Phân tích dao động và chuẩn đoán vết nứt dầm FGM (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-------------***-------------

NGUYỄN NGỌC HUYÊN

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG VÀ CHẨN ĐOÁN
VẾT NỨT DẦM FGM
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

HÀ NỘI, NĂM 2017


Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học
1. GS.TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm
2. TS. Nguyễn Đình Kiên

Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp tại

Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công
nghệ Việt Nam vào hồi … giờ ...’, ngày … tháng … năm 201…

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ
- Thư viện Quốc gia


1
MỞ ĐẦU
Vật liệu có cơ tính biến thiên (tiếng Anh là FGM – Functionally Graded
Material, gọi tắt là vật liệu FGM) là một loại vật liệu composite mới
được cấu thành chủ yếu bởi hai loại vật liệu: kim loại và gốm với tỷ lệ
thể tích biến đổi một cách liên tục theo một chiều nào đó của kết cấu, ví
dụ như chiều cao hoặc chiều dài của dầm. Do sự biến đổi liên tục nên
vật liệu mới này có những tính năng vượt trội so với các loại composite
lớp khác như tránh được sự tập trung ứng suất, sự bong tách lớp, v.v…
Do vật liệu FGM đang được sử dụng nhiều trong các ngành công nghệ
cao như công nghệ vũ trụ, chế tạo máy,… , các bài toán dao động của kết
cấu FGM cũng đang được quan tâm nghiên cứu. Các phương pháp được
sử dụng như: giải tích gần đúng, phương pháp phần tử hữu hạn, phương
pháp độ cứng động và phương pháp phần tử phổ. Gần đây, một số tác giả
đã bắt đầu nghiên cứu sự phá hủy của kết cấu FGM, dầm có vết nứt và
bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM đã được khởi động nghiên
cứu. Tuy nhiên, những nghiên cứu về dao động của dầm FGM bị nứt và
chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM còn rất ít được quan tâm.
Luận án này đặt vấn đề nghiên cứu dao động của dầm FGM có vết nứt
phục vụ việc tính toán và chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM bằng các
đặc trưng động lực học.
Mục tiêu của luận án là xây dựng cách tiếp cận phổ để phân tích dao

động và nhận dạng các dầm FGM có vết nứt.
Đối tượng nghiên cứu của luận án là dầm Timoshenko cơ tính biến
thiên liên tục theo chiều dầy và theo quy luật hàm số lũy thừa.
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu của luận án là phương pháp giải tích
được minh họa bằng các kết quả số.
Luận án bao gồm phần mở đầu và các chương sau:
Chương 1 trình bày tổng quan và ứng dụng của vật liệu FGM, bài toán
dao động của dầm FGM, bài toán vết nứt trong dao động của dầm.


2
Chương 2 trình bày cơ sở lý thuyết dao động của dầm FGM trong miền
tần số và bài toán nhận dạng vết nứt bằng tần số riêng.
Chương 3 nghiên cứu một số đặc trưng sóng của dầm FGM và sự
tương tác giữa sóng ngang và sóng dọc trong dầm FGM.
Chương 4 trình bày các kết quả tính toán số để minh họa cho các kết
quả giải tích.
Kết luận chung trình bày những kết quả chính đã thu được của luận án
và đề xuất một số vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu.
Những đóng góp mới của luận án:
1. Đã xây dựng được lời giải cho bài toán dao động riêng; biểu thức
của hàm đáp ứng tần số và ma trận độ cứng động cho dầm
Timoshenko làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (gọi tắt là dầm
FGM) dựa trên quy luật biến đổi các đặc trưng vật liệu là hàm lũy
thừa và tính đến vị trí thực của trục trung hòa trong dầm FGM (nói
chung là khác với trục giữa dầm) [Công bố số 1, 6].
2. Đã tìm được điều kiện để dao động dọc trục và dao động uốn của
dầm FGM không tương tác với nhau. Từ đó đưa ra khái niệm dầm
FGM tỷ lệ bao gồm cả dầm đồng nhất và nghiên cứu một số đặc
trưng truyền sóng của dầm Timosshenko FGM phụ thuộc vào các

tham số vật liệu [Công bố số 2, 4].
3. Đã xây dựng được mô hình của dầm FGM có vết nứt sử dụng hai lò
xo dọc trục và lò xo xoắn để mô tả vết nứt dừng (không phát triển)
trong dầm FGM và tìm được lời giải giải tích về dao động của dầm
FGM có một vết nứt [Công bố số 3, 5, 7].
4. Sử dụng mô hình giải tích cho dầm FGM có vết nứt nêu trên, đã
phân tích chi tiết ảnh hưởng của các tham số vật liệu, hình học và
vết nứt đến tần số dao động riêng của dầm FGM và đề xuất một
phương pháp giải tích để xác định một vết nứt trong dầm FGM
bằng các tần số riêng [Công bố số 3].


3
CHƢƠNG 1

TỔNG QUAN

1.1. Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM)
Vật liệu FGM - là một loại composite mà các đặc tính vật liệu biến đổi
liên tục từ mặt này sang mặt khác. Mỗi loại vật liệu FGM này có chỉ
tiêu cơ-lý đặc trưng bởi một hàm thuộc tính vật liệu, sử dụng quy luật
toán học của hàm thuộc tính vật liệu dùng để phân loại vật liệu FGM
thành 3 loại cơ bản sau đây: Loại P-FGM (hàm tỷ lệ thể tích được giả
thiết tuân theo quy luật hàm luỹ thừa); Loại S-FGM (hàm tỷ lệ thể tích
được giả thiết tuân theo quy luật hàm Sigmoid); Loại E-FGM (môđun
đàn hồi được giả thiết tuân theo quy luật hàm số mũ).
Vật liệu FGM có thể được ứng dụng đối với hầu hết các lĩnh vực trong
kỹ thuật công nghệ cao như năng lượng hạt nhân, hàng không vũ trụ, hệ
thống biến đổi năng lượng, dụng cụ cắt, bộ phận máy móc, chất bán
dẫn, quang học và các hệ thống sinh học.

1.2. Tổng quan về dao động của dầm FGM
Dao động của kết cấu làm từ vật liệu FGM đã được nghiên cứu khá
nhiều. Trong mục này, tác giả trình bày ngắn gọn tổng quan các nghiên
cứu chính về dao động của dầm FGM được phân loại theo các phương
pháp nghiên cứu như: Phương pháp giải tích; Phương pháp RayleighRitz; Phương pháp phần tử hữu hạn; Phương pháp độ cứng động.
Dao động của dầm FGM có vết nứt được quan tâm vào cuối những năm
2000, trong đó sử dụng mô hình vật liệu biến thiên theo quy luật hàm số
mũ và mô hình lò xo tương đương cho vết nứt, các tác giả đã phân tích
ảnh hưởng của vết nứt đến tần số dao động riêng và đáp ứng động của
dầm FGM. Phương pháp phần tử hữu hạn cũng đã được sử dụng để tính
toán biểu đồ của các tần số theo vị trí và độ sâu của vết nứt. Các biểu đồ
không chỉ được sử dụng để phân tích sự thay đổi của tần số do vết nứt
mà còn phục vụ việc chẩn đoán vết nứt bằng cách đo đạc tần số riêng.


4
Đối với bài toán nhận dạng vết nứt trong dầm FGM: Cho đến nay đã có
một số nghiên cứu về việc chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM sử dụng
phương pháp đo dao động và phương pháp đường mức tần số. Tuy
nhiên do sai số của cả đo đạc và tính toán, việc xác định độ sâu và vị trí
vết nứt là rất khó khăn.
1.3. Định hƣớng nghiên cứu
Mặc dù có rất nhiều công trình nghiên cứu phát triển phương pháp
PTHH để phân tích kết cấu FGM, nhưng phương pháp này vẫn chưa
giải quyết được bài toán dao động của kết cấu với tần số cao. Ngay cả
phương pháp giải tích gần đúng như phương pháp Ritz, Galerkin, v.v…
cũng chỉ giải quyết bài toán dao động ở tần số cơ bản. Đã có những ý
tưởng phát triển phương pháp độ cứng động (DSM) hay phương pháp
phần tử phổ (SEM) để mở rộng dải tần nghiên cứu các kết cấu FGM,
nhưng cho đến nay chúng mới được thử nghiệm thành công đối với kết

cấu dầm FGM. Vì vậy, việc hoàn thiện các phương pháp đã biết để giải
quyết trọn vẹn các bài toán cho kết cấu dầm FGM trong miền tần số cao
là một vấn đề có ý nghĩa khoa học và thực tế cao.
Mặt khác, các nghiên cứu đã được công bố chủ yếu nghiên cứu các kết
cấu lý tưởng mà chưa kể đến các khuyết tật có thể xuất hiện trong kết cấu
như vết nứt hay sự suy giảm độ cứng cục bộ khác. Đã có một số công
trình nghiên cứu về sự phá hủy trong vật liệu FGM, nhưng sự phá hủy
trong kết cấu hay sự xuất hiện các vết nứt trong kết cấu cũng mới chỉ
được nghiên cứu bước đầu đối với dầm FGM. Trong đó, sự xuất hiện các
vết nứt trong kết cấu nói chung thường biểu hiện rõ ràng ở các dao động
tần số cao hơn là tần số thấp. Vì vậy, để nghiên cứu kết cấu FGM có vết
nứt, các phương pháp tần số cao nêu trên là rất phù hợp và khả thi.
Hơn nữa, bài toán chẩn đoán khuyết tật trong kết cấu FGM, mặc dù cho
đến nay vẫn còn rất mới, chắc chắn là cần thiết bởi vì vật liệu FGM
đang được ứng dụng rất nhiều trong các ngành công nghệ cao như đã


5
nói ở trên. Nếu để một khuyết tật dù nhỏ trong các bộ phận của con tàu
vũ trụ hay lò phản ứng hạt nhân không được phát hiện thì tai nạn xảy ra
là không thể tránh khỏi. Vì những lý do nêu trên, luận án này đặt vấn đề
nghiên cứu dao động của dầm FGM có vết nứt trong miền tần số để tiến
tới xây dựng một phương pháp chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM bằng
các đặc trưng dao động.
Nội dung nghiên cứu của luận án gồm:
1. Xây dựng các phương trình cơ bản mô tả dao động của dầm FGM
trong miền tần số, trong đó bao gồm cả dao động tự do và dao động
cưỡng bức và ma trận độ cứng động;
2. Nghiên cứu sự tương tác giữa dao động dọc trục và dao động uốn
trong dầm FGM và một số đặc trưng truyền sóng của dầm FGM;

3. Xây dựng mô hình dầm FGM chứa một vết nứt sử dụng mô hình
hai lò xo để mô tả vết nứt và phân tích ảnh hưởng của vết nứt cùng với
các tham số vật liệu lên tần số riêng của dầm;
4. Đề xuất một thuật toán để chẩn đoán một vết nứt trong dầm FGM
bằng tần số riêng và kiểm nghiệm bằng thử nghiệm số.
CHƢƠNG 2

DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM TIMOSHENKO CÓ
VẾT NỨT

Trong chương này, tác giả sẽ thiết lập các phương trình tổng quát mô tả
dao động của dầm FGM Timoshenko dựa trên quy luật biến đổi hàm
lũy thừa của các đặc trưng vật liệu và tính đến vị trí thực của trục trung
hòa, nói chung không trùng với trục đối xứng của tiết diện ngang.
Xét một dầm có chiều dài L, tiết diện ngang là hình chữ nhật với chiều
rộng là b và chiều cao là h, diện tích tiết diện ngang A = b  h. Dầm được
làm từ vật liệu FGM với các đặc trưng vật liệu chỉ biến đổi theo chiều cao
(z) tuân thủ quy luật:


6
 E ( z )   Eb   Et  Eb 
n

   
 z 1 
G
(
z
)


G

G

G


  b  t
b 
 , h / 2  z  h / 2
  ( z)           h 2 
b

  b  t

(2.1)

Trong đó, E là mô đun đàn hồi, G là mô đun trượt và ρ là mật độ khối
và chỉ số t và b ký hiệu giá trị của các đặc trưng vật liệu này ở mặt trên
và mặt đáy và z là tọa độ tính từ mặt giữa ở độ cao h/2 kể từ đáy dầm.
2.1. Phƣơng trình chuyển động
Giả sử dầm chịu tác dụng của tải phân bố: dọc trục p(x, t), tải ngang q(x,t)
và mô men m(x, t), sử dụng nguyên lý Hamilton, và thực hiện phép biến
đổi Fourier, ta nhận được phương trình chuyển động trong miền tần số:
( 2 I11U  A11U )  ( 2 I12  A12)  P( x, ) ;

( 2 I12U  A12U )  ( 2 I 22  A22)  A33 (W   )  M ( x, ) ;
 2 I11W  A33 (W   )  Q( x, ) .

(2.8)

Sử dụng các ký hiệu ma trận, có thể viết phương trình (2.8) về dạng
(2.11)
Az  Bz  Cz  q .
2.2. Các đặc trƣng dao động của dầm FGM
2.2.1.

Tần số và dạng dao động riêng

Dao động riêng của hệ được xác định từ phương trình
Az  Bz  Cz  0 .

(2.12)

Nghiệm của phương trình (2.12) tìm được dưới dạng
z 0 ( x, )  Φ( x, )d

(2.19)

trong đó d  {d11 ,..., d16 } là các hằng số phải tìm. Áp các điều kiện
T

biên động học cho nghiệm tổng quát (2.19) với điều kiện tồn tại nghiệm
khác 0 thu được phương trình tần số
1
f ()  det[B11 ()  B12 ()B22
()B21 ()]  0 .

(2.23)

Ứng với mỗi nghiệm của phương trình (2.23) k , k  1, 2, ... ta có một
dạng dao động riêng
φk ( x)  Φ( x, k )dk .

(2.24)


7
2.2.2.

Ma trận truyền – Đáp ứng tần số

Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (2.11) có thể xác
định được dưới dạng
z( x,  )  z 0 ( x,  )  z q ( x,  ) ,

(2.25)

trong đó z 0 ( x,  ) là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
được xác định dưới dạng (2.19).
Nghiệm riêng z q ( x,  ) của phương trình (2.11) có dạng
x

z q ( x,  )   H( x   ,  )q( ,  )d ,

(2.26)

0

trong đó H( x,  ) là ma trận truyền.
Nghiệm (2.25) thoả mãn các điều kiện biên ở đầu trái của dầm và có thể
được biểu diễn như sau
z( x,  )  Φ( x,  )d  z q ( x,  ) .

(2.34)

Áp dụng điều kiện biên cho nghiệm (2.34) thu được
d  [B L 0 ( )]1{bq ()} .

(2.37)

Do đó, đáp ứng tần số của dầm FGM đối với tải trọng bất kỳ được xác
định dưới dạng
z( x, )  Φ( x, )[B L 0 ()]1{bq ()}  z q ( x, ) .

2.2.3.

(2.38)

Ma trận độ cứng động

Trong mục này, tác giả xây dựng ma trận độ cứng động cho phần tử
dầm hai chiều làm từ vật liệu FGM tuân thủ quy luật (2.1). Ký hiệu các
tọa độ nút và các lực đầu nút như sau:

U  {U1 , 1 ,W1 ,U 2 , 2 ,W2 }T ; P  {N1 , M1 , Q1 , N2 , M 2 , Q2 }T

(2.48)

Áp dụng công thức (2.25) tính được
 0 
 P1{z q }x 0 
 P1{}x 0 
 (0,  ) 
U
d
d  
; P  
 (2.50)


  ( L,  ) 
 P2 {}x  L 
 z q ( L) 
P2 {z q }x  L 
Khử véc tơ hằng số d trong (2.50) dẫn đến
[P()]  [K()]  {U}  {F} ,

(2.52)


8
trong đó [K], {F} lần lượt là ma trận độ cứng động và tải trọng nút của
phần tử dầm FGM đang xét.
2.3. Dao động của dầm FGM có vết nứt
2.3.1.

Mô hình vết nứt trong dầm FGM

Xét dầm có một vết nứt ở vị trí e tính từ đầu bên trái của dầm và vết nứt
được mô hình hoá bởi các lò xo tương đương có độ cứng T đối với lò xo
dọc trục và R đối với lò xo xoắn
R
x=0

T
x=e

x=L

Hình 2.3. Mô hình vết nứt trong dầm FGM.
các điều kiện tương thích tại vị trí vết nứt là
U (e  0)  U (e  0)   1U x (e); (e  0)  (e  0)   2x (e) ;
W (e  0)  W (e  0) ; U x (e  0)  U x (e  0);
x (e  0)  x (e  0); Wx(e  0)  Wx(e  0)   2x (e)

(2.57)

Trong đó 1, 2 là độ lớn vết nứt. Trong phân tích dạng dao động của
dầm FGM có vết nứt, độ lớn vết nứt được tính gần đúng bằng

 1  A11 / T  F 1 (a);  2  A22 / R  F2 (a)
F1 (a)  2 (1  02 )h1 f1 (a); F2 (a)  6 (1  02 )h2 f 2 (a).
2.3.2.

(2.63)
(2.64)

Phương trình đặc trưng

Nghiệm tổng quát của phương trình (2.12) thoả mãn các điều kiện
tương thích tại vị trí vết nứt có dạng
z( x)  [Φ0 ( x, )  K( x  e)Φ0 (e, )]{D}  [G L ( x, )]{D}

(2.84)

Áp dụng điều kiện biên đối với nghiệm (2.84) thu được phương trình
tần số của dầm FGM bị nứt
()  det[BLL ()]  det[BL G L ( x, )

xL

]  0.

(2.87)


9
Mỗi nghiệm j của phương trình này là một tần số riêng của dầm tương
ứng với một dạng dao động riêng
(2.88)
 j ( x)  C j G L ( x,  j )D j ,
Bài toán đặt ra ở đây bao gồm tính các tần số và dạng riêng của dầm
phụ thuộc vào các tham số vết nứt từ các phương trình (2.87) và (2.88).
2.3.3.

Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM

Trong phần này, tác giả đặt bài toán ngược: xác định vị trí và chiều sâu

vết nứt khi biết các tần số riêng. Từ biểu thức tính ma trận BLL ( )
( )  det[BLL ( )]
(2.96)
 d0 ( )   1d1 (e,  )   2 d 2 (e,  )   1 2 d12 (e,  )
Giả sử rằng có ba tần số riêng, thay vào (2.96) thu được
ak1 (e) 1  ak 2 (e) 2  ak 3 (e) 3  b0 k , k  1,2,3

(2.100)

Hệ phương trình tuyến tính (2.100) có thể dễ dàng giải được nghiệm
(2.102)
 1  1 /    1 (e); 2  2 /   2 (e); 3  3 /   3 (e)
(2.104)
 (e)   1 (e) 2 (e)  3 (e)  0 ,
(2.102) và (2.104) cho ta phương trình xác định vị trí vết nứt e, độ lớn
vết nứt và chiều sâu vết nứt a. Như vậy, bài toán xác định vết nứt trong
dầm FGM Timoshenko được giải hoàn toàn.
Kết luận chƣơng 2
Trong chương này, tác giả đã xây dựng được các phương trình cơ bản
để tính toán dao động của dầm FGM tính đến vị trí thực của trục trung
hòa, giải bài toán dao động riêng. Đồng thời đã thiết lập được các công
thức để nghiên cứu hàm đáp ứng tần số là chìa khóa để nghiên cứu dao
động cưỡng bức cũng như nghiên cứu thực nghiệm đối với dầm FGM.
Đã xây dựng được ma trận độ cứng động lực cho dầm FGM là công cụ
để phát triển phương pháp độ cứng động cho các kết cấu khung làm từ
vật liệu FGM. Đặc biệt, đã xây dựng được mô hình dầm FGM có vết
nứt được mô tả đồng thời bằng hai lò và đề xuất một phương pháp xác
định vị trí và độ sâu của một vết nứt trong dầm FGM bằng 3 tần số.

10
CHƢƠNG 3

SỰ TƢƠNG TÁC GIỮA DAO ĐỘNG DỌC TRỤC

VÀ DAO ĐỘNG UỐN TRONG DẦM FGM
3.1.

Điều kiện không tƣơng tác giữa dao động dọc trục và dao

động uốn
Vị trí của trục trung hoà h0, đối với dầm FGM tuân theo luật lũy thừa,
xác định bằng

h0 

n( Re  1)h
, Re  Et / Eb .
2(n  2)(n  Re )

(3.3)

Với h0 tìm được trong (3.3) thì hệ số A12 = 0, hơn nữa nếu I12 = 0 thì
phương trình dao động tự do của dầm FGM được viết lại thành
I11u  A11u   0;


( I 22  A22 )  A33 ( w   )  0;

I11w  A33 ( w   )  0.




(3.6)

Phương trình đầu tiên trong (3.6) là phương trình dao động dọc trục
thuần túy và hai phương trình sau có dạng hoàn toàn tương tự phương
trình dao động uốn của dầm Timoshenko. Như vậy, trong trường hợp
này dao động dọc trục và dao động uốn của dầm FGM đã tách rời hoàn
toàn. Do đó điều kiện tách rời hay không tương tác của dao động dọc
trục và dao động uốn trong dầm FGM là I12 = 0.
Sử dụng công thức (3.3), ta có thể biểu diễn I12 ở dạng
Ahb ( R  Re )n
I12 
;
2(2  n)( Re  n)

(3.7)

Dễ dàng nhận thấy I12 = 0 khi n = 0 hoặc R = Re.
Trường hợp n = 0, khi vật liệu là đồng nhất thì sự độc lập giữa dao động
dọc trục và dao động uốn trong dầm đồng nhất đã được biết đến.
Trường hợp thứ hai, điều kiện không tương tác là
Re  R .

(3.8)

Dầm FGM thỏa mãn điều kiện (3.8) có thể gọi là dầm FGM tỷ lệ (PFG
Beam) và tỷ số r  Re / R gọi là hệ số tỷ lệ của vật liệu.

11
3.2. Dao động uốn thuần túy của dầm FGM
Trong phần này tác giả nghiên cứu dao động uốn độc lập cho bởi các
phương trình cuối trong (3.6). Nghiệm của chúng được tìm dưới dạng
(3.25)
z  [G1 ( x, ) G 2 ( x, )]d  G( x, )d
Nghiệm (3.25) thoả mãn các điều kiện biên tại các đầu của dầm. Từ đó
thu được phương trình tần số của dầm FGM tỷ lệ.
L0 ()  det[G L ()]  0 ,

(3.32)

Mỗi nghiệm j ta một dạng dao động riêng
 j ( x)  C j G 0 ( x,  j )D j ,

(3.33)

Xét một ví dụ cụ thể đối với dầm FGM tỷ lệ có các thông số vật liệu
đầu vào như sau: Eb  2.11011 N / m2 , b  7850 kg / m3 , 1  0.3 (mặt
dưới) Từ các thông số vật liệu ở mặt dưới này ta tính được các thông số
vật liệu ở mặt trên với tỷ phần r: Et  rEb ; t  r b .
Phân tích tần số cắt
Tần số cắt được xác định là hàm của hệ số tỷ lệ với chỉ số phân bố vật
liệu thay đổi với các mảnh khác nhau được cho trong hình vẽ.
230

1.1

L/h=10

225

n=20

Normalized natural frequency

n=10

Nondimensional cutoff frequency

220

215
n=1
210
n=0.5

205
n=2

n=0.2

200
n=0.1

1.05

n=50
n=5
n=0

1.0

n=0.1
n=0.2

n=2

n=0.5
0.95

n=1

n=0

195
n=5

n=50

0.9

190
n=20
185
n=10
180

0

0.5

1

1.5

2

2.5
3
Proportional ratio, r

3.5

4

4.5

r

0.85

5

Hình 3.5. Tần số cắt chuẩn hoá độc
lập phụ thuộc tỷ số r với các chỉ số
phân bố vật liệu n khác nhau.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Material proportional factor, r

4

4.5

r

5

Hình 3.7. Tần số riêng chuẩn hoá
độc lập của dần FGM phụ thuộc vào
tỷ số r với các giá trị n khác nhau.

Phân tích tần số riêng
Có thể thấy rằng tần số dao động uốn tự nhiên của dầm PFG bị giới hạn

trong khoảng từ (0.9 – 1.1) lần so với tần số của dầm đồng nhất.


12
Phân tích dạng dao động

1

0.8
L/h=5

Phân tích số chỉ ra rằng các dạng

=10
0.6

=20
=30

0.4

=50
=100

dao động của dầm PFG không

0.2

0

chịu ảnh hưởng bởi các thông số

-0.2

-0.4

vật liệu như tỷ phần r và chỉ số

-0.6

-0.8

phân bố vật liệu n, chúng có thể

-1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Hình 3.11. Dạng dao động thứ ba
phụ thuộc vào độ mảnh L/h của dầm.

thay đổi ít phụ thuộc vào độ
mảnh của dầm.

Các đặc trƣng sóng của dầm FGM

3.3.

Trong mục này tác giả khảo sát một số đặc trưng truyền sóng của dầm
FGM, trong đó có sự tương tác giữa sóng dọc và sóng ngang.
Các nghiệm của phương trình đặc trưng của phương trình dao động tự
do của dầm FGM  j , j  1, 2, 3 có thể được biểu diễn dưới dạng

 j   j2  (ik j )2 , j  1, 2, 3 , trong đó k j , j  1, 2, 3 biểu thị số sóng
tương ứng với dạng dao động dọc trục, uốn và cắt. Các bình phương của
số sóng  j  k 2j , j  1,2,3 của dầm FGM sẽ được xác định là hàm của
tần số dưới dạng các đặc trưng phổ của các dạng sóng. Đặc trưng sóng
này tìm được với sự thay đổi của chỉ số phân bố của vật liệu n và độ
mảnh L/h của dầm đối với dầm làm bằng vật liệu thép-nhôm được cho
trong các hình vẽ.

x 10

1400

4

4

L/h=5,10

L/h=5
n=50

1200

3

20
10
1000

2

Shear wave characteristic,k3

Axial wave characteristic,k1

2

5

2

800

1
600

0.5
0.2
0.1

400

2

L/h=20

1

L/h=30
L/h=50
0

n=10

n=0
-1

200

L/h=100
0

0

10

20

30

40
50
60
Dimensionless frequency

70

80

90

100

Hình 3.12. Đặc trưng phổ của sóng
dọc trục với chỉ số phân bố vật liệu n
thay đổi và độ mảnh L/h = 5.

-2

0

200

400

600
800
Dimensionless frequency

1000

1200

Hình 3.17. Đặc trưng phổ của sóng
ngang với n = 5 và các độ mảnh
khác nhau của dầm.


13
x 10

7

x 10

7

10

4

9

3.5

r =R2/R1

r =R1/R2

Dimensionless cutoff frequency

Dimentionless cutoff frequency

8

3
r=2
2.5

2
r=0.1
1.5

7
r =1
6

r=0.2

5
r=0.1

r=0.4
4

3

1
r =1

2
r=2

0.5

0

1

0

0

0.5

1

1.5

2
2.5
3
Material distribution index, n

3.5

4

4.5

5

Hình 3.18. Tần số cắt phụ thuộc vào
chỉ số phân bố vật liệu n với sự thay
đổi của tỷ số mô đun đàn hồi của vật
liệu.

0

0.5

1

1.5

2
2.5
3
Material distribution index, n

3.5

4

4.5

5

Hình 3.19. Tần số cắt phụ thuộc vào
chỉ số phân bố vật liệu n với sự thay
đổi của tỷ số mật độ khối.

Từ các đồ thị này có thể thấy rằng tất cả các đặc trưng sóng tăng theo
chỉ số phân bố của vật liệu n; đặc trưng sóng dọc trục tăng theo độ
mảnh L/h của dầm. Các đặc trưng của dao động uốn và cắt giảm khi độ
mảnh tăng lên, tuy nhiên, ảnh hưởng của độ mảnh đối với dao động uốn
là không nhiều bằng dao động dọc trục và cắt.
Kết luận chƣơng 3
Trong Chương này, sử dụng kết quả tính toán chính xác của vị trí trục
trung hòa, tác giả đã nhận được điều kiện để dao động dọc trục và dao
động uốn trong dầm FGM tách rời hoàn toàn, gọi là điều kiện không
tương tác, từ đó đưa ra khái niện dầm PFG tỷ lệ. Đã nghiên cứu chi tiết
hệ số tương tác phụ thuộc vào các tham số vật liệu và hình học, đồng
thời cũng đã nghiên cứu tần số và dạng riêng trong dao động uốn của
dầm FGM tỷ lệ (gọi là dao động uốn thuần túy hay dao động uốn tách
rời). Nghiên cứu một số đặc trưng sóng của dầm FGM trong trường hợp
có sự tương tác giữa dao động dọc và dao động uốn, trong đó đặc biệt
nghiên cứu tần số cắt (là tần số bắt đầu xuất hiện sóng trượt hay gọi là
sóng cắt) phụ thuộc vào các tham số vật liệu.

14
CHƢƠNG 4

KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN

4.1. Tần số và dạng dao động riêng
Các tính toán số được tiến hành cho dầm FGM với các tham số vật liệu:
Eb  2.1 1011 N / m2 , b  7800kg / m3 , h0  0.0653,
(4.1)
Et  3.9  1011 N / m2 , t  3960kg / m3 , n  10.
Trước hết, tính năm tần số riêng chuẩn hóa của dầm độ với độ mảnh L/h
khác nhau sử dụng lý thuyết được phát triển ở trên và có xét tới vị trí
thực của trục trung hoà (lý thuyết - NA) và lý thuyết với giả thiết trục
trung hoà trùng với trục giữa (lý thuyết - CA). Kết quả nhận được được
so sánh với các kết quả thu được khi sử dụng phương pháp độ cứng
động với giả thiết trục trung hoà trùng với trục giữa (h0 = 0). Các kết
quả chỉ ra rằng phương pháp đề xuất tính toán và phương pháp độ cứng
động cho kết quả các tần số riêng trong dao động uốn là tương đồng.
Tuy nhiên, các kết quả là khác nhau đối với dao động dọc trục – dao
động phụ thuộc với dao động uốn trong dầm FGM Timoshenko. Rất có
thể tính đến trục trung hòa làm thay đổi nhiều tần số dao động dọc trục.
3.5

3

a)

n=0.1

n=0.2

3
n=0.5

2.5
n=0.1

2.5

Normalized natural frequency

n=0.2

Normalized natural frequency

n=0.5
2
n=1
n=2

n=1
n=2
2

n=3
n=5

1.5

1.5
n=5

n=8
n=10
n=20
n=50

1
n=50
1
n=10

0.5

0

1

2

3

4
5
6
Elasticity modulus ratio

n=30

n=20

0.5

7

8

9

10

Hình 4.2. Sự thay đổi của các tần số
riêng chuẩn hoá theo tỉ số mô đun đàn
hồi với các số mũ n khác nhau.

0
-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05
0
0.05
Neutral axis dislocation (h0/h)

0.1

0.15

0.2

0.25

Hình 4.1. Các tần số riêng chuẩn hoá
theo sự thay đổi vị trí của trục trung
hoà với các số mũ n khác nhau.

Rõ ràng các tần số riêng tăng cùng với tỷ số mô đun đàn hồi nhưng tốc
độ tăng phụ thuộc vào số mũ n. Số mũ càng cao thì tốc độ tăng càng
giảm (khi R > 1) và ngược lại khi R < 1. Các tần số đều giảm khi số mũ


15
n tăng, nhưng không có nhiều khác biệt với L/h > 20, đặc biệt tần số dọc
trục khá nhạy cảm với độ mảnh của dầm khi L/h < 20. Các tần số riêng
khá nhạy cảm với vị trí của trục trung hoà khi n nhỏ, nhưng với n > 10
thì các tần số hầu như không còn phụ thuộc nhiều vào số mũ n và vị trí
trục trung hòa.
Bảng 4.1. So sánh các tần số riêng chuẩn hóa của dầm đơn FGM
Timoshenko.
λ1

λ2

λ3

λ4

λ5

Tài liệu
[50]

2.9513

10.176 (10.1162)

16.686 (16.6665)

19.331 (19.2502)

29.194 (29.1011)

Luận án
(CA)

2.9359

8.3233

10.1441

19.2500

24.9647

29.1027

Luận án
(NA)

2.9369
(B1)

8.3405
(A1)

10.1304
(B2)

19.2538
(B3)

24.9626
(A2)

29.0944
(B4)

Tài liệu
[50]

3.0959

Luận án

(CA)

3.0802

11.7469

16.6775

24.6903

40.5127

Luận án
(NA)

3.0805
(B1)

11.7476
(B2)

16.6850
(A1)

24.6834
(B3)

40.5205
(B4)

Tài liệu
[50]

3.1363

Luận án
(CA)

3.1205

12.3206

27.1452

33.3651

46.9994

Luận án
(NA)

3.1206
(B1)

12.3218
(B2)

27.1584
(B3)

33.3718
(A1)

46.9904
(B4)

Tài liệu
[50]

3.1440

Luận án
(CA)

3.1282

12.4394

27.7209

48.5505

50.8179

74.8179

Luận án
(NA)

3.1282

(B1)

12.4399
(B2)

27.7242
(B3)

48.6527
(B4)

50.0582
(A1)

74.8093
(B5)

Tài liệu
[50]

3.1496

Luận án
(CA)

3.1337

12.5285

28.1641

50.0073

78.0119

Luận án
(NA)

3.1338
(B1)

12.5285
(B2)

28.1668
(B3)

50.0095
(B4)

78.0140
(B5)

L/h

5

10

20

30

100

11.805

12.383

12.502

12.591

24.799

33.371

27.291

47.214

27.861

28.304

48.888

50.253

40.700

66.743

75.163

78.388

Ak – dao động dọc trục thứ k; Bk – dao động uốn thứ k;
CA – Theo lý thuyết trục giữa; NA – Theo lý thuyết trục trung hoà.

Các dạng dao động riêng tương ứng với các tần số tính được trong bảng
4.1 được trình bày trong các hình vẽ với các ký hiệu các dạng dao động
dọc trục (Ak) và dao động uốn (Bk). Các tính toán số chỉ ra rằng các
dạng dao động phụ thuộc vào độ mảnh nhiều hơn là các tham số vật liệu
của dầm.


16
1

1
0.8

0.8
Mode 5

0.6

0.6
Mode 2

0.4

0.4
Mode 1

Mode 1

0.2

0.2

0

0
Mode 3

-0.2

-0.2
Mode 4

-0.4

-0.4
Mode 5

-0.6

-1

Mode 4

-0.6

-0.8

Mode 3

Mode 2

-0.8

-1
0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

First five mode shape of bending vibration, n=10,L/h=30

First five mode shapes of FGM-SS-Beam, n=10,L/h=5

Hình 4.6. Năm dạng dao động đầu
tiên của dầm đơn FGM với n = 10 và
L/h = 5.

Hình 4.9. Năm dạng dao động đầu
tiên của dầm đơn FGM với n = 10 và
L/h = 30.

Hàm đáp ứng tần số

4.2.

Các hàm đáp ứng tần số của dầm với các tham số vật liệu (4.1) được
tính toán với các tỉ số độ mảnh L/h khác nhau. Hàm đáp ứng tần số đơn
(với điểm đặt lực trùng với điểm đo đáp ứng -The auto FRFs); Hàm đáp
ứng tần số chéo (với điểm đặt lực không trùng với điểm đo đáp ứng the cross FRFs). Các kết quả là các tần số và dạng dao động riêng xác
định được từ các hàm đáp ứng tần số biểu thị trong các hình vẽ là trùng
khớp với các kết quả thu được trong bảng 4.1 được xác định bằng cách
giải phương trình tần số. Do đó có thể kết luận rằng các tham số của mô
hình như các tần số và dạng dao động riêng của dầm FGM Timoshenko
có thể xác định được bằng phương pháp thử nghiệm động thông dụng.
140
60

Eb=210,Rob=7800,Et=390,Rot=3960,n=10

Eb=210,Rob=7800,Et=390,Rot=3960,n=10

L/h=10
120

L/h=10
50

L/h=10

40

Cross flexural-axial FRF

Croo axial-flexural FRF

100

80
L/h=5
L/h=20

60

30

L/h=20

L/h=5

20

40
L/h=10
L/h=30
10

20
L/h=5

0

0

0

2

4

6

8
10
12
Dimesionless frequency

14

16

18

20

Hình 4.13. Hàm đáp ứng tần số chéo
dọc trục-uốn với tỉ số độ mảnh khác
nhau.

0

2

4

6

8
10
12
Dimensionless frequency

14

16

18

20

Hình 4.14. Hàm đáp ứng tần số chéo
uốn-dọc trục với tỉ số độ mảnh khác

nhau.


17
Axial frequency response to axial unite impact
2000

re=1/6

(a)
1800

10000
re=4

1600
re=1/4

8000

Axial displacement FRF

Autyo-Flexural FRF

1400

1200

1000
re=5

re=1/6

re=1/3

800

re=9

re=7

6000

4000

600
re=1/5
re=6

400

re=1/2

re=2

re=8

re=1

re=10

2000

re=1

re=3

200

re=3
re=6

re=1/2
0

re=4

re=2

re=5

re=8

re=7

re=9

re=10

0

10

11

12
13
Dimensionless frequency

14

15

Hình 4.19. Hàm đáp ứng tần số đơn
uốn với các tỉ số mô đun đàn hồi khác
nhau.

15

16

17

18
19
Dimensionless frequency

20

21

Hình 4.20. Hàm đáp ứng tần số đơn
dọc trục với các tỉ số mô đun đàn hồi
khác nhau.

Các hàm đáp ứng tần số tìm được cho thấy sự tăng của các tần số riêng
khi tỉ số mô đun đàn hồi tăng lên. Hơn nữa, các đồ thị của các hàm đáp
ứng tần số chỉ ra rằng đỉnh dao động dọc trục chiếm ưu thế với Re = 1/6
và dao động uốn chiếm ưu thế khi Re = 1/4 và 4.
4.3. Ảnh hƣởng của vết nứt đến tần số và dạng dao động riêng
4.3.1.

So sánh nghiên cứu

a. Các tần số riêng của dao động phụ thuộc
Trước hết ta tính các tần số riêng không thứ nguyên đối với dầm FGM
Timoshenko nguyên vẹn với các tham số vật liệu như sau:
Thép: Eb  2.11011 N / m2 , b  7850kg / m3 , b  0.3 (mặt dưới);
Nhôm: Et  0.7 1011 N / m2 , t  2707kg / m3 , t  0.3 (mặt trên);
Bảng 4.2 cho các kết quả thu được với mô hình dao động phụ thuộc của
dầm so sánh với các kết quả tính toán trong đó bỏ qua dao động dọc trục.
Bảng 4.2. So sánh các tần số riêng không thứ nguyên của dầm FGM
nguyên vẹn chịu liên kết đơn.
No.
Mode

1
1st uốn

2
1st dọc trục

3
2d uốn

4
3rd uốn

5
2nd dt

6
4th uốn

7
5th uốn

Luận án

2.4972

6.2562

8.3535

15.5235

18.7686

23.1155

30.8132

Li

2.4972

n/a

8.3536

15.5236

n/a

23.1155

30.8133

No.
Mode

8
3rd dọc trục

9
6- uốn

10
7- uốn

11
8- uốn

12
9- uốn

13
4th dt

14
10- uốn

Luận án

31.2802

33.2100

36.1146

38.5061

43.1807

43.7955

46.1580


18

Li

n/a

33.2032

36.1144

38.5062

43.1833

n/a

46.1581

No.
Mode

15
11- uốn

16
12- uốn

17
5th dt

18
13- uốn

19
14- uốn

20
6th dt

21
15- uốn

Luận án

52.2863

53.7605

56.3034

61.3153

62.4261

68.8114

68.8282

Li

52.2854

53.7606

n/a

61.3154 62.423

n/a

68.8279

L = 0.5m; h = 0.125m;   ( L / h) b / Eb ;
2

b. Mô hình dầm FGM bị nứt đề xuất
Để chứng minh lý thuyết đề xuất đối với mô hình dầm FGM
Timoshenko có vết nứt, tính toán các tần số riêng của dầm ngàm hai
đầu và so sánh các kết quả thu được với các kết quả sử dụng phương
pháp phần tử hữu hạn.
1

0.99

Yang & Chen,
L/h=20, Eb/Et=5.0
Luận án
L/h =20, Eb/Et =5.0

Fundamental frequency ratio

Tỉ số tấn số cơ bản

Yang & Chen,
L/h =10, Eb/Et =5.0

0.98

Luận án
L/h =10, Eb/Et =5.0

Yang & Chen,
L/h =20, Eb/Et =0.2

0.97

Yang & Chen,
L/h =10, Eb/Et =0.2

Luận án
L/h =20, Eb/Et =0.2

Luận án
L/h =10, Eb/Et =0.2

0.96

0.95

0.94
0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5
Crack positrion

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Vị trí vết nứt

Hình 4.25. Tỉ số tần số cơ bản của dầm ngàm hai đầu so sánh với các kết quả
thu được của tác giả Yang và Chen; độ sâu vết nứt a/h = 20%.

So sánh các kết quả thu được (đường nét liền) với các kết quả thu được
sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (đường nét đứt) cho thấy sự
tương đồng của mô hình vết nứt đã đề xuất trong luận án đối với dầm
FGM và được sử dụng để phân tích dầm Timoshenko có vết nứt. Các

kết quả thu được là tương đồng mặc dù sử dụng quy luật phân bố khác
nhau của vật liệu.


19
4.3.2.

Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng

Sự thay đổi của các tần số riêng gây ra do vết nứt thường được gọi là độ
nhạy của tần số riêng với vết nứt. Sự thay đổi của các tần số riêng ở đây
được biểu diễn thông qua tỉ số của các tần số của dầm bị nứt (gọi tắt là
tần số nứt) trên tần số của dầm nguyên vẹn (tần số nguyên vẹn). Các tỷ số
này là đại lượng không thứ nguyên và là hàm của vị trí và độ sâu của vết
nứt và được tính phụ thuộc vào vị trí vết nứt nằm dọc theo chiều dài của
dầm. Đối với bài toán đặt ra ở đây là nghiên cứu sự thay đổi của tần số
riêng phụ thuộc vào các tham số hình học và vật liệu của dầm FGM
Timoshenko ngàm hai đầu.
Trước hết, từ các đồ thị có thể thấy rằng, cũng tương tự như đối với
dầm đồng nhất, tần số riêng có thể sẽ không thay đổi nếu vết nứt ở tại
một số vị trí đặc biệt trên dầm. Các điểm này được gọi là điểm nút tần
số. Trong trường hợp tổng quát, điểm nút tần số có thể tìm từ các
phương trình

d1 ( x, k0 )  0; d2 ( x, k0 )  0; d12 ( x, k0 )  0

(4.2)

trong đó các hàm d1 ( x, ); d2 ( x, ); d12 ( x, ) được xác định trong
(2.96) và

k0

là tần thứ k của dầm FGM không nứt.

a/h=5%

a/h=5%

a/h=5%

a/h=5%

1

1
10%

10%

10%

10%
0.99

15%

15%

0.99

15%

15%

20%

0.98

20%

20%

0.98

20%

0.97
30%

0.97

0.96

30%
30%
0.96

(b1) - Second frequency
0.95

Re=5.0,n=0.5

30%

Re=0.2,n=0.5

0.93

Re=5.0,n=0.5
Re=0.2,n=0.5

(c1) - Third frequency

(c1) Tần số thứ ba

0.95

(b1) Tần số thứ hai

0.94

0.94

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

position
VịCrack
trí vết
nứt

Hình 4.27. Sự thay đổi của các tần số
riêng thứ hai phụ thuộc vào chiều sâu
vết nứt (5%-30%) và tỉ số mô đun đàn
hồi Re = 0.2 & 5.0 đối với dầm FGM
ngàm hai đầu với L/h = 10, n = 0.5.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

VịCrack
trí position
vết nứt

Hình 4.28. Sự thay đổi của các tần số
riêng thứ ba phụ thuộc vào chiều sâu
vết nứt (5%-30%) và tỉ số mô đun
đàn hồi Re = 0.2 & 5.0 của dầm FGM
ngàm hai đầu với L/h = 10, n = 0.5.

20
1

1

0.995

0.995

0.99

0.99

0.985

0.985

n=10,Re=5

n=0.2,Re=0.2

0.98

0.98
n=0.2,Re=0.2

n=1,Re=5

n=1,Re=0.2

0.975

0.97

0.97

0.965

Re=0.2
Re=5.0

n=1,Re=0.2

n=0.2,Re=5

n=10,Re=0.2

n=10,Re=5

0.975

n=1,Re=5

0.965

r=0.2
r=5.0

n=10,Re=0.2

0.96

0.96

(a2) First frequency, n (Re=0.2&5)

(a2) Tần số thứ nhất - n (Re = 0.2 & 5)

0.955

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

position
VịCrack
trí vết
nứt

0.7

0.8

(b2) Tần số thứ hai - n (Re = 0.2 & 5)

n=0.2,Re=5

0.955

0.95
0

(b2) Second frequency, n (Re=0.2&5)

0.9

1

Hình 4.35. Ảnh hưởng của tần số
riêng thứ nhất phụ thuộc vào vị trí vết
nứt với n = (0.2 – 10) và Re = 0.2; 5.0
đối với dầm ngàm hai đầu với
L/h = 10, và a/h = 20%.
1.005

0.95

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

VịCrack
trí position
vết nứt

0.7

0.8

0.9

1

Hình 4.36. Ảnh hưởng của tần số
riêng thứ hai phụ thuộc vào vị trí vết
nứt với n = (0.2 – 10) và Re = 0.2;
5.0 đối với dầm ngàm hai đầu với
L/h = 10, và a/h = 20%.
1.005

L/h=5

1

L/h=5

1

100

100

0.995

100

0.995

100
30

30

0.99

20

0.99

20
30

0.985

30
0.985

10
10

0.98

0.98

20

20

0.975
0.975

(c1) Third frequency

0.97

n=5,Re=0.2
n=5,Re=5.0

(c1) Tần số thứ ba

0.97

10

0.965
0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

10

(c2) Tần số thứ ba

(c2) Third frequency

n=5.0,Re=0.2
n=0.5,Re=0.2

0.965

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Crack position
Vị trí
vết nứt

Hình 4.40. Sự thay đổi của tần số
riêng thứ ba với tỉ số độ mảnh L/h=550 của dầm ngàm hai đầu với Re=0.2
&5.0, n=5.0 và độ sâu vết nứt a/h=20%.

0.96

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5
Crack position

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Vị trí vết nứt

Hình 4.43. Sự thay đổi của tần số
riêng thứ ba với độ mảnh L/h = 5-50
của dầm ngàm hai đầu với Re = 0.2,
n=0.5&5.0 và độ sâu vết nứt a/h=20%.

Nghiệm của phương trình (4.2) cho trong bảng 4.3 cho thấy rằng chỉ tồn
tại một điểm tới hạn chính xác đối với dạng dao động thứ hai của dầm
FGM ngàm hai đầu là ở vị trí giữa của dầm (e0 = 0.5). Tuy nhiên, tất cả
các điểm tới hạn, như đã chỉ ra trên các hình vẽ là khá gần với các
nghiệm của phương trình thứ hai trong (4.2). Điều này là do các giá trị
của các hệ số d1 (e, k0 ) , d12 (e, k0 ) là rất nhỏ so với d2 (e, k0 ) ).
Từ các đồ thị cho thấy sự thay đổi của các tần số riêng là giảm đáng kể
khi độ sâu vết nứt tăng lên và ngoài ra còn phụ thuộc vào tham số hình
học và vật liệu của dầm. Các tần số riêng của dao động uốn ít nhạy cảm
với vết nứt khi độ mảnh tăng lên và phụ thuộc vào vật liệu chế tạo dầm.


21
Bảng 4.3. Nghiệm của phương trình (4.2) và các điểm tới hạn đối với

dầm FGM Timoshenko ngàm hai đầu.
Mode

d1 ( x,k0 )  0

d12 ( x,k0 )  0

d2 ( x,k0 )  0

1

0.0788

0.2432

0.7568

0.22

2

-

0.5

0.5379

0.13

0.5

0.78

3

0.32

0.69

0.09

0.35

0.1523
0.87

0.65

0.91

0.2317

0.7683

0.5
0.0771

(0.34)

0.8591

0.5218

(0.66)

0.9223

4.4. Lời giải bài toán chẩn đoán vết nứt bằng tần số riêng
Các kịch bản vết nứt khác nhau ở đây bao gồm ba tham số: độ sâu vết
nứt (5% - 20%); vị trí vết nứt (11 vị trí từ vị trí số 0 tới 1 tương ứng với
đầu bên trái và bên phải của dầm) và các tỉ số độ mảnh (5; 10; 20). Các
kết quả thu được cho trong bảng 4.4 cho thấy độ chính xác của phương
pháp được đưa ra, đặc biệt, trong trường hợp độ mảnh nhỏ (L/h = 5),
trường hợp điển hình đối với dầm Timoshenko. Sai số chỉ xuất hiện khi
vết nứt trong dầm xuất hiện tại các vị trí gần các điểm nút tần số, cụ thể
0.22; 0.5; 0.78. Đối với các dầm có độ mảnh lớn, độ sâu vết nứt xác định
được là chính xác trong tất cả các trường hợp vết nứt khác nhau được đưa
ra và sai số chỉ xảy ra đối với trường hợp các vết nứt đối xứng.
Bảng 4.4. Xác định vị trí và chiều sâu vết nứt phụ thuộc vào tỉ số độ
mảnh với dầm ngàm hai đầu có các vết nứt khác nhau.
Vị trí thực của vết nứt
L/h

0

0.1

0.2

0.3

0.8

0.9

1

5

0.0

0.10

0.13

0.30

0.40

0.51

0.60

0.70

0.13

0.90

1.0

30%

30%

87%

30%

30%

73%

30%

30%

86%

30%

30%

0.0

0.10

0.20

0.30

0.40

30%

30%

30%

30%

30%

0.50

0.60

0.30

0.20

0.90

0.0

30%

30%

30%

30%

30%

30%

1.0

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

1.0

30%

30%

30%

30%

30%

30%

30%

30%

30%

30%

30%

0.70

0.13

0.90

1.0

0.4

0.5

0.6

0.7

Độ sâu thực của vết nứt a/h = 30%

10

20

Độ sâu thực của vết nứt a/h = 20%
5

0.0

0.10

0.20

0.30

0.40

0.52

0.60

22
10

20

20%

20%

20%

20%

20%

77%

20%

20%

78%

20%

20%

0.0

0.10

0.20

0.70

0.60

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

0.0

20%

20%

20%

20%

20%

20%

20%

20%

20%

20%

20%

1.0

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

1.0

20%

20%

20%

20%

20%

20%

20%

20%

20%

20%

20%

0.0

0.10

0.20

0.30

0.40

0.11

0.60

0.70

0.13

0.90

1.0

10%

10%

10%

10%

10%

13%

10%

10%

64%

10%

10%

0.0

0.90

0.80

0.70

0.60

0.50

0.60

0.70

0.80

0.10

0.0

10%

10%

10%

10%

10%

10%

10%

10%

10%

10%

10%

1.0

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

1.0

10%

10%

10%

10%

10%

10%

10%

10%

10%

10%

10%

Độ sâu thực của vết nứt a/h = 10%
5

10

20

Độ sâu thực của vết nứt a/h = 5%
5

10

20

0.0

0.10

0.13

0.30

0.40

0.11

0.60

0.70

0.13

0.90

0.0

5%

5%

1%

5%

5%

6%

5%

5%

1%

5%

5%

0.0

0.90

0.80

0.70

0.60

0.50

0.60

0.70

0.80

0.10

0.0

5%

5%

5%

5%

5%

5%

5%

5%

5%

5%

5%

1.0

0.90

0.20

0.30

0.40

0.50

0.40

0.30

0.20

0.90

1.0

5%

5%

5%

5%

5%

5%

5%

5%

5%

5%

5%

Kết luận chƣơng 4
Kết quả số nhận được trong Chương này chủ yếu để minh họa và kiểm
chứng các lý thuyết đã được trình bày trong Chương 2, từ các kết quả
này chúng ta có thể đưa ra một số kết luận như sau:
a. Phương pháp được đề xuất trong luận án này cho phép ta tính toán
tần số và dạng dao động riêng của dầm FGM một cách đơn giản với độ
chính xác tương đương với phương pháp ma trận độ cứng động.
b. Nói chung, tần số riêng tăng cùng với tỷ số mô đun đàn hồi và giảm
khi tỷ số khối lượng riêng tăng. Nhưng tốc độ tăng hoặc giảm của tần số
theo các tỷ số nêu trên phụ thuộc nhiều vào số mũ n. Độ mảnh của dầm
ít ảnh hưởng đến tần số riêng khi nó lớn hơn 20 (L/h > 20), nhưng nó có
ảnh hưởng nhiều, đặc biệt là các tần số dao động dọc trục khi L/h < 10.


23
c. Nghiên cứu các hàm đáp ứng tần số cho thấy, các tần số uốn chỉ xuất
hiện ở hàm đáp ứng tần số uốn và tần số dọc trục xuất hiện ở hàm đáp
ứng tần số dọc trục. Tuy nhiên, các hàm đáp ứng tần số chéo (đáp ứng
ngang dưới tác dụng của tải trọng dọc hoặc đáp ứng dọc trục dưới tác
dụng của tải trọng ngang) rất hữu ích trong nghiên cứu sự tương tác
giữa các dạng dao động dọc trục và dao động uốn.
d. So sánh kết quả nhận được về tần số uốn của dầm FGM có vết nứt
với các kết quả đã biết cho thấy: mô hình hai lò xo của vết nứt cho ta
kết quả không khác nhiều so với mô hình một lò xo xoắn (uốn) khi độ
mảnh lớn tức dầm dạng Euler-Bernoulli. Như vậy, việc thêm vào lò xo
dọc trục để mô tả vết nứt có ý nghĩa hơn đối với dầm ngắn (L/h < 10).
e. Nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt đến tần số với các tham số vật liệu

khác nhau cho thấy: ảnh hưởng của vết nứt đến tần số tăng cùng với Re
(n), khi n < 1 (Re < 1) và giảm khi n > 1 (Re > 1); độ mảnh (L/h) càng
cao thì ảnh hưởng của vết nứt đến tần số càng yếu. Mặc dù, các tham số
vật liệu có ảnh hưởng đáng kể đến tần số của dầm FGM bị nứt, nhưng
vẫn tồn tại các điểm nút tần số.
f. Thuật toán chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM bằng tần số riêng được
đề xuất trong luận án cho phép ta xác định chính xác cả về vị trí và độ
sâu vết nứt trừ trường hợp nếu vết nứt gần với các điểm nút tần số.
Trong trường hợp vết nứt xuất hiện gần với các điểm nút tần số thì có
thể xác định ngay được từ sự khảo sát sự thay đổi của tần số đo. Như
vậy, thuật toán chẩn đoán vết nứt nêu trên là đầy đủ để thực hiện việc
chẩn đoán một vết nứt trong dầm FGM bằng tần số riêng.
KẾT LUẬN CHUNG
Trong luận án này, đã giải trọn vẹn các bài toán sau:
1). Dao động riêng của dầm FGM có tính đến vị trí thực của trục trung
hòa; Đã xây dựng được biểu thức phương trình tần số tổng quát cho các
điều kiện biên khác nhau và biểu thức của dạng riêng; Đã phân tích chi