Luyen Thi HSG 9

Một số bài toán ôn tập
Bài 1 : (Đề 16)
a. Biết các số x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình bậc hai : ax
2
+ bx + c = 0, và các số dơng x
3
, x
4
là các nghiệm của phơng trình bậc hai : cx
2
+ bx + a = 0, trong đó a và c là các số dơng . Với điều kiện
nào của a và c thì biểu thức
1 2 3 4
M x x x x= +
đạt giá trị nhỏ nhất ?
b. Chứng minh rằng nếu cặp giá trị (x, y) nghiệm đúng các phơng trình : x
2
- 3xy + 2y
2
+ x - y = 0
(1) và x
2
- 2xy + y
2
- 5x + 7y = 0 (2) thì cũng nghiệm đúng phơng trình : xy - 12x +15 y = 0 (3) .
c. Cho dãy số nguyên dơng lẻ tăng a
1

< a
2
< a
3
< ...< a
n
Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n (n 1), giữa hai số a
1
+ a
2
+ a
3
+ ... + a
n - 1
và a
1
+ a
2
+ a
3
+ ... + a
n
+ a
n+1
bao giờ cũng có ít nhất một số chính phơng k
2
.
Bài 2: (Đề 15)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì phơng trình sau đây vô nghiệm : a
2

x
2
+ (a
2
+ b
2
- c
2
)x + b
2
= 0.
Bài 3: (Đề 17)
a.Giải phơng trình :
x 2 2x 5 x 2 3 2x 5 7 2 + + + + =
b. Giải hệ phơng trình :
2
2
xy 4 8 y
xy 2 x

=


= +


Bài 4: (Đề 18)
a. Chứng minh rằng nếu :
2 4 2 2 2 4
3 3

x x y y x y a+ + + =
thì
3
32 2 2
3
x y a+ =
b. Cho phơng trình :
( )
4 2
m 2 x 2mx m 4 0 + + =
(1)
1. Tìm điều kiện của m để phơng trình có bốn nghiệm phân biệt .
2. Tìm m để bốn nghiệm x
1
< x
2
< x
3
< x
4
thỏa mãn điều kiện : x
2
- x
1
= x
3
- x
2
= x
4

- x
3
Bài 5: (Đề 19)
a. Giải phơng trình :
( )
( )
3
3
4 y 1 y 1 4
x 1
10
x
y 1
+
+
+ =

b. Giải hệ phơng trình :
2
2
2
5
x (y z)
3
y (z x) 3
1
z (x y)
3

=

=



=


Bài 6: (Đề 21)
a. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện : xy + yz + xz = 0 . Đặt
2 2 2 2 2 2
a x xy y ; b y yz z ;c x xz z= + + = + + = + +
với a, b, c là các số dơng . Hỏi a, b, c có thể là các
cạnh của một tam giác đợc hay không ?
b. Ba số thực a, b, c thỏa mãn :
a b c 0
ab bc ca 0
abc 0
+ + <


+ + >


<

. Chứng minh a, b, c < 0
Bài 7: (Đề 22)

a. Cho đa thức f(x) = ax
4
+ bx
3
+cx
2
+ dx + e . Biết rằng với x = 0 và x = 1 thì f(x) là số lẻ, trong đó
a, b, c, d, e Z . Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 không có nghiệm nguyên.
b. Với số nguyên dơng n nào thì các số dơng a
1
, a
2
, ..., a
n
thỏa mãn hệ phơng trình sau : :
1 2 n
1 2 n
a a ... a 2
1 1 1
... 2
a a a
+ + + =



+ + + =


Bài 8: (Đề 24)
a. P(2) là giá trị của đa thức P(x) khi x = 2 . Chứng minh rằng P(x) - P(2) chia hết cho x - 2.

b.Tìm giá trị của đa thức Q(x) khi x = 2, biết giá trị của đa thức P(x) với x = 2 là P(2) = 4 và biết số
d trong phép chia (2x - 5).P(x) + (4x - 1).Q(x) cho x - 2 là 17.
Bài 9: (Đề 26)
Cho ba số a, b, c tùy ý . Chứng minh rằng trong ba số (a - b)
2
; (b - c)
2
; (c - a)
2
ít nhất có một số không lớn
hơn
2 2 2
a b c
2
+ +
và khi nào thì số nhỏ nhất trong ba số trên bằng
2 2 2
a b c
2
+ +
.
Bài 10: (Đề 28)
a. Cho phơng trình 2x
2
+ 2(m + 2)x + m
2
+ 4m + 3 = 0 (1) . Chứng minh rằng khi (1) có nghiệm
thì hai nghiệm của nó thỏa mãn bất đẳng thức :
2
1 2 1 2

2
x x 3x x 1
2

+ + +
ữ
ữ

.
b. Cho hàm số y = f(x) với f(x) là một biểu thức đại số lấy giá trị là số thực khác 0. Biết rằng
2
1
f (x) 3f x
x

+ =
ữ

với mọi số thực x khác 0. Tính giá trị của f(2) .
Bài 11: (Đề 29)
a. Tìm số nguyên x sao cho đa thức 19x + 93 nhận giá trị là số chính phơng.
b. Cho hai phơng trình : x
2
- (2m + n)x - 3m = 0 và x
2
- (m +3n)x - 6 = 0 .Tìm m và n để hai ph-
ơng trình trên tơng đơng với nhau .
Bài 12: (Đề 30)
a. Giải phơng trình :
16 4 1225

82 x 3 y 1 z 665
x 3 y 1 z 665
+ + =

b. Tìm a và b sao cho hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất :
2
2 2 2
xyz z a
xyz z b
x y z 4
+ =


+ =


+ + =



c. Chứng minh rằng nếu phơng trình bậc ba : ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có hai nghiệm thực thì tích hai
nghiệm đó không nhỏ hơn
2
2
4ac b
4a

.
Bài 13: (Đề 32)
a. Cho a, b, c là ba số khác nhau và c khác 0. Chứng minh rằng nếu các phơng trình x
2
+ ax + bc =
0 và x
2
+ bx + ac = 0 có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của chúng thỏa mãn phơng trình
x
2
+ cx + ab = 0 .
b. Cho ba số a, b, c thỏa mãn :
2 2 2
3 3 3
a b c 1
a b c 1

+ + =


+ + =


. Tính tổng M = a + b
2
+ c
3
.
c. Lập phơng trình bậc hai có các hệ số nguyên và có một nghiệm là

2 3
2 3

+
Bài 14: (Đề 33) Cho tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c với các hệ số nguyên .
a. Chứng minh rằng với a, b, c là ba số bất kì thì biệt số của tam thức trên không thể bằng 1994
và cũng không thể bằng 1995.
b. Khi tam thức có các hệ số nguyên thay đổi, hãy tìm số nguyên dơng nhỏ nhất mà không là số
chính phơng .
Bài 15: (Đề 35) Biết các số dơng x, y, z thỏa mãn hệ phơng trình :
2
2
2
2
2 2
y
x xy 25
3
y
z 9
3
z xz x 16

+ + =



+ =

+ + =


Tính giá trị của biểu thức : xy + 2yz + 3 xz .
Bài 16: (Đề 15)
1. Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong một đờng tròn . Một đờng tròn tiếp xúc trong với đờng tròn
đã cho tại điểm T trên cung nhỏ AB và cắt các dây TA, TB, TC lần lợt ở D, E, F .Chứng minh :
a. EF // BC; DF // AC và DE // AB
b. CT = TA + TB
c. Từ các điểm A, B, C vẽ các tiếp tuyến AM, Bn, và CP với đờng tròn nhỏ . Chứng minh CP = AM
+ BN.
2. Cho đờng tròn tâm O và tiếp tuyến PN (N là tiếp điểm). Gọi M là trung điểm đoạn PN. Đờng
tròn tâm O
1
qua P và M cắt đờng tròn tâm O ở A và B .Đờng thẳng BA cắt PN ở Q.
Chứng minh MQ : QN : PM : PQ = 1 : 2 : 3 : 4
Bài 17: (Đề 17) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn và d là tiếp tuyến của đờng tròn tại C . Gọi AH và
BI là các đờng cao của tam giác .
a. Chứng minh HI // d
b. Gọi MN và EF lần lợt là hình chiếu của các đoạn thẳng AH và BI lên đờng thẳng d . Chứng minh
MN = EF.
Bài 18: (Đề 19) Cho đờng tròn tâm O và một đờng thẳng AB tiếp xúc với đờng tròn tại T sao cho T là
trung điểm của đoạn AB, P là một điểm trên đoạn BT (P không trùng với B và T). Từ P kẻ tiếp tuyến PMN
với đờng tròn (O) trong đó M nằm giữa P và N . NB cắt đờng tròn (O) ở E , AM cắt đờng tròn (O) ở I, IE
cắt AB ở F . Chứng minh AF = BP.
Bài 19: (Đề 23)
1. Một hình vuông AMKE nội tiếp tam giác vuông ABC sao cho K thuộc cạnh huyền BC ; E, M

thuộc các cạnh góc vuông CA và AB . Các cạnh hình vuông tỉ lệ với bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác
ABC theo tỉ số
2 2
2
+
. Tính các góc của tam giác .
2. Cho hình vuông ABCD tâm O . Gọi K, N lần lợt là trung điểm các cạnh AB, BC và F là trung
điểm của NC. Từ A kẻ đờng thẳng song song với KF cắt CD tại G. Chứng minh FG là tiếp tuyến đờng tròn
tâm O nội tiếp trong hình vuông.
3. Trên một đờng tròn viết 1994 số tự nhiên, biết rằng mỗi số là trung bình cộng của hai số đứng
lièn trớc và sau nó . Chứng minh tất cả các số đó bằng nhau.
Bài 20: (Đề 24)
Hình thang ABCD ngoại tiếp một đờng tròn với hai cạnh bên AD và BC không song song . Các đáy AB và
CD tiếp xúc với đờng tròn lần lợt ở M và N . Trên cạnh AB lấy điểm M' sao cho AM' = MB . Chứng minh
các đờng thẳng AD, BC, NM' đồng qui.
Bài 21: (Đề 25)
Cho tam giác tam giác vuông cân (AB = AC) . M là một điểm trên cạnh BC khác hai điểm B và C và khác
trung điểm của BC, kẻ MP // AC, MQ // AB (PAB, QAC) . Đờng thẳng qua A song song PQ cắt đờng
tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai R. Tính góc ARM.
Bài 22: (Đề 26)
Từ một điểm P nằm ngoài đờng tròn tam O bán kính R ta kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với A và B là các tiếp
điểm . Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC .
1. Chứng minh rằng: PC cắt AH tại trung điểm của AH.
2. Tính AH theo R và PO = d
Bài 23: (Đề 28)
Cho tam giác ABC vuông ở B nội tiếp đờng tròn tâm O . Trên tia đối của tia BA lấy điểm B sao cho AD =
3AB . Đờng thẳng Dy vuông góc với CD tại D và cắt tiếp tuyến Ax của đờng tròn tâm O tại E. Tam giác
BDE là tam giác gì ? vì sao ?
Bài 24: (Đề 30)
Một đờng tròn tâm O đi qua các đỉnh A và B của tam giác ABC cắt các cạnh AC và BC của tam giác ABC

lần lợt tại D và E . Các đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và CDE cắt nhau tại hai điểm phân biệt là C và
M . Chứng minh góc OMC = 90
0
.
Bài 25: (Đề 35) Cho đờng tròn tâm O, dây cung AB và M là điểm chính giữa của cung AB. Qua M kẻ dây
cung thay đổi cắt dây cung AB ở P và cắt đờng tròn tại Q.
a. Chứng minh rằng các đờng thẳng MA và MB theo thứ tự là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp
tam giác APQ và đờng tròn ngoại tiếp tam giác BPQ.
b. Chứng minh rằng khi dây cung kẻ qua M thay đổi thì tổng hai bán kính đờng tròn ngoại tiếp
tam giác apq và bpq không đổi.
B i 26 (B i 922) Cho tam giác ABC có phân giác AD.
1. Chứng minh hệ thức : AD
2
= AB.AC DB.DC
2. Tính độ dài AD theo độ dài ba cạnh a, b, c của tam giác .
Bài 27 (Bài 923) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Gọi D là một điểm bất kì trên cung BC không
chứa A, D khác B và C . Gọi H, I, K lần lợt là hình chiếu của D lên các đờng thẳng BC, CA, AB. Gọi P là
trực tâm của tam giác ABC . Chứng minh:
1. Ba điểm H, I, K thẳng hàng .
2.
3.
AC AB BC
DI DK DH
+ =
4. Đờng thẳng Hk đi qua trung điểm của đoạn DP.
Bài 28 : (Bài 924)
Cho tam giác ABC cân tại A . Một đờng tròn có tâm O trên BC và tiếp xúc với AB và AC . Tiếp tuyến d
của đờng tròn (O) cắt AB tại P và cắt AC tại Q .
1. Chứng minh : BC
2

= 4BP.CQ
2. Ngợc lại : chứng minh rằng nếu BC
2
= 4BP.CQ thì đoạn thẳng PQ tiếp xúc với đờng tròn tâm
(O) (P thuộc AB, Q thuộc AC)
Bài 29: (Bài 935)
Cho tam giác ABC .Gọi P là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC . Đờng thẳng qua P và vuông góc với CP
cắt các tia CA, CB tơng ứng tại điểm M và N. Chứng minh :
1. Điểm M nằm giữa hai điểm C và A, điểm N nằm giữa hai điểm C và B.
2.
2
AM AP
BN BP

=
ữ

3.
2
1
.
AM BN CP
AC BC AC BC
+ + =

Bài 30: (Bài 952) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O . Cho biết phân giác của các góc
ã
BAD
và
ã

ABC
cắt nhau tại điểm E thuộc cạnh CD.
1. Chứng minh : AD + BC = CD
2. Cho biết
1
CD
k
CB
= >
. Tính
ADE
BCE
S
S

Bài 31: (Bài 956)
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O bán kính R. Các đờng cao AD, BE, CF .
Gọi I là trực tâm .
1. Chứng minh rằng : I là tâm đờng tròn (I;r
1
) nội tiếp tam giác DEF.
2. Chứng minh rằng : S
ABC
=
2
R
(DE + EF + FD)
3. Chứng minh rằng :
1DEF
ABC

S r
S R
=
Bài 32: (Bài 963) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) có Â = 45
0
, có BC = a . Vẽ các đờng cao BB,
CC . Gọi O là điểm đối xứng của O qua đờng thẳng BC.
1. Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đờng tròn;
2. Tính BC theo a
Bài 32 : (Bài 966) Cho tam giác ABC cân tại A và H là trung điểm của cạnh BC . Gọi I là hình chiếu
vuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI.
1. Chứng minh hai tam giác BIC và AOH dồng dạng
2. Chứng minh AO vuông góc với BI.
Bài 33: (Bài 970)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng các đờng tròn (O) và (O) có đờng kính tơng ứng là AB và AC, các
đờng tròn này cắt nhau tại A và D.
1001 bài toán
1. Chứng minh rằng B, C, D thẳng hàng, suy ra hệ thức :
2 2 2
1 1 1
AD AB AC
= +
;
2. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ CD ; AM cắt BC tại E và cắt đờng tròn (O) tại N. Chứng
minh tam giác ABE cân;
3. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh góc OIO = 90
0
.
các chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán 9
Bài 1: (T - 32)

Cho hai số dơng a, b . Chứng minh rằng
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 a b a a b b a b a b+ + = + +
Bài 2: (T - 33) Chứng minh rằng :
2 2 2 2
x y x y x x y x x y+ + = + +
Bài 3: (T - 36) Cho
3 3 3
1 1 1
1
ax by cz
x y z

= =


+ + =


. Chứng minh rằng :
2 2 2
3 3 3
3
ax by cz a b c+ + = + +
Bài 4:(T - 36)
Chứng minh rằng phơng trình x
5
+ x +1 = 0 có nghiệm duy nhất là :
3 3

1 25 621 25 621
1
3 2 2
x

+
ữ
=
ữ

Bài 5 : (T - 36) Rút gọn biểu thức sau:
( )
( )
2 2
2 2 4 4
2 2
1 1 1 1 1
M
a b a b
a b
a b
= + + + +
+
+
+
Bài 6: (T - 37) Tính giá trị của biểu thức sau :
{
2
2
1 99...9 0,99...9

n
n
P = + +
1 2 3
Bài 7 (T - 37) Tính giá trị của biểu thức sau :
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
1 2 3 1 3 4 1 99 100
M = + + + + + + + + +
Bài 8: (T -23) Chứng minh rằng số :
0
2 2 3 6 3 2 3x = + + +
là một nghiệm của phơng trình :
x
4
16x
2
+ 32 = 0
Bài 9: (T - 37) Chứng minh rằng số
(
)
3 3
9 4 5 9 4 5x = + +
là một nghiệm của phơng trình : x
3
3x
18 = 0. Từ đó hãy tìm x.
Bài 10 : (T - 37) Chứng minh rằng số
3 3

125 125
3 9 3 9
27 27
x

ữ
= + + + +
ữ

là một số nguyên.
Bài 11: (T - 37) Chứng minh rằng với x >
1
8
thì số sau đây là một số nguyên :
3 3
1 8 1 1 8 1
3 3 3 3
a a a a
x a a

+ +
ữ
= + +
ữ

Bài 12: (T - 37) Chứng minh rằng :
3 3
847 847
6 6 3
27 27

+ + =
Bài 13: (T 37) Cho
3
3
1
2 1
2 1
x =

. Tính P = x
3
+3x +2
Bài 14: (T - 37) Hãy tính giá trị của biểu thức A = 2x
3
+2x
2
+ 1 với
3 3
1 23 513 23 513
1
3 4 4
x

+
ữ
= +
ữ