Toán rời rạc chương 2

Trường đại học Cần Thơ
Khoa Công nghệ thông tin và truyền thông
Bộ môn Khoa học máy tính

TOÁN RỜI RẠC
(Discrete Mathematics)

Chương 2: Suy luận toán học

12/2015


Giới thiệu



Giả thiết  kết luận: phương pháp chứng minh
(PP CM)
PP CM áp dụng trong toán học, tin học:
 Kiểm tra tính đúng đắn của chương
 Xây dựng các luật suy diễn trong trí

trình,
tuệ nhân tạo

…

2


Nội dung

 Phần

1: Các quy tắc suy luận

 Phần

2: Các phương pháp chứng minh

3


1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Các quy tắc suy luận

4


1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Các quy tắc suy luận


Ví dụ 1: Quy tắc suy luận nào là cơ sở
của suy diễn sau :
Nếu hôm nay trời mưa thì cô ta không đến,
 Nếu cô ta không đến thì ngày mai cô ta đến,
"

=> Vậy thì, nếu hôm nay trời mưa thì ngày
mai cô ta đến."
Đây là suy diễn dựa trên Quy tắc tam
đoạn luận giả định.
5


1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Các quy tắc suy luận


Ví dụ 2:
 "Nếu

hôm nay tuyết rơi thì trường đại học
đóng cửa.
 Hôm nay trường đại học không đóng cửa.

=>Do đó, hôm nay đã không có tuyết rơi


Đây là suy diễn dựa trên Quy tắc phủ định
6


1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Các quy tắc suy luận


Ví dụ 3 : Dùng các quy tắc suy luận chứng minh rằng :

(P  (Q  R))  (Q  P)  P  R


Giải:

1.P  (Q  R)
2.Q  P
3.P

4.Q  R : Khẳng định của 1 và 3
5.Q
: Tam đoạn luận tuyển của 2 và 3
: Khẳng định của 4 và 5
6.R
7


1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Các quy tắc suy luận
Ngụy biện: Ngụy biện giống như Quy tắc suy
luận nhưng không dựa trên một hằng đúng mà
chỉ dựa vào một tiếp liên

 Ví dụ: "Nếu bạn đã giải hết bài tập trong sách
toán rời rạc I này thì bạn nắm vững logic. Bạn
nắm vững logic vậy thì bạn đã giải hết bài tập
trong sách toán rời rạc 1 này".
Xét xem suy diễn trên có cơ sở đúng không?
((PQ)  Q)  P


8


1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Các quy tắc suy luận






Ngụy biện: "Nếu bạn đã giải hết bài tập trong sách
toán rời rạc 1 thì bạn nắm vững logic. Bạn nắm
vững logic vậy thì bạn đã giải hết bài tập trong sách
toán rời rạc 1".
Trong đó:
 P = "Bạn đã giải hết bài tập trong sách toán rời
rạc 1"
 Q = "Bạn nắm vững logic"
Mệnh đề ((PQ)  Q)  P không phải là hằng

9
đúng vì nó sẽ sai khi P là F và Q là T


Nội dung
 Phần

1: Các quy tắc suy luận

 Phần

2: Các phương pháp chứng minh

10


1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Chứng minh rỗng
Phép kéo theo: Câu “Nếu P thì Q” là một mệnh đề
được gọi là mệnh đề kéo theo của hai mệnh đề P, Q.
Bảng chân trị


P
T
T
F
F

Q
T
F
T
F

PQ
T
F
T
T
11


1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Chứng minh rỗng
1.


Chứng minh rỗng (P là sai ):
Ví dụ: Cho hàm mệnh đề F(n) = " Nếu n>1 thì n2
> n “. Chứng minh rằng F(1) là đúng.
Ta có F(1) = { Nếu 1 >1 thì 12 >1 }
Nhận thấy:giả thiết 1>1 là sai, bất chấp kết luận 12
>1 là đúng hay sai thì F(1) là đúng (đpcm)
CM PQ là đúng, chỉ cần CM P sai
12

1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Chứng minh tầm thường
Phép kéo theo: Câu “Nếu P thì Q” là một mệnh đề
được gọi là mệnh đề kéo theo của hai mệnh đề P, Q.
Bảng chân trị


P
T
T
F
F

Q
T
F
T
F

PQ
T
F
T
T
13

1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Chứng minh tầm thường
2. Chứng minh tầm thường (Q đúng):
 Ví dụ : Cho hàm mệnh đề
 F(n) = { Nếu a và b là 2 số nguyên dương và a
≥ b thì an ≥ bn }. Chứng minh rằng F(0) là
đúng.
 Giải:
Ta có a0 = b0 =1. Do đó a0 ≥ b0 là đúng.
Vậy F(0) là đúng bất chấp giả thiết a ≥ b là
đúng hay sai (đpcm)
CM PQ là đúng, chỉ cần CM Q đúng
14


1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Chứng minh trực tiếp
Phép kéo theo: Câu “Nếu P thì Q” là một mệnh đề
được gọi là mệnh đề kéo theo của hai mệnh đề P, Q.
Bảng chân trị


P
T
T

F
F

Q
T
F
T
F

PQ
T
F
T
T
15


1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Chứng minh trực tiếp
3. Chứng minh trực tiếp: (P đúng thì Q cũng phải
đúng)
 Phương pháp:
 Giả sử rằng P là đúng
 Sử dụng các Quy tắc suy luận hay các định lý để
chỉ ra rằng Q là đúng
 Kết luận PQ là đúng.
CM PQ là đúng, CM P đúng kéo theo Q đúng
16

1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Chứng minh trực tiếp




Ví dụ 1: Chứng minh rằng
F(n)={ Nếu n là số lẻ thì n2 là số lẻ }
Giải: Giả sử rằng giả thiết của định lý này là đúng,
tức là n là số lẻ. Ta có:
n = 2k + 1 ( k=0,1,2,...)

n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1
= 2(2k2 + 2k) + 1 là lẻ.
Vậy nếu n là số lẻ thì n2 là số lẻ (đpcm)
CM PQ là đúng, CM P đúng kéo theo Q đúng
17


1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Chứng minh gián tiếp
4. Chứng minh gián tiếp: (P  Q = ¬Q ¬P)
 Ví dụ: Chứng minh định lý { Nếu 3n + 2 là số lẻ thì n
là số lẻ }

 Giải: Giả sử ngược lại kết luận của phép kéo theo là
sai, tức n là chẵn.
Ta có n = 2k ( kN )
 3n + 2 = 3.2k + 2 = 2( 3k + 1 ) là số chẵn
Vậy Nếu 3n + 2 là số lẻ thì n là số lẻ (đpcm)
CM PQ là đúng, CM ¬Q đúng kéo theo ¬P đúng
18


1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Chứng minh gián tiếp
CM từng trường hợp:



CM mệnh đề có dạng: (P1 P2...Pn)  Q
Sử dụng hằng đúng:
((P1 P2...Pn)  Q)
 ((P1Q)(P2Q)....(PnQ))

19


1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Chứng minh gián tiếp
CM từng trường hợp:

((P1 P2...Pn)  Q)
 ((P1Q)(P2Q)....(PnQ))

Ví dụ
 CMR: "Nếu n không chia hết cho 3 thì n2 không chia
hết cho 3“
 Giải: Gọi P là mệnh đề "n không chia hết cho 3"




Q là mệnh đề "n2 không chia hết cho 3"
P = P1  P2. Trong đó: P1 = " n mod 3 =1"
P2 = " n mod 3 =2"
Vậy, để CM P  Q là đúng, có thể CM:
(P1  P2)  Q hay là (P1  Q )  ( P2 Q)
20


1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Chứng minh gián tiếp

P là mệnh đề "n không chia hết cho 3"
CM từng trường hợp: Ví dụ

Q là mệnh đề "n không chia hết cho 3"


P=P P .
 Giả sử P1 là đúng

P = " n mod 3 =1“
 Ta có, n mod 3 = 1

P = " n mod 3 =2"

Vậy, để CM P  Q là đúng, có thể CM:
 Đặt n = 3k + 1 ( k là số nguyên)
(P  P )  Q
hay là (P  Q )  ( P  Q)
 n2 = ( 3k+1)2 = 9k2 + 6k + 1
= 3(3k2 + 2k) + 1 không chia chẵn cho 3
 Do đó, P1  Q là đúng.
2

1

2

1
2

1

1

2

2

21


1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Chứng minh gián tiếp

P là mệnh đề "n không chia hết cho 3"
CM từng trường hợp: Ví dụ

Q là mệnh đề "n không chia hết cho 3"

P=P P .
 Giả sử P2 là đúng

P = " n mod 3 =1“
 Ta có, n mod 3 = 2

P = " n mod 3 =2"

Vậy, để CM P  Q là đúng, có thể CM:
 Đặt n = 3k + 2 ( k là số nguyên)
(P  P )  Q
hay là (P  Q )  ( P  Q)
n2 = ( 3k+2)2 = 9k2+ 12k + 4
= 3(3k2 + 4k + 1) + 1 không chia chẵn cho 3
 Do đó, P2  Q là đúng

 Do P1  Q là đúng và P2  Q là đúng,
(P1  Q )  ( P2 Q): đúng
22
 Vậy (P1  P2)  Q.
2

1

2

1
2

1

1

2

2


1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Chứng minh phản chứng
5. Chứng minh phản chứng:
 Gọi P là mệnh đề cần CM
 Giả sử P sai (nghĩa là ¬P đúng)
 Từ mệnh đề ¬P đúng dẫn đến kết luận Q sao cho:

¬PQ phải đúng
 Khi đó, chỉ ra Q là một mâu thuẫn, nghĩa là:
Q = R  ¬R. (mâu thuẫn - do giả sử P sai)
 Vì ¬P Q phải đúng và Q sai  ¬P sai  P đúng
 CM những vấn đề cơ bản
CM P đúng: GS ¬P đúng, CM ¬PQ phải đúng Tìm
23
ra mâu thuẫn Q = R  ¬R


1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Chứng minh phản chứng
Ví dụ: Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100. CMR
luôn tìm được 3 đoạn để có thể ghép thành một tam giác.
Giải:
 Sắp xếp các đoạn tăng dần theo độ dài a1, a2, ..., a7,
 CMR luôn tìm được 3 đoạn liên tiếp có tổng của 2 đoạn đầu lớn
hơn đoạn cuối.
 Giả sử điều cần CM là không xảy ra
a1 + a2  a3
a1 , a2 > 10 => a3 > 20
a2 + a3  a4 a2 >10 và a3 >20 => a4 > 30
a3 + a4  a5 a5 > 50
a4 + a5  a6 a6 > 80
a5 + a6  a7 a7 > 130 (mâu thuẫn)
Luôn tồn tại 3 đoạn liên tiếp sao cho tổng của 2 đoạn đầu lớn hơn
đoạn cuối.
24

1.Các quy tắc suy luận
2.Các PPCM

Chứng minh qui nạp
6. Chứng minh quy nạp:


Giả sử cần tính tổng n số nguyên lẻ đầu tiên ,
với n = 1,2,3,4,5……. Ta có:
n = 1:
1 = 1 = 12
n = 2:
1 + 3 = 4 = 22
n = 3:
1 + 3 + 5 = 9 = 32
n = 4:
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
………………………………………………



Từ các kết quả này ta dự đoán tổng n số nguyên
lẻ đầu tiên là n2.
25