- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- THPT Quốc Gia
C1 HAMSOLUONGGIAC PHUONGTRINHLUONGGIAC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.87 MB, 148 trang )
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
TOÁN 11
CHƯƠNG I.HÀM SỐ
LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG
TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
I. Các công thức lƣợng giác
1. Các hằng đẳng thức:
* sin2 cos2 1 với mọi
* tan .cot 1
với mọi
k
2
1
với mọi k 2
cos2
1
* 1 cot 2
với mọi k
sin 2
2. Hệ thức các cung đặc biệt
A.Hai cung đối nhau: và
* 1 tan 2
cos( ) cos
tan( ) tan
B. Hai cung phụ nhau: và
cos(
2
) sin
tan( ) cot
2
sin( ) sin
cot( ) cot
2
sin( ) cos
2
cot( ) tan
2
C. Hai cung bù nhau: và
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
d) Hai cung hơn kém nhau : và
sin( ) sin
tan( ) tan
3. Các công thức lượng giác
A. Công thức cộng
cos( a b) cos a.cos b sin a.sin b
tan( a b)
cos( ) cos
cot( ) cot
sin( a b) sin a.cos b cos a.sin b
tan a tan b
1 tan a. tan b
b) Công thức nhân
sin 2a 2sin a cos a
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
1
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
cos 2a cos2 a sin2 a 1 2sin2 a 2cos2 a 1
sin 3a 3sin a 4sin 3 a
cos3a 4cos3 a 3cos a
C. Công thức hạ bậc
1 cos 2a
1 cos 2a
sin 2 a
cos2 a
2
2
1 cos 2a
tan 2 a
1 cos 2a
D. Công thức biến đổi tích thành tổng
cos a.cos b
1
[cos( a b) cos( a b)]
2
1
sin a.sin b [cos( a b) cos( a b)]
2
1
sin a.cos b [sin( a b) sin( a b)] .
2
e. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos a cos b 2 cos
sin a sin b 2 sin
tan a tan b
tan a tan b
ab
2
ab
.cos
ab
2
ab
.cos
2
2
sin( a b)
cos a cos b
sin( a b)
cos a cos b
cos a cos b 2 sin
s in a - sin b 2 cos
ab
2
ab
2
.sin
.sin
ab
2
ab
2
.
II. Tính tuần hoàn của hàm số
Định nghĩa: Hàm số y f ( x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số
T 0 sao cho với mọi x D ta có x T D và f ( x T ) f ( x) .
Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số
tuần hoàn với chu kì T .
III. Các hàm số lƣợng giác
1. Hàm số y sin x
Tập xác định: D R
Tập giác trị: [ 1;1] , tức là 1 sin x 1 x R
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( k 2; k 2) , nghịch biến trên mỗi khoảng
2
2
3
( k 2;
k 2) .
2
2
Hàm số y sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
Hàm số y sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì T 2 .
Đồ thị hàm số y sin x .
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
2
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
y
-
-5
2
-
-2
3
2
-3
-3
O
1
2
5
2
2
3
2
x
2
2
2. Hàm số y cos x
Tập xác định: D R
Tập giác trị: [ 1;1] , tức là 1 cos x 1 x R
Hàm số y cos x nghịch biến trên mỗi khoảng ( k 2; k 2) , đồng biến trên mỗi
khoảng ( k 2; k 2) .
Hàm số y cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Hàm số y cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T 2 .
Đồ thị hàm số y cos x .
Đồ thị hàm số y cos x bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y sin x theo véc tơ v ( ; 0) .
2
y
-
-5
2
-3
-
-2
-3
2
1
3
2
O
2
3
2
5
2
x
2
3. Hàm số y tan x
Tập xác định : D
\ k, k
2
Tập giá trị:
Là hàm số lẻ
Là hàm số tuần hoàn với chu kì T
Hàm đồng biến trên mỗi khoảng k; k
2
2
Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x
Đồ thị
k , k
2
làm một đường tiệm cận.
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
3
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
y
-
-2
-5
-3
2
2
-
2
2
5
3
2
2
x
2
O
4. Hàm số y cot x
\k, k
Tập xác định : D
Tập giá trị:
Là hàm số lẻ
Là hàm số tuần hoàn với chu kì T
Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng k; k
Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k, k
Đồ thị
làm một đường tiệm cận.
y
-
-2
-5
-3
2
2
-
2
2
5
3
2
2
x
2
O
B.PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Vấn đề 1. Tập xác định và tập giá trị của hàm số
Phƣơng pháp .
Hàm số y
f ( x) có nghĩa f ( x) 0 và f ( x) tồn tại
1
có nghĩa f ( x) 0 và f ( x) tồn tại.
f ( x)
sin u( x) 0 u( x) k, k
cos u( x) 0 u( x) k, k .
2
1 sin x, cos x 1 .
Hàm số y
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
4
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số sau:
2
1. y tan( x )
2. y cot 2 ( 3x)
6
3
Lời giải.
2
1. Điều kiện: cos( x ) 0 x k x
k
6
6 2
3
2
TXĐ: D \ k, k .
3
2
2
2
3x) 0
3 x k x
k
3
3
9
3
2
\ k , k .
3
9
2. Điều kiện: sin(
TXĐ: D
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số sau:
tan 2 x
1. y
cot(3x )
sin x 1
6
Lời giải.
sin x 1
x k 2
2
1. Điều kiện:
sin(3x 6 ) 0
x k
18 3
n
; k, n
Vậy TXĐ: D \ k 2,
18 3
2
2. y
tan 5x
sin 4 x cos 3x
2. Ta có: sin 4 x cos 3x sin 4 x sin 3x
2
x
7x
2 cos sin
2 4
2 4
x 10 k 5
cos
5
x
0
x
Điều kiện: cos 0 x k 2
2
2 4
k 2
7x
0
sin
x 14 7
2 4
k
2m
, n2,
Vậy TXĐ: D \
.
14
7
10 5 2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
5
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
Bài 1 Tìm tập xác định của hàm số y
A. D
C. D
1 sin 2 x
cos 3x 1
2
\k
, k
3
\k , k
3
\k , k
6
D. D \ k , k
2
B. D
Lời giải:
2
Điều kiện: cos 3x 1 0 cos 3x 1 x k
, k
3
2
TXĐ: D \ k
, k .
3
Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số y
A. D
C. D
1 cos 3x
1 sin 4 x
\ k , k
2
8
\ k , k
2
4
3
\ k , k
2
8
D. D \ k , k
2
6
B. D
Lời giải:
Do 1 cos 3x 0 x nên hàm số có nghĩa 1 sin 4x 0
sin 4 x 1 x k , k .
8
2
TXĐ: D \ k , k .
2
8
Bài 3. Tìm tập xác định của hàm số y tan(2 x )
4
3 k
,k
A. D \
B. D
2
8
C. D
3 k
\
,k
2
7
3 k
,k
D. D \
2
4
3 k
\
,k
2
5
Lời giải:
k x
4 2
3 k
,k
Vậy TXĐ: D \
2
8
Điều kiện: 2 x
3
k ,k
8
2
Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số sau y
1 cot 2 x
1 sin 3x
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
6
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
A. D
C. D
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
n2
\ k,
; k, n
6
3
n2
\ k,
; k, n
6
5
n2
\k ,
; k, n
3
3 6
n2
D. D \ k,
; k, n
5
3
B. D
Lời giải:
x k
x k
Điều kiện:
2
sin 3x 1 x k
6
3
n2
Vật TXĐ: D \ k,
; k, n
6
3
Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số sau y
A. D
C. D
2
\ k
, k 2; k
5
3
2
\ k
, k 2; k
5
5
1
sin 2 x cos 3x
4
B. D \ k
, k 2; k
7
5
4
D. D \ k
, k 2; k
5
7
Lời giải:
5x
x
: Điều kiện: sin 2 x cos 3x 0 cos .sin 0
2
2
5x
5x
2
k
cos 2 0
2 2
x k
5
5 .
sin x 0
x k
x k 2
2
2
2
, k 2; k .
TXĐ: D \ k
5
5
Bài 6. Tìm tập xác định của hàm số sau y
A. D
C. D
\ k , k ; k
2 12
2
4
\ k , k ; k
2 3
2
4
tan 2 x
3 sin 2 x cos 2 x
B. D \ k , k ; k
2 5
2
3
D. D \ k , k ; k
2 12
2
3
Lời giải:
x k
2
x
k
4
2
Điều kiện:
2
3 sin 2 x cos 2 x 0
2 sin(2 x ) 0
6
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
7
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
x 4 k 2
x 4 k 2
.
2 x k
x k
6
12
2
TXĐ: D \ k , k ; k .
2 12
2
4
Bài 7. Tìm tập xác định của hàm số sau y
cot x
2 sin x 1
5
5
\ k, k 2, k 2; k B. D \ k , k 2, k 2; k
6
6
6
2 4
5
5
C. D \ k, k 2, k 2; k D. D \ k, k 2, k 2; k
4
6
3
4
Lời giải:
x k
x k
Điều kiện:
1
sin x sin 0
sin x 0
6
2
x k
x k
x k 2 .
x
x
6
2 cos( 2 12 ) sin( 2 12 ) 0
5
x 6 k 2
5
TXĐ: D \ k, k 2, k 2; k .
6
6
A. D
Bài 8. Tìm tập xác định của hàm số sau y tan( x ).cot( x )
4
3
3
3
A. D \ k, k; k
B. D \ k, k; k
3
5
4
4
3
C. D \ k, k; k
D. D \ k, k; k
3
6
4
5
Lời giải:
3
x 4 2 k
x 4 k
Điều kiện:
.
x k
x k
3
3
3
TXĐ: D \ k, k; k .
3
4
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
8
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
Bài 9. Tìm tập xác định của hàm số sau y tan(2 x )
3
A. D \ k , k
B. D \ k , k
2
2
3
4
C. D \ k , k
D. D \ k , k
2
2
12
8
Lời giải:
k x
k
3 2
12
2
\ k , k .
2
12
Điều kiện: 2 x
TXĐ: D
Bài 10. Tìm tập xác định của hàm số sau y tan 3x.cot 5x
A. D
C. D
n
\ k , ; k , n
3 5
6
n
\ k , ; k , n
4 5
6
n
\ k , ; k , n
3 5
5
n
D. D \ k , ; k , n
3 5
4
B. D
Lời giải:
x
k
cos 3x 0
6
3
Điều kiện:
sin 5x 0
x n
5
n
TXĐ: D \ k , ; k , n
3 5
6
Vấn đề 2. Tính chất của hàm số và đồ thị hàm số
Phƣơng pháp .
Cho hàm số y f ( x) tuần hoàn với chu kì T
* Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
trên một đoạn có độ dài bằng T sau đó ta tịnh tiến theo các véc tơ k.v (với
v (T ; 0), k ) ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.
* Số nghiệm của phương trình f ( x) k , (với k là hằng số) chính bằng số giao điểm của hai
đồ thị y f ( x) và y k .
* Nghiệm của bất phương trình f ( x) 0 là miền x mà đồ thị hàm số y f ( x) nằm trên
trục Ox .
Chú ý:
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
9
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
Hàm số f ( x) a sin ux b cos vx c ( với u, v ) là hàm số tuần hoàn với chu kì
T
2
(u , v )
( (u, v) là ước chung lớn nhất).
Hàm số f ( x) a.tan ux b.cot vx c (với u, v ) là hàm tuần hoàn với chu kì
T
.
(u , v )
Các ví dụ
Ví dụ 1.
Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số : f ( x) cos
3x
x
.cos
2
2
Lời giải:
1
cos x cos 2x hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sở T0 2 .
2
Ví dụ 2. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau.
Ta có f ( x)
1. f ( x) cos x cos
3.x
2. f ( x) sin x2
Lời giải:
1. Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn có số thực dương T thỏa
f ( x T ) f ( x) cos( x T ) cos 3( x T ) cos x cos 3x
cos T 1
Cho x 0 cos T cos 3T 2
cos 3T 1
m
m
T 2n
vô lí, do m, n
là số hữu tỉ.
3
n
n
3T 2m
Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.
2. Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn
T 0 : f ( x T ) f ( x) sin( x T )2 sin x2 x
Cho x 0 sin T 2 0 T 2 k T k
f ( x k ) f ( x) x .
Cho x 2 k ta có: f ( 2 k ) sin
f ( x k ) sin
k 2 k
2
k 2
2
sin( k 2) 0 .
sin 3k 2k 2 sin(2k 2)
f ( x k ) 0 .
Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn.
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
10
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
Ví dụ 3. Cho a, b, c , d là các số thực khác 0. Chứng minh rằng hàm số
c
f ( x) a sin cx b cos dx là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi là số hữu tỉ.
d
Lời giải:
* Giả sử f ( x) là hàm số tuần hoàn T 0 : f ( x T ) f ( x) x
a sin cT b cos dT b
cos dT 1
Cho x 0, x T
a sin cT b cos dT b sin cT 0
dT 2n c m
.
d 2n
cT m
* Giả sử
c
d
k , l :
c k
2k 2l
. Đặt T
d l
c
d
2k 2l
.
c
d
Ví dụ 4. Cho hàm số y f ( x) và y g( x) là hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ lần lượt là
Ta có: f ( x T ) f ( x) x
f ( x) là hàm số tuần hoàn với chu kì T
T1 , T2 . Chứng minh rằng nếu
T1
là số hữu tỉ thì các hàm số f ( x) g( x); f ( x).g( x) là những
T2
hàm số tuần hoàn.
Lời giải:
Vì
T1
là số hữu tỉ nên tồn tại hai số nguyên m, n; n 0 sao cho
T2
T1 m
nT1 mT2 T
T2 n
Khi đó f ( x T ) f ( x nT1 ) f ( x) và g( x T ) g( x mT2 ) g( x)
Suy ra f ( x T ) g( x T ) f ( x) g(x) và f ( x T ).g( x T ) f ( x).g( x) ,
f ( x T ) f ( x)
. Từ
g( x T ) g( x)
đó ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét:
1. Hàm số f ( x) a sin ux b cos vx c ( với u, v ) là hàm số tuần hoàn với chu kì
T
2
( (u, v) là ước chung lớn nhất).
(u , v )
2. Hàm số f ( x) a.tan ux b.cot vx c (với u, v ) là hàm tuần hoàn với chu kì T
.
(u , v )
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau f ( x) sin x
A. T0 2
B. T0
C. T0
2
D. T0
4
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
11
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
Lời giải:
Ta có f ( x 2) sin( x 2) sin x f ( x) x
Giả sử có số thực dương T 2 thỏa f ( x T ) f ( x)
sin( x T ) sin x x
Cho x
(1).
VT (1) sin T cos T 1
2
2
1 (1) không xảy ra với mọi x .
2
Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở T0 2 .
VP(1) sin
Bài 2. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau f ( x) tan 2x,
A. T0
2
B. T0 2
C. T0
D. T0
4
Lời giải:
Ta có f ( x ) tan 2 x tan(2 x ) tan 2 x f ( x)
2
2
thỏa mãn f ( x T ) f ( x)
2
(2)
tan(2x 2T ) tan 2x x
Cho x 0 VT(2) tan 2T 0 , còn VP(2) 0 (2) không xảy ra với mọi x
Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở T0 .
2
Bài 3. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y sin 2x sin x
Giả sử có số thực dương T
C. T0
2
Bài 4.. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y tan x.tan 3x
A. T 2
B. T0
D. T0
.
4
D. T0
4
2
Bài 5. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y sin 3x 2cos 2x
A. T
B. T 2
C. T0
C. T0
2
Bài 6. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y sin 2x sin x
A. T 2
B. T0
C. T0
2
Bài 7. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y tan x.tan 3x
A. T 2
B. T0
D. T0
4
D. T0
4
D. T0
4
2
Bài 8. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y sin 3x 2cos 2x
A. T
B. T 2
C. T0
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
12
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
C. T0
2
Bài 9. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y sin x
B. T0
A. T 2
2
D. T0
4
ĐÁP ÁN
B. T0
A. Hàm số không tuần hoàn
C. T0
1A
2A
3A
4A
4
D. T0
5A
6A
7A
8A
9A
Vấn đề 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Các ví dụ
Ví dụ 1 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y 2 sin x
Lời giải:
Hàm số y 2 sin x
TXĐ: D
Hàm số y 2 sin x là hàm số lẻ
Hàm số y 2 sin x là hàm tuần hoàn với chu kì T 2 .
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k 2; k 2 . Nghịch biến trên mỗi khoảng
2
2 k 2; k 2 .
Đồ thị hàm số đi quan các điểm ( k; 0), k2 ; 2 .
2
y
-5
3
-
2
-3
2
O
2
2
x
2
5
2
Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y tan 2x
Lời giải:
Hàm số y tan 2x
TXĐ: D
\ k , k
2
4
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
13
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
Hàm số y tan 2x là hàm số lẻ
Hàm số y tan 2x là hàm tuần hoàn với chu kì T
.
2
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k; k .
4
Các đường tiệm cận: x k .
4
2
k
Đồ thị hàm số đi quan các điểm ( ; 0) .
2
y
-7
-5
-3
-
3
5
7
4
4
4
4
4
4
4
4
x
O
Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y 1 2 cos2 x
Lời giải:
Hàm số y 1 2 cos x
2
Ta có: y 2 cos 2x
TXĐ: D
Hàm số y 2 cos 2x là hàm số chẵn
Hàm số y 2 cos 2x là hàm tuần hoàn với chu kì T .
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k; k , nghịch biến trên mỗi khoảng
2
k; 2 k .
k
Đồ thị hàm số đi quan các điểm ( ;1), k; 3 .
2
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
14
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
y
3
1
x
-2
-
-3
2
-
O
2
2
3
2
2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y sin 2x
Đồ thị hàm số: y sin 2x
y
-5π
-π
4
4
1
3π
7π
4
4
O π
-3π
4
-1
x
5π
4
4
Bài 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y 2 cos x
Đồ thị hàm số: y 2 cos x
2
y
x
-3π
-π
π
2
2
O
π
π
2
3π
2
Vấn đề 4. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. y 4sin x cos x 1
2. y 4 3sin 2 2 x
Lời giải:
1 Ta có y 2 sin 2x 1 .
Do 1 sin 2x 1 2 2sin 2x 2 1 2sin 2x 1 3
1 y 3 .
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
15
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
* y 1 sin 2x 1 2x k 2 x k .
2
4
* y 3 sin 2 x 1 x k .
4
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 , giá trị nhỏ nhất bằng 1 .
2. Ta có: 0 sin2 x 1 1 4 3sin2 x 4
* y 1 sin2 x 1 cos x 0 x k .
2
2
* y 4 sin x 0 x k .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 , giá trị nhỏ nhất bằng 1 .
Ví dụ 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. y 6 cos2 x cos2 2x
2. y (4 sin x 3cos x)2 4(4 sin x 3cos x) 1
Lời giải:
1. Ta có: y 6 cos x (2 cos x 1) 4 cos x 2 cos2 x 1
2
2
2
4
Đặt t cos2 x t 0;1 . Khi đó y 4t 2 2t 1 f (t )
t
0
1
f (t )
7
1
k
2
max y 1 đạt được khi cos2 x 1 x k
Vậy min y 1 đạt được khi cos x 0 x
2. Đặt t 4sin x 3cos x 5 t 5 x
Khi đó: y t 2 4t 1 (t 2)2 3
Vì t 5; 5 7 t 2 3 0 (t 2)2 49
Do đó 3 y 46
Vậy min y 3; max y 46 .
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau chỉ nhận giá trị dương :
y (3sin x 4 cos x)2 6 sin x 8 cos x 2m 1
Lời giải:
Đặt t 3sin x 4cos x 5 t 5
Ta có: y t 2 2t 2m 1 (t 1)2 2m 2
Do 5 t 5 0 (t 1)2 36 y 2m 2 min y 2m 2
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
16
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
Hàm số chỉ nhận giá trị dương y 0 x
min y 0
2m 2 0 m 1 .
Vậy m 1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4. Tìm m để hàm số y 2 sin2 x 4 sin x cos x (3 2m)cos2 x 2 xác định với mọi x
Lời giải:
Hàm số xác định với mọi x
2 sin2 x 4 sin x cos x (3 2m)cos2 x 2 0 x
cos x 0 (1) đúng
(1)
cos x 0 khi đó ta có: (1) 2 tan2 x 4 tan x (3 2m) 2(1 tan 2 x) 0
4 tan2 x 4 tan x 1 2m x
(2 tan x 1)2 2 2m x 2 2m 0 m 1
Ví dụ 5. Cho các góc nhọn x , y thỏa mãn sin2 x sin 2 y sin( x y) () . Chứng minh rằng:
xy
2
Lời giải:
Ta có hàm số y sin x, y cos x đồng biến trên khoảng 0;
2
Và x , y , x , y 0; .
2
2
2
sin x sin y cos y
x
y
2
2
Giả sử x y
2
y x sin y sin x cos x
2
2
Suy ra: sin2 x sin2 y sin x.sin x sin y.sin y
sin x cos y sin y cos x sin( x y)
Mâu thuẫn với ()
sin x sin y cos y
x
y
2
2
Giả sử x y
2
y x sin y sin x cos x
2
2
Suy ra: sin2 x sin2 y sin x.sin x sin y.sin y
sin x cos y sin y cos x sin( x y)
Mâu thuẫn với ()
Nếu x y () đúng.
2
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
17
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
.
2
Ví dụ 6. Tìm gtln và gtnn của các hàm sau :
Vậy () x y
1. y 3 sin x 4 cos x 5
2. y
sin x 2 cos x 1
sin x cos x 2
Lời giải:
1. Xét phương trình : y 3 sin x 4 cos x 5
3 sin x 4 cos x 5 y 0 phương trình có nghiệm
32 42 (5 y)2 y2 10 y 0 0 y 10
Vậy min y 0 ; max y 10 .
2. Do sin x cos x 2 0 x
Xét phương trình : y
hàm số xác định với x
sin x 2 cos x 1
sin x cos x 2
(1 y)sin x (2 y)cos x 1 2 y 0
Phương trình có nghiệm (1 y)2 (2 y)2 (1 2 y)2
y 2 y 2 0 2 y 1
Vậy min y 2; max y 1.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2 sin x 3
A. max y 5 , min y 1
B. max y 5 , min y 2 5
C. max y 5 , min y 2
D. max y 5 , min y 3
Lời giải:
Ta có 1 2 sin x 3 5 1 y 5 .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng max y 5 , đạt được khi sin x 1 x
Giá trị nhỏ nhất bằng min y 1 , đạt được khi x k 2 .
2
k 2 .
2
Bài 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 2 cos2 x 1
A. max y 1 , min y 1 3
B. max y 3 , min y 1 3
C. max y 2 , min y 1 3
D. max y 0 , min y 1 3
Lời giải:
Ta có 1 2 cos x 1 3 1 3 y 0
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng max y 0 , đạt được khi x
k
2
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
18
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng min y 1 3 , đạt được khi x k .
Bài 3. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 3sin 2 x
4
A. min y 2 , max y 4
B. min y 2 , max y 4
C. min y 2 , max y 3
D. min y 1 , max y 4
Lời giải:
Ta có: 1 sin 2 x 1 2 y 4
4
y 2 sin 2 x 1 x k min y 2
4
8
3
k max y 4
y 4 sin 2 x 1 x
4
8
Bài 4. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3 2 cos2 3x
A. min y 1 , max y 2
B. min y 1 , max y 3
C. min y 2 , max y 3
D. min y 1 , max y 3
Lời giải:
Ta có: 0 cos 3x 1 1 y 3
2
k
min y 1
3
k
max y 3
y 3 cos2 3x 0 x
6 3
Bài 5. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 2 sin 2 x
y 1 cos2 3x 1 x
A. min y 2 , max y 1 3
B. min y 2 , max y 2 3
C. min y 1 , max y 1 3
D. min y 1 , max y 2
Lời giải:
Ta có: 1 sin 2x 1 2 y 1 3
y 2 sin 2 x 1 x k min y 2
4
y 1 3 sin 2 x 1 x k min y 2
4
Bài 6. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y
4
, max y 4
3
4
C. min y , max y 2
3
A. min y
4
1 2 sin 2 x
4
, max y 3
3
1
D. min y , max y 4
2
B. min y
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
19
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
Lời giải:
4
y4
3
4
4
y sin 2 x 1 x k min y
3
2
3
2
y 4 sin x 0 x k max y 4
Ta có: 0 sin 2 x 1
Bài 7. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2 sin2 x cos2 2x
A. max y 4 , min y
3
4
B. max y 3 , min y 2
C. max y 4 , min y 2
D. max y 3 , min y
Lời giải:
Đặt t sin x , 0 t 1 cos 2x 1 2t
1
3
y 2t (1 2t)2 4t 2 2t 1 (2t )2 .
2
4
1
1 3
1
9
3
Do 0 t 1 2t 0 (2t )2 y 3 .
2
2 2
2
4
4
Vậy max y 3 đạt được khi x k .
2
3
1
min y đạt được khi sin 2 x .
4
4
Bài 8. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3sin x 4cos x 1
2
A. max y 6 , min y 2
B. max y 4 , min y 4
C. max y 6 , min y 4
D. max y 6 , min y 1
Lời giải:
Áp dụng BĐT (ac bd) (c d )(a b ) .
a b
Đẳng thức xảy ra khi .
c d
Ta có: (3sin x 4 cos x)2 (32 42 )(sin 2 x cos2 x) 25
5 3sin x 4cos x 5 4 y 6 .
2
2
2
2
Vậy max y 6 , đạt được khi tan x
2
3
.
4
3
min y 4 , đạt được khi tan x .
4
Chú ý: Với cách làm tương tự ta có được kết quả tổng quát sau
max(a sin x b cos x) a2 b2 , min(a sin x b cos x) a2 b2
Tức là: a2 b2 a sin x b cos x a2 b2 .
Bài 9. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3sin x 4cos x 1
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
20
3
4
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
A. min y 6; max y 4
B. min y 6; max y 5
C. min y 3; max y 4
D. min y 6; max y 6
Lời giải:
4
sin 5
Ta có : y 5sin( x ) 1 trong đó 0; thỏa
2
cos 3
5
Suy ra min y 6; max y 4 .
Bài 10. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y 2 sin2 x 3sin 2x 4 cos2 x
A. min y 3 2 1; max y 3 2 1
B. min y 3 2 1; max y 3 2 1
C. min y 3 2; max y 3 2 1
D. min y 3 2 2; max y 3 2 1
Lời giải:
Ta có: y 1 cos 2x 3sin 2x 2(1 cos 2x)
3sin 2 x 3cos 2 x 1 3 2 sin 2 x 1
4
Suy ra min y 3 2 1; max y 3 2 1 .
Bài 11. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
y sin2 x 3sin 2x 3cos2 x
A. max y 2 10; min y 2 10
B. max y 2 5; min y 2 5
C. max y 2 2; min y 2 2
D. max y 2 7 ; min y 2 7
Lời giải:
1 cos 2 x
3(1 cos 2 x)
Ta có: y
3sin 2 x
3sin 2x cos 2x 2 .
2
2
Mà 10 3sin 2x cos 2 x 10 2 10 y 2 10
Từ đó ta có được: max y 2 10; min y 2 10 .
Bài 12. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2 sin 3x 1
A. min y 2,max y 3
B. min y 1,max y 2
C. min y 1,max y 3
min y 3,max y 3
D.
Lời giải:
:C
Bài 13. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3 4 cos2 2 x
A. min y 1,max y 4
B. min y 1,max y 7
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
21
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
C. min y 1,max y 3
min y 2,max y 7
D.
Lời giải:
Đáp án C
Bài 14. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 2 4 cos 3x
A. min y 1 2 3,max y 1 2 5
B. min y 2 3,max y 2 5
C. min y 1 2 3,max y 1 2 5
D. min y 1 2 3,max y 1 2 5
Lời giải:
Đáp án A.
Bài 15. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 4sin 6x 3cos 6x
A. min y 5,max y 5
B. min y 4,max y 4
C. min y 3,max y 5
D. min y 6,max y 6
Lời giải:
Đáp án A.
Bài 16. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y
A. min y
C. min y
3
1 3
2
1 3
, max y
, max y
3
1 2
3
1 2
3
1 2 sin 2 x
3
4
, max y
B. min y
1 3
1 2
3
3
, max y
D. min y
1 3
1 2
Lời giải:
Đáp án D
3sin 2 x cos 2 x
sin 2 x 4 cos2 x 1
4 3 5
4 3 5
B. min y
, max y
4
4
Bài 17. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y
A. min y
C. min y
6 3 5
6 3 5
, max y
4
4
7 3 5
7 3 5
5 3 5
5 3 5
D. min y
, max y
, max y
4
4
4
4
Lời giải:
Đáp án D
Bài 18. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2 cos(3x ) 3
3
A. min y 2 , max y 5
B. min y 1 , max y 4
C. min y 1 , max y 5
D. min y 1 , max y 3
Lời giải:
4
2
k
Ta có: min y 1 đạt được khi x
9
3
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
22
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
max y 5 đạt được khi x
2
k
9
3
Bài 19. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3 2 sin 2 2 x 4
A. min y 6 , max y 4 3
B. min y 5 , max y 4 2 3
C. min y 5 , max y 4 3 3
D. min y 5 , max y 4 3
Lời giải:
Ta có: min y 5 đạt được khi x
k
4
2
max y 4 3 đạt được khi x k
2
Bài 20. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y sin x 2 sin 2 x
A. min y 0 , max y 3
B. min y 0 , max y 4
C. min y 0 , max y 6
D. min y 0 , max y 2
Lời giải:
Ta có y 0 x và y 2 2 sin x 2 sin x
2
2
Mà 2 sin x 2 sin2 x sin2 x 2 sin2 x 2
Suy ra 0 y 2 4 0 y 2
min y 0 đạt được khi x k 2
2
max y 2 đạt được khi x k 2
2
Bài 21. Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y tan2 x 4 tan x 1
A. min y 2
B. min y 3
C. min y 4
D. min y 1
Lời giải:
Ta có: t (tan x 2) 3
min y 3 đạt được khi tan x 2
2
Không tông tại max .
Bài 22. Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y tan2 x cot 2 x 3(tan x cot x) 1
A. min y 5
B. min y 3
C. min y 2
D. min y 4
Lời giải:
Ta có: tan x cot x 3 tan x cot x 3
2
2
t 2
sin 2 x
Suy ra y t 2 3t 3 f (t)
Đặt t tan x cot x
Bảng biến thiên
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
23
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
2
t
2
f (t )
5
7
Vậy min y 5 đạt được khi x k .
4
Không tồn tại max y .
Bài 23. Tìm m để hàm số y 5sin 4x 6 cos 4x 2m 1 xác định với mọi x .
B. m
A. m 1
61 1
2
C. m
61 1
2
D. m
61 1
2
Lời giải:
Hàm số xác định với mọi x 5sin 4 x 6cos4 x 1 2 m x
61 1
.
2
Bài 24. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2 3sin 3x
Do min(5sin 4x 6 cos 4x) 61 61 1 2m m
A. min y 2; max y 5
B. min y 1; max y 4
C. min y 1; max y 5
D. min y 5; max y 5
Lời giải:
Ta có: 1 sin 3x 1 1 y 5 . Suy ra: min y 1; max y 5
Bài 25. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 4 sin 2 2 x
A. min y 2; max y 1
B. min y 3; max y 5
C. min y 5; max y 1
D. min y 3; max y 1
Lời giải:
. Ta có: 0 sin 2x 1 3 y 1 . Suy ra: min y 3; max y 1
2
Bài 26. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 3 2 sin x
A. min y 2; max y 1 5
B. min y 2; max y 5
C. min y 2; max y 1 5
D. min y 2; max y 4
Lời giải:
Ta có: 1 3 2 sin x 5 2 y 1 5 . Suy ra: min y 2; max y 1 5
Bài 27. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3 2 2 sin 2 4 x
A. min y 3 2 2; max y 3 2 3
B. min y 2 2 2; max y 3 2 3
C. min y 3 2 2; max y 3 2 3
D. min y 3 2 2; max y 3 3 3
Lời giải:
Ta có: 2 2 sin 4x 3 3 2 2 y 3 2 3
2
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
24
