ON TAP HK2 THEO CHUYEN DE

VẤN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Dấu nhị thức bậc nhất
Định lí: Nhị thức f(x) = ax + b
Bảng xét dấu:
x
−∞

−

b
a

+∞

f(x) = ax +b
Trái dấu a 0 cùng dấu a
Dấu tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c

•

∆ < 0 ( ∆ = b 2 − 4ac )
Kết luận

−∞
x
+∞
f(x)
Cùng dấu a
∀x

∈
ℜ
a.f(x) > 0
 ∆ = 0 (tam thức bậc hai có nghiệm kép)
• Kết luận
x
b

−

−∞

f(x)

cùng dấu a

∀x ≠ −

+∞

2a
0 cùng dấu a

b
2a

a.f(x) > 0 ,
 ∆ > 0 (Phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 < x2)
• Kết luận

−∞
x
x1
x2
+∞
f(x)
cùng dấu a 0 trái dấu a 0cùng dấu a

a. f ( x) < 0, ∀x ∈ ( x1; x2 )
a. f ( x) > 0, ∀x ∈ S với S = ( −∞ ;x ) ∪ (x ;+ ∞ )
1

2

Bài toán 1: Giải bất phương trình: f ( x) > 0, f ( x) < 0, f ( x) ≥ 0 , f ( x) ≤ 0 .
Phương pháp
 Đặt điều kiện f(x) có nghĩa (nếu có)
 Biến đổi đưa về tích hoặc thương của nhị thức bậc nhất hay tam thức bậc hai
 Tìm nghiệm của những nhị thức hay tam thức bậc hai.
 Bảng xét dấu
 Dựa vào bảng xét dấu kết luận nghiệm.
BÀI TẬP
Giải các bất phương trình sau
1. (2 x + 3)(5 x − 7) ≥ 0
2
4. x − 3x + 2 < 0

x+2 x−2
>
7. 3 x + 1 2 x − 1

2. (3 − 2 x)(4 x + 3) < 0
2
5. − x + 12 x + 13 > 0
1
3
<
8. x + 2 x − 3

Bài toán 2: Giải hệ bất phương trình

3. (2 x + 5)(3 − x)(5 x − 1) ≤ 0
2
6. x + 6 x + 9 ≤ 0

5x − 6
≤6
9. 2 x − 5


Phương pháp



Giải từng bất phương trình
Tập nghiệm của hệ là phần giao của các tập nghiệm của các bất phương trình.
BÀI TẬP

Giải hệ bất phương trình:

x − 2 > 0

2
1. −3 x + 6 x + 9 ≤ 0
2
3 x + 8 x − 3 ≤ 0

2
17 x − 7 − 6 x ≥ 0
4. 

2.

( x − 1)(2 x − 3) ≥ 0

x −1 ≥ 0
5. 

Bài toán 3: Giải bất phương trình

2
 x + x + 5 < 0
 2
x − 6x + 1 > 0
3. 
2
2 x − 7 x − 4 ≤ 0
 2
2 x − 15 x + 22 > 0
6. 

f ( x) ≤ g ( x)

(1)
Phương pháp

(1) ⇔ − g ( x) ≤ f ( x) ≤ g ( x)





3 x + 1 ≥ 2 x + 7

4 x + 3 < 2 x + 19

 f ( x) ≤ g ( x)
⇔
( 2)
 f ( x) ≥ − g ( x)

Giải hệ (2)
BÀI TẬP

Bài 3: Giải phương trình và bất phương trình sau
1.
4.
7.

4 − 3x ≤ 8

2.

x2 − 2x < x
x2 − x ≤ x2 −1

5.
(NC)

8.

Bài toán 4: Giải bất phương trình





x2 − 4x < 5
x2 − 4 + 2x < 4
x 2 + 2 x = −2 x 2 − 4 x + 3 (NC)

3.
6.

2 x − 4 ≤ x + 12
x 2 − 3x + x − 2 < 0

2
9. ( x + 1)( x + 2) = x + 3x − 4

f ( x) ≥ g ( x)

(1)
Phương pháp

 f ( x) ≥ g ( x)(2)

(1)  f ( x) ≤ − g ( x)(3)

Giải (2) và (3)
Tập nghiệm của (1) là hợp của (2) và (3)
BÀI TẬP

Bài 4: Giải bất phương trình sau:
1.

3X − 2 ≥ 7
3 x −1 + x2 − 7 > 0

2.

x − 3 > 3 x + 15
x 2 − 7 x + 12 < x − 4

4.
5.
Bài toán 5: Tìm m để phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm

3.
6.

x2 − 2x − 8 > 2 x
x 2 + 3x + 2 + x2 + 2 x ≥ 0

Bài


Phương pháp


Tính ∆ = b − 4ac hoặc ∆ ' = b ' − ac Điều kiện để phương trình vô nghiệm
2

2

 a = 0

 b = 0 (1)
⇔  c ≠ 0

 a ≠ 0
 ∆(∆ ') < 0 (2)





Giải (1) và (2)
Giá trị của m là hợp của (1) và (2)
BÀI TẬP

Bài 5: Tìm m để phương trình vô nghiệm
1. x2 – (2m+1)x + m2 +2 = 0
2. (m +1)x2 + (3m – 4)x + m – 11 =0
3. mx2 – (m +1)x +m – 1= 0
4. (m + 2)x2 + 2x – m + 2 =0
Bài toán 6: Tìm m để phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm
Phương pháp


2
2
Tính ∆ = b − 4ac hoặc ∆ ' = b ' − ac

 a = 0
(1)

b
≠
0

⇔
 a ≠ 0

(2)
∆
(
∆
')
≥

0
 
 Điều kiện để phương trình có nghiệm



Giải (1) và (2)
Giá trị của m là hợp của (1) và (2)
BÀI TẬP

Bài 6: Tìm m để phương trình có nghiệm.
1. x2 + (2m – 1)x – m = 0
2. x2 – 2mx – 4m + 5 = 0
3. (m – 1)x2 – 2(m +1)x + m + 2 = 0
4. mx2 + (2 – 3m)x – 6 = 0
Bài toán 7: Tìm m để phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt
Phương pháp


2
2
Tính ∆ = b − 4ac hoặc ∆ ' = b ' − ac

a ≠ 0
⇔
∆ (∆ ') > 0 (*)
 Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm pbiệt



Giải (*)
Kết luận

BÀI TẬP
Bài 7: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
1. x2 + 2(m – 1)x – 2m + 5 = 0
2. (m – 1)x2 +2x + 1 = 0
2
3. (m – 1)x + 2(m + 1)x – m – 1 = 0
4. (2 – m)x2 + 2( m + 3)x + 2m + 6 = 0
Bài toán 8: Tìm m để phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm trái dấu
Phương pháp






Tính biểu thức a.c
Điều kiện phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0
Giải (*) .Kết luận

(*)

BÀI TẬP
Bài 8: Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
1. (2m2 – 5m + 3)x2 +2mx + 2 = 0
2. (m – 3)x2 + x + 10 – 3m = 0
2
2

3. (2m +3)x +5x + m - 20m +36 = 0
4. (m2+ 3)x2 + 2mx + m – 7 = 0
Bài toán 9: Tìm m để f(x) = ax2 + bx + c luôn dương ∀x ∈ ¡
Phương pháp



TH1:Nếu a = 0 thì tuỳ theo kết quả mà nhận hay loại giá trị của tham số vừa tìm đựơc.
TH2: Nếu a ≠ 0
+ Tính ∆ (∆ ')

a > 0
⇔
∆(∆ ') < 0 (*)
+ Để f(x) luôn dương ∀x ∈ ℜ
+ Giải (*)
 Kết luận: TH 1 ∪ TH 2
BÀI TẬP

Bài 9: Tìm m để f(x) luôn dương ∀x ∈ ℜ
1. f(x) = (m – 2)x2 + 2(m – 2)x + m + 4
2. f(x) = (3m + 1)x2 – (3m + 1)x + m + 4
3. f(x) = (m + 4)x2 – (m – 4)x – 2m – 1
4. f(x) = (m +3)x2 + 2(m – 1)x + 4m
Bài 10: Tìm m để bất phương trình có nghiệm ∀x ∈ ¡
1. x2 – (m – 2)x + 8m + 1 > 0
2.(m -2 )x2 + 2x – 4 > 4
2
3. (m – 1)x + 2(m +1)x + 3m – 6 > 0
4. (m + 3)x2 + 2(m +1)x + 1> 0

Bài 11: Tìm để bất phương trình vô nghiệm
1. x2 – 2(m – 2)x + m – 2 ≤ 0
2. (m – 2)x2 – 2(m – 2)x + 1 ≤ 0
Bài toán 10: Tìm m để f(x) = ax2 + bx + c luôn âm ∀x ∈ ℜ
Phương pháp


TH1:Nếu a = 0 thì tuỳ theo kết quả mà nhận hay loại giá trị của tham số vừa tìm đựơc.



TH2:Nếu a ≠ 0 Tính ∆ (∆ ')



a < 0
⇔
Để f(x) luôn âm ∀x ∈ ℜ ∆(∆ ') < 0 (*)

Giải (*)
 Kết luận: TH 1 ∪ TH 2

Bài 12: Tìm m để f(x) luôn luôn âm ∀x ∈ ¡

BÀI TẬP

1. f(x) = –2x2 + 2(m – 2)x + m – 2
Bài 13: Tìm m để bất phương có nghiệm ∀x ∈ ℜ
1. –x2 + 3x – m + 1 < 0

2. f(x) = 3mx2 – mx + 1
2. (m – 1)x2 – 4mx + 4 < 0


Bài 14: Tìm m để bất phương trình vô nghiệm
1. x2 + 2(m + 1)x – m + 3 ≥ 0

2. (m – 1)x2 + 3(m – 1)x


VẤN ĐỀ 2. HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Kiến thức cần nhớ
Sử dụng các hệ thức cơ bản:
cot x =

sin x + cos x = 1
2

2

cos x
s inx

1 + tan 2 x =

t anx.cot x = 1

t anx =

1

cos 2 x

BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức
2
2
2
1. cos x − sin x = 1 − 2sin x
2
2
3. 3 − 4sin x = 4 cos x − 1
4
4
2
2
5. sin x + cos x = 1 − 2sin x.cos x

s inx
cos x

1 + cot 2 x =

1
sin 2 x

(6)

2
2
2. 2 cos x − 1 = 1 − 2sin x

4. sin x.cotx+ cos x.t anx = s inx + cos x
4
4
2
2
6. cos x − sin x = cos x − sin x

7. 4 cos x − 3 = (1 − 2sin x)(1 + 2sin x)
4
4
2
2
9. sin x − cos x = 1 − 2 cos x = 2sin x − 1
Dạng 2: Rút gọn biểu thức

2
2
2
8. (1 + cos x)(sin x − cos x + cos x) = sin x
3
3
10. sin x cos x + sin x cos x = sin x cos x

2 cos 2 x − 1
1. s inx + cos x
cos x
t anx +
1 + s inx
3.

1 − cos x
1
−
2
2. sin x 1 + cos x
s inx + t anx
− s inx.cot x
t anx
4.

Dạng 3: Biến đổi thành tích
2
1. 2cos x − 1
2
3. s inx.cos x + cos x − 1
5. 1 + s inx + cos x + t anx

2
2. 3 − 4sin x
2
4. sin x + s inx.cos x − 1
6. t anx − cot x + s inx + cos x

2

7. cos x.tan x − 1 − cos x
8. 3 − 4 cos x − s inx(2sin x + 1)
3
3
3

2
9. cos x + cos x + 2 sin x − 2
10. cos x − sin x + s inx + cos x
Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x:
4
4
2
4
2
2
2
1. cos x − sin x + 2sin x
2. sin x + sin x.cos x + cos x
2

2

4
2
2
2
3. cos x + sin x.cos x + sin x

2
2
4. (t anx + cot x) − (t anx − cot x)

4
2
4

2
5. cos x(2 cos x − 3) + sin x(2sin x − 3)

6
6
4
4
2
6. sin x + cos x − 2sin − cos x + sin x

7.

sin 4 + 4 cos 2 x + cos 4 + 4sin 2 x

2
2
2
2
2
8. cos x.cot x + 5cos x − cot x + 4sin x

VẤN ĐỀ 3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
Dạng 1: Tính các giá trị lượng giác của x khi biết một giá trị của nó
Loại 1: Cho biết sinx = a và m < x < n . Tính tanx, cotx, cosx.
Phương pháp:
 Sử dụng hệ thức cơ bản
 Xác định dấu của gía trị lượng giác với điều kiện cho trước.
BÀI TẬP
Bài 1: Tính cosx, tanx, cotx, biết:
3

4 và 00 < x < 900
1.
5
π
s inx =
< x<π
13 và 2
3.
s inx =

Bài 2: Tính tanx, cotx, cosx biết:

4
5 và 900 < x < 1800
2.
12
π
s inx =
0< x<
13 và
2
4.
s inx = −


−5
13 và 1800 < x < 2700
2.
8
π

cos x =
< x<π
17 và 2
4.

4
5 và 0 < x < π
1.
3
cos x =
5 và 00 < x < 900
3.

cos x =

cos x =

Bài 3: Tính cosx, sinx cotx biết :
1.

t anx =

π
< x <π
2. t anx = − 2 và 2
−π
−π < x <
2
4. t anx = 3 và

3
π
0< x<
4 và
2

3. t anx = 2 và 0 < x < 90
Bài 4: Tính sinx, cosx, tanx biết:
0

0

2
π
3π
0< x<
π 3 và
2
2
1.
2. cot x = 2 và
0
0
0
0
3. cot x = 2 và 0 < x < 90
4. cot x = 3 và 180 < x < 360
Bài 5: Cho biết t anx = −2 . Tính giá trị biểu thức.
5cot x + 4 tan x

2sin x + cos x
A=
B=
5cot x − 4 tan x
cos x − 3sin x
1.
2.
cot x =

Bài 6: Cho biết cot x = 2 . Tính giá trị biểu thức
1.

A=

3sin x − cos x
s inx + cos x

2.

B=

sinx − 3cos x
s inx + 3cos x

2
s inx =
3 và 00 < x < 900 . Tính giá trị biểu thức
Bài 7: Cho biết
t anx − cos x
t anx.cos x

A=
B=
− cos x.cot x
cot x
sin 2 x
1.
2.
4
π
cos x = −
< x <π
5 và 2
Bài 8: Cho biết
. Tính giá trị biểu thức
cot x + t anx
s inx
A=
B = cot x +
cot x − t anx
1 + cos x
1.
2.

VẤN ĐỀ 4. CUNG LIÊN KẾT
β

sinβ
cosα

cosβ

sinα

π-α
π +α

sinα
- sinα

- cosα
- cosα

π
−α
2

tanβ
cotα

cotβ
tanα

- tanα
- cotα
tanα
cotα
BÀI TẬP
Bài 1: Diễn tả giá trị lượng giác của các góc sau bằng giá trị lượng giác của x
0
1. sin( x − 90 )
0

5. cos( x + 540 )

9.

tan(

11π
+ x)
2

0
2. cos(180 + x)
0
6. cot(180 + x)

10.

sin( x +

7π
)
2

0
3. sin(270 − x)
0
7. sin( x − 450 )

11. tan( x − 5π )

0
4. sin( x − 180 )
0
8. tan(360 − x)

12.

cos( x −

VẤN ĐỀ 5. CÔNG THỨC CỘNG – NHÂN ĐÔI

1. sin(α − β ) = sin α cosβ − cosα sin β
3. cos(α − β ) = cosα cosβ + sin α sin β

2. sin(α + β ) = sin α cosβ + cosα sin β
4. cos(α + β ) = cosα cosβ − sin α sin β

5π
)
2


tan(α − β ) =

tan α − tan β
1 + tan α tan β

tan(α + β ) =

5.

7. sin 2α = 2sin α cos α
2 tan α
tan 2α =
1 − tan 2 α
9.
Bài 1: Tính giá trị biểu thức

tan α + tan β
1 − tan α tan β

6.
2
2
2
2
8. cos 2α = cos α − sin α = 2 cos α − 1 = 1 − 2sin α

1
π
π
π
12 π x 3π
s inx =
(0 < x < )
cos( x + )
sin( − x )
cos x = − ( < <
)
2
3

3 , biết
3
13 2 2 4
1.
2.
, biết
π
−4
3π
π
5π
cot( x − )
sin x =
(π < x <
)
tan( x + )
cot( − x) = 2
4 , biết
5
2
4 ,biết
2
3.
4.
4
8
sin a =
sin b =
0
0

0
0
5 (0 < a < 90 ) ,
17 (90 < b < 180 ) .Tính sin(a − b), cos(a + b )
Bài 2: Cho

Bài 3: Chứng minh đẳng thức
1. sin 2 x = 2sin x cos x

2. cos2 x = cos x − sin x
2

4. sin 3 x = 3sin x − 4sin x
3

2

3.

tan 2 x =

2 tan x
1 − tan 2 x

π
π
cos x + s inx = 2cos( x − ) = 2 sin( x + )
4
4
6.

π
π
tan x tan( − x) tan( + x) = tan 3 x
3
3
8.

5. cos3x = 4 cos − 3cos x
3

π
π
cos x − s inx = 2cos( x + ) = 2 sin( x − )
4
4
7.

VẤN ĐỀ 6. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

α+β
α −β
.cos
2
2
1.
α +β
α −β
sin α + sin β = 2sin
.cos
2

2
3.
cosα + cosβ = 2 cos

α +β
α −β
.sin
2
2
2.
α +β
α −β
sin α − sin β = 2 cos
.sin
2
2
4.
cosα − cosβ = −2sin

BÀI TẬP
Bài 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức
cos2a − cos4a
sin 4a − sin 2a biết a = 200
1.
cos a.cos10a
π
C=
a=
cos2a + cos4a , biết
13

3.
A=

2.
4.

cos a.cos13a
π
a=
cos3a + cos5a , biết
17
tan 2a − sin 2a
2
D=
t ana =
tan 2a + sin 2a , biết
15

B=

Bài 2: biến đổi thành tích các biểu thức sau:
1. 1 + s inx − cos2 x
2. 1 + s inx + cos x
3. cos x + sin 2 x − cos3x
4. sin 3x − s inx + sin 2 x
5. 1 + cos x + cos2 x + cos3 x 6. sin 3 x + s inx − sin 2 x + 2(1 − cos x) cos x
7. s inx − sin 3 x + sin 7 x − sin 5 x
8. cos x + cos3 x + 2 cos 5 x

VẤN ĐỀ 7. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

1
1
cosα .cosβ = [ cos(α + β ) + cos(α − β ) ]
sin α . sin β = − [ cos(α + β ) − cos(α − β )]

2
1
sin α .cosβ = [ sin(α + β ) + sin(α − β ) ]
2
3.

1.

2.

2

BÀI TẬP
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
1. cos11x.cos3 x − cos17 x.cos9 x

2. sin18 x.cos13x − sin 9 x.cos4 x

3. s inx.sin 3x + sin 4 x.sin 8 x

1
sin 2 x.sin 6 x.cos4 x + cos12x
4
4.

VẤN ĐỀ 8. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng:
Phương pháp:
Để viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta thực hiện các bước:
- Tìm một vectơ chỉ phương u = (u1 ; u 2 ) của đường thẳng ∆.
- Tìm một điểm M0(x0; y0) thuộc ∆.
 x = x 0 + u1t

y = x0 + u 2 t
- Phương trình tham số của ∆ là : 

*Chú ý:

- Nếu ∆ có hệ số góc k thì ∆ có vectơ chỉ phương u = (1; k ) .
- Nếu ∆ có vectơ pháp tuyến n = ( a; b) thì ∆ có vectơ chỉ phương u = (−b; a) hoặc u = (b;−a )
BÀI TẬP
Bài 1:Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a) d đi qua điểm A(2; -5) và có vectơ chỉ phương u = (3;−4)
b) d đi qua điểm M(-3; -4) và có vectơ pháp tuyến n = (−2;−5)
Bài 2:Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a) d đi qua điểm M(7; 1) và có hệ số góc k = -2.
b) d đi qua hai điểm A(6; 4) và B(8; -3)
x = 1 + t

Bài 3:Cho đường thẳng d có phương trình tham số  y = 4 + 2t . Viết phương trình tham số của đường

thẳng
a) Đi qua M(8; 2) và song song với đường thẳng d
b) Đi qua N(1; -3) và vuông góc với d.

Dạng 2: Phương trình tổng quát của đường thẳng.
Phương pháp:
Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta thực hiện các bước:
- Tìm một vectơ pháp tuyến n = ( a; b) .
- Tìm một điểm M0(x0; y0) thuộc ∆.
- Viết phương trình ∆ theo công thức: a(x – x0) + b(y – y0) = 0
- Biến đổi về dạng: ax + by + c = 0
* Chú ý: (d): ax + by + c = 0
+ (d1) // (d) ⇒ (d 1 ) : ax + by + c1 = 0 ( c1 ≠ c )
+ (d2) ⊥ (d) ⇒ ( d 2 ) : bx − ay + c 2 = 0

Bài tập:
Bài 1: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a) d đi qua điểm M(1; 1) và có vectơ pháp tuyến n = (3;−7)
b) d đi qua điểm M(-4; 2) và có vectơ chỉ phương u = (2;−3)
k=

3
2

c) d đi qua A(2; -5) và có hệ số góc
d) d đi qua hai điểm A(3; -6), B(6; 5).
Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) d cắt Ox và Oy lần lượt tại A(2; 0) và B(0; -5)


b) d vuông góc với Ox tại M(-4; 0).
Bài 3: Cho tam giác ABC với A(5; 3), B(-1; 2), C(-4; 5). Viết phương trình tổng quát của
a) Đường cao AH.
b) Trung tuyến AM, BN, CP.

Bài 4: Cho đường thẳng d: x + y + 7 = 0. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong các
trường hợp sau:
a) ∆ đi qua M(1; 3) và có cùng hệ số góc với d.
b) ∆ đi qua M(1; 3) và vuông góc với d.
 x = 1 + 3t

Bài 6: Cho đường thẳng d có phương trình tham số  y = 5 − t . Viết phương trình tổng quát của đường

thẳng ∆ đi qua M(2; 4) và vuông góc với d.
Bài 7: Cho tam giác ABC với A(2; 2). Lập phương trình các cạnh của tam giác biết rằng 9x + 3y – 4 =
0 và x + y – 2 = 0 là phương trình các đường cao kẻ từ B và C
Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Phương pháp
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (d 1): a1x + b1y + c1 = 0
và (d2): a2x + b2y + c2 = 0 ta xét các trường hợp sau: (đk: a2, b2, c2 khác 0)
⇔

+ (d1) cắt (d2)

a1 b1
≠
a 2 b2

⇔

+ (d1) // (d2)

a1 b1 c1
=
≠

a 2 b2 c 2

+ (d1) ≡ (d2)

⇔

a1 b1 c1
=
=
a 2 b2 c 2

a1 x + b1 y + c1 = 0

a x + b2 y + c 2 = 0
Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình  2

Bài tập:
Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng.
x = 5 + t

a)  y = −3 + 2t

và

 x = 4 + 2t

 y = −7 + 4t
 x = 4 + 2t

 y = −7 + 3t

x = 5 + t

b)  y = −1
x = 5 + t

d)  y = −1 − t

 x = 7 − 4t

d2:  y = −5 − 2t

 x = 3 + 4t

d) d1:  y = −2 − 5t

và

x+y–5=0

c) 2x – y – 13 = 0 và
và
x+y–4=0
Bài 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng.
a) d1: 2x + 3y + 1 = 0 và d2: 4x + 5y – 6 = 0
b) d1: 3x – 2y + 1 = 0 và d2: 2x + 3y – 5 = 0
x = 4 − t

c) d1:  y = −1 + 2t

và
và
d2: 5x + 4y – 7 = 0
Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Đường phân giác của góc tạo bởi 2
đường thẳng.
Phương pháp:
* Để tính khoảng cách từ điểm M0(x0; y0) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 ta dùng công thức:
d ( M 0 ; ∆) =

ax0 + by0 + c
a2 + b2

* Nếu đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa mặt phẳng có bờ là ∆, ta
luôn có:
- Một nửa mặt phẳng chứa các điểm M1(x1; y1) thỏa mãn: ∆(M1) = ax1 + by1 + c > 0
- Nửa mặt phẳng còn lại chứa các điểm M2(x2; y2) thỏa mãn: ∆ (M2)=ax2 + by2 + c < 0
* Cho hai đường thẳng (d1): a1x + b1y + c1 = 0; (d2): a2x + b2y + c2 = 0
Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng (d1) và (d2) là:


a1 x + b1 y + c1
a12 + b12

=±

a 2 x + b2 y + c 2
a 22 + b22

BÀI TẬP
Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) A(3; -2) và ∆: 4x – 7y + 1 = 0
b) B(-5; 3) và ∆: 10x – 16y + 2 = 0
 x = 7 + 2t

c) M(5; -2) và ∆:  y = −6 − 4t

Bài 2: Tính bán kính đường tròn có tâm I(1; 5) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 4x – 3y + 1 = 0
Bài 3: Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng ∆1: 2x + 4y + 7 = 0 và
∆2: x – 2y – 3 = 0
Bài 4: Tìm phương trình của tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng ∆1: 5x + 3y – 3 = 0 và
∆2: 5x + 3y + 7 = 0
Bài 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 5) và cách đều hai điểm A(-1; 2) và B(5; 4).
Bài 6: Cho tam giác ABC, biết A(2; 0), B(4; 1), C(1; 2).
a) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A.
b) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; 1) và cách điểm B(3; 6) một khoảng bằng 2.
Bài 8: Viết PT đường thẳng d song song với ∆: 3x – 4y + 1 = 0 và có khoảng cách đến d bằng 1
Dạng 5: Góc giữa hai đường thẳng:
Phương pháp
* Cho hai đường thẳng (∆1): a1x + b1y + c1 = 0; (∆2): a2x + b2y + c2 = 0
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được tính bởi công thức:
cos(∆1 ; ∆ 2 ) =

n1.n2
n1 . n2

a1.a2 + b1.b2

=

a + b12 . a22 + b22
2
1

BÀI TẬP
Bài 1: Tìm góc giữa hai đường thẳng (d1): x + 2y + 4 = 0 và (d2): 2x – y – 3 = 0.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình AB: x + 2y – 1 = 0 và BC: 3x – y + 5 = 0. Viết
phương trình đường thẳng AC biết rằng AC đi qua điểm M(1; -3).
Bài 3: Cho ba điểm A(2; 0), B(4; 1), C(1; 2)
a) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A
b) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

VẤN ĐỀ 9. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
KIẾN THỨC CƠ BẢN
2
2
2
a) Phương trình đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R: ( x − a) + ( y − b) = R
2
2
2
2
b) Nếu a + b − c > 0 thì phương trình x + y − 2ax − 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn tâm

I(a,b); bán kính R = a + b − c .
c) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn C(I(a;b);R)
Tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0) có phương trình: (x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)( y – y0) = 0.
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn
2

2

2
2
Xác định tâm và bán kính của đường tròn x + y − 2ax − 2by + c = 0 (C)

+ Tìm a,b,c + Tâm I(a,b)

+ Bán kính R =

a 2 + b 2 − c với a 2 + b 2 − c > 0


BÀI TẬP
Bài 1. Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
2
2
a) x + y − 2 x + 6 y + 5 = 0

2
2
b) x + y − 4 x − 2 y − 20 = 0

2
2
c) x + y − 4 x + 6 y − 3 = 0

d) x + y − 4 x + 6 y + 1 = 0
e) x + y − 6 x + 2 y + 6 = 0

f) 16 x + 16 y + 16 x − 8 y − 11 = 0
Dạng 2. Lập phương trình đường tròn biết tâm và bán kính
2.1. Phương trình đường tròn có tâm I(x0;y0) và đi qua điểm A(xA;yA)
+ Bán kính đường tròn: R = IA
2
2
2
+ Phương trình đường tròn tâm I bán kính R: ( x − x0 ) + ( y − y 0 ) = R
2

2

2

2

2

2

2.2. Phương trình đường tròn có đường kính AB với A(xA;yA) và B(xB;yB)
+ Tâm I(x0;y0) của đường tròn là trung điểm của AB
AB
+ Bán kính đường tròn: R = IA = IB = 2
2
2
2
+ Phương trình đường tròn tâm I bán kính R: ( x − x0 ) + ( y − y 0 ) = R
2.3. Phương trình đường tròn có tâm I(x0;y0) và tiếp xúc với đường thẳng ∆
+ Bán kính đường tròn: R = d(I; ∆)

( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = R 2
+ Phương trình đường tròn tâm I bán kính R:

Dạng 3. Lập phương trình đường tròn sử dụng phương trình đường tròn dạng khai triển
3.1. Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C
+ Gọi phương trình đường tròn: x + y − 2ax − 2by + c = 0 (C)
+ Thay tọa độ 3 điểm A, B, C vào (C).
+ Giải hệ ta được a, b, c và thay a, b, c vào (C).
Dạng 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn
4.1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C(I;R) tại điểm M(x0;y0)
+ Gọi d là tiếp tuyến cần tìm.
2

2

+ Tính IM
+ Vì d ⊥ IM nên IM =(A; B) là 1 vectơ pháp tuyến của d.
+ Phương trình của d: A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0
4.2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C(I;R) biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng ∆: Ax + By + C = 0
+ Gọi d là tiếp tuyến cần tìm.
+ Vì d // ∆ nên phương trình d có dạng: Ax + By + C’ = 0 (C’≠ C).
+ d tiếp xúc với C(I;R) ⇔ d(I; d) = R
+ Giải phương trình ta tìm được C’ (so sánh với điều kiện)
+ Thay C’ vào phương trình d.
4.3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C(I;R) biết tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng ∆: Ax + By + C = 0
+ Gọi d là tiếp tuyến cần tìm.
+ Vì d ⊥ ∆ nên phương trình d có dạng: Bx – Ay + C’ = 0.
+ d tiếp xúc với C(I;R) ⇔ d(I; d) = R

+ Giải phương trình ta tìm được C’.
+ Thay C’ vào phương trình d.
4.4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C(I;R) đi qua điểm M(x0;y0) với M∉(C)
+ Gọi d:Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến cần tìm.


M ∈ d
 Ax + By 0 + C = 0
⇔ 0

d ( I , d ) = R
+  C tx d

+ Giải phương trình trên tìm A, B, C (bằng cách cho trước A hoặc B)
+ Thay A, B, C vào phương trình d.
BÀI TẬP
2

2

Bài 1. Cho phương trình đường tròn: x + y + 2x − 4 y − 4 = 0 . (C)
a.Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C).
b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc đường thẳng 3x +4y – 6 = 0.
Bài 2. Cho phương trình đường tròn: x + y − 4 x + 6 y − 12 = 0 . (C)
a.Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C).
b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(-3;2).
Bài 3. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x – 8y + 15 = 0.
a. Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng ∆: x – 3y + 5 = 0
Bài 4. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(–5 ;3) và tiếp xúc với d 2: 2x – y + 7 = 0

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x2 + y2 + 2x – 4y = 0, biết tiếp tuyến đi qua E(4;7).
Bài 6. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4x +6y + 9 = 0.
a. Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng ∆: 3x – 4y + 2 = 0
Bài 7. Cho đường tròn (C): x2 + y2 +4x – 2y –4 = 0.
a. Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(2;1)
Bài 8. Cho tam giác ABC với A(-2;4). B(5;5), C(6;-2).
a. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng ∆: 3x + 4y + 4 = 0
Bài 9. Cho tam giác ABC với A(-2;5). B(5; -4), C(2; 3). Viết phương trình đường tròn tâm A, tiếp xúc
với BC.
Bài 10. Cho tam giác ABC có trọng tâm G( -2;-1), phương trình cạnh AB là: 4x +y +15 = 0, phương
trình cạnh AC là: 2x + 5y + 3 = 0
a. Tìm tọa độ đỉnh A và trung điểm M của BC.
b. Tìm tọa độ đỉnh B và viết phương trình cạnh BC.
c. Viết phương trình đường tròn (C ) ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 12. Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 điểm A(1;2) và B(3;-4).
a.Viết phương trình đường tròn (C) đường kính AB.
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A.
Bài 13. Viết phương trình đường tròn tâm I(2;-3) và tiếp xúc với đường thảng ∆: 3x – 4y + 2 = 0
2

2

PHẦN TRẮC NGHIỆM

CHỦ ĐỀ 1. BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
VẤN ĐỀ 1. BẤT ĐẲNG THỨC
1

Suy luận nào sau đây đúng
a > b
⇒ ac > bd

c
>
d

A.
a > b
⇒a–c>b–d

C. c > d

2

Tìm mệnh đề đúng:

a > b
a b
⇒ >

B. c > d c d D
a > b > 0
⇒ ac > bd

D. c > d > 0

A. a < b ⇒ ac < bc

B. a < b ⇒ a + c < b + c

a < b
⇒ ac < bd

c
<
d

C.

3

D. a < b ⇒ ac > bc .
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau
A.
C.

4
5

x ≥x

B.

x ≥ −x

D.

x < 2 ⇔ x < −2

hoặc x > 2

x − y ≤ x− y

2
2
Cho x ≥ 0; y ≥ 0 và xy = 2 . Giá trị nhỏ nhất của A = x + y là
A. 2
B. 1
C. 0

(
Giá trị lớn nhất của hàm số
A. 0
B. 16 ;

f ( x ) = x + 3) (5 − x)

D. 4

là:
C. -3

D. 5

VẤN ĐỀ 2. BPT – HỆ BPT 1 ẨN
6

Điều kiện xác định của bất phương trình
 x ≠ ±2
.

x
≥
1

A.

7

 x ≠ ±2
.

x
>
1

B.
1
> x +1
2
Điều kiện để bất phương trình x + 2 x
có nghĩa là :
x ∈ [ −1; +∞ ) \ { 0, −2}
x ∈ ( −1; +∞ )

A.

C.
8
9
10

11

B.

x ∈ [ −1; +∞ ) \ { −2}

D.

13

D. x < −2

2
Tìm điều kiện của bất phương trình: 3 − x + x + 1 ≤ x .
A. x ≤ −1
B. x ≥ 3
C. −1 ≤ x ≤ 3
D. −3 ≤ x ≤ 1 .
Bất phương trình x − 5 > 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây:
2
x − 5) > 0
(
A.
B. x − 5 + x − 2 > x − 2
1

1
1 1
x−5+ 2
> 2
x −5+ >
x + 25 x + 25
x x.
C.
D.
Bất phương trình nào tương đương với bất phương trình 2 x > 1 ?

B.

2x −

1
1
> 1−
x−3
x−3

2
2
2
C. 4 x > 1
D. 2 x + x + 2 > 1 + x + 2
Bất phương trình 1 − 2 x > 0 tương đương với bất phương trình
A. 2 x − 1 > 0
B. 2 x − 1 < 0
C. 2 x > 1

D. −2 x > 1
Tập nghiệm của bất phương trình 3 − 2x < x là

A.
14

x ≠ 2
.

x
≥
1

D.

x ∈ [ −1; +∞ ) \ { 0}

1
> 2x
Điều kiện của bất phương trình x + 2
là :
x
≠
2
x
≠
−
2
A.
B.

C. x > −2

A. 2 x + x − 2 > 1 + x − 2
12

2x
1
− 2
≤0
x −1 x − 4
là
x ≠ 2
.

x
>
1

C.

( −∞;3)

B.

( 1; +∞ )

Tập nghiệm của bất phương trình
A.

( 1; 2 )

B.

( 1; +∞ )

1<

C.

( −∞;1)

D.

( 3; +∞ )

C.

( −∞;1)

D.

( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ )

1
x − 1 là


15

16

x+4
< 2x + 5
Tập nghiệm của bất phương trình 2
là
−∞; −2 )
−2
−∞; −2]
A. (
B. (
C. { }
2
1
3x + > 4 x −
3
3 là
Tập nghiệm của bất phương trình
−∞;1)
1;+∞ )
−∞;1]
A. (
B. (
C. (
1− x

17

Số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình
A. 2

18

19

20

B. 1

x−5

x −5

≤2

C.

D.

[ 1; +∞ )

3
D. 2

là:
S = ( 5; +∞ )

2 x − 5 ≥ 0

Tập nghiệm của hệ bất phương trình 8 − 3 x ≥ 0 là
5 8

3 2
8 5 
 2 ; 3 
 8 ; 5 
 ; 
A.
B.
;
C.  3 2 

Tập nghiệm của hệ bất phương trình
 3 
 3 
 − ;1÷
 − 2 ;1
A.
B.  2 

( −2; +∞ )

x −1
?
3− x

C. 0

( x − 4)

Tập nghiệm của bất phương trình:
S = [ 5;6]

S = ( −∞;6]
A.
B.

3− x

>

D.

D.

S = ( 5;6]

.

8

 3 ; +∞ ÷
D.

2 x + 3 > 0

1 − x ≥ 0

là
 3 
 − ;1
C.  2 

 3 
 − 2 ;1÷

D.

VẤN ĐỀ 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
21

Nhị thức f(x)= 2x – 3 dương khi
3

x ∈  ; +∞ ÷
2

A.

22

23

24
25
26

3

x ∈  −∞; 
2

B.

3

x ∈  ; +∞ ÷
2

D.

3

x ∈  −∞; ÷
2

C.

Nhị thức nào sau đây nhận giá trị dương với mọi x lớn hơn -2.
A. f (x) = 2x − 1
B. f (x) = x − 2
C. f (x) = 2x + 5

D. f (x) = 6 − 3x

f x = 2− x
Nhi thức ( )
dương khi
−∞; 2 )
−∞; −2 )
A. x ∈ (
B. x ∈ (

−2; +∞ )
D. x ∈ (

2; +∞ )
C. x ∈ (
- 3
?
2
x
Nhị thức nào sau đây nhận giá trị âm với mọi số nhỏ hơn
A. f ( x) = −2 x − 3
B. f ( x) = 2 x + 3
C. f ( x) = −2 x + 3

x ∈ ( 2; +∞ )
Nhị thức f ( x) = 2 x − 4 với
nhận các giá trị:
A. đều âm.
B. đều dương .
C. bằng 0.
x + 2) ( 5 − x ) < 0
Tập nghiệm của bất phương trình (
là
−∞; −2 ) ∪ ( 5; +∞ )
−5; −2 )
5; +∞ )
A. (
B. [
C. (

D. f ( x ) = 2 x − 3
D. không âm.

D.

( −2;5)


27
28

29

30
31

32
33
34

3x
≥0
Tập nghiệm của bất phương trình 4 − 2 x
là
2; +∞ )
0; 2 )
0;2
−∞;0]
A. [
B. [

C. [ ]
D. (
3 − x) ( 4 + x) ≥ 0
Tất cả các giá trị x thỏa mãn bất phương trình (
là:
x ∈ ( −4;3)
x ∈ ( −∞; −4 ) ∪ ( 3; +∞ )
x ∈ [ 3; −4]
x ∈ [ −4;3]
A.
B.
C.
D.
9 − 3x
≥0
Tập nghiệm bất phương trình 4 − 2 x
là:
2;3)
−∞;2 ) ∪ ( 3; +∞ )
−∞; 2 ) ∪ [ 3; +∞ )
−∞;2] ∪ [ 3; +∞ )
A. (
B. (
C. (
D. (
x−4
≤0
Tập nghiệm của bất phương trình: x − 2
là:
S = [ 2;4 )

S = ( −∞;4]
S = ( 2;4]
S = [ 2;4]
A.
B.
C.
D.
.
Nghiệm của bất phương trình
−1
≤ x≤3
A. 3

2x −1 ≤ x + 2

là

−1
≤x≤2
C. 3

1
≤ x≤3
B. 3
x −1 < 1

Tất cả các giá trị của x thoả mãn
là:
−
2

<
x
<
2
0
<
x
<
1
A.
B.

C. x < 2

−1
< x≤3
D. 3

D. 0 < x < 2

)
Bất phương trình (
khi:
m
>
−
2
m
<
−

2
A.
B.
C. m = −2
D. m ≠ −2
Cho bất phương trình x + 2m > 2 + mx . Khi m < 1 tập nghiệm của bất phương trình là
m + 2 x ≥ −2 coù nghieäm x ∈ R

A. (

−∞; −2 )

B. (

2; +∞ )

C.

( −2; +∞ )

D.

( −∞;2 )

VẤN ĐỀ 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
35

Cặp số nào là nghiệm của bất phương trình −2x + 3y > 3

)

)
A. (
B. ( )
C. (
Cặp số (-2;1) là nghiệm của bất phương trình
A. x − 2 y ≤ −4
B. x − 2 y > −4
C. x + 2 y < −4
Tập nghiệm của bất phương trình x − 2 y + 5 < 0 là
4; −4

36
37

2;1

−2; −1

A. Nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ, bờ là đường thẳng
thẳng).
B. Nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, bờ là đường thẳng
thẳng).

y=

y=

D.

( 4; 4 )

D. x − y + 4 ≤ 0
1
5
x+
2
2 (không bao gồm đường

1
5
x+
2
2 (không bao gồm đường

1
5
x+
2
2 (bao gồm đường thẳng).
C. Nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ, bờ là đường thẳng
1
5
y = x+
2
2 (không bao gồm đường
D. Nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, bờ là đường thẳng
y=

thẳng).
38

Điểm

O ( 0;0 )

thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình


x + 3y − 6 > 0

2x + y +1 > 0
A. 

39
40

x + 3y − 6 > 0

2x + y + 1 < 0
B. 

x + 3y − 6 < 0

2x + y + 1 > 0
C. 

x + 3y − 6 < 0

2x + y + 1 < 0
D. 

x + 3y − 2 ≥ 0

Trong các điểm sau , điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình 2 x + y + 1 ≤ 0
( 0;1)
( −1;1)
( 1;3)
( −1;0 )

A.
B.
C.
D.
Trên mặt phẳng tọa độ, góc phần tư thứ hai (không kể các trục) là miền nghiệm của hệ bất
phương trình nào sau đây?
x > 0
x < 0
x > 0
x < 0




y
>
0
y
<
0
y

<
0



A.
B.
C.
D.  y > 0

VẤN ĐỀ 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
41

42
43
44

45

46

47
48
49

2
Tam thức bậc hai f ( x) = x + (1 − 3) x + 1
A. Dương với mọi x

B. Âm với mọi x

C. Âm với mọi x thuộc (−∞, 3)
D. Không âm với mọi x
Tam thức nào dưới đây luôn dương với mọi giá trị của x?
2
2
2
A. − x + 2 x − 10
B. x − 2 x + 10
C. x − 10 x + 2
2
Nghiệm của bất phương trình: x − 9 ≤ 0 là
A. x = ±3
B. x ≤ ±3
C. x ≤ −3 hoặc x ≥ 3
2
Tập nghiệm của bất phương trình x − 2 x − 3 < 0 là
A. (−1,3)
B. (−∞, −1) ∪ (3, +∞)
C. (−3,1)
3
>0
2
(
2
x
−
1
)
Nghiệm của bất phương trình

là
1
x≤
2
A. x ≥ 2
B.

C.
Tập nghiệm của bất phương trình 4 x − 3 x − 1 ≥ 0 là

x≠

1
2

2
D. x − 2 x − 10

D. −3 ≤ x ≤ 3
D. (−∞, −3) ∪ (1, +∞)

D.

x=

1
2

2

 1 
 − ;1
A.  4 

1

 −1; − ÷U ( 1; +∞ )
4
B. 

 1 
 − ;1÷
C.  4 

2
Tập nghiệm của bất phương trình ( x + 3)( x − 1) ≤ 0 là
A. (−∞, −3]
B. [-3,1]
C. (−∞, −3] ∪ {1}
2
Tập nghiệm của bất phương trình ( x − 2) ( x − 7) ≥ 0 là

A. [7,+∞)

1

 −∞; −  U [ 1; +∞ )
4
D. 

D. (−∞, −3) ∪ {1}

B. (−∞, 2] ∪ [7,+∞)
C. (7, +∞) ∪ {2}
2
Bất phương trình ( x − 2 x + 1).( x − 2) < 0 có tập nghiệm là

D. [7,+∞) ∪ {2}

A. x < 2

D. 1 ≤ x < 2

x < 2

B. x ≠ 1

C. 1 < x < 2

9−x
≥0
Tập nghiệm của bất phương trình: x + 3x − 10
là
( −5; −3] ∪ [ 2;3)
( −5; −3] ∪ ( 2;3]
[ −5; −3] ∪ [ 2;3]
2

50

2

A.
51

B.

C.

2
Phương trình x + 2(m + 1) x + 9m − 5 = 0 vô nghiệm khi

D.

( −5; −3) ∪ ( 2;3)


A. m ∈ (−∞;1) B. m ∈ (1;6)
52
53

C. m ∈ (−∞;1) ∪ (6; +∞)

D. m ∈ (6; +∞)

Bất phương trình x + 2(m + 1) x + 9m − 5 ≥ 0 có tập nghiệm là ¡ khi
A. m ∈ [1; 6]
B. m ∈ (1;6)
C. m ∈ (−∞;1) ∪ (6; +∞)
D. m ∈ (6; +∞)

2
Bất phương trình x − 4 x − m − 5 < 0 có nghiệm khi
A. m ≤ −9
B. m ≤ −8
C. m < 7
D. m ≤ 7
2

Bất phương trình (m − 1) x − 2(m − 1) x + m + 3 ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ¡ khi
A. m ∈ (2; +∞) B. m ∈ (1; +∞)
C. m ∈ (−2;7) m < 7
D. m ∈ [1; +∞)
2
55 Phương trình: mx − 2mx + 4 = 0 vô nghiệm khi
A. 0 < m < 4
B. m < 0 hoặc m > 4
C. 0 ≤ m ≤ 4
D. 0 < m ≤ 4
2
56 Tất cả các giá trị của m để phương trình 2 x − mx + m = 0 có nghiệm là
A. m = 8 hoặc m = 0
B. m ≤ 0 hoặc m ≥ 8
C. m < 0 hoặc m > 8
D. 0 ≤ m ≤ 8
2
57 Điều kiện cần và đủ để phương trình x − 2mx + 4m − 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt là :
A. m < 1 hoặc m > 3
B. 1 < m < 3
C. 1 ≤ m ≤ 3
D. m ≤ 1 hoặc m ≥ 3

2

54

58

2
Phương trình: mx − 2( m − 1) x + 4m = 0 có 2 nghiệm trái dấu khi

1
4

m>

1
4

0≤m≤

1
4

0
1
4

B. m < 0 hoặc
C.
D.

2
Cho phương trình: (x − 1)(x − 4mx − 4) = 0 .Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi
A.

59

m<

3
3
m≠
m ≠−
m
≠
0
4
4
B.
C.
D.
2
Phương trình x + 2(m + 1) x + 9m − 5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi
5
m ∈ ( ;1) ∪ (6; +∞)
9
A. m ∈ (−2;1)
B. m ∈ (−2;6)
C.
D. m ∈ (6; +∞)

A. m ∈ R
60

CHỦ ĐỀ 2. LƯỢNG GIÁC
VẤN ĐỀ 1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
Câu 1. Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó đã chọn
A. Chỉ một chiều chuyển động
B. Chỉ một chiều chuyển động gọi là chiều dương
C. Chỉ có một chiều chuyển động gọi là chiều âm
D. Một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều ngược lại gọi là chiều âm
Câu 2. Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là
A. Luôn cùng chiều quay kim đồng hồ
B. Luôn ngược chiều quay kim đồng hồ
C. Có thể cùng chiều quay kim đồng hồ mà cũng có thể ngược chiều quay kim đồng hồ
D. Không cùng chiều quay kim đồng hồ và cũng có không ngược chiều quay kim đồng hồ
Câu 3. Với hai điểm A, B trên đường tròn định hướng ta có
A. Chỉ một cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là B.
B. Đúng hai cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là B.
C. Đúng bốn cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là B.
D. Vô số cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là B.
Câu 4. Khẳng định nào sau đây đúng
A. Trên đường tròn tâm O, bán kính R = 1, góc hình học AOB là góc lượng giác.
B. Trên đường tròn tâm O, bán kính R = 1, góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A và điểm
cuối B là góc lượng giác.


C. Trên đường tròn định hướng, góc hình học AOB là góc lượng giác.
D. Trên đường tròn định hướng, góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A và điểm cuối B là
góc lượng giác.
Câu 5. Khẳng định nào sau đây đúng

A. Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác.
B. Mỗi đường tròn có bán kính R = 1, là một đường tròn lượng giác.
C. Mỗi đường tròn có bán kính R = 1, tâm trùng với góc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
D. Mỗi đường tròn định hướng có bán kính R = 1, tâm trùng với góc tọa độ là một đường tròn
lượng giác.
Câu 6. Trên đường tròn lượng giác, cung có số đo 1 rad là
A. Cung có độ dài bằng 1.
B. Cung tương ứng với góc ở tâm 600 .
C. Cung có độ dài bằng đường kính.
D.Cung có độ dài bằng nữa đường kính.
Câu 7. Khẳng định nào sau đây đúng
0

A. 1rad = 1
B. 1rad = 60
Câu 8. Khẳng định nào sau đây đúng
0

0

0
C. 1rad = 180

 180 
1rad = 
÷
 π 
D.

0

0
A. π rad = 1

 180 
π rad = 
÷
 π 
D.

0
C. π rad = 180

0
B. π rad = 60

π
Câu 9. Trên đường tròn bán kính r = 5, độ dài của cung có số đo 8 là
π
rπ
5π
l=
l=
l=
8
8
8
A.
B.
C.

D. Kết quả khác

Câu 10. Trên đường tròn bán kính r = 15, độ dài của cung có số đo 500 là
l = 15.

180
π

l=

15π
180

l = 15.

180
.50
π

A. l = 750
B.
C.
D.
Câu 11. Trên đường tròn lượng giác, khẳng định nào sau đây đúng
A. cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B chỉ có một số đo.
B. cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B chỉ có hai số đo sao cho tổng của chúng bằng
π
2
C. cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B chỉ có hai số đo hơn kém nhau 2 π
D. cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B có vô số số đo sai khác nhau 2 π

Câu 12. Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc A , cung lượng giác có số đo 55 0 có điểm đầu A xác
định
A. chỉ có một điểm cuối M.
B. đúng hai điểm cuối M.
C. đúng 4 điểm cuối M.
D. vô số điểm cuối M
Câu 13. Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc A , cung AN, có điểm đầu là A, điểm cuối là N
A. chỉ có một số đo
B. có đúng hai số đo
B. có đúng bốn số đo
D. có vô số số đo
Câu 14. Lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn lượng giác có gốc là A, các đỉnh lấy theo thứ tự đó và
các điểm B, C có tung độ dương. Khi đó góc lượng giác có tia đầu OA, tia cuối OC bằng
A. 1200
B. -2400
0
0
C. 120 hoặc 240
D. 1200 + k 3600 , k ∈ Z
Câu 15. Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là A. Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng
giác AM có số đo 450 . Gọi N là điểm đối xứng với M qua trục Ox, số đo cung lượng giác AN bằng
A. -450
B. 3150
0
0
C. 45 hoặc 315
D. -450 + k3600 , k ∈ Z


Câu 16. Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là A. Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng

giác AM có số đo 600 . Gọi N là điểm đối xứng với M qua trục Oy, số đo cung lượng giác AN bằng
A. 1200
B. -2040
C. -1200 hoặc 2400
D. 1200 + k3600 , k ∈ Z
Câu 17. Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là A. Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng
giác AM có số đo 750 . Gọi N là điểm đối xứng với M qua gốc tọa độ O, số đo cung lượng giác AN
bằng
A. 2550
B. -1050
0
0
C. -105 hoặc 255
D. -1050 + k3600 , k ∈ Z
α=

π
+ 2k π ( k ∈ Z )
3
.Để α ∈ (19 ; 27 ) thì giá trị của k là

Câu 18. Cho
A K =2; k =3

B. k = 3 ;k = 4

C. k = 4 ;k = 5

D. k = 5 ; k = 6

π
Câu 19. Cho góc lượng giác (OA, OB ) có số đo bằng 5 . Hỏi trong các số sau, số nào là số đo của

một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối
11π
B. 5

6π
A 5

Câu 20. Cung α có mút đầu là A và mút cuối là M thì số đo của α là:
3π
+ kπ
A 4

3π
+ kπ
B. - 4

31π
D. 5

9π
C. 5

3π
+ k 2π
C. 4

3π

+ k 2π
D. - 4

0

Câu 21. Góc có số đo 108 đổi ra radian là
3π
A. 5

π
B. 10

3π
C. 2

π
D. 4

A. 2400

B. 1350

C. 720

D. 2700

C. 200

D. 250

π
C. 4

2π
D. 3

2π
Câu 22. Góc có số đo 5 đổi sang độ là

π
Câu 23. Góc có số đo 9 đổi sang độ là

A. 150
B. 180
Câu 24. Góc có số đo 1200 đổi sang radian là
3π
B. 2

π
A. 10

Câu 25. Cho L, M, N, P lần lượt là điểm chính giữa các cung AB, BC, CD, DA. Cung α có mút đầu
α =−

3π
+ kπ
4
. Mút cuối của α ở đâu

trùng với A và số đo

A. L hoặc N
B. M hoặc P
C. M hoặc N
D. L hoặc P
Câu 26. Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là
A.A. 300
B. 400
C. 500
D. 600
Câu 27. Số đo góc 22030’ đổi sang radian là
7π
B. 12

π
A. 8

α=

π
C. 6

π
+ k 2π
2
. Tìm k để 10π < α < 11π

π
D. 5

Câu 28. Cho

A. k = 4
B. k = 6
C. k = 7
D. k = 5
0
Câu 29. Một đường tròn có bán kính R = 10cm. Độ dài cung 40 trên đường tròn gần bằng
A. 7cm
B. 9cm
C. 11cm
D. 13cm


Câu 30. Một đường tròn bán kính
A. 10cm

R=

B. 5cm

10
π
cm
π
. Tìm độ dài cung 2 trên đường tròn
π2
20
cm
cm
2
C. π

D. 20

VẤN ĐỀ 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

Câu 31. Biết tan α = 2 và 1800 < α < 2700 . Giá trị cos α + sin α bằng
A.

−

3 5
5

3 5
C. 2

B. 1 − 5
A=

D.

5 −1
2

2 cos x − 1
sin x + cos x , ta được kết quả là
2

Câu 32. Rút gọn biểu thức
A. A = cosx + sinx
B. A = cosx – sinx

C. A = cos2x – sin2x
D. A = cos2x + sin2x
6
6
2
2
Câu 33. Tính giá trị của biểu thức A = sin x + cos x + 3sin x cos x
A. A = -1
B. A = 1
C. A = 4
D. A = -4

( 1 − tan x )
A=
2

Câu 34. Biểu thức

2

4 tan x

A. 1

2

−

B. -1

1
4sin x cos 2 x không phụ thuộc vào x và bằng
1
1
C. 4
D. - 4
2

12
π
cos α = −
<α <π
13 và 2
Câu 35. Cho
. Giá trị của sin α và tan α lần lượt là
5 2
2
5
5 5
5
5
− ;
;−
− ;
;−
A. 13 3
B. 3 12
C. 13 12
D. 13 12

C = 2 ( sin 4 x + cos4 x + sin 2 x cos2 x ) − ( sin 8 x + cos8 x )
2

Câu 36. Biểu thức
A. 2

B. -2

π
<α <π
Câu 37. Cho 2
. Kết quả đúng là

A. sin α > 0; cos α > 0
C. sin α > 0; cos α < 0
2π < α <

5π
2 . Kết quả đúng là

C. 1

có giá trị không đổi và bằng
D. -1

B. sin α < 0; cos α < 0
D. sin α < 0; cos α > 0

Câu 38. Cho
A. tan α > 0; cot α > 0

B. tan α < 0; cot α < 0
C. tan α > 0; cot α < 0
D. tan α < 0; cot α > 0
2
2
2
2
2
Câu 39. Biểu thức D = cos x.cot x + 3cos x − cot x + 2sin x không phụ thuộc x và bằng
A. 2
B. -2
C. 3
D. -3
98
81 thì giá trị biểu thức 2sin 4 x + 3cos 4 x bằng
Câu 40. Nếu biết
101
601
103
603
hay
hay
405
405
A. 81
B. 81
105
605
107
607

hay
hay
405
405
C. 81
D. 81
1
2
cot x =
A=
2
2 . Giá trị của biểu thức
sin x − sin x.cos x − cos 2 x bằng
Câu 41. Cho biết
3sin 4 x + 2 cos 4 x =

A. 6

B. 8

C. 10

D. 12


1
2 thì 3sin x + 2 cos x bằng
Câu 42. Nếu
5− 7
5+ 7

5− 5
5+ 5
hay
hay
4
4
A. 4
B. 7
sin x + cos x =

2− 3
2+ 3
hay
5
C. 5

3− 2
3+ 2
hay
5
D. 5
A = ( 1 − sin 2 x ) cot 2 x + ( 1 − cot 2 x )

Câu 43. Đơn giản biểu thức
2
2
A. A = sin x
B. A = cos x
tan x =

ta có

C. A = − sin x
2

2
D. A = − cos x

2b
a − c . Giá trị của biểu thức A = a cos 2 x + 2b sin x.cos x + c sin 2 x bằng

Câu 44. Biết
A. –a
B. a
C. –b
D. b
Câu 45. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng
A. sin(1800 - α ) = -cos α
B. sin(1800 - α ) = -sin α
C. sin(1800 - α ) = sin α
D. sin(1800 - α ) = cos α
Câu 46. Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ ra hệ thức sai

A + B + 3C
= cos C
2
A.
B. cos( A + B − C ) = − cos 2C
A + B − 2C
3C

A + B + 2C
C
tan
= cot
cot
= tan
2
2
2
2
C.
D.
3
tan x = −
4 và góc x thõa 900 < x < 1800. Khi đó
Câu 47. Cho
4
3
3
4
cot x =
cos x =
sin x =
sin x = −
3
5
5
5
A.
B.

C.
D.
3
sin x =
5 và góc x thỏa mãn 900 < x < 1800 . Khi đó
Câu 48. Cho
4
4
3
4
cot x =
cos x =
tan x =
cos x = −
3
5
4
5
A.
B.
C.
D.
3
cot x =
4 và góc x thỏa mãn 00 < x < 900. Khi đó
Câu 49. Cho
4
3
4
4

tan x = −
cos x = −
sin x =
sin x = −
3
5
5
5
A.
B.
C.
D.
sin

2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0

Câu 50. Gọi M = sin 10 + sin 20 + sin 30 + sin 40 + sin 50 + sin 60 + sin 70 + sin 80 thì M bằng
A. 0
B. 2
C. 4
D. 8

Câu 51. Biết tanx = 2 , giá trị của biểu thức
−

4
9

4
B. 19

M=

3sin x − 2 cos x
5 cos x + 7 sin x bằng
4
C. - 19

4
D. 9

A.
Câu 52. Biết A, B, C là các góc của tam giác ABC, mệnh đề nào sau đây đúng
A. sin(A+C) = -sinB
B. cos(A+C) = -cosB
C. tan(A+C) = tanB

D. cot(A+C) = cotB
Câu 53. Biết A, B, C là các góc của tam giác ABC, khi đó
A. sinC = -sin(A+B)
B. cosC = cos(A+B)
C. tanC = tan(A+B)
D. cotC = -cot(A+B)
Câu 54. Biết A, B, C là các góc của tam giác ABC, khi đó


C
 A+ B 
sin 
÷ = sin
2
 2 
A.
C
 A+ B 
tan 
÷ = tan
2
 2 
C.

C
 A+ B 
sin 
÷ = cos
2
 2 

B.
C
 A+ B 
cot 
÷ = cot
2
 2 
D.

Câu 55. Biết A, B, C là các góc của tam giác ABC, khi đó
C
 A+ B 
sin 
÷ = sin
2
 2 
A.
C
 A+ B 
sin 
÷ = cos
2
 2 
C.

C
 A+ B 
sin 
÷ = − sin
2

 2 
B.
C
 A+ B 
sin 
÷ = − cos
2
 2 
D.

Câu 56. Với góc x bất kì
A. sinx + cosx = 1
C. sin3x + cos3x = 1

B. sin2x + cos2x = 1
D. sin4x + cos4x = 1

2sin x − 3cos x
4 sin x + 7 cos x . Giá trị của M bằng
Câu 57. Biết tanx = 2 và
1
1
M=
M =−
15
15
A. M = 1
B.
C.
2

2
M = ( sin x + cos x ) − ( sin x − cos x )
M=

D.

M =−

2
9

Câu 58. Cho
. Biểu thức nào sau đây là biểu thức rút gọn của M
A. M = 2
B. M = 4
C. M = 2sin x cos x
D. M = 4sin x cos x
3
3
Câu 59. Cho tanx + cotx = m , gọi M = tan x + cot x . Khi đó
A. M = m3
B. M = m3 + 3m
C. M = m3 - 3m
D. M = m(m2 – 1)
Câu 60. Cho M = 5 – 2sin2x . Khi đó giá trị lớn nhất của M là
A. 3
B. 5
C. 6
D. 7
2

2
Câu 61. Cho M = 6cos x + 5sin x . Khi đó giá trị lớn nhất của M là
A. 1
B. 5
C. 6
D. 11
4
4
Câu 62. Giá trị lớn nhất của N = sin x – cos x bằng
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2
2
Câu 63. Biểu thức thu gọn của M = cot x – cos x là
A. M = cot2x
B. M = cos2x
C. M = 1
D. M = cot2x.cos2x
6
6
Câu 64. Nếu M = sin x + cos x thì M bằng
2
2
2
A. 1 + 3sin x.cos x
B. 1 − 3sin x
3
1 − sin 2 2 x

2
C.

3
1 − sin 2 2 x
4
D.

6
6
Câu 65. Giá trị nhỏ nhất của M = sin x + cos x là

1
B. 4

1
C. 2

A. 0
D. 1
3α
3α
α
α
Câu 66. Nếu tan + cot = 5 thì tan + cot bằng
A. 100
B. 110
C. 112
D. 115
Câu 67. Tìm đẳng thức sai

2
2
2
2
4
4
2
A. sin x − cos x = 1 − 2 cos x
B. tan x − sin x = tan x.sin x
C. cot x − cos x = cot x.cos x
2

Câu 68. Biểu thức

2

A=

2

2

sin x + cos x − 1
2 cos x
=
1 − cos x
sin x + cos x + 1
D.

cos 2 x − sin 2 y

− cot 2 x.cot 2 y
sin 2 x sin 2 y
không phụ thuộc x và bằng


1
C. 2

A. -1
B. 1
Câu 69. Nếu 3cosx + 2sinx = 2 và sinx < 0 thì giá trị đúng của sinx là
A.

−

5
13

B.

−

7
13

C.

−

9

13

1
D. - 2

D.

1 − cos α
1 + cos α
π
−
1 − cos α có giá trị bằng
6 thì biểu thức 1 + cos α
Câu 70. Khi
A. 2 3
B. −2 3
C. 3
1
2π
α=
2
2
3 thì biểu thức sin α − cot α − cos α có giá trị bằng
Câu 71. Khi
A. 2
B. − 2
C. 3

−

12
13

α=

D. − 3

D. − 3

sin α cos α
1
sin α cos α
+
=
M=
+
a
b
a + b thì biểu thức
a4
b4
Câu 72. Nếu
bằng
1
1
1 1
1
1
5
4

+
+
5
5
4
4
a + b)
a + b)
A. a b
B. (
C. a b
D. (
π
13π
π


sin  x − ÷+ sin
= sin  x + ÷
2
2
2  thì giá trị đúng của cosx là


Câu 73. Nếu biết
4

4

10

10

1
C. 2

−

1
2

A. 1
B. -1
D.
0
0
0
Câu 74. Biểu thức cos(270 – x) – 2sin(x – 450 ) + cos(x + 900 ) + 2sin(2700 – x) + cos(4500 – x) có
kết quả rút gọn bằng
A. 3cosx
B. -2cosx – sinx
C. -2cosx + sinx
D. -3sinx

VẤN ĐỀ 3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
8
5
tan b =
17 ,
12 và a, b đều là các góc nhọn và dương thì sin(a – b) là

Câu 75. Nếu biết
20
20
21
22
A. 220
B. - 220
C. 221
D. 221
3
sin y =
5 (0 < y < 900 ) thì tan(x + y) bằng
Câu 76. Nếu tanx = 0,5 ;
sin a =

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Câu 77. Với x, y là hai góc nhọn, dương và tanx = 3tany thì hiệu số x – y sẽ
A. Lớn hơn hoặc bằng 300
B. Nhỏ hơn hoặc bằng 300
C. Lớn hơn hoặc bằng 450
D. Nhỏ hơn hoặc bằng 450
Câu 78. Nếu sin α .cos(α + β ) = sin β với
A. tan(α + β ) = 2 cot α

π
π
+ kπ , α ≠ + lπ , ( k , l ∈ Z )

2
2
thì
B. tan(α + β ) = 2 cot β

α +β ≠

C. tan(α + β ) = 2 tan β
D. tan(α + β ) = 2 tan α
Câu 79. Nếu tan(a + b) = 7 , tan(a – b) = 4 thì giá trị đúng của tan2a là

11
13
13
−
A.
B. 27
C. 27
D. 27
 2π

 2π

sin 2 x + sin 2 
+ x ÷+ sin 2 
− x÷
 3

 3
 không phụ thuộc vào x và có kết quả rút gọn

Câu 80. Biểu thức
−

bằng

11
27


2
A. 3

3
B. 2

3
4
C. 4
D. 3
2
2
Câu 81. Biểu thức rút gọn của : A = cos a + cos (a + b) − 2 cos a.cos b.cos(a + b) bằng

A. sin2a

B. sin2b

C. cos2a

D. cos2b

4
5 thì giá trị của cos 4α là
Câu 82. Nếu
527
527
524
524
A. 625
B. - 625
C. 625
D. - 625
1
sin a − cos a =
5 ( 1350 < a < 1800) thì giá trị đúng của tan2a là
Câu 83. Nếu
20
20
24
24
−
−
A. 7
B. 7
C. 7
D. 7
sin α =

sin 2 2α + 4sin 2 α − 4
2

Câu 84. Biểu thức 1 − 8sin α − cos 4α có kết quả rút gọn bằng
1
1
tan 4 α
cot 4 α
4
4
2
tan
α
2
cot
α
2
2
A.
B.
C.
D.
1
x
sin x + cos x =
tan
5 . Giá trị đúng của
4 là
Câu 85. Biết rằng 0 < x < π và

2 −1
2

3 −1
2

5 −1
6 −1
A.
B.
C. 2
D. 2
1
1 + sin 2 x + cos 2 x
sin x =
3 và 900 < x < 1800 thì biểu thức 1 + sin 2 x − cos 2 x có giá trị bằng
Câu 86. Biết
1
1
A. 2 2
B. 2 2
C. - 2 2
D. - 2 2

Câu 87. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai
A.

sin 200.sin 400.sin 800 =

3
8

2π

4π
6π
1
+ cos
+ cos
=−
7
7
7
2
B.
1
− 4sin 700 = −2
0
sin10
D.
cos

C. tan 9 − tan 27 − tan 63 + tan 81 = 4
Câu 88. Kết quả biến đổi nào dưới đây là kết quả sai
0

0

0

0

x
2

A.
B. sin x.cos 3 x + sin 4 x.cos 2 x = sin 5 x.cos x
1 + 2 cos x + cos 2 x = 4 cos x.cos 2

C. cos x + cos 2 x + cos 3x − 1 = 2 cos 3 x.cos 2 x.cos x
2
2
2
D. sin x − sin 2 x − sin 3 x = 2sin 3 x.sin 2 x.sin x
Câu 89. Nếu a = 2b và a + b + c = π thì kết quả đúng là
A. sinb(sinb + sinc) = cos2a
B. sinb(sinb + sinc) = sin2a
2
C. sinb(sinb + sinc) = sin a
D. sinb(sinb + sinc) = cos2a
Câu 90. Cho A, B, C là các góc của tam giác ABC thì
A. sin2a + sin2B + sin2C = 4cosA.cosB.cosC
B. sin2a + sin2B + sin2C = -4cosA.cosB.cosC
C. sin2a + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
D. sin2a + sin2B + sin2C = -4sinA.sinB.sinC
Câu 91. Cho A, B, C là các góc của tam giác ABC thì
2

2

2