hàng

ngoài m t ph ng (α ) .

G i M; N ; P l n l t là giao đi m AB; BC; AC v i α. Ch ng
minh M; N ; P th ng hàng ?
Bài 10: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy
là AD; BC. G i M; N là trung đi m AB; CD và G là tr ng tâm
ΔSAD. Tìm giao tuy n c a :
1. (GMN ) và (SAB)
2. (GMN ) và (SCD)
3. G i giao đi m c a AB và CD là I; J là giao đi m c a hai
giao tuy n câu a và câu b. Ch ng minh S; I; J th ng hàng .
4.

Tr

ng THPT N gô Th i N hi m
5. lim
x →5

NG TH NG

NG QUI

Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB// CD) đi m S n m ngoài m t
ph ng ch a ABCD. G i M, N l n l t là trung đi m c a SC,
SD. G i I là giao đi m c a AD và BC, J là giao đi m c a AN và
BM.
1. CMR : S, I, J th ng hàng.
2. G i O là giao đi m c a AC và BD. CMR : SO, AM, BN
đ ng quy.
Bài 2. Cho t di n ABCD. M, N l n l t là trung đi m BC, BD.
1
Các đi m P và S l n l t thu c AD, AC sao cho AR = AD ;
3
1
AS = AC . CMR : ba đ ng th ng AB, MS, N R đ ng quy.
3

www.MATHVN.com

40

6. lim
x →0

1 + x + x2 −1
x
x +1

2
7. lim 1 − 2 x + x − (1 + x )

8. lim

9. lim 2 x − 3x + 1
2
x →1

2
10. lim 3x − 2 − 4 x − x − 2
2
x →1

x →0

x → −1

x

x −1

6 x 2 + 3 + 3x
x − 3x + 2

Bài 4. Tính các gi i h n sau:
5+ x − 5− x
1. lim
x →0
x
3
1 + 4x − 1
3. lim
x →0
x
x
5. lim 3
x →0
x +1 −1
2
x − x
7. lim
x →1
x −1

1 + x − x2 + x + 1
x

2. lim
x →0

1− 3 x +1
x →0
3x

4. lim

6. lim 3 − 5 + x
x→4

1− 5 − x
3

8. lim

x → −1

3
9. lim 2 1 − x − 8 − x
x →0

CH NG MINH BA

x+4 −3
x 2 − 25

Bài t p toán 11

x +3−2
3

10. lim
x →1

x

Bài 5. Gi i h n m t bên:
3x − 2
1. lim+
x →1 x − 1

2. lim+
x → −3

x +1

2

x + 7 − 5 − x2
x −1

x4 +1
x 2 + 4x + 3

⎧3 x − 1 ; x ≤ 1
3. lim f ( x) bi t f ( x ) = ⎨ 2
x→1
⎩x + 1 ; x > 1
⎧1
2
; x ≤1
⎪ 5 (2 x + 3)
⎪
4. lim f ( x ) ; lim f ( x ) bi t f ( x ) = ⎨6 − 5 x
;1 < x < 3

x→1
x→ 3
⎪x − 3
;x≥3
⎪
⎩
Bài 6. Tính các gi i h n sau:

25

www.MATHVN.com