dao ham va cac tinh chat cua dao ham

ĐẠO HÀM

11A1

ĐẠO HÀM

Chủ Đề:I –

1.Tóm tắt lý thuyết


'
'
Đạo hàm của f (x) tại x0 , kí hiệu f ( x0 ) hay y ( x0 )

f ' ( x0 ) = lim

∆x →0



f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
f ( x) − f ( x0 )
= lim
x → x0
∆x
x − x0

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y= f(x) tại điểm M0

( x0 ; y 0 )

có dạng.

y − y 0 = f ( x 0 )( x − x 0 )
'

 Các công thức tính đạo hàm:
Đạo hàm của hằng số:
Đạo hàm của x:

(C)’= 0
Đạo hàm của hàm hợp:
( ku ) ' = k ( u ) '

( x)' = 1

(x )

(u )

n '

= n.x n −1
1
( x )' =
2 x

n '

= n.u n −1 .u '

'
1
u =
.u '
2 u

( )

'

'

1
1
  =− 2
x
 x

1 '
1
  = − 2 .u
u
u

(v = v(x) ≠ 0 )

Đạo hàm của Tổng, Hiệu, Tích, Thương:
( u + v − w) ' = u ' + v ' − w '

( uv ) ' = u ' v + v 'u

(u + v) ' = u' + v'
(u − v) ' = u' − v'
Giới hạn của

'

'
'
u u v−vu
(v = v( x) ≠ 0)
  =
v2
v

sin x
x

sin x
=1
x →0
x

lim

Đạo hàm của hàm số lượng giác:

( sin x )

'

= cos x

( cos x ) ' = − sin x
1
cos 2 x
( cot x ) ' = − 12
sin x

( tan x ) ' =

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u ' x
đạo hàm tại x là:

'
2. Các bài toán cơ bản:
x

y

( sin u ) ' = u ' cos u

(sin n u ) ' = n sin n −1 u.( sin u )

( cos u ) ' = −u ' sin u

(cos n u )' = n cos n −1 u.(cos u )'

'

(tan n u )' = n tan n −1 u.(tan u )'
u'
( tan u ) = 2
cos u
'
(cot n u )' = n cot n −1 u.(cot u )'
( cot ) ' = − u2
sin u
và hàm số y = f (u ) có đạo hàm tại u là y ' u thì hàm hợp y = f ( g ( x)) có

= y 'u .u ' x

'

1


ĐẠO HÀM

11A1

Bài toán 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa:
 Phương pháp giải
Bước 1: Gọi ∆x là gia số của x tại x0 , tính
∆y = f ( x 0 + ∆x) − f ( x 0 )
∆y
Bước 2: Lập tỉ số
∆x
∆y
Bước 3:Tìm lim

∆x →0 ∆x
 Ví dụ: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a) y = x2 + x
tại x0 = 1
x +1
b) y =
tại x0 = 0
x −1

Lời giải

a) y = x + x
tại x0 = 1
Gọi ∆x là gia số của x tại x0 = 1
∆y = f ( x 0 + ∆x) − f ( x 0 )
Ta có
= f (1 + ∆x) − f (1) = (1 + ∆x) 2 + (1 + ∆x) − 2 = 1 + 2∆x + ∆x 2 + 1 + ∆x − 2 = ∆x 2 + 3∆x
∆y
∆x 2 + 3∆x
∆x (∆x + 3)
lim
= lim
= lim
= lim (∆x + 3) = 3
∆x →0 ∆x
∆x → 0
∆x →0
∆x →0
∆x
∆x

f ' (1) = 3
x +1
b) y =
tại x0 = 0
x −1
Gọi ∆x là gia số của x tại x0 = 0
∆y = f ( x 0 + ∆x) − f ( x 0 )
Ta có
(0 + ∆x) + 1
∆x + 1
2∆x
= f (0 + ∆x) − f (0) =
− (−1) =
+1 =
(0 + ∆x) − 1
∆x − 1
∆x − 1
2

∆y
2∆x 1
2∆x
2
= lim
.
= lim
= lim
= −2
∆x →0 ∆x
∆x →0 ∆x − 1 ∆x

∆x →0 ∆x ( ∆x − 1)
∆x →0 ∆x − 1
f ' (0) = −2
 Nhận xét: Để tính hàm số y = f (x) trên khoảng (a;b) và x0 ∈ ( a; b) bằng định nghĩa ta chỉ cần tính
∆y
∆y
∆y = f ( x 0 + ∆x) − f ( x 0 ) sau đó lập tỉ số
rồi tìm giới hạn của
khi ∆x tiến dần về 0.
∆x
∆x
Bài toán 2: Chứng minh hàm số không hoặc có đạo hàm tại x0
 Phương pháp giải: Để chứng minh hàm số y = f (x) không hoặc có đạo hàm tại x = x0 ta làm như sau:
f ( x) − f ( x0 )
f ( x) − f ( x 0 )
lim
Tìm giới hạn xlim
và
của hàm số y = f (x) sau đó so sánh
→0 +
x →0 −
x − x0
x − x0
lim

lim

x →0 +

f ( x) − f ( x0 )

f ( x) − f ( x 0 )
và xlim
:
−
→
0
x − x0
x − x0
f ( x) − f ( x0 )
f ( x) − f ( x 0 )
lim−
 Nếu xlim
=
thì hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 .
+
→0
x →0
x − x0
x − x0
2


ĐẠO HÀM


f ( x) − f ( x0 )
f ( x) − f ( x 0 )
lim
≠
Nếu xlim

thì hàm số y = f (x) không có đạo hàm tại x0 .
→0 +
x →0 −
x − x0
x − x0

11A1

( x − 1) 2 , x ≥ 0
 Ví dụ : Chứng minh rằng hàm số f ( x) = 
không có đạo hàm tại x = 0.
2
( x + 1) , x < 0

Lời giải
Ta có f (0) = 1
f ( x) − f ( x0 )
f ( x) − f (0)
( x − 1) 2 − 1
x 2 − 2x + 1 − 1
x 2 − 2x
lim+
=
lim
=
lim
=
lim
=
lim

= lim+ ( x − 2) = −2
x →0
x − x0
x →0 +
x →0 +
x →0 +
x →0 +
x →0
x−0
x
x
x
f ( x) − f ( x 0 )
f ( x ) − f (o )
( x + 1) 2 − 1
x 2 + 2x + 1 − 1
x( x + 2)
lim−
= lim−
= lim−
= lim−
= lim−
= lim− ( x + 2) = 2
x →0
x →0
x →0
x →0
x →0
x →0
x − x0

x−0
x
x
x
f ( x) − f (0)
f ( x) − f (0)
≠ lim−
Vì lim+
nên hàm số y = f (x) không có đạo hàm tại x = 0
x →0
x →0
x−0
x−0
'
+
'
−
'
 Nhận xét: Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f ( x0 ) = f ( x 0 ) = f ( x0 )
Bài toán 3: Tính đạo hàm của hàm số y = f (x)
 Phương pháp giải: Xác định dạng của đạo hàm sau đó áp dụng các công thức và phép toán để tính đạo hàm
của hàm số y = f (x) và hàm số lượng giác.

Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số y = x
 Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = 2x 4 ; b) y = 2 x

; c) y =

2

x

Lời giải
c) y =

a) y = 2x 4

2
x

y ' = ( 2 x 4 ) ' = 2( x 4 ) ' = 8 x 3
b)
y=2 x
y ' = ( 2 x ) ' = 2( x ) ' = 2

'

2
 1
y = 2  = − 2
x
 x
'

1
2 x

=

1

x

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm hợp
 Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = (2 x 4 + 4 x − 3)1994 ;
a) y = (2 x + 4 x − 3)
4

b) y = 2 2 x 2 −1

1994

; c) y =

d) y = x 5 − 2 x 2 − 2

)

3

Lời giải:
b) y = 2 2 x 2 −1

y ' = 1994(2 x 4 + 4 x − 3)1993 (2 x 4 + 4 x − 3) '

y' = 2

= 1994(2 x 4 + 4 x − 3)1993 (8 x 3 + 4)

c) y =

(

2
x5

(

2
x5

(2 x 2 − 1) '
2 2 x 2 − 1)

d) y = x 5 − 2 x 2 − 2

3

)

3

=

4x
2 x 2 − 1)


ĐẠO HÀM
'

( x 5 )'
5x 4
10
 1 
y = 2 5  = −2
=
−
2
=− 6
2
10
x
x
x 
x5
'

( )

)

(

11A1

y ' =  x 5 − 2 x 2 − 2 


3

'

(
) (x − 2 x − 2 )
= 3( x − 2 x − 2 ) ( x ) − 2( x − 2 )
( x − 2)
= 15( x − 2 x − 2 ) x − 2
2 x −2
2x
= 15( x − 2 x − 2 ) x −
x −2
= 3 x5 − 2 x2 − 2
5

5

2

2

5

2

2

5 '

2

'

2

2

2

4

'

'

2

5

2

2

4

2

Dạng 3: Tính đạo hàm của Tổng, Hiệu, Tích, Thương.
 Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1

5
a) y = 2 x + + 3
b) y = x 5 − 5 x 3 − 2 x 2 + 1
x
5
a) y = 2 x +

2x − 3
x+4
Lời giải:

c) y =

d) y = (9 − 2 x)(3x 2 − 3 x + 1)

1
+3
x
'

(

'

)

'
1
1



1
 1 
'
y ' =  2 x 5 + + 3  = 2 x 5 +   + ( 3) = 10 x 4 +  − 2  = 10 x 4 − 2
x
x


 x
 x 
5
3
2
b) y = x − 5 x − 2 x + 1

y ' = ( x 5 − 5 x 3 − 2 x 2 + 1) = ( x 5 )'−5( x 3 ) − ( 2 x 2 )'+(1) ' = 5 x 4 − 15 x 2 − 4 x
2x − 3
c) y =
x+4
'

'

'

'
'
11
 2 x − 3  (2 x − 3) ( x + 4) − ( x + 4) (2 x − 3) 2( x + 4) − (2 x − 3) 2 x + 8 − 2 x + 3

y' = 
=
=
=
=

2
2
2
( x + 4)
( x + 4)
( x + 4)
( x + 4) 2
 x+4 
d) y = (9 − 2 x)(3x 2 − 3 x + 1)
'

2


y ' = (9 − 2 x)(3x − 3 x +1) = (9 − 2 x) ' (3x 2 − 3 x + 1) + (3x 2 − 3x + 1) ' (9 − 2 x)


= −2(3x 2 − 3x + 1) + (6 x − 3)(9 − 2 x)

= −6 x 2 + 6 x − 2 + 54 x − 12 x 2 − 27 + 6 x
= −18 x 2 + 66 x − 29
 Nhận xét: Để tìm đạo hàm của hàm số y = f (x) ta chỉ cần xác định dạng của hàm số rồi áp dụng các công
thức và phép toán của đạo hạm để tính đạo hàm của hàm số.
Bài toán 4: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y = f (x)

Dạng 1: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M( x0 ; y 0 )
 Phương pháp giải:
Bước1: Xác định tọa độ x0 ; y 0
Bước 2: Tính đạo hàm của f ' ( x) tại x0
Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M( x0 ; y 0 ), có dạng:
y − y 0 = f ' ( x0 )( x − x 0 )
 Ví dụ: Cho hàm số y =

1 3
x + x 2 + 2 có đồ thị (C) viết phương trình tiếp tuyến của (C):
3
4


ĐẠO HÀM
a) Tại điểm (1 ; -1).
b) Tại điểm có hoành độ bằng -3.

11A1
Lời giải:

a) Tại điểm (1;-1).
Ta có x0 = 1 và y 0 = −1
f ' ( x) = x 2 + 2 x ⇒ f ' (1) = 3
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (1 ; -1), có dạng
y − y 0 = f ' ( x0 )( x − x 0 )

b) Tại điểm có hoành độ bằng -3
Gọi x0 và y 0 là tọa độ tiếp điểm, khi đó ta có
Ta có x0 = −3 ⇒ y 0 = 2

f ' ( x ) = x 2 + 2 x ⇒ f ' (−3) = 3
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (-3 ; 2), có dạng
y − y0 = f ' ( x0 )( x − x0 )

⇔ y + 1 = 3( x − 1)
⇔ y = 3x − 4

⇔ y − 2 = 3( x + 3)
⇔ y = 3x + 11

Dạng 2: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k.
 Phương pháp giải:
'
Bước 1:Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm, khi đó ta có f ( x0 ) = k
'
Bước 2: Giải f ( x0 ) = k để tìm x0 sau đó thế x 0 vào hàm số y = f (x) để tìm y 0
Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C), có dạng :
y − y 0 = f ' ( x0 )( x − x 0 )
1 3 1 2
Ví dụ: Cho hàm số y = x − x + 1 có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc bằng 2.
3
2
Lời giải:
Biết hệ số góc tiếp tuyến k = 2
Ta có f ' ( x) = x 2 − x
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm
'
f ( x0 ) = 2 ⇔ x02 − x0 = 2 ⇔ x02 − x0 − 2 = 0
x =2
⇔ 0

 x 0 = −1
* Với x0 = 2 ⇒ y 0 =

5
3

* Với x0 = −1 ⇒ y 0 =

⇒ f ' (2) = 2

1
6

⇒ f ' (−1) = 2

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (2 ;

5
), có dạng:
3

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (-1 ;

y − y 0 = f ' ( x 0 )( x − x0 )

y − y 0 = f ' ( x 0 )( x − x0 )
1
= 2( x + 1)
6
13

⇔ y = 2x +
6

5
= 2( x − 2)
3
7
⇔ y = 2x −
3

⇔ y−

⇔ y−

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại hệ số góc tiếp tuyến bằng 3 là
7
13
y = 2x − ;
y = 2x +
3
6
5

1
), có dạng:
6


ĐẠO HÀM
11A1

y
=
f
(x
)
x
y
 Nhận xét: Để viết phương trình tiếp tuyến (C) của hàm số
ta cần phải biết tọa độ 0 và 0 hay hệ số
tiếp tuyến k để tìm x0 và y 0 , sau đó tính đạo hàm của hàm số y = f (x) tại x 0 rồi áp dụng vào phương trình tiếp
tuyến.

Bài toán 5: Đạo hàm của hàm số lượng giác.

Dạng 1: Đạo hàm của hàm số y = sin x , y = cos x , y = tan x và y = cot x
 Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = sin x + cos x :
a) y = sin x + cos x
y ' = (sin x + cos x) '

b) y = tan x + cot x
Lời giải:

y ' = (sin x) ' + (cos x) '

c) y =

sin x + cos x
sin x − cos x

b) y = tan x + cot x
y ' = (tan x + cot x) '
y ' = (tan x ) ' + (cot x) '
1
1
y' =
−
2
cos x sin 2 x

y ' = cos x − sin x

sin x + cos x
sin x − cos x
'
'
'
 sin x + cos x  (sin x + cos x) (sin x − cos x) − (sin x − cos) (sin x + cos x)
'
y =
 =
(sin x − cos x) 2
 sin x − cos x 
(cos x − sin x)(sin x − cos x) − (cos x + sin x )(sin x + cos x ) − (cos x − sin x)(− sin x + cos x ) − (sin x + cos x)(sin x + cos x )
=
=
(sin x − cos x ) 2
(sin x − cos x) 2
c) y =

− (cos x − sin x) 2 − (sin x + cos x) 2 − (cos 2 x − 2 cos x sin x + sin 2 x) − (sin 2 x + 2 sin x cos x + cos 2 x)
=
(sin x − cos x ) 2
(sin x − cos x) 2
− (1 − 2 cos x sin x ) − (1 + 2 sin x cos x )
=
(sin 2 x + cos 2 x = 1)
(sin x − cos x) 2
−2
=
(sin x − cos x) 2
Dạng 2: Đạo hàm của hàm hợp:
 Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1
cos x
a) y = sin 2
;
b) y = 3 tan 2 2 x + cot 2 2 x
c) y = x 2 + 1. cot 2 x
d) y =
x
sin 3 x
Lời giải:
1
a) y = sin 2
x
'
'
1   1 

1
2
1

'
y =  sin 2  =  2  cos 2 = − 3 cos 2
x  x 
x
x
x

2
2
b) y = 3 tan 2 x + cot 2 x
=

y ' = (3 tan 2 2 x + cot 2 2 x) ' = 6 tan 2 x (tan 2 x ) ' + 2 cot 2 x(cot 2 x) ' = 6 tan 2 x.
= 12 tan 2 x.

1
1
12 tan 2 x 4 cot 2 x
− 4 cot 2 x. 2
=
−
2
cos 2 x
sin 2 x cos 2 2 x sin 2 2 x

6

 (2 x) ' 
(2 x) '
+
2
cot
2
x
−

2
cos 2 2 x
 sin 2 x 


ĐẠO HÀM
c) y = x 2 + 1. cot 2 x
y' =
=

(

11A1

) (
'

x 2 + 1. cot 2 x =

x cot 2 x

−

)

'

x 2 + 1 ( cot 2 x ) + ( cot 2 x )

'

(

)

x2 +1 =

( x 2 + 1) '
2 x2 +1

( cot 2 x ) −

(2 x) '
sin 2 2 x

(

x2 +1

)

2 x2 +1
sin 2 2 x

x2 +1
cos x
d) y =
sin 3 x
'
'
3
3
'
3
2
'
4
2
2
 cos x  (cos x) sin x − (sin x) cos x − sin x. sin x − 3 sin x (sin x) cos x − sin x − 3 sin x. cos x
y' =  3  =
=
=
(sin 3 x) 2
(sin 3 x) 2
sin 6 x
 sin x 

[

]

Bài toán 6: Giải bất phương trình.
 Phương pháp giải: Để giải bất phương trình ta làm các bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số f (x) và g (x) (nếu có)
Bước 2: Xác định điều kiện bất phương trình rồi thay f ' ( x) và g ' ( x) (nếu có) vào điều kiện tìm nghiệm x0
Bước 3: Lập bảng xét dấu rồi kết luận tập nghiệm của bất phương trình.
 Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:
1 3 5 2
a) f ' ( x) < 0
,với f ( x) = x − x + 6 x
3
2
2
x + 3x − 9
b) g ' ( x) ≤ 0
,với g ( x) =
x−2
1
2 3 1 2
3
2
c) f ' ( x) < g ' ( x) ,với f ( x) = x + x − ; g ( x) = x + x + 2 x
2
3
2
Lời giải:
1 3 5 2
x 2 + 3x − 9
a) f ' ( x) < 0

,với f ( x) = x − x + 6 x
b) g ' ( x) ≤ 0
,với g ( x) =
3
2
x−2
2
x − 4x + 3
'
Ta có f ' ( x) = x 2 − 5 x + 6
Ta có g ( x) =
( x − 2) 2
Mà g ' ( x) ≤ 0

Mà f ' ( x) < 0

x 2 − 4x + 3 ≤ 0
⇔
 x−2≠0
1 ≤ x ≤ 3
⇔
 x≠2

⇔ x 2 − 5x + 6 < 0
⇔2< x <3
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S=(2 ; 3)

⇔ x ∈ [1;3] \ { 2}
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S=[1 ; 3]\2
1

2 3 1 2
3
2
,với f ( x) = x + x − ; g ( x) = x + x + 2 x
2
3
2
'
2
2
Ta có f ( x) = 3 x + 2 x , g ' ( x) = 2 x + x + 2
Mà f ' ( x) < g ' ( x)
⇔ 3x 2 + 2 x < 2 x 2 + x + 2 ⇔ 3 x 2 + 2 x − 2 x 2 − x − 2 < 0 ⇔ x 2 + x − 2 < 0 ⇔ −2 < x < 1
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S=(-2 ; 1)
 Nhận xét: Tùy thuộc vào đề bài ta tính được đạo hàm của f (x ) và g (x) (nếu có) sau đó đem thế vào điều kiện
có được từ đề bài để tìm nghiệm của bất phương trình.
c) f ' ( x) < g ' ( x)

7


ĐẠO HÀM

11A1

3.Bài tập đề nghị:
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3
2
a) y = 2 − x + x x

3
x

b) y = ( x 2 − 1)( x 2 − 4)( x 2 − 9)

2
 x +1
2
 sin x 

c) y = 
d) y = cos 


 1 + cos x 
 x −1 
3x + 1
Bài 2: Cho hàm số y =
có đồ thi là (C).
1− x
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), tại điểm A(2 ; -7).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), tại giao điểm của (C) với trục hoành.
mx 3
Bài 3: Xác định m để f ' ( x) > 0 , với f ( x) =
− 3 x 2 + mx − 5 có nghiệm đúng với mọi x ∈ R
3

8