Giải số phương trình tích phân volterra

Header Page 1 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ KIM ANH

GIẢI SỐ
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ KIM ANH

GIẢI SỐ
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 2 of 161.


Header Page 3 of 161.

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của bản báo cáo thực tập chuyên
ngành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh
đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em
tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập
và thực hiện đề tài khóa luận tốt nghiệp này.
Hà Nội, Ngày 03 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Kim Anh

i

Footer Page 3 of 161.


Header Page 4 of 161.

Lời cam đoan

Em xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này
là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Em cũng xin cam
đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm
ơn và các thông tin thu trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Hà Nội, Ngày 03 tháng 05 năm 2015
Sinh viên
Nguyễn Thị Kim Anh

ii

Footer Page 4 of 161.


Header Page 5 of 161.

Mục lục

Lời mở đầu

iii

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

vi

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1

1.1

Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Đa thức nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Công thức hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Công thức cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA
2.1

Phương trình tích phân tuyến tính Volterra . . . . . . .

7

2.1.1

Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.2

Phương trình tích phân tuyến tính . . . . . . . .

7

2.1.3

Phân loại phương trình tích phân tuyến tính Volterra

8

2.1.4

Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân

tuyến tính Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

9

Phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tính
Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Footer Page 5 of 161.

9

7


Header Page 6 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2.1

NGUYỄN THỊ KIM ANH

Phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến
tính Volterra loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2

10

Phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến
tính Volterra loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA 44
3.1

Phương trình tích phân phi tuyến Volterra . . . . . . . .
3.1.1

Phân loại phương trình tích phân phi tuyến Volterra 44

3.1.2

Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân phi
tuyến Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

44

45

Phương pháp số giải phương trình tích phân phi tuyến
Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1

Phương pháp số giải phương trình tích phân phi
tuyến Volterra loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2

46

46

Phương pháp số giải phương trình tích phân phi
tuyến Volterra loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . .

59

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

ii

Footer Page 6 of 161.


Header Page 7 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIM ANH

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn. Cùng với sự
phát triển của nội tại toán học và các ngành khoa học khác, toán học
chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng.
Trong lĩnh vực toán ứng dụng, thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan
đén việc giải phương trình tích phân. Phương trình tích phân Volterra
là một trong những phương trình có nhiều ứng dụng không chỉ đối với
nội tại môn toán (giải phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện biên
hay điều kiện ban đầu, giải bài toán liên quan đến phương trình đạo
hàm riêng) mà còn ứng dụng rộng rãi vào các ngành vật lý, cơ học, kĩ
thuật,...
Phương trình tích phân Volterra có các phương pháp giải khác nhau,
trong đó phương pháp số là phương pháp tìm nghiệm dưới dạng bảng
số. ta có thể kết hợp sử dụng phần mềm lập trình tính toán Maple vào
để giải phương trình một cách nhanh chóng, hiệu quả.
Chính vì lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu" Giải số phương
trình tích phân Volterra" nhằm có điều kiện tiếp tiếp cận sâu hơn, làm
phong phú kiến thức của mình và ứng dụng trong giải toán đại học.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp số để giải phương trình tích phân tuyến tính
Volterra và phương trình phi tuyến Volterra.

Footer Page 7 of 161.

iii

Header Page 8 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIM ANH

3. Phương pháp nghiên cứu
+Phương pháp nghiên cứu lí luận.
+Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu.

4. Cấu trúc
Khóa luận gồm ba chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương này nhắc lại một số kiến thức về tích phân xác định, công thức
tính gần đúng tích phân.
Chương 2. Phương trình tích phân tuyến tính Volterra.
Mục đích chương này là giới thiệu về phương trình tích phân tuyến
tính Volterra và phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tính
Volterra.
Chương 3. Phương trình tích phân phi tuyến Volterra.
Mục đích chương này là giới thiệu về phương trình tích phân phi tuyến
Volterra và phương pháp số giải phương trình tích phân phi tuyến
Volterra.
Khóa luận được hoàn thành tại khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm
Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Khuất Văn Ninh.
Em xin chân thành cảm ơn thầy Khuất Văn Ninh đã tận tình hướng
dẫn, giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình làm khóa luận.
Em chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận lợi
cho em trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận này.

Footer Page 8 of 161.

iv


Header Page 9 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIM ANH

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên
các vấn đề trong luận văn vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể
tránh khỏi có những sai sót. Em rất mong nhận được sự góp ý xây dựng
của thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, Ngày 03 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Kim Anh

Footer Page 9 of 161.

v


Header Page 10 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIM ANH

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt
tổng sích ma
lim

giới hạn

| |

trị tuyệt đối

≈

xấp xỉ

J(x)

ma trận Jacobi

b
a

tích phân thế cận từ a tới b

K(x, t) hạch
α

alpha

β

beta

λ

lan đa

∞

vô cùng

ξ

xi

σ

sích ma

Footer Page 10 of 161.

vi


Header Page 11 of 161.

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về tích phân xác định,
công thức tính gần đúng tích phân.

1.1

Tích phân xác định

Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f (x) xác định và bị chặn trong khoảng
đóng [a, b], chia [a, b] thành những khoảng nhỏ bởi một phân điểm ℘,
trong mỗi khoảng nhỏ [xi−1 , xi ] lấy một điểm ξi tùy ý

xi−1 ≤ ξi ≤ xi , (i = 1, 2, . . . , n)
và lập tổng
n

σ :=

f (ξi )∆xi
i=1

với

∆xi := xi − xi−1 , i = 1, n

Dĩ nhiên tổng σ định nghĩa theo công thức trên là một số xác định; số
đó phụ thuộc số khoảng nhỏ n, phụ thuộc ξi , chọn tùy ý trong [xi−1 , xi ]

Footer Page 11 of 161.

1


Header Page 12 of 161.

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIM ANH

và phụ thuộc cách chọn phân điểm ℘
Nếu khi n tăng vô hạn (n → ∞) sao cho max λi := λ, λ → 0; với
1≤i≤n

λi := ∆xi (i = 1, n), σ có giới hạn (hữu hạn) I, và giới hạn I này không
phụ thuộc vào cách chọn phân điểm ξi , cũng không phụ thuộc cách chọn
phân điểm ℘

lim σ = I

λ→0
(n→∞)

thì I được gọi là tích phân xác định của hàm số f (x) lấy trên khoảng
b

đóng [a, b] và kí hiệu là

f (x)dx:
a
b

I=

f (x)dx
a

Khi đó ta cũng nói rằng hàm số f (x) khả tích trên [a, b], [a, b] là khoảng
lấy tích phân, a là cận dưới, b là cận trên của tích phân, x là biến số lấy
tích phân, f (x) là hàm số lấy tích phân và f (x)dx là biểu thức dưới dấu
tích phân.

1.2

Đa thức nội suy

Định nghĩa 1.2. Giả sử, hàm số y = f (x) xác định trên [a, b], ta
không biết biểu thức giải tích của nó, ta chỉ biết giá trị của nó là
y0 , y1 , . . . , yn tương ứng với các x0 , x1 , . . . , xn ∈ [a, b]. Ta chọn các mốc
nội suy x0 , x1 , . . . , xn sao cho a

x0 < x1 < . . . < xn
n

Ta tìm đa thức bậc n: Pn (x) =

ai xi , (i = 0, n),

i=0

Footer Page 12 of 161.

2

b.

Header Page 13 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIM ANH

sao cho
Pn (xi ) = yi := f (xi ), (i = 0, n),
Khi đó, đa thức Pn (x) được gọi là đa thức nội suy của hàm f .

1.3

Công thức hình thang

Giả sử ta phải tính tích phân xác định của hàm f (x) được cho bằng
bảng hoặc biểu thức giải tích nhưng không biết nguyên hàm của nó. Do
đó không thể áp dụng khái niệm nguyên hàm để tính. Còn nếu ta dùng
định nghĩa tích phân là
n−1

lim

n→∞

f (xi )∆(xi )
i=1

thì phải thực hiện rất nhiều các tính toán trong trường hợp này ta tính
gần đúng tích phân xác định thông qua đa thức nội suy P (x) của nó,
tức là

b

I=

b

f (x)dx
a

P (x).
a

Ta chia đoạn [a, b] thành n phần bằng nhau với các điểm chia
xi : a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b, xi = a + ih (i = 0, n); h =
Khi đó ta có
x1

b

f (x)dx =
a

Footer Page 13 of 161.

x2

f (x)dx +
x0

xn

f (x)dx + . . . +
x1

3

xn−1

f (x)dx

b−a
.
n


Header Page 14 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIM ANH

Thay f(x) trên [xi−1 , xi ], i = 1, n bằng đa thức nội suy bậc nhất của nó
x1

x1

f (x)dx

x1

P (x)dx =

x0

x0

y0
x0

x − x1
x − x0
+ y1
dx
x0 − x1
x1 − x0

x − x0
⇒dx=hdt
h
Khi x = x0 thì t = 0, khi x = x1 thì t = 1
Đặt t =

Vậy
x1

1

P (x)dx =
x0

0

t2 1
h
t2 1
[y0 (1 − t) + y1 t] hdt = h y0 (t − )|0 +y1 |0 = (y0 +y1 )
2
2
2

Tương tự ta có
xi+1

f (x)dx
xi

h
(yi + yi+1 ), (i = 0, n)
2

Vậy
b

f (x)dx
a

h
[y0 + yn + 2(y1 + . . . + yn−1 )].
2

Đánh giá sai số người ta chứng minh được sai số

r=

M 2
h (b − a), M = max|f (x)|, x ∈ [a, b]
12

.

Footer Page 14 of 161.

4


Header Page 15 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4

NGUYỄN THỊ KIM ANH

Công thức cầu phương

Bản chất của phương pháp này là sự thay thế tích phân bằng tổng hữu
hạn.

n

b

Ak ϕ(xk ) + Rn (ϕ)

ϕ(x)dx =
a

k=1

trong đó, Ak và xk - tương ứng là hệ số và nút của công thức cầu phương,
Rn - phần dư của công thức cầu phương.
Nêú như chọn công thức hình thang, thì chúng ta có
1
A1 = An = h, Ak = h, k = 2, . . . , n − 1;
2
b−a
xk = a + (k + 1)h, k = 1, . . . , n, h =
n−1
3
2
(b − a)
∂
Rn (Kϕ ) = −
(Kϕ )
12(n − 1)2 ∂y 2
y=ξ, a ξ b

Footer Page 15 of 161.

5

Header Page 16 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIM ANH

Kết luận Chương 1
Nội dung chính của Chương 1 bao gồm
1. Một số kiến thức về tích phân xác định.
2. Đa thức nội suy, công thức hình thang, công thức cầu phương.

Footer Page 16 of 161.

6


Header Page 17 of 161.

Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
TUYẾN TÍNH VOLTERRA
Chương này trình bày về phương trình tích phân tuyến tính Volterra và
phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra.

2.1
2.1.1

Phương trình tích phân tuyến tính Volterra
Phương trình tích phân

Định nghĩa 2.1. Phương trình tích phân là phương trình trong đó một

hàm số chưa biết xuất hiện dưới hoặc trong dấu tích phân.
2.1.2

Phương trình tích phân tuyến tính

Định nghĩa 2.2. Phương trình tích phân tuyến tính là phương trình
được biểu diễn dưới dạng

Ax = f.

Footer Page 17 of 161.

7

(2.1)


Header Page 18 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIM ANH

trong đó A là toán tử tích phân tuyến tính.
2.1.3

Phân loại phương trình tích phân tuyến tính Volterra

Phương trình tích phân tuyến tính Volterra là phương trình tích phân
có ít nhất một trong những cận lấy tích phân là biến số. Đối với phương
trình tích phân tuyến tính loại 1, hàm cần tìm x(t) xuất hiện bên trong

dấu tích phân dạng
t

K(t, s)x(s)ds = f (t), t ∈ [a, b].

(2.2)

a

Tuy nhiên, phương trình tích phân tuyến tính loại 2, hàm cần tìm x(t)
xuất hiện bên trong và bên ngoài dấu tích phân. Phương trình đó được
biểu diễn dưới dạng
t

K(t, s)x(s)ds = f (t), t ∈ [a, b],

x(t) + λ

(2.3)

a

trong đó, cận trên t là biến số t ∈ [a, b], hàm f (t) đã biết. Hàm K(t, s)
được gọi là nhân (hay hạch) của phương trình và cho trước, x(t) là hàm
cần tìm, λ là tham số.

Ví dụ 2.1.1. Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1.
t

es−t x(s)ds = t, t ∈ [0, 1]

0

và
t

(t − s)x(s)ds = 5t2 + t3 , t ∈ [0, 1]
0

Footer Page 18 of 161.

8


Header Page 19 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIM ANH

Ví dụ 2.1.2. Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2.
t

x(s)ds = t, t ∈ [0, 1]

x(t) +
0

và
t

x(t) −

x(s)ds = 1, t ∈ [0, 1]
0

2.1.4

Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân tuyến
tính Volterra

Điều kiện để tồn tại nghiệm của phương trình tích phân tuyến tính
Volterra là:
(i) Tồn tại M sao cho
|K(t, s)|

M, ∀(t, s) ∈ D.

Với D = C[a,b]×[a,b]
(ii)
|λ| M (b − a) = q < 1
Thì phương trình x + Ax = f có nghiệm duy nhất.

2.2

Phương pháp số giải phương trình tích phân
tuyến tính Volterra

Để giải phương trình (2.2) và (2.3) ta sẽ dùng phương pháp giải số để
tính gần đúng. Bản chất của phương pháp này là áp dụng công thức
cầu phương đưa phương trình tích phân về những phương trình đại số

Footer Page 19 of 161.

9


Header Page 20 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIM ANH

tuyến tính và kết quả thu được dưới dạng bảng số. Bảng số cho giá trị
gần đúng của nghiệm tại hữu hạn điểm. Trong chương này chúng ta sẽ
nghiên cứu về phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1, loại 2
và phương pháp số để giải phương trình đó.

2.2.1

Phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tính
Volterra loại 2

Sau đây ta sẽ trình bày phương pháp giải phương trình tích phân Volterra
loại 2.
Ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn bằng nhau, t ∈ [a, b]
a = t0 < t1 < . . . < tn = b
Khi đó, tương ứng ta có
t0 = a, t1 = a + h, t2 = a + 2h, . . . , tn = a + nh = b, với h =

b−a
n

Đặt x(ti ) ≈ xi , i = 0, n
Cho t = ti , khi đó phương trình (2.2) trở thành
ti

K(ti , s)x(s)ds = f (ti ), t ∈ [a, b].

x(ti ) + λ
a

Đặt g(s) = K(ti , s)x(s)
Áp dụng công thức cầu phương
n

ti

g(s)ds ≈
a

Footer Page 20 of 161.

Aj gj ,
j=0

10

(2.4)


Header Page 21 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIM ANH

trong đó gj = g(sj ) = K(ti , sj )x(sj ) = Kij xj
Với fi = f (ti )
Áp dụng công thức hình thang
ti

g(s)ds ≈
a

ti − a
[g0 + gi + 2(g1 + . . . + gi−1 )], i = 0, n.
2i

Thay vào phương trình (2.4) tìm các xi
Dùng phương pháp số ta tìm được các nghiệm gần đúng x0 , x1 , . . . , xn
dưới dạng bảng số như sau
Kí hiệu
x(ti ) là giá trị của nghiệm chính xác tại ti ,
xi là giá trị gần đúng của x(ti ),
∆i = |xi − x(ti )| là sai số.
xi ∆i = |xi − x(ti )|

i

ti

x(ti )

0

a

x(t0 ) x0

∆0

1

a+h

x(t1 ) x1

∆1

2 a + 2h x(t2 ) x2
..
..
..
..
.
.
.
.

∆2
..
.

n

∆n

b

x(tn ) xn

Ví dụ 2.2.1. Giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2 sau
t

x(t) = 1 −

x(s)ds, t ∈ [0, 1]

(2.5)

0

Nghiệm chính xác của phương trình là x(t) = e−t .
Ta chia [0, 1] thành 10 phần bằng nhau.
t0 = 0; t1 = 0, 1; t2 = 0, 2; t3 = 0, 3; t4 = 0, 4; t5 = 0, 5; t6 = 0, 6;

Footer Page 21 of 161.

11


Header Page 22 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIM ANH

t7 = 0, 7; t8 = 0, 8; t9 = 0, 9; t10 = 1
Đặt: x(ti ) ≈ xi , i = 0, 10
Cho t = ti ở phương trình (2.5)
ti

xi = 1 −

x(s)ds

(2.6)

0

+ Với i = 0, phương trình (2.6) trở thành
0

x0 = 1 −

x(s)ds
0

⇔ x0 = 1
+ Với i = 1, phương trình (2.6) trở thành
0,1

x1 = 1 −

x(s)ds
0

Áp dụng công thức hình thang
0,1
x0 + x1
1 + x1
x(s)ds ≈
.0, 1 =
.0, 1 = 0, 05 + 0, 05x1
2
2
0
Thay vào phương trình trên
x1 ≈ 1 − 0, 05 − 0, 05x1
⇒ x1 ≈ 0, 904761
+ Với i = 2, phương trình (2.6) trở thành
0,2

x2 = 1 −

x(s)ds
0

Áp dụng công thức hình thang
0,2

0,1

x(s)ds =

0

0,2

x(s)ds ≈ 0, 05 + 0, 05x1 +

x(s)ds +
0

0,1

= 0, 05 + 0, 1x1 + 0, 05x2 ≈ 0, 140476 + 0, 05x2
Thay vào phương trình trên
x2 ≈ 1 − 0, 140476 − 0, 05x2
⇒ x2 ≈ 0, 818594
+ Với i = 3, phương trình (2.6) trở thành

Footer Page 22 of 161.

12

x1 + x2
.0, 1
2


Header Page 23 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIM ANH

0,3

x3 = 1 −

x(s)ds
0

Áp dụng công thức hình thang
0,3

0,2

x(s)ds =

0,3

x(s)ds ≈ 0, 140476+0, 05x2 +

x(s)ds+

0

0

0,2

x2 + x3
.0, 1
2

= 0, 140476 + 0, 1x2 + 0, 05x3 ≈ 0, 222335 + 0, 05x3
Thay vào phương trình trên
x3 ≈ 1 − 0, 222335 − 0, 05x3
⇒ x3 ≈ 0, 740633
+ Với i = 4, phương trình (2.6) trở thành
0,4

x4 = 1 −

x(s)ds
0

Áp dụng công thức hình thang
0,4

0,3

x(s)ds =

0,4

x(s)ds ≈ 0, 222335+0, 05x3 +

x(s)ds+

0

0

0,3

x3 + x4
.0, 1
2

= 0, 222335 + 0, 1x3 + 0, 05x4 ≈ 0, 296398 + 0, 05x4
Thay vào phương trình trên
x4 ≈ 1 − 0, 296398 − 0, 05x4
⇒ x4 ≈ 0, 670097
+ Với i = 5, phương trình (2.6) trở thành
0,5

x5 = 1 −

x(s)ds
0

Áp dụng công thức hình thang
0,5

0,4

x(s)ds =
0

0,5

x(s)ds ≈ 0, 296398+0, 05x4 +

x(s)ds+
0

0,4

= 0, 296398 + 0, 1x4 + 0, 05x5 ≈ 0, 363408 + 0, 05x5
Thay vào phương trình trên
x5 ≈ 1 − 0, 363408 − 0, 05x5
⇒ x5 ≈ 0, 606192
+ Với i = 6, phương trình (2.6) trở thành

Footer Page 23 of 161.

13

x4 + x5
.0, 1
2


Header Page 24 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIM ANH

0,6

x6 = 1 −

x(s)ds

0

Áp dụng công thức hình thang
0,6

0,5

x(s)ds =

0,6

x(s)ds ≈ 0, 363408+0, 05x5 +

x(s)ds+

0

0

0,5

x5 + x6
.0, 1
2

= 0, 363408 + 0, 1x5 + 0, 05x6 ≈ 0, 424027 + 0, 05x6
Thay vào phương trình trên
x6 ≈ 1 − 0, 424027 − 0, 05x6
⇒ x6 ≈ 0, 548546
+ Với i = 7, phương trình (2.6) trở thành

0,7

x7 = 1 −

x(s)ds
0

Áp dụng công thức hình thang
0,7

0,6

x(s)ds =

0,7

x(s)ds ≈ 0, 424027+0, 05x6 +

x(s)ds+

0

0

0,6

x6 + x7
.0, 1
2

= 0, 424027 + 0, 1x6 + 0, 05x7 ≈ 0, 478882 + 0, 05x7
Thay vào phương trình trên
x7 ≈ 1 − 0, 478882 − 0, 05x7
⇒ x7 ≈ 0, 496303
+ Với i = 8, phương trình (2.6) trở thành
0,8

x8 = 1 −

x(s)ds
0

Áp dụng công thức hình thang
0,8

0,7

x(s)ds =
0

0,8

x(s)ds ≈ 0, 478882+0, 05x7 +

x(s)ds+
0

0,7

= 0, 478882 + 0, 1x7 + 0, 05x8 ≈ 0, 528512 + 0, 05x8

Thay vào phương trình trên
x8 ≈ 1 − 0, 528512 − 0, 05x8
⇒ x8 ≈ 0, 449036
+ Với i = 9, phương trình (2.6) trở thành

Footer Page 24 of 161.

14

x7 + x8
.0, 1
2


Header Page 25 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ KIM ANH

0,9

x9 = 1 −

x(s)ds
0

Áp dụng công thức hình thang
0,9

0,8

x(s)ds =
0

0,9

x(s)ds ≈ 0, 528512+0, 05x8 +

x(s)ds+
0

0,8

x8 + x9
.0, 1
2

= 0, 528512 + 0, 1x8 + 0, 05x9 ≈ 0, 573416 + 0, 05x9
Thay vào phương trình trên
x9 ≈ 1 − 0, 573416 − 0, 05x9
⇒ x9 ≈ 0, 40627
+ Với i = 10, phương trình (2.6) trở thành
0,10

x10 = 1 −

x(s)ds
0

Áp dụng công thức hình thang

0,10

0,9

x(s)ds =
0

0,10

x(s)ds ≈ 0.573416+0, 05x9 +

x(s)ds+
0

0,9

x9 + x10
.0, 1
2

= 0, 573416 + 0, 1x9 + 0, 05x10 ≈ 0, 614043 + 0, 05x10
Thay vào phương trình trên
x10 ≈ 1 − 0, 614043 − 0, 05x10
⇒ x10 ≈ 0, 367578
Nghiệm gần đúng của phương trình (2.5) thu được dưới bảng sau

Footer Page 25 of 161.

15