Bài tập cơ năng lí 10

Bài tập cơ năng, bảo toàn cơ năng. Các dạng bài tập cơ năng, bảo toàn cơ năng. Phương pháp giải
bài tập cơ năng, bảo toàn cơ năng chương trình vật lý lớp 10 cơ bản, nâng cao.
Dạng bài tập bảo toàn cơ năng cơ bản
W=Wđ + Wt=(Wđ)max=(Wt)max=hằng số
Trong đó:
•
W: cơ năng (J)
•
Wđ: động năng (J)
•
Wt: thế năng (J)
Khi Wđ=nWt => (n+1)Wt=W
Bài tập cơ năng, bảo toàn cơ năng của con lắc đơn:
Bài tập 1: Con lắc đơn gồm một dây không giãn chiều dài l một đầu gắn cố định, một đầu gắn với vật
khối lượng m. Kéo vật m sao cho con lắc đơn hợp với phương thẳng đứng góc αo rồi buông tay.
a/ Xác định vận tốc của con lắc đơn khi dây treo hợp với phương thẳng đứng góc α ≤ α o
b/ Xác định lực căng dây trong trường hợp trên.
Bỏ qua mọi sức cản của môi trường.
Hướng dẫn

Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng (α=0)
a/ Thế năng của con lắc đơn tại vị trí bất kỳ
Wt=mgz2=mg(l - l.cosα)=mgl(1-cosα) =>
(Wt)max = mgz1 = mgl(1-cosαo)
W=Wđ + Wt= (Wt)max =>
0,5mv2 + mgl(1-cosα) = mgl(1-cosαo)=>
v=2gl(cosα−cosαo)−−−−−−−−−−−−−−√v=2gl(cosα−cosαo)
b/ Chuyển động của vật m là chuyển động tròn đều trên bán kính quỹ đạo có bán kính l, hợp giữa lực
căng T của dây treo và thành phần Pn = mgcosα của trọng lực đóng vai trò lực hướng tâm => áp dụng định
luật II Newton ta có
T - mgcosα=m.v2lv2l=>

T=mgcosα + 2mg(cosα - cosαo) =>
T=mg(3cosα - 2cosαo)
Bài tập 2: Một con lắc đơn chiều dài l=1,8m, một đầu gắn với vật khối lượng 200g. Thẳng phía dưới
điểm treo cách điểm treo một đoạn l/2 có một cái đinh. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng sao cho dây treo
hợp với phương thẳng đứng góc 30o rồi thả nhẹ.
a/ Xác định điểm cao nhất và xác định góc hợp bởi dây dây và phương thẳng đứng sau khi va chạm với


đinh.
b/ Khi dây treo quay lại vị trí cân bằng thì dây bị đứt. Tìm hướng và độ lớn vận tốc của vật m lúc sắp
chạm đất. Biết rằng điểm treo cách mặt đất 2,3m.
Bỏ qua mọi sức cản và ma sát lấy g=10m/s2.
Hướng dẫn

Chọn gốc thế năng tại C (vị trí cân bằng)
áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:
WA=WB => mgh1=mgh2 => h1=h2=l(1 - cosα)=0,24(m)
cosβ=O′HO′B=l/2−h1l/2cosβ=O′HO′B=l/2−h1l/2
=> α=42,9o
vận tốc tại vị trí cân bằng C:
WB=WC => mgh2=0.5mv2 => v=2gh2−−−−√2gh2=2,2(m/s)
Khi quay lại C, dây bị đứt chuyển động của vật coi như chuyển động ném ngang với vận tốc ban đầu
vo=2,2m/s
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho điểm C và D chọn gốc thế năng tại mặt đất.
WC=WD => 0,5mvo2 + mgh32=0,5mvD2 => vD =2,61(m/s)
hướng của véc tơ vận tốc hợp với phương thẳng đứng góc φ với sinφ=vo/vD
Bài tập cơ năng, bảo toàn cơ năng của vật trượt trên mặt phẳng nghiêng
Bài tập 3: vật khối lượng m=1kg trượt từ đỉnh của mặt phẳng nghiêng cao 1m, dài 10m, lấy g=9,8m/s 2;
hệ số ma sát là 0,05
a/ Tính vận tốc của vật tại chân mặt phẳng nghiêng.

b/ Tính quãng đường mà vật đi thêm được cho đến khi dừng hẳn trên mặt phẳng ngang.
Hướng dẫn


Cơ năng tại A: WA=mgh=9,8(J)
Trong khi vật chuyển động từ A đến B, tại B cơ năng chuyển hóa thành động năng tại B và công để
thắng lực ma sát => áp dụng định luật bảo toàn chuyển hóa năng lượng
=> WA=(Wđ)B + A (1)
(Wđ)=0,5mvB2; A=-Fms.l=-µPsinα.l (2)
từ (1) và (2) => vB=3,1m/s.
Tại điểm C vật dừng lại => toàn bộ động năng tại B đã chuyển thành năng lượng để thắng lực ma sát trên
đoạn BC.
=> (Wđ)B=|ABC|=µ.mg.BC => BC=10m.
Bài tập 4: Hai vật A và B được nối với nhau bằng dây không giãn qua ròng rọc cố định với m A=300g;
mB = 200g. Vật trượt không ma sát trên mặt phẳng nghiêng góc α=30o. Lúc đầu A cách mặt đất h=0,5m.
Bỏ qua khối lượng của dây nối và ròng rọc.
a/ Xác định vật tốc của vật A và B khi A chạm đất.
b/ Khi A chạm đất vật B tiếp tục chuyển động đi lên trên mặt phẳng nghiêng một quãng đường bằng bao
nhiêu.
Hướng dẫn

Phân tích bài toán:
Vật A cách mặt đất là h. Khi A chạm đất vật A đi được quãng đường là h, vật B cũng đi được quãng
đường là h.
Độ cao của vật B so với mặt đất: h2=h1 + h.sinα
Chọn gốc thế năng tại mặt đất:
Cơ năng của hệ lúc thả:
W=WoA + WoB=mA.gh + mB.gh1
Cơ năng của hệ lúc vật A chạm đất
W=0,5mAvA2 + 0,5mBvB2 + mBgh2

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hệ chuyển động không ma sát
=> 2gh(mA−mBsinα)mA+mB−−−−−−−−−−−−−−−−√2gh(mA−mBsinα)mA+mB=2m/s
Khi vật A chạm đất vật B vẫn còn chuyển động do quán tính, nhưng chuyển động của vật B là chuyển


động thẳng chậm dần đều.
Cơ năng của vật B lúc vật A dừng lại: WB = mBgh2 + 0,5mBv2
Cơ năng của vật B lúc dừng lại: W'B=mBgh3 = mB.g(h2 + x.sinα)
(với x là quãng đường vật B đi thêm được)
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng => x=0,4m
Bài tập 5: Một vật được ném lên theo phương thẳng đứng từ một điểm A cách mặt đất một khoảng 4m.
Người ta quan sát thấy vật rơi chạm đất với vận tốc có độ lớn bằng 12 m/s. Cho g=10m/s².
a) Xác định vận tốc của vật khi được ném. Tính độ cao cực đại mà vật có thể đạt được
b) Nếu vật được ném thănrg đứng xuống dưới vói vận tốc bằng 4m/s thì vận tốc của vật khi chạm đất
bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn
a/ Độ cao cực đại của vật so với mặt đất
hmax = v2/2g = 122/20 = 7,2m
Chọn gốc thế năng tại mặt đất áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có
Cơ năng tại vị trí ném = cơ năng tại vị trí vật đạt độ cao cực đại
mgh + 0,5mvo2 = mghmax => vo = 8m/s
b/ Cơ năng tại vị trí ném = cơ năng tại mặt đất
mgh + 0,5mvo2 = 0,5mv2 => v = 12m/s
Bài tập 6. Em bé ngồi tại vị trí B trên sàn nhà ném một viên bi lên mặt bàn dài nằm ngang cao h=1m so
với sàn nhà, với vận tốc vo=2√10 m/s. Để viên bi có thể rơi xuống mặt bàn tại điểm C ở xa mép bàn A
nhất thì B phải cách chân bàn H bao xa và khi đó C cách A bao xa. Lấy g=10 m/s 2
Hướng dẫn

Để cho viên bi có thể đi xa mép bàn A nhất thì quỹ đạo của bi phải đi sát mép A.
Kí hiệu v⃗ v→ là vận tốc của bi khi đi qua A, αα là góc hợp với v⃗ v→ và phương ngang và α0α0 là góc

ném tại B. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng, ta có:
v=v20−2gh−−−−−−−√=20−−√(m/s)v=v02−2gh=20(m/s)
Coi v⃗ v→ là vận tốc ném bi từ A, ta suy ra tầm xa AC: AC=v2sin2αgAC=v2sin⁡2αg
Để cho AC lớn nhất thì phải có sin2α=1sin⁡2α=1, suy ra: α=π4α=π4
Thành phần theo phương ngang của v⃗ v→ và v0→v0→ bằng nhau, nên:
vcosα0=vcosα↔cosα0=vv0cosα=12vcos⁡α0=vcos⁡α↔cos⁡α0=vv0cos⁡α=12
Suy ra α0=π3α0=π3
Xét hệ tọa độ xOy, gốc O trùng với B, trục Ox nằm ngang, trục Oy hướng thẳng đứng lên trên. Phương
trình quỹ đạo của bi:
tanα0−gx22v20cos2α0=3√x−x22tan⁡α0−gx22v02cos2⁡α0=3x−x22
Tại điểm A ( và C) y=h=1my=h=1m ta có: 1=3√x−x221=3x−x22
Suy ra: xA=(3√−1)(m)xA=(3−1)(m) và xC=(3√+1)(m)xC=(3+1)(m)


Như vậy, B cách chân bàn một đoạn BH=xA=3√−1=0,732(m)BH=xA=3−1=0,732(m) và C cách
A: AC=xC−xA=2mAC=xC−xA=2m
Bài tập 7. Từ điểm A của một mặt bàn phẳng nghiêng người ta thỏ một vật có khối
lượng m=0,2kgm=0,2kgtrượt không ma sát với vận tốc ban đầu bằng 00 rơi xuống đất.
Cho AB=50cm;BC=100cm;AB=50cm;BC=100cm; AD=130cm;AD=130cm; g=10m/s2g=10m/s
2 (hình vẽ). Bỏ qua lực cản không khí.
a) Tính vận tốc của vật tại điểm B và điểm chạm đất E.
b) Chứng minh rằng quỹ đạo của vật mà là một parabol. Vật rơi cách chân bàn một đoạn CE là bao
nhiêu ?
c) Khi rơi xuống đất, vật ngập sâu vào đất 2cm2cm. Tính lực cản trung bình của đất lên vật.

Hướng dẫn

a) Vì bỏ qua ma sát nên cỏ năng của vật được bảo toàn. Cơ năng của vật tại A là
WA=mg.ADWA=mg.AD.
Cơ năng của vật tại B :

WB=12mv2B+mg.BCWB=12mvB2+mg.BC.
Vì cơ năng được bảo toàn, nên WA=WBWA=WB
mg.AD=12mv2B+mg.BCmg.AD=12mvB2+mg.BC
Thay số ta tính được vB=6√=2,45m/svB=6=2,45m/s.
Tương tự, áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại A và E ta tính được vE=5,1m/svE=5,1m/s.
b) Chọn hệ quy chiếu (hình vẽ). Khi vật rơ khỏi B, vận tốc ban đầu vBvB hợp với phương ngang một
góc αα. Xét tam giác ABH có :
sinα=AHAB=AD−BCAB=35(1)sin⁡α=AHAB=AD−BCAB=35(1)
Phương trình chuyển động theo các trục x và y là
x=vBcosα.t(2)x=vBcos⁡α.t(2)


y=h−vBsinα.t−12gt2(3)y=h−vBsin⁡α.t−12gt2(3)
Từ (2)(2) và (3)(3) ta rút ra
được : y=h−xtanα−12gv2Bcos2αx2(4)y=h−xtanα−12gvB2cos2⁡αx2(4)
Đây chính là phương trình của một parabol có bề lõm quay xuống dưới. Vậy quỹ đạo của vật sau khi dời
bàn là một parabol.
Từ (1)sinα=35⇒cosα=45(1)sin⁡α=35⇒cos⁡α=45 và tanα=34tanα=34.
Khi vật chạm đất tại E thì y=0y=0. Thay giá trị của y và vBvB vào phương trình (4)(4), ta thu được
phương trình
1,3x2+0,75x−1=0(5)1,3x2+0,75x−1=0(5)
Giải phương trình (5)(5), thu được x=0,635mx=0,635m. Vậy vật rơi cách châm bàn một
đoạn CE=0,635m.CE=0,635m.
c) Sau khi ngập sâu vào đất 2cm2cm vật đứng yên. Độ giảm động năng gần đúng bằng công cản. Gọi lực
cản trung bình là F, ta có :
WE−0=Fs⇒F=WEs≈130NWE−0=Fs⇒F=WEs≈130N.
Bài tập 8. vật khối lượng 100g được ném thẳng đứng từ dưới lên với vo = 20m/s. Tính thế năng, động
năng, cơ năng của vật
a/ Lúc bắt đầu ném
b/ Khi vật lên cao nhất

c/ 3s sau khi ném
d/ Khi vật vừa chạm đất
Hướng dẫn
Chọn gốc thế năng tại vị trí ném
a/ Wt = 0; Wđ = 0,5mv2 = W = 20J;
b/ Wđ= 0=> Wt = W = 20J
c/ v = vo - gt => Wđ = 0,5mv2 = 5J => Wt = W - Wđ = 15J
d/ vật vừa chạm đất; Wt =0; v = vo => Wđ = W = 20J
Bài tập 9. Hai vật có khối lượng tổng cộng m1 + m2 = 3kg được nối bằng dây qua ròng rọc nhẹ. Buông
cho các vật chuyển động, sau khi đi được quãng đường s = 1,2m mỗi vật có vận tốc v = 2m/s. Bỏ qua ma
sát, dùng định luật bảo toàn cơ năng tính m1; m2, lấy g = 10m/s2

Hướng dẫn


Giả sử m1 > m2 => P1 > P2 => sau khi buông nhẹ vật m1 đi xuống, vật m2 đi lên cùng quãng đường s. Chọn
gốc thế năng riêng cho mỗi vật tại vị trí ban đầu. Chọn chiều dương là chiều chuyển động của các vật khi
đó v1 = v2 = v >0
Cơ năng ban đầu của hệ: W = W1 + W2 = 0
Cơ năng sau của hệ: W' = W'1 + W'2 = -m1gs + 0,5m1v2 + m2gs + 0,5m2v2 = 0
=> m1 - m2 = (m1 + m2)v2/(2gs) = 0,5kg
m1 + m2 = 3 => m1 = 1,75kg; m2 = 1,25kg
Bài tập 10. Dây xích đồng chất chiều dài L = 1,5m có trọng lượng, vắt qua ròng rọc nhỏ không ma sát và
nằm yên. Sau đó dây bắt đầu trượt khỏi ròng rọc với vận tốc vo = 1m/s. Tính vận tốc dây khi dây vừa rời
khỏi ròng rọc.

Hướng dẫn


Ban đầu đây ở trạng thái cân bằng đứng yên nên mỗi nhánh có chiều dài là L/2 và có trọng tâm G là trung

điểm của mỗi nhánh. Chọn vị trí G làm gốc của thế năng, chọn chiều dương là chiều chuyển động của dây
xích..
Khi dây vừa rời khỏi ròng rọc thì khối tâm của dây xích ở G' cách G khoảng L/4 về phía dưới
cơ năng ban đầu: Wo = 0,5mvo2
cơ năng sau: W = -mgL/4 + 0,5mv2 = 0,5mvo2 => v = 3m/s
Bài tập 11. vật nặng trượt trên một sàn nhẵn với vận tốc vo = 12m/s đi lên một cầu nhảy cao nhất nằm
ngang và rời khỏi cầu nhảy như hình vẽ.

Độ cao h của cầu nhảy là bao nhiêu để tầm bay xa s đạt cực đại. Tầm xa này là bao nhiêu.
Hướng dẫn
Gọi v1 là vận tốc của vật khi bắt đầu rời cầu nhảy (theo phương ngang).
áp dụng định luật bảo toàn cơ năng
0,5mvo2 = 0,5mv12 + mgh => v1 = v2o−2gh−−−−−−−√vo2−2gh
Sau khivật rời khỏi cầu giống như vật ném ngang với vận tốc v1
=> s = v12hg−−−√2hg = 2v2ohg−4h2−−−−−−−−−√2vo2hg−4h2
=> smax khi biểu thức trong căn max => h = vo2/4g = 3,6m => s = 7,2m
(biểu thức trong căn có dạng y = ax2 + bx với a < 0 => ymax tại x = -b/2a)
Bài tập 12. Ống hẹp kín, tiết diện đều hình vuông cạnh L, nằm trong mặt phẳng thẳng đứng. Ống tiết diện
S chứa đầy hai loại chất lỏng thể tích bằng nhau và không trộn lẫn nhau được. Khối lượng riêng ρ 1 > ρ2.
Ban đầu khối chất ρ1 chiếm phần trên của ống. Tại một thời điểm nào đó, các khối chất lỏng bắt đầu


chuyển động trong ống không vận tốc ban đầu. Tìm vận tốc cực đại của chúng bỏ qua ma sát.

Hướng dẫn
Chọn mặt phân cách ban đầu của hai khối chất lỏng làm mốc.
Khi khối chất lỏng 1 đi xuống đoạn h thì khối chất lỏng 2 đi lên một đoạn h
hmax = L - L/4 = 3L/4
Tổng động năng của hai khối chất lỏng
Wđ = 0,5(m1 + m2)v2 = 0,5(ρ1.S.2L + ρ2.S.2L)v2 = (ρ1 + ρ2)SLv2

Tổng thế năng của hai khối chất lỏng:
Wt = (m1 - m2)g.h = 2(ρ1 + ρ2)SLh
bảo toàn cơ năng: Wđ max = Wt max
=> (ρ1 + ρ2)SLvmax2 = 2(ρ1 + ρ2)SLhmax => vmax = 3Lg(ρ1−ρ2)2(ρ1+ρ2)−−−−−−−−−−
−√3Lg(ρ1−ρ2)2(ρ1+ρ2)
Bài tập 13. Ba quả cầu nhỏ giống nhau được gắn chặt vào hai đầu thanh nhẹ chiều dài L. Dựng thanh
thẳng đứng và buông tay (hình vẽ). Bỏ qua ma sát. Tìm vận tốc quả cầu trên khi nó sắp va chạm mặt
phẳng ngang nếu:

a/ quả cầu dưới có một trục quay vuông góc với mặt phẳng hình vẽ và gắn chặt với mặt đất.
b/ Hệ chuyển động tự do.
Hướng dẫn


a/ m2; m3 chuyển động tròn quanh tâm O (vị trí đặt m1)
r2 = r3/2 = L/2 => v2 = v3/2
theo định luật bảo toàn cơ năng (gốc thế năng tại O) bỏ qua động năng của vật m 1
m2g(L/2) + m3gL = 0,5m2v22 + 0,5m3v32 => v3 = 23gL5−−−−√3gL5
b/ Hệ chuyển động tự do: không có ma sát giữa m1 và sàn

vì ngoại lực theo phương ngang bằng O nên m2 chuyển động tịnh tiến đi xuống m1 tịnh tiến sang phải trên
mặt phảng ngang. Hệ là kín theo phương ngang.
Tại thời điểm thanh nghiêng góc α so với phương thẳng đứng thì m 1; m2; m3 có vận tốc lần lượt là v1; v2;
v3.
v3→v3→ = v3x→v3x→+v3y→v3y→
Theo định luật bảo toàn động lượng theo phương ngang:
m1v1 = m3v3x => v1 = v3x
Vì thanh không biến dạng và các quả cầu gắn chặt vào thanh nên trong quá trình chuyển động, khoảng
cách giữa các quả cầu m1; m2; m3 không thay đổi => thành phần vận tốc của các quả cầu dọc theo phương
thanh là bằng nhau=>

v1sinα = v2cosα = v3ycosα - v3xcosα (1)
v1 = v3x; v2 = v1tanα = v3xtanα (2)
v3y = 2v1tanα = 2v3xtanα (3)
áp dụng định luật bảo toàn cơ năng =>
mg(L/2) + mgL = mg(L/2) + mgL.cosα + 0,5m(v12 + v22 + v3x2 + v3y2) (4)
từ (1); (2); (3); (4) =>
v32 = 3gL(1−cosα)2+5tan2α3gL(1−cos⁡α)2+5tan2⁡α + 12gL(1−cosα)2tan2α+512gL(1−cos⁡α)2tan


2⁡α+5
khi quả cầu m3 sắp chạm đất => α = 90o => v3 = 23gL5−−−−√3gL5
Bài tập 14. viên đạn m1 = 50g bay theo phương ngang với vận tốc vo = 20m/s đến cắm vào vật m2 = 450g
treo ở đầu sợi dây dài L = 2m. Tính góc α lớn nhất mà dây treo lệch so với phương thẳng đứng khi viên
đạn cắm vào m2.
Hướng dẫn

Chọn gốc thế năng tại điểm A
bảo toàn động lượng: m1vo = (m1 + m2)v1
bảo toàn cơ năng: 0,5(m1 + m2)v12 = mgh = mgL(1-cosα)
=> α = 26o
Bài tập 15. Dây treo vật nặng được kéo nghiêng góc bao nhiêu để khi qua vị trí cân bằng lực căng của
dây lớn gấp đôi trọng lực của vật nặng.
Hướng dẫn

gọi v là vận tốc của vật tại vị trí cân bằng
=> T - mg = maht = mv2/L
Để T = 2P = 2mg => T - mg = mg = mv2/L => v2 = gL
bảo toàn cơ năng: 0,5mv2 = mgh = mgL(1-cosα) => α = 60o

Bài tập 16. Treo vật m = 1kg vào đầu một sợi dây rồi kéo vật khỏi vị trí cân bằng để dây treo hợp với
phương thẳng đứng góc αo. Xác định αo để khi buông tay, dây không bị đứt trong quá trình vật chuyển
động. Biết dây chịu lực căng tối đa 16N; αo ≤ 90o.
Hướng dẫn

T - mgcosα = maht = mv2/L => T = mgcosα + mv2/L
bảo toàn cơ năng
mgho = mgh + 0,5mv2 => mgL(1-cosαo) = mgL(1-cosα) + 0,5mv2
=> v2 = 2gL(cosα - cosαo)
=> T = mg(3cosα - 3cosαo) =>Tmax = mg(3 - cosαo)
Để dây không đứt thì Tmax ≤ 16N => αo ≤ 45o
Bài tập 17. Hòn đá m = 0,5kg buộc vào sợi dây dài L =0,5m quay trong mặt phẳng thẳng đứng. Biết lực
căng của dây ở điểm thấp nhất của quĩ đạo là T = 45N. Biết tại vị trsi vận tốc hòn đá có phương thẳng
đứng hướng lên thì dây đứt. Hỏi hòn đá sẽ lên đến độ cao bao nhiêu khi dây đứt (tính từ nơi dây bắt đầu
đứt)
Hướng dẫn


T - mgcosα = maht = mvo2/L => T = mgcosα + mvo2/L
=> v2 = (T-mg).L/m
Giả sử tại B dây đứt, gọi v là vận tốc của hòn đá lúc đứt dây
áp dụng định luật bảo toàn cơ năng
0,5mvo2 = mgL + 0,5mv2 => v2 = vo2 - 2gL
=> độ cao cực đại mà vật lên được H = v2/2g = 1,5m
Bài tập 18. Hai vật A có m1 = 1,5kg; B có m2 = 0,45kg buộc vào các sợi dây treo trên một thanh đòn nhẹ,
chiều dài hai nhanh tay đòn L1 = 0,6m; L2 = 1m. Vật A đặt trên sàn. Cần đưa dây treo B nghiêng góc α so
với phương thẳng đứng nhỏ nhất bao nhiêu để sau khi buông tay vật A có thể nhấc khỏi bàn.

Hướng dẫn

Tương tự bài 16 ta có
Tmax = m2g(3-2cosα)
Để A nhấc khỏi bàn thì momen của Tmax phải lớn hơn hoặc bằng momen của P1 cùng đối với trục quay
nằm ngang đi qua điểm treo O của thanh đòn.
Tmax.L2 ≥ P1.L1 => m2g(3 – 2cosα)L2 ≥ m1gL1
=> cosα ≤ 0,5 => α ≥ 60o => αmin = 60o
Bài tập 19. Dây nhẹ không dãn chiều dài L = 50cm treo vật nặng nhỏ. Ban đầu vật nặng đứng yên ở vị trí
cân bằng. Hỏi phải truyền cho vật nặng vận tốc tối thiểu bao nhiêu theo phương ngang để nó có thể
chuyển động tròn trong mặt phẳng thẳng đứng.
Hướng dẫn

Gọi A là vị trí cân bằng. B là vị trí cao nhất của vật trong quá trình chuyển động. Chọn gốc thế năng tại A.
áp dụng định luật bảo toàn cơ năng
WA = WB => 0,5mvo2 = mg2L + 0,5mv2 => v2 = vo2 – 4gL (1)
Theo định luật II Newton
tại B: T + mg = maht = mv2/L
để vật có thể chuyển động tròn trong mặt phẳng thẳng đứng thì dây treo phải căng không trùng khi vật đi
qua vị trí cao nhất B
=> T ≥ 0 => v2 ≥ gL (2)
từ (1) và (2) => vo ≥ 5gL−−−√5gL = 5m/s
Bài tập 20. Một ống khối lượng M chứa vài giọt ete được nút kín bằng một nút khối lượng m và treo vào
dây chiều dài L. Khi đốt nóng ống, hơi ete sẽ đẩy nút bật ra. Tính vận tốc tối thiểu để ống có thể quay tròn


trong mặt phẳng thẳng đứng quanh điểm treo.

Hướng dẫn

Gọi vo; v lần lượt là vận tốc của nút và ống ngay sau khi nút bật ra

áp dụng định luật bảo toàn động lượng
mvo = Mv => v = mvo/M
tương tự như bài 19 => v ≥ 5gL−−−√5gL => vo ≥ (M/m) 5gL−−−√5gL
=> vo min = (M/m) 5gL−−−√5gL
Bài tập 21. Vật nhỏ khối lượng m trượt từ độ cao h qua vòng xiếc bán kính R bỏ qua ma sát.
a/ Tính lực nén của vật lên vòng xiếc tại vị trí α (hình vẽ)
b/ Tính h để vật có thể vượt qua vòng xiếc
c/ khi vật không qua vòng xiếc, xác định vị trí α nơi vật bắt đầu rời vòng xiếc hoặc trượt trở xuống.

Hướng dẫn


a/ áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hai điểm A và C (gốc thế năng tại B)
mgh = mgR(1+cosα) + 0,5mv2 => v2 = 2gh – 2gR(1+cosα)
theo định luật II Newton: Q + mgcosα = mv2/R => Q = mg(2h/R – 2 – 3cosα) = N
Lưu ý kết quả này vẫn đúng cho vị trí của C so với O
b/ Để vật có thể vượt qua hết vòng xiếc thì lực nén lên vòng xiếc
Nmin ≥ 0 => Nmin = mg(2h/R – 5) ≥ 0 => h ≥ 2,5R (Nmin khi α = 0)
c/ Vật rời vòng xiếc hoặc trượt xuống khi N = 0
=> mg(2h/R – 2 – 3cosα) = 0 => α = arccos(2h/3R – 2/3)
Bài tập 22. vật nhỏ nằm trên định của bán cầu nhẵn cố định bán kính R, vật được truyền vận tốc v o theo
phương ngang.
a/ Xác định vo để vạt không ởi khỏi bán cầu ngay thời điểm ban đầu.
b/ Khi vo thỏa mãn điều kiện trong câu a, xác định vị trí α nơi vật bắt đầu rời khỏi bán cầu.

Hướng dẫn

a/ Tại đỉnh A, theo định luật II Newton
mg – Q = maht = mvo2/R => Q = mg – mvo2/R
Để vật không rời khỏi bán cầu A:

Q ≥ 0 => vo ≤ gR−−−√gR
b/ tại B vật bắt đầu rời khỏi bán cầu
mgcosα – Q' = mv2/R => Q' = mgcosα – mv2/R


vật rời khỏi bán cầu khi Q' = 0 => v2 = gRcosα (1)
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại A và B gốc tại tâm O
mgR + mvo2 = mgRcosα + 0,5mv2
=> v2 = vo2 + 2gR(1 – cosα) (2)
từ (1) và (2) => α = arc cos[2/3 + vo2/(3gR)]
Bài tập 23. Quả cầu khối lượng m treo ở đầu một sợi dây chiều dài l, đầu trên của dây cố định. Quả cầu
nhận được vận tốc ban đầu vo theo phương ngang tại vị trí cân bằng. Bỏ qua sức cản của không khí.
a/ Tính vận tốc và lực căng của dây tại vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng góc α.
b/ Biết vo2 = 3gl. Tìm độ cao cực đại ho mà quả cầu đạt tới (tính từ vị trí cân bằng) trong chuyển đọng
tròn. Độ cao Ho mà quả cầu đạt tới trong suốt quá trình chuyển động là bao nhiêu.
Hướng dẫn



Bài tập 24. vật nặng m treo vào điểm cố định O bởi một dây dài l = 1m. Tại vị trí ban đầu M o dây treo
hợp với phương thẳng đứng góc αo = 60o, người ta truyền cho vật vận tốc vo = 5m/s theo phương vuông
góc với dây, hướng xuống. véc tơ vo nằm trong mặt phẳng thẳng đứng.
a/ Xác định vị trsi M tại đó lực căng dây bằng không, tính vận tốc v của vật tại đó.
b/ Tìm phương trình quỹ đạo của giai đoạn chuyển động kế tiếp của vật cho đến khi dây căng trở lại.
Chứng tỏ rằng quỹ đạo này đi qua điểm thấp nhất của quỹ đạo tròn. Suy ra thời gian vật vạch quỹ đạo nói
trên.
Hướng dẫn

Bài tập 25. Quả cầu nhỏ M có khối lượng 100g được treo tại A bởi một dây chiều dài l = 81cm. Tại O
thấp hơn A khoảng l/2 có một chiếc đinh, AO có phương thẳng đứng. Kéo quả cầu đến vị trí dây AM nằm
ngang rồi buông tay.
a/ Tính lực căng của dây ngay và trước sau khi vướng đinh
b/ HỎi ở điểm nào trên quỹ đạo, lực căng của dây treo bằng không? sau đó quả cầu chuyển động thế nào,
lên tới độ cao lớn nhất bao nhiêu.
Hướng dẫn



Bài tập 26. Quả cầu treo ở đầu một sợi dây. Truyền cho quả cầu ở vị trí cân bằng một vận tốc đầu theo
phương ngang. Khi dây treo nghiêng góc α = 30o so với phương thẳng đứng, gia tốc quả cầu hướng nằm
ngang. Tìm góc nghiêng cực đại của dây.
Hướng dẫn

Bài tập 27. Quả cầu khối lượng m treo ở đầu sợi dây, chuyển động tròn trong mặt phẳng thẳng đứng
trong một thang máy. Thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia tốc 2g. Ở vị trí thấp nhất của quả cầu
trong thang máy, lực căng dây bằng 0. Tính lực căng dây khi quả cầu ở vị trí cao nhất của quỹ đạo.
Hướng dẫn


Bài tập 28. Quả cầu nhỏ treo ở đầu một dây nhẹ. Kéo quả cầu khỏi phương thẳng đứng để dây treo
nghiêng góc 90o rồi buông tay. Tại thời điểm quả cầu qua vị trí cân bằng, điểm treo của nó chuyển động từ
dưới lên với gia tốc a. Hỏi dây sẽ lệch khỏi phương thẳng đứng góc lớn nhất bao nhiêu.


Hướng dẫn

Bài tập 29. Quả cầu treo ở đầu dây có thể chuyển động tròn trong mặt phẳng thẳng đứng. Kéo quả cầu
cho dây treo lệch góc α rồi buông tay. Khi quả cầu qua vị trí cân bằng B thì điểm treo rơi tự do. Tính α để