Ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế và toán sơ cấp

Header Page 1 of 161.
✬

✩

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II
KHOA TOÁN

——————————o0o——————————

ĐỖ THỊ HÒA

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN
THỰC TẾ VÀ TOÁN SƠ CẤP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học

TH.S NGUYỄN QUỐC TUẤN

HÀ NỘI- 2016
✫

Footer Page 1 of 161.

✪


Header Page 2 of 161.

Mục lục
LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1

1.1

Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2

Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chương 2

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN
4

THỰC TẾ
2.1

Bài toán đường truyền của tia sáng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2

Bài toán tốc độ tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3

Bài toán lợi nhuận kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4

Bài toán chuyển động cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1

Các thành phần ngang và dọc của vận tốc . . . . . . . . . . 16

2.4.2

Gia tốc của vật thể khi chuyển động cong . . . . . . . . . . 17

2.4.3

Nếu x, y không có phương trình tham số . . . . . . . . . . . 18

Chương 3

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG TOÁN SƠ CẤP

21

3.1

Ứng dụng của đạo hàm để xét sự tồn tại nghiệm của phương trình . . 21

3.2

Ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình, hệ bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.1

Giải phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.2

Giải bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.3

Giải hệ phương trình, hệ bất phương trình . . . . . . . . . . 32

i

Footer Page 2 of 161.


Header Page 3 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp

3.3

3.4

Ứng dụng của đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . 34
3.3.1

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.2

Sử dụng định lí Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Ứng dụng của đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất . . . . . . . 40
3.4.1

Khảo sát trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.2

Khảo sát gián tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5

Ứng dụng của đạo hàm để tính giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . 45

3.6

Ứng dụng đạo hàm để tính giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . 46

3.7

Ứng dụng đạo hàm để tính tổng trong khai triển nhị thức Newton . . 49

Kết Luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Đỗ Thị Hòa

Footer Page 3 of 161.

ii

K38B SP Toán


Header Page 4 of 161.

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành tới các thầy giáo trong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 ,
đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo trong suốt thời gian tôi theo học tại khoa và
trong suốt thời gian làm khóa luận.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Th.S Nguyễn Quốc Tuấn giảng viên khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người trực tiếp
hướng dẫn tôi, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng trong suốt quá trình làm
khóa luận để tôi có được kết quả như ngày hôm nay.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản thân
còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót rất
mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạn
đọc.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016
Sinh viên

Đỗ Thị Hòa

iii

Footer Page 4 of 161.


Header Page 5 of 161.

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn tận
tình của thầy giáo Th.S Nguyễn Quốc Tuấn.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này tôi đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định đề tài “Ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán
thực tế và toán phổ thông” là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ
lực của bản thân, không có sự trùng lặp với các khóa luận trước đó.
Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016
Sinh viên

Đỗ Thị Hòa

iv

Footer Page 5 of 161.


Header Page 6 of 161.

LỜI NÓI ĐẦU

Trong ngành giải tích toán học, đạo hàm như một nét đẹp tinh túy. Có thể
nói, đạo hàm xuất hiện trong hầu hết các bài toán lí thuyết cũng như các bài
toán thực tiễn.
Năm 1630, nhà toán học Fermat đã sử dụng một “công cụ” mới mẻ để giải
quyết các bài toán cực trị vô cùng hiệu quả. Tuy nhiên, ở thời điểm đó ông
sử công cụ này như một quy tắc và chưa có một cơ sở lí thuyết cho quy tắc
này.
Đến những năm 1671 - 1675, hai nhà toán học Newton và Leibniz đã đồng
đưa ra khái niệm đạo hàm và vi phân dựa trên phép toán giới hạn. Có thể
nói, khái niệm đạo hàm này làm sáng tỏ về mặt lí thuyết cho quy tắc Fermat
đã được chúng ta sử dụng trong những năm trước đó. Ngoài ra, Newton và
Leibniz sử dụng đạo hàm, vi phân để nghiên cứu các bài toán về tiếp tuyến,
các bài toán về chuyển động chất điểm và từ đó thu được những kết quả vô
cùng ý nghĩa.
Ngày nay, ngoài ứng dụng trong toán học đạo hàm còn được ứng dụng ở
nhiều lĩnh vực khác nhau. Trong kinh tế, đạo hàm được sử dụng để tính toán
tốc độ tăng trưởng nhằm giúp các nhà đầu tư đưa ra quyết định hợp lí, đúng
đắn về sự lựa chọn mặt hàng kinh doanh cho lợi nhuận cao nhất hay đầu
tư với số lượng bao nhiêu là hợp lí. Hoặc muốn hoạch định chiến lược trong
kinh tế vĩ mô liên quan đến tốc độ gia tăng dân số của một quốc gia thì đạo
hàm là cần thiết. Trong giao thông, thật bất ngờ khi không cần điều khiển
phương tiện mà cảnh sát giao thông vẫn biết được tốc độ vận hành của các
phương tiện đang tham gia giao thông trên đường nhờ súng bắn tốc độ. Đó
là ứng dụng lí thú của đạo hàm.
Chính vì vậy, đạo hàm có ứng dụng vô cùng to lớn trong toán học và nhiều
v

Footer Page 6 of 161.

Header Page 7 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp

lĩnh vực khác của cuộc sống.
Với những ứng dụng quan trọng và rộng rãi của đạo hàm, cùng với sự chỉ
dẫn, động viên của thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn, tôi mạnh dạn lựa chọn,
nghiên cứu đề tài “Ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế và toán
sơ cấp” trong khóa luận tốt nghiệp đại học.
Khóa luận gồm ba chương
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc lại một số kiến thức về đạo
hàm, trình bày một số định nghĩa, định lí và một số ứng dụng của đạo hàm
sẽ được sử dụng ở các chương sau.
Chương 2. Ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế. Mục đích chính
của chương này là trình bày những ứng dụng của đạo hàm trong một số bài
toán thực tế. Đó là bài toán đường truyền của tia sáng, bài toán tốc độ tương
đối, bài toán lợi nhuận kinh tế và bài toán chuyển động cong.
Chương 3. Ứng dụng của đạo hàm trong toán sơ cấp. Mục đích của chương
này trình bày những ứng dụng của đạo hàm để giải một số bài toán sơ cấp.
Đó là ứng dụng xét sự tồn tại nghiệm của phương trình; giải phương trình,
giải bất phương trình, giải hệ phương trình, giải hệ bất phương trình; chứng
minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; tính giới hạn của hàm
số, dãy số; tính tổng trong khai triển nhị thức Newton.
Do còn hạn chế về trình độ và thời gian thực hiện đề tài, vì vậy khóa luận
không tránh khỏi những sai sót. Rất mong được thầy cô và bạn đọc góp ý để
đề tài này hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!

Đỗ Thị Hòa

Footer Page 7 of 161.

vi

K38B SP Toán


Header Page 8 of 161.

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Một số định nghĩa
Định nghĩa 1.1 (xem [1]). Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b)
và x0 thuộc (a; b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
f (x) − f (x0 )
,
lim
x→x0
x − x0
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x0 và kí hiệu
f (x0 ) hoặc y (x0 ), tức là
f (x) − f (x0 )
.
x→x0
x − x0

f (x0 ) = lim

Chú ý 1.1. Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 thì hàm số liên tục tại
x0 .
Đại lượng ∆x = x − x0 được gọi là số gia đối số tại x0 .
Đại lượng ∆y = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) được gọi là số gia

tương ứng của hàm số. Như vậy
∆y
.
∆x→0 ∆x
Định nghĩa 1.2 (xem [1]). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) bên phải
f (x) − f (x0 )
lim+
,
x − x0
x→x0
f (x0 ) = lim

ta sẽ gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y = f (x) tại x0 và kí
hiệu là f (x+
0 ).
Tương tự giới hạn (hữu hạn) bên trái (nếu tồn tại)
f (x) − f (x0 )
lim−
,
x − x0
x→x0
1

Footer Page 8 of 161.


Header Page 9 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp

được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số y = f (x) tại x0 và kí hiệu là f (x−

0 ).
Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm trên một khoảng, một đoạn - xem [1]).
i. Hàm số y = f (x) được gọi là có đạo hàm trên (a; b) nếu nó có đạo hàm
tại mọi điểm trên khoảng đó.
ii. Hàm số y = f (x) được gọi là có đạo hàm trên [a; b] nếu nó có đạo hàm
tại mọi điểm trên khoảng (a; b), có đạo hàm phải tại x = a và đạo hàm trái
tại x = b.
Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm cấp hai - xem [1]). Giả sử hàm số y = f (x) có
đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a; b). Khi đó, hệ thức y = f (x) xác định một
hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x thì
ta gọi đạo hàm của y là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f (x) và kí hiệu là
y hoặc f (x).

1.2 Một số tính chất cơ bản
Định lí 1.1 (xem [1]). Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi
đạo hàm trái và đạo hàm phải tồn tại và bằng nhau.
Định lí 1.2 (Định lí Fermat - xem [1]). Cho hàm f (x) xác định trên khoảng
(a; b). Nếu f (x) đạt cực trị tại x0 và khả vi tại x0 thì f (x0 ) = 0.
Định lí 1.3 (Định lí Roll - xem [1]). Giả sử hàm f : [a; b] → R liên tục và
khả vi trong (a; b). Nếu f (a) = f (b) thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0.
Định lí 1.4 (Định lí Lagrange - xem [1]). Nếu hàm số y = f (x) liên tục
trên [a; b], có đạo hàm trên (a; b). Khi đó, tồn tại điểm c thuộc (a; b) sao
f (b) − f (a)
.
cho f (c) =
b−a
Định lí 1.5 (xem [1]). Giả sử hàm y = f (x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa
điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0 ) và (x0 ; b). Khi đó
i. Nếu f (x) đổi dấu khi từ âm sang dương khi x qua x0 thì hàm số đạt cực
tiểu tại x0 .

ii. Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0 thì hàm số đạt cực
đại tại x0 .
Đỗ Thị Hòa

Footer Page 9 of 161.

2

K38B SP Toán


Header Page 10 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp

Định lí 1.6 (xem [1]). Giả sử hàm y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b)
chứa x0 , f (x0 ) = 0 và f (x) có đạo hàm cấp hai khác không tại điểm x0 . Khi
đó
i. Nếu f (x0 ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 .
ii. Nếu f (x0 ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 .

Đỗ Thị Hòa

Footer Page 10 of 161.

3

K38B SP Toán


Header Page 11 of 161.

Chương 2
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
2.1 Bài toán đường truyền của tia sáng
Luật phản xạ của một tia sáng đi từ điểm A tới một gương phẳng rồi phản
xạ đến B đã được biết đến từ thời Hi Lạp cổ đại. Tuy nhiên, sự thật là tia
sáng phản xạ theo con đường ngắn nhất được phát hiện muộn hơn nhiều
bởi Heron tại thành Alexandria ở thế kỉ thứ nhất trước công nguyên. Ông
đã chứng minh rất đơn giản và khéo léo nhờ bất đẳng thức tam giác để chỉ
ra rằng tia sáng đã chọn đường đi ngắn nhất từ A tới gương rồi tới B. Tuy
nhiên, bài toán này còn được giải nhanh chóng hơn bằng công cụ đạo hàm
trong toán học. Để rõ hơn ta xét bài toán 2.1.
Bài toán 2.1. Giả sử một tia sáng đi từ
điểm A tới một gương phẳng rồi phản xạ
đến điểm B như trong hình 2.1. Thực
nghiệm cho thấy, góc tới α bằng góc phản
xạ β. Chứng minh rằng, tia sáng đã chọn
con đường ngắn nhất từ A tới gương rồi
tới B.
Chứng minh. Giả sử A , B lần lượt là

Hình 2.1

hình chiếu của A và B lên gương phẳng và P là điểm nằm trên gương phẳng
như hình 2.1. Đặt AA = a, BB = b, A B = c, A P = x suy ra P B = c − x.
Khi đó, độ dài L(x) của đường đi mà tia sáng từ A tới B là
L(x) = AP + P B,
4

Footer Page 11 of 161.


Header Page 12 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp

hay
a2 + x2 +

L(x) =

b2 + (c − x)2 ,

là một hàm số phụ thuộc theo biến x trên [0; c]. Dễ thấy nó khả vi trên [0; c].
Lấy đạo hàm của hàm L(x) ta được
c−x

dL(x)
x
−
=√
dx
a2 + x2

b2 + (c − x2 )

.

Theo thực tiễn, ánh sáng đi từ A tới gương rồi tới B thỏa α = β cho nên
cos α = cos β hay

√

c−x

x
=
a2 + x2

b2 + (c − x2 )

Suy ra, tại điểm P ứng với α = β thì đạo hàm

.

dL(x)
= 0. Hơn nữa, lấy đạo
dx

hàm cấp hai của L(x) ta được
d2 L(x)
=
dx2

a2
(a2 + x2 )3

+

b2
(b2 + (c − x2 ))3

>0

nên theo Định lý 1.6 suy ra L đạt cực tiểu.
Vì vậy, ta đã chỉ ra rằng tia sáng đã chọn con đường ngắn nhất từ A tới
∇

gương rồi tới B.

Như ta đã biết, tia sáng đi trong môi trường thuần nhất thì nó được truyền
theo đường thẳng với tốc độ không đổi. Tuy nhiên, trong môi trường khác
nhau (không khí, nước, thủy tinh) liệu tia sáng còn truyền được theo đường
thẳng và tốc độ như nhau nữa không? Năm 1621, nhà khoa học Hà Lan Snell
đã phát hiện đường truyền thực sự của một tia sáng. Tia sáng sẽ lệch hướng
khi đi qua mặt phân cách. Tính chất này được gọi là luật khúc xạ Snell. Cụ
thể là bài toán 2.2
Bài toán 2.2. Giả sử tia sáng đi từ điểm A trong không khí với vận tốc Va
tới điểm P tại mặt phân cách rồi truyền đến điểm B trong nước với vận tốc
là Vn . Chứng tỏ rằng, con đường mà tia sáng đi từ A đến B là con đường mất
ít thời gian nhất. Biết rằng góc tới, góc phản xạ lần lượt là α, β và thỏa
sin α
Va
=
= cont.
sin β
Vn
Đỗ Thị Hòa

Footer Page 12 of 161.

5

(2.1)
K38B SP Toán


Header Page 13 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp

Hình 2.2

Chứng minh. Giả sử A , B lần lượt là hình chiếu của A và B lên mặt phân
cách. Đặt AA = a, BB = b, A B = c, A P = x suy ra P B = c − x. Khi đó,
thời gian T (x) mà tia sáng đi từ A tới B là
√
b2 + (c − x)2
a2 + x2
T (x) =
+
,
Va
Vn
là một hàm số phụ thuộc theo biến x trên [0; c]. Dễ thấy nó khả vi trên [0; c].
Lấy đạo hàm của hàm T (x) ta được
dT (x)
x
= √
−
dx
Va x2 + a2 Vn

c−x
b2 + (c − x)2

=

sin α sin β
−
.
Va
Vn

Mặt khác, theo thực nghiệm ta có
sin α
Va
sin α
sin β
hay
=
.
=
sin β
Vn
Va
Vn
Từ đó suy ra đạo hàm
T (x) ta được

dT (x)
= 0. Hơn nữa, lấy đạo hàm cấp hai của hàm

dx

d2 T (x)
=
dx2
Va

a2
(a2 + x2 )3

+

b2
Vn

(b2 + (c − x2 ))3

>0

nên theo Định Lý 1.6 suy ra T đạt cực tiểu.
Vậy ta đã chỉ ra rằng con đường tia sáng đi từ A tới B là ít thời gian
∇

nhất.
Đỗ Thị Hòa

Footer Page 13 of 161.

6

K38B SP Toán


Header Page 14 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp

Nhận xét 2.1. Hằng số bên phải của (2.1) là tỉ lệ giữa tốc độ của ánh sáng
trong không khí và tốc độ của ánh sáng trong nước. Hằng số này gọi là chỉ
số chiết suất của nước.

2.2 Bài toán tốc độ tương đối
Giả sử bạn đang đổ nước vào một cái bình. Hãy quan sát và mô tả sự dâng
lên của mực nước trong bình. Ở đây, chúng ta đang nói tới tốc độ thay đổi
của mực nước hoặc một cách tương đương là tốc độ thay đổi của chiều sâu.
Nếu chiều sâu và thời gian lần lượt được kí hiệu là h và t được tính từ một
thời điểm phù hợp nào đó, vậy thì

dh
dt

≈

h(t+∆t)−h(t)
∆t

là tốc độ thay đổi của

chiều sâu tại thời gian t. Tương tự như vậy thì thể tích V của nước trong
bình cũng thay đổi theo thời gian và

dV
dt

≈

V (t+∆t)−V (t)
∆t

là tốc độ thay đổi của

thể tích tại thời điểm t.
Nói chung, giả sử Q là một đại lượng hình học hay một đại lượng vật lí
thay đổi theo thời gian, tức Q = Q(t). Khi đó, đạo hàm của nó được cho bởi
công thức

dQ
dt

= lim

∆t→0

Q(t+∆t)−Q(t)
∆t

là tốc độ thay đổi của đại lượng Q tại thời

điểm t. Hơn nữa, nếu đại lượng thay đổi mà đại lượng này quan hệ với đại
lượng kia thì tốc độ thay đổi của chúng cũng có quan hệ với nhau.
Để rõ hơn ta xét bài toán 2.3 và bài toán 2.4

Bài toán 2.3. Gas được bơm vào khối cầu cao su lớn có bán kính r với tốc
độ 8cm3 /s. Chứng minh rằng tốc độ tăng của bán kính r bằng

1
2π cm/s

khi

bán kính r của khối cầu bằng 2cm.
Chứng minh. Thể tích V của khối cầu với bán kính r được cho bởi công
thức

4
V = πr3 .
3
Theo giả thiết khối cầu được bơm gas vào với tốc độ 8cm3 /s nghĩa là

(2.2)
dV
dt

= 8.

Chúng ta thấy rằng cả V và r đều phụ thuộc vào thời gian t. Vì vậy, để xuất
hiện cả tốc độ thay đổi của V và r ta lấy vi phân đẳng thức (2.2) theo t ta
được

Đỗ Thị Hòa

Footer Page 14 of 161.

dV
dr
= 4πr2 .
dt
dt
7

(2.3)
K38B SP Toán


Header Page 15 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp

Từ (2.3) suy ra

Thay

dr
dt

dr
1 dV
2
dV
=
= 2 (vì
= 8).
(2.4)

2
dt
4πr dt
4r
dt
1
= 2π
cm/s và r = 2cm vào (2.4) và thấy rằng nó nghiệm đúng phương

trình.
∇

Vì vậy ta có điều phải chứng minh.

Nhận xét 2.2. Kết quả trên cho thấy mặc dù thể tích của khối cầu tăng với
một tốc độ không đổi nhưng bán kính tăng tỉ lệ nghịch với thể tích.
Bài toán 2.4. Một cái thang dài 13f t đang dựa vào một bức tường thì phần
chân thang bị đẩy ra cách xa tường với tốc độ không đổi 6f t/min. Chứng minh
rằng, đầu trên của chiếc thang chuyển động xuống phía dưới chân tường với
tốc độ là 2, 5f t/min khi chân thang cách tường là 5f t.

(a)

(b)

Hình 2.3

Chứng minh. Ta mô tả tình huống trên bằng hình vẽ (hình 2.3). Giả sử x
là khoảng cách từ chân thang tới tường và y là khoảng cách từ đầu trên của
thang tới mặt đất. Khi đó, ta quy ước

dy
dt

là tốc độ mà y thì đang tăng theo

thời gian t và − dy
dt là tốc độ mà y thì đang giảm theo thời gian t.
Như vậy, trong bài toán này ta cần chứng tỏ rằng − dy
dt = 2, 5f t/min khi
x = 5.
Thật vậy, theo giả thiết chân thang bị đẩy ra cách xa tường với tốc độ
không đổi là 6f t/min nghĩa là

dx
dt

= 6. Mặt khác, từ hình vẽ (2.3) ta có

x2 + y 2 = 169.
Đỗ Thị Hòa

Footer Page 15 of 161.

8

(2.5)
K38B SP Toán

Header Page 16 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp

Lấy vi phân (2.5) theo t, ta có
2x

dx
dy
+ 2y
= 0,
dt
dt

suy ra
−
nên

dy
xdx
=
,
dt
ydt

dy
6x
=
.
dt
y

(2.6)

Từ (2.5) khi x = 5 ta có y = 12. Thay vào (2.6), ta được
−

dy
6.5
=
= 2, 5f t/min.
dt
12
∇

Vì vậy, ta có điều phải chứng minh.

2.3 Bài toán lợi nhuận kinh tế
Phép tính vi phân xuất hiện hơn ba thế kỉ trước, đầu tiên chúng được ứng
dụng trong vật lí, sau đó nó tiếp tục được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác.
Đặc biệt, nó có nhiều ứng dụng trong lí thuyết kinh tế và quản lí kinh doanh.
Các ứng dụng này tập trung chủ yếu quanh vấn đề về tổng chi phí, giá cả,
lượng hàng tồn kho (dự trữ),...
Trong cơ chế thị trường hiện nay ở nước ta, mục tiêu lâu dài bao trùm
của các doanh nghiệp là kinh doanh có hiệu quả và tối đa hóa lợi nhuận. Môi
trường kinh doanh luôn biến đổi đòi hỏi mỗi doanh nghiệp phải có chiến lược
kinh doanh thích hợp. Công việc kinh doanh là một nghệ thuật đòi hỏi sự
tính toán nhanh nhạy, biết nhìn nhận vấn đề ở tầm chiến lược. Vậy sẽ xuất
hiện hai bài toán lớn mà các nhà kinh doanh cần phải giải quyết.
Bài toán 2.5. Giả sử một doanh nghiệp X sản xuất mặt hàng Y. Tổng chi
phí C = C(x) là một hàm phụ thuộc theo x sản lượng hàng hóa Y. Tổng chi

phí này thường bao gồm hai loại: thứ nhất là chi phí để xây dựng nhà máy,
mua sắm máy móc, nó là một con số cố định a; loại thứ hai là chi phí tiền
lương và chi phí vật liệu thô. Vậy làm sao để hoạt động sản xuất đạt hiệu quả
tối đa?
Đỗ Thị Hòa

Footer Page 16 of 161.

9

K38B SP Toán


Header Page 17 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp

Lời giải. Ta thấy chi phí tiền lương và vật liệu thô để làm ra một đơn vị
sản lượng là cố định, giả sử là b. Khi đó, để làm ra x sản phẩm hàng hóa Y
cần bx chi phí. Trong các mô hình đơn giản, tổng chi phí C được tính như
sau
C(x) = a + bx.

(2.7)

Để cho doanh nghiệp sản xuất hiệu quả nhất thì chi phí đạt cực tiểu và lợi
nhuận đạt cực đại hay chi phí trung bình
của hàm

C(x)
x

C(x)
x

đạt cực tiểu. Ta lấy đạo hàm

ta được
C(x)
x

=

xC (x) − C(x)
.
x2

Mức làm hiệu quả sản xuất tối đa là mức làm cho đạo hàm của nó bằng
không, tức là
xC (x) − C(x)
= 0,
x2
hay
C (x) =

C(x)
.
x

(2.8)

Vì vậy, ta kết luận rằng hoạt động sản xuất đạt hiệu quả tối đa khi chi
phí lề bằng chi phí trung bình.
Nhận xét 2.3. Tuy nhiên, thực tế thì tổng chi phí không chỉ đơn giản như
vậy mà nó còn phụ thuộc cả vào thời gian hoặc loại chi phí thứ hai nhiều khi
không chỉ tỉ lệ với x vì khi x tăng (theo thời gian) thì máy móc hỏng nhiều
hơn và những sự thiếu hiệu quả khác mà nó phát sinh từ lực lượng sản xuất
với mức độ ngày càng cao hơn. Vì vậy, hàm chi phí có dạng
C(x) = a + bx + cx2 ,

(2.9)

hoặc nó có thể là hàm phức tạp hơn nữa. (Có thể hình dung về hàm chi phí
như vậy trong hình 2.4a). Đạo hàm

dC
dx

cho ta biết tốc độ của tổng chi phí C

theo x. Các nhà kinh tế gọi đạo hàm này là chi phí lề (hay chi phí cận biên).
Thực tế nó chính là chi phí gia tăng khi ta muốn tăng sản lượng lên một đơn
Đỗ Thị Hòa

Footer Page 17 of 161.

10

K38B SP Toán

Header Page 18 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp

(a)

(b)

Hình 2.4

vị từ mức x. Thật vậy, khi sản lượng biến đổi từ x tới x + 1 (mức tăng tối
thiểu) thì
dC
C(x + 1) − C(x)
≈
= C(x + 1) − C(x)
dx
1
như chỉ ra trong hình 2.4b. Hình 2.4a cho thấy qua tốc độ của đường cong
tăng nhanh chi phí lề có thể lên giá trị cao nhất như là một tình huống lạ
thường trong sản xuất.
Một vấn đề quan tâm hàng đầu nữa của nhà sản xuất đó là làm ra lợi
nhuận và sao cho tối đa hóa nó. Vậy làm sao để lợi nhuận của nhà sản xuất
đạt giá trị lớn nhất? Ta xét bài toán 2.6
Bài toán 2.6. Giả sử một doanh nghiệp X sản xuất mặt hàng Y . Biết rằng
C = C(x) là hàm tổng chi phí tính theo x sản lượng hàng hóa Y . Hãy tính
toán sao cho hoạt động sản xuất của doanh nghiệp này đạt lợi nhuận tối đa.
Lời giải. Ta thấy rằng mức lợi nhuận của nhà sản xuất phụ thuộc vào giá
bán p. Nhà sản xuất luôn mong muốn rằng có thể bán được x đơn vị sản
phẩm với giá đặc biệt p. Nói chung, với giá p giảm thì thường phải giảm sản
lượng x (xem hình 2.5b biểu thị sản lượng x như một hàm của giá bán p). Để

cho tiện, ta thường biểu thị các yếu tố liên quan qua sản lượng x, nên hình
2.5a cho ta hình dung về p như là một hàm của x. Nhiều khi giá bán và sản
lượng cũng không biến đổi tỉ lệ thuận. Đối với mặt hàng thiết yếu như gạo và
xăng dầu con người vẫn phải mua thường xuyên với mức khá ổn định bất kể
Đỗ Thị Hòa

Footer Page 18 of 161.

11

K38B SP Toán


Header Page 19 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp

giá cả thế nào. Ngược lại, đối với những mặt hàng không thiết yếu như bánh
kẹo thì ngày càng nhiều người mua nó khi giá của nó thấp, có nghĩa là hàng
hóa càng nhiều thì giá thành càng giảm. Vì vậy, nhiều khi hàm giá p = p(x)
mô tả liên hệ giữa giá p và nhu cầu của thị trường về mặt hàng đó. Vì vậy,
nó còn được gọi là hàm cầu. Giả sử R(x) là hàm tổng doanh thu của nhà sản

(a)

(b)

Hình 2.5

xuất và hàm thu nhập lề là R (x) - thu nhập gia tăng khi sản lượng tăng lên
một đơn vị từ mức x. Khi đó, lợi nhuận P (x) là hiệu giữa doanh thu và tổng

chi phí
P (x) = R(x) − C(x).

(2.10)

Nói chung, nhà sản xuất sẽ thất thu khi sản lượng quá thấp, bởi vì giá chi
phí cố định là a, và cũng thất thu khi sản lượng quá cao, vì giá chi phí lề cao.
Vì thế nhà sản xuất chỉ có thể có lãi khi sản lượng quanh mức trung bình.
Đạo hàm hai vế của (2.10) ta được
P (x) = R (x) − C (x).
Mức sản lượng làm cực đại lợi nhuận là mức mà tại đó đạo hàm P (x) = 0,
tức là
R (x) − C (x) = 0,
hay
R (x) = C (x).
Vì vậy, ta kết luận được rằng lợi nhuận của doanh nghiệp đạt giá trị lớn
nhất khi mà sản lượng được điều chỉnh sao cho thu nhập lề bằng chi phí lề.
Đỗ Thị Hòa

Footer Page 19 of 161.

12

K38B SP Toán


Header Page 20 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp

Nhận xét 2.4. Giả sử p(x) là giá bán của đơn vị sản phẩm. Khi đó, thu

nhập R(x) = xp(x) và (2.10) trở thành
P (x) = xp(x) − C(x).

(2.11)

Do đó, nếu biết cả hàm cầu p(x) và hàm tổng chi phí C(x) thì ta có thể sử
dụng (2.10) để tính mức sản lượng x làm cực đại lợi nhuận P . Rõ ràng giá trị
đó của x không chỉ phụ thuộc vào giá bán p(x) mà còn phụ thuộc vào tổng
chi phí C(x).
Chính vì vậy, từ các nghiên cứu trên cho thấy được vai trò quan trọng của
đạo hàm trong kinh tế. Nói cách khác, trong kinh tế học hiện đại cần tới
nhiều loại toán khác nhau, đặc biệt là rất cần phép tính vi phân.
Áp dụng lí thuyết trên vào các ví dụ sau
Ví dụ 2.1. Một doanh nghiệp X sản xuất mặt hàng Y . Biết rằng lợi nhuận
P của doanh nghiệp là một hàm phụ thuộc vào mức sản lượng Q như sau
1
P = − Q3 + 14Q2 + 60Q − 54.
3
Xác định mức sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.
Lời giải. Thực ra ta chỉ cần khảo sát để tìm giá trị lớn nhất của P . Dễ thấy
P xác định trên (0; +∞). Đạo hàm của hàm số P ta được
P = −Q2 + 28Q + 60.
Cho P = 0 suy ra −Q2 + 28Q + 60 = 0 bởi vậy Q = 20 hoặc Q = −2 (loại).
Cụ thể, ta có bảng biến thiên
Q

−∞

0

+∞

20
+

P (Q)

0

−

P (20)
P (Q)
−54

−∞

Từ bảng biến thiên thấy P đạt giá trị lớn nhất khi Q = 20.
Vậy mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa của nhà sản xuất là 20.
Đỗ Thị Hòa

Footer Page 20 of 161.

13

K38B SP Toán


Header Page 21 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp

Nhận xét 2.5. Vậy bài toán đã được giải quyết bằng công cụ giải tích một
cách nhanh chóng.
Ví dụ 2.2. Một nhà sản xuất tiêu thụ sản phẩm trên thị trường cạnh tranh
√
3
với giá P = 200000 VNĐ . Cho biết hàm sản xuất Q = 12 L2 và giá trị thuê
lao động là WL = 40000 VNĐ. Xác định mức sử dụng lao động cho lợi nhuận
tối đa.
Lời giải. Hàm lợi nhuận P của nhà sản xuất là
√
3
P = P Q − W L = 2400000 L2 − 40000L.
Chúng ta dễ thấy, hàm P khả vi trên R. Lấy đạo hàm của hàm P ta được
P =
Cho P = 0 suy ra

1600000
√
3
L

1600000
√
− 40000.
3
L

− 40000 = 0 bởi vậy L = 64000. Cụ thể, ta có bảng

biến thiên
L

−∞

0

+∞

64000
+

P (L)

0

−

P (64000)
P (L)
−∞

0

Theo bảng biến thiên thì P đạt giá trị lớn nhất tại L = 64000.
Vậy mức sử dụng lao động tối đa là 64000.
Ví dụ 2.3. Một doanh nghiệp X sản xuất mặt hàng Y. Biết rằng doanh thu
P và chi phí C là các hàm phụ thuộc vào mức sản lượng Q lần lượt được cho
như sau
P = 4000Q − 33Q2

và
C = 2Q3 − 3Q2 + 400Q + 5000.
Xác định mức sản lượng tối ưu của nhà sản xuất.
Đỗ Thị Hòa

Footer Page 21 of 161.

14

K38B SP Toán


Header Page 22 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp

Lời giải. Hàm lợi nhuận P của doanh nghiệp được tính như sau
P = R − C = −2Q3 − 30Q2 + 3600Q − 5000.
Chúng ta dễ thấy, hàm P khả vi trên [0; +∞). Lấy đạo hàm của hàm P ta
được
P = −6Q2 − 60Q + 3600.
Cho P = 0 suy ra −6Q2 −60Q+3600 = 0 bởi vậy Q = 20 hoặc Q = −30(loại).
Cụ thể, ta có bảng biến thiên
Q

−∞

0

+∞

20
+

P (Q)

0

−

P (20)
P (Q)
−5000

−∞

Theo bảng biến thiên, ta suy ra P đạt giá trị lớn nhất tại Q = 20.
Vậy mức sản lượng để tối ưu (sản lượng cho lợi nhuận tối đa) là Q = 20.

2.4 Bài toán chuyển động cong
Như ta đã biết, vận tốc chính là thương số giữa quãng đường và thời gian
vật đi hết quãng đường đó, nhưng điều này chỉ đúng khi vận tốc là hằng số
cố định (hay vật chuyển động đều). Ta cần một công thức khác khi vận tốc
thay đổi theo thời gian.
Nếu ta có biểu thức S (quãng đường) theo t (thời gian) thì vận tốc ở bất
kì thời điểm nhỏ t nào được xác định bởi
∆S
,
∆x→0 ∆t

v = lim

hay
v=

dS
hoặc v = S
dt

và gia tốc được tính bởi
dv
d2 S
a=
= 2.
dt
dt
Đỗ Thị Hòa

Footer Page 22 of 161.

15

K38B SP Toán


Header Page 23 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp

Công thức trên chỉ thích hợp với chuyển động thẳng, điều này chưa phù hợp
với nhiều vấn đề trong cuộc sống. Vì vậy, ta nghiên cứu khái niệm về chuyển
động cong khi một vật thể di chuyển trên đường cong cho trước.
Thông thường ta biểu diễn thành phần chuyển động là x và y là hàm số

theo thời gian, gọi là dạng tham số.

2.4.1 Các thành phần ngang và dọc của vận tốc
Thành phần ngang của vận tốc được xác định bởi
dx
vx =
dt
và thành phần dọc của vận tốc
dy
vy = .
dt
Ta có thể tìm độ lớn của vận tốc tổng hợp v một khi ta biết các thành phần
ngang dọc của vận tốc bằng cách sử dụng
v=

vx2 + vy2 .

Phương vị θ mà vật thể di chuyển được xác định bởi
vy
tan θv = .
vx
Ví dụ 2.4. Một chiếc xe hơi chuyển động với biểu thức đường đi là x = 5t3
và y = 4t2 với thời gian t, tìm độ lớn và phương vị của vận tốc của chuyển
động khi t = 10.
Lời giải. Khi t = 10 ta được tọa độ điểm (5000; 400). Ta mô tả chuyển động
của chiếc xe bằng đồ thị sau

Đỗ Thị Hòa

Footer Page 23 of 161.

16

K38B SP Toán


Header Page 24 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp

Ta có
x = 5t3 .
Vì vậy
dx
= 15t2 .
dt
Với t = 10 vận tốc theo trục x là
vx =

dx
= 1500 (m/s).
dt

Tương tự, y = 4t2 nên vận tốc theo trục y khi t = 10 là
vy =

dy
= 80 (m/s).
dt

Vậy độ lớn của vận tốc sẽ là

vx2 + vy2 = 1520, 1 (m/s).

v=

Bây giờ ta xác định phương vị của vận tốc (tính theo góc hợp với trục x
dương)
tan θv =

vy
= 0, 053.
vx

Vậy θv = 0, 053 rad = 3, 05o .

2.4.2 Gia tốc của vật thể khi chuyển động cong
Biểu thức của gia tốc có cách xác định tương tự như cách xác định vận tốc.
Thành phần ngang của gia tốc
ax =

dvx
.
dt

ay =

dvy
.
dt

Thành phần dọc của gia tốc

Độ lớn của gia tốc
a=

a2x + a2y .

Phương vị của gia tốc
tan θa =

Đỗ Thị Hòa

Footer Page 24 of 161.

17

ay
.
ax

K38B SP Toán


Header Page 25 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp

Ví dụ 2.5. Một chiếc xe hơi trên đường chạy thử nghiệm đến khúc cua thì
chạy với biểu thức đường đi là x = 20 + 0, 2t3 , y = 20t − 2t2 với x, y tính theo
mét (m) và t giây (s).
i. Mô tả chuyển động của chiếc xe với 0 ≤ t ≤ 8.
ii. Tính gia tốc và phương vị của xe khi t = 0, 3s.

Lời giải. i. Đồ thị của đường cong với 0 ≤ t ≤ 8 là

ii. Từ biểu thức đường đi của chuyển động ta xác định được ax = 1, 2t
và ay = −4. Khi đó, tại t = 3 thì ax = 3, 6 và y = −4. Suy ra gia tốc a và
phương vị θa của chuyển động lần lượt là
a=
và

a2x + a2y = 5, 38

ay
= 312o .
ax
Vậy gia tốc của xe có độ lớn 5, 38 (m/s2 ) và phương vị 312o hợp với trục
θa = arctan

x theo chiều dương.

2.4.3 Nếu x, y không có phương trình tham số
Ví dụ 2.6. Một hạt di chuyển theo đường y = x2 + 4x + 2 tính theo cm, với
vận tốc ngang vx = 3 cm/s. Xác định độ lớn và phương vị của vận tốc tại
thời điểm (−1; −1).
Lời giải. Để xác định độ lớn cũng như phương vị của vận tốc, ta cần biết vx
và vy nhưng trong bài đã cho vx = 3. Vậy ta cần tìm vy . Ta đạo hàm phương
trình đã cho theo t bằng cách sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp
dy
∂y dx
dx
=
= (2x + 4) .

dt
∂x dt
dt
Đỗ Thị Hòa

Footer Page 25 of 161.

18

K38B SP Toán