Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THU HẰNG

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ
TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

HÀ NỘI, 2016


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THU HẰNG

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ
TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khóa luận

TS. Nguyễn Văn Tuyên

HÀ NỘI, 2016


Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1. Một số kiến thức cơ bản về Giải tích lồi . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3. Nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Bài toán tối ưu véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1. Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . .

6

1.2.2. Điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.3. Sự tồn tại của điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.4.

9

Bài toán tối ưu véctơ (VOP) . . . . . . . . . . . . . .

2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ

11

2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2. Các trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng véctơ . . . . .

12

2.3. Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ

14

iii

. . . . . . . .


Kết luận

19

Tài liệu tham khảo

19

iv


Lời mở đầu
Cho A là một tập khác rỗng và f : A × A → R là một song hàm cân
bằng, tức là f (x, x) = 0 ∀x ∈ A. Xét bài toán
(EP)

Tìm x ∈ A thỏa mãn f (x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ A.

Bài toán này lần đầu tiên được đưa ra vào năm 1955 bởi H. Nikaido và K.
Isoda(1) nhằm tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash. Bài toán (EP) thường
được sử dụng để thiết lập điểm cân bằng trong Lý thuyết trò chơi (Games
Theory), bởi thế nó còn có tên gọi khác là Bài toán cân bằng (Equilibrium

Problem) theo cách gọi của các tác giả L. D. Muu, W. Oettli(2) . Bài toán
cân bằng khá đơn giản về mặt hình thức nhưng nó bao hàm được nhiều lớp
bài toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau như bài toán tối ưu,
bất đẳng thức biến phân, điểm bất động Kakutani, điểm yên ngựa, cân bằng
Nash, ...; nó hợp nhất các bài toán này theo một phương pháp nghiên cứu
chung rất tiện lợi.
Nếu hàm số f được thay bằng hàm véctơ F : A × A → Y , ở đó Y là
một không gian véctơ tôpô, thì chúng ta có bài toán
(VEP)

Tìm x ∈ A thỏa mãn F (x, y) ∈
/ −K với mọi y ∈ A,

với K ∪ {0} là một nón lồi trong Y . Bài toán (VEP) được gọi là Bài toán cân
bằng véctơ (Vector Equilibrium Problem). Bài toán cân bằng véctơ là một sự
mở rộng tự nhiên của các bài toán tối ưu véctơ và bài toán bất đẳng thức
biến phân véctơ.
Một trong những vấn đề nghiên cứu quan trọng của lý thuyết các bài
toán cân bằng đó là đưa ra các điều kiện đảm bảo sự tồn tại nghiệm của các
(1)

Nikaido, H., Isoda, K.: A note on non cooperative convex games, Pacific Journal of Mathematics 5 (1995),

807-815.
(2)
Muu, L. D., Oettli, W.: Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria,
Nolinear Anal. 18 (1992), 1159–1166.

1

bài toán này. Bằng cách sử dụng lược đồ vô hướng hóa, X. H. Gong(3) đã đạt
được một số kết quả về sự tồn tại nghiệm hữu hiệu và hữu hiệu Henig của
bài toán (VEP).
Mục đích của khóa luận này là trình bày một số kết quả nghiên cứu cơ
bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ trong không gian véctơ
tôpô bằng cách sử dụng nguyên lý ánh xạ KKM. Các kết quả chính của khóa
luận được trình bày trên cơ sở bài báo của K. R. Kazmi [6].
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 2
chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về Giải tích lồi và bài
toán tối ưu véctơ. Chương 2 trình bày sự tồn tại nghiệm của bài toán cân
bằng véctơ.
Hà Nội, ngày ... tháng ... năm
Tác giả luận văn

Nguyễn Thu Hằng

(3)

Gong, X.H.: Efficiency and Henig efficiency for vector equilibrium problems, J. Optim. Theory Appl. 108

(2001), pp. 139–154.

2


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1.

Một số kiến thức cơ bản về Giải tích lồi

1.1.1.

Tập lồi

Khái niệm tập lồi là khái niệm quan trọng trong lý thuyết tối ưu. Tập
lồi là tập mà khi lấy 2 điểm bất kì của tập thì đoạn thẳng nối 2 điểm đó cũng
nằm trong tập đó.
Định nghĩa 1.1. Tập X ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ X và
với mọi λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x1 + λx2 ∈ X.
Bổ đề 1.1. Cho I là tập chỉ số bất kì. Nếu các tập Xi ⊂ Rn (i ∈ I), là các
tập lồi thì tập X =

Xi là tập lồi.
i∈I

Bổ đề 1.2. Cho X, Y là tập lồi trong Rn và các số thực t, µ. Khi đó, tX + µY
là tập lồi.
Định nghĩa 1.2. Một điểm x được gọi là tổ hợp lồi của các điểm x1 , x2 , ..., xm ,
nếu tồn tại các số thực không âm λ1 , λ2 , ..., λm sao cho
x = λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λm xm

3


và
λ1 + λ2 + ... + λm = 1.
Định nghĩa 1.3. Bao lồi của X (kí hiệu: convX) là giao của tất cả các tập
lồi chứa X.

Bổ đề 1.3. Nếu X ⊂ Rn là tập lồi thì khi đó int X và X cũng là các tập lồi.
1.1.2.

Hàm lồi

Định nghĩa 1.4. Cho f : Ω → R là một hàm số thực mở rộng trên tập lồi
Ω ⊂ Rn :
(i)

Hàm f được gọi là hàm lồi nếu:
f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y), ∀x, y ∈ Ω, ∀λ ∈ [0, 1].

(ii)

Hàm f được gọi là hàm lồi chặt (strictly convex) nếu:
f ((1 − λ)x + λy) < (1 − λ)f (x) + λf (y), ∀x, y ∈ Ω, x = y, ∀λ ∈ [0, 1].

Định nghĩa 1.5. Cho hàm f : Rn → R. Kí hiệu:
Miền hữu hiệu của f : dom f := {x ∈ Rn | f (x) < +∞}.
Đồ thị của hàm f : gphf := {(x, v) ∈ Rn × R | v = f (x)}.
Trên đồ thị của f : epif := {(x, v) ∈ Rn × R | v ≥ f (x)}.
Định nghĩa 1.6. Hàm f được gọi là hàm lõm nếu −f là hàm lồi.
Hàm f được gọi là hàm chính thường nếu f (x) > −∞, với mọi x ∈ Rn
và tồn tại x¯ ∈ Rn sao cho f (¯
x) < +∞.
Định lý 1.1. Hàm f : Rn → R là hàm lồi khi và chỉ khi epif là tập lồi trên
Rn × R .
4

Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Jensen). Cho f : Rn → R. Hàm f là lồi khi và
chỉ khi với mọi λ1 , λ2 , ..., λm ≥ 0;

m
i=1 λi

m

f

m

λi xi

≤

i=1

1.1.3.

= 1; ∀x1 , x2 , ..., xm ∈ Rn . Ta có:
λi f (xi ).

(1.1)

i=1

Nón

Định nghĩa 1.7. Một tập C ⊂ Rn được gọi là nón nếu với mọi x ∈ C, và

với mọi α > 0 ta có: αx ∈ C.
C được gọi là nón lồi nếu C là một nón và C là một tập lồi.
Định nghĩa 1.8. Cho C là một nón lồi, kí hiệu l(C) := C ∩ (−C) (phần
tuyến tính của nón C)
(i)

C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = {0}.

(ii)

C được gọi là nón đúng nếu cl(C) + C\l(C) ⊆ C, hoặc tương đương
cl(C) + C\l(C) ⊆ C\l(C).

Bổ đề 1.4. Cho C là một nón lồi. Khi đó, nếu x1 ∈ C, x2 ∈ C, ..., xm ∈ C và
α1 > 0, α2 > 0, ..., αm > 0 thì α1 x1 + α2 x2 + ... + αm xm ∈ C.
Định nghĩa 1.9. Tập cone (X) = {αx | x ∈ X, α ≥ 0} được gọi là nón sinh
bởi tập X.
Bổ đề 1.5. Nếu X là tập lồi thì cone (X) là một tập lồi.
Định nghĩa 1.10. Cho x ⊂ Rn , tập CX (x) = cone (X − x) được gọi là nón
các phương chấp nhận được của X tại x.
Định nghĩa 1.11. Cho X ⊂ Rn là một tập lồi. Tập
X∞ = {d ∈ Rn | X + d ⊂ X}
5


được gọi là nón lùi xa của X.
Định nghĩa 1.12. Cho C là một nón trong Rn . Tập
C o = {y ∈ Rn : y, x ≤ 0, ∀x ∈ C}
được gọi là nón cực của C.
Định nghĩa 1.13. Cho X là một tập lồi trong Rn và x ∈ X. Tập

NX (x) = [cone (X − x)]o
được gọi là nón pháp tuyến đối với X tại x.
Nhận xét 1.1. v ∈ NX (x) ⇔ v, y − x ≤ 0, ∀y ∈ X.

1.2.

Bài toán tối ưu véctơ

1.2.1.

Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự

Cho một tập hợp E tuỳ ý, một quan hệ hai ngôi trong E được định
nghĩa bởi một tập con B của tập hợp tích E × E. Điều này có nghĩa là một
phần tử x ∈ E có quan hệ với y ∈ E nếu (x, y) ∈ B.
Định nghĩa 1.14. Cho B là một quan hệ hai ngôi trong E. Ta nói quan hệ
này là:
(i) Phản xạ nếu (x, x) ∈ B với mọi x ∈ E;
(ii) Đối xứng nếu(x, y) ∈ B suy ra (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈ E;
(iii) Bắc cầu nếu (x, y) ∈ B,(y, z) ∈ B suy ra (x, z) ∈ B với x, y, z ∈ B;
(iv) Đầy đủ hoặc liên thông nếu (x, y) ∈ B hoặc (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈
E, x = y;
(v) Tuyến tính trong trường hợp E là không gian véctơ thực nếu (x, y) ∈ B
suy ra (tx + z, ty + z) ∈ B với mọi x, y, z ∈ E, t > 0;
6


(vi) Đóng trong trường hợp E là không gian véctơ tôpô, nếu nó là đóng như
một tập con của không gian tích E × E.
Định nghĩa 1.15. Quan hệ hai ngôi là một quan hệ thứ tự nếu nó là phản

xạ, bắc cầu.
Thật vậy, nếu B là một quan hệ thứ tự mà là tuyến tính trong một
không gian véctơ thì tập
C = {x ∈ E : (x, 0) ∈ B}
là một nón lồi. Hơn nữa, nếu B là không đối xứng thì C là nhọn. Ngược lại,
mỗi nón lồi trong E cho một quan hệ hai ngôi
BC = {(x, y) ∈ E × E : x − y ∈ C}
là phản xạ, bắc cầu và tuyến tính. Ngoài ra, nếu C là nhọn thì BC là không
đối xứng. Bây giờ, chúng ta sẽ xét một vài thứ tự sinh ra bởi các nón lồi. Đôi
khi chúng ta viết: x

C

y thay cho x − y ∈ C; hoặc x

y nếu nó chắc chắn

là quan hệ hai ngôi được định nghĩa bởi C; x >C y nếu x
là y

C

x, hay là x ∈ y + C\l(C). Khi int C = 0, x

C

C

y và không phải

y nghĩa là x >K y với

K = {0} ∪ int C.

1.2.2.

Điểm hữu hiệu

Cho E là không gian véctơ tôpô thực với quan hệ thứ tự ( ) được sinh
bởi một nón lồi C.
Định nghĩa 1.16. Cho A là một tập con khác rỗng của E. Ta nói rằng:
(i) x ∈ A là một điểm hữu hiệu lí tưởng (hoặc cực tiểu lí tưởng) của A tương
ứng với C nếu y

x, ∀y ∈ A;

Tập các điểm cực tiểu lí tưởng của A được kí hiệu là IM in (A | C).
7


(ii) x ∈ A là điểm hữu hiệu (cực tiểu-Pareto hoặc cực tiểu) của A tương ứng
với C nếu x

y, y ∈ A thì y

x;

Tập các điểm hữu hiệu của A kí hiệu là M in(A | C).
(iii) x ∈ A là điểm hữu hiệu thực sự (toàn cục) của A tương ứng với C nếu
tồn tại một nón lồi K = E với int K ⊇ C\l(C) sao cho x ∈ M in(A | K);

Kí hiệu tập các điểm hữu hiệu toàn cục của A là P rM in(A | C).
(iv) Giả sử int C = ∅, x ∈ A là một điểm hữu hiệu yếu của A tương ứng với
C nếu x ∈ M in(A | {0} ∪ int C);
Tập các điểm hữu hiệu yếu của A kí hiệu là W M in(A | C).
Cho:
A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2

0 ∪ {(x, y) : x

1, y

0, −1 ≤ y ≤ 0} ;

Từ định nghĩa của các điểm hữu hiệu, ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.1. Cho A ⊆ E thì :
(i) x ∈ IM in(A) khi và chỉ khi x ∈ A và A ⊆ x + C;
(ii) x ∈ IM in(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − C) ⊆ x+ l(C) hoặc tương đương:
∃y ∈ A sao cho x > y. Đặc biệt khi C là nhọn, x ∈ M in(A) khi và chỉ khi
A ∩ (x − C) = {x};
(iii) Khi C = E, x ∈ W M in(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − int C) = ∅ hoặc tương
đương với ∃y ∈ A sao cho x

y.

Mệnh đề 1.2. Cho tập khác rỗng A ⊆ E có:
P rM in(A) ⊆ M in(A) ⊆ W M in(A).
Hơn nữa, nếu IM in(A) = ∅ thì IM in(A) = M in(A) và nó là tập một
điểm khi C là nhọn.
8

Định nghĩa 1.17. Cho x ∈ E. Tập A ∩ (x − C) được gọi là một nhát cắt A
tại x và kí hiệu Ax .
Mệnh đề 1.3. Cho x ∈ E với Ax = ∅. Ta có :
(i) IM in(Ax ) ⊆ IM in(A) nếu IM in(A) = ∅;
(ii) M in(Ax ) ⊆ M in(A);
(iii) W M in(Ax ) ⊆ W M in(A).
Nhận xét 1.2. Quan hệ P rM in(Ax ) ⊆ P rM inA nói chung không đúng trừ
một số trường hợp đặc biệt.

1.2.3.

Sự tồn tại của điểm hữu hiệu

Định nghĩa 1.18. Cho lưới {xα : α ∈ I} từ E được gọi là lưới giảm
(tương ứng với C) nếu xα >C xβ với α, β ∈ I, β > α.
Định nghĩa 1.19. Cho A ⊆ E được gọi là C- đầy đủ (tương ứng C- đầy
đủ mạnh) nếu nó không có phủ dạng {(xα − cl(C))c : α ∈ I} (tương ứng
{(xα − C)c : α ∈ I}) với {xα } là một lưới giảm trong A.
Định lý 1.3. Giả sử C là một nón lồi đúng và A là một tập khác rỗng trong
E. Thì M in(A | C) = ∅ khi và chỉ khi A có một nhát cắt C- đầy đủ và khác
rỗng.

1.2.4.

Bài toán tối ưu véctơ (VOP)

Cho X là một tập con khác rỗng của một không gian tôpô và F là một
ánh xạ đa trị từ X vào E, ở đây E là không gian véctơ tôpô thực được xắp
thứ tự bởi nón lồi C.

9


Xét VOP :
minF (x)
với ràng buộc x ∈ X.
Điểm x ∈ X được gọi là tối ưu (cực tiểu hoặc hữu hiệu) của VOP nếu
F (x) ∩ M in(F (X) | C) = ∅, ở đây
F (x).

F (X) =
x∈X

Các phần tử của M in(F (x)|C) được gọi là giá trị tối ưu của (VOP). Tập các
điểm hữu hiệu của (VOP) được kí hiệu là S(X, F ). Thay thế IM in, P rM in,
W M in cho M in(F (X) | C) chúng ta có các khái niệm IS(X, F ), P rS(X, F )
và W S(X, F ).
Quan hệ giữa các điểm hữu hiệu, hữu hiệu thực sự và hữu hiệu yếu của
(VOP) được trình bày trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.4. Cho (VOP), chúng ta có các bao hàm thức sau:
P rS(X, F ) ⊆ S(X, F ) ⊆ W S(X, F ).
Hơn nữa, nếu IS(X, F ) = ∅ thì IS(X, F ) = S(X, F ).
Chứng minh tương tự Mệnh đề 1.2
Bổ đề 1.6. Giả sử C là lồi, X là tập compact khác rỗng và F là C- liên tục
trên trong X với F (x) + C là C-đầy đủ, đóng với mọi x ∈ X thì F (X) là Cđầy đủ.

10

Chương 2
Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân
bằng véctơ
2.1.

Đặt bài toán
Cho X là không gian véctơ tôpô thực; K ⊂ X là một tập lồi, đóng,

khác rỗng; (Y, P ) là không gian véctơ tôpô với thứ tự bộ phận (hoặc thứ tự
véctơ ) ≤P được sinh bởi một hình nón lồi, đóng, nhọn P , vì vậy x ≤P y ⇔
y − x ∈ P, ∀x, y ∈ Y ; f : X × X → Y với f (x, x) = 0 với mọi x ∈ X. Bài toán
cân bằng véctơ được phát biểu như sau:
(VEP)

Tìm x ∈ A thỏa mãn f (x, y) ∈
/ −int P với mọi y ∈ A, (2.1)

ở đó int P là phần trong của P . Bài toán này bao phủ các lớp bài toán quan
trọng như: bài toán tối ưu hóa véctơ , bài toán bù véctơ , bài toán điểm bất
động, bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ . Nếu y = R, P = R+ thì bài
toán (VEP) quay về bài toán cân bằng:
(EP)

Tìm x ∈ A thỏa mãn f (x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ A.

(2.2)

Bài toán (EP) được đề xuất và nghiên cứu bởi Blum và Oettli trong [2]. Trong
khóa luận này, chúng ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán cân
11

bằng véctơ bằng cách sử dụng nguyên lý ánh xạ KKM-Fan(1) , ở đó hàm f
có dạng
f (x, y) = g(x, y) + h(x, y).

(2.3)

Các kết quả được trình bày trong chương này được dựa trên bài báo [6].

2.2.

Các trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng
véctơ
Trong mục này chúng ta trình bày một số ví dụ quan trọng của bài

toán cân bằng véctơ (VEP). Trong các ví dụ bên dưới, ta kí hiệu X ∗ là đối
ngẫu của X và ·, · cặp đối ngẫu trên X ∗ × X.
Định nghĩa 2.1. Hàm số f (·, ·) : K × K → Y được gọi là P -đơn điệu khi và
chỉ khi
f (x, y) + f (y, x) ∈ −P, ∀x, y ∈ K.
(i) Bài toán tối ưu véctơ
Cho φ : K → Y , ở đó Y được sắp thứ tự bởi nón P . Xét bài toán tối
ưu véctơ
(VOP)

Tìm x ∈ K thỏa mãn φ(y) − φ(x) ∈
/ −int P, ∀y ∈ K.

(2.4)

Khi đó, x ∈ K được gọi là một nghiệm yếu của (VOP).
Nhận xét 2.1. (a) Đặt
f (x, y) := φ(y) − φ(x).
Khi đó, bài toán (2.4) trùng với (VEP) nếu f là P -đơn điệu.
(b) Nếu φ : X → Y là P -lồi và khả vi Gateaux, thì bài toán (2.4) và bài toán
(1)

Fan, K.: A generalization of Tychonoff’s fixed point theorem, Math. Ann. 142 (1961) 305-310.

12


bất đẳng thức biến phân véctơ (vector variational inequality problem):
(VVI)

Tìm x ∈ K thỏa mãn

có cùng tập nghiệm (xem

(2)

∇φ(x), y − x ∈
/ −int P, ∀y ∈ K (2.5)

). Bằng cách đặt, f (x, y) = ∇φ(x), y − x , thì

bài toán (2.5) chính là một trường hợp đặc biệt của bài toán (VEP). Trong
trường hợp này, hàm f là P -đơn điệu vì ∇φ(·) là P -đơn điệu.
(ii) Bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ

Cho T : K → L(X, Y ), ở đó L(X,Y) là không gian các toán tử tuyến
tính bị chặn từ X tới Y . Bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ được phát
biểu như sau:
(VVI)

Tìm x ∈ K thỏa mãn

T x, y − x

− int P, ∀y ∈ K.

(2.6)

Bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ được đề xuất bởi Giannessi và các
đồng nghiệp vào năm 1980 (xem (3) ). Đặt f (x, y) = T x, y − x , thì (V V I) ⇔
(V EP ).
(iii)Bài toán bù véctơ
Đây là trường hợp đặc biệt của ví dụ trước. Cho K là một nón lồi đóng
+

trong X. P -nón đối ngẫu yếu KPw của K được định nghĩa như sau:
+

/ −intP, ∀x ∈ K} .
KPw = {l ∈ L(X, Y ) : l, x ∈
+

P -nón đối ngẫu mạnh KPs được định nghĩa bởi
+

KPs = {l ∈ L(X, Y ) : l, x ∈ P, ∀x ∈ K} .
Cho T : X → L(X, Y ) là một ánh xạ. Khi đó, các bài toán bù véctơ được
phát biểu như sau:
Tìm x ∈ X
(2)

+

sao cho x ∈ K, T x ∈ KPw , T x, x ∈
/ intP,

(2.7)

Chen, G. Y., Craven, B. D.: Existence and continuity for vector optimization, J. Optim. Theor. Appl. 81

(1994), 459–468
(3)
Cottle, R. W., Giannessi, F., Lions, J. L.: Theorems of alternative, quadratic programs and complementarity problems, in: Variational Inequalities and Complementarity Problems, pp. 151-186, New York(1980)

13


và
Tìm x ∈ X

+

sao cho x ∈ K, T x ∈ KPs , T x, x ∈
/ intP.

Bài toán (2.8) ⇒ bài toán (2.6) ⇒ bài toán (2.7) (xem

(4)

(2.8)

). Mặt khác bài

toán (2.6) tương đương với (VEP).
(iv) Bài toán điểm bất động
Với mỗi x ∈ K, đặt
F (x) := {z ∈ K : T (x), y − z ∈
/ −intP, ∀y ∈ K} .
Khi đó, bài toán điểm bất động được phát biểu như sau:
Tìm x ∈ Ksao cho x ∈ F (x).
Khi đó, bài toán (2.9) tương đương với bài toán (VEP) (xem

2.3.

(2.9)
(5)

).

Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ
Trong mục này chúng ta chứng minh một vài kết quả tồn tại nghiệm

của (VEP) trong trường hợp sau
f (x, y) = g(x, y) + h(x, y).
Trước hết, chúng ta nhắc lại một số định nghĩa và các tính chất cần thiết

trong mục này.
Định nghĩa 2.2. Cho K và C là các tập lồi với C ⊂ K. Khi đó, nhân của C
tương ứng với K, kí hiệu bởi coreK C, được định nghĩa như sau:
a ∈ coreK C ⇐⇒ a ∈ C và C ∩ (a, y) = 0, ∀y ∈ K\C .
Chú ý rằng coreK K = K.
(4)

Yang, X. Q.: Vector complementarity and minimal element problems, J. Optim. Theory Appl. 77 (1993)

483-495
(5)
Yang, X. Q.: Vector complementarity and minimal element problems, J. Optim. Theory Appl. 77 (1993)
483-495

14


Định nghĩa 2.3. Cho (Y, P ) là một không gian véctơ tôpô được sắp thứ tự.
Một ánh xạ T : X → Y được gọi là P -lồi khi và chỉ khi đối với mỗi cặp
x, y ∈ X và λ ∈ [0, 1] ta có
T (λy + (1 − λ)x) ≤ p λT (y) + (1 − λ)T (x).
Bổ đề 2.1. (Xem

(6)

). Cho (Y, P ) là không gian véctơ tôpô được sắp thứ tự

bởi một hình nón lồi đóng nhọn. Khi đó, với mọi x, y ∈ X, ta có
(i) y − x ∈ intP và y ∈
/ intP kéo theo x ∈

/ intP ;
(ii) y − x ∈ P và y ∈
/ intP kéo theo x ∈
/ intP ;
(iii) y − x ∈ − intP và y ∈
/ − intP kéo theo x ∈
/ − intP ;
(iv) y − x ∈ −P và y ∈
/ − intP kéo theo x ∈
/ − intP.

Định lý 2.1. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) X là một không quan véctơ tô pô thực, K ⊂ X là một tập khác rỗng, lồi ,
đóng; (Y, P ) là một không gian véctơ tôpô được sắp thứ tự bởi một hình nón
lồi đóng nhọn P trong Y.
(ii) g : X × X → Y có các tính chất sau: g(x, x) = 0, ∀x ∈ K g là P-đơn điệu;
∀x, y ∈ K hàm t ∈ [0, 1] → g(ty + (1 − t)x, y) là liên tục tại 0+ ; g là một P-lồi
và liên tục theo biến thứ hai.
(iii) h : X × X → Y có các tính chất sau: h(x, x) = 0, ∀x ∈ K; h là liên tục
theo biến thứ nhất; h là một P-lồi theo biến thứ hai.
(iv) Tồn tại một tập lồi compact khác rỗng C của K sao cho mỗi x ∈
C\coreK C tồn tại a ∈ coreK C sao cho
g(x, a) + h(x, a) ∈ −P.
Khi đó, tồn tại x ∈ C thỏa mãn
g(x, y) + h(x, y) ∈
/ −intP, ∀y ∈ K.
(6)

Chen, G. Y.: Existence of solutions for a véctơ variational inequality: An extension of the Hartmann-

Stampacchia Theorem, J. Optim. Theor. Appl. 74 (1992) 445-456

15


Để chứng minh Định lý 2.1, trước tiên chúng ta sẽ chứng minh ba bổ
đề sau.
Bổ đề 2.2. (Nguyên lý ánh xạ KKM-Fan, xem(7) ) Cho C là một tập con
khác rỗng của X và S : C ⇒ X là một ánh xạ thỏa mãn tính chất: với mỗi
tập con hữu hạn {x1 , ..., xn } của C, ta có:
n

conv {x1 , ..., xn } ⊂

S (xi ) .
i=1

Nếu tất cả các tập S (x) đóng và một trong các tập này là compact thì
S (x) = φ.
x∈C

Bổ đề 2.3. Tồn tại x ∈ C sao cho
h(x, y) − g(y, x) ∈
/ −intP, ∀y ∈ C.
Bổ đề 2.4. Các mệnh đề sau đây là tương đương:
(A) x ∈ C, h(x, y) − g(y, x) ∈
/ −intP, ∀y ∈ C;
(B) x ∈ C, h(x, y) + g(y, x) ∈
/ −intP, ∀y ∈ C.
Bổ đề 2.5. Giả sử φ : K → Y là P -lồi, x0 ∈ coreK C, φ(x0 ) ∈

/ int P và
φ(y) ∈
/ int P ∀y ∈ C. Khi đó, ta có φ(y) ∈
/ −int P, ∀y ∈ K.
Nhận xét: Giả thiết (iv) trong Định lý 2.1 có thể thay bằng giả thiết
sau:
(iv)∗ Tồn tại một tập con lồi compact khác rỗng B trong K sao cho mỗi
x ∈ K\B tồn tại a ∈ B thỏa mãn
g(x, a) + h(x, a) ∈ −intP.

(2.10)

Định lý 2.2. Giả sử các điều kiện (i)-(iii) của Định lý 2.1 và (iv)∗ đúng.
Khi đó, tồn tại x ∈ B sao cho
g(x, y) + h(x, y) ∈
/ −intP, ∀y ∈ K.
(7)

Fan, K.: A generalization of Tychonoff’s fixed point theorem, Math. Ann. 142 (1961) 305-310.

16


Định nghĩa 2.4. Một ánh xạ đa trị P -đơn điệu T : K → 2L(X,Y ) được gọi là
P -đơn điệu cực đại khi và chỉ khi với mỗi cặp
(u, x) ∈ L(X, Y ) × K : v − u, y − x ∈
/ −intP, ∀y ∈ K, v ∈ T y ⇒ u ∈ T x.
(2.11)
Tương tự như Định nghĩa 2.4 ta có thể định nghĩa tính đơn điệu cực
đại theo nghĩa rộng như sau:

Định nghĩa 2.5. Một ánh xạ g : K × K → Y với g(x, x) = 0, ∀x ∈ K được
gọi là P -đơn điệu cực đại theo nghĩa rộng khi và chỉ khi, với mỗi cặp
(u, x) ∈ L(X, Y ) × K : −u, y − x − g(y, x) ∈
/ −intP, ∀y ∈ K
⇒ g(x, y) − u, y − x ∈
/ −intP, ∀y ∈ K.

(21)

Định nghĩa 2.6. Một ánh xạ g : K × K → Y với g(x, x) = 0, ∀x ∈ K được
gọi là P -đơn điệu cực đại khi và chỉ khi với mỗi x ∈ K và mỗi ánh xạ P -lồi
φ : K → Y với φ(x) = 0 :
φ(y) − g(y, x) ∈
/ −intP, ∀y ∈ K ⇒ g(x, y) + φ(y) ∈
/ −intP, ∀y ∈ K. (2.12)
Mối quan hệ giữa Định nghĩa 2.4 và Định nghĩa 2.5 như sau:
Bổ đề 2.6. (Xem [6]) Cho g : K × K → Y là P -đơn điệu, P -lồi và nửa liên
tục dưới theo biến thứ hai và khả vi Gateaux. Khi đó, Định nghĩa2.4 và Định
nghĩa 2.5 là tương đương.
Bây giờ, chúng ta có định lý sau.
Định lý 2.3. Giả sử các điều kiện (i) và (iii) của Định lý 2.1, và giả sử các
điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(ii)∗ g : K × K → Y có các tính chất sau g(x, x) = 0, ∀x ∈ K; g là P -đơn
điệu và P -đơn điệu cực đại (được định nghĩa trong (2.12)); g là lồi và nửa
17


liên tục dưới theo biến thứ hai.
(iv)∗ Tồn tại một tập lồi compact khác rỗng B của K, sao cho mỗi x ∈ K,
tồn tại a ∈ B sao cho

−g(a, x) + h(x, a) ∈ −intP.
Khi đó, tồn tại x ∈ B thỏa mãn
g(x, y) + h(x, y) ∈
/ −intP, ∀y ∈ K.

18

(2.13)


KẾT LUẬN
Khóa luận này trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại nghiệm của
bài toán cân bằng véctơ. Cách tiếp cận trong khóa luận này là dùng nguyên
lý ánh xạ KKM đối với các trường hợp có giả thiết đơn điệu.
Ngoài ra, trong khóa luận còn trình bày mối liên hệ của một số lớp bài
toán tối ưu quan trọng với bài toán cân bằng véctơ.
Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do thời gian và khả năng còn hạn chế
nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Chúng tôi mong được các thầy, cô
giáo và các bạn đọc góp ý.


Tài liệu tham khảo
[1] D. T. Luc: Theory of Vector Optimization. Springer, Berlin (1989)
[2] Blum, E., Oettli, W.: From optimization and variational inequalities to
equilibrium problems, Math. Stud. 63 (1994), 123–145.
[3] Kazmi, K. R.: Existence of solutions for vector optimization,Appl. Math.
Lett. 9 (1996), 19–22.
[4] Kazmi, K. R.: Some remarks on vector optimization problems, J. Optim.
Theory Appl. 96 (1998), 133–138.
[5] Kazmi, K. R.: Existence of solutions for vector saddle point problems,

problems, in: Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria.
Mathematical Theories (ed.) F Giannessi (Dordrecht, Boston, London:
Kluwer Academic Publishers) (2000), 267–275.
[6] Kazmi, K. R.: On vector equilibrium problem. Proc. Indian Acad. Sci.
(Math. Sci). 110(2) (2000), 213–233.