Hàm mũ ma trận và ứng dụng với hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Header Page 1 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Lan Anh

HÀM MŨ MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Lan Anh

HÀM MŨ MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Trần Văn Bằng

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 2 of 161.


Header Page 3 of 161.

LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS. Trần Văn Bằng - Người đã
tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em để em hoàn thành bài khóa luận của
mình. Đồng thời em cũng xin trân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ
Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2. Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt
bài khóa luận này.
Trong khuôn khổ của một khóa luận, do điều kiện thời gian, do trình
độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên không
tránh khỏi những hạn chế những thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính
mong nhận được sự đóng góp của các thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 2 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Lan Anh

i

Footer Page 3 of 161.


Header Page 4 of 161.

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân em đạt được trong quá trình
học tập và nghiên cứu, dưới sự chỉ dẫn của TS. Trần Văn Bằng và sự
giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2 và của các Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy em.
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Hàm mũ ma trận và ứng
dụng đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một"
là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có
sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, ngày 2 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Lan Anh

Footer Page 4 of 161.


Header Page 5 of 161.

Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

2

1.1

Kiến thức cơ bản về ma trận . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Sự hội tụ trong không gian định chuẩn Mat(n ∗ n, K) . .

7

1.3

Hệ phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một . . . . . . .

11

2 Hàm mũ ma trận và ứng dụng đối với hệ phương trình
vi phân tuyến tính cấp một

16

2.1

Hàm mũ ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2

Ứng dụng đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp
một

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.3

i

Footer Page 5 of 161.


Header Page 6 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lan Anh

Lời mở đầu
Phương trình vi phân là một trong những chuyên ngành của toán học
nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ, nó được
coi là cầu nối giữa lí thuyết và ứng dụng. Trong đó lí thuyết hệ phương
trình vi phân tuyến tính cấp một là một lí thuyết quan trọng trong lí
thuyết phương trình vi phân. Việc giải một hệ phương trình vi phân
dù là tuyến tính thì nói chung cũng không đơn giản. Trong khóa luận
này tôi muốn tìm hiểu phương pháp hàm mũ ma trận để giải hệ phương
trình vi phân tuyến tính. Đây là một phương pháp cho ta những công
thức biểu diễn nghiệm của hệ rất gọn và đẹp.
Xuất phát từ nhận thức trên và lòng ham mê môn học với sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo T.S Trần Văn Bằng, em mạnh dạn chọn
đề tài: "Hàm mũ ma trận và ứng dụng đối với hệ phương trình
vi phân tuyến tính cấp một" để thực hiện khóa luân tốt nghiệp của
mình. Nội dung của khóa luận bao gồm:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

Chương 2. Hàm mũ ma trận và ứng dụng đối với hệ phương
trình vi phân tuyến tính cấp một.
Do lần đầu tiên thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực
bản thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi
những thiếu sót. Em mong nhận được sự đóng góp, ý kiến của thầy cô
và các bạn để đề tài này được hoàn chỉnh và đạt được kết quả cao hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
1

Footer Page 6 of 161.


Header Page 7 of 161.

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về ma trận, sự hội tụ
trong không gian định chuẩn Mat(n ∗ n, K), hệ phương trình vi phân cấp
một và hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một nhằm thuận tiện
trình bày ở các mục sau.

1.1

Kiến thức cơ bản về ma trận
Giả sử A = (aij ) là một ma trận vuông cấp n trong đó aij ∈ C. Ta

xác định chuẩn của ma trận A như sau
1
2

n

|aij |2

A =
i,j=1

Footer Page 7 of 161.

2

.


Header Page 8 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lan Anh

Nếu x = (x1 , . . . , xn ) là một vectơ n chiều thì ta có thể xem x như là
một ma trận n hàng, một cột và do đó
1
2

n

|xi |2

x =

.

i=1

Dễ dàng thấy chuẩn của ma trận có các tính chất sau:
(i) A + B ≤ A + B .
(ii) AB ≤ A

B .

(iii) Ax ≤ A

x .

Ma trận đơn vị n chiều được kí hiệu là In (hay đơn giản là I khi
không sợ nhầm lẫn). Đa thức det(Iλ − A) bậc n của λ gọi là đa thức đặc
trưng của ma trận A, nghiệm của nó gọi là giá trị riêng của ma trận A
và được kí hiệu λ1 , . . . , λn . Ta có
n

det(λI − A) =

(λ − λi ).
i=1

Hai ma trận vuông cấp n là A và B được gọi là đồng dạng nếu tồn
tại một ma trận vuông cấp n không suy biến P sao cho B = P AP −1 .
Nếu A và B đồng dạng thì chúng có chung một đa thức đặc trưng vì
det(λI−B) = det(P (λI−A)P −1 ) = detP det(λI−A)detP −1 = det(λI−A).

Đặc biệt các hệ số của lũy thừa λ của đa thức det(λI − A) là bất
biến đối với phép biến đổi đồng dạng. Hai bất biết quan trọng nhất đối
với phép đồng dạng là detA và trace(A) (tức là định thức và vết của ma

Footer Page 8 of 161.

3


Header Page 9 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lan Anh

trận A).
Giả sử cho f là một phép biến đổi tuyến tính của không gian n chiều
Rn trên trường C vào chính nó
f : Rn → Rn .
Giả sử h = {h1 , . . . , hn } là một cơ sở của không gian Rn . Khi đó
n

ajk hj , ajk ∈ C.

f (hk ) =
j=1

Ma trận A = (ajk ) được gọi là ma trận của phép biến đổi f (đối với
cở sở h đã cho). Chú ý rằng ajk = (f (hk ))j .
n

ξk hk là một vectơ tùy ý thuộc Rn thì

Nếu x =
k=1

n

n

ηj hj với ηj =

y = f (x) =
j=1

ajk ξk .
k=1

Định lý 1.1. (xem [3], trang 227). Đối với bất kì phép biến đổi tuyến
tính f trong Rn tồn tại một cơ sở sao cho ma trận A của phép biến đổi
f có dạng


K 0 ... 0
 1

 0 K2 . . . 0
A=

 ... ... ... ...


0 . . . 0 Kp





,




trong đó Ki (i = 1, 2, . . . , p) là ma trận có dạng

Footer Page 9 of 161.

4


Header Page 10 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lan Anh










Ki = 






λi

1

0

...

0

λi

1

...

... ... ... ...
0

0

0

...

0

0

0

...

0 

0 


... 


1 


λi

(tức là các phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng λi và các phần tử
kề trên đều bằng 1, các phần tử khác đều bằng 0. Cấp của ma trận này
ta kí hiệu là ni )
Dạng trên đây được gọi là dạng chính tắc Jordan của ma trận A.
Do đó
(i) Với bất kì ma trận vuông B nào cũng tồn tại ma trận vuông không

suy biến P sao cho P BP −1 = A trong đó A là ma trận dạng chính
tắc Jordan.
(ii) Giả sử A là ma trận phức và λ1 , λ2 , . . . , λk là các giá trị riêng (phức)
phân biệt của A với bội tương ứng là m1 , . . . , mk . Khi đó A đồng
dạng với ma trận J :


J
0 ... 0
 1

 0 J2 . . . 0
J =

 ... ... ... ...

0 0 . . . Jk
trong đó

Footer Page 10 of 161.

5





,






Header Page 11 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lan Anh









Ji = 






λi

1

0

...

0

λi

1

...

... ... ... ...
0

0

0

...

0

0

0

...

0 

0 



... 
.

1 


λi

Nếu λi là các giá trị riêng đơn với ∀i = 1, k thì ma trận A đồng
dạng với ma trận chéo


λ
0 ... 0
 1

 0 λ2 . . . 0
J =

 ... ... ... ...

0 0 . . . λk





,





ma trận Ji có dạng Ji = λi Imi + Zi trong đó Imi là ma trận đơn vị
cấp mi và







Zi = 






Footer Page 11 of 161.


0

1

0

...

0

0

1

...

... ... ... ...
0

0

0

...

0

0

0

...

6

0 

0 



... 
.

1 


0


Header Page 12 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lan Anh

Dễ thấy



0








2

Zi = 







0

1

0

... 0 

0 0 0 1 ... 0 



... ... ... ... ...

,
0 0 0 0 ... 1 


0 0 0 0 ... 0 


0 0 0 0 ... 0

tức là so với Zi đường chéo đơn vị trong Zi2 bị dịch về bên phải một
đơn vị, còn các phần tử còn lại đều bằng không. Suy ra Zimi = θ (θ
là ma trận không) và ta nói Zi là ma trận lũy linh. Nghĩa là một
lũy thừa nào đó của ma trận này bằng không.

1.2

Sự hội tụ trong không gian định chuẩn Mat(n ∗
n, K)

Định nghĩa 1.1. (Sự hội tụ của dãy ma trận). Dãy ma trận {Am } được
gọi là hội tụ nếu với mọi số dương ε nhỏ tùy ý, tồn tại số Nε sao cho với
∀p, q > Nε thì
Aq − Ap < ε.
Định nghĩa 1.2. (Giới hạn của dãy ma trận). Cho dãy ma trận {Am } ⊂
Mat(n ∗ n, K). Ta nói dãy ma trận có giới hạn là ma trận A nếu (∀ε >
0)(∃Nε ) sao cho ∀m ≥ Nε thì Am − A < ε.
Kí hiệu: lim Am = A hay Am → A khi m → ∞.
m→∞

Nhận xét 1.1. Dãy {Am } hội tụ khi và chỉ khi mỗi dãy các phần tử

Footer Page 12 of 161.

7


Header Page 13 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lan Anh
(m)

của nó hội tụ. Hơn nữa nếu Am = (aij ), A = (aij ) thì
(m)

lim Am = A ⇔ lim aij

m→∞

= aij (∀i, j =1, n). Thật vậy

(i) Nếu mỗi dãy các phần tử của {Am } hội tụ thì hiển nhiên dãy ma
trận đó hội tụ.
(ii) Ngược lại, giả sử ta có lim Am = A = (aij )m×n thế thì
m→∞

(∀ε > 0)(∃Nε ) sao cho ∀m ≥ Nε thì Am − A < ε
hay

n
(m)

aij

(m)

− aij < ε ⇔ aij

− aij < ε(∀i, j = 1, n)

i,j=1

hay
(m)

lim aij − aij = 0, (∀i, j = 1, n)

m→∞

(m)

⇔ lim aij = aij , (∀i, j = 1, n).
m→∞

Vậy mỗi dãy của các phần tử của {Am } hội tụ.
Suy ra dãy {Am } hội tụ trong và chỉ trong trường hợp dãy đó có
ma trận giới hạn.
Định nghĩa 1.3. (Chuỗi trong không gian định chuẩn Mat(n ∗ n, K)).
Trong không gian định chuẩn Mat(n ∗ n, K) và dãy các ma trận
{Am } ⊂ Mat(n ∗ n, K). Ta gọi là chuỗi các ma trận trong Mat(n ∗ n, K)
biểu thức có dạng
∞

A1 + A2 + . . . + Am + . . . =

Am .

(1.1)

m=1

+ Phần tử Am được gọi là số hạng thứ m của chuỗi (1.1).
+ Với mỗi k ∈ N∗ , Sk =

k

Am gọi là tổng riêng thứ k của chuỗi (1.1).
m=1

Footer Page 13 of 161.

8


Header Page 14 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lan Anh
∞

Am được gọi là hội tụ nếu dãy

Định nghĩa 1.4. Chuỗi ma trận
m=1

các tổng riêng {Ak } của chuỗi đó hội tụ, tức là tồn tại lim Sn = S
k→∞

trong Mat(n ∗ n, K). Ma trận giới hạn các dãy các tổng riêng đó ta gọi
∞

là tổng của chuỗi và ta viết S =

Am .
m=1

1.3

Hệ phương trình vi phân cấp một

Xét bài toán ban đầu

 x = f (t, x)
 x(t ) = x ,
0

(1.2)

0

trong đó f : D → Rn là hàm liên tục trên tập D ⊂ R × Rn chứa (t0 , x0 ).
Một hàm x : I → Rn xác định trên một khoảng I chứa t0 gọi là một
nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.2) nếu x(t0 ) = x0 , (t, x(t)) ∈ D,
x(t) là hàm khả vi và x(t) = f (t, x(t)), với mọi t ∈ I.
Dễ thấy x(t) là một nghiệm của bài toán (1.2) khi và chỉ khi nó là
nghiệm liên tục của phương trình tích phân
t

x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds.

(1.3)

t0

Trong mục này, ta sẽ đưa ra một số kết quả cơ bản về một sự tồn tại
nghiệm của bài toán (1.2).
Dưới dây ta kí hiệu B(x0 , b) là hình cầu đóng tâm x0 bán kính b trong
Rn .
Định lý 1.2. (Picard-lindelof, [1], trang 45). Giả sử f : [t0 − a, t0 + a] ×

Footer Page 14 of 161.

9


Header Page 15 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lan Anh

B(x0 , b) → Rn là hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối với
x đều theo t, tức là
f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y , ∀(t, x), (t, y) ∈ [t0 − a, t0 + a] × B(x0 , b),
và giả sử
f (t, x) ≤ M, ∀(t, x) ∈ [t0 − a, t0 + a] × B(x0 , b).
Khi đó bài toán ban đầu (1.2) có duy nhất nghiệm x(t) xác định trên

đoạn [t0 − α, t0 + α], với α = min(a, Mb ).
Chú ý 1.1.
(i) Nếu bỏ giả thiết f liên tục Lipschitz đối với biến x, nghiệm của bài
toán (1.2) có thể không duy nhất. Thật vậy, xét bài toán
2

x = 3x 3 , x(0) = 0.
Gần điểm t0 = 0, bài toán có hai nghiệm x(t) = 0 và x(t) = t3 . Nguyên
nhân là gần 0, vế phải không thỏa mãn điều kiện Lipschitz.
(ii) Giả thiết f liên tục Lipschitz đối với biến x sẽ được thỏa mãn nến
f (t, ) có các đạo hàm riêng

∂f
∂xi (t,

), i = 1, n liên tục và bị chặn đều đối

với t.
Trong thực tế, ta thường sử dụng hệ quả quan trọng sau.
Hệ quả 1.1. (xem [1], trang 48). Giả sử f và

∂f
∂f
∂x1 , . . . , ∂xn

là những hàm

liên tục trên tập mở D ⊂ R × Rn và (t0 , x0 ) ∈ D. Khi đó bài toán (1.2)
có nghiệm duy nhất xác định trong một lân cận của t0 .

Footer Page 15 of 161.

10


Header Page 16 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lan Anh

Định lí tồn tại sau đây không cần thiết về tính liên tục Lipschitz của f
đối với biến x nhưng không khẳng định được tính duy nhất của nghiệm.
Định lý 1.3. (Peano, [1], trang 48). Giả sử f : [t0 −a, t0 +a]×B(x0 , b) →
Rn là hàm liên tục và bị chặn bởi số M > 0. Khi đó bài toán giá trị
ban đầu (1.2) có ít nhất một nghiệm x(t) trên đoạn [t0 − a, t0 + a], với
α = min(a, Mb ).
Hệ quả 1.2. (xem [1], trang 50). Giả sử hàm f (t, x) liên tục trên tập
mở D ⊂ R × Rn và thỏa mãn f (t, x) ≤ M, ∀(t, x) ∈ D. Giả sử E là
một tập con compact của D. Khi đó tồn tại α > 0, phụ thuộc vào D, E
và M, sao cho nếu (t0 , x0 ) ∈ E thì bài toán (1.2) có nghiệm trên đoạn
[t0 − a, t0 + a].

1.4

Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Định nghĩa 1.5. (xem [2], trang 17). Cho hệ phương trình có dạng




x1 (t) = a11 (t)x1 (t) + a12 (t)x2 (t) + . . . + a1n (t)xn (t) + f1 (t)





 x2 (t) = a21 (t)x1 (t) + a22 (t)x2 (t) + . . . + a2n (t)xn (t) + f2 (t)


......................................................




 x (t) = a (t)x (t) + a (t)x (t) + . . . + a (t)x (t) + f (t)
n
n1
1
n2
2
nn
n
n

(1.4)

trong đó aij (t)(i, j = 1, n), fi (t)(i = 1, n) là các hàm số liên tục trên một
khoảng I ⊂ R nhận các giá trị trong trường K; x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) là
các ẩn hàm cần tìm.

Footer Page 16 of 161.

11


Header Page 17 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Kí hiệu xi =

dxi
dt



Nguyễn Thị Lan Anh

= xi (t) là đạo hàm của xi (t) theo biến t.








x (t)
f (t)
 1


 1





 f (t)
 x2 (t) 

 , x(t) = 
 , f (t) =  2




 ...
 ... 





fn (t)
xn (t)


a (t) a12 (t) . . . a1n (t)

 11



 a21 (t) a22 (t) . . . a2n (t) 
.
A(t) = 



 ...
...
... ...


an1 (t) an2 (t) . . . ann (t)

x (t)
 1

 x2 (t)
Đặt x(t) = 

 ...

xn (t)











Hệ trên sẽ trở thành dạng ma trận:
x(t) = A(t)x(t) + f (t).

(1.5)

Khi f (t) = 0 ta có hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
tương ứng
x(t) = A(t)x(t).

(1.6)

Ta có I là một khoảng trong R, A : I → Kn×n và f : I → Kn là các
ánh xạ liên tục trên I, trong đó Kn×n là không gian Banach gồm các ma
trận cỡ n × n, với phần tử thuộc K (ở đây K = R hoặc K = C) và
B = sup Bx , B ∈ Kn×n .
x ≤1

Từ định lí tồn tại duy nhất nghiệm và định lí thác triển nghiệm suy
ra hệ (1.5), nói riêng hệ (1.6) có duy nhất nghiệm xác định trên khoảng

Footer Page 17 of 161.

12


Header Page 18 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lan Anh

I thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 cho trước.
Kí hiệu x( , t0 , x0 ) là nghiệm của (1.5) với điều kiện ban đầu x(t0 ) =
x0 .
Định lí sau đây mô tả cấu trúc nghiêm của hệ phương trình vi phân
tuyến tính thuần nhất (1.6).
Định lý 1.4. (xem [1], trang 80). Tập hợp các nghiệm của hệ (1.6) lập
thành một không gian vectơ n chiều V trên trường K. Hơn nữa, với mỗi
t0 cố định thuộc I, ánh xạ x0 → x( , t0 , x0 ) là một đẳng cấu từ Kn lên V.
Định nghĩa 1.6. (xem [1], trang 81). Giả sử {x1 , x2 , . . . , xn } là hệ gồm
n nghiệm độc lập tuyến tính của (1.6). Khi đó, ma trận vuông X(t) có
các cột x1 , x2 , . . . , xn gọi là một ma trận cơ bản của hệ (1.6).
Dễ thấy X là một ma trận cơ bản của hệ (1.6) và C là một ma trận
hằng không suy biến thì XC cũng là một ma trận cơ bản của hệ (1.6).
Đảo lại, mỗi ma trận cơ bản khác của hệ (1.6) đều có thể biểu diễn dưới
dạng tích của ma trận cơ bản X với một ma trận hằng không suy biến.
Nếu X(t0 ) = In thì Xt0 := X gọi là ma trận cơ bản chuẩn tắc của
(1.6) tại thời điểm t0 . Rõ ràng ma trận Xt0 là nghiệm toàn cục duy nhất
của bài toán
X (t) = A(t)X, X(t0 ) = In .
Khi đó với mọi x0 ∈ Kn , nghiệm duy nhất x( , t0 , x0 ) của bài toán
Cauchy

x(t) = A(t)x, x(t0 ) = x0

Footer Page 18 of 161.

13

Header Page 19 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lan Anh

cho bởi
x(t, t0 , x0 ) = Xt0 (t)x0 .
Tổng quát, ta gọi mỗi nghiệm của phương trình ma trận X (t) =
A(t)X là một ma trận nghiệm của hệ thuần nhất (1.6). Rõ ràng X là
một ma trận nghiệm của (1.6) khi và chỉ khi mỗi vectơ cột của X là một
nghiệm của (1.6). Khi đó
W (t) = det(X(t)), t ∈ I,
ta gọi là định thức Wronski của ma trận nghiệm X.
Định lý 1.5. (Liouville) (xem [1], trang 81). Giả sử X là một ma trận
nghiệm của hệ thuần nhất (1.6). Khi đó định thức Wronski W của X là
một nghiệm của phương trình vi phân y (t) = trace(A(t))y trong K. Từ
đây ta có
t

trace(A(s))ds

, ∀t, t0 ∈ I.

W (t) = W (t0 )e

t0

Hệ quả 1.3. (xem [1], trang 82). Định thức Wronski của một ma trận

nghiệm của hệ (1.6) hoặc đồng nhất bằng 0 hoặc không bao giờ triệt tiêu.
Ma trận nghiệm X của (1.6) là ma trận cơ bản khi và chỉ khi định thức
Wronski của nó khác 0.
Định lí sau đây mô tả cấu trúc nghiệm của hệ không thuần nhất (1.5).
Định lý 1.6. (xem [1], trang 82). Tập hợp các nghiệm của hệ không
thuần nhất (1.5) lập thành một không gian vectơ con afin v + V của
C 1 (I; Kn ), ở đó v là một nghiệm bất kì của (1.5) và V là không gian
nghiệm của hệ thuần nhất tương ứng (1.6). Nói cách khác, nghiệm tổng

Footer Page 19 of 161.

14


Header Page 20 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lan Anh

quát của hệ không thuần nhất (1.5) bằng nghiệm tổng quát của hệ thuần
nhất tương ứng (1.6) cộng với một nghiệm riêng của hệ (1.5).
Định lý 1.7. (xem [1], trang 83). Nghiệm toàn cục duy nhất của bài
toán Cauchy
x(t) = A(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0
cho bởi
t

X(s)−1 f (s)ds, t ∈ I,

x(t, t0 , x0 ) = X(t)X(t0 )−1 x0 + X(t)

t0

ở đó X(t) là một ma trận cơ bản bất kì của hệ thuần nhất tương ứng
(1.6).
Chú ý 1.2. Có thể chứng minh được rằng ma trận U (t, s) = X(t)X(s)−1
không phụ thuộc vào ma trận cơ bản X và gọi là toán tử tiến hóa (hay
ma trận Cauchy) của phương trình (1.6). Hơn nữa, với mọi s ∈ I, U ( , s)
là nghiệm của bài toán Cauchy X (t) = A(t)x(t), X(s) = I, và
U (s, s) = I,
U (t, z)U (z, s) = U (t, s), ∀t, z, s ∈ I,
[U (t, s)]−1 = U (s, t), ∀t, s ∈ I.

Footer Page 20 of 161.

15


Header Page 21 of 161.

Chương 2
Hàm mũ ma trận và ứng dụng đối
với hệ phương trình vi phân tuyến
tính cấp một
Chương này trình bày về những khái niệm cơ bản về hàm mũ ma
trận và cùng các tính chất mệnh đề của nó từ đó đưa ra được cấu trúc
nghiệm để giải các hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một.

2.1

Hàm mũ ma trận

Định nghĩa 2.1. (xem [1], trang 85). Ta gọi ma trận
∞

n=0

An
n!

(2.1)

là ma trận mũ của ma trận A và kí hiệu là eA .
Nhận xét :
Trước hết ta khẳng định rằng định nghĩa trên hoàn toàn hợp lý. Bởi
vì chuỗi (2.1) hội tụ đối với mọi ma trận A. Thật vậy

Footer Page 21 of 161.

16


Header Page 22 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
k

Kí hiệu Sk =
n=0

Nguyễn Thị Lan Anh

An
n!

là tổng riêng thứ k của chuỗi (2.1). Khi đó

∀p, q ∈ N∗ (giả sử p < q) ta có
q

q

An
=
n!
n=p+1

Sq − Sp

k

Do đó nếu kí hiệu Sk =

A
n!

n=1

n=p+1

A n
.

n!

(2.2)
∞

n

là tổng riêng thứ k của chuỗi
n=1

Suy ra

q

Sq − Sp =
n=p+1

A

tuyệt đối với mọi ma trận hữu hạn A. Ta có

e

= A

0

A
A 2
A n

+
+ ··· +
+ ....
+
1!
2!
n!

Do đó (∀ε > 0)(∃Nε ∈ N∗ ) sao cho ∀p, q > Nε : Sq − Sp < ε.
Suy ra
p+q

Sq − Sp =
n=p+1

Vậy

A n
< ε.
n!

q

Sq − Sp

q

An
=
n!

n=p+1

n=p+1

A n
< ε.
n!

Định nghĩa 2.2. Ta gọi hàm
ϕ : Mat(n ∗ n, C) → Mat(n ∗ n, C)
∞

A→
n=0

Footer Page 22 of 161.

17

An
n!

n

.

A n
.
n!

Vậy tổng vế phải (2.2) là hiệu các tổng riêng của chuỗi e

A

A
n!

hội tụ


Header Page 23 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lan Anh

được gọi là hàm mũ ma trận.

Chú ý 2.1. Một số tính chất sau hữu ích cho việc tính eA .
(i) A0 = I.
(ii) eA là một ma trận không suy biến đối với mọi A.
(iii) Mỗi ma trận A thỏa mãn phương trình đặc trưng det(λI − A) = 0.


0 1
 . Hãy tính eA .
Ví dụ 2.1.1. Cho A = 
0 0
Ta có det(λI − 
A) = λ2= 0. Vì vậy A2 = 0 do đó Am = 0(m > 1),
1 1

.
nên eA = I + A = 
0 1


a 0
.Hãy tính eA .
Ví dụ 2.1.2. Cho A = 
0 b

 ∞


n
a
0
a
∞
n!


e 0
An
A
n=0
=

.
Ta có e =
=

∞
n!

n 
b
b
n=0
0 e
0
n!
n=0


Ví dụ 2.1.3. Cho A = 

...

∞

Footer Page 23 of 161.

1 1

 . Hãy tính eA .

n

A
Ta có e =
n!

n=0


1 1

A2 = 
1 1


2 2

A3 = 
2 2
A

1 1



1 1
1 1
1 1
1 1





=




=

2 2
2 2
4 4
4 4
18


 = 2A,

 = 4A = 22 A,


Header Page 24 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Lan Anh

Tương tự như vậy, chứng minh bằng quy nạp ta sẽ có An = 2n−1 A. Do
đó ta có
∞

A

e =
n=0

An
n!

=I +A+

2A
2!

2n−1 A
n!

+ ··· +

+ · · · = B = (bij ),

với
b11

22
2n−1
2
+ ...
= b22 = 1 + 1 + + + · · · +
2! 3!
n!
1 1
2
22
2n−1

= + + 1 + + + ··· +
+ ...
2 2
2! 3!
n!
22 23
2n
1 1
+ ...)
= + (1 + 2 + + + · · · +
2 2
2! 3!
n!
1 1
= + e2 ,
2 2

2
22
2n−1
+ + ··· +
+ ...
2! 3!
n!
1 1
2
22
2n−1
= − + + 1 + + + ··· +
+ ...

2 2
2! 3!
n!
22 23
2n
1 1
+ ...)
= − + (1 + 2 + + + · · · +
2 2
2! 3!
n!
1 1
= − + e2 .
2 2

b12 = b21 = 1 +

Vậy

eA = 

1
2

+

− 12

1 2
2e

+

− 12

1 2
2e

1
2

+

+

1 2
2e

1 2
2e


.

Mệnh đề 2.1. (xem [1], trang 85). Giả sử P, A, B thuộc Mat(n ∗ n, C),
P là ma trận không suy biến. Khi đó ta có
(i) Nếu B = P AP −1 thì eB = P eA P −1 .
(ii) Nếu A, B giao hoán thì eA+B = eA eB = eB eA .
(iii) e−A = (eA )−1 .

Footer Page 24 of 161.

19


Header Page 25 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học


(vi)Nếu A = 

a −b
b

a

Nguyễn Thị Lan Anh


 , a, b ∈ R thì


eA = ea 

cos b − sin b
sin b

cos b



.

Chứng minh. (i) Ta dùng các đồng nhất thức
P (A + B)P −1 = P AP −1 + P BP −1 và (P AP −1 )k = P Ak P −1 .
Do đó
n

P
k=0

Ak
k!

n

P

−1

k

(P AP −1 )
.
k!

=
k=0

Bằng cách lấy giới hạn khi n → ∞ ta có (i).
(ii) Ta nhận xét rằng vì AB = BA nên ta có

(A + B)n = n!
j+k=n

Aj B k
.
j!k!

Vì các chuỗi hội tụ tuyệt đối nên ta có


∞

eA+B =
n=0
∞

=

(A + B)n
=
n!

j+k=n





Aj B k 
=

j!k!

= eA eB .

Footer Page 25 of 161.

n=0




n=0

∞

20

n!
j+k=n

n!
∞

j=0

Aj
j!

Aj B k
j!k!





∞

k=0

Bk
k!