Một số bài toán tối ưu rời rạc trong lý thuyết đồ thị

1

MỤC LỤC
Trang


2

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại
học, Khoa Công nghệ Thông tin Trường Đại học công nghệ thông tin và
truyền thông Thái Nguyên đã tận tình giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
em trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn.
Đặc biệt, em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến GS. TS Đặng Quang Á –
người đã dành nhiều thời gian, công sức và tận tình hướng dẫn khoa học cho
em trong suốt quá trình hình thành và hoàn chỉnh luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô đã giảng dạy, truyền đạt cho em
những tri thức quý báu, thiết thực trong suốt khóa học.
Cuối cùng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, người thân, bạn bè,
đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên, đóng góp ý kiến quý báu cho em trong
việc hoàn thành luận văn này.
Thái Nguyên, ngày

tháng

năm 2014

Tác giả

Nguyễn Anh Văn

3

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn trực tiếp của GS.TS. Đặng Quang Á.
Mọi trích dẫn sử dụng trong báo cáo này đều được ghi rõ nguồn tài liệu
tham khảo theo đúng qui định.
Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, tôi
xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Thái Nguyên, ngày

tháng
Tác giả

Nguyễn Anh Văn

năm 2014


4

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Ký hiêu
Từ viết tắt
V

Tập đỉnh của đồ thị

E

Tập cạnh của đồ thị

G=(V,E)

Đồ thị G với tập đỉnh V, tập cạnh E

G=(V,E,A)

Đồ thị G với tập đỉnh V, tập cạnh E, tập cung A

e = (u,v)

e là cạnh đồ thị, u,v là đỉnh

deg(v)

Bậc của đỉnh v

deg-(v), deg+(v)

Bán bậc vào, bán bậc ra đỉnh v

P

Polynomial

NP

Nondeterministic Polynomial

NP-C

Nondeterministic Polynomial-Complete

NP-Hard

Nondeterministic Polynomial-Hard

NTM

Nondeterministic Turing Machine

DTM

Deterministic Turing Machines

Diễn giải


5

DANH MỤC BẢNG
Trang
Bảng 1.1 Liệt kê tất cả các đỉnh kề với mỗi đỉnh của đồ thị
Bảng 1.2. Biểu diễn đồ thị có hướng trên hình 1.10.
Bảng 2.1: Sắp xếp các cạnh theo thứ tự trọng số tăng dần

12
12

23


6

DANH MỤC HÌNH
Trang

Hình 1.: Đồ thị vô hướng
Hình 1.2: Đồ thị có hướng
Hình 1.3: Đa đồ thị
Hình 1.4: Đồ thị hỗn hợp
Hình 1.5. Đồ thị có hướng
Hình 1.6. Đường đi trên đồ thị vô hướng
Hình 1.7. Đường đi trên đồ thị có hướng
Hình 1.8. Đồ thị liên thông G và đồ thị H gồm 3 thành phần liên thông
H1, H2, H3
Hình 1.9. Đơn đồ thị
Hình 1.10. Đồ thị có hướng
Hình 1.11. Đơn đồ thị
Hình 1.12. Giả đồ thị
Hình 1.13. Đồ thị vô hướng
Hình 1.14. Mô hình phân lớp các bài toán
Hình 2.1. Đồ thị có trọng số biểu thị tiền thuê bao hàng tháng đường
truyền thông trong mạng máy tính
Hình 2.2. Đồ thị có trọng số G
Hình 2.3. Đơn đồ thị có trọng số
Hình 2.4. Dùng thuật toán Dijsktra tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh a tới
đỉnh z
Hình 2.5. Đồ thị vô hướng

Hình 2.6. Đơn đồ thị
Hình 2.7. Hai bản đồ
Hình 2.8. Các đồ thị đối ngẫu của các bản đồ trên hình 2.7
Hình 2.9. Đồ thị đơn G và H
Hình 2.10. Đồ thị G và H đã được tô màu
Hình 2.11. Tô màu đồ thị vô hướng
Hình 3.1. Bảng danh sách các môn thi
Hình 3.2. Đồ thị biểu diễn các môn thi
Hình 3.3. Đồ thị các môn thi đã được lên lịch
Hình 3.4. Mẫu quản lý bậc học
Hình 3.5. Mẫu quản lý phòng thực hành
Hình 3.6. Mẫu quản lý giờ thi
Hình 3.7. Mẫu chọn nhóm cho các môn thi
Hình 3.8. Mẫu chọn phòng thực hành
Hình 3.9. Mẫu xếp lịch thi

4
5
5
6
7
8
9
10
11
11
12
13
14
15

19
20
22
25
30
32
35
36
37
38
39
40
41
44
45
53
53
54
54
55
56
56
57


7

Hình 3.10. Mẫu đăng kí tài khoản
Hình 3.11. Mẫu đăng nhập hệ thống
Hình 3.12. Mẫu đổi mật khẩu

57


8

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Trong vài trăm năm qua con người đã đạt được nhiều thành tựu khoa học,
một trong những thành tựu đó là sự bùng nổ của ngành khoa học máy tính.
Sự phát triển kỳ diệu của máy tính trong thế kỷ này gắn liền với sự phát triển
toán học hiện đại, đó là toán rời rạc. Toán học rời rạc nghiên cứu các cấu trúc
có tính chất rời rạc không liên tục. Toán rời rạc bao gồm các lĩnh vực như
quan hệ, lý thuyết đồ thị, logic toán, ngôn ngữ hình thức. Trong đó lý thuyết
đồ thị là một bộ phận trọng tâm với nhiều khối lượng kiến thức khá lý thú và
được nghiên cứu nhiều nhất. Toán rời rạc nói chung và lý thuyết đồ thị nói
riêng là công cụ thiết yếu cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật, và là một thành
phần quan trọng trong học vấn đối với sinh viên các ngành kỹ thuật. Lý thuyết
đồ thị, với cách tiếp cận đối tượng nghiên cứu và phương pháp tư duy khá độc
đáo thực sự ngày càng hữu ích có nhiều ứng dụng phong phú và gây không ít
bất ngờ.
Lý thuyết đồ thị là một lĩnh vực nghiên cứu có ý nghĩa thực tiễn cao đã bắt
đầu từ lâu. Những tư tưởng cơ bản của lý thuyết đồ thị được đề xuất vào
những năm đầu của thế kỷ 18 bởi nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sỹ:
Leonhard Euler. Chính ông là người đã sử dụng đồ thị để giải bài toán nổi
tiếng về 7 cái cầu ở thành phố Konigberg. Một cách không chính thức, đồ thị
là một tập các đối tượng được gọi là các đỉnh (hoặc nút) nối với nhau bởi
các cạnh (hoặc cung). Cạnh có thể có hướng hoặc vô hướng. Đồ thị thường
được vẽ dưới dạng một tập các điểm (các đỉnh nối với nhau bằng các đoạn

thẳng (các cạnh). Có rất nhiều loại đồ thị đã được nghiên cứu như là cây, đồ
thị ngẫu nhiên, đồ thị có hướng và vô hướng, đồ thị trọng số và không có
trọng số.
Tuy nhiên, do việc tính toán trên đồ thị thường là cần khối lượng tính toán
cũng như không gian nhớ lớn,vì vậy gần đây cùng với sự phát triển mạnh mẽ
của kỹ thuật máy tính điện tử, các bài toán tối ưu trên đồ thị ngày càng được
quan tâm và đã đạt được nhiều kết quả khả quan.
Ngày nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, đặc
biệt là máy tính, người ta có khả năng giải quyết được nhiều bài toán rất phức
tạp. Tuy nhiên, còn những vấn đề là “không giải được” cho dù kỹ thuật máy
tính có phát triển và cũng có những vấn đề được xem là “quá phức tạp”, vượt
mọi khả năng tính toán thực tế vì mất quá nhiều thời gian. Việc nghiên cứu về
độ phức tạp của thuật toán đã cho phép chúng ta phân loại được các lớp bài
toán theo từng mức độ phức tạp khác nhau, và chỉ ra ranh giới giữa các lớp
bài toán giải được và những lớp bài toán không thể giải được trong thời gian
đa thức.


9

Trong khuôn khổ của luận văn thạc sỹ, tôi chọn đề tài “Một số bài toán tối
ưu rời rạc trong lý thuyết đồ thị” nhằm nghiên cứu về lý thuyết đồ thị, độ
phức tạp của thuật toán.
2. Đối tượng nghiên cứu
Tìm hiểu tổng quan về tối ưu rời rạc, một số bài toán tối ưu thuộc lớp P ,
NP-C trong lý thuyết đồ thị
3. Phạm vi nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu các kiến thức chung về tối ưu rời rạc và lý thuyết đồ
thị, và tập trung vào một số bài toán tối ưu thuộc các lớp P, NP-C trong lý

thuyết đồ thị và các thuật giải chúng.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu chung về tối ưu rời rạc và lý thuyết đồ thị
Tìm hiểu một số bài toán tối ưu thuộc lớp P (Polynomial) trong lý thuyết
đồ thị và thuật giải
- Tìm hiểu một số bài toán tối ưu thuộc lớp NP-hard trong lý thuyết đồ thị
và thuật giải
- Cài đặt một thuật toán và thử nghiệm.
5. Những nội dung nghiên cứu chính
-

Bố cục của luận văn gồm phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài, đối
tượng và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài. Chương một, tập trung trình bày
một số kiến thức cơ bản về lý thuyết đồ thị các bài toán NP-C. Chương hai,
trình bày một số bài toán tối ưu lớp P trong đồ thị. Chương 3, một số bài toán
tối ưu thuộc lớp NP-C trong đồ thị, trong chương này tôi trình bày phần cài
đặt chương trình ứng dụng.
Với những kết quả đạt được, phần cuối của luận văn nêu ra tính hiệu
quả của nghiên cứu, đánh giá thuật toán và nêu vài đề xuất nhằm tối ưu thuật
toán, đánh giá các kết quả đạt được, những hạn chế và đề xuất hướng nghiên
cứu tiếp theo của đề tài.
6. Phương pháp nghiên cứu
-

Phương pháp đọc tài liệu

-

Phương pháp quan sát

-

Phương pháp phân tích – tổng hợp lý thuyết.

-

Phương pháp thực nghiệm.


10

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT
ĐỒ THỊ CÁC BÀI TOÁN NP-C
1.1. Các khái niệm cơ bản về đồ thị
Định nghĩa đồ thị
Trong toán học và tin học, đồ thị là đối tượng nghiên cứu cơ bản của lý
thuyết đồ thị. Một cách không chính thức, đồ thị là một tập các đối tượng gọi
là đỉnh nối với nhau bởi các cạnh. Thông thường, đồ thị được vẽ dưới dạng
một tập các điểm (đỉnh, nút) nối với nhau bởi các đoạn thẳng (cạnh). Tùy theo
ứng dụng mà một số cạnh có thể có hướng. Chúng ta phân biệt các loại đồ thị
khác nhau bởi kiểu và số lượng cạnh nối hai đỉnh nào đó của đồ thị.
Định nghĩa 1.1 [3]. Đơn đồ thị vô hướng G=(V, E) bao gồm V là tập các
đỉnh, và E là tập các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V
gọi là các cạnh.

Hình 1.: Đồ thị vô hướng
Định nghĩa 1.2.[3] Đa đồ thị vô hướng G=(V, E) bao gồm V là tập các đỉnh,
và E là họ các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là
các cạnh. Hai cạnh e1 và e2 được gọi là cạnh lặp nếu chúng cùng tương ứng

với một cặp đỉnh.
Định nghĩa 1.3.[3] Đơn đồ thị có hướng G=(V, E) bao gồm V là tập các đỉnh,
và E là tập các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cung.

Hình 1.2: Đồ thị có hướng
Định nghĩa 1.4. [3] Đa đồ thị có hướng G=(V, E) bao gồm V là tập các đỉnh,
và E là họ các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các
cung. Hai cung e1 và e2 được gọi là cung lặp nếu chúng cùng tương ứng với
một cặp đỉnh.


11

Hình 1.3: Đa đồ thị
Hai loại đồ thị cơ bản:
a) Đồ thị vô hướng (6 đỉnh, 9 cạnh). b) Đồ thị có hướng (5 đỉnh, 7 cung).
Định nghĩa 1.5. [3] Đồ thị hỗn hợp G=(V, E, A ) bao gồm V là tập các đỉnh,
E là tập các cạnh (E≠Ø) và A là tập các cung (A ≠Ø) của đồ thị.

Hình 1.4: Đồ thị hỗn hợp
Đồ thị hỗn hợp (6 đỉnh 5 cạnh, 4 cung)
Số đỉnh của đồ thị G là số phần tử trong V.
Chúng ta có thể coi các đồ thị vô hướng và có hướng là các trường hợp riêng
của đồ thị hỗn hợp G=(V, E, A) khi mà A =Ø hoặc E=Ø.
1.1.1. Các thuật ngữ cơ bản
Định nghĩa 1.6.[3] Hai đỉnh u và v của đồ thị vô hướng G được gọi là kề
nhau nếu (u,v) là cạnh của đồ thị G. Nếu e=(u,v) là cạnh của đồ thị thì chúng
ta nói cạnh này là liên thuộc với hai đỉnh u và v, hoặc cũng nói là cạnh e là
nối đỉnh u và đỉnh v, đồng thời các đỉnh u và v sẽ được gọi là các đỉnh đầu
của cạnh (u,v).

Để có thể biết được bao nhiêu cạnh liên thuộc với một đỉnh, ta đưa vào
định nghĩa sau
Định nghĩa 1.7.[3] Chúng ta gọi bậc của đỉnh v trong đồ thị vô hướng là số
cạnh liên thuộc với nó và sẽ kí hiệu là deg(v).


12

Định lý 1.1. [3] Giả sử G=(V,E) là đồ thị vô hướng với m cạnh. Khi đó

2m = ∑ deg(v)
v∈V

Chứng minh. Rõ ràng mỗi cạnh e=(u,v) được tính một lần trong deg(u) và
một lần trong deg(v). Từ đó suy ra tổng tất cả các bậc của các đỉnh bằng hai
lần số cạnh.
Ví dụ 1.1: Đồ thị với n đỉnh và mỗi đỉnh có bậc là 6 có bao nhiêu cạnh?
Giải: Theo định lý 1.1, ta có 2m=6n. Từ đó suy ra số cạnh của đồ thị là 3n.
Hệ quả 1.1.[3] Trong đồ thị vô hướng, số đỉnh bậc lẻ (nghĩa là có bậc là số
lẻ) là một số chẵn.
Chứng minh. Thực vậy, gọi O và U tương ứng là tập đỉnh bậc lẻ và tập đỉnh
bậc chẵn của đồ thị. Ta có
Do deg(v) là chẵn với v là đỉnh trong U nên tổng thứ hai trong vế phải ở trên
là số chẵn. Từ đó suy ra tổng thứ nhất (chính là tổng bậc của các đỉnh bậc lẻ)
cũng là số chẵn, do tất cả các số hạng của nó là số lẻ, nên tổng này phải gồm
một số chẵn các số hạng. Vì vậy, số đỉnh bậc lẻ phải là số chẵn.
Định nghĩa 1.8.[3] Nếu e=(u,v) là cung của đồ thị có hướng G thì chúng ta
nói hai đỉnh u và v là kề nhau, và nói cung (u,v) nối đỉnh u và đỉnh v hoặc
cũng nói cung này là đi ra khỏi đỉnh u và đi vào đỉnh v. Đỉnh u (v) sẽ được
gọi là đỉnh đầu (cuối) của cung (u,v)

Định nghĩa 1.9.[3] Chúng ta gọi bán bậc ra (bán bậc vào) của đỉnh v trong
đồ thị có hướng là số cung của đồ thị đi ra khỏi nó (đi vào nó) và ký hiệu là

deg + (v)(deg − (v))

Hình 1.5. Đồ thị có hướng
Ví dụ 1.2. Xét đồ thị cho trong hình 1.5. Ta có
deg-(A) = 2, deg-(B) = 3, deg-(C) = 1, deg-(D) = 2, deg-(E) = 2
deg+(A) =3, deg+(B) =2, deg+(C) =2, deg+(D) = 2, deg+(E) =1
1.1.2. Đường đi, chu trình và đồ thị liên thông
Định nghĩa 1.12.[3] Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó
n là số nguyên dương, trên đồ thị vô hướng G = (V, E) là dãy
x0 , x1 , ..., xn-1 , xn ,
trong đó u = x0 , v = xn , (xi , xi+1 ) ∈ E, i = 0, 1, 2, ..., n - 1.
Đường đi nói trên còn có thể biểu diễn dưới dạng dãy các cạnh:
(x0 , x1 ), (x1 , x2 ), ..., (xn-1 , xn ).


13

Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi. Đường đi
có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u = v) được gọi là chu trình. Đường đi
hay chu trình được gọi là đơn nếu như không có cạnh nào bị lặp lại.
Ví dụ 1.3. Xét đồ thị vô hướng cho trong hình 1.6.

Hình 1.6. Đường đi trên đồ thị vô hướng
Ta có: a, d, c, f, e là đường đi đơn độ dài 4. Còn d, e, c, a không là đường đi,
do (c, e) không phải là cạnh của đồ thị. Dãy b, c, f, e, b là chu trình độ dài 4.
Đường đi a, b, e, d, a, b có độ dài là 5 không phải là đường đi đơn, do cạnh (a,
b) có mặt trong nó hai lần.

Định nghĩa 1.13.[3] Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số
nguyên dương, trên đồ thị có hướng G = (V, A) là dãy
x0 , x1 , ..., xn-1 , xn ,
với u = x0 , v = xn , (xi , xi+1 ) ∈ A, i = 0, 1, 2, ..., n - 1.
Đường đi nói trên còn có thể biểu diễn dưới dạng dãy các cung:
(x0 , x1 ), (x1 , x2 ), ..., (xn-1 , xn ).
Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi. Đường đi
có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u = v) được gọi là chu trình. Đường đi
hay chu trình được gọi là đơn nếu như không có cạnh nào bị lặp lại.
Ví dụ 1.4. Xét đồ thị có hướng cho trong hình 1.7

Hình 1.7. Đường đi trên đồ thị có hướng
Ta có a, d, c, f, e là đường đi đơn độ dài 4. Còn d, e, c, a không là đường đi,
do (c, e) không phải là cạnh của đồ thị. Dãy b, c, f, e, b là chu trình độ dài 4.
Đường đi a,b, e, d, a, b có độ dài là 5 không phải là đường đi đơn, do cạnh (a,
b) có mặt trong nó hai lần.
Nếu sử dụng đồ thị để biểu diễn mạng máy tính (trong đó các đỉnh của đồ
thị tương ứng với các máy tính, còn các cạnh tương ứng với các kênh nối) câu
hỏi đặt ra là hai máy tính bất kì có thể trao đổi thông tin với nhau hoặc trực
tiếp qua kênh nối chúng hoặc thông qua một vài máy tính trong mạng trung
gian không? Câu hỏi đó được phát biểu trong ngôn ngữ đồ thị như sau: Tồn


14

tại hay không đường đi giữa mọi cặp đỉnh của đồ thị? Để trả lời câu hỏi đó ta
xét định nghĩa.
Định nghĩa 1.14.[3] Đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là liên thông
nếu luôn tìm được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.
Hai máy tính bất kì trong mạng có thể trao đổi thông tin được với nhau

khi và chỉ khi đồ thị tương ứng với mạng này là đồ thị liên thông.
Ví dụ 1.5. Trong hình 1.8: Đồ thị G là liên thông, còn đồ thị H là không liên thông

Hình 1.8. Đồ thị liên thông G và đồ thị H gồm 3 thành phần liên thông H1, H2,
H3
1.1.3. Đồ thị có trọng số
Đồ thị được sử dụng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Chẳng hạn, đồ thị được sử dụng để xác định các mạch vòng trong vấn đề giải
tích mạch điện. Chúng ta có thể xác định xem hai máy tính trong mạng có thể
trao đổi thông tin với nhau được hay không. Khi đó, đồ thị được sử dụng để
biễu diễn mạng truyền thông với các đỉnh là các nút mạng, các cạnh, các cung
là các đường truyền dữ liệu giữa các nút mạng. Đồ thị có thể dùng để biễu
diễn các đường đi trong một vùng: các đỉnh tương ứng với các ngã 3, ngã 4,
còn các cạnh, các cung tương ứng là các đường đi 2 chiều và đường đi 1
chiều. Để cấu trúc đồ thị có thể biễu diễn được các bài toán thực tế người ta
đưa vào khái niệm đồ thị có trọng số, trên mỗi cạnh hay mỗi cung được gán
một trọng số thể hiện chi phí cho việc thực hiện một mục đích nào đó trên
cạnh hay trên cung.
Định nghĩa 1.17.[3] Chúng ta kí hiệu đồ thị có trọng số là bộ 4 G=(V, E, A,
w), trong đó, w là hàm trọng số
w: E ∪ A → R ,
R: tập số thực,
ngoài ra còn có thể kí hiệu w bằng c hoặc weight, cost. Cho S là một tập con
của E ∪ A, khi đó chúng ta kí hiệu w(S)=∑w(s)| s ∈ S là giá trị trọng số của
tập S.
1.1.4. Các cấu trúc dữ liệu biểu diễn đồ thị
Có nhiều cách khác nhau để lưu trữ các đồ thị trong máy tính. Sử dụng cấu
trúc dữ liệu nào thì tùy theo cấu trúc của đồ thị và thuật toán dùng để thao tác
trên đồ thị đó. Trên lý thuyết, người ta có thể phân biệt giữa các cấu trúc danh
sách và các cấu trúc ma trận. Tuy nhiên, trong các ứng dụng cụ thể, cấu trúc

tốt nhất thường là kết hợp của cả hai. Người ta hay dùng các cấu trúc danh


15

sách cho các đồ thị thưa (sparse graph), do chúng đòi hỏi ít bộ nhớ. Trong khi
đó, các cấu trúc ma trận cho phép truy nhập dữ liệu nhanh hơn, nhưng lại cần
lượng bộ nhớ lớn nếu đồ thị có kích thước lớn.
Biểu diễn đồ thị: [2]
Một cách biểu diễn đồ thị không có cạnh bội là liệt kê tất cả các cạnh của
đồ thị. Nói cách khác, để biểu diễn đồ thị không có cạnh bội ta dùng danh
sách kề. Danh sách này chỉ rõ các đỉnh nối với mỗi đỉnh của đồ thị.
Ví dụ 1.6. Dùng danh sách kề để mô tả đơn đồ thị trên hình 1.9.
a
e
b
d
c

Hình 1.9. Đơn đồ thị

Bảng 1.1 Liệt kê tất cả các đỉnh kề với mỗi đỉnh của đồ thị.
Đỉnh
Các đỉnh kề
a
b,c,e
b
a
c
a,d,e

d
c,e
e
a,c,d
Ví dụ 1.7. Biểu diễn đồ thị có hướng trên hình 1.10 bằng cách liệt kê tất cả
các đỉnh cuối của các cung xuất phát từ mỗi đỉnh của đồ thị.
a
e
b
d
c

Hình 1.10. Đồ thị có hướng
Bảng 1.2. Biểu diễn đồ thị có hướng trên hình 1.10.
Đỉnh
Các đỉnh kề
a
b,c,d,e
b
b,d
c
a,c,e


16

d
e

b,c,d

Ma trận kề [2]
Khi biểu diễn đồ thị bởi danh sách các cạnh hay danh sách kề, thì việc thực
hiện một thuật toán có thể sẽ rất cồng kềnh, nếu đồ thị có nhiều cạnh. Để đơn
giản việc tính toán ta có thể biểu diễn đồ thị bằng ma trận. Có hai kiểu ma
trận thường được dùng để biểu diễn đồ thị sẽ được giới thiệu dưới đây.
Giả sử G= (V, E) là một đơn đồ thị, trong đó |V| = n và các đỉnh được liệt
kê một cách tùy ý v1,…vn. Ma trận kề A ( hay AG) của G ứng với danh sách
các đỉnh này là ma trận không - một cấp n x n có phần tử tại vị trí hàng i cột j
bằng 1 nếu vi và vj kề nhau và bằng 0 nếu chúng không được nối với nhau.
Nói cách khác, ma trận kề của đồ thị là ma trận A = [aij] trong đó
1 nếu{ vi,vj} là một cạnh của G
0 nếu không có cạnh nối đỉnh vi với vj
aij =
Ví dụ 1.8. Dùng ma trận kề hãy biểu diễn đồ thị trên hình 1.11
a
d
b
c

Hình 1.11. Đơn đồ thị
Ta sắp xếp các đỉnh theo thứ tự a, b, c, d. Ma trận biểu diễn đồ thị này là:

Ma trận kề cũng có thể dùng để biểu diễn đồ thị vô hướng có khuyên và có
cạnh bội. Khuyên tại đỉnh ai được biểu diễn bằng 1 tại vị trí (i,j) của ma trận
kề. khi có cạnh bội, ma trận kề không còn là ma trận không - một nữa, vì phần
tử ở vị trí thứ (i,j) của ma trận này bằng số cạnh nối các đỉnh ai và aj . Tất cả
các đồ thị vô hướng, kể cả đa đồ thị và giả đồ thị đều có ma trận kề đối xứng.
Ví dụ 1.9. Dùng ma trận kề biểu diễn giả đồ thị trên hình 1.12
a

d


17

b
c

Hình 1.12. Giả đồ thị
Ma trận kề với thứ tự các đỉnh a, b, c, d là:

Ma trận kề của đồ thị có hướng G = (V, E) có giá trị bằng 1 tại vị trí (i,j)
nếu có một cạnh (cung) từ vi tới vj trong đó v1,v2,…,vn là một danh sách bất kỳ
của các đỉnh đồ thị. Nói cách khác, nếu A = [aij] là ma trận kề của đồ thị có
hướng theo danh sách này của đỉnh thì
1 nếu có cạnh đi từ vi tới vj
0 trong các trường hợp khác
aij =
Ma trận liên thuộc [2]
Một cách thường dùng nữa để biểu diễn đồ thị là dùng ma trận liên thuộc.
Giả sử G = (V, E) là một đồ thị vô hướng, v1,v2,…,vn là tập các đỉnh, còn e1,e2,
…,em là tập các cạnh của nó. Khi đó ma trận liên thuộc theo thứ tự trên của V
và E là ma trận M = [mij], trong đó
1 nếu có cạnh ej nối với đỉnh vi
0 nếu có cạnh ej không nối với đỉnh vi
mij =
Ví dụ 1.10. Hãy biểu diễn đồ thị trên hình 1.13 bằng ma trận liên thuộc.
v1
v2
v3

v4
v5
e1
e3
e2


18

e4
e6
e5

Hình 1.13. Đồ thị vô hướng
Ma trận liên thuộc có dạng

1.2. Khái niệm về lớp các bài toán P và NP
1.2.1. Khái niệm các loại thời gian tính
Thời gian tính tốt nhất: là thời gian tính tối thiểu cần thiết để thực hiện
thuật toán với mọi bộ dữ liệu đầu vào kích thước n.
Thời gian tính tồi nhất: là thời gian tính tối đa cần thiết để thực hiện thuật
toán với mọi bộ dữ liệu đầu vào có kích thước n
Thời gian tính trung bình: là thời gian tính cần thiết để thực hiện thuật toán
trên một tập hữu hạn các bộ dữ liệu đầu vào có kích thước n. Thời gian tính
trung bình được tính theo công thức sau:
Thời gian tính trung bình = (Tổng thời gian tính tất cả các bộ dữ liệu có
thể)/ Số bộ dữ liệu.
Định nghĩa 1.18. Bài toán quyết định là bài toán mà đầu ra chỉ có thể là
‘yes’ hoặc ‘no’(đúng/sai, 0/1).
Đối với một bài toán quyết định, có những bộ dữ liệu vào cho ra câu trả lời

(đầu ra) là ‘yes’, chúng ta gọi đây là bộ dữ liệu ‘yes’, nhưng cũng có những
bộ dữ liệu vào cho ra câu trả lời là ‘no’, chúng ta gọi những bộ dữ liệu này là
bộ dữ liệu ‘no’.
1.2.2. Lớp bài toán P.
Định nghĩa 1.19.[1] Một máy Turing M được gọi là có độ phức tạp thời gian
T(n) (hoặc thời gian chạy T(n)) nếu mỗi khi M được cho một nguyên liệu đầu
vào w có độ dài n thì M sẽ dừng sau khi thực hiện tối đa T(n) bước chuyển,
bất kể M có kiểm nhận w hay không.
Chúng ta chủ yếu quan tâm khi T(n) là một hàm đa thức.
Một ngôn ngữ L thuộc lớp P nếu có một hàm đa thức T(n) sao cho L =
L(M) với một máy Turing đơn định M nào đó có độ phức tạp thời gian T(n)


19

Ví dụ 1.11: [2] Thuật toán Kruskal tìm cây khung bé nhất của một đồ thị có V
là số đỉnh và E là số cạnh với thời gian O(E log V). Thời gian thực hiện bởi
máy Turing cũng cùng bậc như vậy.
1.2.3. Lớp bài toán NP.
Định nghĩa 1.20.[1] Ngôn ngữ L thuộc lớp NP (Nondeterministic
Polynomial) nếu ∃ máy Turing không đơn định M và một độ phức tạp thời
gian T(n) sao cho L=L(M) và khi M được cho một nguyên liệu có độ dài n thì
nó sẽ kiểm nhận sau không quá T(n) bước chuyển.
Nhận xét: Vì mỗi máy Turing đơn định đều là máy Turing không đơn định
không bao giờ có lựa chọn bước chuyển nên P ⊆ NP. Tuy nhiên, dường như
NP cũng chứa nhiều bài toán không thuộc lớp P. Một câu hỏi toán học sâu sắc
còn bỏ ngỏ là liệu P = NP hay không, nghĩa là mọi thứ có thể thực hiện được
bởi một NTM thật sự trong thời gian đa thức có thể được thực hiện bởi một
DTM trong một thời gian đa thức hay không, dù có thể là một hàm đa thức
bậc cao hơn.

1.2.4. Lớp bài toán NP-đầy đủ (NP-Complete).
Định nghĩa 1.21.[1] Ta nói L là bài toán thuộc loại NP-C nếu các khẳng
định sau là đúng:
1) L thuộc NP
2) Với mọi ngôn ngữ L’ ∈ NP có một phép thu thời gian đa thức L’ về L
Định lý 1.2.[1] Nếu bài toán P1 là NP-C, P2 là NP và có một phép thu thời
gian đa thức từ P1 về P2 thì P2 cũng là NP-C.
Chứng minh: Ta cần chứng tỏ rằng mỗi ngôn ngữ L thuộc NP đều thu được
P2 trong thời gian đa thức. Khi đó theo định nghĩa P2 sẽ thuộc NP-C.
Thật vậy, vì P1 là NP-C nên có một phép thu đa thức L về P1. Giả sử thời
gian của phép thu này là P(n). Vì thế một chuỗi W ∈ L có chiều dài n được
biến đổi thành một chuối x ∈ P1 có chiều dài tối đa là P(n). Ta cũng biết rằng
có một phép thu đa thức từ P1 về P2. Giả sử thời gian của phép thu này là
q(m). Thế thì phép thu này biến đổi chuỗi x ∈ P1 về chuỗi y nào đó thuộc P2
với thời gian tối đa là q(p(n)). Vì thế phép biến đổi W ∈ L về y ∈ P2 mất thời
gian tối đa là p(n) + q(p(n)), đây cũng là một đa thức. Như vậy, ta kết luận
rằng L có thể thu về P2 trong thời gian đa thức.
Định lý 1.3.[1] Nếu có một bài toán nào đó là NP-C mà lại thuộc lớp P thì ta
có P = NP.
Chứng minh: Giả sử có bài toán Q ∈ NP-C và Q ∈ P. Thế thì mọi ngôn ngữ
L trong NP đều thu được về Q trong thời gian đa thức. Nếu Q ∈ P thì L ∈ P.
Như vậy NP ∈ P. Kết hợp với điều hiển nhên là P ∈ NP ta được P = NP.
Nhận xét: Chúng ta vẫn tin tưởng rằng nhiều bài toán thuộc lớp NP nhưng
không thuộc P nên chúng ta sẽ xem việc chứng minh một bài toán là NP-C có
giá trị ngang với việc chứng minh rằng nó không thể giải được trong thời gian


20

đa thức, và vì thế không có lời giải đúng nào bằng máy tính (và ta sẽ chỉ đi

tìm lời giải gần đúng).
1.2.5. Lớp bài toán NP-khó (NP-Hard).
Một cách ngắn gọn có thể hiểu bài toán NP-khó là bài toán mà không có
thuật toán thời gian tính đa thức để giải nó trừ khi P = NP, mà chỉ có các thuật
toán giải trong thời gian hàm mũ. Sau đây là định nghĩa chính thức của bài
toán NP-khó.
Định nghĩa 1.22.[1]. Một bài toán A được gọi là NP- khó (NP-hard) nếu như
sự tồn tại thuật toán đa thức để giải nó kéo theo sự tồn tại thuật toán đa thức
để giải mọi bài toán trong NP.
Như vậy mọi bài toán NP-C đều là NP-Hard.
Một số bài toán NP-khó tiêu biểu như:
Bài toán bè cực đại (MaxClique): Cho một đồ thị vô hướng G = (V, E). V là
tập các đỉnh, E là tập các cạnh tương ứng các đỉnh trong V. Cần tìm bè lớn
nhất của G. Bè là tập các đỉnh trong đồ thị mà đôi một có cạnh nối với nhau
(là một đồ thị con đầy đủ trong đồ thị G).
Bài toán phủ đỉnh (Vertex cover): Ta gọi một phủ đỉnh của đồ thị vô hướng
G = (V, E) là một tập con các đỉnh của đồ thị S ⊆ V sao cho mỗi cạnh của đồ
thị có ít nhất một đầu mút trong S. Bài toán đặt ra là: Cho đồ thị vô hướng G
= (V, E) và số nguyên k. Hỏi G có phủ đỉnh với kích thước k hay không?
Một cách không hình thức, có thể nói rằng nếu ta có thể giải được một cách
hiệu quả một bài toán NP-khó cụ thể, thì ta cũng có thể giải hiệu quả bất kỳ
bài toán trong NP bằng cách sử dụng thuật toán giải bài toán NP-khó như một
chương trình con.
Từ định nghĩa bài toán NP-khó có thể suy ra rằng mỗi bài toán NP-đầy đủ
đều là NP-khó. Tuy nhiên một bài toán NP-khó không nhất thiết phải là NPđầy đủ.
Cũng từ bổ đề nêu trên, ta có thể suy ra rằng để chứng minh một bài toán A
nào đó là NP-khó, ta chỉ cần chỉ ra phép qui dẫn một bài toán đã biết là NPkhó về nó.
Từ phần trình bày trên, ta thấy có rất nhiều bài toán ứng dụng quan trọng
thuộc vào lớp NP-khó, và vì thế khó hy vọng xây dựng được thuật toán đúng
hiệu quả để giải chúng. Do đó, một trong những hướng phát triển thuật toán

giải các bài toán như vậy là xây dựng các thuật toán gần đúng.


21

Hình 1.14. Mô hình phân lớp các bài toán


22

Chương 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU LỚP P, NP-C TRONG ĐỒ THỊ

2.1. Bài toán tìm cây khung bé nhất -Thuật toán Kruskal
Một công ty lập kế hoạch xây dựng mạng truyền thông nối năm trung tâm
máy tính với nhau. Bất kì hai trung tâm nào cũng có thể được nối kết với nhau
bằng đường điện thoại. Cần phải kết nối như thế nào để đảm bảo giữa hai
trung tâm máy tính bất kì luôn có đường truyền thông sao cho tổng số tiền
thuê bao của toàn mạng là tối thiểu? Chúng ta cần mô hình bài toán này bằng
đồ thị có trọng số như hình 2.1, trong đó mỗi đỉnh là một trung tâm máy tính,
mỗi cạnh là một đường truyền thông được thuê bao, còn trọng số của mỗi
cạnh là tiền thuê bao hàng tháng của đường truyền thông được biểu thị bằng
cạnh đó. Có thể giải bài toán này bằng cách tìm cây khung sao cho tổng các
trọng số của các cạnh của cây đạt cực tiểu. Cây khung như thế được gọi là cây
khung nhỏ nhất.
San Francisco
Chicago
New York
Atlanta
Denver
$2000

$1200
$1300
$1400
$900
$700
$1600
$2200
$1000
$800

Hình 2.1. Đồ thị có trọng số biểu thị tiền thuê bao hàng tháng đường truyền
thông trong mạng máy tính
Định nghĩa 2.1.[2] Cây khung nhỏ nhất trong một đồ thị liên thông có trọng
số là cây khung có tổng trọng số trên các cạnh của nó là nhỏ nhất.
Để minh hoạ cho ứng dụng của bài toán cây khung nhỏ nhất, dưới đây ta
nghiên cứu thuật toán Kruskal.
Tư tưởng [6]
Thuật toán do Joseph Kruskal phát minh vào năm 1956. Để thực hiện thuật
toán Kruskal, chọn cạnh có trọng số nhỏ nhất của đồ thị.


23

Lần lượt ghép thêm vào cạnh có trọng số tối thiểu và không tạo thành chu
trình với các cạnh đã được chọn. Thuật toán dừng sau khi (n-1) cạnh đã được
chọn.
Giả sử ta cần tìm cây bao trùm nhỏ nhất của đồ thị G. Thuật toán bao gồm
các bước sau:
• Khởi tạo rừng F (tập hợp các cây), trong đó mỗi đỉnh của G tạo thành một
cây riêng biệt

• Khởi tạo tập S chứa tất cả các cạnh của G
• Chừng nào S còn khác rỗng và F gồm hơn một cây
 Xóa cạnh nhỏ nhất trong S
 Nếu cạnh đó nối hai cây khác nhau trong F, thì thêm nó vào F và hợp hai
cây kề với nó làm một
 Nếu không thì loại bỏ cạnh đó.
Khi thuật toán kết thúc, rừng chỉ gồm đúng một cây và đó là một cây bao
trùm nhỏ nhất của đồ thị G.
Thuật toán Kruskal [2]
Procedure Kruskal (G: đồ thị V đỉnh, liên thông, có trọng số)
T:= đồ thị rỗng
for i := 1 to n-1
begin
e := một cạnh bất kì của G với trọng số nhỏ nhất và không tạo ra chu trình
trong T, khi ghép nó vào T.
T:= T với cạnh e đã được ghép thêm vào.
end { T là cây khung nhỏ nhất}
Độ phức tạp [6]
Nếu E là số cạnh và V là số đỉnh của đồ thị thì thuật toán Kruskal chạy
trong thời gian O(E log V).
Ví dụ 2.1. Cho đồ thị G như hình 2.2, yêu cầu tìm ra cây khung nhỏ nhất của
đồ thị G ?


24

Hình 2.2. Đồ thị có trọng số G
G gồm có 8 đỉnh
Đồ thị G có n phần tử. Thuật toán Kruskal sẽ dừng khi có n-1 trong tập hợp T
n=8

Vậy số cạnh trong tập hợp T: n - 1 = 8 - 1 = 7
Bước 1: Bảng 2.1: Sắp xếp các cạnh theo thứ tự trọng số tăng dần có:
Cạnh

Trọng số

Cạnh (1,5)

1

Cạnh (4, 8)

1

Cạnh (7,8)

1

Cạnh (1, 6)

2

Cạnh (2, 3)

2

Cạnh (3, 8)

3

Cạnh (1, 3)

4

Cạnh (3, 7)

4

Cạnh (4, 5)

5

Cạnh (4, 6)

5

Cạnh (1, 4)

6

Cạnh (5, 6)

6

Cạnh (2, 4)

7

Cạnh (6, 8)

7

Cạnh (1, 2)

8

Cạnh (6, 7)

8

Cạnh (4, 3)

9

và khởi tạo T := Ø.
Bước 2: Duyệt theo cạnh e thuộc danh sách đã sắp xếp
+ Vì T + {(1, 5)} không chứa
chu trình thì ghép cạnh (1,5)
vào cây T:= T + {(1,5)}.


25

+ Vì T + {(4, 8)} không chứa
chu trình thì ghép cạnh (4,8)
vào cây T:= T + {(4, 8)}

+ Vì T + {(7, 8)} không chứa
chu trình thì ghép cạnh (7,8)
vào cây

T:= T + {(7, 8)}

+ Vì T + {(1, 6)} không chứa
chu trình thì ghép cạnh (1,6)
vào cây
T:= T + {(1, 6)}

+ Vì T + {(2, 3)} không chứa
chu trình thì ghép cạnh (2,3)
vào cây
T:= T + {(2, 3)}