C1 PHEPBIENHINH PHEPDONGDANG

NGUYỄN BẢO VƢƠNG
TOÁN 11

CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH
VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
TRONG MẶT PHẲNG
BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
PHÉP BIẾN HÌNH
A. CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Định nghĩa.
Quy tắc đặt tƣơng ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất
M ' của mặt phẳng đó đƣợc gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.

Ta kí hiệu phép biến hình là F và viết F  M   M ' hay M '  F  M  , khi đó M ' đƣợc gọi
là ảnh của điểm M qua phép biến hình F .





Nếu H là một hình nào đó thì hình H '  M '| M '  F  M  , M  H đƣợc gọi là ảnh của
hình H qua phép biến hình F , ta viết H '  F  H  .



Vậy H '  F  H   M  H  M '  F  M   H '



Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt thành chính nó đƣợc gọi là phép đồng nhất.
PHÉP TỊNH TIẾN
A. CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Định nghĩa.
Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M ' sao
cho MM '  v đƣợc gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v .
Phép tịnh tiến theo vectơ v đƣợc kí hiệu là Tv .

v

Vậy thì Tv  M   M '  MM '  v
Nhận xét: T0  M   M

M

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 1

M’


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
2. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M  x; y  và v   a; b  .

 x ' x  a
x '  x  a


Gọi M '  x '; y '   Tv  M   MM '  v  
 y ' y  b
y '  y  b

* 

Hệ  *  đƣợc gọi là biểu thức tọa độ của Tv .
3. Tính chất của phép tịnh tiến.



Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
Biến một đƣờng thẳng thành đƣờng thẳng song song hoặc trùng với đƣờng thẳng
đã cho.

Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.

Biến một đƣờng tròn thành đƣờng tròn có cùng bán kính.
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN.
Phƣơng pháp:
Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC , dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vec
tơ BC .
Lời giải:
Ta có TBC  B   C .

D

A

Để tìm ảnh của điểm A ta dựng hình bình hành
ABCD . Do AD  BC nên TBC  A   D , gọi E là điểm

B

C

đối xứng với B qua C , khi đó CE  BC
Suy ra TBC C   E . Vậy ảnh của tam giác ABC là tam giác DCE .

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 2

E


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v   2; 3  . Hãy tìm ảnh của các điểm
A 1; 1 , B  4; 3  qua phép tịnh tiến theo vectơ v .

A. A '  1; 2  , B  2; 6 

B. A '  1; 2  , B  2; 6 

C. A '  1; 2  , B  2; 6  D. A '  1;1 , B  2; 6 
Lời giải:

x '  x  a
Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến 
.
y '  y  b
 x '  1  ( 2)
 x'  1

 A '  1; 2 
Gọi A '  x '; y '   Tv  A   
y
'


1

3
y
'

2


Tƣơng tự ta có ảnh của B là điểm B '  2; 6  .
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v   1; 3  và đƣờng thẳng d có phƣơng
trình 2x  3y  5  0 . Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d ' là ảnh của d qua phép tịnh
tiến Tv .
A. d ' : 2x  y  6  0

B. d ' : x  y  6  0

C. d ' : 2x  y  6  0

D. d ' : 2x  3y  6  0

Lời giải:
Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Lấy điểm M  x; y  tùy ý thuộc d , ta có 2x  3y  5  0

* 

x '  x  1
 x  x ' 1

Gọi M '  x '; y '   Tv  M   
y '  y  3
y  y ' 3

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
Thay vào (*) ta đƣợc phƣơng trình 2  x ' 1  3  y ' 3   5  0  2 x ' 3 y ' 6  0 .
Vậy ảnh của d là đƣờng thẳng d ' : 2x  3y  6  0 .
Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến
Do d '  Tv  d  nên d ' song song hoặc trùng với d , vì vậy phƣơng trình đƣờng thẳng d '
có dạng 2x  3y  c  0 .(**)
Lấy điểm M  1;1  d . Khi đó M '  Tv  M    1  1;1  3    0; 2  .
Do M '  d '  2.0  3.  2   c  0  c  6
Vậy ảnh của d là đƣờng thẳng d ' : 2x  3y  6  0 .

Cách 3. Để viết phƣơng trình d ' ta lấy hai điểm phân biệt M , N thuộc d , tìm tọa độ các
ảnh M ', N ' tƣơng ứng của chúng qua Tv . Khi đó d ' đi qua hai điểm M ' và N ' .
Cụ thể: Lấy M  1;1 , N  2; 3 thuộc d , khi đó tọa độ các ảnh tƣơng ứng là
M '  0; 2  , N '  3; 0  . Do d ' đi qua hai điểm M ', N ' nên có phƣơng trình

x0 y2

 2x  3y  6  0 .
3
2

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đƣờng tròn  C  có phƣơng trình

x2  y 2  2x  4 y  4  0 . Tìm ảnh của  C  qua phép tịnh tiến theo vectơ v   2; 3  .
A. C '  : x2  y 2  x  2 y  7  0

B. C '  : x2  y 2  x  y  7  0

C. C '  : x2  y 2  2x  2 y  7  0

D. C '  : x2  y 2  x  y  8  0
Lời giải:

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ.
Lấy điểm M  x; y  tùy ý thuộc đƣờng tròn  C  , ta có x2  y 2  2x  4 y  4  0

* 

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 4

NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM

x '  x  2
 x  x ' 2

Gọi M '  x '; y '   Tv  M   
y '  y  3
y  y ' 3

 x ' 2    y ' 3 
Thay vào phƣơng trình (*) ta đƣợc
2

2

 2  x ' 2   4  y '  3   4  0

 x ' 2  y ' 2  2 x ' 2 y ' 7  0

.

Vậy ảnh của  C  là đƣờng tròn C '  : x2  y 2  2x  2 y  7  0 .
Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

 

Dễ thấy  C  có tâm I  1; 2  và bán kính r  3 . Gọi C '   Tv C  và I '  x '; y '  ; r ' là tâm
và bán kính của (C ') .

 x '  1  2  1
 I '  1; 1 và r '  r  3 nên phƣơng trình của đƣờng tròn  C '  là
Ta có 
 y '  2  3  1

 x  1   y  1
2

2

9

Bài toán 02: XÁC ĐỊNH PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH.
Phƣơng pháp:
Xác định phép tịnh tiến tức là tìm tọa độ của v . Để tìm tọa độ của v ta có thể giả sử

v   a; b  , sử dụng các dữ kiện trong giả thiết của bài toán để thiết lập hệ phƣơng trình
hai ẩn a , b và giải hệ tìm a , b .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho đƣờng thẳng d : 3x  y  9  0 . Tìm phép tịnh
tiến theo vec tơ v có giá song song với Oy biến d thành d ' đi qua điểm A  1;1 .
A. v   0; 5 

B. v   1; 5 

C. v   2; 3 

D. v   0; 5 

Lời giải:

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM

v có giá song song với Oy nên v   0; k  k  0 
x '  x
Lấy M  x; y   d  3x  y  9  0  *  . Gọi M '  x '; y '   Tv  M   
thay vào
y '  y  k

 *   3 x ' y ' k  9  0
Hay Tv  d   d ' : 3x  y  k  9  0 , mà d đi qua A 1;1  k  5 .
Vậy v   0; 5  .
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đƣờng hai thẳng d : 2x  3y  3  0 và

d ' : 2x  3y  5  0 . Tìm tọa độ v có phƣơng vuông góc với d để Tv  d   d ' .
 6 4 
A. v    ; 
 13 13 

 1 2 
B. v    ; 
 13 13 

 16 24 
 16 24 
C. v    ;   D. v    ; 
 13 13 

 13 13 

Lời giải:
Đặt v   a; b  , lấy điểm M  x; y  tùy ý thuộc d , ta có d : 2x  3y  3  0  * 

x '  x  a
 x  x ' a

Gọi sử M '  x '; y '   Tv  M  .Ta có 
, thay vào (*) ta đƣợc phƣơng
y '  y  b
 y  y ' b
trình 2x ' 3y ' 2a  3b  3  0 .
Từ giả thiết suy ra 2a  3b  3  5  2a  3b  8 .
Vec tơ pháp tuyến của đƣờng thẳng d là n   2; 3  suy ra VTCP u   3; 2  .
Do v  u  v.u  3a  2b  0 .


16
a   13
2a  3b  8
 16 24 

Ta có hệ phƣơng trình 
.Vậy v    ;  .
 13 13 
 3a  2b  0
b  24

13

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 6


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
Bài toán 03: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.
Phƣơng pháp:
Để dựng một điểm M ta tìm cách xem nó là ảnh của một điểm đã biết qua một phép
tịnh tiến, hoặc xem M là giao điểm của hai đƣờng trong đó một đƣờng cố định còn một
đƣờng là ảnh của một đƣờng đã biết qua phép tịnh tiến.
Lƣu ý: Ta thƣờng dùng kết quả: Nếu Tv  N   M và N   H  thì M   H '  trong đó

 H '  T  H  và kết hợp với M
v

thuộc hình  K 

(trong giả thiết) suy ra M   H '    K  .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho đƣờng tròn tâm O , bán kính R và hai điểm phân biệt C , D nằm ngoài

O  . Hãy dựng dây cung

AB của đƣờng tròn  O  sao cho ABCD là hình bình hành.

Lời giải:
Phân tích: Giả sử đã dựng đƣợc dây cung AB thỏa mãn yêu cầu
bài toán

C

D

Do ABCD là hình bình hành nên AB  DC  TCD  A   B .

B

A

 

Nhƣng A  O   B  O '   TDC O  . Vậy B vừa thuộc  O  và

O

O '  nên B chính là giao điểm của O  và O '  .
Cách dựng:
-

Dựng đƣờng tròn  O '  là ảnh của đƣờng tròn  O  qua TDC

-

Dựng giao điểm B của  O  và  O ' 

-

Dựng đƣờng thẳng qua B và song song với CD cắt  O  tại A .

Dây cung AB là dây cung thỏa yêu cầu bài toán.

Chứng minh: Từ cách dựng ta có TDC  A   B  AB  DC  ABCD là hình bình hành.

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 7

0'


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
Biện luận:
-

Nếu CD  2R thì bài toán vô nghiệm .
Nếu CD  2R thì có một nghiệm .
Nếu CD  2R thì có hai nghiệm.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC . Dựng đƣờng thẳng d song song với BC , cắt hai cạnh

AB, AC lần lƣợt tại M , N sao cho AM  CN .
Lời giải:
Phân tích: Giả sử đã dựng đƣợc đƣờng thẳng d thỏa
mãn bài toán. Từ M dựng đƣờng thẳng song song với
AC cắt BC tại P , khi đó MNCP là hình bình hành

A

nên CN  PM . Lại có AM  CN suy ra MP  MA , từ

M

đó ta có AP là phân giác trong của góc A .

Cách dựng:

N
B
P

Dựng phân giác trong AP của góc A
Dựng đƣờng thẳng đi qua P song song với AC
cắt AB tại M
Dựng ảnh N  TPM C  .
-

Đƣờng thẳng MN chính là đƣờng thẳng thỏa yêu cầu
bài toán.
Chứng minh: Từ cách dựng ta có MNCP là hình bình
hành suy ra MN BC và CN  PM , ta có

MAP= CAP  APM  MAP cân tại M  AM  MP .
Vậy AM  CN
Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 8

C


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
Ví dụ 3. Cho hai đƣờng tròn  O1  và  O2  cắt nhau tại A, B . Dựng đƣờng thẳng d đi
qua A cắt các đƣờng tròn tại các điểm thứ hai M , N sao cho MN  2l cho trƣớc.
Lời giải:

Giả sử đã dựng đƣợc đƣờng thẳng d đi qua A và cắt
các đƣờng tròn  O1  ,  O2  tƣơng ứng tại các điểm

M , N sao cho MN  2l .

M

Kẻ O1H  MN và O2 I  MN .
Xét THO  I   I '  O1I '  HI 
1

H A

O1

I

N
I'
O2

B

1
MN  l .
2

Do tam giác I ' O1O2 vuông tại I ' nên

O2 I '  O1O22  l 2 .

Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP
ĐIỂM.
Phƣơng pháp:
Nếu Tv  M   M ' và đểm M di động trên hình  H  thì điểm M ' thuộc hình  H '  ,
trong đó  H '  là ảnh của hình  H  qua Tv .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hai điểm phân biệt B, C cố định trên đƣờng tròn  O  tâm O . Điểm A di
động trên  O  . Chứng minh khi A di động trên  O  thì trực tâm của tam giác ABC di
động trên một đƣờng tròn.
Lời giải:
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC . Tia BO cắt đƣờng
tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D . Vì BCD  900 , nên DC AH . Tƣơng tự AD CH ,
do đó ADCH là hình bình hành.Suy ra AH  DC  2OM không đổi

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
 T2OM  A   H , vì vậy khi A di động trên dƣờng tròn  O  thì H di động trên đƣờng

 

tròn O '   T2OM O  .
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định, BAC   không đổi và BC  v không
đổi. Tìm tập hợp các điểm B, C .
Lời giải:
Gọi O là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC , khi đó theo định lí sin ta có
BC
 2 R không đổi
sin 

( do BC  v không đổi).
Vậy OA  R 

BC
BC
, nên O di động trên đƣờng tròn tâm A bán kính AO 
. Ta
2 sin 
2 sin 

có OB  OC  R không đổi và BOC  2 không đổi suy ra OBC  OCB 

1800  2
2

không đổi. Mặt khác BC có phƣơng không đổi nên OB, OC cũng có phƣơng không đổi.
Đặt OB  v1 , OC  v2 không đổi , thì Tv O   B, Tv O   C .
1

2


BC 
Vậy tập hợp điểm B là đƣờng tròn  A1 ;
ảnh của
2 sin  


BC 

hợp điểm C là đƣờng tròn  A2 ;
ảnh của
2 sin  



BC 
 A , 2 sin   qua Tv1 , và tập




BC 
 A , 2 sin   qua Tv2 .



PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
A. CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Định nghĩa:

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 10


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
Cho đƣờng thẳng d . Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến
mỗi điểm M không thuộc d thành điểm
M ' sao cho d là đƣờng trung trực của đoạn MM ' đƣợc gọi là phép đối xứng qua

đƣờng thẳng d , hay còn gọi là phép đối xứng trục
d.

M
Phép đối xứng trục có trục là đƣờng thẳng d đƣợc
kí hiệu là Ðd . Nhƣ vậy Ðd  M   M '  IM  IM '

d

với I là hình chiếu vuông góc của M trên d .
Nếu Ðd  H    H  thì d đƣợc gọi là trục đối xứng
của hình  H  .

I
M'

2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:
Trong mặt phẳng Oxy , với mỗi điểm M  x; y  , gọi M '  x '; y '  Ðd  M  .

x '  x
Nếu chọn d là trục Ox , thì 
y '  y
x '  x
Nếu chọn d là trục Oy , thì 
.
y '  y
3. Tính chất phép đối xứng trục:







Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Biến một đƣờng thẳng thành đƣờng thẳng.
Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho.
Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
Biến đƣờng tròn thành đƣờng tròn có cùng bán kính.
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA ĐỐI XỨNG TRỤC.
Phƣơng pháp:

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 11


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
Để xác định ảnh  H '  của hình  H  qua phép đối xứng trục ta có thể dùng một trong
các cách sau:

Dùng định nghĩa phép đối xứng trục

Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục mà trục đối xứng là các trục tọa độ.

Dùng biểu thức vec tơ của phép đối xứng trục.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M  1; 5  , đƣờng thẳng d : x  2 y  4  0 và
đƣờng tròn C  : x2  y 2  2x  4 y  4  0 .
a) Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox .
A. M '  1; 5 

B. M '  1; 5 

D. M '  0; 5 

C. M ' 1; 5 

b) Tìm ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox .
A. d ' : 2x  2 y  4  0 B. d ' : x  2 y  2  0

C. d ' : 3x  2 y  4  0

D.

d ' : x  2y  4  0
c) Tìm ảnh của  C  qua phép đối xứng trục Ox .
A. C '  :  x  2    y  2   9

B. C '  :  x  1   y  1  9

C. C '  :  x  3    y  2   9

D. C '  :  x  1   y  2   9

2

2

2

2

2

2

2

2

d) Tìm ảnh của M qua phép đối xứng qua đƣờng thẳng d .
A. M '  5; 7 

B. M '  5; 7 

C. M '  5; 7 

D. M '  5; 7 

Lời giải:
a) Gọi M ', d ', C '  theo thứ tự là ảnh của M , d , C  qua Ðox , khi đó M ' 1; 5  .
b) Tìm ảnh của d .

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 12


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
Lấy M  x; y   d  x  2 y  4  0 (1)
Gọi N  x '; y '  là ảnh của M qua phép đối xứng Ðox .

x '  x
x  x '

Ta có 
. Thay vào  1 ta đƣợc
y '  y
y  y '

x ' 2 y ' 4  0 . Vậy d ' : x  2 y  4  0 .
c) Tìm ảnh của  C  .
Cách 1: Ta thấy  C  có tâm I  1; 2  và bán kính R  3 .
Gọi I ', R ' là tâm và bán kính của  C '  thì I '  1; 2  và R '  R  3 , do đó

C ' :  x  1   y  2 
2

2

9.

Cách 2: Lấy P  x; y   C   x2  y 2  2x  4 y  4  0  2  .
Gọi Q  x '; y '  là ảnh của P qua phép đối xứng Ðox . Ta có

x '  x
x  x '

thay vào  2  ta đƣợc x '2  y '2  2x ' 4 y ' 4  0 , hay

y '  y y  y '

C '  : x

2

 y 2  2x  4 y  4  0 .

d) Đƣờng thẳng d1 đi qua M vuông góc với d có phƣơng trình 2x  y  3  0 .

x  2 y  4  0
 x  2

 I  2; 1 .
Gọi I  d  d1 thì tọa độ điểm I là nghiệm của hệ 
2 x  y  3  0
 y  1
Gọi M ' đối xứng với M qua d thì I là trung điểm của MM ' .


xM  xM '
 xI 
 x  2 xI  xM  5
2
  M'
 M '  5; 7  .
Ta có 
 y M '  2 yI  y M  7
 y  yM  yM '
 I
2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
Ví dụ 2. Cho hai đƣờng thẳng d : x  y  2  0 , d1 : x  2 y  3  0 và đƣờng tròn

C  :  x  1   y  1
2

2

 4.

a) Tìm ảnh của d1 qua phép đối xứng trục d .
A. d1 ' : x  y  3  0

B. d1 ' : 2x  2 y  3  0

C. d1 ' : 2x  2 y  1  0 D. d1 ' : 2x  y  3  0
b) Tìm ảnh của  C  qua phép đối xứng trục d .
A. C '  :  x  2    y  1  4

B. C '  :  x  3    y  3   4

C. C '  :  x  3    y  2   4

D. C '  :  x  3    y  1  4

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải:
a) Tìm ảnh của d1 .
Ta có d1  d  I 1;1 nên Ðd  I   I .
Lấy M  3; 0   d1 . Đƣờng thẳng d2 đi qua M vuông góc với d có phƣơng trình

x  y  3  0 . Gọi M0  d  d2 , thì tọa độ của M0 là nghiệm của hệ

5
x


x  y  2  0

2  M  5 ; 1 .




0
2 2
x  y  3  0
y   1

2
Gọi M ' là ảnh của M qua Ðd thì M0 là trung điểm của MM ' nên
M '  2; 1 . Gọi d1 ' Ðd  d1  thì d1 ' đi qua I và M ' nên có phƣơng trình

x 1 y 1

 2 x  y  3  0 . Vậy d1 ' : 2x  y  3  0 .
1
2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 14


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
b) Tìm ảnh của  C  .
Đƣờng tròn  C  có tâm J  1; 1 và bán kính R  2 .
Đƣờng thẳng d3 đi qua J và vuông góc với d có phƣơng trình x  y  2  0 .
Gọi J0  d3  d thì tọa độ của điểm J 0 là nghiệm của hệ

x  y  2  0
x  2

 J0  2; 0  .


x

y

2

0
y

0


Gọi J ' Ðd  J  thì J 0 là trung điểm của JJ ' nên J '  3;1

 

Gọi C '  Ðd C  thì J ' là tâm của  C '  và bán kính của  C '  là R '  R  2 . Vậy

C ' :  x  3   y  1
2

2

 4.

Bài toán 02: DÙNG PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG
HÌNH.
Phƣơng pháp:
Để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nó nhƣ là ảnh của một điểm đã biết qua một
phép đối xứng trục, hoặc xem M nhƣ là giao điểm của một đƣờng cố định và một với

ảnh của một đƣờng đã biết qua phép đối xứng trục.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Dựng hình vuông ABCD biết hai đỉnh A và C nằm trên đƣờng thẳng d1 và
hai đỉnh B, D lần lƣợt thuộc hai đƣờng thẳng d2 , d3 .
Lời giải:

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 15


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
Phân tích: Giả sử đã dựng đƣợc hình
vuông ABCD , thỏa các điều kiện của bài

d2

toán. Do A, C  d2 và AC là trục đối xứng

B

của hình vuông ABCD . Mặt khác B  d2

d3

nên D  d2 '
A

 D  d2 ' d3 .

d1

Hai điểm B, D đối xứng qua đƣờng thẳng

C

O

d2'
D
h1

d1 .

Nên Ðd1  B   D ' , lại có
D  d3  D  d3  d2 ' .

Cách dựng:
-

Dựng d2 ' Ðd1  d2  , gọi D  d2  d2 '

-

Dựng đƣờng thẳng qua D vuông góc với d1 tại O và cắt d2 tại B

-

Dựng đƣờng tròn tâm O đƣờng kính BD cắt d1 tại A, C . (Kí hiệu các điểm A, C

theo thứ tự để tạo thành tứ giác ABCD )
Chứng minh: Từ cách dựng suy ra ABCD là hình vuông.

Biện luận:
Trường hợp 1. d2 cắt d3 khi đó.
Nếu d2 ' d3 thì ví dụ đã cho có một nghiệm hình.
Nếu d2 ' d3 thì ví dụ đã cho vô nghiệm hình.
Trường hợp 2. d2 d3 , khi đó
Nếu d1 song song và cách đều d2 và d3 thì có vô số nghiệm hình ( h2 )

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 16


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
Nếu d1 hợp với d2 , d3 một góc 45 thì có một nghiệm hình ( h3 )
Nếu d1 song song và không cách đều d2 , d3 hoặc d1 không hợp d2 , d3 một góc 45 thì ví
dụ đã cho vô nghiệm hình.

B

d2

C

D
A
O

C

d1

d3

D

B

A

h2

h3

Ví dụ 2. Cho hai đƣờng tròn  C  ,  C '  có bán kính khác nhau và đƣờng thẳng d . Hãy
dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A, C lần lƣợt nằm trên  C  ,  C '  và hai đỉnh còn
lại nằm trên d .
Lời giải:
Phân tích:

d
Giả sử đã dựng đƣợc hình vuông ABCD thỏa

(C1)

mãn đề bài. Ta thấy hai đỉnh B, D  d nên hình
vuông hoàn toàn xác định khi biết C . Ta có

D

A, C đối xứng qua d nên C thuộc đƣờng tròn

C

C  , ảnh của đƣờng tròn C  qua Ð
khác C  C '   C  C   C '  .

. Mặt
d

1

Từ đó suy ra cách dựng

(C')

I
A

B

(C)

Cách dựng:

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 17


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
-

Dựng đƣờng tròn  C1  là ảnh của  C  qua Ðd .

Từ điểm C thuộc  C1    C '  dựng điểm A đối xứng với C qua d . Gọi I  AC  d

Lấy trên d hai điểm BD sao cho IB  ID  IA .
Khi đó ABCD là hình vuông cần dựng.
Chứng minh:
Dễ thấy ABCD là hình vuông có B, D  d , C   C '  . Mặt khác A, C đối xứng qua d mà
C  C '   A Ðd C '   C  hay A thuộc  C  .

Biện luận:
Số nghiệm hình bằng số giao điểm của  C1  và  C '  .
Bài toán 03: DÙNG PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP HỢP ĐIỂM.
Phƣơng pháp:
Sử dụng tính chất : Nếu N Ðd  M  với M di động trên hình  H  thì N di động trên
hình  H '  - ảnh của hình  H  qua phép đối xứng trục d .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Trên đƣờng tròn  O , R  cho hai điểm cố định A, B . Đƣờng tròn  O '; R '  tiếp
xúc ngoài với  O  tại A . Một điểm M di động trên  O  . MA cắt  O '  tại điểm thứ hai

A ' . Qua A ' kẻ đƣờng thẳng song song với AB cắt MB tại B ' .
Tìm quỹ tích điểm B '

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 18


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
Lời giải:
Gọi C  A ' B ' O '  . Vẽ tiếp tuyến chung
của  O  và  O '  tại điểm A . Ta có

B'

A'

C
O'

A ' CA  xAM

O''

x'

A

 ABM  BB ' A ' do đó ABB ' C là hình

B

x
O

thang cân. Gọi d là trục đối xứng của hình

thang này thì Ðd C   B ' mà C di động trên

M

d

đƣờng tròn  O '  nên B ' di động trên
đƣờng tròn  O ''  ảnh của  O '  qua Ðd .

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có tâm đƣờng tròn nội tiếp I , P là một điểm nằm trong
tam giác. Gọi A ', B ', C ' là các điểm đối xứng với P lần lƣợt đối xứng qua IA, IB, IC .
Chứng minh các đƣờng thẳng AA ', BB ', CC ' đồng quy.

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 19


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
Lời giải:
Giả sử điểm P nằm trong tam giác IAB . Gọi P1 , P2 , P3

A

P2

lần lƣợt đối xứng với P qua các cạnh BC , CA, AB . Ta
sẽ chứng minh AA ', BB ', CC ' đồng quy tại tâm đƣờng

P3

tròn ngoại tiếp tam giác P1 P2 P3 .

P
A'

Hiển nhiên ta có AP2  AP3 vậy để chứng minh AA ' là

I
C

trung trực của P2 P3 ta cần chứng minh P2 AA '  P3 AA ' .

B
Ta có P3 AA '  P3 AP  PAA '  2  2

P1

Tƣơng tự P2 AA '  P2 AC  CAA '  CAP  CAA '
 2  2 . Vậy P2 AA '  P3 AA ' nên AA ' là trung trực

của P2 P3 .
Tƣơng tự BB ', CC ' lần lƣợt là trung trực của P1 P3 và

P1 P2 nên chúng đồng quy tại tâm đƣờng tròn ngoại
tiếp tam giác P1 P2 P3 .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đƣờng thẳng d : x  2 y  5  0 . Tìm ảnh của d qua
phép đối xứng trục có trục là
a) Ox
A. 2x  2 y  5  0

B. x  y  5  0

C. x  2 y  5  0

D. x  2 y  5  0

B. 2x  2 y  5  0

C. x  2 y  5  0

D. x  2 y  5  0

b) Oy
A. x  2 y  5  0

Lời giải:
9. a) x  2 y  5  0

b) x  2 y  5  0

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 20


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đƣờng thẳng d : 2x  y  3  0 và đƣờng tròn

C  :  x  2    y  3
2

2

 4.

a) Tìm ảnh của d qua phép đối xúng trục Ox .
A. x  y  3  0

B. 2x  3y  3  0

C. 2x  y  4  0

D. 2x  y  3  0

b) Tìm ảnh của  C  qua phép đối xúng trục Ox .
A.  x  3    y  3   4
2

 x  2   y  2
2

2

2

B.

4

C.  x  2    y  1  4
2

2

D.  x  2    y  3   4
2

2

c) Viết phƣơng trình đƣờng tròn  C '  , ảnh của  C  qua phép đối xứng qua đƣờng

thẳng d .
2

2

2


8 
1
A.  C '  :  x     y    4
5 
5

2

2


1 
1
B.  C '  :  x     y    4
5 
5


2

2


18  
11 
C.  C '  :  x     y    4
5  
5


2


18  
11 
D.  C '  :  x     y    4
5 
5

Lời giải:

10.
a) 2x  y  3  0
b)  x  2    y  3   4
2

2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 21


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM

b)  C  có tâm I  2; 3  , đƣờng thẳng qua I vuông góc với d là d1 : x  2 y  8  0 . Giao

 14 13 
điểm của d & d1 là M  ;  .Gọi I ' là ảnh của I qua phép đối xứng trục d thì M là
 5 3
2

2

 18 11 

18  
11 
trung điểm của II '  I '  ;  . Phƣơng trình  C '  :  x     y    4 .
5  
5
 5 5

11.
a) Cho đƣờng thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía của d . Xác định điểm M trên
d sao cho MA  MB nhỏ nhất.

b) Cho x  2 y  2  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T

 x  3   y  5
2

2



A.6

 x  5   y  7 
2

2

.

B.5

C.4

D.3

Lời giải:
11. a) Gọi A ' đối xứng với A qua d , ta có
MA  MA '  MA  MB  MA ' MB  A ' B . Đẳng

thức xảy ra khi M thuộc đoạn A ' B mà
M  d  M  A' B  d .

B
A

Vậy min  MA  MB  A ' B khi M  A ' B  d .

d

b) Xét M  x; y   M  d : x  2 y  2  0
và A  3; 5  , B  5; 7  , ta có T  MA  MB .

M
A'

Do  3  2.5  2  5  2.7  2   0 nên A, B nằm cùng
phía đối với d .
Gọi A ' đối xứng với A qua d thì A '  5;1 . Phƣơng
trình A ' B : x  5  0 .

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 22


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
Ta có MA  MB  MA ' MB  A ' B  6 .

 7
Đẳng thức xảy ra khi M  A ' B  d  M  5;  .
 2
12. Cho A  2;1 . Tìm điểm B trên trục hoành và điểm C trên đƣờng phân giác góc
phần tƣ thứ nhất để chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.

5 5
A. B ' 1; 0  và C '  ; 
4 4

5 

B. B '  ; 0  và
3 

5 5
C ' ; 
4 4
5 
C. B '  ; 0  và C '  1;1
3 

D. B ' 1; 0  và

C '  1;1

Lời giải:

y

.
12. Gọi B ', C ' lần lƣợt là ảnh của A qua các phép
đối xứng trục có trục là Ox, Oy , khi đó ta có

C'

2

B '  2; 1 , C ' 1; 2  .

1

Ta có AB  BB ', AC  AC ' nên chu vi tam giác

O

y=x

A

C
1 B

2

ABC là 2p  AB  BC  CA

 AB ' BC  CC '  B ' C '  10

B'

Đẳng thức xảy ra khi B và C là các giao điểm
của B ' C ' với Ox và đƣờng phân giác góc phần
tƣ thứ nhất, từ đó không khó khăn gì ta tìm đƣợc

5 
5 5
B '  ; 0  và C '  ;  .
3 
4 4

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 23

x


NGUYỄN BẢO VƯƠNG BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
A. CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Định nghĩa.
Cho điểm I . Phép biến hình biến điểm I thành chính nó và biến mỗi điểm M khác I
thành điểm M ' sao cho I là trung điểm của MM ' đƣợc gọi là phép đối xứng tâm I .
Phép đối xứng tâm I đƣợc kí hiệu là ÐI .
Vậy ÐI  M   M '  IM  IM '  0





Nếu ÐI  H    H  thì I đƣợc gọi là tâm đối xứng của hình  H  .
2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm.
Trong mặt phẳng Oxy cho I  a; b  , M  x; y  , gọi M '  x '; y '  là ảnh của M qua phép đối

 x '  2a  x
xứng tâm I thì 
 y '  2b  y
3. Tính chất phép đối xứng tâm.







Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Biến một đƣờng thẳng thành đƣờng thẳng.
Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho.
Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
Biến đƣờng tròn thành đƣờng tròn có cùng bán kính.
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM.
Phƣơng pháp:
Sử dụng biểu thức tọa độ và các tính chất của phép đối xứng tâm.
Các ví dụ

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 24