Luận văn thạc sĩ toán học chỉ số véc tơ và ứng dụng trong nghiên cứu ổn định phương trình vi phân

Mục lục
Mở đầu

3

1 Vectơ đặc trưng của nghiệm của hệ phương trình vi phân
đại số

6

1.1.Vectơ đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Số mũ Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Vectơ đặc trưng của hàm số . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3. Vectơ đặc trưng của ma trận hàm . . . . . . . . . . . 19
1.2. Phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.1. Chỉ số của cặp ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2. Phương trình vi phân đại số tuyến tính . . . . . . . . 24
2 Vectơ đặc trưng của nghiệm của hệ phương trình vi phân
đại số chỉ số 1

29

2.1. Vectơ đặc trưng của nghiệm của hệ phương trình vi phân đại
số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Hệ cơ bản chuẩn tắc của phương trình vi phân đại số tuyến
tính chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1


2.3. Hệ chính qui cấp m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân và phương
trình vi phân đại số

43

3.1. Sự ổn định của nghiệm tầm thường của phương trình vi phân
thường nhờ khái niệm vectơ trên . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2. Tính ổn định tiệm cận mũ của nghiệm tầm thường của phương
trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3. Định nghĩa vectơ đặc trưng ổn định (cấp m) của hệ vi phân
đại số tuyến tính chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Kết luận

81

Tài liệu tham khảo

83

2

MỞ ĐẦU
Năm 1892, Lyapunov đã đưa ra và sử dụng khái niệm số mũ đặc trưng
để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến
tính. Khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov đã được Hoàng Hữu Đường
mở rộng thành khái niệm số mũ vectơ đặc trưng (chỉ số vectơ đặc trưng)
để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân trong trường
hợp tới hạn vào những năm 1965 - 1982.
Bắt đầu từ những năm 1980, do nhu cầu thực tiễn và phát triển lý
thuyết, phương trình vi phân đại số đã được chú ý và nghiên cứu sâu rộng.
Nhiều tác giả Việt Nam: GS. Phạm Kỳ Anh, GS. Nguyễn Đình Công, GS.
Nguyễn Hữu Dư, PGS. Vũ Hoàng Linh, TS. Lê Công Lợi, GS. Vũ Ngọc
Phát, GS. Vũ Tuấn... đã tham gia nghiên cứu và giải quyết các vấn đề
khác nhau của phương trình vi phân đại số.
Một câu hỏi được đặt ra một cách khá tự nhiên là: Có thể sử dụng lý
thuyết số mũ đặc trưng của Lyapunov để nghiên cứu các tính chất định
tính của phương trình vi phân đại số? Vấn đề này đã được Nguyễn Đình
Công và Hoàng Nam nghiên cứu, giải quyết trong [3] và [5], [6].
Trong luận văn, chúng tôi đặt vấn đề sử dụng khái niệm vectơ đặc trưng
của Hoàng Hữu Đường để nghiên cứu hệ phương trình vi phân đại số. Các
vấn đề luận văn quan tâm là:

3


1) Đưa ra khái niệm vectơ đặc trưng của nghiệm của phương trình vi
phân đại số tuyến tính chính qui chỉ số 1; trình bày mối quan hệ giữa vectơ
đặc trưng của nghiệm của phương trình vi phân đại số và vectơ đặc trưng
của nghiệm của phương trình vi phân thường tương ứng.
2) Hệ cơ bản chuẩn tắc của phương trình vi phân đại số tuyến tính

chính qui chỉ số 1.
3) Hệ chính qui cấp m.
4) Định nghĩa sự ổn định (cấp m) của các vectơ đặc trưng của phương
trình vi phân đại số thuần nhất đối với các nhiễu động tuyến tính và phi
tuyến. Các kết quả nhận được trong luận văn tương tự các kết quả tương
ứng trong [3].
Chúng tôi cũng ý thức được rằng các kết quả trong luận văn còn ở giai
đoạn sơ khai. Tuy nhiên theo cảm nhận của chúng tôi đây là đề tài đáng
được quan tâm.
Luận văn gồm phần Mở đầu, 3 chương, phần Kết luận và các tài liệu
tham khảo.
Trong chương 1, chúng tôi nhắc lại khái niệm số mũ đặc trưng; trình
bày lại khái niệm vectơ đặc trưng của hàm số và ma trận hàm cùng các
chứng minh một cách chi tiết một số tính chất của vectơ đặc trưng. Đồng
thời, chúng tôi cũng trình bày lại một số kiến thức cơ bản về phương trình
vi phân đại số tuyến tính nhằm phục vụ cho chương sau.
Chương 2 chúng tôi đưa ra khái niệm vectơ đặc trưng của nghiệm và
phổ của hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1. Đồng thời cũng đưa ra
khái niệm hệ cơ bản chuẩn tắc của phương trình vi phân đại số tuyến tính
chỉ số 1, hệ chính qui cấp m dựa trên sự mở rộng các khái niệm tương ứng

4


của hệ phương trình vi phân tuyến tính trong [2].
Trong chương 3, chúng tôi trình bày lại khái niệm vectơ trên được dùng
để nghiên cứu sự ổn định của hệ phương trình vi phân phi tuyến trong
trường hợp tới hạn của hệ tuyến tính tương ứng. Đồng thời cũng trình
bày lại khái niệm số mũ trung tâm của phương trình vi phân đại số tuyến
tính được dùng để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận mũ của nghiệm của

phương trình vi phân tuyến tính tương ứng. Và phần cuối cùng chúng tôi
đưa ra các khái niệm: vectơ đặc trưng của phương trình vi phân đại số
tuyến tính thuần nhất chính qui chỉ số 1 ổn định (cấp m) đối với các nhiễu
động tuyến tính và nhiễu động phi tuyến.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS. Tạ Duy Phượng,
người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến
thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới ban lãnh đạo Viện Toán
học, Viện Khoa học và công nghệ Việt Nam đã tạo điều kiện thuận lợi
trong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành tốt luận văn.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến những người bạn và những
người thân trong gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên, giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, ngày 20 tháng 8 năm 2011
Người thực hiện
Nguyễn Thị Khuyên

5


Chương 1
Vectơ đặc trưng của nghiệm của hệ
phương trình vi phân đại số
Trong chương này ta nhắc lại một số khái niệm, tính chất của số mũ
Lyapunov; vectơ đặc trưng của một vectơ hàm hoặc của một ma trận hàm;
các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân đại số tuyến tính.

1.1. Vectơ đặc trưng
Năm 1982 trong luận án Tiến sĩ khoa học của mình, Hoàng Hữu Đường
đã đưa ra khái niệm vectơ đặc trưng là mở rộng khái niệm số mũ đặc trưng

Lyapunov và áp dụng vectơ đặc trưng nghiên cứu tính ổn định nghiệm của
hệ phương trình vi phân trong trường hợp tới hạn. Trước tiên chúng ta
nhắc lại khái niệm số mũ Lyapunov (số mũ đặc trưng) của hàm số, ma
trận hàm và một số tính chất cơ bản của số mũ Lyapunov.
1.1.1. Số mũ Lyapunov
Xét hàm số thực f (t) = eαt , trong đó α là số thực. Số α đặc trưng cho
tốc độ tăng trưởng của hàm eαt : Nếu α > 0 thì eαt → +∞ khi t → +∞;

6


nếu α = 0 thì eαt = 1 là hằng số với mọi t; nếu α < 0 thì eαt → 0 khi

t → +∞. Số α được gọi là số mũ đặc trưng của hàm eαt .
Từ nay về sau, vì ta chỉ xét t → +∞ nên để cho gọn, khi t → +∞ ta
chỉ viết t → ∞.

1
ln |f (t)|. Như vậy, để
t
so sánh sự tăng trưởng của hàm |f (t)| với hàm mũ, điều cần thiết là phải
Ta có thể viết |f (t)| = eα(t).t , trong đó α(t) =

xem xét giá trị của hàm α(t), trên cơ sở đó chúng ta đưa vào khái niệm
số mũ đặc trưng của hàm số như sau.
Định nghĩa 1.1.1. [3] Giả sử f (.) là hàm nhận giá trị thực xác định trên
khoảng J = [t0 , +∞). Số (hoặc giá trị +∞, −∞) xác định bởi công thức

1
χ(f ) := lim ln |f (t)|

t→∞ t
được gọi là số mũ Lyapunov (số mũ đặc trưng) của hàm số f (.).
Nói chung số mũ Lyapunov có thể hữu hạn hoặc vô hạn, nhưng sau này
chúng ta chủ yếu xét trường hợp số mũ Lyapunov là hữu hạn. Chúng ta
qui ước ln 0 = −∞, do đó nếu f (t) ≡ 0 thì χ(f ) = −∞.
Định lý 1.1.1. [4] Nếu χ(f ) = α = ±∞ thì
1) Với mỗi

> 0 ta có f (t) = o e(α+ )t , nghĩa là
|f (t)|
= 0;
t→∞ e(α+ )t
lim

(1.1)

|f (t)|
= ∞, nghĩa là tồn tại dãy tk → ∞ sao cho
t→∞ e(α− )t

2) lim

|f (tk )|
= ∞.
tk →∞ e(α− )tk
lim

7

(1.2)

Ngược lại, nếu có một số α nào đó mà với mỗi

> 0 bất kỳ ta đều có

(1.1) thì χ(f ) ≤ α; nếu có (1.2) thì χ(f ) ≥ α. Cuối cùng, nếu có cả hai
công thức (1.1) và (1.2) thì χ(f ) = α.
Như vậy, nếu χ(f ) = α thì khi t → ∞ hàm số y = |f (t)| tăng chậm
hơn bất kỳ một hàm mũ y1 = e(α+ )t với

> 0 bất kỳ. Hơn nữa, hàm

|f (t)|e−(α+ )t → 0 và theo một dãy tk → ∞ nó tăng nhanh hơn hàm
y2 = e(α− )t và hàm |f (t)|e(−α+ )t không bị chặn.
Định nghĩa 1.1.2. [4] Hàm f (t) được gọi là có số mũ đặc trưng đúng nếu
1
tồn tại giới hạn hữu hạn χ(f ) = lim ln |f (t)|.
t→∞ t
Nếu hàm số f (.) có số mũ đặc trưng đúng thì số mũ đặc trưng của tích
các hàm số f (.) và g(.) xác định trên J bằng tổng các số mũ Lyapunov
của các hàm số đó, nghĩa là

χ(f g) = χ(f ) + χ(g).
Sau đây chúng ta nhắc lại một số tính chất cơ bản của số mũ đặc trưng.
Giả sử f1 (.), . . . , fm (.) là các hàm số nhận giá trị thực xác định trên

J = [t0 , ∞), khi đó
i) χ(f ) = χ(|f |).
ii) χ(cf ) = χ(f ) với mọi số thực c = 0.

m

iii) Với c1 , . . . , cm là các hằng số thực bất kỳ thì χ

ci fi
i=1

và nếu tồn tại ck = 0 sao cho χ(fk ) > χ(fj ) với mọi
m

j = k, (j = 1, . . . , m; 1 ≤ k ≤ m) thì χ

ci fi
i=1

m

iv) χ

m

fi
i=1

≤

χ(fi ).
i=1

8

= χ(fk ).

≤ max χ(fi )
1≤i≤m


Giả sử F (.) = [fjk (.)] là n × q ma trận hàm xác định trên J .
Định nghĩa 1.1.3. [3] Số (hoặc giá trị ±∞) χ(F ) := max χ(fjk (t)) được
j,k

gọi là số mũ Lyapunov của ma trận hàm F (.).
Số mũ Lyapunov của ma trận hàm cũng có một số tính chất tương tự
số mũ Lyapunov của vectơ hàm.

i) Nếu F (.) là ma trận vuông thì χ(F T ) = χ(F ) với F T (t) là ma trận
chuyển vị của ma trận F (t) với t ∈ J .

ii) χ(F ) = χ(||F ||).
ii) Nếu F1 (.), . . . , Fm (.) là các n × n ma trận hàm xác định trên
J = [t0 , +∞) thì

m

χ

Fi

≤ max χ(Fi ),
i

i=1
m

χ

m

Fi

≤

i=1

χ(Fi ).
i=1

Dưới đây là trình bày chi tiết khái niệm vectơ đặc trưng của hàm số,
của ma trận hàm và một số tính chất của chúng (xem [2]). Khái niệm vectơ
đặc trưng là sự mở rộng khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov.
1.1.2. Vectơ đặc trưng của hàm số
Định nghĩa 1.1.4. ([2], trang 5) Xét một không gian tuyến tính A (trên
R) và một ánh xạ tùy ý χ : A → ∆ trong đó ∆ là một tập có thứ tự ( ).
Đặt

χ−1 (α),

Aδ :=
α δ

trong đó χ−1 (α) được gọi là thớ trên α ∈ ∆. Các thớ χ−1 (α) được sắp thứ
tự theo α.

9


Tập các Aδ , δ ∈ ∆ lập nên một cái lọc của không gian A

Aα ⊆ Aβ

với α ≺ β,

Aα = A.
α∈∆

Ta giả sử các không gian Aα là các không gian con tuyến tính. Khi đó ánh
xạ χ được gọi là ánh xạ mũ.
Bổ đề 1.1.1. [2] Ánh xạ χ là ánh xạ mũ khi và chỉ khi thỏa mãn hai điều
kiện
i) Với mọi x ∈ Aα , c = 0, χ(cx) = χ(x).
ii) Với mọi x1 , x2 ∈ Aα , χ(x1 + x2 )

max(χ(x1 ), χ(x2 )).

Chứng minh. Giả sử χ là ánh xạ mũ và χ(x) = δ, χ(cx) = β với mọi

x ∈ Aα , mọi số thực c = 0, mọi δ, β ∈ ∆. Ta chứng minh δ = β . Vì
χ(x) = δ nên x ∈ Aδ . Do đó cx ∈ Aδ hay χ(cx) δ . Suy ra β
1
χ(cx) = β nên cx ∈ Aβ . Suy ra x = (cx) ∈ Aβ . Do đó χ(x)

c
δ β . Vậy ta có (i).

δ . Vì
β hay

Giả sử χ(x1 ) = α1 , χ(x2 ) = α2 và α1 ≺ α2 với mọi x1 , x2 ∈ Aα . Vì

α1 ≺ α2 nên Aα1 ⊆ Aα2 . Suy ra x1 ∈ Aα2 . Do đó x1 + x2 ∈ Aα2 . Suy ra
χ(x1 + x2 )

α1 . Vậy ta có (ii).

Ngược lại, giả sử χ thỏa mãn (i) và (ii), ta chứng minh χ là ánh xạ
mũ, tức là chứng minh Aα là không gian con tuyến tính với mọi α ∈ ∆.
Thật vậy, lấy x ∈ Aα , c ∈ R, c = 0. Khi đó χ(cx) = χ(x)

α. Suy

ra cx ∈ Aα . Do đó, nếu x ∈ Aα thì −x ∈ Aα . Ta có 0 = x − x và

χ(0)
χ(x1 )

max(χ(x), χ(−x))
α, χ(x2 )

α. Do đó 0 ∈ Aα . Với mọi x1 , x2 ∈ Aα ta có

α. Theo (ii), χ(x1 + x2 )

Suy ra x1 + x2 ∈ Aα .

10

max(χ(x1 ), χ(x2 ))

α.


Định nghĩa 1.1.5. [2] Xét một cơ sở đại số Γ của A sao cho bao tuyến
tính L thỏa mãn L(Γ ∩ Aα ) = Aα . Khi đó Γ được gọi là cơ sở chuẩn tắc.
Xét ánh xạ α(m) : E n1 → Rm+1 biến mỗi x(t) thành α(m) (x(t)), trong
đó E n1 là không gian nghiệm của (2.2), Rm+1 được sắp thứ tự theo hình
nón K (được định nghĩa như trong chương 1). Do các tính chất (1.1.2) và
(1.1.3) của các vectơ đặc trưng ta thấy rằng α(m) là ánh xạ mũ. Dưới đây
ta xét một dạng đặc biệt của ánh xạ mũ và ta xét x : [t0 , +∞) → R.
Giả sử tồn tại số hữu hạn α0 sao cho

ln |x(t)|
= α0 .
t→∞
t
lim

Khi đó, theo định nghĩa lim với mọi

ln |x(t)|
< α0 +
t

Do đó |x(t)| < a0 e(α0 + )t với

> 0 tồn tại số T ( ) sao cho
với mọi t > T ( ).

> 0 và a0 ≥ 1 là hằng số bất kỳ.

Giả sử tồn tại giới hạn trên

ln{|x(t)|e−α0 t }
lim
= α1 ,
t→∞
ln t
với α1 hữu hạn. Khi đó, |x(t)| < a1 eα0 t tα1 + với

> 0 và a1 ≥ 1 là hằng

số bất kỳ.
Một cách tổng quát giả sử tồn tại số hữu hạn αm sao cho

ln{|x(t)|e−α0 t t−α1 (ln t)−α2 · · · (lnm−2 t)−αm−1 }
= αm ,
t→∞
lnm t
lim

trong đó lnj t = ln(lnj−1 t) với j = 3, 4, 5, . . . , m. Khi đó,

|x(t)| < am eα0 t tα1 · · · (lnm−2 t)αm−1 (lnm−1 t)αm +

với

> 0 và am ≥ 1 là hằng số bất kỳ.
Từ đây ta đi đến định nghĩa sau.

11


Định nghĩa 1.1.6. [2] Vectơ α(m) (x) = (α0 , α1 , . . . , αm ) được gọi là vectơ
đặc trưng cấp m (chỉ số vectơ cấp m) của x(t).
Nhận xét 1.1.1. Khi m = 0 thì α(0) (x) = α0 chính là số mũ đặc trưng
Lyapunov của x.
Ví dụ 1. Hàm x(t) = t có vectơ đặc trưng α(m) (x(t)) = (0, 1, 0, . . . , 0).
Ví dụ 2. Hàm x(t) = eαt có vectơ đặc trưng α(m) (eαt ) = (α, 0, 0, . . . , 0).
Trong Rm+1 , xét tập K các vectơ γ (m) = (γ0 , γ1 , . . . , γm ), trong đó

γk = 0 với k < j và γj > 0, γj+1 , . . . , γm bất kỳ.
Với mọi x ∈ K và số thực dương λ nào đó ta có

λγ (m) = λ(γ0 , γ1 , . . . , γm ) = (λγ0 , λγ1 , . . . , λγm )
và λγk = 0 với k < j , λγj > 0, λγj+1 , . . . , λγm bất kì. Do đó K là một
hình nón chuẩn tắc (tức thành phần đầu tiên khác không là dương), và
Rm+1 trở thành một không gian được sắp thứ tự (toàn phần) theo nón K .
Xét tập {α(m) } được sắp thứ tự như sau: Cho
(m)

α1
(m)

α1

(m)

≺ α2

(m)

= (α01 , α11 , . . . , αm1 ), α2

= (α02 , α12 , . . . , αm2 ),

nếu và chỉ nếu tồn tại j ≤ m sao cho αi1 − αi2 = 0, với

i = 0, 1, . . . , j − 1 và αj2 − αj1 > 0.
(m)

Ký hiệu α1

(m)

α2

(m)

có nghĩa là α1

(m)

≺ α2

(m)

hoặc α1

(m)

= α2 .

Ký hiệu θ là phần tử không của Rm . Dưới đây ta xét một số tính chất
của vectơ đặc trưng đối với hàm số (xem [2], trang 8 - 17).
Tính chất 1.1.1. α(m) (|x(t)|) = α(m) (x(t)).

12


Chứng minh. Ta có

ln |(|x(t)|)|
ln |x(t)|
= lim
= α0 (x(t)).
t→∞
t→∞
t
t
ln{|(|x(t)|)|e−α0 t }
ln{|x(t)|e−α0 t }
= lim
= α1 (x(t)).
α1 (|x(t)|) = lim

t→∞
t→∞
ln t
ln t
Tương tự ta có αi (|x(t)|) = αi (x(t)), với i = 2, 3, . . . , m và suy ra điều
α0 (|x(t)|) = lim

phải chứng minh.
Tính chất 1.1.2. α(m) (cx) = α(m) (x) với mọi c ∈ R, c = 0.
Chứng minh. Giả sử α(m) (x) = (α0 , α1 , . . . , αm ). Khi đó ta có

|x(t)| < a0 e(α0 + )t
và tồn tại dãy tn → ∞ sao cho

ln |x(tn )|
= α0 .
tn →∞
tn
lim

Vậy|cx(t)| ≤ |c||x(t)| < |c|a0 e(α0 + )t = be(α0 + )t , b = |c|a0 . Suy ra

ln |cx(t)| ln b
≤
+ α0 + ≤ α0 + 2
t
t
với t đủ lớn. Vì

bất kỳ nên

ln |cx(t)|
≤ α0 .
t
Mặt khác, tồn tại tn → ∞ sao cho

ln |cx(tn )|
ln |c|
ln |x(tn )|
= lim
+ lim
= α0 .
tn →∞
tn →∞ tn
tn →∞
tn
tn
lim

Chứng tỏ α0 (cx) = α0 (x). Chứng minh tương tự ta có αi (cx) = αi (x) với

i = 1, 2, . . . , m.
Tính chất 1.1.3.
p

α

(m)

max α(m) (xi ),

xi

i

i=1

(1.3)

trong đó max của các vectơ α(m) (xi ) được hiểu theo thứ tự của nón K .

13


Chứng minh. Giả sử max α(m) (xi ) = (α0 , α1 , . . . , αm ) = α(m) .
i

Nếu α0 (xi ) ≤ α0 với i ∈ {1, . . . , p} nào đó thì với mọi

> 0 ta có

0

|xi (t)| < ae(α0 + 0 )t .
Suy ra

p

p

|xi (t)| < pae(α0 + 0 )t = be(α0 + 0 )t ,

xi (t) ≤
i=1

i=1

trong đó b = pa. Do đó,
p

p

ln

p

i=1

xi (t) = lim

α0
i=1
p

Nếu α0

xi

< α0 thì α(m)

i=1

p

≤ α0 .

t

t→∞

α(m) .

xi
i=1

p

Nếu α0

i=1

≤ lim

t

t→∞

|xi (t)|

ln

xi (t)

p

xi

p

= α0 thì ta xét α1

xi . Vì α0

i=1

xi

i=1

= α0 nên

i=1

ta có
p
p

i=1

≤ lim

ln t

t→∞

|xi |e−α0 t

ln

i=1

xi (t) = lim

α1

p

xi e−α0 t

ln

t→∞

i=1

ln t

≤ α1 .

p

Nếu α1

xi

< α1 thì ta có điều phải chứng minh.

xi

= α1 thì ta xét α2

i=1
p

Nếu α1

p

xi .
i=1

i=1
p

Một cách tổng quát nếu αj

xi

= αj , j = 0, 1, . . . , l − 1, l ≤ m thì

i=1
p

tương tự ta có αl

p

xi

≺ αl hoặc αl

i=1

xi
i=1

phải chứng minh.

14

= αl . Do đó ta có điều


Nếu α0 (xi ) = α0 với mọi i = 1, . . . , p thì ta xét α1 (xi ). Nếu α1 (xi ) ≤ α1
ta làm như trên. Nếu α1 (xi ) = α1 với mọi i = 1, . . . , p thì ta xét α2 (xi ).
Một cách tổng quát, nếu αj (xi ) = αj , j = 1, . . . , l − 1 thì ta xét αl (xi )
với l ≤ m và làm tương tự như trên ta có điều phải chứng minh.
Chú ý 1.1.1. Nếu chỉ có một số hạng xl có α(m) (xl ) = α(m) thì (1.3) xảy
ra dấu bằng. Thật vậy, theo (1.3) ta có
p

α

(m)

xi

α(m) .

(1.4)

i=1

Ta chứng minh α(m)

p

α(m)

xi . Nếu α0 (xi ) < α0 với mọi
i=1

i = 1, . . . , p, i = l và α0 (xl ) = α0 thì
ln |xl (t)|
= α0 ,
t→∞
t
lim

do đó tồn tại dãy tk → ∞ sao cho

ln |xl (tk )|
= α0 .
tk →∞
tk
lim

Suy ra với mọi

> 0, tồn tại T ( ) sao cho với mọi t > T ( ) ta có
1
ln |xl (tk )| > α0 − .
tk

Do đó |xl (tk )| > e(α0 − )tk hay |xl (tk )|e(−α0 + )tk → ∞ khi tk → ∞. Ta có
p

p

xi (tk )

e

(−α0 + )tk

(−α0 + )tk

≥ |xl (tk )|e

i=1

xi (tk ) e(−α0 + )tk .

−
i=1,i=l

(1.5)
Vì số hạng đầu ở vế phải (1.5) tiến đến vô cùng và số hạng thứ hai tiến
đến không nên

p

xi (tk )

e(−α0 + )tk → ∞.

i=1

15


Do đó

p

> e(α0 − )tk .

xi (tk )
i=1

Suy ra
p

p

ln

xi (t)
i=1

α0 ≤ lim

xi (t)
i=1

≤ lim

t

t→∞

ln
t

t→∞

p

= α0

xi (t) .
i=1

p

Nếu α0 < α0

xi

thì kết hợp với (1.4) ta có điều phải chứng minh.

xi

thì ta xét α1 . Làm tương tự như trên ta cũng có

i=1
p

Nếu α0 = α0
i=1
p

α1 ≤ α1

xi .
i=1
p

xi , j = 0, 1, . . . , l − 1, l ≤ m,

Một cách tổng quát, nếu αj = αj
i=1
p

thì αl ≤ αl

xi . Kết hợp với (1.4) ta có điều phải chứng minh.
i=1

Tính chất 1.1.4. Nếu |x(t)| ≤ |y(t)| với mọi t thì α(m) (x(t))

α(m) (y(t)).

Chứng minh. Ta có

ln |x(t)|
ln |y(t)|
≤ lim
= α0 (y(t)).
t→∞
t→∞
t
t

α0 (x(t)) = lim

Nếu α0 (x(t)) < α0 (y(t)) thì ta có điều phải chứng minh.
Nếu α0 (x(t)) = α0 (y(t)) thì

ln{|x(t)|e−α0 (x)t }

ln{|y(t)|e−α0 (y)t }
α1 (x(t)) = lim
≤ lim
= α1 (y(t)).
t→∞
t→∞
ln t
ln t
Một cách tổng quát nếu αj (x) = αj (y), j = 0, 1, . . . , l − 1, l ≤ m thì

αl (x) ≤ αl (y) và ta có điều phải chứng minh.

16


k

k

Định lý 1.1.2. [2] α(m)

α(m) (fi (t)).

fi (t)
i=1

i=1

Chứng minh. Ta có
k

ln

k

α0

fi (t)
i=1

fi (t) = lim
i=1

≤

t

t→∞

k

i=1

ln |fi |
=
lim
t→∞
t

k

α0 (fi (t)).
i=1

k

k

Nếu α0

α0 (fi (t)) thì ta có điều phải chứng minh. Nếu

fi (t) <
i=1

i=1

k

α0

k

fi (t) =
i=1

α0 (fi (t))
i=1

thì ta có

k

α1

fi (t) e−α0 t

ln

k

fi (t)

i=1

= lim

≤

ln t

t→∞

i=1

k

ln{|fi |e−α0 t }
t→∞
ln t
lim

i=1

k

=

α1 (fi (t)).
i=1

Một cách tổng quát nếu
k

αj

k

fi (t) <
i=1

j = 0, 1, . . . , l − 1, l ≤ m

i=1
k

k

fi (t) <

thì αl

αj (fi (t)),

i=1

αl (fi (t)) và ta có điều phải chứng minh.
i=1

Hệ quả 1. [2] Nếu f (t) = 0 với t > T thì α(m) (f (t)) + α(m)

1
f (t)

trong đó θ là phần tử không của Rm .
Hệ quả 2. [2] Nếu α(m) (ck (t))

θ, thì

m

α

(m)

ck (t)fk (t)
k=1

max α(m) (fk (t)).
k

Đặc biệt nếu ck (t) là hàm giới nội thì bất đẳng thức trên đúng.

17

θ,


Định nghĩa 1.1.7. [2] Ta nói α(m) (x(t)) là vectơ đặc trưng đúng của x(t)
nếu trong định nghĩa của vectơ đặc trưng, thay vì các lim (giới hạn trên)
ta có các lim (giới hạn đúng).
Định lý 1.1.3. [2] Điều kiện cần và đủ để α(m) (f (t)) = −α(m)

1
f (t)

là

f (t) có vectơ đặc trưng đúng.
Chứng minh. Giả sử α(m) (f (t)) = −α(m)

1
f (t)

= (α0 , α1 , . . . , αm ). Khi

đó

ln f (t)
= − lim
t→∞

t→∞
t

α0 = lim

ln

1
− ln |f (t)|
ln |f (t)|
f (t)
= − lim
= lim
.
t→∞
t
t
t
t→∞

ln |f (t)|
= α0 . Tương tự ta có
t→∞
t

Suy ra tồn tại lim

1 −α0 t
e
ln{ f (t) e−α0 t }

f (t)
= − lim
= lim
t→∞
t→∞
ln t
ln t
−α0 t
− ln{|f (t)|e
}
ln{|f (t)|e−α0 t }
= − lim
= lim
,...,
t→∞
ln t
ln t
t→∞
ln

α1

αj+1

ln{ f (t) e−α0 t t−α1 (ln t)−α2 · · · (lnj t)−αj+1 }
= lim
t→∞
lnj+1 t
−α0 t −α1
ln{ f (t) e

t (ln t)−α2 · · · (lnj t)−αj+1 }
= lim
,
lnj+1 t
t→∞

với j = 0, 1, . . . , m − 1. Vậy ta có điều phải chứng minh. Điều kiện đủ ta
suy ra từ định nghĩa của vectơ đặc trưng đúng.
Hệ quả 3. [2] Nếu α(m) (f ) là vectơ đặc trưng đúng thì

α(m) (f g) = α(m) (f ) + α(m) (g)
với mọi g(t) ∈ C[t0 , ∞).
Dưới đây sẽ là trình bày chi tiết về vectơ đặc trưng của ma trận hàm.

18


1.1.3. Vectơ đặc trưng của ma trận hàm
Định nghĩa 1.1.8. [2] Giả sử A(t) = [ajk (t)] là ma trận cấp n × q xác
định trên [t0 , ∞). Đặt

α(m) (A(t)) = max α(m) (ajk (t)).
j,k

t t2 . Tính số mũ đặc trưng cho từng số hạng của
Ví dụ 3. Cho A = −1
t
ma trận A ta được
α(m) (t) = (0, 1, 0, . . . , 0), α(m) (−1) = θ, α(m) (t2 ) = (0, 2, 0, . . . , 0).
Vậy α(m) (A(t)) = (0, 2, 0, . . . , 0).

Vectơ đặc trưng của ma trận hàm cũng có một số tính chất tương
tự như vectơ đặc trưng của hàm số (xem[2], trang 17). Dưới đây ta xét

||A|| = max
j

|ajk |.
k

Tính chất 1.1.5. α(m) (||A(t)||) = α(m) (A(t)).
Chứng minh. Vì |ajk (t)| ≤ ||A(t)|| với mọi t nên

α(m) (ajk (t)) = α(m) (|ajk (t)|)
Suy ra max α(m) (ajk (t))

α(m) (||A(t)||).

α(m) (||A(t)||). Do đó

j,k

α(m) (A(t))
Mặt khác có ||A(t)|| ≤

α(m) (||A(t)||).

|ajk (t)|. Suy ra
j,k

α(m) (||A(t)||)

α(m)

max α(m) (ajk (t)) = α(m) (A(t)).

|ajk |(t)

j,k

j,k

Vậy ta có điều phải chứng minh.

19


Tính chất 1.1.6.
p

α(m)

max α(m) (Ai (t)).

Ai (t)

(1.6)

i

i=1

Chứng minh.
p

α

p

(m)

Ai (t)

α

(m)

p

Ai (t)

i=1

max α

α

(m)

i=1
(m)

i

(||Ai (t)||) = max α

||Ai (t)||
i=1
(m)

i

(Ai (t)).

Chú ý 1.1.2. Nếu chỉ có một ma trận Ai (t) = [aijk (t)] với i ∈ {1, . . . , p}
có vectơ đặc trưng lớn nhất thì (1.6) xảy ra dấu bằng. Thật vậy, giả sử

α(m) A1 (t)

α(m) (Ai (t)) với mọi i = 1. Vì |aijk (t)| ≤ ||Ai (t)|| nên

α(m) (aijk (t)) = α(m) (|aijk (t)|)

α(m) (||Ai (t)||) = α(m) (Ai (t))

α(m) (A1 (t)) = max α(m) (a1jk (t))
j,k

với mọi i = 1. Suy ra chỉ có a1jk (t) có vectơ đặc trưng đạt max. Do đó

α(m)

p
i=1

aiij (t) = max(a1jk (t)). Đặt A(t) =
j,k

p

Ai (t) = [ajk (t)]. Ta có
i=1
p

α

(m)

(A(t)) = max α

(m)

(ajk (t))

= max α

(m)

(a1jk (t))

j,k

aijk (t)
i=1

j,k

Vậy α(m) (A(t))

α

(m)

=α

(m)

(A1 (t)).

α(m) (A1 (t)). Kết hợp với (1.6) ta có điều phải chứng

minh.
Tính chất 1.1.7. α(m)

n

n

Ai (t)
i=1

i=1

20

α(m) (Ai (t)).


n

n

Ai (t) =

Chứng minh. Đặt A(t) =
i=1

j,k i=1

n

α

(m)

(A(t))

max α

(m)

j,k

n

aijk (t)

α(m) (aijk (t))

i=1

n

=

aijk (t) . Ta có

i=1
n

α

(m)

(|aijk (t)|)

i=1

n

α

(m)

α(m) (Ai (t)).

(||Ai (t)||) =

i=1

i=1

Từ Tính chất 1.1.5 ta đi đến định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.1.9. [2] Nếu x(t) là vectơ n chiều, ta định nghĩa

α(m) (x(t)) = α(m) (||x(t)||).

1.2. Phương trình vi phân đại số
Nhằm mục đích phục vụ cho chương sau, dưới đây chúng tôi sẽ nhắc lại
một số kiến thức cơ bản về phương trình vi phân đại số tuyến tính.
1.2.1. Chỉ số của cặp ma trận
Khái niệm chỉ số của cặp ma trận được sử dụng nhiều trong việc nghiên
cứu và phân lớp các phương trình vi phân đại số, từ đó giúp chúng ta có
thể đi sâu nghiên cứu đối với từng lớp các phương trình vi phân đại số
này. Để đưa ra khái niệm chỉ số của cặp ma trận, trước hết ta đưa ra một
số khái niệm cơ bản sau.
Định nghĩa 1.2.10. [3] Phép chiếu P ∈ L(Rn , Rn ) là một n × n - ma
trận sao cho P 2 = P . Đối với mỗi phép chiếu P ta luôn có
imP ⊕ kerP = Rn .

21

Thật vậy, với mỗi x ∈ Rn , viết x = x − P (x) + P (x). Ta có

P (x − P (x)) = P (x) − P 2 (x) = P (x) − P (x) = 0.
Suy ra (x − P (x)) ∈ kerP . Do đó x ∈ imP + kerP . Suy ra
Rn = imP + kerP.
Hơn nữa, với mỗi x ∈ imP ∩ kerP , tồn tại y ∈ Rn sao cho x = P (y) và

x = P (y) = P 2 (y) = P (x) = 0 (do x ∈ kerP ). Suy ra imP ∩ kerP = {0}.
Suy ra imP ⊕ kerP = Rn .
Ngược lại, với mỗi phân tích Rn thành tổng trực tiếp của hai không
gian con U, V , luôn tồn tại duy nhất phép chiếu P sao cho imP = U và
kerP = V . Thật vậy, vì U ⊕ V = Rn nên với mỗi {u1 , u2 , . . . , uk } độc lập
tuyến tính trong U ta luôn có thể bổ sung {uk+1 , . . . , un } độc lập tuyến
tính trong V sao cho {u1 , u2 , . . . , uk , uk+1 , . . . , un } là một cơ sở của Rn . Xét
ánh xạ tuyến tính P : Rn → Rn sao cho P (ui ) = ui với mọi i = 1, 2, . . . , k
và P (uj ) = 0 với mọi j = k + 1, . . . , n. Ánh xạ P tồn tại duy nhất. Hơn
nữa, P 2 = P . Do đó P là một phép chiếu. Rõ ràng imP = U và kerP = V .
Khi đó phép chiếu P được gọi là phép chiếu lên U dọc V .
Đặt Q := I − P . Khi đó Q là phép chiếu lên V dọc U . Thật vậy, ta có

Q2 = (I − P )2 = I − 2P + P 2 = I − P = Q. Hơn nữa, Q(ui ) = 0 với mọi
i = 1, 2, . . . , k và Q(ui ) = ui với mọi i = k + 1, . . . , n. Do đó imQ = V và
kerQ = U .
Với mỗi ma trận A ∈ L(Rn ), ta có imA + kerA là không gian con của
Rn . Ngoài ra, nếu imA ∩ kerA = {0} thì
imA + kerA = imA ⊕ kerA = Rn .

22

Hơn nữa, với k là số tự nhiên ta luôn có các hệ thức sau
kerAk ⊇ kerAk−1

và

imAk ⊆ imAk−1 .

Ngoài ra với k ∈ N, nếu kerAk−1 chứa chặt trong kerAk thì kerAl−1 chứa
chặt trong kerAl và imAl chứa chặt trong imAl−1 với mọi l ∈ N, l ≤ k . Dễ
thấy với k ∈ N bất kỳ thì kerAk = kerAk−1 nếu và chỉ nếu
dim(kerAk−1 ) = dim(kerAk )
hay tương đương
dim(imAk−1 ) = dim(imAk ).
Ngược lại, vì imAk ⊂ imAk−1 nên hệ thức kerAk = kerAk−1 là đúng nếu
và chỉ nếu imAk = imAk−1 . Vì A0 = I nên ta có hệ thức sau
Rn = imA0 ⊃ imA ⊃ . . . ⊃ imAk = imAk+1 = . . .

{0} = kerA0 ⊂ kerA ⊂ . . . ⊂ kerAk = kerAk+1 = . . .
Từ đây ta đi đến định nghĩa dưới đây.
Định nghĩa 1.2.11. [3] Chỉ số của một ma trận vuông A cấp n là số tự
nhiên k nhỏ nhất sao cho kerAk = kerAk+1 và được ký hiệu là
indA := min{k ∈ N : kerAk = kerAk+1 }.
Định nghĩa 1.2.12. [3] Cặp ma trận (A, B) được gọi là chính qui nếu
tồn tại z ∈ R sao cho det(zA + B) = 0. Trong trường hợp ngược lại ta gọi
cặp (A, B) là suy biến.
Nhận xét 1.2.2. Nếu cặp ma trận (A, B) là chính qui thì det(cA+B) = 0
với hầu hết giá trị c ∈ R (det(cA + B) = 0 chỉ với hữu hạn giá trị của c).

23


Định nghĩa 1.2.13. [3] Nếu cặp ma trận (A, B) chính qui và
det(cA + B) = 0
thì ind((cA + B)−1 A) được gọi là chỉ số của cặp ma trận (A, B), ký hiệu
là ind(A, B) := ind((cA + B)−1 A).
Chú ý 1.2.3. [7] Chỉ số của cặp ma trận (A, B) không phụ thuộc vào c.
1.2.2. Phương trình vi phân đại số tuyến tính
Xét phương trình vi phân đại số

A(t)x (t) + B(t)x(t) = f (t),

(1.7)

với t ∈ [0, +∞), trong đó A(.), B(.) ∈ C(R+ , L(Rn )), f (.) ∈ C(R+ , Rn ),
rankA(t) = r < n, cặp ma trận (A(t), B(t)) chính qui với mọi t ∈ R+ .
Giả sử không gian N (t) := kerA(t) là trơn, nghĩa là tồn tại Q(.) thuộc

C 1 (R+ , L(Rn )) sao cho Q(t) là phép chiếu lên N (t).
Đặt P := I − Q. Khi đó P cũng là một phép chiếu.
Ký hiệu

CN1 := {x ∈ C(R+ , Rn ) : P x ∈ C 1 (R+ , Rn )},
S(t) := {z ∈ Rn : B(t)z ∈ imA(t)},
trong đó imA(t) = {y ∈ Rn , ∃x ∈ Rn : y = A(t)x}.
1
Không gian CN
không phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu P thuộc

C 1 (R+ , L(Rn )). Thật vậy, giả sử P1 , P2 ∈ C 1 (R+ , L(Rn )) là hai phép chiếu
dọc N (t). Với x ∈ C(R+ , Rn ) và P1 x ∈ C 1 (R+ , Rn ), ta chứng minh P2 x
thuộc C 1 (R+ , Rn ). Ta có

P2 P1 x = P2 ((I − Q1 )x) = P2 x − P2 Q1 x = (I − Q2 )x − ((I − Q2 )Q1 )x
= Ix − Q2 x − Q1 x + Q2 Q1 x = Ix − Q2 x = (I − Q2 )x = P2 x.

24


Vì P2 và P1 x đều thuộc C 1 (R+ , Rn ) nên P2 x ∈ C 1 (R+ , Rn ).
Các giá trị của biểu thức

A(t)x (t) = A(t)P (t)x (t) = A(t)[(P x) (t) − P (t)x(t)]
cũng không phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu P ∈ C 1 (R+ , L(Rn )). Thật
vậy, ta có

(AP )(t) = A(I − Q)(t) = A(t) − A(Q(t)) = A(t),
với mọi t. Suy ra

A(t)((P1 x) (t) − P1 (t)x(t)) = A(t)P2 (t)((P1 x) (t) − P1 (t)x(t))
= A(t)((P2 P1 x) (t) − P2 (t)P1 (t)x(t) − P2 (t)P1 (t)x(t))
= A(t)((P2 P1 x) (t) − (P2 P1 ) (t)x(t))
= A(t)((P2 x) (t) − P2 (t)x(t)),
với mọi phép chiếu P1 , P2 ∈ C 1 (R+ , L(Rn )).
Khi đó (1.7) trở thành

A(t)[(P x) (t) − P (t)x(t)] + B(t)x(t) = f (t)
hay

A(t)(P x) (t) + (B − AP )(t)x(t) = f (t).

(1.8)

Phương trình (1.8) chứng tỏ rằng nghiệm x(t) của (1.7) không nhất thiết
1
khả vi mà chỉ cần thuộc CN
là đủ.

Khác với phương trình vi phân thường, không gian nghiệm của phương
trình vi phân đại số (1.7) có thể là vô hạn chiều. Vì vậy ta quan tâm tới
vấn đề khi nào bài toán (1.8) có không gian nghiệm hữu hạn chiều hoặc
bài toán giá trị đầu (1.8) với điều kiện đầu x(0) − x0 ∈ N (0) có nghiệm
duy nhất.

25