Một số bài toán về đường tròn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Lê Bá Cường

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 0113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH Hà Huy Khoái

Thái Nguyên - 2012

1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH Hà Huy
Khoái. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo,
người hướng dẫn khoa học của mình, GS.TSKH Hà Huy Khoái, người đã
đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của
tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa
Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi

điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn
thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH,
tổ Toán trường THPT Xuân Giang - Sóc Sơn - Hà Nội và các bạn trong
lớp Cao học K4C, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và
làm luận văn.

2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

Mục lục
Mở đầu

3

1 Định nghĩa số phức
1.1 Sự biểu diễn đại số của số phức . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa số phức . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng . . .
1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân . .
1.1.4 Dạng đại số của số phức . . . . . . . . . .
1.1.5 Lũy thừa của số i . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Số phức liên hợp . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7 Mô đun của số phức . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số . . . .
1.2.1 Ý nghĩa hình học của một số phức . . . . .
1.2.2 Ý nghĩa hình học của môđun . . . . . . . .

1.2.3 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

2 Số phức và hình học
2.1 Một vài khái niệm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Đoạn thẳng, tia, đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Chia một đoạn thẳng theo một tỉ số . . . . . . . . . . . .
2.4 Góc định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Phép quay một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Điều kiện thẳng hàng, vuông góc và cùng thuộc một đường
tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Tam giác đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Tam giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

5
5
5
6
6
8
10
10
12

13
13
14
15

.
.
.
.
.
.

16
16
16
19
19
20
21

. 23
. 26
. 28




2

3 Hình học giải tích trong số phức

3.1 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Phương trình đường thẳng xác định bởi hai điểm . . . . .
3.3 Diện tích tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Phương trình đường thẳng được xác định bởi điểm đi qua
và phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng
3.6 Khoảng cách từ một điểm đến một đương thẳng . . . . .
4 Các
4.1
4.2
4.3

34
. 34
. 35
. 36
. 39
. 40
. 41

bài toán về đường tròn trong số phức
42
Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Phương tích của một điểm đối với một đường tròn . . . . . 43
Góc giữa hai đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Tài liệu tham khảo

4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

49




3

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài:
Là một giáo viên đã dạy môn toán trong trường THPT 12 năm, tôi
thấy trong toán học phổ thông hình học là một trong môn học mà nhiều
học sinh thấy khó học, nhất là hình học không gian. Để đại số hóa hình
học các nhà toán học đã gắn hệ trục tọa độ vào hình học để có hình học
giải tích. Khi học về hình học giải tích tôi thấy học sinh dễ học hơn và
tiếp thu tốt hơn.
Nay số phức lại được bộ giáo dục và đào tao đưa vào dạy ở chương
trình THPT, mỗi bài toán về số phức là các bài toán thường mới và rất
khó. Liên quan đến các dạng toán này là các bài toán về đường tròn. Mong
muốn là có một cách khác nữa để trình bầy về hình học nhờ số phức nên
tôi mới chọn đề tài này.
Đề tài “ Môt số bài toán về đường tròn” nhằm đáp ứng mong muốn của
tôi về một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho quá
trình giảng dạy của mình ở trường phổ thông.
Đề tài liên quan đến nhiều chuyên đề, trong đó có các kiến thức của số
phức, các kiến thức của hình học và nhiều kiến thức cơ bản khác.
2.Mục đích nghiên cứu:
Hệ thống và tổng quát các bài toán về đường tròn giải bằng số phức
và các ứng dụng khác nhau trong trường phổ thông. Nắm được một số kĩ
thuật tính toán biến đổi hình học liên quan đến số phức.
3. Nhiệm vụ của đề tài:

Đưa ra định nghĩa số phức và các phép toán về số phức một cách tổng
quát có ví dụ minh họa kèm theo, ngoài ra đề tài cũng mở rộng mảng kiến
thức về số phức với các bài toán về đường tròn giải bằng số phức....
Thông qua đề tài trang bị cho giáo viên thêm một số nguồn tư liệu

5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

trong quá trình dạy học và ngiên cứu.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Nghiên cứu các bài toán hình học về đường tròn trên tập số phức và
xét các ứng dụng liên quan.
Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của GS – TSKH Hà Huy Khoái,
các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chuyên toán, Tạp chí toán học
và tuổi trẻ,. . .
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh
trung học phổ thông. Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy và học các
chuyên đề toán trong trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo từ
những bài toán cơ bản nhất.
6. Cấu trúc của luận văn:
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 4 chương
Chương I: Định nghĩa số phức
Chương II: Số phức và hình học
Chương III: Hình học giải tích trong số phức
Chương IV: Các bài toán về đường tròn trong số phức

Tuy đã cố gắng nghiên cứu kĩ đề tài và viết luận văn, song khó tránh
khỏi những sai sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, hướng dẫn
của các thầy cô và sự đóng góp ý kiến của các bạn bè đồng nghiệp để bản
luận văn của tôi được hoàn chỉnh và có ý nghĩa hơn. Tôi xin chân thành
cảm ơn.
Thái Nguyên, năm 2012
Tác giả

6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

Chương 1
Định nghĩa số phức
1.1
1.1.1

Sự biểu diễn đại số của số phức
Định nghĩa số phức

Giả thiết ta đã biết định nghĩa và các tính chất cơ sở của tập hợp các
số thực R. Ta xét tập hợp R2 = R × R = {(x, y) | x, y ∈ R }. Hai phần
tử (x1 , y1 ) v à (x2 , y2 ) bằng nhau khi và chỉ khi x1 = x2 và y1 = y2 . Các
phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên R2 như sau:

z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ R2 .
Và

z1 .z2 = (x1 , y1 ) . (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ∈ R2 ,
với mọi z1 = (x1 , y1 ) ∈ R2 và z2 = (x2 , y2 ) ∈ R2 .
Phần tử z1 + z2 gọi là tổng của z1 , z2 và phần tử z1 .z2 ∈ R2 gọi là tích
của z1 , z2 .
Nhận xét 1.1.1. 1) Nếu z1 = (x1 , 0) ∈ R2 và z2 = (x2 , 0) ∈ R2 thì
z1 z2 = (x1 x2 , 0).
2) Nếu z1 z2 = (x1 x2 , 0) và z2 = (0, y2 ) ∈ R2 thì z1 z2 = (−y1 y2 , 0).
Định nghĩa 1.1.2. Tập hợp R2 cùng với các phép toán cộng và nhân được
gọi là tập số phức, kí hiệu là C. Mỗi phần tử z = (x, y) ∈ C được gọi là
một số phức.
Kí hiệu C∗ để chỉ tập hợp C\ {(0, 0)}.

7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

1.1.2

Các tính chất liên quan đến phép cộng

(a) Tính giao hoán z1 + z2 = z2 + z1 với mọi z1 , z2 ∈ C.
(b) Tính kết hợp (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) với mọi z1 , z2 , z3 ∈ C.
Chứng minh. Thật vậy, nếu z1 = (x1 , y1 ) ∈ C, z2 = (x2 , y2 ) ∈ C,
(x3 , y3 ) ∈ C thì

z3 =

(z1 + z2 ) + z3 = [(x1 , y1 ) + (x2 , y2 )] + (x3 , y3 )
= (x1 + x2 , y1 + y2 ) + (x3 , y3 )
= ((x1 + x2 ) + x3 , (y1 + y2 ) + y3 )
Và

z1 + (z2 + z3 ) = (x1 , y1 ) + [(x2 , y2 ) + (x3 , y3 )]
= (x1 , y1 ) + (x2 + x3 , y2 + y3 )
= (x1 + (x2 + x3 ), y1 + (y2 + y3 ))

Những khẳng định trên giống như phép cộng số thực.
(c) Phần tử đơn vị: Có duy nhất một số phức 0=(0,0) để

z + 0 = 0 + z = z với mọi z = (x, y) ∈ C.
(d) Phần tử đối: Mỗi số phức z = (x,y) có duy nhất số phức –z =
(-x,-y) sao cho
z + (−z) = (−z) + z = 0.
Ta dễ dàng kiểm tra các khẳng định (a),(c),(d).
Số phức z1 − z2 = z1 + (−z2 ) được gọi là hiệu của hai số phức z1 , z2 .
Phép toán z1 , z2 trên đối với hai số z1 , z2 là số z1 − z2 gọi là phép trừ và
được định nghĩa như sau:

z1 − z2 = (x1 , y1 ) − (x2 , y2 ) = (x1 − x2 , y1 − y2 ) ∈ C.
1.1.3

Các tính chất liên quan đến phép nhân

Phép nhân các số phức thỏa mãn các tính chất sau:
(a) Tính giao hoán: z1 z2 = z2 z1 với mọi z1 z2 = z2 z1 .

8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




7

(b) Tính kết hợp: z1 z2 = z2 z1 với mọi z1 z2 = z2 z1 .
(c) Phần tử đơn vị: Có duy nhất số phức 1 = (1, 0) ∈ C thỏa mãn
z.1 = 1.z = z với mọi z ∈ C. Sử dụng biến đổi đại số dễ thấy

z.1 = (x,y)(1,0) = (x.1 - y.0,x.0 + y.1) = (x,y) = z.
Và

1.z = (1,0)(x,y) = (1.x - 0.y,1.y + 0.x) = (x,y) = z.
(d) Phần tử nghịch đảo: Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C có duy nhất
số phức z −1 = (x, , y , ) ∈ C sao cho

z.z −1 = z −1 z = 1.
Ta tìm z −1 = (x, , y , ) với chú ý rằng (x, y) = (0, 0) kéo theo x = 0
2
hoặc y = 0 và hệ quả là x + y 2 = 0. Từ hệ thức z.z −1 = 1 ta có
(x, y)(x, , y , ) = (1, 0) hay hệ sau thỏa mãn

xx, − yy , = 1
yx, + xy , = 0.

y
x
,

và
y
=
−
.
x2 + y 2
x2 + y 2
Vì thế phần tử nghịch đảo của số phức z = (x, y) ∈ C∗ là:
Giải hệ phương trình trên ta có x, =

z −1 =

x
y
1
=( 2
,
−
) ∈ C∗ .
2
2
2
z
x +y
x +y

Bằng cách làm tương tự ta cũng có z −1 z = 1.
Hai số phức z1 = (x1 , y1 ) và z = (x, y) ∈ C∗ xác định duy nhất một số
z1
gọi là thương của chúng, kí hiệu là , được định nghĩa như sau:

z
z1
x
y
= z1 .z −1 = (x1 , y1 ).( 2
,
−
)
z
x + y 2 x2 + y 2
x1 x + y1 y −x1 y + y1 x
,
)∈C
=( 2
x + y2
x2 + y 2
Lũy thừa với số mũ nguyên của số phức z ∈ C∗ được định nghĩa như
sau z 0 = 1 ; z 1 = z ; z 2 = z.z và z n = z.z...z với mọi số nguyên n > 0
n lâ n
n

−1 −n

và z = (z )

với mọi số nguyên n < 0.

9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8

Mọi số phức z1 , z2 , z3 ∈ C∗ và mọi số nguyên m,n ta có các tính chất
sau
1) z m .z n = z m+n
4) (z1 z2 )n = z1 n z2 n
z1 n z1 n
zm
m−n
2) n = z
= n
5)
z
z2
z2
m n
mn
3) (z ) = z
Khi z = 0 ta định nghĩa 0n = 0 với mọi số nguyên n > 0.
e)Tính phân phối: z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 với mọi z1 , z2 , z3 ∈ C∗
Trên đây là những tính chất của phép cộng và phép nhân,thấy rằng tập
hợp các số phức cùng với các phép toán trên lập thành một trường.

1.1.4

Dạng đại số của số phức

Mỗi số phức được biểu diễn như một cặp số sắp thứ tự, nên khi thực

hiện các biến đổi đại số thường không được thuận lợi. Đó là lí do để tìm
dạng khác khi viết. Ta sẽ đưa vào dạng biểu diễn đại số mới. Xét tập hợp
R × {0} cùng với phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên R2 . Hàm
số
f : R → R x {0} , f (x) = (x, 0)
là một song ánh và ngoài ra (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) và (x, 0).(y, 0) =
(xy, 0).
Người đọc sẽ không sai lầm nếu chú ý rằng các phép toán đại số trên
R × {0}.
Đồng nhất với các phép toán trên R; vì thế chúng ta có thể đồng nhất
cặp số (x, 0) với số x, với mọi x ∈ R. Ta sử dụng song ánh trên và kí hiệu
(x, 0) = x.
Xét i = (0, 1) ta có

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0).(0, 1)
= x + yi

= (x, 0) + (0, 1).(y, 0).

Từ trên ta có mệnh đề
Mệnh đề 1.1.3. Mỗi số phức có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

z = x + yi,
với x,y là các số thực và i2 = −1.

10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not

read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....