Thuật toán sinh và quay lui

ÔN TẬP KTLT 2
Thuật toán sinh và quay lui

1


Dàn bài
1.

Thuật toán sinh và bài tập

2.

Thuật toán quay lui và bài tập

2


Bài toán sinh
1.
2.
3.
(1)

Định nghĩa: Tạo ra dữ liệu.
Phương pháp sinh: Từ dữ liệu ban đầu, sinh ra dữ
liệu kế tiếp cho đến khi kết thúc.
Điều kiện của thuật toán sinh:
Có thể xác định 1 thứ tự tập các cấu hình của tổ hợp
(thứ tự của các phép gán trị, thường dùng thứ tự từ
điển).

Ví dụ: S1=“1234589”, S2=“1235789”
S1 < S2 nếu có 1 vị trí i tại đó S1[ i ] < S2[ i ]

(2) Có một cấu hình cuối (điều kiện kết thúc của thuật
toán).
(3) Có một cách để suy ra được cấu hình kế tiếp.
4. Áp dụng: giải bài toán liệt kê
3


Ví
dụ
Bài toán:Tìm số chuỗi có
độ dài 3 ký tự xyz với
x ∈ { a,b,c}, y ∈ { d,e},
z ∈ { m,n,t}
Cấu hình ban đầu: trị đầu
tiên của mỗi miền trị
Cách sinh:Lấy trị kết tiếp của
mỗi miền trị theo cơ chế
vòng tròn
Cấu hình cuối: trị cuối cùng
của mỗi miền trị

x
a
a
a
a
a

a
b
b
b
b
b
b
c
c
c
c
c
c

y
d
d
d
e
e
e
d
d
d
e
e
e
d
d
d

e
e
e

z
m
n
t
m
n
t
m
n
t
m
n
t
m
n
t
m
n
t

Dùng thứ
tự từ điển
để so sánh
các phép
gán trị.
Ví dụ:

adm < adn

4


Thuật toán sinh tổng quát.
Generate()
{
c = InitialConfigure(); //cấu hình ban đầu
Process (c);
// xử lý cấu hình đang có
if (c=LastConfigure()) Stop=true
else stop = false;
while (not stop)
{
//Sinh cấu hình kế tiếp từ cấu hình đang có

c=getNextConfigure(c);
Process (c); // xử lý cấu hình này
if c= LastConfigure then stop = true;

}
End;

5


Bài toán liệt kê các tập con của 1 tập


Với tập cha là 4 phần tử X={ a, b, c, d }, có thể dùng
mảng “0111” mô tả cho tập con { b,c,d }.

 Mỗi tập con được biểu diễn là một chuỗi (xâu) nhị
phân.



Trạng thái khởi tạo: “0000” mang ý nghĩa tập trống.
Trạng thái kết thúc: “1111” mang ý nghĩa là tập cha.

6


Ví
dụ
:
liệt
kê
các
tập
con....
4


Với tập cha gồm 4 phần tử, có 2 tập con b
với các biểu diễn:

bits
0000

0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111

p(b)
0
1
2
3
4
5
6
7

bits
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111

p(b)
8

9
10
11
12
13
14
15

Nhận xét
Với thứ tự từ điển, tập con sau lớn
hơn tập con trước 1 đơn vị
theo cách tính chuỗi nhị phân

7


Đặt tả thuật toán sinh


Cách cộng thêm 1 vào chuỗi nhị phân:

0000

0001

0001

0010

0011

0100

0111

1000

• Gọi i : vị trí bit 0 đầu tiên từ
bên phải.
• Cho các bit 1 bên phải vị trí i
thành 0
•Cho bit i mang trị 1
i= n-1;
while (i>=0 && bits[i]==1) bits[i--] = 0;
bits[i] = 1;
8


Viết chương trình liệt kê
p(b)
void InitConfigure(char bits[], int n) bits
0123_____
{ for (int i=0; i}
0000
0
p(b)
void NextConfigure(char bits[], int n) bits
0123_____
{ int i = n-1;

while(i>=0 && bits[i])
{ bits[i]=0;
i--;
}
bits[i]=1;
}
int LastConfigure(char bits[], int n)
{ for (int i=0; ireturn 0;
return 1;
}

0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111

0
1
2
3
4
5
6
7

bits
p(b)
0123_____
1111

15
9


Viết chương trình liệt kê
void Output(char bits[], int n, int count)
{ printf( ‘’\nTap con thu %d\t’’,count);
for (int i=0; i}

void Generate(char bits[], int n)
{ int stop= FALSE;
InitialConfigure(bits, n); //cấu hình ban đầu
int count=1;
Output(bits,n,count) // xuat cấu hình đang có
while (!stop)
{ //Sinh cấu hình kế tiếp từ cấu hình đang có
NextConfigure(bits, n);
count++
Output(bits,n,count); //xuat cấu hình này
stop= LastConfigure(bits,n) ;
}
}
10

Cải tiến thuật toán liệt kê các tập con
Nhận xét: Có thể tối ưu lại chương trình.
void NextConfigure(char bits[], int n,
int &Stop)
{ int i = n-1;
while(i>=0 && bits[i])
{ bits[i]=0;
i--;
}
if (i <0) Stop=TRUE; // mọi bit = 1
else bits[i]=1;
}

void Generate(char bits[], int n)
{ int stop= FALSE;
InitialConfigure(bits, n); //cấu hình ban đầu
int count=1;
Output(bits,n,count) // xuat cấu hình đang có
while (!stop)
{
//Sinh cấu hình kế tiếp từ cấu hình đang có
c=NextConfigure(bits, n, stop);
if (!stop)
{ count++;
Output(bits,n,count); //xuat cấu hình này
}
}
}

11


Bài toán tập con k-phần tử : Tìm hiều
Liệt kê các tập con k phần tử của tập n phần tử.
 Ví dụ: Các tập con 3 phần tử của tập 5 phần tử
{ 1,2,3,4,5 } là:
C53 = 5!/ (3! * (5-3)!)
{ 1,2,3 } { 2,3,4 }
= 5! / (3! * 2!)
{ 1,2,4 } { 2,3,5 }
= 4*5/2 = 10
{ 1,2,5 } { 2,4,5 }
{ 1,3,4 } { 3,4,5 }
{ 1,3,5 }
Tổ hợp n chập k
{ 1,4,5 }


12


Bài toán tập con k-phần tử: Đặc tả



Ánh xạ tập hợp bất kỳ n phần tử vào tập X={ 1,2...n }
Một tập con k phần tử của X là một bộ có thứ tự a 1
a2 a3 ..... ak với 1≤ a1< a2 < a3 <..... < ak ≤ n

Tập con đầu: { 1,2,3,...,k }
Ví dụ { 1,2,3 } với k=3, n=5
 Tập con cuối:{ (n-k+1), (n-k+2) , ..., n }
Ví dụ: { 3,4,5 } với k=3, n=5


13


Thuật toán sinh tập con kế tiếp từ tập con đã có
a1 a2 a3 a4 ...ak , chỉ số ở đây đi từ 1
(1) Tìm vị trí đầu tiên từ bên
phải 1 vị trí i sao cho a[i]
≠ n-k+i
i=k;
while (a[i]==n-k+i) i-- ;
(2) Thay a[i] bằng a[i] +1
a[i]= a[i] + 1;
(3) Thay các trị sau i (a[j])
bằng các trị a[i]+j-i ,...
for (j=i+1;j<=k;j++)
a[j]= a[i]+ j -i;

n=8, k=6
{ 1,2,5,6,7,8 }
(i=6, n-k+i =8)
{ 1,3,5,6,7,8 }

{ 1,3,4,5,6,7 }

14

Tìm vị trí
đầu tiên
khác với
nhóm trị ở
cuối tập
cha theo
thứ tự


Viết chương trình bài toán tập con k- phần tử (1)
void Init (int result[], int k)
{ for (int i=1; i<=k; i++) result[i]=i;
}

{ 1,2,3 }

void Process (int result[], int k)
{ printf(‘’\n’’);
for (int i=1; i<=k; i++) printf(‘’%d,’’, result[i]);
}

void NextCombination (int result[],int n, int k, int &stop)
{ int i=k;
while(i>0 && result[i]==n-k+i) i--;
if (i>0)
{ result[i]++;
for (int j=i+1; j<=k; j++)

result[j]=result[i] + j-i;
}
else stop=1;
}

{ 1,2,4 }
{ 1,2,5 }
…

{ 3,4,5 }
15


Viết chương trình bài toán tập con k- phần tử (2)
void Generate(int result[], int n, int k)
{ int stop= FALSE;
Init(result, k); //cấu hình ban đầu
Process(result,k) // xuat cấu hình khoi dau
while (!stop)
{
//Sinh cấu hình kế tiếp từ cấu hình đang có
NextCombination(result, n,k, stop);
if (!stop)
Process(result, k); //xuat cấu hình này
}
}

16

Bài tập


Tạo tập tin văn bản có tên Tapcon.in chứa nội dung : 10 4



Ý nghĩa: số đầu: số phần tử của tập, số kế tiếp là số phần tử
của tập con.



Dùng kỹ thuật sinh, viết chương trình ghi các tập con của tập
này lên file Tapcon.out

17


Bài toán hoán vị tập n phần tử
Cho tập X = { 1,2,3,..., n}. Hãy liệt kê tất cả các hoán vị
của tập này.
 Một hoán vị của X là một bộ A = (a1, a2,..., an ) với ai ≠
aj nếu i ≠ j
 Định nghĩa 1 thứ tự:
A = (a1, a2,...,ak-1, ak, ... an ) là hoán vị trước của
A’= (a’1, a’2,...,a’k-1, a’k, ... a’n ) nếu tìm được vị trí k sao
cho ak < a’k
 Ví dụ : 1234567 là hoán vị trước của
1234657
 Đây chính là thứ tự từ điển.

 Độ phức tạp n!

18


Thuật toán sinh hoán vị kế tiếp
Trạng thái đầu {1,2,3,4} trạng thái cuối: {4,3,2,1}
 Trạng thái trước {1,3,4,2} trạng thái sau: {1,4,2,3}
Thuật toán
 Tìm chỉ số lớn nhất j mà a jphần tử sẽ bị hoán vị.
1 3 4 2 ( j=2)  j=n-1; while (a[j]>a[j+1]) j--;
 Tìm vị trí đầu tiên k đi ngược từ cuối tập trị với a[k] >
a[j]
1 3 4 2 ( k=3)  k=n; while (a[j]>a[k]) k--;
 Hoán vị a[j] với a[k]
1432
 Lật ngược đoạn aj+1 ... an
1 4 2 3 trạng thái kế tiếp


19


Các hoán vị của X={1,2,3,4}
{1,2,3,4} (đầu)
{1,2,4,3}
{1,3,2,4}
{1,3,4,2}
{1,4,2,3}

{1,4,3,2}
{2,1,3,4}
{2,1,4,3}
{2,3,1,4}
{2,3,4,1}
{2,4,1,3}
{2,4,3,1}

j=1
{3,1,2,4}
{3,4,2,1}
{3,1,4,2}
k=2
{3,2,1,4}
{3,4,2,1}
{3,2,4,1}
{3,4,1,2}
hoán vị
{4,3,2,1}
a[j], a[k]
{3,4,2,1}
{4,1,2,3}
{4,1,2,3}
Đảo mảng
{4,1,3,2}
con từ
{4,2,1,3}
a[j+1] đến
a[n]
{4,2,3,1}

{4,3,1,2}
chỉ số đi từ 1
{4,3,2,1} ( cuối)
20


Viết chương trình hoán vị (1)
void Init (int result[], int k)
{ for (int i=1; i<=k; i++) result[i]=i;
}

int LastConfigure(char result[], int n)
{ for (int i=1; ireturn 0;
return 1;
}
void Output(char result[], int n, int count)
{ printf( ‘’\n Hoan vi thu %d\t’’,count);
for (int i=0; i}

21


Viết chương trình hoán vị (2)
void NextConfigure (int result[],int n)
{ int j=n-1;
// Tìm chỉ số lớn nhất j mà ajwhile(j>0 && result[j] > result[j+1]) j--;
int k=n;

//Tìm vị trí đầu tiên k đi ngược từ cuối tập trị với a[k] > a[j]
while(k>0 && result[j] > result[k]) k--;
// Hoán vị a[j], a[k]
int t= result[j];
result[j]= result[k];
result[k]= t;
//Đảo ngược nhóm trị a[j+1],... a[n]
int left=j+1, right=n;
while (left < right)
{ t = result[left];
result[left]= result[right];
result[right]=t;
left++; right--;
}
}
22


Viết chương trình hoán vị (3)
void Generate(char result[], int n)
{ Init(result, n); //cấu hình ban đầu
int count=1;
Output(result,n,count) // xuat cấu hình đang
có
int stop = LastConfigure(result,n);
while (!stop)
{
//Sinh cấu hình kế tiếp từ cấu hình đang có
c=NextConfigure(result, n);
count++;

Output(result,n,count); //xuat cấu hình này
stop = LastConfigure(result,n);
}
}

23


Bài tập





Tạo file văn bản hoanvi.out có dạng
Dòng đầu: 1 số nguyên n
Các dòng sau là các hoán vị của tập n phần tử.
Ví dụ:

5
12345
12354
12435
............
24


Thuật toán quay lui
Backtracking

25