Sáng tác các bài toán mới trên cơ sở bài toán đã có

PHẦN I- ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình các môn học ở tiểu học, môn Toán chiếm số
giờ rất lớn. Việc nâng cao hiệu quả dạy và học môn Toán là một yêu
cầu bức xúc hiện nay.
Các bài toán trong sách giáo khoa Toán và vở bài tập Toán in sẵn
ở tiểu học nói chung đã được chọn lọc, sắp xếp một cách có hệ thống,
phù hợp với trình độ kiến thức và năng lực của học sinh, đã phản ánh
được thực tiễn đời sống, lao động, sinh hoạt và học tập của các em, phù
hợp với tâm lí của học sinh. Tuy vậy, khi dạy Toán, giáo viên vẫn cần
phải nghiên cứu rõ vị trí, tác dụng của từng bài toán trong mỗi bài học,
trong mỗi phần của chương trình để vận dụng vào giảng dạy cho hợp lí.
Mặt khác, mỗi trường, mỗi lớp lại có những đặc điểm riêng, có hoàn
cảnh riêng cho nên nhiều giáo viên lại phải soạn thêm các bài toán mới
để nâng cao chất lượng giáo dục và giáo dưỡng của của bài dạy, làm
cho nội dung các bài toán phong phú hơn, phù hợp hơn với thực tiễn
giảng dạy của mình.
Thực tế giảng dạy đã chứng tỏ rằng: Nếu chỉ sử dụng các bài toán
đã nêu trong sách giáo khoa và vở bài tập thì chưa thể dạy Toán tốt
được. Các giáo viên giỏi đều là những người có khả năng sáng tác
nhanh những đề toán mới phù hợp với yêu cầu của chương trình, vừa
kích thích được tinh thần chủ động học tập của học sinh.
Hơn thế nữa, vấn đề biết tự đặt ra các đề toán mới theo những yêu
cầu nào đó lại còn là một trong những nội dung mà mỗi học sinh tiểu
học đều phải rèn luyện. Việc này giúp các em nắm vững được ba yếu tố
cơ bản của bài toán (cái đã cho, cái phải tìm và các mối quan hệ), nhờ
1


đó mà nhận thức được cấu trúc toán học của bài toán. Chẳng những thế,
nó còn chứa đựng một ý nghĩa sâu xa hơn: Giúp học sinh phát triển tư
duy độc lập, sáng tạo, tập dượt để sử dụng Toán học vào việc giải quyết

các vấn đề thường gặp trong thực tiễn cuộc sống, tạo điều kiện gắn
Toán học với đời sống thực tiễn theo khả năng của mình.
Vì thế, để có thể dạy tốt môn Toán cho các em học sinh, mỗi giáo
viên tiểu học đều phải có ý thức tự rèn luyện khả năng sáng tác đề toán.
Việc tự rèn luyện này sẽ giúp nâng cao tiềm lực của mỗi giáo viên, giúp
chúng ta cảm thấy vững vàng và tự tin hơn trong lúc đứng trên bục
giảng.
Đối với các giáo viên làm công tác quản lí, năng lực sáng tác đề
toán sẽ giúp chúng ta giữ kín được bí mật của các đề thi, đề kiểm tra.
Bởi vì các đề thi, đề kiểm tra tự sáng tác không nằm trong bất cứ một
cuốn sách nào.
Thực tế giảng dạy nhiều năm qua của tôi cho thấy, khi có một bài
toán nào đó mà tôi lại sáng tác thêm nhiều bài toán khác có liên quan thì
học sinh sẽ nắm được bản chất của bài toán gốc một cách rõ ràng hơn,
các em có hứng thú và say mê học toán hơn. Kết quả dạy và học môn
Toán được nâng lên rõ rệt khi cả cô và trò đều rèn luyện cách đặt những
đề toán mới.
Chính vì vậy, tôi mạnh dạn chọn đề tài: " Sáng tác các bài toán
mới trên cơ sở bài toán đã có", với mong muốn góp chút kinh nghiệm
nhỏ bé của mình vào việc giảng dạy, bồi dưỡng, kiểm tra môn Toán cho
học sinh tiểu học đạt được hiệu quả cao hơn.

2


PHẦN II- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

A- Những vấn đề cần giải quyết.
Kinh nghiệm " Sáng tác các bài toán mới trên cơ sở bài toán đã có"
tập trung vào giải quyết các vấn đề sau:

1. Tìm hiểu những yêu cầu của một bài toán.
2. Một số cách sáng tác những bài toán mới trên cơ sở bài toán đã
có.
Vấn đề cần giải quyết ở đây là người giáo viên phải nắm chắc
những yêu cầu tối thiểu của một bài toán và căn cứ vào bài toán đã có
để sáng tác những bài toán mới phù hợp với trình độ của học sinh lớp
mình, từ đó giúp các em học môn Toán tốt hơn.
B- Biện pháp giải quyết.
I- Tìm hiểu những yêu cầu của một bài toán.
Khi sáng tác một đề toán, chúng ta cần phải lưu ý đến những yêu
cầu sau:
1. Nội dung của bài toán phải đáp ứng được mục đích, yêu cầu
của bài dạy.
Các bài toán có tác dụng củng cố những kiến thức học sinh đã học,
hoặc rèn luyện kĩ năng, áp dụng một quy tắc, một kiến thức mới học,
hoặc để xây dựng một khái niệm mới. Các bài toán đó phải phục vụ cho
mục đích, yêu cầu của bài dạy. Do đó khi sáng tác đề toán, giáo viên
phải lựa chọn những vấn đề phục vụ thiết thực cho yêu cầu giảng dạy
môn Toán nói chung, yêu cầu của từng chương, từng bài nói riêng.

3


Ví dụ: Khi dạy bài " 9 cộng với một số: 9+5" (Toán 2), chúng ta cần
nắm vững yêu cầu của bài là: học sinh phải nắm được biện pháp cộng 9
với các số 2, 3, 4,…, 9 và thuộc được bảng "9 cộng với một số" (qua 10).
Do đó nếu muốn sáng tác thêm các đề toán thì chúng ta đi sâu vào
yêu cầu này: phải làm sao để có nhiều phép tính dạng "9 cộng với một
số" (qua 10) trong các bài toán. Chẳng hạn:
a) Nếu muốn sáng tác các bài toán thuộc loại "số học"thì ta hãy

chọn các phép tính hoặc dãy tính kiểu như sau:
*

9 +7 , 6 + 9 , 9 + 2 , 4 + 9 ,….

*

7 + 2 + 4 , 10 - 1 + 8 , 3 + 6 + 6 , …

hoặc yêu cầu học sinh điền số vào bảng sau:
Số bị trừ

15

Số trừ

9

Hiệu

4

6

Số hạng

9
3

7

9

Số hạng

9

2

Tổng

7
4
13

8

9
17

Rõ ràng việc giải các bài toán nêu trên sẽ giúp học sinh rèn kĩ
năng "9 cộng với một số" (qua 10) và vận dụng bảng " 9 cộng với một
số" (qua 10).
b) Tuy nhiên nếu muốn sáng tác các bài toán thuộc loại "các yếu
tố đại số" thì cần đưa các phương trình và bất đẳng thức, đẳng thức vào,
nhưng đừng quên phải có nhiều phép cộng 9 với một số (qua 10) ở
trong đó. Chẳng hạn:
* Tìm x:

x-9 = 6

9 + x = 12
x-7 = 9

* Điền dấu ( > , < , = ) thích hợp vào ô trống:
9+5

17 - 3

7+9

20 - 4

10 + 5
4

9+6


c) Ngoài ra nếu muốn sáng tác cácbài toán thuộc loại "đo lường"
thì cần phải nghĩ cách để có thể cộng các đơn vị đo lường trong các
phép cộng 9 với một số. Chẳng hạn:
* Điền số vào dấu chấm:
6 dm + 9 dm = …m … dm
1 m 3 dm

= 4 dm + …dm

* Điền dấu ( > , < , = ) thích hợp vào ô trống:
9 dm + 9 dm

2m

d) Trong trường hợp muốn có một đề toán về hình học, chúng ta
hãy tìm cách để lồng các hình hình học như điểm, đoạn thẳng, hình
vuông, hình tròn, hình tam giác, hình chữ nhật, hình tứ giác vào trong
bảng 9 cộng với một số. Chẳng hạn:
* Vẽ đoạn thẳng dài hơn đoạn thẳng sau 4cm rồi tính độ dài
đoạn thẳng vừa vẽ:
9cm

* Có … đoạn thẳng.

Thêm … đoạn thẳng
được … đoạn thẳng
e) Cuối cùng nếu muốn sáng tác một bài toán có lời văn thì cần
tìm cách "toán học hoá" một tình huống thực tế nào đó chứa phép
cộng 9 với một số (qua 10). Chẳng hạn:
* Lan có 5 cái kẹo, Minh có 9 cái kẹo. Hỏi cả hai bạn có bao
nhiêu cái kẹo?
5


2. Bài toán phải phù hợp với trình độ kiến thức của học sinh.
Khi sáng tác đề toán, giáo viên cần lưu ý là: những khái niệm,
những phép tính, những quy tắc được đề cập đến trong nội dung hoặc
cách giải bài toán phải là những điều mà các em đã học. Yêu cầu này
đòi hỏi giáo viên phải nắm vững chương trình giảng dạy, tránh tình
trạng cho học sinh làm những bài toán quá sức của các em.
Ví dụ: Nếu trong những tháng 9,10, ta ra cho học sinh lớp Một bài
toán sau thì sẽ vượt quá chương trình, quá sức của các em:

Có bao nhiêu đoạn thẳng trong hình sau:

Bởi vì hình vẽ trên có đến 11 đoạn thẳng mà trong thời gian này
các em mới chỉ học các số trong phạm vi 10.
Có thể sửa lại đề toán bằng cách thay hình vẽ trên bằng một trong
các hình vẽ sau:

3. Bài toán phải đầy đủ dữ kiện.
Nghĩa là những cái đã cho phải đủ để tìm ra được đáp số của bài
toán và nếu bỏ bớt đi một trong những cái đã cho thì sẽ không tìm
được đáp số xác định của bài toán.
Ví dụ 1: Bài toán sau là thiếu dữ kiện: " Biết cả trâu và bò có 4
con. Tìm số trâu và số bò?
6


Bởi vì có thể xảy ra các trường hợp:
a. Có 3 con trâu và 1 con bò.
b. Có 2 con trâu và 2 con bò.
c. Có 1 con trâu và 3 con bò.
Biết lấy trường hợp nào là đáp số?
Có thể thêm vào dữ kiện sau: " Số trâu nhiều hơn số bò" để có bài
toán: " Cả trâu lẫn bò có 4 con. Biết rằng số trâu nhiều hơn số bò, tính
số con mỗi loại?"
Lúc này các trường hợp (b) và (c) đều bị loại và ta chọn (a) là đáp
số.
Ví dụ 2: Bài toán sau là thừa dữ kiện: " Nếu Lan cho Minh 5 cái
kẹo, Minh cho Phương 3 cái kẹo và Phương lại cho Lan 8 cái kẹo thì
mỗi bạn đều có 9 cái kẹo. Hỏi lúc đầu cả ba bạn có tất cả bao nhiêu
cái kẹo?"

Bởi vì ta có thể tính ngay được: "Lúc đầu cả ba bạn có: 9 x 3 = 27
(cái kẹo)" mà không cần đến các dữ kiện về số kẹo các bạn đã cho
lẫn nhau.
Ta có thể bỏ bớt các dữ kiện thừa ấy để có một đề toán gọn hơn
như sau:
"Cô giáo thưởng cho ba bạn Lan, Minh, Phương mỗi bạn 9 cái
kẹo. Hỏi cô đã thưởng cho ba bạn tất cả bao nhiêu cái kẹo?"
4. Câu hỏi của bài toán phải rõ ràng và đầy đủ ý nghĩa.
Với cùng một dữ kiện như nhau có thể đặt ra những câu hỏi khác
nhau, do đó việc lựa chọn các phép tính để giải bài toán cũng khác
nhau. Vì thế việc hiểu thấu câu hỏi của bài toán là điều kiện căn bản
để giải bài toán.
7


Do vậy,lúc sáng tác bài toán, ta cần chú ý nêu rõ câu hỏi để cho
học sinh có thể hiểu chính xác ý nghĩa của nó. Nếu không các em sẽ
không thể giải được.
Ví dụ: Bài toán sau có câu hỏi không rõ ràng: " Nếu Lan cho Minh
5 cái kẹo, Minh cho Phương 3 cái kẹo và Phương lại cho Lan 8 cái kẹo
thì mỗi bạn đều có 9 cái kẹo. Hỏi lúc đầu ba bạn có bao nhiêu cái kẹo?"
Bởi vì câu hỏi của bài toán có thể hiểu theo hai nghĩa:
- Hỏi số kẹo của mỗi bạn có lúc đầu?
- Hỏi tổng số kẹo của ba bạn có lúc đầu?
Ở mỗi cách hiểu sẽ dẫn đến một cách giải và đáp số khác nhau. Do
đó học sinh sẽ không biết đằng nào mà giải.
Ở đây ta có thể sửa câu hỏi cho rõ ràng là: " Hỏi tổng số kẹo có lúc
đầu của mỗi bạn?"
5. Bài toán phải không có mâu thuẫn.
Nghĩa là từ các dữ liệu của bài toán, bằng các cách suy luận khác

nhau không được dẫn đến hai kết quả trái ngược nhau, hoặc trái với ý
nghĩa thực tế của chúng.
Yêu cầu này đòi hỏi người giáo viên phải tự giải các bài toán do
mình ra đề một cách cẩn thận, không nên chỉ ước lượng một cách đại
khái đáp số và cách giải, sẽ dẫn đế sai lầm.
Sau đây là ví dụ về một đề toán chứa mâu thuẫn:
"Cho tam giác vuông ABC có cạnh AB = 3cm, AC = 4cm, BC =
6cm. Tính chiều cao AH".
B
H
8


A

C

Ở đây nếu giải bài toán như sau thì thấy mọi việc đều ổn thoả cả:
Diện tích tam giác ABC là:
1
x 3 x 4 = 6 (cm 2 )
2

Chiều cao AH là:
2 x 6 : 6 = 2 (cm)
Tuy nhiên nếu lưu ý một chút thì giáo viên thấy ngay là theo định
lí Pitago thì:
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25.
Do đó BC phải bằng 5cm chứ không thể tuỳ tiện cho BC là 6cm
được.

6. Số liệu của bài toán phải phù hợp với thực tế.
Một trong những tác dụng giáo dục của bài toán là ở chỗ nó phản
ánh được thực tế xung quanh, nó làm cho học sinh thấy rõ nguồn gốc và
mục đích thực tế của Toán học. Cho nên khi sáng tác một đề toán cần
phải lấy số liệu cho phù hợp với thực tế để các em thấy được lợi ích khi
giải bài toán.
Sau đây là một bài toán không phù hợp với thực tế:
" Trong buổi lao động xây dựng nhà tình nghĩa của lớp 3A, bạn
Mai được chọn là người lao động xuất sắc nhất. Bạn đã gánh được 9
gánh gạch, mỗi gánh 30 viên. Hỏi Mai đã gánh được tất cả bao nhiêu
viên gạch?"
Đề toán trên có mấy điểm không phù hợp với thực tế:
9


- Học sinh lớp 3 quá nhỏ, không thể tham gia lao động xây nhà
được.
- Em Mai là một học sinh nữ lớp 3, không thể gánh được 30 viên
gạch.
Vì thế, ta có thể sửa đề toán trên như sau:
" Tổ em có 9 bạn. Trong phong trào quyên góp để xây dựng nhà
tình nghĩa, mỗi bạn đã ủng hộ được 30 nghìn đồng. Hỏi tổ em đã quyên
góp được bao nhiêu tiền?"
7. Ngôn ngữ của bài toán phải ngắn gọn, mạch lạc.
Ngôn ngữ của bài toán có ảnh hưởng không ít đến việc hiểu nội
dung, ý nghĩa của bài toán, đối với quá trình suy nghĩ chọn phép tính để
giải của học sinh. Nhiều trường hợp chỉ vì không phân biệt được ý
nghĩa của một số từ như "lớn hơn", "tăng lên", "giảm đi", … mà học
sinh đã mắc phải những sai lầm đáng tiếc trong suy luận. Cũng nên
tránh việc kể lể dài dòng nhiều sự việc trong đề toán, không cần thiết vì

dễ làm cho học sinh khó tập trung suy nghĩ vào được trọng tâm của bài
toán.
Sau đây là một đề toán dài dòng, văn chương lủng củng:
"Để giúp đỡ các bạn học sinh nhiều tỉnh ở miền Nam cũng như
miền Trung bị thiên tai, bão, áp thấp nhiệt đới, lụt, lũ quét,… trong mùa
hè vừa qua, hầu hết các bạn học sinh trường em đã nhiệt tình thi đua
ủng hộ. Với tinh thần "Lá lành đùm lá rách", lớp 5A đã quyên góp được
96.000 đồng, như thế là lớp này đã quyên góp được nhiều hơn lớp 5B là
14.000 đồng và gấp rưỡi lớp 5C.
Khối 5 của trường em chỉ có 3 lớp. Vậy hãy tính xem khối 5
trường em đã ủng hộ cho các bạn bị thiên tai tất cả bao nhiêu tiền?"

10


Một đề toán dài dòng và lủng củng như vậy là không đạt yêu cầu.
Ở đây những nội dung "phi toán" quá nhiều, quá dài dòng đã gây nhiễu
lớn trong đầu óc học sinh, ảnh hưởng xấu đến khả năng suy nghĩ của
các em.
Có thể rút gọn đề toán trên như sau: " Để giúp đỡ các bạn ở những
vùng bị bão lụt, lớp 5A đã quyên góp được 96.000 đồng, nhiều hơn lớp
5B 14.000 đồng và gấp rưỡi lớp 5C. Hỏi cả ba lớp đã quyên góp được
bao nhiêu tiền?"

II. Một số cách sáng tác các bài toán mới trên cơ sở bài toán đã
có.
Dựa trên những bài toán có sẵn mà sáng tác các bài toán mới là
một trong những sáng tác đề toán đơn giản nhất, dễ thực hiện nhất.
Sau đây là một số cách mà tôi đã áp dụng trong thực tế giảng dạy.
Đó là:

- Đặt các bài toán mới tương tự với bài toán đã có.
- Đặt các bài toán mới ngược lại với bài toán đã có.
- Giải bằng dãy tính bài toán đã cho, rồi dựa vào dãy tính để đặt
các bài toán mới.
- Tóm tắt bài toán bằng bảng kẻ ô rồi dựa vào đó mà đặt ra các bài
toán mới.
1. Đặt các bài toán mới tương tự với bài toán đã giải.

11


Sau khi giải xong mỗi bài toán, có thể dựa vào bài toán đó mà
nghĩ ra các bài toán mới tương tự với bài toán vừa giải. Biết lập đề toán
theo kiểu này là một biện pháp rất tốt để nắm vững cách giải các bài
toán cùng loại, giúp ta nắm vững hơn mối quan hệ giữa các đại lượng
và những quan hệ bản chất trong mỗi loại toán. Nhờ thế mà hiểu bài
toán sâu sắc hơn rất nhiều.
Sau đây là một số cách tự lập đề toán mới tương tự đề toán đã cho:
1.1. Thay đổi các số liệu đã cho.
Ví dụ 1: Với bài toán lớp Ba: "3 thùng mật ong đựng được 27 lít
mật. Hỏi 5 thùng như thế đựng được bao nhiêu lít mật?"; ta có thể sửa
số liệu để có các đề toán mới như sau:
- 8 thùng mật ong đựng được 96 lít mật. Hỏi 15 thùng như thế thì
đựng được bao nhiêu lít mật?
- 11 thùng mật ong đựng được 99 lít mật. Hỏi 15 thùng như thế thì
đựng được bao nhiêu lít mật?
v.v…
Khi thay đổi các số liệu như trên ta cần lưu ý:
- Số lít mật phải chia hết cho số thùng.
- Số lít mật trong mỗi thùng không quá lớn mà cũng đừng quá

nhỏ.
- Các phép tính dùng để giải bài toán phải nằm trong chương trình
lớp 3. Chẳng hạn không nên ra đề toán là: " 25 thùng mật ong thì đựng
được 265 lít mật. Hỏi 37 thùng như thế thì đựng được bao nhiêu lít
mật?", bởi vì phép chia 265 : 25 = 11 không thuộc chương trình lớp 3.

12


Ví dụ 2: "Cho tam giác ABC. Gọi M và Q là các điểm trên các
cạnh BC và AB sao cho BM =
cắt CQ ở H. Tính tỉ số

1
1
BC và AQ = AB. Đoạn thẳng AM
4
3

AM
."
AH

Trong bài toán này có hai số liệu quan trọng là

1
1
và . Bây giờ
4
3

1
1
1
1
và bằng các số và
thì ta có đề toán:
4
3
5
6

nếu ta thay hai số

" Cho tam giác ABC. Gọi M và Q là các điểm trên các cạnh BC và
AB sao cho BM =
Tính tỉ số

1
1
BC và AQ = AB. Đoạn thẳng AM cắt CQ ở H.
5
6

AM
."
AH

Cũng có thể thay đổi tử số 1 của các phân số thành số khác, chẳng
hạn 3 và 5, khi đó bài toán trên trở thành:

"Cho tam giác ABC. Gọi M và Q là các điểm trên các cạnh BC và
AB sao cho BM =
Tính tỉ số

3
5
BC và AQ = AB. Đoạn thẳng AM cắt CQ ở H.
5
6

AM
."
AH

Khi thay đổi các số liệu trong đề toán cần lưu ý đến tính hợp lí của
chúng, không phải muốn thay thế nào cũng được. Chẳng hạn chỉ có thể
thay các phân số

1
1
và trong đề toán ban đầu bằng các phân số bé hơn
4
3

1 để đảm bảo điểm M nằm trên cạnh BC và điểm Q nằm trên đoạn AB.
1.2. Thay đổi các đối tượng trong đề toán.
13


Ví dụ: Xét bài toán sau: " Lớp 5A có 45 học sinh, lớp 5B có 40

học sinh. Cả hai lớp được nhà trường phân phối cho 255 quyển vở. Hỏi
mỗi lớp được chia bao nhiêu quyển vở?"
Trong bài toán này nếu ta thay đổi các đối tượng lớp 5A và lớp
5B thành ông Minh và ông Khánh, số học sinh mỗi lớp bằng số tiền vốn
góp, số quyển vở được chia thành số tiền lãi thì ta sẽ được đề toán sau:
" Ông Minh và ông Khánh hùn vốn làm ăn chung với nhau. Ông
Minh góp 45 triệu đồng,ông Khánh góp 40 triệu đồng. Sau một quý cả
hai người thu được 25,5 triệu đồng tiền lãi. Hỏi số tiền lãi mà mỗi người
được hưởng là bao nhiêu? ( biết rằng số tiền lãi được chia đều trên số
vốn góp ).
1.3. Thay đổi các quan hệ trong bài toán.
Ví dụ: Xét bài toán:
"Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn
Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?"
Trong bài toán trên có một số quan hệ toán học chính như sau:
-Tổng số gà và chó là 36 con.
- Tổng số chân gà và chân chó là 100.
- Số chân gà gấp đôi số gà.
- Số chân chó gấp 4 số chó.

14


Thay đổi các quan hệ trong bài toán trên ta có rất nhiều bài toán
mới. Chẳng hạn: Nếu ta thay quan hệ tổng bằng quan hệ hiệu và tổng số
chân bằng một số khác để bài toán giải được, ta có bài toán sau:
"Số gà nhiều hơn số chó là 36 con.

Cả gà và chó có tất cả 102 chân
Tính số gà và số chó".
Nếu thay quan hệ gấp đôi bằng quan hệ gấp ba thì đối tượng là gà
không hợp lý vì gà không có ba chân. Ta thay bằng đối tượng khác cho
phù hợp. Chẳng hạn thay gà bằng xe lam, thay chó bằng ô tô. Ta có đề
toán:
"Tổng số xe lam và xe ô tô là 30 chiếc.
Tổng số bánh xe là 100 cái.
Tính số xe lam và xe ô tô".
(Sở dĩ ta thay 36 thành 30 vì như vậy mới giải ra số xe là nguyên
chiếc)
1.4. Tăng (giảm) số đối tượng trong đề toán.
Ví dụ: Ta có đề toán: "Một đàn trâu và bò có tất cả 36 con. Mỗi
con bò ăn hết

1
gánh cỏ. Mỗi con trâu ăn hết
4

1
gánh cỏ. Biết rằng cả
2

đần trâu, bò ăn hết tất cả 13 gánh cỏ. Tính số trâu và số bò trong đàn".
Trong bài toán trên, nếu ta đưa vào thêm một đối tượng nữa là
ngựa thì ta sẽ có một bài toán tương đối khó như sau:

15

"Một đàn trâu, bò và ngựa có tất cả 36 con. Mỗi con bò ăn hết
gánh cỏ, mỗi con trâu ăn hết

1
4

1
1
gánh cỏ, mỗi con ngựa ăn hết
gánh
2
3

cỏ. Tính số trâu, bò, ngựa trong đàn".
1.5. Thay một trong những số liệu đã cho bằng một điều kiện gián
tiếp.
Ví dụ: Trong bài toán "Trâu, bò, ngựa" ở trên, ta có thể thay số 36
bằng điều kiện "cả đàn trâu, bò và ngựa có tất cả 144 chân". Ta gọi đây
là một điều kiện gián tiếp vì phải thông qua phép tính phụ 144 : 4, ta
mới có thể tìm được cả đàn có 36 con. Như vậy ta có một đề toán mới
khó hơn một chút như sau: "Người ta đếm được 144 cái chân trong một
đàn trâu, bò, ngựa. Biết rằng mỗi con bò ăn hết
trâu ăn hết

1
gánh cỏ, mỗi con
4

1
1

gánh cỏ, mỗi con ngựa ăn hết
gánh cỏ. Tính số trâu,
2
3

bò, ngựa trong đàn".
1.6. Thay đổi câu hỏi của bài toán bằng một câu hỏi khác.
Ví dụ: Ta có bài toán: "Tuổi con hiện nay bằng

3
tuổi mẹ. Cách
5

đây 12 năm thì tuổi mẹ gấp đôi tuổi con. Tính tuổi mẹ và tuổi con hiện
nay".
Ở đây nếu ta thay câu hỏi của bài toán bằng câu hỏi: "Biết năm
nay là năm 2007, hãy tính năm sinh của mẹ và của con", thì sẽ được bài
toán: "Vào năm 2007, tuổi con bằng

3
tuổi mẹ. Trước đó 12 năm thì
5

tuổi mẹ gấp đôi tuổi con. Hãy tính năm sinh của mẹ và năm sinh của
con".
16


Bài toán này khó hơn bài toán lúc đầu một chút vì muốn giải được
nó, trước hết phải tính được tuổi mẹ và tuổi con hiện nay (mẹ: 60 tuổi,

con: 36 tuổi), sau đó lấy 2007 trừ đi 60 và 36 thì mới ra được đáp số.
Tuy nhiên nếu thay câu hỏi của bài toán đầu bằng câu hỏi: "Tính
xem sau đây bao nhiêu năm thì tuổi mẹ gấp rưỡi tuổi con", thì ta sẽ
được một bài toán khó hơn lúc đầu khá nhiều: "Tuổi con hiện nay bằng
3
tuổi mẹ. Trước đây 12 năm thì tuổi mẹ cấp đôi tuổi con. Hỏi bao
5

nhiêu năm nữa thì tuổi mẹ sẽ gấp rưỡi tuổi con?"
Muốn giải được bài toán này, trước hết ta cần tính được hiệu số
tuổi của mẹ và con (là 24). Tiếp theo giải bài toán "Tìm hai số biết hiệu
3
2

(24) và tỉ số ( )" để thấy được lúc mẹ 72 tuổi thì tuổi mẹ gấp rưỡi tuổi
con. Từ đó tìm ra đáp số của bài toán mới là 12 năm sau.
2. Sáng tác các bài toán ngược với bài toán đã giải.
Trong một bài toán, nếu ta thay một trong những điều kiện đã cho
bằng đáp số của bài toán và đặt câu hỏi vào điều đã cho ấy thì ta được
một bài toán ngược.
Ví dụ 1: Bài toán: "Lan có 5 cái kẹo. Minh có nhiều hơn Lan 3 cái
kẹo. Hỏi cả hai bạn có bao nhiêu cái kẹo?"
Ta dễ dàng tìm thấy đáp số là 13 cái kẹo.
Như vậy những điều đã cho là:
- Lan có 5 cái kẹo. (1)
- Minh có nhiều hơn Lan 3 cái kẹo. (2)
Câu hỏi của bài toán là: Cả hai bạn có bao nhiêu cái kẹo? (3)
17

Nếu đổi chỗ (3) cho (1) ta có bài toán ngược 1: "Cả hai bạn Lan và
Minh có 13 cái kẹo. Minh có nhiều hơn Lan 3 cái. Hãy tính số kẹo của
Lan".
Nếu đổi chỗ (3) cho (2) ta có bài toán ngược 2: "Lan có 5 cái kẹo.
Cả Lan và Minh có 13 cái kẹo. Hỏi Minh có nhiều hơn Lan mấy cái
kẹo?"
Ví dụ 2: "Ngày thứ nhất Lan đọc được 24 trang sách. Ngày thứ hai
Lan đọc được 18 trang sách. Hỏi trung bình mỗi ngày Lan đọc được bao
nhiêu trang sách?"
Bài toán ngược: "Ngày thứ nhất Lan đọc được 24 trang sách. Hỏi
ngày thứ hai Lan đọc được bao nhiêu trang sách biết rằng trung bình
mỗi ngày Lan đọc được 21 trang".
3. Sáng tác bài toán mới dựa trên cách giải bằng dãy tính của một
bài toán cũ.
Thông thường ta vẫn hay giải các bài toán bằng những phép tính
(hoặc dãy tính ngắn) riêng rẽ với nhau. Mỗi phép tính lại có câu lời giải
hoặc lập luận tương ứng. Tuy nhiên có thể viết gộp các phép tính này lại
với nhau để bài giải được ngắn gọn và dễ nhìn thấy được cấu trúc của
bài toán.
Ví dụ: Bài toán : "Ba máy cày cùng cày trên một cánh đồng. Nếu
chỉ làm một mình thì máy thứ nhất sẽ cày xong cả cánh đồng trong 4
giờ. Máy thứ hai sẽ cày xong trong 5 giờ, máy thứ ba sẽ cày xong trong
8 giờ. Song trên thực tế thì 2 giờ đầu chỉ có máy thứ nhất và máy thứ
hai làm việc, sau đó hai máy này nghỉ và máy thứ ba đến làm tiếp. Hãy
tính xem máy thứ ba phải cày trong bao lâu nữa mới xong cánh đồng."
Theo cách thông thường ta giải như sau:
18


Mỗi giờ máy thứ nhất cày được: 1 : 4 =

1
(cánh đồng)
4

Mỗi giờ máy thứu hai cày được: 1 : 5 =

1
(cánh đồng)
5

Mỗi giờ cả hai máy cày được:

9
1 1
+ =
(cánh đồng)
4 5
20

Trong 2 giờ cả hai máy cày được:
Máy thứ ba còn phải cày: 1 -

9
9
x 2 =
(cánh đồng)
20
10

9
1
=
(cánh đồng)
10
10

Mỗi giờ máy thứu ba cày được: 1 : 8 =
Thời gian máy thứ ba còn phải cày là:

1
(cánh đồng)
8

1
1
8
:
=
(giờ)
10
8
10

8
giờ = 48 phút.
10

Đáp số 48 phút
Sau khi giải theo cách trên ta có thể viết gộp cả 7 phép tính lại

thành một biểu thức số như sau:
1 1
1 − ( + ) x2
4 5
1
8

Việc viết gộp các phép tính riêng rẽ thành một dãy tính như trên
có một số ưu điểm sau:
- Bài giải gọn hơn vì nó gồm ít câu trả lời và ít phép tính nhỏ giải
thích cho từng câu trả lời đó.

19


-Dãy tính trên có thể giúp ta nhìn thấy nhiều cách tính khác nhau,
từ đó tìm ra nhiều cách giải khác nhau và chọn lấy cách giải hay nhất.
-Dãy tính trên giúp ta nhanh chóng thấy được cấu trúc của bài
toán. Ta sẽ khai thác ưu điểm này để sáng tác đề toán. Chẳng hạn với
bài toán trên, nếu ta thay các số 4, 5, 8 trong đề toán bằng các chữ a, b,
c thì ta có bài toán tổng quát: " Ba máy cày cùng cày trên một cánh
đồng. Nếu chỉ làm một mình thì máy thứ nhất sẽ cày xong cả cánh đồng
trong a giờ. Máy thứ hai sẽ cày xong trong b giờ, máy thứ ba sẽ cày
xong trong c giờ. Song trên thực tế thì 2 giờ đầu chỉ có máy thứ nhất và
máy thứ hai làm việc, sau đó hai máy này nghỉ và máy thứ ba đến làm
tiếp. Hãy tính xem máy thứ ba phải cày trong bao lâu nữa mới xong
cánh đồng."
Lúc này đáp số của bài toán sẽ là kết quả một dãy tính chứa ba
chữ như sau:
1 1

1 − ( + ) x2
a b
1
c

Dựa vào cấu trúc trên của bài toán ta có thể sáng tác các bài toán
mới như sau:
Bài toán 1: Có 3 vòi nước chảy vào bể cùng một lúc. Nếu chỉ chảy
một mình thì vòi thứ nhất sẽ chảy đầy bể trong 3 giờ, vòi thứ hai sẽ
chảy đầy bể trong 2 giờ 30 phút, còn vòi thứ ba sẽ chảy đầy bể trong 3
giờ 20 phút. Song trên thực tế thì trong hai giờ đầu người ta chỉ mở vòi
thứ nhất và vòi thứ hai, sau đó khoá hai vòi đó lại và mở vòi thứ ba. Hỏi
vòi thứ ba phải chảy bao nhiêu lâu nữa mới đầy bể?"
Bài toán này có cấu trúc y hệt bài toán trên nhưng khác ở một số
chi tiết:
20


- Đã thay đổi văn cảnh: Máy cày

vòi nước, cánh đồng

bể

nước, v.v…
- Đã thay đổi các số liệu a, b, c từ danh số đơn thành danh số
phức.
Bài toán 2: " Ba máy cày cùng cày trên một cánh đồng. Nếu chỉ
làm một mình thì máy thứ nhất sẽ cày xong cả cánh đồng trong 4 giờ.
Máy thứ hai sẽ cày xong trong 5 giờ, máy thứ ba sẽ cày xong trong 8

giờ. Song trên thực tế thì 2 giờ 30 phút đầu chỉ có máy thứ nhất và máy
thứ hai làm việc, sau đó hai máy này nghỉ và máy thứ ba đến làm tiếp.
Hãy tính xem máy thứ ba phải cày trong bao lâu nữa mới xong cánh
đồng."
Ở bài toán trên ta đã giữ nguyên các số liệu a, b, c và văn cảnh
nhưng thay đổi thừa số 2 thành 2,5 giờ.
Thay đổi văn cảnh của bài toán trên thành "vòi nước chảy vào bể"
và đổi dấu (+) ở dãy tính gộp thành dấu (-) . Lúc này ta có dãy tính:
1 1
1 − ( − ) x2
a b
1
c

Nó tương ứng với bài toán sau:
Bài toán 3: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể. Nếu chảy một
mình thì vòi thứ nhất sẽ chảy đầy bể trong 4 giờ, vòi thứ hai sẽ chảy đầy
bể trong 5 giờ. Lại biết rằng ở đáy bể có một lỗ thủng, nó có thể làm
cho bể đầy nước bị cạn sạch sau 8 giờ. Trong 2 giờ đầu người ta mở vòi
thứ nhất và khoá vòi thứ hai. Sau đó thì khoá vòi thứ nhất và mở vòi thứ
hai. Hỏi vòi thứ hai chảy bao nhiêu lâu thì đầy bể?
v.v…
21


4. Tóm tắt bài toán đã cho bằng bảng kẻ ô rồi dựa vào bảng đó để
đặt đề toán mới.
Trong phương pháp này ta đưa các số liệu trong bài toán vào một
bảng kẻ ô rồi di chuyển các số liệu ấy từ ô này sang ô khác để có đề
toán mới.

Ví dụ: "Lớp em có 35 học sinh, trong đó có 20 bạn trai. Chủ nhật
vừa qua có 8 bạn gái đi xem phim và có 11 bạn trai không đi xem phim.
Hỏi có bao nhiêu bạn không đi xem phim?"
Ta tóm tắt bài toán bằng bảng kẻ ô như sau:
Trai

Gái

Có xem phim

Tất cả

8

Không xem phim

11

?

Tất cả

20

35

Để thấy được cách sáng tác đề toán mới ta cần giải bài toán trên.
Số bạn trai có đi xem phim là: 20 - 11 = 9 (bạn)
Số học sinh có đi xem phim là: 9 + 8 = 17 (bạn)
Số học sinh không đi xem phim là: 35 - 17 = 18 (bạn)

Trình tự giải được nêu trong cách ghi như sau:
Trai
Có xem
phim

9

Gái

Tất cả

8

17
9 + 8 = 17

Không xem
phim

11

18

Tất cả

20

35
22

20 - 11 = 9

35 - 17 = 18

Nhận xét: Trong các bảng trên có tới 9 ô hay 9 số. Nếu cứ biết 4
số nào đó thì sẽ tìm được 5 số còn lại, với điều kiện là 4 số cho trước
phải độc lập với nhau nghĩa là trong 4 đó không có 3 số nào cùng thuộc
1 hàng hoặc 1 cột. Hay nói cách khác: Trong 4 số đã biết không có một
số nào có thể dựa vào ba số kia để tìm được nó. Ta có thể dựa vào bảng
này để đặt ra rất nhiều bài toán bằng cách cho trước bốn só bất kỳ trong
bảng (độc lập với nhau) rồi đặt câu hỏi vào bất cứ ô nào còn trống trong
bảng.
Chẳng hạn nếu ta đặt các số và dấu hỏi vào bảng như sau:

Có xem phim

Trai

Gái

9

8

Tất cả

Không xem phim
Tất cả

18
?

15

Ta được bài toán: "Chủ nhật vừa qua lớp em có 9 bạn trai và 8 bạn
gái đi xem phim. Cả lớp có 18 bạn không đi xem phim. Hãy tính số bạn
trai trong lớp biết rằng lớp có 15 bạn gái".
Với mỗi cách đặt các số và dấu hỏi như trên ta lại có một bài toán.
Trong bảng trên có rất nhiều cách đặt vào đó bốn số đã biết, nghĩa là có
rất nhiều cách ra điều kiện. Mỗi cách ra điều kiện lại có tới 9 - 4 = 5
(cách đặt câu hỏi).
Vì thế từ bảng trên ta có rất nhiều bài toán khác nhau.
C.Kết quả.
Với mỗi bài toán trong sách giáo khoa hay vở bài tập hoặc Toán
nâng cao, bồi dưỡng, tôi đều sáng tác thêm nhiều bài toán mới. Sau khi
23


cho học sinh tiếp xúc với các bài toán được sáng tác mới trên cơ sở bài
toán đã có một cách thường xuyên, theo một hệ thống từ dễ đến khó, từ
đơn giản đến phức tạp, tôi đã giúp các em có khả năng tự khai thác,
phân tích bài toán, nắm chắc được bản chất của bài toán. Các em đã học
tập rất say mê, hào hứng môn toán, một môn học mà mọi người đều cho
rằng khô khan và cứng nhắc. Học sinh của tôi có khả năng giải các bài
toán một cách chủ động, linh hoạt và sáng tạo. Các em không bị ngỡ
ngàng trước những bài toán mới bởi đó chỉ là những bài toán được sáng
tác từ các bài toán cơ bản mà thôi.
Tôi đã áp dụng chuyên đề này trong giảng dạy và thu được kết quả
như sau:

Tôi tiến hành khảo sát ở 2 lớp 4A (năm học 2005-2006) và lớp 4A
(năm học 2006-2007), kết quả khảo sát đầu năm học của 2 lớp là tương
đương.
Năm học 2005-2006 tôi chưa áp dụng chuyên đề này. Năm học
2006-2007 tôi đã thực hiện chuyên đề này. Kết quả khảo sát cho thấy:
Giỏi

Khá

TB

Yếu

Năm học
2005-2006

25%

34%

36%

5%

Năm học
2006-2007

55%

32%

13%

0%

Nhìn vào bảng thống kê trên ta thấy rằng kết quả học tập môn toán
sau khi áp dụng chuyên đề có sự tiến bộ hẳn. Năm học 2007-2008 tôi
tiếp tục thực hiện chuyên đề này vào giảng dạy và thấy kết quả qua các
đợt khảo sát định kỳ cũng khá cao.
Tuy kết quả trên còn có phần khiêm tốn song có thể nói việc sáng
tác các bài toán mới trên cơ sở bài toán đã có được tiến hành thường
24


xuyên trong giảng dạy sẽ góp phần không nhỏ trong việc nâng cao chất
lượng học toán của học sinh.

PHẦN III- KẾT LUẬN
1. Những bài học kinh nghiệm
Qua việc thực hiện sáng tác các bài toán mới trên cơ sở bài toán đã
có trong giảng dạy, tôi đã rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm quý
giá:
Thứ nhất, người thầy phải tránh suy nghĩ quá rụt rè cho rằng đây
là công việc khó khăn phức tạp, chỉ dành cho các nhà toán học, các nhà
sư phạm có uy tín lớn, các chuyên gia viết sách. Còn mình chỉ là 1 giáo
viên bình thường, không thể làm nổi. Do đó cứ sử dụng các bài toán
trong sách là đủ.
Thứ hai, người thầy cũng phải khắc phục suy nghĩ quá tự tin cho
rằng toán ở tiểu học có gì là khó đâu. Cứ nghĩ đại đi là được các đề toán
mới ngay. Cần gì phải nghiên cứu, học tập và rèn luyện cho mệt.

Thứ ba, để có thể sáng tác được các đề toán tốt, ngoài việc phải
thường xuyên tự học nâng cao trình độ Toán học, trình độ sử dụng
Tiếng Việt, người thầy cần phải nghiên cứu để nắm vững chương trình
môn Toán ở toàn bậc tiểu học, ở từng lớp, từng chương, từng phần, ở
từng bài, từng mạch kiến thức.
Thứ tư, người thầy phải sử dụng phương pháp giảng dạy hợp lý
giúp học sinh học tập một cách chủ động, sáng tạo, tự mình tìm tòi phát
hiện ra kiến thức để hiểu rõ bản chất của vấn đề, giúp các em nắm chắc
kiến thức, nhớ lâu và vận dụng trong giải toán một cách linh hoạt.

25