Đề thi Đại học môn toán có lời giải

XIN CHÀO CÁCBẠNỈ

Một trong những phưcmg pháp ôn thi rất hiệu quả mà các THỦ KHOA áp dụng là ôn
tập và làm theo các bộ đề thi chính thức. Vì vậy nếu làm nó, bạn sẽ làm quen được
với dạng đề và phong cách thi th ậ t Bản thân chúng tôi, những thành viên CLB Kỹ
Năng Sống Thanh Niên Hà Nội cũng đã áp dụng phương pháp học tập đó và rất thành
công trong các kỳ thi tố t nghiệp và đại học. Chúng tôi rất muốn chia sẻ điều đó đến
các bạn.

Xin g iớ i th iêu v ớ i các ba n bô tà i liêu ĐẨCBIÊT:

•
•
•
•
•
•

Tuyển tập
Tuyển tập
Tuyển tập
Tuyển tập
Tuyển tập
Tuyển tập

15 đề thi Đại Học môn Vật Lý.
15 đề thi Đại Học môn Hóa Học.
30 đề thi Đại Học môn Toán.
30 đề thi Đại Học môn Tiếng Anh.
đề thi Đại Học môn Sinh Học 2 0 0 8 -2 0 1 4 .
đề thi Đại Học - Cao Đẳng chính thức 2008 - 2014 Khối c.

Chúng tôi biên soạn các bộ tài liệu này trong vòng 1 năm liên tiếp. Chắc chắn đây sẽ ỉà
những tài liệu vô cùng hữu ích cho các bạn tron quá trình ôn thi, giúp tiết kiệm thời
gian, công sức và chi phí tìm kiếm, in ấn cho các bạn!
Chúc các bạn học tập và ôn thi hiệu quả! Hẹn gặp lại tại giảng đường đại học!

NHÓM BIÊN TẬP
CLB K Ỹ NĂNG SỐNG THANH NIÊN

Liên h ệ t ư vấn: M s Vân A nh 0167.656.2750



M ỤC LỤC

Phân /; Tuyển tập đề thi môn Toán
Đ ề số l
Đề số 2
Đ ềsố3
Đề s ố 4
Đ ềsố5
Đê s ố 6
Đề số 7
Đề số 8
Đề số 9
Đề số 10
Đề số 11
Đề số 12
X ß e số Ị 3
Đề số 14

Đề số 15
Đ ề số lố
Đề SỐ 17
f Đ ề s ố l8
1 Đề số í 9
Đề s ố 20
Đ lsố21
Đề số 22
Đề số 23
Đề s ố 24
Đề s ố 25
Đề s ố 26
Đè s ố 27
Đề số 28
Đ ềsố29
Đề s ố 30

1
10
16
22
28
33
39
44
52
59
67
73
78

84
91
99
105
111
116
123
130
136
144
150
156
163
171
178
185
192


Phần II: Lời giải & h ư ớ n g dẫn chi tiế t
Đề số 1
Đề số 2
Đê số 3
Đề số 4
Đề số 5
Đề số 6
K Đê số 7
'y^Đềsố8
bề số 9
Đề số 10

Đề số 11
Đề số 12
XĐề số 13
Đề số 14
Đề SỐ 15
Đề số 16
Đề số 17
I Đề số 18
Đề số 19
Đề s ố 20
Đề số 21
Đề s ố 22
Đ ềsố23
Đề số 24
£>ềsố25
Đề s ố 26
Đề s ố 27
Đề S Ổ 28
Đề s ố 29

3
11
17
24
29
34
40
45
53
60

68
74
79
85
92
100
106
112
117
124
131
138
145
151
157
165
173
180
187
194


Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

ĐÈ SÓ I
(A - 2009)
PHẦN CHUNG CHO TẮT CẢ TH Í SINH (7,0 điểm):
Câu 1(2,0 điểm)
Cho hàm số y = - + ^ (l)
2x+3 v '

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( 1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần
lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ o .
Cau II (2,0 điềm)
1. Giâi phượng trinh

( l + 2 s in x )(l- s in x )

2. Giải phương trình 2 > /3 x -2 + 3 -\/6 -5 x -8 = 0 ( x e R )
Câu r a (1,0 điểm)
—
2

Tính tích phân I = J (cos3x - 1) cos2x.dx
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD =
2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60°. Gọi I là trung điểm của
cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính
thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Câu V (1,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương X, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:
(x + y )3+ (x + z )3+ 3 (x + y )(x + z )(y + z ) < 5 ( y + z ) 3.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được ỉàm m ột trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VLa (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm 1(6; 2) là giao điểm
của hai đường chéo AC và BD. Điểm M (l; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của
cạnh CD thuộc đường thẳng A :x + y - 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( p ) : 2 x - 2 y - z - 4 = 0 và mặt cầu
( s ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y - 6 z - l l = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S)

theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.
Câu v il.a (1,0 điểm)
Gọi Z\ và Z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2z + 10 = 0. tính giá trị của biểu thức
A = ịzỊ\3 + ịz2ị3:
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu V l.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (c): X2 + y 2 + 4x + 4 y +6 = 0 và đường
thẳng A : x + m y - 2m +3 = 0 , với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm
m để A cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( p ) : X - 2y + 2z -1 = 0 và hai đường
= —- Z- - ;A2 —ỉ- = ——- = 7^ - . Xác định toạ độ điểm M thuộc đường
1 1 6
2
1
—2
^ I câ u Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên
thẳng A,


Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán
thẳng Aj sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng À2 và khoăng cách từ M đến mặt
phậng (P) bằng nhau.
C âu vn.b (1,0 điểm)
Iog2(x z + y 2) = r+ ĩog2 (xy)
Giải hệ phương trinh

%

3*2- W =81

Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên

(x ,y e R ) .


Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán
GIẢI ĐÈ SỐ 1
Câu I.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Tập xác định:

3
X * "

2

-1
3
y ’ = ------ -—T - c O V x * -—
(2 x + 3 )2
2
Tiệm cận:

Vì

X“1“2
X“h 2
lim
_ = +oo; lim — ■

— =-00 nên tiệm cận đứng là X:
lY 2x+ 3
^ ip x + 3
*-(0

Bảng biến thiên:

Vẽ đồ thị: đồ thị cắt Oy tại Ịo ;—j và cắt Ox tại (-2 ; 0)

j ị'câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống' 'T^
iiĩaniiiL,"]NfiêiaM

ị u>

Vì lim x + ^ = —nên tiệm cận ngang là y = —
~»2x+3 2
e * * 2


2. Ta có y '= ----- ỉ—J nên phương trinh tiếp tuyển tại

(2x+3)

X

= x 0 (với x 0 * -

y - f ( x 0) = f ( x 0) ( x - x 0)

y=

2xổ + 8x 0 +6
--A
X
(2x„+ 3 )2 + (2x„+3)2

Do đó tiếp tuyến cắt Ox tại A( 2xg + 8x 0 + 6 ;0)
và cắt Oy tại B(0;

2xổ + 8x 0 + 6
)
(2x 0 +3 )2

Tam giác OAB cân tại 0 <=>OA = OB (vởi OA > 0)

^ K \ = |yB| ^ |2x0+8x0

=

2 x ổ + 8x 0+6
(2x 0 +3)

<=>(2x0 + 3 )2 = l« > 2 x 0+3 = ± l o

'x 0 = - l ( L )
X0 = -2 (T M )

Với x 0 = - 2 ta có tiếp tuyến y = D xũ □ 2
C âun.

Ị_
X * - —+ k 2 7 i;x * —^ + k 2 j t
6
6
1. Điều kiện xác định: •
2 <=>n
s in x ^ l
x * —+2ht
2
s in x ^ t-

Phương trình <=> cosx - 2sinxcosx = -73 (1 - SŨ1X+ 2sinx - 2sin 2x)
<=> cosx - sin2x = -7-5 + -73 sinx - 2 -73 sin2x
o

—73 sinx + cosx = sin2x + -73 (1 - 2sin2x)

= sin2x + V3 Cơs2x
y/3 .
1
_ Ị . _
.
sinx+—cosx = -rSĨn 2X+-2—cos2x
2
2
2
2
Sít
. 5n
. _

7t
_ . n
<=> sin X. cos— + cos X. sin — = sin 2x.cos—+ cos 2x.sin—
6
6
3
3

o sin fx + — ì = sinÍ2x+—ì
5ĩt _
n
x + — = 2x + —+ m2n
6
3
<=>
5tĩ
„
71 „
X H—- = 7 ĩ - 2 x - —+n27t
6
3
Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên

to I u>

Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán


Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

n
- x - - —+m2n
2

n
x = —-m 2 n
2
<=>
K
2k
3x = - —+n2jt
X = — — + n —-

6

18

3

Kết hợp với điều kiện xác định ta có họ nghiệm của phương trình là:
_ 7Ĩ
2tc / I—J \
X = — — + n — (n e O )
18

3 v

'

2. Điều kiện xác định: 6 - 5 x > 0 <=> X <

— (* )

8 -2 u
íu s = 3x - 2
[2 u + 3 v = 8
v=
\u = yj3x—2
Đặt <
____ ( v > 0) =>t
=>í ,
,
=><
3
I v = V 6-5X
[v2 = 6 - 5 x
[5u3 +3v2 = 8
5u 3 + 3v 2 = 8
=> 15u3+64— 32u + 4u2— 24 = 0
<=>15u3+ 4u2- 32u + 40 = 0
o (u + 2)(15u2- 26u + 20) = 0
u = -2
°|_15u2-26u+20 = 0

vô

n0doA’= 132-15.20<0

u = -2 => X = -2 (tm).
Vậy phương trình có tập nghiệm là S={-2}

C âu III.
Jt

n

2

2

1 = 1 cos5x.dx - | cos2x.dx
0

0
n
2

n

n
f
1 ;
Ta có: Ỉ2 = I cos2x.dx = —J (1 + cos2x).dx = — X + — sin2x
2
J0
0
^ 0
2
ị2

ị

n

n

2

2

Mặt khác xét li = I cos5x.dx =J cos4x.cosx.dx
0

0

n
2

= I (1 - sin 2x) 2d(sin x) =
0

Vậy I = li -

12

= —
15

í l . < 2 sin3x . ^
-+sinx u
■sm X —

5
3
)0

15

4

Câu IV.
Vì (SBI)và (SCI)vuông góc với (ABCD) nên SI _L(ABCD).

5

Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên


Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán
T acó IB = a VJ; BC = aV5;IC = aV Ï;
- /7
Hạ IH 1 B C tính được IH = ^ - ;

,0 3aVĨ5
Trong tam giác vuông SIH có SI=IH tan 60 =
S ABCD = S aecd .+ S ebc = 2 a 2 + a 2 = 3 a 2 (E l à t r u n g đ i ể m c ủ a A B ) .

1

C âu V.
Từ giả thiết ta có:
X2 +

xy + xz = 3yz

<=> (x +

y)(x

+

z) = 4yz

Đ ặta = x + y v à b = x + z
Ta có: (a - b )2 = (y - z )2 và ab = 4yz
Mặt khác
a3 + b 3 = (a + b) (a2 - ab + b )2
< \¡2(a2 + b 2) ^ ( a - b )2 + a b j
= yj2 [(a - b )2 + 2ab] Ị^(a - b )2 + abj
= ^ [ ( y - z )2 + 2 y z ] [ ( y - z )2 + 4 y z]
= ^ 2 [ ( y + z ) 2 + 4 y z ] ( y + z )2
< V4(y+z)2 (y+ z)2 = 2 (y + z )2 (1)
Ta lại có:
I Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên


Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán
3(x + y)(y +z)(z + x) = 12yz(y + z)
<3(y + z)2 .(y + z) = 3(y + z )3

(2)

Cộng từng vế (1) và (2) ta cố điều phải chứng minh
Câu VI .a
1. Gọi N là điểm đối xứng với M qua I, F là điểm đối xứng vơi E qua I.
A

M

F

B

T a c ó N s D C ,F eA B , DE J-NE.
Tính được N = (11; □ 1) .
Giả sử E = (x; y), ta có:
ĨẼ = ( x - 6 ; y - 2 ) ; NẼ = ( x - l l ; y + l ) .
!Ẽ . NE = x 2 - 17x + 66 + y2 - y - 2 = 0

(1)

E € Á =ỉ>x + y - 5 = 0 .

(2)

Giải hệ (1), (2) tìm được Xi = 7; X2 = 6.
Tương ứng có yi = D2 ;y 2 = D l=>Ei = (7; □ 2);E 2 = ( 6; DI)
Suy ra Fi = (5; 6), F 2 = ( 6; 5).
Từ đó ta có phương trình đường thẳng AB l à x - 4 y + 1 9 = 0 hoặc y = 5 .
2. Mặt cầu có tâm I(l;2;3) bán kính R=5
Khoảng cách từ tâm I đến mp (P) là
[2.1-2.2—3-41

d ft(p ))= L

L ĩ -

Vì d(I;(P)) Gọi H là hình chiếu của I trên (P) thì H là giao của mp(P) với đường thẳng qua I, vuông góc
với (P). Dễ dàng tìm được H= (3;0;2).
Bán kính đường tròn là: Vr 2 - I H 2 = 4.

Câu VII. a
Phương trình: z2 + 2z + 10 = 0

*1 1 Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên


Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán
Ta có: A '= (-1)2 - 10 = -9 = (3i)2
nên phuơng trình có hai nghiệm là:
Zi

= -1 - 3i và Z2 = -1 + 3i

Suy ra

ì z , f - ( - l ) ỉ + (-3 )í = 10
> / = (-!)’ + (3 )’ = 10

V ậ y A - |z,|J+ |z2f = 10+10 = 20
Chương trìn h nâng cao
C âu VI. b

1. (C ): ( x + 2)2 + ( y + 2 )2 = (V ĩ )2
Đường tròn (C) có tâm I(-2;-2); bán kính R = yỊĨ
A :x + m y - 2 m + 3 = 0
Gọi H là hình chiếu của I trên A .
Để A cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A,B phân biệt thì: IHKhi đó SAIAB = - IH.AB = IH.HA < M +H A = — = — = 1
AIAB 2
2
2
2
=í>(SAIAB)

=1 khi IH = HA = 1 (hiển nhiên IH < R)

o - í ị = ^ L = l o | l - 4 m | = Vm 2+1 <=>l-8m +16m 2 = m 2+ l
Vm2+1
m=0
o l 5 m - 8 m = 0<=>

m=

15

Vậy, có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu là: m = 0 và m =

8_
15

2. Giả sử M(a;b;c) là điểm cần tìm.
(a = b - l

A . a +1 b c + 9
Vì M eA .n ên : —— = —= —-—
1
1 1 6
ịc = 6 b -9
Khoảng cách từ M đến mp (P) là:
J
|a - 2 b + 2 c - l|
|llb - 2 0 |
d = d(M;(P)) = JZ
. = 1— - — I
Vl2 + (- 2 ) 2 + 2 2
3
Gọi (Q) là mp qua M và vuông góc với A2, ta có:
Ũ(Q) =Ũ a2 = (2 ;l;-2 )
=> (Q ): 2(x - a ) + l(y - b) - 2(z - c) = 0
Hay(Q): 2 x + y - 2 z + 9 b - 1 6 = 0
Gọi H là giao điểm của (Q) và A2 => Tọa độ H là nghiệm của hpt:
g I Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sếng Thanh Niên


Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán
2x + y - 2 z + 9 b - 1 6 = 0
' x - 1 _ y - 3 _ z +1

7~ĩ~ ~ ĩ ~ ~ ~-2
-> H (-2 b + 3 ;-b + 4 ;2 b - 3)
MH 2 = (3b - 4ý + (2b - 4 )2 + (4b - 6)2 = 29b2 - 88b +68
Yêu cầu bài toán trờ thành:
MH 2 = d 2

29b2 - 88b + 68 = (--1-lb 20}2

o

9

26 lb 2 - 792b + 612 = 121b2 - 440b + 400
<=> 140b2 - 352b + 212 = 0
O 3 5 b 2 -8 8 b + 5 3 = 0
b=1
»

. 53
b=—
L 35

Vậy có 2 điểm thoả mãn là: M (0;l;-3) và M|
1^35 35 35 )
Câu V II b.
_ ,Ị , . .
íx 2 + y 2 > 0
Điều kiện: <
[xy >0

<=>

xy > 0

Viết lại hệ dưới dạng:
ílog2(x2 + y 2) = log2(2xy)

| x 2 + y2 = 2xy

Ị 3x2-xy+y2 _ 3

[x 2- x y + y 2 = 4

í ( x - y )2 = 0
e>\ 2 yỉ
,
[x 2 - x y + y 2 = 4

íx = y
<=>12
[x = 4

(x ;y )e{( 2; 2) ;( - 2; - 2)}: thỏa mãn

ọ ị Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên


Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

Đ È SỐ 2
(A - 2012)
PHẰN CHUNG CHO TẤT CẲ T H Í SINH (7,0 điểm)
C âu 1 (2,0 điểm) Cho hàm sổ y = X4 - 2 (m +ljx 2 + m2 ( ĩ) ,với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.
C âu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình -v/3 s in2x+cos2x=2cosx-l

X3 ~3x2-9 x + 2 2 = y 3 +3 y 2- 9 y
C âu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

1 1
1
X +y -x + y = —

(x, y e R).

dx

C âu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân / = f

1

X

C âu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông
góc của s trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa
đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
C âu 6 (1,0 điểm) : Cho các số thực X, y, z thỏa mãn điều kiện X +y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức p = 3 ^ + 3 ^ + 3 ^ —aJ6x 2 + 6y 2 + 6z2 .
PHẦN RIÊN G (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần Ả hoặc phần B)
A. Theo chương trìn h C huẩn
C âu 7.a (1,0 điểm) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là
trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử M

11.1

2 ;2

và

đường thẳng AN có phương trình 2x - y - 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A.
C âu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
JC+1 _ y _ Z—2
và điểm I (0; 0; 3). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai
~ r ~ 2~ ~ r
điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.
C âu 9.a (1,0 điểm). Cho n l à s ố nguyên dương thỏa mãn 5C”~' = c3. Tìm s ố hạng chứa X5
trong khai triển nhị thức Niu-tơn í — - ỉ ĩ , x £ 0 .

, 14

X,

B. Theo chương trình Nâng cao
C âu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : X2 + y2 = 8.
Viết phương trình chính tẵc elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại
bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông.
C âu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

2

= — = - —- , mặt phẳng (P) : X + y - 2z + 5 = 0 và điểm A (1; -1; 2). Viết phương trình

1 1

đường thẳng À cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa

+-^ = 2 —i. Tính môđun của số phức w = 1 + z
Z+1

+ z2.

IO

Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên


Tuyin tap 30 d i thi Dai Hoc m6n Toan
GIAI Di: S 6 2
C au 1:
a. Khao sat, ve (C ):
m = 0 =>y = x4 - 2x2
D = R,
y’ = 44x
0 oo xx = 0unayx
hay x = ±i
±1
u
k, y
x3 -r 44x,
x,yy’ = u
.
' '
Ham so d 6ng biin tren (-1; 0) va (1; +oo), nghich biin tren (-<»;-1) va (0; 1)

Ham s6 dat cue dai tai x = 0 va yco = 0, dat cue tiiu tai x = ±1 va ycr = -1
lim v = +oo
Bang biin th ien :
-00

+00

-1
0
0 + 0 1—

+0 0

+00

y = 0 <=> x = 0 hay x = ±J2
D 6 thi tiip xuc vai Ox tai (0
b. y’ = 4 x 3 - 4 ( m + l)x
y’ = 0 <=> x = 0 hay x 2 = (m + 1)
Ham s i co 3 cue tri <=> m + 1 > 0 <=> m > -1
Khi do d i thi ham s i c6 3 cue tri A (0; m2),
B (-V w + 1; - 2 m - 1); C (yjm+ 1; - 2 m - 1)
Do AB = AC nen tarn giac chi co the vudng tai A. Goi M la trung diem cua BC => M (0; 2m -l)
Do do yeu cau bai toan <=> BC = 2AM (dudng trung tuyen bang nua canh huyen)
o 2 yfm+l = 2(m2 + 2m + 1) = 2(m + l)2 <=> 1 = (m + 1) J m + l = (m + iy (do m > -1)
<=> 1 = (m + 1) (do m > - 1) •£> m = 0
Cau 2: -y/3sin2x+cos2x=2cosx-l
<=> 2^3 sinxcosx +

2 c o s 2x

= 2cosx <=> cosx = 0 hay sl3 sinx + cosx = 1

o cosx = 0 hay — sinx + —cosx = — <=> cosx = 0 hay cosC c-—) = cos—
2
2
2
3
3
x = ^ + kit hay x = k2n hay x =
Cau 3:
x 3 - 3 x 2 -9 x + 2 2 = y 3 +3 y 2- 9 y
•
1
x2+ y 2- x + y = —

+ k lii (k e Z).

Dat t = -x

V + y3 +3t2 + 3y 2-9 (t + y) = 22
. D atS = y + t;P = y.t
He trathanh < 2
2
1
t 2+ y2+ t+ y = j

II

O u Lac B 6 Ky Nang Song Thanh Nien

Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

\P) - 9s
95 = 22
s 3 - 3P S+ 3(S2 - 2P)
Hệ trở thành

S Z- 2 P + S = -1

Í5 3- 3P S+3 (5 2 - 2P )- 9 5 = 22
° J . - V
2

+S -Ỉ)
2

2S* + 6S2 + 455+ 82=0
1
1
<=> * p = 4 .V ậy nghiệm cùa hệ là
P = ị ( S 2+ S - ị )
|S = ““2
JC3- 3x 2 - 9 x + 2 2 = yyJ + 33y/1--99yy
j'
J
1
1
. Đăt

Đặt u = x - —;
—;vv == yy + —
Cách k h á c : ( x _ ỉ ) í + 0 ,+ ỉ ) ^ i1
2'
2-

Hệ đã cho thành

u 3- - U
2
M2 + V2

u = (v + 1)3 - - ( v + 1)2
2

4

4

(v + 1)

=1

3 , 45
Xét hàm f(t) = t3- - t 2- — t có f(t) = 312 - 3 1 - — < 0 vói mọi t thỏa 11| < 1
2
4
4
=>

f(u)

=

f(v

+ 1) =>

u

= V + 1

=>

(v

+

Yỷ

+ V2 = 1 = > V = 0

hay

Ịv = 0
V = -1 =>

U =1

hay

ív = - ỉ

I« = 0
Hệ đã cho có nghiệm là

.

C âu 4:
A

Ị

ln(x+ l)

J =ỉ

I

A

Ị

A

3 +J = - + J . V 6 i
1
3

Đặt u = ln(x+l)

=>

1 U== ----du
—í — ax
dx ;; av
dv == —
\ draxx,, cnon
chọn V
V=
= ------1
— -1
X +1
X
X

J = (— -l) ln (jt+ l) 3 + f —
X

ì

= — In 2 + ln 3 .
3

\ X

= (— - l) ln ( x + l) 3 + lnxị* = — In4+21n2 + ln3
X

1
1
3

Vậy 1 = - + — In 2 + ln 3
3 3

Cách khác : Đăt u = 1 + ln(x+l) => du =

1
3
/ = --[l+ ln (x + l)]
X
1

+

x+1

; đăt dv =

3 dx
J
!- x(x + 1)

2 -2
- + — In 2 + ln 3
3 3
-

IX

JL

Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên

, chon V = — , ta cỏ :
X

X

——[l+ ln (x + l)l + lnX
x +1


Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán
Câu 5:
Gọi M là trung điểm AB, ta có

M H = M B -H B = - - - = 2 3 6
2
a
'a T T
28 al
CH2 =
+
2
.6 .
36
s c = 1HC =

3

•CH =

; SH = CH.tan60° =

«77

3

v ( n ARC\ =
=
( ’
' 3 4
12
dựng D sao cho ABCD là hình thoi, AD//BC
Vẽ HK vuông góc với AD. Và toong tam giác Vuông
SHK, ta kẻ HI là chiều cao của SHK.
Vậy khoảng cách d(BC,SA) chính là khoảng cách 3HI/2 cần tìm.
rrir_ l a S _ a S
______ 1 _ 1 . 1
1
.
1
HK =
=
, hệ thức lượng => —7 r = - ^ T + ——T = ----- T + ----------—
3 1
3

H I 2 H S1 H K 2 | ' aVS , Ỵ
ị as
3

I

1 3

=>HI = ^ ^1--»= > d [ B
C ,S A ] = - H I = -2 ^ 12
^ - =^ ®
^
L ’ J ,
8
Câu 6:
X + y + z = 0 nên z = -(x + y ) và có 2 sổ không âm hoặc không dương. Do tính chất đổi xứng
ta có thể giả sử xy > 0
Ta có p = 3ịx~y{ + 3|2>'+x| + 3|2x+y| - Ạ l ( x 2+ y2+xy) =

= 3M + 3|2j,+x| + Ỷ x+yị - Ạ 2 [(x+ y)2 -x y ] > 3M + 2.3

21 - Ạ l[ ( x + y )2 -x y ]

3\x+y\

> 3 ^ + 2.3 2 - 2 yfĩ |x + y|. Đặt t = |x + y| > 0 , xét f(t) = 2.(73)3' —2*Jst
f (t) = 2.3(73 )3,.ln 7 3 - 2 7 3 = 273(73.(73)3í ln T -ĩ-1 ) > 0
=> f đồng biến trên [0; +oo) => f(t) > f(0) = 2
Mà 3 ^ > 3° = 1. Vậy p > 3° + 2 = 3, dấu “=” xảy ra<=>x = y = z = 0 . Vậy min p = 3.

A. Theo chưong trình C huẩn :
Câu 7a:
,
a-v/ĩõ
ayfs
5a
Ta có : AN = ——- • AM = —— : MN = —

3

2

6

A _ A M 2+AN 2-M N 2 _ 1
cosA = ------ ------------------ = - 7= => MAN = 45
2 AM .AN
72
Cách khác :ĐỔ tính MAN = 45° ta có thể tính

I Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên


Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

2-i
tg(DAM - DAN) = ----2p = l )
1 + 2, 3
ình đường
đương thẳng

tbãng A
AM
D y----0= u0
Phương trình
M : ax + by
- — aa —
——b=
^
= -1= <=> 3Í2 - 8t - 3 = 0 (với t = ^ -)= > t = 3 hay t = - cosMAN-= ■
75 ự + b 2) 7 2
ố
3
Í 2 jc - y - 3 = 0
Vói t = 3 => toa đô A là nghiêm của h ệ : "Ị
=> A (4; 5)
[3 x + y -1 7 = 0

1
Í2 x -y -3 = 0
Với t = - ~ => toa đô A là nghiêm của h ê : 4
= > A (1 ;-1 )
3
[x -3 y -4 = 0 ,
Cách

khác:

A

(a;

2a

-

d(M ,A N ) = —

3),

,

MA

=

M H .J 2 = ^ ^

o

,
11x2 „
7,2 45
( a ——)2 + {2a —-Ỵ = —
2
2
2
» a = 1 hay a - 4 => A (1; -1) hay A (4; 5).
C âu 8a: Ta có M (-1; 0; 2) thuộc d, gọi ud = (1; 2; 1) là vectơ chi phương của đường thăng
d.

IH

AB
_
2

R-J2
2

JÍT ^
d (I,d } — I—I
K

( 2j 0j 2 ) = > M = ^ l = - ị L
76 73

,

*72
2
276
,_____ , ,__
i
,,
2
2 /■_ ->\2 8
— — = —j= => R = —— => phương trình mặt câu (S) l à : X + y + ( z - 3 ) = - .
2
V3
3

3
Câu 9:
a.

5ơrl=cì o

5.n =

n(n—l)(n —2)
<=> 30 - (n - 1) (n - 2), (do n > 0) => n = 7
o

Gọi a là hệ số của X5 ta có c]~' —

.Ị^-—j = axs o

=> 14 - 3i = 5 => i = 3 và - C 7-'.^ —j

(-1 )'C 7~'.^—j

= a => a = —— . Vậy số hạng chứa X5 là

^ . x 5.
16
B. Theo chương trìn h Nâng cao :
C âu 7b:

X2 y 2
Phương trình chính tăc của (E) có dang : —7 +^Y = 1 (a > b ). Ta có a = 4
a

b
(E )cắt (C ) tại 4 điểm tạo thành hình vuông nên :

,

Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên

JC14"3' = ax5


Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán
M (2;-2) thuộc (E) o - ^ - + - 4 - = l o ố 2 = — . Vây (E) có dang ——\-¥-r = \
a2 b1
3
6 16 16
3
Câu 8b:
M e d = > M ị—l+ 2 t,t;2 + t)(te R ); A là trung điểm MN = > N (3 -2 t;-2 -t;2 -t)
N e (P) =>t = 2=ỳ N (-ỉ;-4 ;0 ) ; A đi qua A và N nên phương trình có dạng :
x+1_ y+ 4_ z

2 ~ 3
C âu 9b:
z =x+ yị

~2

Ẽ Ễ ± ữ = 2 - i o 3 ĩ = 4 ± S . 2 - í o ^ - Ị > - 1 ) 0 = 2 _,z+1
x + y j+ l
( x + l) + y i

<=> 5X —5 (y —1)i = 2(x +1) - (x 4- l)ị + 2yi + y <=> 5 x—5(y - l)i = (2x4-24-_y)—(x 4-1 —2y)i
Í2x+2 + y = 5x
Í3 x -y =2
Jx = 1
\x 4 - l - 2 y = 5 0 > -l) C>ị x - 7 y = -6 ° 0
z

=

1

4-

ij

=1

w —14- z 4- z~ = 14- (1 4- ỉ) + (1 4- z)~ = 1+14-i 4-1 4- 2/ 4- (—1) = 24-3/

=>|w| = V4 + 9 = V Ĩ3

I S I Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên


Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

ĐÈ SỐ 3
(A - 2013)
PHẦN CHUNG CH O TẤT C Ẳ T H Í SINH (7,0 điểm)
C âu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = - X 3 + 3x2+ 3mx -1 (1) , với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0
b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; +oo)
C âu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 1 + tan X = 2 V ĩ s in ^ x + —j

yịx+l + y ỉ x - l - y Ị y 4 +2= y

C âu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

(x, y € R).

X2+ 2 x ( y - ỉ) + y 2- 6 y +1 = 0
2 *2-1

C âu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân / = [
1 *
—

T

ln X dx

C âu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC = 30°, SBC
là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c )(b + c ) = 4c2 .
32a3
32b3
Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức p = •
, .
,

(b+ 3c)3 (a+ 3 c)3
c
PHẦN RIÊN G (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần
B)
A. Theo chương trìn h C huẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm
c thuộc đường thẳng d :2 x + y + 5 = 0 và A (-4; 8). Gọi M là điểm đổi xứng của B qua C, N
là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ các điểm B và c, biết rằng
N(5;-4).
C âu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
A :——- =
■ và điểm Ạ(l;7;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và
-3
-2
1
vuông góc với A . Tìm tọa độ điểm M thuộc A sao cho AM = 2V3Õ .
C âu 9.a (1,0 điểm). Gọi s là tập hợp tất cả số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn
từ các số Ị; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của s. Chọn ngẫu nhiên một số từ s, tính
xác suất để số được chọn là số chẵn.
B. Theo chương trìn h Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng A : x - y = 0 .
Đường tròn (C) có bán kính R = V ĩõ cắt A tại hai điểm A và B sao cho AB = 4 V2 . Tiếp
tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy. Viết phương trình đường tròn
(C).
■
,
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( P ) : 2 x + 3 y + z - l l = 0 và mặt cầu (S ):x 2 + y2+ z 2- 2 x + 4 y - 2 z - 8 = 0 . Chứng minh (P)
tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (S).
C âu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z = 1+ V3Ì . Viết dạng lượng giác của z. Tìm phần thực và

phần ảo của số phức w = (1+i)z5.

I Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên


Tuyển tập 30 đề thỉ Đại Học môn Toán
GIẢI ĐỀ SỐ 3
Câu 1 :
a.
m= 0, hàm số thành: y = -X3 + 3x2 -1. Tập xác định là RyT= -3x2 + 6x; y ’ = 0 <=>X = 0 hay X = 2; y(0) = -1; y(2) = 3
lim y = +00 và lim y = -00
X— 00

JC-++CO

—oọ
+00

X
y’
y

0

2

—0 +0
-^ + 0 0 ^
^
3

-1
—00

Hàm số nghịch biện trên (-oo; 0) ; (2; +oo); hàm số đồng biến trên (0; 2)
Hàm số đạt cực tiểu tại X = 0; y(0) —1; hàm số đạt cực đại tại X = 2; y(2) = 3
^ y" = -6x + 6 ;y ” = 0 o x = l. Điểm uốn I (1; 1)
Đồ thị:

y’ = -3x2 + 6x+3m, y’ = 0 o m=x2 - 2 x=g(x)
Do đó yêu cầu bài toán <=>ỳ ’< 0, Vx e (0; +00)
« m < X2 - 2x Vx e (0; +oo)
o m < min (x2 - 2x), Vx e (0; +oo)
<=> m < - l = g (l)
Câu 2:

1+tanx=2(sinx+cosx)
<=>cosx+sinx = 2(sinx+cosx)cosx (hiển nhiên COSX=0 không là nghiệm)
<=>sinx+cosx=0 hay COSX= —
2

<=í>tanx=-l hay COSX= —
2

<?> x = - — + kĩchay x = ± —+ k 2 n ,k e ị

I Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên


Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán
C ầu 3:

Điều kiện: x > 1
x2+ 2 ( y - l ) x + y 2 - 6 y + l = 0 o ( x + y - l ) 2- 4 y = 0 <=>4y = ( x + .y - l ) 2(*)
Vậy: y > 0

■ J x + ì + ỳ x - ỉ - y l y 4 +2 = y <=> ^Ịx+l + y/x-l = Ậ y 4 + ì) + l + Ậ y 4 + ì) - l ( * * )
Đ ặ tf(t)= ^Jt+ l+ yJt-ỉ thì f đồng biến trên [1, +oo)
Nen (**) o f(x) = f(y4 + 1) <» X = y4 + 1
Thế vảo (*) ta c ó : 4y = (y4 + y)2 = y8 + 2y* + y2
~y = 0 -» X = 1
y=0
l
á.
(vì g(y) = y + 2y + y đông biên trên
o
o
y=l
y 1 +2y4 + y = 4
Vậy (x; y) = (1; 0) hay (x; y) = (2; 1).
C âu 4:

/= [—_ *lnxdx
1 *
Đ ặtt=lnx => — = dt,x = e',t( )l = 0 ,/(2 )
X

= ln2

=> I = J t ị ý - ẽ * } d t
0

Đ ặtu=t => du = dt,dv = e‘ —e~t, chọn v = e' + é
ln2

=>I = [ t ự +e-‘) J - J ự +e')dt
0

-M =

5 1 n 2 -3

Câu 5:
Gọi H là trung điểm BC thì SH ± (ABC) và SH =
Ta có tam giác ABC là nửa tam giác đều nên
BC=a, AC = - ,A B = —
2
2

1 a aV3 ơy/ĩ
r= ỉ
3 22 2
2

a3
Ì 7 (đvtt)

Gọi I là trung điểm AB
HI=a/4, SH = ^ ệ -

| g I Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên

w 3

[ 0 , +oo)


Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán
1

1

HK2 ~ a
_4_

1.
2 1

1

HK

1
1
Ồ
N>
í__ __ 1

Vẽ HK _L SI thì H K 1 (SAB), ta có

a^

Vây d(C, SAB)= 2HK = l2 fỄ - =
V52
VÕ

Câu 6:
Gỉa thiết o í —+ 1 ^ ^- + 1 1= 4
c ) \c
Đ ặ t x = —; y = — thi(x + l)(y + l ) = 4 o S + P = 3 P = 3 - S
c
c
\3
p = 32
-V + 7
y + 3 ) VJC+3
_-i3
S 2+ 3 S -2 P
_s_
> 8 x .+ y
-y jx 2+ y2 = 8
y + 3 JC+3
ĨS + P + 9
\íĩ
“|3
s2+ 3 5 - 2 ( 3 - 5 )
s_
= 8
35 + ( 3 - 5 ) + 9
s
y
52+ 5 5 - 6

' s -lY
= 8
— - - Ỷ * = (5-l)s-^ = ,5 > 2
- - Î .-8
25 + 12
y¡2
2 J y¡2
yỊĨ
V

P ’ = 3 (S - l)2 - 4 = > 0, v s > 2 => p min = p (2) = 1 - yỊĨ
V2
Dấu “=” xảy ra chẳng hạn khi X = y = 1.
Câu 7a:
C(t;-2t-5)
Gọi I là trung điểm của AC, suy ra I

^ —4 +1 -2 t + 3 ^

l“ ; 2 J

Ta có: IC2 = IA2, suy ra t =1
Tọađộ C(l;-7)
B là điểm đối xứng của N qua AC. Dễ dàng tìm được B(-4;-7)
Câu 8a:
Ptmp (P) ± A có 1 pháp vectơ là (-3; -2; 1).
Vậy ptmp (P) là : -3(x - 1) - 2(y - 7) + z - 3 = 0 <s> 3x + 2y M thuộc A <=> M (6 -3t; -1 - 2t; -2 + 1)
YCBT o (5 - 3t)2 + (-8 - 2t)2 + (-5 + 1)2 = 120
,
3

<=> 14t2 —8t —6 = 0 <=> t = 1 hay t = - —
7
Vậy tọa độ điểm M là (3 ;-3;-1) hay ( — ;
Câu 9a:
I Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niễn

; - — ).

Z-

14 = 0


Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

Số cách gọi số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt là số chẵn: 3.6.5=90
Số cách gọi số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt là: 5.6.7=210
Xác suất để chọn 3 số tự nhiên phân biệt là số chẵn từ 7 số đã cho là 90 :210 =3/7
Vậy xác suất để chộn 3 số tự nhiên phân biệt là số chẵn từ 7 số đã cho là 3/7
Câu 7b:

M (0;-c)
MH = d (M; A) = Ặ = 4 V2 => c = 8 hay c =-8
V2
I (t; -t - 8) hay (t; -t + 8)
d (I; A) = t t ị í Ể =
= IH « t = -3 hay t = -5
V2
Với t = -3 => I (-3; -5); t = -5 => I (-5; -3)
=> Pt 2 đường tròn cần tìm l à : (x + 3)2 + (y + 5)2 = 10 hay (x + 5)2 + (y + 3)2 = 10.

Câu 8b:
(S) có tâm là I (1; -2; 1) và R2 = 14.
—Lll= yịị4 = R

Khoảng cách từ tâm I đến mp (P) là :
V14
Vậy (P) tiếp xúc với (S).
Pt (d) qua I và JL A :

^

T e (d)

=> T (1 + 2t; 3t - 2; 1 + 1)
T e ( P ) = > t = l . V ạ y T ( 3 ; 1;2) .
Câu 9b:
r = Vl+3 = 2; tgcp = \Ỉ3 , chọn cp = —
5
. . 5tĩ. __,1 . v 3.
=> z = 32(cos— + ỉ sin — ) = 32(—- i — )
3
3
2
2
w = 32(1 + i) ( i - i y )
2

- 3 2 ( i+ ^ ) + 3 2 , '( i - ^ )

Q ị Câu Lạc BỘ Kỹ Năng sống Thanh Niên


Tuyln tap 30 d£ thi Dai Hoc mdn To an
Vay phan thuc cua w l a : 32( ^ +^— ) va phan ao la 32(^ - ^ - )

ai

Cau Lac B6 Ky Nang S6ng Thanh Nien