Bồi dưỡng toán 9 đề 21

ĐỀ KIỂM TRA
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1: Cho các số thực dương thỏa mãn: x
3
+ y
3
= x – y. Chứng minh rằng x
2
+ y
2
<1
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên xy + 6x + 2008y + 12045= 0
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
với a, b, c là các số dương và a
2
+ b
2
+ c
2
= 3
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của :
Bài 5: Tìm các số tự nhiên a, b, c ( ) thỏa mãn đẳng thức:
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối
xứng của A qua H, I là 1 điểm trên đoạn thẳng HD. Qua I kẻ đường thẳng
cắt cạnh AC tại M và cắt đường thẳng CD kéo dài tại N sao cho IM = IN.
Chứng minh rằng, tam giác BMN là tam giác cân.
ĐÁP ÁN ĐỀ 21
Bài 1: Cho các số thực dương thỏa mãn: x
3
+ y
3

= x – y. Chứng minh rằng x
2
+ y
2
<1
Lời giải:
Ta có: (x – y)(x
2
+ y
2
– 1) = x
3
+ xy
2
– x
2
y – y
3
– (x – y)
= x
3
+ xy
2
– x
2
y – y
3
– (x
3
+ y

3
)
= –y(x
2
+ 2y
2
– xy)
(1)
Vì (x – y) > 0 nên từ (1) suy ra x
2
+ y
2
– 1<0, hay là x
2
+ y
2
<1. ĐPCM.
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên xy + 6x + 2008y + 12045= 0
Lời giải:
Ta có: xy + 6x + 2008y + 12045= 0
x(y + 6) +2008(y + 6) –3 =0
(x + 2008)(y + 6) = 3

Kết luận: Nghiệm của phương trình:
(x;y) = (–2007; –3), (–2005; –5), (–2009; –9), (–2011; –7)
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
với a, b, c là các số dương và a
2
+ b
2

+ c
2
= 3
Lời giải:
Ta có: (ab
2
+ bc
2
+ ca
2
)(a + b + c) – (ab + bc + ca)
2
=
=(ab
3
+ bc
3
+ ca
3
) – (a
2
bc + ab
2
c + abc
2
) (1)
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số thực dương, ta có:
ab
3
+ ab

3
+ bc
3
+ ca
3
+ ca
3
+ ca
3
+ ca
3
=7a
2
bc
Hay là 2ab
3
+ bc
3
+ 4ca
3
7a
2
bc (2)
Tương tự như vậy, ta có: 4ab
3
+ 2bc
3
+ ca
3
7ab

2
c (3)
Và ab
3
+ 4bc
3
+ 2ca
3
7abc
2
(4)
Từ (2), (3), (4) cộng vế theo vế, ta suy ra: 7(ab
3
+ bc
3
+ ca
3
) 7(a
2
bc + ab
2
c
+ abc
2
)
(ab
3
+ bc
3
+ ca

3
) – (a
2
bc + ab
2
c + abc
2
) 0 (5)
Từ (1) và (5) suy ra (ab
2
+ bc
2
+ ca
2
)(a + b + c) – (ab + bc + ca)
2
0

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng tại (a; b; c) = (1; 1; 1)