luyện thi toán vào lớp 10

Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
KẾ HOẠCH ÔN TẬP TOÁN 9
1) Nội dung:
+ Ôn tập về căn bậc hai, căn bậc ba.
+ Ôn tập về hàm số: y = ax, y = ax + b, y = ax 2
+ Ôn tập về hệ phương trình
+ Ôn tập về phương trình bậc hai và phương trình quy về phương trình bậc hai
+ Ôn tập về hàm số: y = ax, y = ax + b, y = ax2
+ Ôn tập về cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc lập phương trình
+ Ôn tập về hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
+ Ôn tập về đường tròn và các bài toán liên quan đến đường tròn.
+ Ôn tập về hình trụ, hình nón, hình cầu.
2) Biện pháp:
+ Giáo viên hệ thống lại kiến thức và nhận dạng bài tập bằng hệ thống câu hỏi.
+ Giáo viên ra đề bài để học sinh tự học ở nhà, đồng thời trao đổi với bạn bè. Sau đó
những ý nào, câu nào mà học sinh gặp khó khăn thì giáo v iên gợi ý cách làm. Đồng thời
chữa mẫu một số bài để rèn luyện kĩ năng trình bày bài làm cho học sinh và phát huy khả
năng tự học của học sinh.
+ Giáo viên kiểm tra sat sao công việc tự học ở nhà của học sinh
2) Phân bố thời gian:
+ 05 buổi ôn tập về căn bậc hai, căn bậc ba.
+ 04 buổi ôn tập về hệ phương trình;phương trình bậc hai và phương trình quy về
phương trình bậc hai
+ 01 buổi ôn tập về hàm số: y = ax, y = ax + b, y = ax 2
+ 02 buổi ôn tập về cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình
+ 04 buổi ôn tập về hệ thức lượng trong tam giác vuông; đường tròn và các bài toán liên
quan đến đường tròn; hình trụ, hình nón, hình cầu.
+ 01 buổi ôn tập các nội dung khác và kiểm tra

Trang 1

Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
Chuyªn ®Ò: c¨n bËc hai
Buổi 01: ÔN TẬP LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng I : Căn bậc hai - Định nghĩa , kí hiệu.
Ví dụ 1 : Tìm x biết x 2 = 8.
Giải : x =  8  2 2
Ví dụ 2 : Tìm x biết x  1  2
x  1  0
x  1

 x5
x  1  4
x  5

Giải : Ta có 

Ví dụ 3: So sánh
15 và 4
2 3 và 3 2
Giải
Ta có:
4  16  15;2 3  12;3 2  18
12  18  2 3  3 2
Ví dụ 4 : Tính 5,4  7 0,25
Giải : 5,4  7 0,25  5,4  7.0,5  5,4  3,5  8,9
Bài tập tự giải :
1) Tìm x biết a) x 2  1  2 b) x 2  5  2

2) Tính a) 0,25.

1
4

b)

1
100 .  16  9  4
2

3) So sánh 2 5 vµ 3 3
4) Tìm giá trị nhỏ nhất của y biết:
a)y = x2 – 2x +3
b)y = 9 x 2  12 x  11
Dạng 2 : Căn thức bậc hai - điều kiện tồn tại - hằng đẳng thức
Ví dụ 1 : a) Tìm x để biểu thức 2 x  4 có nghĩa ?
Giải : Ta có 2 x  4 có nghĩa khi 2 x  4  0  x  2
b) Tìm x để x 2  5 có nghĩa?
Giải : Ta thấy x 2  0x nên x 2  5 có nghĩa với mọi x.
Ví dụ 2 : Giải phương trình : 2 x  3  x  1
Giải :

3

2 x  3  0
x 
Pt  

2x4
2 x  3  x  1

 x  4

Ví dụ 3 : Tính

1  3  5  2 6
1  3   1  3  3  1
5  2 6   3  2  3 
2

2

Giải : Ta có :

2

Bài tập tự giải :
1) Tìm x để các biểu th ức sau có nghĩa :
Trang 2

2  3 2

A2  A


Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
a)  2 x

b) 5  30 x

c) 2 x 2

d)

2
x5

2) Rút gọn biểu thức :
a ) 15  6 6  33  12 6
b) x 2  2 x  1  x 2  2 x  1

3) Giải phương trình: x 2+2x = 3- 2 2
4) Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: 3x  2  4  x
Dạng 3 :Quy tắc khai phương.
Ví dụ 1 : Tính .
25. 441
Ta có: 25. 441  5.21  105
Ví dụ 2 : Tính a) 3. 12 b) 4a . 16a
Giải : a) 3. 12  3.12  36  6
b) 4a . 16a  4a.16a  64a 2  8a
Ví dụ 3 : Tính a)
Giải : a)

81
225

81

225

81

225

2

b)

4a b

49

c)

36 9
:

25 16

b)


4a 2 b 2
49

c)

36 9
:
25 16

9 3


15 5

4a b 2



2 ab

7
49
36
9
6 3 24
:
 : 
25 16 5 4 15

Ví dụ 4 : Tính
a) 3 2  2 3 3 2  2 3 
b)  128  2 162  2 6  24  : 2
Giải :
2
2
a) 3 2  2 3 3 2  2 3   3 2   2 3   18  12  6
b)  128  2 162  2 6  24  : 2  64  2 81  2 3  12  8  2.9  2 3  2 3  10
Bài tập :
1) Rút gọn biểu thức
a) 320.45a 2

b)

1
2
a 4 a  b 
ab

( a  b  0)

2) Rút gọn và tính giá trị biểu thức :



A  4 1  6x  9x 2



khi x  - 2

3) Tính : a)  3  2  .  2  2
c) ( 28  2 14  7 )  7 8
e) 15 50  5 200  3 450  : 10
2

2

b)(1+ 2  3 )(1  2  3 )
d) ( 8  3 2  10 )( 2  3 0,4 )

4)Tính

a) A  (2  3 ) 7  4 3
b) B  ( 10  6 ) 4  15
5)Tìm x biết:
a) 4 x  5
b) 9( x  1)  21
c) 4(1  x) 2  6  0
6)Tìm x biết:
Trang 3


Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
a) (7  x )(8  x )  x  11
b) x  3  1  x  2
7) Phân tích thành tích:
a) 8  2 15
b) 1  3  5  15
c) 10  14  15  21 d) 3  18  3  8
e) x  6 x  8
f) ab  b ab  a  b
Dạng 4 : Các phép toán về căn bậc hai :
Ví dụ 1 : 75  5 2.3  5 3
 2 3   2 2.3   12
1
5
1


5
2
5

5
5
4
4 6
4 6 2 6



2
3 .6
9
3 6 3( 6)

Ví dụ 2 :

8

Ví dụ 3 :

7 3



8( 7  3 )
 2( 7  3 )
73

Bài tập :
1) So sánh 20 vµ 3 5
2) Khử mẫu : a)

6
3

b)

5 3

c)

5 3

1
2 2 3 5

3) Tính :
1
2
a ) 72  5  4,5 2  2 27
3
3
b) 4

1
 32  27  162
2

4) Tính
2 3 6
216  1

.
;
a )

3  6
 82
 14  7
15  5 
1
:
b) 
;

1  3  7  5
 1 2

c)

5  2 6  8  2 15
7  2 10

4) Rút gọn biểu thức:
a b b a
1
a)
:
víi a  0, b  0, a  b. ;
ab
a b
 a  a  a  a 

1 
 víi a  0, a  1
b) 1 


a  1 
a  1 

Buổi 02: ÔN TẬP RÚT GỌN BIỂU THỨC
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) 5

1 1

20  5
5 2

i)
Trang 4

25 16 196
. .
81 49 9


Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
b)

1
 4,5  12,5

2

j) 3

1 14 34
.2 .2
16 25 81
640. 34,3

c) 20  45  3 18  72

k)

d) 0,1. 200  2. 0, 08  0, 4. 50

l) 21, 6. 810. 112  52

1
33
1
48  2 75 
5 1
2
3
11
2
f) 150  1, 6. 60  4,5. 2  6
3

m) ( 8  3. 2  10). 2  5

g) ( 28  2 3  7). 7  84

o)  .

h) ( 6  5) 2  120

p) 2 ( 2  3) 2  2.(3) 2  5 (1) 4

e)

n) 0, 2 (10)2 .3  2 ( 3  5) 2
1

2

Bµi 2: TÝnh
1) 9  4 5  5
2)

23  8 7  7

3)

42 3  3

4)
5)
6)
7)

8)

11  6 2  3  2

9)

2 2

10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)

6,82  3, 22
21,82  18, 22
117,52  26,52  1440
146,52  109,52  27.256



 

3  2  1 2 2



2

2 6

2  3  6  8  16
2 3 4
75  48  300
98  72  0,5 8

 2 3  5  3  60
5 2  2 5  5  250
 28  12  7  7  2 21
 99  18  11 11  3 22
2



3 1
5 5

567

2
3 1
5 5


5 5 5 5

3
3

3 1 1
3 1 1

Trang 5

 1
1 3
4
 . 2  . 200  :
2 2
5
 8


Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
20)
21)
22)
23)

 2  2  5 2   3
2
7 5
7 5



7 5

2 3  2 3

4

4



2  5 

25)
26)

15  6 6  33  12 6

28)
29)
30)
31)

2

7 5
7 5

24)

27)



2



7 5

2 5

15

2

2  5 

2



200  3 450  2 50 : 10

5  2 6  8  2 15
7  2 10
42 3  74 3

6
72

83 7



2 3
82 2
3 2

2



6 2





23 2
2



2
1 2

32)

A  8  2 15  8  2 15

33)

B  4 7  4 7

34)

4  10  2 5  4  10  2 5

35)

D

36)

E

37)

F

38)



39)
40)

2 3  5  13  48
6 2
5  3  29  12 5

52 64920 6 52 6
9 3 11 2

2  5 
 10  2  6  2 5  3 
2 3  3  3    3 3  1
5 3



2



2

5

2

Bài 3: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
9a  9  12a  4a 2
a)
tại a = -9
Trang 7


Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
b)

1

3m
m 2  4m  4
m2

1  10a  25a 2  4a

c)
d)

4x  9x2  6x  1

e)

5x 

f)

9x2  6x  1
1  3x

tại m = 1,5
tại a = 2
tại x =  3
với x = -3

4x2  4x  1 2
.  x  8 x  16 

x 2  16

tại x = 8

Trang 8


Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
Buổi 03, 04,05: ÔN TẬP RÚT GỌN BIỂU THỨC
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau


a 2

a) 

 a  2 a 1

b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)

n)
o)
p)

a  2  a 1
2

 .
a 1 
a 1
a



2

 1
1 
:

 
ab  a
b

2

a b b a

:

ab

ab



1

a b



2

 1

 ab

a b

 a  a  a  a 
1 
 1 
  1 a
a  1  
a  1 

x xy y

2

 xy  : x  y  1


x y







ab
a 2b4
 a
với a > b
b2
a 2  2ab  b 2
2
a a b b
với a > b > 0
 ab  a  b
a b
a
b
2b


1
a b
a  b ab

2 3 6
216  1

 1,5

 .
3
8

2
6


 14  7
15  5 
1

 2

 :
1

2
1

3
7

5






3
62
2
 6

 x
 x



2
3
6
4

3
2
6

2x
1
 6 x  : 6 x  2 với x > 0
3
3


a  b  2 ab
a b

:

1

 ab

với a > 0, b > 0, và a  b

a b
3 2  6
54  2

 1

.
3  6
 12  2

a a  
a a 
 2 
 .  2 
  4  a với a > 0 và a  1
a 1  
a  1 

3 2 3 2 2  


1


 : 1:
 1
2 1  
2 3
 32

Trang 9


Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
q)

 x y


x

y


r)

x  2 2x  4 

x y
xy

4
 :
x  y  x y



x2 2



2

với x  2

x
2
1

):
x 1 x  x
x 1
a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A
b)Tính giá trị của A khi x=3-2 2
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x  1.
x
2
1
x
2

1
Rút gọn A  (

):
(

):
x 1 x  x
x 1
x 1
x 1
x( x  1)
A(

Bài 2 Cho biểu thức

( x )2  2
x  1 (x  2)( x  1) x  2
A
.


x ( x  1) 1
x ( x  1)
x

b. Khi x= 3-2 2 = ( 2  1) 2

A

3 2 2  2
( 2  1)



2





52 2
52 2

1
2 1

 1 3

2 1

2

1 
3
 1
A

:
x 3 x 3

 x 3
a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A
1
b) Với giá trị nào của x thì A >
3
c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất

Bài 3: Cho biểu thức

Bài giải:
a) ĐKXĐ x  0; x  9




x 3
1 
3
 1
A

:


x  3 x 3
 x 3
x 3



2
x 3
1
b) A > 
3

.
x  3
x 3

x 3
=
3

A=

2
1
 
x 3 3

2
1
3 x
 0
0
x 3 3
3 x 3



Trang 10





6

x 3



x 3



.

x 3
3


Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
 3  x  0 ( vì 3( ( x  3)  0)  x  9  x  9
Kết quả hợp với ĐKXĐ: 0  x  9 thì A > 1/3.
2
c) A 
đạt giá trị lớn nhất khi x  3 đạt giá trị nhỏ nhất.
x 3

x 3 3

Mà



x 3



min

2
 3  x  0  x  0 lúc đó AMax=  x  0.
3

1 
1
 3

:
Bài 4: Cho biểu thức P  

x 1 x 1
 x 1
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P
5
b) Tìm các giá trị của x để P =
4

x  12 1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 
.
x 1 P

Bài giải :
a) ĐKXĐ x  0; x  1


x 2
x 1
x 2
3
1
  3  x 1 . x  1 =
P =


1
 x 1 x  1
x 1
x  1 ( x  1) x  1
x 1 x 1


5
x 2 5
b) P  
  4 x  2  5 x  1  4 x  8  5 x  5.
4

x 1 4
 x  13  x  168 (TMĐK)
x  12 1 x  12 x  1 x  12 x  4  16
c) M 
=
. 
.


x 1 P
x 1 x  2
x 2
x 2
16
16
x 2
 x 2
 4 ta có
x 2
x 2
16
x 2
 2 16  2.4  8
x 2
16
M  8  4  4  M min  4  x  2 
x 2
















x  6 



 

2

x  2  16 





x 24














x 24 0

x  2  0  x  2  0  x  4(TMDK)

Vậy M min= 4  x  4 .
Trang 11





Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
 2 x
x
3x  3   2 x  2 


 1
Bài 5: Cho biểu thức: D  

:
x

9
x

3
x

3
x

3

 

a) Tìm ĐKXĐ ,rút gọn biểu thức
1
b) Tìm x để D < 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
a2 a
 a a

 1 : 
 1
Bài 6 :Cho biểu thức: P  
 a 2
  a 1 
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm a z để P nhận giá trị nguyên.

Bài giải:
a) ĐKXĐ: a  0;a  1
 a a 2
  a a 1

a 1



P
1
 1  a  1 : a  1 



a 2
a 1
a 1



a 1
2
b) P 
1
a 1
a 1
2
để P nhận giá trị nguyên thì

nhận giá trị nguyên dương.  a  1 thuộc ước dương
a 1
của 2.
 a 11
a  0
a=1 (Loại vì không thoả mãi điều kiện)


a

1

 a  1  2
Vậy P nhận giá trị nguyên khi a = 0
1
1
Bài 7: Cho biểu thức B 

2 x  3 1 2 x  3 1















 





a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B.
b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên.
Bài giải:
a) ĐKXĐ x  3; x  2
B=
2



1



 2

x  3 1

1



x  3 1



x  3 1



2  x  3  1

Trang 12



x  3 1

2
1

2 x  2 x  2


Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
b) B nhận giá trị nguyên khi

1
nhận giá trị nguyên.
x2

 x  2  Ư(1)
x  2  1
 x  1
thoả mãn điều kiện


x

2


1
x


3


x=
Vậy
-1; x= -3 thì B nhận giá trị nguyên

Bài 8: Cho biểu thức: P 

x2  x
2x  x 2  x  1


x  x 1
x

x 1

a) Tìm ĐKXĐ , rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
2 x
c) Tìm x để biểu thức Q 
nhận giá trị nguyên.
P
1 
x 1
 1
Bài 9: Cho biểu thức: P  

2
:
 x  x 1 x  1 x





a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm x để P > 0
Bài giải
a) ĐKXĐ x>0; x  1
2


1 x
1

1
x

1
1

x
1 x
:
P

.

2 
 x 1 x 1 x  1 x
x 1
x
x 1 x


1 x
b) P > 0 
 0  1  x  0 ( vì x  0)  x  1  x  1.
x
Kết hợp với ĐKXĐ: 0  x  1 thì P > 0





Bài 10: Cho biểu thức:













1   a 1
a 2
 1
P



:
a   a 2
a 1 
 a 1

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P
b) Tìm giá trị của a để P > 0

 x 2

x  2  1  x 

Bài 11 : Cho biểu thức: P  
.
2
x

1
x

2
x

1


a) Tìm ĐKXĐ, rút gọ n P
Trang 13

2


Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
b) Tìm x để P <

1
2

Cho biểu thức: P 

Bài 12:

x
3
6 x 4


x 1
x 1
x 1

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P.
1
b) Tìm x để P <
2
1 a a
 1  a a

 a 
 a
Bài 13: Cho biểu thức: B  
 1 a
 1  a

a)Tìm ĐKXĐ, rút gọn B
b)Tìm a để B < 7- 4 3
 a
1   1
2 



Bài 14: Cho biểu thức: K  
:

 a 1 a  a   a 1 a 1
a) Rút gọn biểu thức K
b) Tìm giá trị của K khi a = 3+2 2
c) Tìm giá trị của a sao cho K < 0

x
1 
1

Bài 15 : Cho biểu thức: A  
:
 x 1 x  x  x 1
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình A. x  m  x có nghiệm.

Bài giải
a) ĐKXĐ: x > 0; x  1
 x


x
1 
1
1
: 1

A



:
x x 1  x 1
 x  1 x  x  x  1  x  1








 x

2

1



x 1

.
x



x 1 x 1

1
x

b) A < 0  x  1  0  x  1  0 (vì x  0 )  x  1 kết hợp với ĐKXĐ 0 x

A<0
c) P.t: A. x  m  x 

x 1
. x  m  x  x  1  m  x (1)
x

Trang 14


Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
 x  1  m  x  x  x   m  1  0(*)
x  t >0 ta có phương trình t 2  t   m  1  0 * để phương trình (1) có nghiệm thì
phương trình (*) phải có nghiệm dương.
  1  4  m  1  0
Để phương trình (*) có nghiệm dương thì:   m  1  0


Đặt

5


 4m  5  0
m 


4  m   1 Vậy m> -1 và m  1 thì pt A x  m  x có nghiệm.
m

1

0

 m   1

1 
1

Bài 16: Cho biểu thức: P  1 
.
x 1 x  x

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm giá trị của P khi x = 25

c) Tìm x để P. 5  2 6.





2

x  1  x  2012  2  3.

Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x  1

1 
1
x
1

P  1 


.
x 1 x  x  x 1

x x 1

1
1
b) Khi x= 25  P 
2 
16
25  1



c) P. 5  2 6.




 P









2 3 .

1





x 1

2





x 1

2

 x  2005  2  3 

1





x 1

2 .


2



2

x  1  x  2005  2  3

 2  3  x  2005  2  3  x  2005 TMĐK

Vậy x = 2005 thì P. 5  2 6





2

x  1  x  2005  2  3

1 
1 
 1

.
1

Bài 16: Cho biểu thức A  


x 1 
x
 x 1
a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A.
1
b)Tính giá trị của A khi x= .
4

Trang 15


Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
c)Tìm giá trị của x để

A  A.

Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x  1 .
1 
1 
 1
A

.1 

x

1
x

1
x




x  1  x 1







x 1

x 1


 x  1

x 1
=
x

.

2 x


x  1

x 1

A
x

2
2

 4
1
1
1

1
2
4
2
c) A  0  0  A  1  0 
 1.
x 1
2
0 
 x  1  0  x  11
x 1

b) Khi x =

1
A
4

2
2
x 3
1 1
0
0
x 1
x 1
x 1
 x  3  0

 x  9 Vậy x > 9 thì A  A

 x  1  0
x
2 x 1
Bài 17: Cho biểu thức: A 

x 1
x x 1






a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A
c) Với giá trị nào của x thì A  A
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x  1 .
A

x
2 x 1

x 1
x x 1





 x

x

2



 2 x 1



x 1




x



x 1



2



x 1



x 1
x

36  1 5

6
36
x 1
c) A  A  A  0 
 0  x  1  0 (vì x  0 )
x
 x  1  x  1 Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì A  A

b) Khi x=36  A 

Trang 16

2
x 1


Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
Buổi 06 - ÔN TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
7 x  3 y  5
x  y  3
2 x  3 y  2

2 x  y  3

1) 
;
2) 
; 3)
;
4) 
3
x

4
y

2
5
x

2
y

6
3
x

y

7
4 x  y  2




3 x  2 y  10
(x 1)( y  2)  (x 1)( y  3)  4
3(x  y)  5(x  y)  12

1 ; 6) 
5)  2
; 7) 
(x  3)( y 1)  (x  3)( y  5)  1
5(x  y)  2(x  y)  11
 x  3 y  3 3
1
 1

 x  2 y 1  2
2 x 1  y 1  1

3 x  2 y  2

8)
;
9) 
;
10) 
;
 2  3 2
 x 1  y 1  2
2 x  y  1
 x  2 y  1

7 x  3 y  5
11) 
4 x  y  2

 y  3  2x
12) 
;
 y  3x  1

2( x  2)  3(1  y )  2
13) 
3( x  2)  2( y  1)  3

Buổi 07 - ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) 6 x2 - 25x - 25 = 0
; 2) x2 - 4x + 2 = 0
; 3) 3x2 + 5x + 60 = 0
4) 9x2 - 6x + 1 = 0
; 5) 4x2 - 5x - 9 = 0
; 6) -7x2 + 6x = - 6
7) 56x2 + 9x- 2 = 0
; 8) 4 2 x2 - 6x - 2 = 0
; 9) 2x2- 2 2 x + 1 = 0
2
10) 3x  2 32 x 310 ; 11) 2x2 2 2 3 x  2 3  0 ;12) 2  3 x2  2 3x 2  3  0





Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) – 15
3) 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2
5) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2)



7) 2 x  2



2

 1   x  1 x  1

9)  x 5  (x  2)2  x  7 x 7 12x  23
2

;
;
;

2) x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1
4) - 4x2 + x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5
6) (x - 3)2 + (x + 4)2 = 23 - 3x

;

8)  x  1  2 x  x 3  x 2  2 x  1

;

10)

Trang 17

3

(x 1)3  x 1  (x 1)(x  2)


ễn tp toỏn 9 thi vo lp 10
Bui 08 - ễN TP PHNG TRèNH QUY V PHNG TRèNH BC HAI
Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh sau:
1)

x 3 ( x 3)
3

2 x(1 x)

14
1
1
3 x
x 9
x 0,5 7 x 2
4)

3x 1 9 x 2 1
x 2 3x 5
1
6)

( x 3)( x 2) x 3

;

3)

2x
x2 x 8

x 1 ( x 1)( x 4)

;

5)

16
30

3
x 3 1 x

;

7)

4
x2 x 2

x 1 ( x 1)( x 2)

;

x
x 1
9)
10
3
x 1
x

;

2)

8)

2

2x
x
8x 8


x 2 x 4 ( x 2)( x 4)

x 3 7 x 2 6 x 30 x 2 x 16
10)
2
x3 1
x x 1

Bi 2: Gii cỏc phng trỡnh sau:

x4 8x2 9 0
1 4 1 2 1
x x 0
4)
4
2
6
1)

36t 4 12t 2 1 0

;

2)

;

5) x 4 10 x 2 9 0

Bi 3: Gii cỏc phng trỡnh sau:
1) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = 0

( x 2 x 1) 2 (4 x 1) 2
2
2
3
5) (2 x 3) 10 x 15 x 0
3)

; 3) 3x4 12x2 + 9 = 0







2
2
; 6) x 3x 1 x 3x 2 2

; 2) (3x2-7x-10)[2x2+(1- 5 )x + 5 -3]=0
; 4)

( x 2 3 x 2) 2 6( x 2 3 x 2)

; 6) (2x2 + x - 4)2 - (2x -1)2 = 0
2

2

2

2

7) (x - 4x + 2) + x 4x 4 = 0

1
1


; 8) x 4 x 3 0
x
x



Bui 09 - ễN TP V P HNG TRèNH BC HAI Cể CHA THAM S
1. Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt:
+ Điều kiện: 0 ; (hoặc / 0 )
+ Ví dụ: Cho phng trỡnh: x2 + 2x 2m = 0 (1)
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt?
Giải: (a 1; b 2; c 2m) 2 2 4.1.(2m) 4 8m
Phương trình (1) có hai ngiệm phân biệt 0 4 8m 0 8m 4 m
Bài tập luyện tập
Bi 1. Tỡm m mi phng trỡnh sau cú 2 nghim.
a/ x2 + 3x + 3m + 5 = 0
b/ x2 - 2x + 4m - 1 = 0
2
c/ - x + 4x + m + 2 = 0
d/ x2 + (2m + 1)x + m2 + 1 = 0
Trang 18

1
2


ễn tp toỏn 9 thi vo lp 10
Bài 2: Cho phương trình : x + 4mx + 4m - 1 = 0
a) Giải phương trình với m = -2
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 3: Cho phng trình: x2 + kx + 3 = 0
1/Tỡm k phng trỡnh cú hai nghim phõn bit ?
2/Tỡm k phng trỡnh cú nghim bng 3. Tớnh nghim cũn li?
Bài 4: Cho phương trình : x2 - 2(m - 1 ) x + 2m2 + 1 = 0
a) Giải phương trình với m = - 4
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 5: Cho phương trình : (m 4)x2 2mx + m 2 = 0
a) Giải phương trình với m = - 1
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 6: Cho phương trình : kx2 +(2k+1)x +k -1 = 0
a) Giải phương trình với k = 3
b) Với giá trị nào của k thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
2. Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm kép:
+ Điều kiện: 0 ; (hoặc / 0 )
+ Ví dụ: Cho phng trỡnh: x2 + 2x k = 0 (1)
Tìm giá trị của kđể phương trình có nghiệm kép ?
Giải: (a 1; b 2; c k ) 2 2 4.1.(k ) 4 4k
Phương trình (1) có hai ngiệm phân biệt 0 4 4k 0 4k 4 m 1
Bài tập luyện tập
Bi 1. Tỡm m mi phng trỡnh sau cú nghim kộp.
a/ x2 4x + k = 0

b/ x2 + 5x + 8m + 4 = 0
c/ - x2 - 5x + 3m + 1 = 0
d/ x2 (k + 2)x + k2 + 1 = 0
Bài 2: Cho phng trình: 5x2 + 2x 2m 1 = 0
1/Gii phng trỡnh khi m = 1
2/Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp.
Bài 3:: Cho phương trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0
a) Giải phương trình với m = -2
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
2
Bài 4:: Cho phương trình: x + (m + 1)x + m2 = 0
a) Giải phương trình với m = - 1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
Bài 5: Cho phng trỡnh: kx2 (2k-1)x + k + 1 = 0
1/Gii phng trỡnh khi m = 1
2/Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp. Tỡm nghim kộp ú ?
3. Tìm điều kiện của tham số để phương trình vô nghiệm :
+ Điều kiện: 0 ; (hoặc ' 0 )
+ Ví dụ: Cho phng trình: x2 + 2x +n = 0 (1)
Tìm giá trị của n để phương trình vô nghiệm?
Giải: (a 1; b 2; c n) 2 2 4.1.n 4 4n
Phương trình (1) có hai ngiệm phân biệt 0 4 4n 0 4n 4 n 1
2

Trang 19


ễn tp toỏn 9 thi vo lp 10
Bài tập luyện tập
Tỡm m mi phng trỡnh sau vụ nghim ?

2
a/ x + 2x + m + 3 = 0
b/ - x2 - 3x + 2m - 1 = 0
c/ mx2 (2m 1)x + m + 1 = 0
d/ mx2 2(m+2)x + m-1 = 0
4.Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trước
.Tìm nghiệm thứ 2
Ví dụ: Cho phng trỡnh: x2 x + 2m 6 = 0. (1)
a/ Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm x1 = 1.
b/ Tìm nghiêm còn lại.
Giải:
a/ Thay x1 = 1 vào phương trình (1) ta được: 12 1 2m 6 0 2m 6 m 3
Vậy với m = 3 Thì phương trình (1) có một nghiệm x1 = 1.
b/ Thay m = 3 vào PT (1) ta có:
x 2 x 2 .3 6 0
x 2 x 0 x( x 1) 0


x0
x 1

Vậy nghiệm thứ hai của Pt (1) là x = 0
Bài tập luyện tập
Bài 1: Cho phương trình : 2x2 - 6x + m + 6 = 0
a) Giải phương trình với m = -3
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = - 2
Bài 2: Biết rằng phương trình : x2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Với m là tham số )
có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Bài 3: Biết rằng phương trình : x2 - (3m + 1 )x - 2m - 7 = 0 ( Với m là tham số )
có một nghiệm x = -1 . Tìm nghiệm còn lại

Bài 4: Cho phương trình: x2 - 2(m- 1)x + 3m - 1 = 0
Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại
Bài 5: Cho phương trình bậc hai
(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 1.
5. Chứng minh phương trình luôn luôn có nghiệm :
Ví dụ: Cho phương trình x 2 (m 2) x m 5 0
Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
Giải:
Ta có: a 1; b (m 2); c m 5 (m 2)2 4.1.(m 5) (m 2 4m 4) 4m 20
m 2 8m 24 m 2 2.m.4 4 2 8
( m 4) 2 8 0

Vì 0 với mọi giá trị của m nên phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập luyện tập
Bi 1. Cho phng trỡnh: 2x2 mx + m 2 = 0
Trang 20


ễn tp toỏn 9 thi vo lp 10
Chng minh rng phng trỡnh cú nghim vi mi m.
Bi 2. Cho phng trỡnh: x2 (k 1)x + k 3 = 0
1/Gii phng trỡnh khi k = 2
2/Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi k.
Bi 3. Cho phng trỡnh: x2 + (m 1)x 2m 3 = 0
Chng t phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m.
6. Định lý Vi-et và hệ quả:
1.nh lý Vi - et: Nu x 1 , x2 l nghim ca phng trỡnh ax 2 + bx + c = 0 (a 0) thỡ
S = x1 + x2 = p = x1x2 =
2 Toán ứng dụng định lý Viét:

b
a

c
a

a)Tìm nghiệm thứ 2; biết phương trình có một nghiệm x x1 :
Ví dụ:
Biết rằng phương trình : x2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Với m là tham số )
có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Giải: Cách1:
Thay x = 1 vào pt ta có: 1 2.1 5m 4 0 m 1
Thay m = 1 vào pt ta được: x2 - 2x + 5.1 - 4 = 0 x2 - 2x + 1 = 0
Theo Định lý Vi ét ta có: x1 x 2

b
1 x2 2 x2 1
a

Vậy nghiệm thứ hai của phương trình là x = 1.
Cách2:
Thay x = 1 vào pt ta có: 1 2.1 5m 4 0 m 1
Thay m = 1 vào pt ta được: x2 - 2x + 5.1 - 4 = 0 x2 - 2x + 1 = 0
Theo Định lý Vi ét ta có: x1 .x 2

c
1.x 2 1 x 2 1
a

Vậy nghiệm thứ hai của phương trình là x = 1.
Bài tập luyện tập:
Bài 1:
Cho phng trỡnh: x 2 2x + m = 0
Tỡm m bit rng phng trỡnh cú nghim bng 3. Tớnh nghim cũn li.
Bài 2 Biết rằng phương trình : x2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Với m là tham số )
có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Bài 3: Biết rằng phương trình : x2 - (3m + 1 )x - 2m - 7 = 0 ( Với m là tham số )
có một nghiệm x = -1 . Tìm nghiệm còn lại
b)LP PHNG TRìNH BC HAI khi biết hai nghiệm x1;x2
Vớ d : Cho x1 3 ; x2 2 lp mt phng trỡnh bc hai cha hai nghi m trờn
Giải:
Trang 21


Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
 S  x1  x2  5
 P  x1 x2  6

Theo hệ thức VI-ÉT ta có 

Vậy x1 ; x2 là nghiệm của phương trình có dạng :
x 2  Sx  P  0  x 2  5 x  6  0

Bµi tËp luyÖn tËp:
LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai biÕt hai nghiÖm:
1/
x1 = 8
vµ
x2 = -3

2/
x1 = 36
vµ
x2 = -104

y  ax a0, y  ax  b a0, y  ax 2 a0

Buổi 10 - ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ

1. Bài tập 1:
a) Vẽ đồ thị hàm số y  x 2 (P) và đường thẳng y   x  2 (D) trên cùng một mặt phẳng
toạ độ Oxy.
b) Tìm toạ dộ giao điểm của (P ) và (D) bằng phép tính.
Giải:
a) Vẽ đồ thị hàm số y  x 2 (P)
Lập bảng giá trị tương ứng giữa x và y.
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y

x2
2

9

4

1

0

1

4

9

Đồ thị hàm số y  x 2 (P) là một Parabol có bề lõm quay xuống dưới và đi qua các điểm có
toạ độ O (0; 0); A 1;1 ; A’  1;1 ; B  2; 4  ; B’  2; 4  ; C  3;9  ; C’  3;9 

+) Đường thẳng y   x  2 (D)
Cho x = 0  y = 2  G(0; 2)
y = 0  x = 2  E (2; 0)
 Đường thẳng y  2 x  2 đi qua 2 điểm G(0; 2) và E (2; 0)

b) Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x 2 (P) và đường thẳng y   x  2 (D) là nghiệm
 y  x 2
 y  x 2
1
  2
  2
 x   x  2
 x  x  2  0  2 
 y  x  2

 y  x2

của hệ phương trình: 

Trang 22


Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
- Giải phương trình: x  x  2  0 (2)
Ta có a + b + c = 1 + 1 + (-2) = 0 nên phương trình (2) có nghiệm x 1= 1; x2= -2
+) Với x 1 = 1  y1 = 12 = 1  M (1; 1)
+) Với x 2 = -2  y2 = (-2)2 = 4  N (-2; 4)
Vậy đồ thị hàm số y  x 2 (P) và đường thẳng y   x  2 (D)
cắt nhau tại 2 điểm M (1; 1) và N ( -2; 4) .
2. Bài tập 2:
a) Vẽ đồ thị hàm số y  x 2 (P) và đường thẳng y  x  2 (D) trên cùng một mặt phẳng
toạ độ Oxy.
b) Tìm toạ dộ giao điểm của (P ) và (D) bằng phép tính.
3. Bài tập 3:
a) Xác định hệ số a biết đồ thị hàm số y  ax 2 đi qua điểm A (-2; 1)
b) Vẽ đồ thị hàm số (P) vừa tìm được ở câu a
c) Tìm toạ dộ giao điểm của (P ) và đường thẳng y  x  1 bằng phép tính.
Giải:
2

x2
a) Vẽ đồ thị hàm s ố y 
(P)
4

Lập bảng giá trị tương ứng giữa x và y.
-3
-2
-1
x
y

2

x
4

9
4

1

1
4

0

1

2

3

0

1
4

1

9
4

x2
(P) là một Parabol có bề lõm quay lên trên và đi qua các điểm
4
có toạ độ O (0; 0); B’ 1;1 ; B  1;1 ; A  2; 4  ; A’  2; 4  ;

Đồ thị hàm số y 

c) Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y 

x2
(P) và đường thẳng y  x  1 (D)
4

Trang 23


Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
là nghiệm của hệ phương trình:


x2

 y  4
 y  x 2
1
 y  x2
  2
  2

 y  x 1
 x  x  2  0  2 
 x  x 1
 4

Giải phương trình: x 2  x  2  0 (2)
Ta có a - b + c = 1 – (-1) + (-2) = 0 nên phương trình (2) có nghiệm x1=- 1; x2= -2
+) Với x 1 = -1  y1 = 12 = 1  B (-1; 1)
+) Với x 2 = 2  y2 = 22 = 4  A (2; 4)
Vậy đồ thị hàm số y  x 2 (P) và đường thẳng y   x  2 (D) cắt nhau tại 2 điểm B (-1; 1) và
A (2; 4) .
Bài tập 4:

3
2

Cho hàm số y  f  x   x 2


1) Hãy tính f  2  ; f  3 ; f  5  ; f  


2


3 

2) Các điểm A  2;6  , B   2;3 , C  4; 24  , D  ;  có thuộc đồ thị hàm số không?
 2 4
Giải:
 1

1) Ta có:

3
3
2
f  2   .  2   .4  6 ;
2
2

3

3
3
27
;
f  3  .32  .9 
2
2
2
2



2 3 
2
3 2 1
f
5
f  
  .  
  . 
2 9 3
 3  2  3 
3
2) +) Thay toạ độ điểm A  2;6  vào công thức hàm số y  f  x   x 2
2
3
Ta có 6  .22  6  6 ( T/M)
2
3
Vậy điểm A  2;6  thuộc đồ thị hàm số y  f  x   x 2
2
3
+) Thay toạ độ điểm C  4; 24  vào công thức hàm số y  f  x   x 2
2
3
2
Ta có 24  .  4   24  24 ( Vô lí)
2
3
Vậy điểm C  4; 24  không thuộc đồ thị hàm số y  f  x   x 2
2
3

+) Thay toạ độ điểm B  2;3 vào công thức hàm số y  f  x   x 2
2
2
3
3
Ta có 3  .  2
 3  .2 ( T/M)
2
2
3
Vậy điểm B  2;3 thuộc đồ thị hàm số y  f  x   x 2
2
3
 1 3
+) Thay toạ độ điểm D  ;  vào công thức h àm số y  f  x   x 2
2
 2 4

 

3
5  .
2

 

2

3
15

;
 .5 
2
2



 



Trang 24


Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
2

3 3  1 
3 3
 .
 
( T/M)

4 2  2
4 4
3
 1 3
Vậy điểm D  ;  thuộc đồ thị hàm số y  f  x   x 2
2
 2 4

3
Bài tập 5: Cho hàm số y  f  x   x 2
2
 2
1) Hãy tính f  2  ; f  3 ; f 3 ; f  
 3 
3
 1 3
2) Các điểm A  2; 6  , B 2;3 , C 1;  , D   ;  có thuộc đồ thị hàm số không ?
2 4
 2


Ta có

 





Bài tập 6: Trong hệ toạ độ Oxy, cho hàm số y  f  x    m  2  x 2 *
1) Tìm m để đồ thị hàm số * đi qua các điểm :
b) B  2; 1

c) C  ;5 

1
2 
2) Thay m = 0. Tìm tạo độ giao điểm của đồ thị hàm số * với đồ thị hàm số y  x  1

a) A  1;3

Giải:
1) a) Để đồ thị hàm hàm số y  f  x    m  2  x 2 * đi qua điểm A  1;3
Ta có: 3   m  2  .  1
 3 m2
 m 1
Vậy với m = 1 thì đồ thị hàm số * đi qua điểm A  1;3
b) Để đồ thị hàm hàm số y  f  x    m  2  x 2 * đi qua điểm B  2; 1
2

Ta có: 1   m  2  .  2 
Vậy với m  

2

 1   m  2  .2

 2 m  4  1

5
thì đồ thị hàm số * đi qua điểm B
2



 2 m  5

 m



5
2

2; 1

c) Để đồ thị hàm hàm số y  f  x    m  2  x 2 * đi qua điểm C  ;5 
2 
1

Ta có:

1
5   m  2 . 
2

2

 5   m  2.

1
4

 m  2  20

 m  18

Vậy với m  18 thì đồ thị hàm số * đi qua điểm C  ;5 

2 
2) +) Thay m = 0 vào công thức hàm số y  f  x    m  2  x 2 * ta có: y  f  x   2 x 2
- Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x   2 x 2 vvới đồ thị hàm số y  x  1 là nghiệm
1

 y  2 x 2
 y  2 x 2
  2
  2
2 x  x  1
2 x  x  1  0
 y  x 1
- Giải phương trình (2)
2x2  x 1  0

 y  2x2

của hệ phương trình: 

1
 2

Ta có: a + b + c = 2 + (-1) + (-1) = 0 nên phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt
Trang 25


Ôn tập toán 9 thi vào lớp 10
1
2
+) Với x1  1  y1  2.12  2  M (1; 2)

x1  1 ; x2  

2

1
1
1 1
1 1
+) Với x2    y1  2.     2.   N   ; 
2
4 2
 2
 2 2
2
Vậy với m = 0 thì đồ thị hàm số y  2 x và đồ thị hàm số y  x  1 cắt nhau tại 2 điểm phân
1 1
biệt M (1; 2) và N   ;  .
 2 2

Trang 26