Một số kết quả về cận sai số của các hàm nửa liên tục dưới

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Phạm Ngọc Hưng

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CẬN SAI SỐ CỦA CÁC HÀM
NỬA LIÊN TỤC DƯỚI

Chuyên ngành: Toán Ứng dụng
Mã số: 60 46 36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ

Thái Nguyên - 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Trương
Xuân Đức Hà. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô
giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, PGS.TS. Trương Xuân Đức
Hà, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình
nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các

thầy cô trong khoa Toán - Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính
để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến
gia đình, BGH trường THPT Thị xã Mường Lay - Điện Biên và các bạn
trong lớp Cao học K4, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học
tập và làm luận văn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

Mục lục
Mở đầu
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Hàm nửa liên tục . . . . . . . . . .
1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland . . . .
1.3 Giải tích lồi . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Hàm lồi . . . . . . . . . . .
1.3.3 Dưới vi phân của hàm lồi . .
1.4 Một số dưới vi phân hàm không lồi
1.4.1 Dưới vi phân Fréchet . . . .
1.4.2 Dưới vi phân xấp xỉ . . . . .
1.4.3 Dưới vi phân tổng quát . . .

3

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

2 Điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số
2.1 Điều kiện độ dốc mạnh và dưới vi phân hàm lồi
2.1.1 Điều kiện độ dốc mạnh . . . . . . . . .
2.1.2 Điều kiện dưới vi phân của hàm lồi . . .
2.2 Điều kiện dưới vi phân tổng quát . . . . . . . .
2.2.1 Điều kiện dưới vi phân tổng quát . . . .
2.2.2 Điều kiện dưới vi phân Fréchet . . . . .
2.2.3 Điều kiện dưới vi phân xấp xỉ . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

5
5
6
7
7
8
9
10
10
13

14

.
.
.
.
.
.
.

16
16
16
23
29
29
31
36

3 Một số áp dụng
40
3.1 Mối liên hệ giữa cận sai số và tính chính quy metric . . . . 40
3.2 Phân tích độ nhạy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Kết luận

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

52

2

Tài liệu tham khảo

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

53




3

Mở đầu
Bài toán tìm điều kiện tồn tại cận sai số cho khoảng cách từ một điểm
tới một tập mức của hàm nửa liên tục dưới đã được Hoffman nghiên cứu
lần đầu trong [10]. Bài toán được phát biểu như sau: Cho một hàm nửa
liên tục dưới f : X → R ∪ {+∞} xác định trên không gian metric đủ X ,
chúng ta nói rằng f có một cận sai số toàn cục tại mức α nếu tồn tại số
thực dương τ thỏa mãn

τ d(x, [f (x) ≤ α]) ≤ (f (x) − α)+ , ∀x ∈ X,
trong đó [f ≤ α] := {x ∈ X : f (x) ≤ α}, d(x, [f ≤ α]) là khoảng cách từ
điểm x đến tập [f ≤ α], và t+ = sup(t, 0).
Năm 1952, Hoffman đã đạt được các kết quả cho các hàm lồi đa
diện dạng f (x) = max1≤j≤m (aTj x + bj ), trong đó a1 , · · · , am ∈ Rm và
b1 , · · · , bm ∈ R. Robinson [11] đã xét các hàm lồi không đa diện trong
không gian định chuẩn thỏa mãn điều kiện Slater (inf X f < α) với tập

[f ≤ α] bị chặn và thu được kết quả sau

d(x, [f ≤ α]) ≤

r + ||x0 ||
(f (x) − α),
θ

trong đó θ > 0, f (x0 ) < α − θ, r là bán kính hình cầu gốc 0 chứa tập
[f ≤ α]. Tiếp đó Mangasarian [12], Auslender - Crouzeix [13] và Klatte
- Ly [14] đã thu được một điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số của hệ
tuyến tính với điều kiện tiệm cận. Trong trường hợp không lồi, kết quả
đầu tiên về cận sai số thuộc về Ioffe [15], Ng-Zheng [16] và Wu-Ye [5]. Năm
1998, Penot nhận được kết quả trong trường hợp hàm tựa lồi. Các tính
chất đầu tiên về cận sai số trong trường hợp hàm lồi được chứng minh bởi
Corneia-jourari-Zalinesco [17], một số tính chất khác được thiết lập bởi
Lewis-Pang [18], Lemaire[19],Zalinesco [20]. Sau đó, D.Aze nhận được một

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

số kết quả cho các hàm nửa liên tục dưới trong không gian metric đủ [1],
[2].
Ngày nay, khái niệm cận sai số đóng vai trò quan trọng trong giải tích
biến phân và toán học nói chung. Nó có mối liên hệ mật thiết với các vấn
đề khác của toán học như: điều kiện tối ưu, tính chính quy metric, cực tiểu

ε - xấp xỉ, phân tích độ nhạy (sensitivity Analysis), điều khiển tối ưu....
Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách tổng quan, có hệ
thống những khái niệm và các kết quả cơ bản, quan trọng về cận sai số
toàn cục đối với các hàm nửa liên tục dưới đã được đưa ra chủ yếu trong
[1],[2], [3]. Sau đó chúng tôi trình bày một số ứng dụng thể hiện mối liên
hệ giữa cận sai số và các vấn đề liên quan từ các bài báo [4],[5].
Luận văn gồm 3 chương
Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về các hàm nửa liên tục dưới,
nguyên lý biến phân Ekeland, giải tích lồi, một số khái niệm dưới vi phân
tổng quát của các hàm không lồi.
Chương 2: Trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số cho
một hàm nửa liên tục dưới và cho bài toán chứa tham số. Các điều kiện
này được thể hiện qua độ dốc mạnh, dưới vi phân của hàm lồi và dưới vi
phân tổng quát.
Chương 3: Trình bày một số ứng dụng của cận sai số, đó là tìm điều
kiện đủ của tính chính quy metric và ứng dụng phân tích độ nhạy của bài
toán tối ưu tổng quát.
Do thời gian và khối lượng kiến thức lớn, chắc chắn bản luận văn không
thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo tận
tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, năm 2012
Tác giả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày khái quát những kiến thức về
hàm nửa liên tục dưới, nguyên lý biến phân Ekeland, giải tích lồi, dưới vi
phân Fréchet, dưới vi phân xấp xỉ. Các kết quả chủ yếu được trích dẫn
trong [6], [7],[8], [9].

1.1

Hàm nửa liên tục

Cho (X, d) là không gian metric và f : X → R ∪ {+∞} là hàm số xác
định trên X .
Kí hiệu
dom(f ) = {x ∈ X : f (x) < ∞} là miền hữu hiệu của f.
Cα (f ) = {x ∈ X : f (x) ≤ α} là tập mức dưới của f.
epi(f ) = {x, α) ∈ X × R : f (x) ≤ α} là tập trên đồ thị của f.
Định nghĩa 1.1.1. Cho (X, d) là không gian metric, một hàm f : X →
R ∪ {+∞} gọi là hàm nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X nếu thỏa mãn

f (x0 ) ≤ lim inf f (x),
x→x0

trong đó lim inf f (x) = sup inf{f (x)|x ∈ X, ||x − x0 || ≤ η}.
x→x0

η>0

Định nghĩa 1.1.2. Cho (X, d) là không gian metric, một hàm f : X →
R ∪ {+∞} gọi là hàm nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu thỏa mãn

f (x0 ) ≥ lim sup f (x),
x→x0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

trong đó lim sup f (x) = inf sup{f (x)|x ∈ X, ||x − x0 || ≤ η}.
η>0

x→x0

Ví dụ 1.1.3. 1) Hàm

f (x) =

1
−1

nếu x < 0
nếu x ≥ 0

là hàm nửa liên tục dưới trên R.
2) Cho Ω ⊂ X là tập đóng, khi đó hàm chỉ số của Ω

IΩ (x) =

0
+∞

nếu x ∈ Ω
nếu x = Ω

là nửa liên tục dưới trên Ω.
3) Hàm f : R → R xác định bởi

f (x) =

3x2 − 2
0

nếu x = 2
nếu x = 2

là hàm nửa liên tục dưới tại x = 2(nhưng không liên tục tại điểm này).
Định lý 1.1.4. Cho (X, d) là không gian metric và hàm f : X → R ∪
{+∞}. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) f là hàm nửa liên tục dưới trên X .
(ii) epi(f ) = {x, α) ∈ X × R : f (x) ≤ α} là tập đóng trong X × R.
(iii) Cα (f ) = {x ∈ X : f (x) ≤ α} là tập đóng trong X .
Định lý 1.1.5. Một hàm f (x) nửa liên tục dưới trên tập compact X phải
đạt cực tiểu trên tập ấy. Một hàm f (x) nửa liên tục trên trên một tập
compact X phải đạt cực đại trên tập ấy.

1.2

Nguyên lý biến phân Ekeland

Theo Định lý 1.1.5, nếu X là tập compact thì hàm nửa liên tục dưới
f phải đạt cực tiểu trên X . Tuy nhiên nếu X không compact thì điều đó
không còn đúng. Chẳng hạn chúng ta xét ví dụ sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




7

Ví dụ 1.2.1. Xét hàm số f : X = R × R → R xác định bởi f (x) =
x21 + (x1 x2 − 1)2 , ∀x = (x1 , x2 ) ∈ X . Khi đó, dễ thấy f là hàm liên tục và
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ X , nhưng f không đạt cực tiểu trên X .
Như vậy khi f bị chặn chúng ta có khái niệm cực tiểu xấp xỉ như sau:
với ε > 0 cho trước, một điểm xε ∈ X được gọi là ε - cực tiểu xấp xỉ của
f trên X thỏa mãn

inf f (x) ≤ f (xε ) ≤ inf f (x) + ε.

x∈X

x∈X

Năm 1974 [8], Ekeland đã chứng minh được trong không gian metric
đầy đủ, nếu xε là ε - cực tiểu xấp xỉ của một hàm nửa liên tục dưới thì
chúng ta luôn tìm được một ε- cực tiểu xấp xỉ mới x∗ tốt hơn và điểm này
là cực tiểu chính xác của hàm "nhiễu" của f .

Định lý 1.2.2. [8] Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ và f : X →
R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Giả sử ε > 0 và
xε ∈ X thỏa mãn
f (xε ) ≤ inf f + ε.
X

Khi đó, với λ > 0 bất kì, tồn tại x∗ ∈ X sao cho
(i) d(x∗ , x ) < λ.
(ii) f (x∗ ) +

λ

d(x∗ , x ) ≤ f (x ).

(iii) f (x∗ ) < f (x) +

1.3
1.3.1

λ

d(x, x∗ ), ∀x ∈ X\{x∗ }.

Giải tích lồi
Tập lồi

Trong mục này chúng ta luôn giả thiết (X, || · ||) là không gian tuyến
tính định chuẩn, X ∗ là không gian đối ngẫu của X . Với x∗ ∈ X ∗ , x ∈ X
ta kí hiệu < x∗ , x >= x∗ (x).
Định nghĩa 1.3.1. Cho C là một tập con của X . Khi đó, C được gọi là

một tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C thì λx + (1 − λ)y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1].

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8

Ví dụ 1.3.2. Các tập sau đây đều là các tập lồi:
1) Hình cầu B(a, r) = {x ∈ X : ||x − a|| < r}.
2) Các nửa không gian đóng

{x ∈ Rn :< a, x >≤ α}; {x ∈ Rn :< a, x >≥ α},
hay các nửa không gian mở

{x ∈ Rn :< a, x >< α}; {x ∈ Rn :< a, x >> α},
trong đó a ∈ Rn , a = 0 và α ∈ R.
Định nghĩa 1.3.3. Tập con M của X gọi là một nón nếu x ∈ M, λ ≥ 0
thì λx ∈ M . Nón M gọi là nón lồi nếu M là tập lồi.
Ví dụ 1.3.4. Các tập sau đây là các nón lồi gốc tại 0:
1) Rn+ = {x = (x1 , x2 , ..., xn ), xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n} (orthan dương).
2) M = {(x, y) ∈ R × R : y ≥ |x|} .
Mệnh đề 1.3.5. Cho C là một tập lồi trong X , x0 ∈ C . Khi đó tập

N (x0 , C) = {t ∈ X ∗ :< t, x − x0 >≤ 0, ∀x ∈ C}
là một nón lồi.
Đặc biệt, nếu x0 ∈ intC thì N (x0 , C) = {0}.
Định nghĩa 1.3.6. Tập N (x0 , C) được xác định trong Mệnh đề 1.3.5 được
gọi là nón pháp tuyến của tập C .

1.3.2

Hàm lồi

Định nghĩa 1.3.7. Hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi là hàm lồi nếu với mọi
x1 , x2 ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1] ta có

f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ).
Hàm f được gọi là hàm lõm trên X nếu −f là hàm lồi.
Định nghĩa 1.3.8. Hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi là hàm lồi, chính thường
nếu f là hàm lồi và domf = ∅.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not

read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....