lược đồ vô hướng hóa pascoletti serafini và bài toán tối ưu véctơ tuyến tính

Header Page 1 of 161.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG

LƯỢC ĐỒ VÔ HƯỚNG HÓA PASCOLETTI-SERAFINI
VÀ BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉCTƠ TUYẾN TÍNH

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

HÀ NỘI, 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG

LƯỢC ĐỒ VÔ HƯỚNG HÓA PASCOLETTI-SERAFINI
VÀ BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉCTƠ TUYẾN TÍNH

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khoá luận

TS. Nguyễn Văn Tuyên

HÀ NỘI, 2016

Footer Page 2 of 161.


Header Page 3 of 161.
LỜI CẢM ƠN

Em xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trình
học tập tại trường và tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài khóa luận tốt
nghiệp.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn
Tuyên đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và
hoàn thành khóa luận này.
Trong quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi những thiếu sót và hạn
chế. Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và
toàn thể bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2016
Sinh viên

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Footer Page 3 of 161.

Header Page 4 of 161.
LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Văn
Tuyên khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nào
khác.
Trong khi thực hiện đề tài em đã sử dụng và tham khảo các thành tựu
của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng.

Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2016
Sinh Viên

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Footer Page 4 of 161.
iv


Header Page 5 of 161.

Mục lục

Mở đầu

1

Lời mở đầu

1

1

3

Bài toán tối ưu véctơ
1.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3. Điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4. Sự tồn tại của điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5.

14

Bài toán tối ưu véctơ (VOP) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Lược đồ vô hướng hóa Pascoletti-Serafini và Bài toán tối ưu

véc tơ tuyến tính

16

2.1. Một số tính chất cơ bản của lược đồ vô hướng hóa PascolettiSerafini

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2. Ứng dụng cho bài toán tối ưu véc tơ tuyến tính . . . . . . . .

22

2.3. Tính chất liên thông của tập nghiệm của các bài toán bổ trợ .

28

Footer Page 5 of 161.
v


Header Page 6 of 161.

Lời mở đầu
Vô hướng hóa là công cụ rất mạnh trong tối ưu véctơ , nó thay thế một
bài toán tối ưu véctơ bởi một họ các bài toán tối ưu vô hướng. Kĩ thuật này
không chỉ cho phép nghiên cứu định tính bài toán tối ưu véc tơ mà còn cho
phép ta có thể sử dụng các phương pháp giải số cho các bài toán tối ưu vô
hướng. Một cách vô hướng cổ điển là xét bài toán tổng có trọng của các hàm

mục tiêu, hay tổng quát hơn là xét bài toán tối ưu vô hướng ở đó hàm mục
tiêu là hợp của hàm mục tiêu véctơ và một phiếm hàm tuyến tính (một nhân
tử) được lấy trong nón đối ngẫu của nón sinh thứ tự. Một cách khác đó là
xét điều kiện tối ưu bậc nhất, ở đó các nhân tử Lagrange đóng vai trò là các
tham số vô hướng hóa.
Năm 1984, dựa trên một ý tưởng mới, Pascoletti-Serafini [2] đã đề xuất
một lược đồ vô hướng hóa hình học, ở đó hàm mục tiêu véctơ của bài toán
được xét được tích hợp trong hệ ràng buộc. Hàm mục tiêu của bài toán bổ
trợ của Pascoletti-Serafini là một số thực biểu diễn độ lớn của khả năng di
chuyển của một véctơ được lấy từ phần trong tương đối của nón sinh thứ tự.
Áp dụng cho bài toán tối ưu véctơ , bài toán bổ trợ Pascoletti-Serafini là một
bài toán quy hoạch tuyến tính chính vì vậy nó có thể giải quyết được bằng
các thuật toán như thuật toán điểm trong hoặc thuật toán đơn hình Dantzig.
Đặc trưng này là một điểm quan trọng trong việc sử dụng phương pháp của
Pascolettin-Serafini cho bài toán tối ưu véctơ tuyến tính.
Lược đồ vô hướng hóa Pascoletti-Serafini được Helbing [3, 4] sử dụng để
đưa ra một thuật toán lặp cho bài toán tối ưu véctơ phi tuyến tính và để giải
quyết các bài toán quy hoạch toàn phương véctơ . Sau đó, Stema-Karwat [5]
đã khảo sát tính liên tục, tính Lipschitz, tính khả vi theo tham số của nghiệm

Footer Page 6 of 161.
1


Header Page 7 of 161.
của bài toán vô hướng trong lược đồ vô hướng hóa Pascoletti-Serafini. Gần
đây, bằng cách sử dụng lược đồ vô hướng hóa này, Eichfelder đã phát triển
trong một các bài báo [6, 7] và trong một cuốn sách [8] một phương pháp
giải với một điều khiển tham số cải biên cho bài toán tối ưu véctơ tuyến tính.
Phương pháp này đã được áp dụng cho các bài toán đa mục tiêu hai mức và

cho một số bài toán trong y học.
Mục đích của khóa luận này là trình bày một số tính chất của lược đồ
Pascoletti-Serafini cho bài toán tối ưu véctơ tổng quát. Một số đặc trưng về
tính chất liên thông của tập nghiệm của các bài toán bổ trợ cho cả trường
hợp bài toán tối ưu véctơ tuyến tính và phi tuyến cũng được khảo sát.
Các kết quả chính trong khóa luận được trình bày trên cơ sở bài báo [9]
gần đây của Huong và Yen đăng trên tạp chí Jourual of Optimization Theory
and Application năm 2014.
Khóa luận gồm hai chương:
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Nội dung chính của
chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi và bài toán
tối ưu véctơ
Chương 2 trình bày về lược đồ vô hướng hóa Pascolettin-Serafini và bài
toán tối ưu véctơ tuyến tính. Mục 2.1 nhắc lại một số tính chất cơ bản của
lược đồ vô hướng hóa Pascoletti-Serafini. Mục 2.2 trình bày một số tính chất
của lược đồ vô hướng hóa Pascolettin-Serafini cho bài toán tối ưu véctơ tuyến
tính. Mục 2.3 trình bày về tính chất liên thông của tập nghiệm của các bài
toán bổ trợ của bài toán tối ưu véctơ tuyến tính.

Footer Page 7 of 161.
2


Header Page 8 of 161.

Chương 1
Bài toán tối ưu véctơ
1.1.

Một số khái niệm cơ bản

Giả sử E là không gian tuyến tính, R là tập các số thực.

Định nghĩa 1.1. Tập A ⊂ E được gọi là lồi, nếu:
∀x1 , x2 ∈ A; ∀λ ∈ R : 0

λ

1 ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A.

Ví dụ 1.1. Các nửa không gian là các tập lồi. Hình tam giác, hình tròn trong
mặt phẳng là các tập lồi. Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập
lồi...
Định nghĩa 1.2. Giả sử A ⊂ X. Tương giao của tất cả các tập lồi chứa A
được gọi là bao lồi của tập A, kí hiệu là coA.
Nhận xét 1.1. a) coA là một tập lồi. Đó là tập lồi bé nhất chứa A;
b) A lồi khi và chỉ khi A = coA.
Định nghĩa 1.3. Tập C ⊂ E được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu:
∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.
C được gọi là nón có đỉnh tại x0 , nếu C − x0 là nón có đỉnh tại 0.

Footer Page 8 of 161.


Header Page 9 of 161.
Định nghĩa 1.4. Nón C có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi, nếu C là một tập
lồi, nghĩa là:
∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ C.
Ví dụ 1.2. Các tập sau đây trong Rn :
{ξ1 , ξ2 , ..., ξn ∈ Rn : ξi

0, i = 1, ..., n}

(nón orthant không âm)
{ξ1 , ξ2 , ..., ξn ∈ Rn : ξi > 0, i = 1, ..., n}
(nón orthant dương)
là các nón lồi có đỉnh tại 0. Đó là nón lồi quan trọng trong Rn .
Ngoài ra, nếu cho D ⊆ Rm là một nón lồi, nón cực dương của D được
xác định bởi:
D∗ := {x∗ ∈ Rm :< x∗ , x >
Cho a, b ∈ Rm , a
ai

0, ∀x ∈ D} .

b khi và chỉ khi a − b ∈ D; a

D

m
0, i = 1, ..., m. Kí hiệu Rm
+ := {x ∈ R : x

0 khi và chỉ khi

0} và cho g : X → Rm .

Hàm g được gọi là D- giống lồi trên S ⊆ X khi và chỉ khi :
∀x1 , x2 ∈ S, ∀α ∈ [0, 1], ∃x ∈ S.
sao cho
(1 − α)g(x1 ) + αg(x2 ) − g(x) ∈ D.

Điều này được biết đến trong [13] rằng g là một hàm D- giống lồi khi và chỉ
khi tập g(S) + D là lồi.
Định nghĩa 1.5. Tập A ⊂ Rn được gọi là tập affine, nếu
(1 − λ)x + λy ∈ A(∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R)
Định nghĩa 1.6. Tương giao của tất cả các tập affine chứa tập A ⊂ Rn được
gọi là bao affine của A và kí hiệu là af f A.

Footer Page 9 of 161.
4


Header Page 10 of 161.
Định nghĩa 1.7. Phần trong tương đối của tập A ⊂ Rn là phần trong của A
trong af f A (bao affine); kí hiệu là riA. Các điểm thuộc riA được gọi là điểm
trong tương đối của tập A.
Nhận xét 1.2.
intA := {x ∈ Rn : ∃ > 0, x + B ⊂ A} ,
riA := {x ∈ af f A : ∃ > 0, (x + B) ∩ af f A ⊂ A} ,
trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong Rn .
Tiếp theo chúng ta sẽ đi xem xét một số nón thường gặp
Cho C là nón lồi trong không gian véctơ tôpô E. Kí hiệu l(C) :=
C ∩ (−C) (phần tuyến tính của C); clC (bao đóng của C); một tập con
A ⊆ E, Ac là phần bù của A trong E, nghĩa là Ac = E\A.
Định nghĩa 1.8. Chúng ta nói nón C là:
(a) Nhọn nếu l(C) = 0;
(b) Nón sắc nếu bao đóng của nó là nhọn;
(c) Nón có giá chặt nếu C\l(C) là được chứa trong một nửa không gian mở
thuần nhất;
(d) Nón đúng nếu (clC) + C\l(C) ⊆ C, hoặc tương đương
clC + C\l(C) ⊆ C\l(C).

Ví dụ 1.3. theo định nghĩa 1.8
1. Cho Rn là không gian Euclide n-chiều. Khi đó, nón orthant không
âm Rn+ gồm tất cả các vectơr của Rn với toạ độ không âm là nón lồi, sắc,
đóng, có giá chặt và là nón đúng.
Tập {0} cũng là một nón, nhưng là nón tầm thường.

Footer Page 10 of 161.
5


Header Page 11 of 161.
Tập là hợp của 0 và các véctơ với toạ độ đầu tiên dương là một nón
đúng, nhọn, có giá chặt nhưng không là nón sắc.
Bất kì nửa không gian đóng thuần nhất là nón đúng, có giá chặt nhưng
không là nón nhọn.
2. Cho Ω là không gian vectơr gồm tất cả dãy x = {xn } số thực. Cho
C = {x ∈ Ω : xn

0, ∀n}, thì C là nón nhọn, lồi. Tuy nhiên, ta chưa biết nón

C là nón đúng hoặc nón sắc vì ta chưa biết tôpô xác định trên không gian
này.
3. Nón thứ tự từ điển: Cho
1

|xn |p ) p , 1

lp = x ∈ Ω : x = (

p < ∞.

Kí hiệu C là hợp của 0 và các dãy mà số hạng đầu tiên khác không của dãy
là dương. Đây là một nón lồi, còn gọi là nón thứ tự từ điển. Nó là nón nhọn
nhưng không là nón đúng và cũng không phải là nón có giá chặt.
Mệnh đề 1.1. Nón C là đúng khi và chỉ khi một trong các các điều kiện sau
thoả mãn:
(a) C là đóng;
(b) C\l(C) là mở, khác rỗng;
(c) C là hợp của 0 và giao của các nửa không gian mở và nửa không gian
đóng trong E.
Chứng minh. (a) Hiển nhiên,
(b) Nếu C\l(C) mở thì intC = ∅ và intC = C\l(C). Do đó, ta có
clC + C\l(C) = (clC) + intC ⊆ C,
hay C là nón đúng.

Footer Page 11 of 161.
6


Header Page 12 of 161.
(c) Giả sử C = {0} ∪ (∩ {Hλ : λ ∈ Λ}), ở đây Hλ là nửa không gian đóng hoặc
mở trong E. Nếu tất cả Hλ là đóng thì điều này tương đương với C là đóng.
Do đó, ta có thể giả sử ít nhất một nửa không gian là mở thì l(C) = {0} và
b ∈ C\l(C) khi và chỉ khi b ∈ Hλ , ∀λ ∈ Λ. Hơn thế nữa, ta thấy a ∈ clC khi
và chỉ khi a ∈ clHλ , ∀λ ∈ Λ nên clHλ + Hλ ∈ Hλ .
Vậy Hλ là mở hoặc đóng thì a + b ∈ C, a ∈ C, b ∈ C\l(C). Mệnh đề
được chứng minh.
Định nghĩa 1.9. Cho một nón C trong không gian E. Một tập B ⊆ E sinh
ra nón C và viết C = cone(B) nếu
C = {tb : b ∈ B, t

0} .

Hơn nữa, nếu B không chứa 0 và với mỗi c ∈ C, c = 0, tồn tại duy nhất
b ∈ B, t > 0 sao cho c = tb thì B được gọi là cơ sở của C. Khi B là một tập
hữu hạn, cone(conv(B)) được gọi là một nón đa diện.
Nhận xét 1.3. Rõ ràng trong không gian hữu hạn chiều một nón có cở sở là
lồi, đóng bị chặn khi và chỉ khi nó là nhọn, đóng. Tuy nhiên nó không đúng
trong không gian vô hạn chiều.
Mệnh đề 1.2. Nếu E là không gian Hausdorff thì một nón với một cơ sở lồi,
đóng bị chặn là nón đóng, nhọn vì vậy nó là nón đúng.
Chứng minh. Trước hết ta chỉ ra rằng C là đóng. Cho dãy{cα } là một lưới
từ C hội tụ tới c. Do B là một cơ sở nên tồn tại một lưới {bα } từ B và một
lưới {tα } các số dương mà cα = tα bα . Dễ thấy tα là bị chặn. Thật vậy, giả sử
ngược lại limtα = ∞. Vì E là không gian Hausdorff nên lưới

bα =

cα
tα

hội

tụ tới 0. Hơn thế nữa B là đóng, dẫn tới mâu thuẫn: 0 = limbα ∈ B. Bằng
cách này, ta có thể giả sử {tα } hội tụ tới điểm to

0. Nếu to = 0 thì từ tính

bị chặn của B, limtα bα = 0. Do đó c = 0 và hiển nhiên c ∈ C. Nếu to > 0,ta

Footer Page 12 of 161.
7


Header Page 13 of 161.
có thể giả sử tα > , ∀α, > 0. Từ bα =
nên véctơ

1.2.

c
to

cα
tα

hội tụ tới

c
to

và hơn nữa B đóng

∈ B. Do đó c ∈ C và C đóng nên C nhọn là hiển nhiên.

Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự
Cho một tập hợp E tuỳ ý, một quan hệ hai ngôi trong E được định

nghĩa bởi một tập con B của tập hợp tích E × E. Điều này có nghĩa là một
phần tử x ∈ E có quan hệ với y ∈ E nếu (x, y) ∈ B.

Định nghĩa 1.10. Cho B là một quan hệ hai ngôi trong E. Ta nói quan hệ
này là:
(a) Phản xạ nếu (x, x) ∈ B với mọi x ∈ E;
(b) Đối xứng nếu(x, y) ∈ B suy ra (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈ E;
(c) Bắc cầu nếu (x, y) ∈ B,(y, z) ∈ B suy ra (x, z) ∈ B với x, y, z ∈ B;
(d) Đầy đủ hoặc liên thông nếu (x, y) ∈ B hoặc (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈
E, x = y;
(e) Tuyến tính trong trường hợp E là không gian véctơ thực nếu (x, y) ∈ B
suy ra (tx + z, ty + z) ∈ B với mọi x, y, z ∈ E, t > 0;
(f) Đóng trong trường hợp E là không gian véctơ tôpô, nếu nó là đóng như
một tập con của không gian tích E × E.
Để làm rõ định nghĩa này chúng ta xem xét một số ví dụ cổ điển sau.
Cho E là một cộng đồng dân cư của một thành phố và chúng ta định nghĩa
quan hệ hai ngôi như sau (số dân cư được gán bởi x, y, z,...)
1. (x, y) ∈ B1 nếu x, y là những người tuổi cao hoặc có tuổi.
2. (x, y) ∈ B2 nếu x, y là hai giới tính khác nhau.
3. (x, y) ∈ B3 nếu x, y là những người có họ.

Footer Page 13 of 161.
8


Header Page 14 of 161.
Ta thấy rằng B1 là phản xạ, bắc cầu, không đối xứng, đầy đủ. B2 không
phản xạ, đối xứng, không bắc cầu, không đầy đủ. B3 là phản xạ, không bắc
cầu, đối xứng, không đầy đủ.
Định nghĩa 1.11. Quan hệ hai ngôi là một quan hệ thứ tự nếu nó là phản
xạ, bắc cầu.
Thật vậy, nếu B là một quan hệ thứ tự mà là tuyến tính trong một
không gian véctơ thì tập

C = {x ∈ E : (x, 0) ∈ B}
là một nón lồi. Hơn nữa, nếu B là không đối xứng thì C là nhọn. Ngược lại,
mỗi nón lồi trong E cho một quan hệ hai ngôi
BC = {(x, y) ∈ E × E : x − y ∈ C}
là phản xạ, bắc cầu và tuyến tính. Ngoài ra, nếu C là nhọn thì BC là không
đối xứng.
Bây giờ, chúng ta sẽ xét một vài thứ tự sinh ra bởi các nón lồi. Đôi khi
chúng ta viết:
x

C

y thay cho x − y ∈ C;

hoặc x

y nếu nó chắc chắn là quan hệ hai ngôi được định nghĩa bởi

C;
x >C y nếu x

C

y và không phải là y

C

hay là x ∈ y + C\l(C). Khi intC = 0, x

x,

C

y nghĩa là x >K y với

K = {0} ∪ intC.
Ví dụ 1.4. 1. Cho Rn và tập C = Rn+ . Thì BC là phản xạ, bắc cầu, tuyến
tính, đóng, không đối xứng nhưng không đầy đủ. Cho x = (x1 , ..., xn ) , y =
(y1 , ..., yn ) ∈ Rn :

Footer Page 14 of 161.
9


Header Page 15 of 161.
x

C

y khi và chỉ khi xi

yi với i = 1,..., n;

x >C y khi và chỉ khi xi

yi với i = 1,..., n và ít nhất một bất đẳng

thức là ngặt;
x

C

y khi và chỉ khi xi > yi với mọi i = 1,..., n.

2. Trong R2 . Nếu C = R1 , 0 thì BC là phản xạ, bắc cầu, tuyến tính,
đóng và đối xứng. Trong trường hợp này x

C

y khi và chỉ khi hai thành

phần của các véctơ trùng nhau. Thứ tự này không đầy đủ.
3. Nón thứ tự từ điển là một quan hệ phản xạ, bắc cầu, tuyến tính đầy
đủ trong lp .

1.3.

Điểm hữu hiệu
Cho E là không gian véctơ tôpô thực với quan hệ thứ tự ( ) được sinh

bởi một nón lồi C.
Định nghĩa 1.12. Cho A là một tập con khác rỗng của E. Ta nói rằng:
(a) x ∈ A là một điểm hữu hiệu lí tưởng (hoặc cực tiểu lí tưởng) của A tương
ứng với C nếu y

x, ∀y ∈ A;

Tập các điểm cực tiểu lí tưởng của A được kí hiệu là IM in (A | C);
(b) x ∈ A là điểm hữu hiệu (cực tiểu-Pareto hoặc cực tiểu) của A tương ứng
với C nếu x

y, y ∈ A thì y

x;

Tập các điểm hữu hiệu của A kí hiệu là M in(A | C);
(c) x ∈ A là điểm hữu hiệu thực sự (toàn cục) của A tương ứng với C nếu
tồn tại một nón lồi K = E với intK ⊇ C\l(C) sao cho x ∈ M in(A | K);
Tập các điểm hữu hiệu toàn cục của A được kí hiệu là P rM in(A | C);
(d) Giả sử intC = ∅, x ∈ A là một điểm hữu hiệu yếu của A tương ứng với C

Footer Page 15 of 161.
10


Header Page 16 of 161.
nếu x ∈ M in(A | {0} ∪ intC);
Tập các điểm hữu hiệu yếu của A kí hiệu là W M in(A | C).
Ví dụ 1.5. Cho:
A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2

0 ∪ {(x, y) : x

1, y

0, 0

y

−1} ;

B = A ∪ {(−2, −2)}.
Nếu cho C = R2+ , ta có:
IM in(B) = P rM in(B) = M in(B) = W M in(B) = {(−2, −2)};
IM in(B) = ∅,
P rM in(A) = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1, 0 > x, 0 > y ,
M in(A) = P rM in(A) ∪ {(0, −1)} ∪ {(−1, 0)},
W M in(A) = M in(A) ∪ {(x, y) : y = −1, x

0}.

Bây giờ cho C = (R1 , 0) ⊆ R2 . Ta có :
IM in(B) = ∅,
P rM in(B) = M in(B) = W M in(B) = B,
IM in(A) = ∅,
P rM in(A) = M in(A) = W M in(A) = A.
Từ định nghĩa của các điểm hữu hiệu, ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.3. Cho A ⊆ E thì :
(a) x ∈ IM in(A) khi và chỉ khi x ∈ A và A ⊆ x + C;
(b) x ∈ IM in(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − C) ⊆ x + l(C) hoặc tương đương:
∃y ∈ A sao cho x > y. Đặc biệt khi C là nhọn, x ∈ M in(A) khi và chỉ khi
A ∩ (x − C) = {x};
(c) Khi C = E, x ∈ W M in(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − intC) = ∅ hoặc tương
đương với ∃y ∈ A sao cho x

y.

Mệnh đề 1.4. Cho tập khác rỗng A ⊆ E có:

Footer Page 16 of 161.
11

Header Page 17 of 161.
P rM in(A) ⊆ M in(A) ⊆ W M in(A).
Hơn nữa, nếu IM in(A) = ∅ thì IM in(A) = M in(A) và nó là tập một
điểm khi C là nhọn.
Chứng minh. Lấy x ∈ P rM in(A). Nếu x ∈ M in(A) có y ∈ A và x − y ∈
C\l(C). Lâý nón lồi K, K = E với intK ⊆ C\l(C) và x ∈ M in(A | K). Thì
x − y ∈ intK ⊆ K\l(K). Điều này mâu thuẫn với x ∈ M in(A | K) suy ra
P rM in(A) ⊆ M in(A).
Lấy x ∈ M in(A). Nếu x ∈ W M in(A) theo Mệnh đề 1.3 tồn tại y ∈ A
sao cho x−y ∈ intC. Do C = E, intC ⊆ C\l(C) nên ta có x−y ∈ C\l(C).Điều
này mâu thuẫn với x ∈ M inA. Vậy M in(A) ⊆ W M in(A).
Rõ ràng IM in(A) ⊆ M in(A). Nếu IM in(A) = ∅, cho x ∈ IM in(A)
thì x ∈ M in(A). Cho y ∈ M in(A) thì y ≥ x vì vậy x
bất kì z ∈ A có z

y. Lấy một điểm

x vì x ∈ IM in(A) suy ra z

y là y ∈ IM in(A). Do đó

IM in(A) = M in(A). Ngoài ra, nếu C là nhọn x

y và y ≥ x chỉ có thể xảy

ra trường hợp x = y. Vậy IM inA là tập một điểm.
Định nghĩa 1.13. Cho x ∈ E. Tập A ∩ (x − C) được gọi là một nhát cắt A
tại x và kí hiệu Ax .

Mệnh đề 1.5. Cho x ∈ E với Ax = ∅. Ta có :
(a) IM in(Ax ) ⊆ IM inA nếu IM inA = ∅;
(b) M in(Ax ) ⊆ M inA (tương tự cho W M in).
Chứng minh. (a) Cho y ∈ IM in(Ax ) và z ∈ IM inA có Ax ⊆ y + C và
A ⊆ z + C. Thì z ∈ Ax và z − y ∈ l(C) suy ra
A ⊆ z + C = y + z − y + C = y + l(C) + C = y + C.
Do đó y ∈ IM inA.

Footer Page 17 of 161.
12


Header Page 18 of 161.
(b) Giả sử y ∈ M in(Ax ). Theo Mệnh đề 1.4 có Ax ∩ (y − C) ⊂ y + l(C) suy
ra y − C ⊆ x − C nên
A ∩ y − C ⊆ A ∩ (y − C) ∩ (x − C) ⊆ Ax ∩ (y − C) ⊆ y + l(C).
Do đó y ∈ M inA.
Chứng minh tương tự cho W M in.
Nhận xét 1.4. Quan hệ P rM in(Ax ) ⊆ P rM inA nói chung không đúng trừ
một số trường hợp đặc biệt.

1.4.

Sự tồn tại của điểm hữu hiệu

Định nghĩa 1.14. Cho lưới {xα : α ∈ I} từ E được gọi là lưới giảm( tương
ứng với C) nếu xα >C xβ với α, β ∈ I; β > α.
Định nghĩa 1.15. Cho A ⊆ E được gọi là C- đầy đủ (tương ứng Cđầy đủ mạnh) nếu nó không có phủ dạng {(xα − clC)c : α ∈ I} (tương ứng
{(xα − C)c : α ∈ I}) với {xα } là một lưới giảm trong A.
Định lý 1.1. Giả sử C là một nón lồi đúng và A là một tập khác rỗng trong

E. Thì M in(A | C) = ∅ khi và chỉ khi A có một nhát cắt C- đầy đủ và khác
rỗng.
Chứng minh. Nếu M in(A | C) = ∅ thì mọi điểm của tập này cho ta một nhát
cắt C- đầy đủ vì không tồn tại lưới giảm. Ngược lại, cho Ax khác rỗng là
một nhát cắt C- đầy đủ của A. Theo Mệnh đề 1.5 thì ta chỉ cần chứng minh
M in(Ax | C) = ∅. Xét tập P bao gồm tất cả các lưới giảm trong A. Vì A = ∅
suy ra P = ∅. Với a, b ∈ P ta viết a

b nếu b ⊆ a. Rõ ràng ( ) là quan hệ

thứ tự trong P , và một xích bất kì trong P đều có cận trên. Thật vậy, giả sử
{aλ ; λ ∈ Λ} là một xích trong P . Gọi B là tập tất cả các tập con hữu hạn B

Footer Page 18 of 161.
13


Header Page 19 of 161.
của Λ được sắp thứ tự bởi bao hàm và đặt
aB = ∪ {aα ; α ∈ B} .
Và
ao = ∪ {aB : B ∈ B} .
Thì ao là một phần tử của P và ao

aα với mọi α ∈ Λ nghĩa là ao là một cận

trên của xích này. Áp dụng bổ đề Zorn, tồn tại phần tử lớn nhất của P , kí hiệu
là a∗ = {xα : α ∈ I} ∈ P . Bây giờ, giả sử ngược lại M in(Ax | C) = ∅. Chúng
ta sẽ chứng minh {(xα − clC)c : α ∈ I} phủ Ax . Ta chỉ ra với mỗi y ∈ Ax
có α ∈ I mà (xα − clC)c chứa y. Giả sử phản chứng y ∈ xα − clC, ∀α ∈ I.

Vì M in(Ax | C) = ∅ có z ∈ Ax với y >C z. Do tính đúng của C nên
x − α >C z, (α ∈ I). Thêm z vào lưới a∗ ta thấy rằng lưới này không thể lớn
nhất, dẫn tới mâu thuẫn. Vậy định lí được chứng minh.

1.5.

Bài toán tối ưu véctơ (VOP)
Cho X là một tập con khác rỗng của một không gian tôpô và F là một

ánh xạ đa trị từ X vào E, ở đây E là không gian véctơ tôpô thực được sắp
thứ tự bởi nón lồi C.
Xét bài toán (VOP)
Min F (x)
với ràng buộc x ∈ X.
Một điểm x ∈ X được gọi là tối ưu (cực tiểu hoặc hữu hiệu) của (VOP)
nếu F (x) ∩ M in(F (X) | C) = ∅, ở đó F (X) là hợp của các tập F (x) trên
X. Các phần tử của M in(F (x) | C) được gọi là giá trị tối ưu của (VOP).
Tập các điểm hữu hiệu của (VOP) được kí hiệu là S(X; F ). Thay thế IM in,

Footer Page 19 of 161.
14


Header Page 20 of 161.
P rM in, W M in cho M in(F (X) | C) chúng ta có các khái niệm IS(X; F ),
P rS(X; F ) và W S(X; F ).
Nhận xét 1.5. Nếu ta thay nón C bằng nón −C, thì bài toán (V OP ) được
gọi là bài toán Max.
Quan hệ giữa các điểm hữu hiệu, hữu hiệu thực sự và hữu hiệu yếu của
(VOP) được trình bày trong mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.6. Cho (VOP), chúng ta có các bao hàm thức sau:
P rS(X; F ) ⊆ S(X; F ) ⊆ W S(X; F ).
Hơn nữa, nếu IS(X; F ) = ∅ thì IS(X; F ) = S(X; F ).
Chứng minh tương tự Mệnh đề 1.4
Bổ đề 1.1. Giả sử C là lồi, X là tập compac khác rỗng và F là C- liên tục
trên trong X với F (x) + C là C- đầy đủ, đóng với mọi x ∈ X thì F (X) là Cđầy đủ.
Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng F (X) không là C đầy đủ. Điều này có
nghĩa là có một lưới giảm {aα : α ∈ I} của F (X) sao cho {(aα − cl(C))c : α ∈
I} là phủ của F (X). Lấy xα ∈ X với aα ∈ F (xα ). Không mất tính tổng quát,
giả sử lim xα = x ∈ X. Khi đó, với mỗi lân cận V của F (x) trong E có một
chỉ số β ∈ I sao cho
aα ∈ V + C, ∀α

β.

aα ∈ aδ + C, ∀δ

α.

Do {aα } là dãy giảm, nên

Từ đây suy ra:
aα ∈ cl(F (x) + C) = F (x) + C, ∀α.
Dẫn tới mâu thuẫn: F (x) + C không thể là C- đầy đủ.

Footer Page 20 of 161.
15


Header Page 21 of 161.

Chương 2
Lược đồ vô hướng hóa
Pascoletti-Serafini và Bài toán tối ưu
véc tơ tuyến tính
2.1.

Một số tính chất cơ bản của lược đồ vô hướng hóa
Pascoletti-Serafini
Cho tập X và một ánh xạ đơn trị F : X → Y , Y = Rm là không gian

Euclide m chiều, Λ ⊂ Y là một nón lồi đóng. Bài toán Max tương ứng với bộ
{X, Y, F, Λ} là
(P) MaxΛ {F (x) | x ∈ X}.
Như thường lệ, ta gọi X, Y, F, Λ lần lượt là tập quyết định, không gian mục
tiêu, hàm mục tiêu và nón sinh thứ tự.
Định nghĩa 2.1. Một điểm u ∈ X là nghiệm hữu hiệu của (P) nếu không
tồn tại x ∈ X thỏa mãn F (x) − F (u) ∈ Λ\{0Y }.
Định nghĩa 2.2. Phần trong tương đối của một tập Λ ⊂ Rm , kí hiệu ri Λ,
được định nghĩa như sau:
riΛ = {u ∈ Λ | ∀h ∈ L(Λ), ∃ε > 0, sao cho : u + εh ∈ Λ},

Footer Page 21 of 161.
16


Header Page 22 of 161.
ở đó, L(Λ) = Λ − Λ được gọi là bao aphin của Λ.
Nhận xét 2.1. Phần trong tương đối của Λ trùng với phần trong đại số của
◦

tập này, ở đó phần trong đại số Λ được định nghĩa như sau:
◦

Λ = {u ∈ Λ | ∀h ∈ L(A), ∃ε > 0, sao cho: u + δh ∈ Λ, ∀δ ∈ [0, ε]}.
◦

◦

Thật vậy, hiển nhiên ta thấy rằng Λ ⊂ ri Λ. Ta đi chứng minh ri Λ ⊂ Λ.
Lấy u ∈ ri Λ tùy ý. Với h ∈ L(Λ) tùy ý nên tồn tại ε > 0 sao cho
u + εh ∈ Λ. Ta sẽ đi chứng minh, với mọi 0 < δ < ε suy ra được u + δh ∈ Λ.
Ta có:
u + δh = λu + (1 − λ)(u + εh)= (1 − δε )u + δε (u + εh).
◦

Vì u ∈ Λ và u + εh ∈ Λ nên u + δh ∈ Λ. Do đó ri Λ ⊂ Λ.
Ta được điều cần phải chứng minh.
Nhận xét 2.2. Điểm biên tương đối của Λ được định nghĩa như sau: ∂Λ =
Λ\ri Λ.
Định nghĩa 2.3. Một điểm u ∈ X là nghiệm hữu hiệu yếu của (P) nếu không
tồn tại x ∈ X thỏa mãn F (x) − F (u) ∈ (ri Λ)\{0Y }.
Tập nghiệm hữu hiệu và tập nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (P)
tương ứng được kí hiệu là E(P) và E w (P).
Với mỗi cặp (p, q) ∈ Y × L(Λ), bài toán bổ trợ Pascoletti-Serafini tương
ứng với cặp (p, q) được cho bởi:
(Ap,q )

max {ξ | (ξ, x, λ) ∈ R × X × Λ, F (x) = p + ξq + λ}.

Tập nghiệm của bài toán này được kí hiệu là Sol(Ap,q ). Hai định lý sau thể
hiện mối liên hệ giữa bài toán (P) và bài toán bổ trợ (Ap,q ).
Định lý 2.1. Giả sử 0Y ∈
/ ri Λ. Khi đó, với mỗi nghiệm yếu x của (P) thì bộ
ba (0, x, 0Y ) là nghiệm của (Ap,q ) với p = F (x) và q ∈ ri Λ.

Footer Page 22 of 161.
17


Header Page 23 of 161.
Chứng minh. Ta có: p = F (x), q ∈ riΛ và bài toán bổ trợ:
(Ap,q ) Max{ξ | (ξ, x, λ) ∈ R × X × Λ, F (x) = p + ξq + λ}.
Từ đó ta suy ra bài toán:
(Ap,q )

max{ξ | (ξ, x, λ) ∈ R × X × Λ, ξq ∈ −Λ}.

Ta lại có (0, x, 0Y ) là một điểm chấp nhận được của (Ap,q ), hơn nữa từ
ξq ∈ −Λ nên ta có −ξq ∈ Λ, q ∈ ri Λ ⊂ Λ. Do đó ξ

0.

Vậy (0, x, 0Y ) là nghiệm của bài toán (Ap,q ).
Định lý 2.2. Với mỗi nghiệm (ξ, x, λ) của (Ap,q ) thì x là nghiệm hữu hiệu
yếu của (P) và λ ∈ ∂Λ.
Chứng minh. Nếu x không là nghiệm hữu hiệu yếu của (P), thì tồn tại x ∈ X
và λ ∈ Λ0 sao cho F (x ) = F (x) + λ . Do (ξ, x, λ) là nghiệm của (Ap,q ), nên
F (x ) = p + ξq + λ + λ. Bây giờ ta có λ + λ ∈ ri Λ và tồn tại ε > 0 sao cho
λ + λ − εq ∈ ri Λ. Vì vậy, từ F (x ) = p + (ε + ξ)q + λ + λ − εq, ta suy ra

(ε + ξ, x , λ + λ − εq) là một điểm chấp nhận được của bài toán (Ap,q )(mâu
thuẫn giả thiết). Do đó x là nghiệm hữu hiệu yếu của (P).
Cuối cùng, nếu λ ∈
/ ∂Λ thì λ phải nằm trong ri Λ. Thế thì tồn tại ε > 0
sao cho (ε + ξ, x, λ − εq) là một điểm chấp nhận được của bài toán (Ap,q )(mâu
thuẫn giả thiết).
Vậy x là nghiệm hữu hiệu yếu của (P) và λ ∈ ∂Λ.
Nhận xét 2.3. Nếu Λ là nón nhọn (Λ ∩ (−Λ)) và Λ = {0Y } thì 0Y ∈
/ ri Λ.
Để thấy điều ngược lại là không đúng, ta lấy m = 2 và đưa ra:
Λ = { y = (y1 , y2 )T | y1 ∈ R, y2 ≥ 0}.
Nón này là nón không nhọn nhưng 0Y ∈
/ ri Λ. Ta thấy rằng, với một nón
không tầm thường Λ và điều kiện 0Y ∈
/ ri Λ yếu hơn tính nhọn của Λ.

Footer Page 23 of 161.
18


Header Page 24 of 161.
Kết hợp hai định lý trên ta có E w (P) được biểu diễn như sau:
Định lý 2.3. Cho q ∈ ri Λ . Ta có
E w (P) =

prX (Sol(Ap,q ))

(2.1)

prX (Sol(AF (x),q )),

(2.2)

p∈Y

và
E w (P) =
x∈X

ở đó prX (ξ, x, λ) = x là phép chiếu chính tắc của R × X × Λ lên X.
Chứng minh. Lấy u ∈

p∈Y

prX (Sol(Ap,q )). Thế thì tồn tại : (ξ, λ) ∈ R × Λ

sao cho: (ξ, u, λ) ∈ Sol(Ap,q ).
Theo Định lý 2.2 thì u ∈ E w (P). Như vậy ta có
prX (Sol(Ap,q ) ⊂ E w (P)
p∈Y

Ngược lại: Lấy u ∈ E w (P). Theo Định lý 2.1 thì (0, u, 0Y ) ∈ Sol(Ap,q ), p :=
F (u). Thế thì u ∈

p∈Y

prX (Sol(Ap,q ). Do đó
E w (P) ⊂

prX (Sol(Ap,q ))

p∈Y

Đến đây công thức (2.1) đã được chứng minh. Công thức (2.2) chứng minh
tương tự.
Hệ quả 2.1. Cho q ∈ riΛ. Ta có E(P) được biểu diễn như sau:
E(P) ⊂

prX (Sol(AF (x),q )) =
x∈X

prX (Sol(Ap,q )).

(2.3)

p∈Y

Một công thức biểu diễn chính xác của E(P) được đưa ra bởi Pascoletti và
Sefarini [2] năm 1984:
prX {(ξ, x, λ) ∈ Sol(Ap,q ) | (∂Λ−λ) ∩ ∂Λ∩(F (X)−F (x)) = {0Y }}.

E(P) =
p∈Y

(2.4)

Footer Page 24 of 161.
19


Header Page 25 of 161.

Tuy nhiên công thức này là khá phức tạp và dường như rất khó tính toán
trong thực tế.
Bây giờ ta sẽ đi xét hai ví dụ cụ thể để minh họa cho các công thức
trên.
Ví dụ 2.1. Cho X = [0, 1] ⊂ R, Y = R2 , Λ = R2+ , F : X → R2 , F (x) =
(x, 0)T . Bài toán bổ trợ Pascoletti-Serafini tương ứng với (p, q) ∈ R2 × R2 là:
(Ap,q ) Max{ξ | (ξ, x, λ) ∈ R × X × Λ, F (x) = p + ξq + λ, x ∈ [0, 1]}.
Bằng cách bỏ qua λ ta có thể viết hệ ràng buộc bài toán này như sau:


F (x) − p − ξq 0

0

x

1,

hay là



x − p1 − ξq1 0



−p2 − ξq2 0





0 x 1.
Rõ ràng q = (q1 , q2 )t ∈ riΛ khi và chỉ khi q1 > 0, q2 > 0. Cho một véctơ q, hệ
bất phương trình trên tương đương với hệ bất phương trình sau:


1

ξ ≤ x−p

q1


2
ξ ≤ −p
q2




0 ≤ x ≤ 1.
Ta có thể tìm đươc các giá trị cực đại ξ¯ của ξ thỏa mãn các điều kiện cuối
cùng bằng cách phân tích biệt thức ∆(p, q) =

p1 q2 −p2 q1
q2

như sau:

2

TH1: ∆(p, q) ≤ 0 ↔ p1 q2 − p2 q1 ≤ 0. Ta có ξ¯ = −p
q2 . Tập nghiệm
¯ x¯, λ)
¯ với x¯ ∈ [0, 1] và λ
¯ = F (¯
¯
Sol(Ap,q ) bao gồm bộ ba (ξ,
x) − p − ξq.

Footer Page 25 of 161.
20