SKKN Phương Pháp Suy Luận Giải Toán Bằng Quy Tắc Tính Diện Tích Hình Chữ Nhật

Phương pháp suy luận giải toán bằng quy tắc
“Tính diện tích hình chữ nhật”
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Cơ sở lí luận:
Bậc tiểu học được coi là bậc học nền tảng giáo dục phổ thông. Vào học bậc tiểu
học là học sinh thực sự bước vào quá trình rèn luyện, bước đầu hình thành vốn kiến
thức cho mình. Trong đó phải kể đến tầm quan trọng của việc lĩnh hội tri thức toán
học. Đặc biệt dạy học giải toán có văn cho học sinh tiểu học là dạy cho các em biết
phân tích tính toán cụ thể các bài toán thực tế, không những thế còn giúp các em phát
triển được tư duy và khả năng sáng tạo qua các bài toán có tính chất nâng cao. Ngay
từ lớp 1 học sinh đã bắt đầu làm quen với dạng toán có văn dạng đơn giản. Ở đây các
em đã được học tính toán với các con số không phải chỉ trong dãy tính (biểu thức) mà
còn ở các bài toán có văn. Cụ thể các em đã làm quen với các lời giải cho mỗi phép
tính. Đến lớp 4 và 5 thì các em đã được làm quen với các bài toán điển hình và các
cách giải các bài toán ấy, bằng cách biết tóm tắt nội dung của bài toán dưới nhiều
dạng khác nhau như: bằng lời, bằng sơ đồ đoạn thẳng,…
Để giúp học sinh phát triển được tư duy và khả năng sáng tạo qua các bài toán
có văn, trước khi lên lớp giáo viên phải biết thiết kế bài giảng để phát huy tính tích
cực, chủ động học tập của học sinh. Ngoài các cách giải thông thường, giáo viên cần
hướng dẫn thêm và yêu cầu học sinh tìm tòi thêm một số cách giải khác.
Khi giải các bài toán bậc tiểu học chúng ta hay gặp những bài toán đề cập đến
ba đại lượng. Trong đó giá trị của một đại lượng bằng tích của hai đại lượng kia,
chẳng hạn đó là các bài toán về:
Bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch
Tính vận tốc, quãng đường, thời gian. Ở đây quãng đường bằng tích của vận
tốc và thời gian.
Tính lưu lượng (sức chảy) của vòi nước, dung tích (thể tích) bể nước và thời
gian nước chảy. Ở đây thể tích nước chảy vào bể bằng tích của lưu lượng nước và thời
gian mở nước.
Tính năng suất, sản lượng, diện tích. Ở đây sản lượng bằng tích của năng suất
và diện tích.

Một số bài toán khác .v.v…
2. Cơ sở thực tiễn:
1


Đối với các bài toán vừa nêu trên, ở các cách giải thông thường ta nhận thấy nhiều
khi rất khó mô tả một cách trực quan qua các mối quan hệ giữa các đại lượng, để học
sinh dễ hiểu, dễ suy luận, bởi vì nói chung các cách biểu thị trực quan ấy đều dựa vào
quan điểm: coi phép nhân là phép cộng liên tiếp các số hạng bằng nhau. Do đó đối với
phép nhân mà cả hai thừa số đều biến đổi thì khó có thể biểu thị trực quan được.
Để khắc phục triệt để khó khăn này, tôi đưa ra cánh hướng dẫn cho học sinh
“Cách biểu diễn tích của hai đại lượng bằng diện tích của một hình chữ nhật có
hai cạnh lần lượt là giá trị biến thiên của hai đại lượng đó”. Vì đây là một hình
thức hỗ trợ suy luận mới.
Ta nhận thấy hầu hết các giáo viên chưa làm quen với phương pháp này. Nên
chưa mạnh dạn đưa ra áp dụng để dạy cho học sinh sử dụng, nhiều giáo viên còn bỡ
ngỡ và lúng túng. Nhưng khi đã quen ta sẽ thấy nó giúp ích khá nhiều trong việc cụ
thể hoá các mối quan hệ toán học giữa ba đại lượng và do đó làm cho việc suy luận
giải toán được dễ dàng hơn. Sau đây tôi xin phép được trình bày một số ví dụ qua các
bài toán mà tôi đã nêu trên.
II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
Để học sinh giải được các bài toán có liên quan đến: bài toán về đại lượng tỉ lệ
nghịch; Tính vận tốc, quãng đường, thời gian. Tính lưu lượng (sức chảy) của vòi
nước, dung tích (thể tích) bể nước và thời gian nước chảy. Tính năng suất, sản lượng,
diện tích và một số bài toán khác .v.v…thì trước hết người giáo viên phải hướng dẫn
cho học sinh xác định đúng các đại lượng của bài toán đã cho.
Ở hệ thống các bài tập sau đây tôi đưa ra từ ba ví dụ cơ bản rồi từ đó phát triển
thành hệ thống các bài tập cho học sinh tự luyện.
Hệ thống các bài tập được thể hiện như sau:
Dạng 1:

Toán chuyển động đều, với ba đại lượng:
Vận tốc, thời gian và quãng đường.

Bài toán 1: Một ô tô đi từ thành phố Vinh đến thành phố Huế, dự định đi với vận tốc
50km/h, nên đã đến thành phố Huế sớm hơn 2 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng
đường từ thành phố Vinh đến thành phố Huế.
Phân tích:
*Bước 1: Cho học sinh tìm hiểu đề bài:
- Bài toán cho biết gì?
- Bài toán hỏi gì?
2


* Bước 2: Yêu cầu học sinh xác định các đại lượng và vẽ sơ đồ
(HS xác định được ba đại lượng đó là: Vận tốc; Thời gian; Quãng đường)
* Bước 3: Giúp các em tư duy để tìm lời giải của bài toán. (GV đưa ra hệ thống câu
hỏi gợi mở khi học sinh lúng túng?)
*Bước 4: HS trình bày bài giải
Bài giải:
Biểu thị vận tốc ô tô bằng cạnh nằm ngang và thời gian xe chạy bằng cạnh thẳng
đứng của hình chữ nhật. Khi đó quãng đường xe chạy chính là diện tích hình chữ nhật
(vì S = v x t)
Ta có sơ đồ:
Biểu thị thời gian đi từ thành phố Vinh đến
thành phố Huế với vận tốc 40km/h là đoạn
ON, thì thời gian đi với vận tốc 50km/h là
đoạn OB. Đoạn OB ngắn hơn đoạn ON một

t

P

N
2giờ

S1

B

đoạn BN ứng với 2 giờ

ứng với 50 - 40 = 10(km/h)

S2

40km/h

Ngoài ra đoạn MA biểu thị hiệu hai vận tốc,

C

Q

O

M

A

50km/h

Vì cùng biểu thị quãng đường từ thành phố Vinh đến thành phố Huế nên diện
tích hình chữ nhật OACB và OMPN là bằng nhau, cùng bớt đi phần chung là OMQB
ta có:
S1 = S2 = BQ × BN = 40 × 2 = 80
Vậy MQ × MA = 80 km hay MQ × 10 = 80
Suy ra MQ = 80 : 10 = 8 (giờ)
Vậy quãng đường từ thành phố Vinh đến thành phố Huế dài là:
50 × 8 = 400 (km)
Đáp số: 400 km

3

v


Trong quá trình khai thác hệ thống bài tập để học sinh tìm ra lời giải tôi tiến hành
các bước phân tích như phần phân tích của ví dụ 1 vì thế tôi không trình bày phần
phân tích của từng bài tập tiếp theo nữa mà tập trung vào việc khai thác hệ thống
bài tập trên cơ sở bài tập trước là nền tảng kiến thức của bài tập sau.
Bài toán 2: Một chiếc xe máy đi từ thành phố Vinh ra Hà Nội, dự định đi với vận tốc
30km/h. Song thực tế ô tô đã đi với vận tốc 25km/h, nên đã đến thành phố Hà Nội
muộn hơn 2 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường từ thành phố Vinh đến Hà
Nội?
Bài giải:
Biểu thị vận tốc xe máy bằng cạnh nằm ngang và thời gian xe chạy bằng cạnh
thẳng đứng của hình chữ nhật. Khi đó quãng đường xe chạy chính là diện tích hình
chữ nhật (vì S = v × t)
Ta có sơ đồ:

t

Biểu thị thời gian đi từ thành phố Vinh đến
Hà Nội với vận tốc 30km/h là đoạn OB, thì thời
gian đi với vận tốc 25 km/h là đoạn ON.

N
2giờ

P
S1

B

Đoạn ON dài hơn đoạn OB một đoạn là BN

S2

25km/h

ứng với 2 giờ.
O

C

Q

M

A

Ngoài ra đoạn MA biểu thị hiệu hai vận tốc và ứng với 30 -25 = 5 (km/h)
30km/h
Vì cùng biểu thị quãng đường từ thành phố Vinh ra Hà Nội nên diện tích hình chữ
nhật OACB và OMPN là bằng nhau. Cùng bớt đi diện tích hình chữ nhật chung là
OMQB ta có:
SBQPN = SACQM =BQ × BN = 25 × 2 = 50
Vậy MQ × MA = 50 hay MQ × 5 = 50
Suy ra MQ = 50 : 5 = 10 (giờ)
Vậy quãng đường từ thành phố Vinh ra Hà Nội dài là:
30 × 10 = 300 (km)
Đáp số: 300 km

4

v


Bài toán 3: Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B. Nếu chạy mỗi giờ 60 km thì ô tô sẽ đến B
lúc 15 giờ. Nếu chạy mỗi giờ 40 km thì ô tô sẽ đi đến B lúc 17 giờ.
a) Hãy tính thời gian ô tô chạy hết quãng đường AB với vận tốc 60km/h?
b)Trung bình mỗi giờ ô tô phải chạy bao nhiêu km để đến B lúc 16 giờ?
Bài giải:
Biểu thị vận tốc ô tô bằng cạnh nằm ngang và thời gian xe chạy bằng cạnh thẳng
đứng của hình chữ nhật. Thì quãng đường xe chạy chính là diện tích hình chữ nhật (vì
S = v × t)
Thời gian xe chạy với vận tốc 60km/h ít hơn thời gian xe chạy với vận tốc 40 km/h là:
17 giờ - 15 giờ = 2 giờ
Ta có sơ đồ:

t

Biểu thị thời gian đi từ tỉnh A đến tỉnh B
với vận tốc 60 km/h là đoạn OB, thì thời gian

N
2giờ

đi với vận tốc 40 km/h là đoạn ON. Đoạn ON

B

P
S1

dài hơn đoạn OB một đoạn là BN ứng với 2 giờ.
Đoạn MA biểu thị hiệu hai vận tốc và ứng với
60 - 40 =20 (km/h)

O
a) Cũng lập luận như những bài toán trên ta có: S1 = S2, tức là

C

Q
S2

40km/h
M

A

60km/h

SBQPN = SACQM = BQ × BN = 40 × 2 = 80
Suy ra MQ = 80 : 2 = 4 (giờ)
Vậy thời gian ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60 km/h là 4 giờ.
b)

Chiều dài quãng đường AB là: 60 × 4 = 240 (km)
Hiệu số của thời gian mà ô tô đi đến B lúc 16 giờ và 15 giờ là: 16 - 15 = 1 (giờ)
Thời gian để đến B lúc 16 giờ là: 4 + 1 = 5 (giờ)
Vận tốc trung bình ô tô đã đi là: 240 : 5 = 48 (km/h)
Đáp số: a) 4 giờ
b) 48 km/h

5

v


Bài toán 4: Một đoàn tàu đi qua một chiếc cầu dài 450 m mất 45 giây và đi qua một
cột điện hết 15 giây. Tính chiều dài và vận tốc của đoàn tàu?
Bài giải:
Biểu thị vận tốc đoàn tàu bằng cạnh nằm ngang và thời gian tàu chạy bằng cạnh
thẳng đứng của hình chữ nhật. Thì quãng đường tàu chạy chính là diện tích hình chữ
nhật (vì S = v x t)
t
Đoạn OC là thời gian tàu đi được

M

N

quãng đường 450m

15giây

Thời gian tàu đi qua cột điện chính

?m

45giây C

bằng thời gian tàu đi được quãng

B
450m

đường bằng chiều dài của đoàn tàu.
Thời gian để tàu đi được quãng đường dài 450m là:

O

A

v

45 - 15 = 30 (giây)
Vận tốc của tàu là: 450 : 30 = 15 (m/giây)
Chiều dài của đoàn tàu là: 15 × 15 = 225 (m)

Đáp số: 15 m/giây; 225 m
Bài tập tự luyện
Bài 1: Anh Ba đi xe đạp từ nhà lên huyện với vận tốc 12km/giờ. Biết rằng nếu anh đi
với vận tốc 15km/giờ thì đến huyện sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường từ nhà anh Ba
đến trung tâm huyện.
Bài 2: Nhân dịp sinh nhật Bác, học sinh giỏi Thị xã Thái Hoà đi thăm quan quê Bác,
xe du lịch dự kiến đi từ thị xã với vận tốc 45km/giờ để đến quê Bác lúc 8giờ sáng. Để
đám bảo an toàn nên mỗi giờ xe chỉ đi 35km và đến quê Bác chậm mất 40 phút so với
dự kiến. Tính quãng đường từ thị xã A đến quê Bác.
Bài 3: Một người đi xe máy từ thành phố A đến thành phố B. Nếu chạy với vận tốc
25km/giờ thì sẽ đến nơi lúc 12 giờ trưa. Nếu chạy với vận tốc 30km/giờ thì sẽ đến
sớm hơn 1giờ. Hỏi:
a) Hai thành phố A và B cách nhau bao nhiêu ki-lô-mét?
b) Xe máy phải chạy với vận tốc bao nhiêu để đến thành phố B lúc 10giờ trưa?

6


Bài 4: Một xe du lịch dự tính đi từ nơi nghỉ đến điểm tham quan du lịch Phong Nha
kẻ Bàng lúc 16giờ12phút, nếu đi với vận tốc 50km/giờ. Vì đường tốt nên xe đã chạy
với vận tốc 60km/giờ nên đã đến nơi sớm hơn dự định 42phút. Tính quãng đường từ
nơi nghỉ của đoàn đến điểm tham quan du lịch Phong Nha Kẻ Bàng?
Bài 5: Hai xe ô tô cùng xuất phát từ A để đến B. Xe thứ nhất đi với vận tốc 40km/giờ.
Xe thứ hai đi với vận tốc 30km/giờ. Khi xe thứ nhất về tới B thì xe thứ hai còn phải đi
thêm 1giờ nữa mới tới B. Tính quãng đường AB?

Dạng 2:

Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Bài toán 1: Một người làm một số dụng cụ sản xuất của nhà máy. Nếu mỗi giờ người đó
làm được 6 dụng cụ thì đến 11 giờ sẽ xong số dụng cụ đó. Nhưng thực tế người đó chỉ
đạt được mức 4 dụng cụ/1 giờ. Nên đến 13 giờ mới hoàn thành số dụng cụ quy định.
a)Hãy tính thời gian thực tế mà người đó đã làm?
b)Tính số dụng cụ nhà máy giao cho người đó phải làm?
c)Tính trung bình mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu dụng cụ để hoàn thành số
dụng cụ đó để đúng 12 giờ nhà máy giao cho khách hàng?

Phân tích:

Học sinh xác định ba đại lượng đó là:

* Số dụng cụ làm được trong 1 giờ
* Số giờ làm hết dụng cụ quy định
* Số dụng cụ nhà máy đã giao.
Số dụng cụ = Số dụng cụ làm được trong 1 giờ × Số giờ làm việc
Từ đó học sinh biểu thị các đại lượng đó trên sơ đồ.

Biểu thị số dụng cụ trung bình 1 giờ của người công nhân đó bằng cạnh nằm
ngang, và thời gian người đó làm là cạnh thẳng đứng của hình chữ nhật. Thì tổng số
dụng cụ của người đó làm được chính là diện tích hình chữ nhật. (Vì tổng số dụng cụ
= Số giờ x Trung bình số dụng cụ làm được của 1 giờ)
Thời gian thực tế nhiều hơn thời gian dự định là:

13-11 = 2 giờ

7


Ta có sơ đồ:

t

Biểu thị thời gian dự định bằng đoạn OB thì thời
gian thực tế là đoạn ON, ON hơn đoạn OB là đoạn
BN ứng với 2 giờ.

P

N
2giờ
B

S1

C

Q

4 dụng cụ/h S2

Đoạn MA biểu thị số dụng cụ làm trong 1 giờ
dự định và thực tế đã làm ứng với 6 - 4 = 2 (dụng cụ)

O

M
6 dụng cụ/h

A

Vì cùng biểu thị số dụng cụ làm được của người đó nên diện tích hai hình chữ nhật:
SOMPN = SOACB cùng trừ đi diện tích phần chung là SOMQB
Ta có:

SBQPN = SAMQC = BQ × BN = 4 × 2 = 8

MQ × MA = MQ × 2 = 8

Vậy MQ = 8 : 2 = 4 (giờ).
a) Thời gian thực tế người đó đã làm là 4 + 2 = 6 (giờ)
b) Số dụng cụ nhà máy đã giao cho người đó phải hoàn thành là:
4 × 6 = 24 (dụng cụ)
c) Thời gian đến 12 giờ nhiều hơn thời gian đến 11 giờ để làm xong số dụng cụ đó
là: 12 -11 = 1 (giờ)
Để đến 12 giờ làm xong số dụng cụ đó thì người đó phải làm số thời gian là:
4 + 1 = 5 (giờ)
Vậy trung bình mỗi giờ người công nhân phải làm được:
24 : 5 = 4,8(dụng cụ)
Đáp số: a) 6 giờ
b) 24 dụng cụ
c) 4,8 dụng cụ

Bài toán 2: Sáu người đào trong 3 giờ thì xong một đoạn mương. Hỏi nếu có 9 người
cùng đào đoạn mương đó thì hết bao nhiêu ngày? (năng suất của mỗi người là như
nhau)

8


Phân tích

Học sinh xác định ba đại lượng:
* Số người làm việc
* Số ngày làm việc của nhóm
* Số ngày công làm việc cần thiết
Số ngày công = Số người x Số ngày.
Từ đó học sinh biểu thị các đại lượng đó trên biểu đồ.
Bài giải:
Vì tích của số ngày làm việc và số người làm việc của nhóm thì bằng tổng số ngày
công lao động để làm xong đoạn mương đó. (Một người làm việc trọn một ngày được
gọi là một ngày công)
Nên ta biểu thị số người bằng cạnh nằm ngang, và số ngày làm việc tương ứng
bằng cạnh thẳng đứng của hình chữ nhật. Thì số ngày công cần thiết để làm xong
đoạn mương đó chính là diện tích hình chữ nhật.
Ta có sơ đồ:

Ngày

3 ngày

C

B

Q

P

N

6 người

O
Biểu thị số ngày làm việc của 6 người là đoạn OC, thì sốAngày làmM
việc của
9 người
Người
9
người
là đoạn OQ.
Vì cùng biểu thị số ngày công làm việc cần thiết để xong đoạn mương đó nên diện
tích hai hình chữ nhật: SOABC = SOMNQ
Ta có: OA × OC = 6 × 3 = 18.
Vậy : OQ × OM = OQ × 9 = 18

9


Thời gan cần thiết để 9 người đào xong đoạn mương đó là:
OQ = 18 : 9 = 2 (ngày)
Đáp số: 2 ngày

Bài toán 3: Một số giấy đủ in 6000 quyển sách, với mỗi quyển có 200 trang. Hỏi nếu
số giấy đó dùng đủ in sách , mỗi quyển có 150 trang thì sẽ in được bao nhiêu quyển?

Phân tích:
Học sinh xác định ba đại lượng là:
*Số trang sách của một quyển
*Số quyển sách
*Số giấy để in sách
Số giấy để in = Số trang sách x Số quyển sách.
Từ đó học sinh biết cách biểu thị các đại lượng trên biểu đồ.

Bài giải:
Biểu thị số trang sách của một quyển sách bằng cạnh nằm ngang và số quyển sách
là cạnh thẳng đứng của hình chữ nhật. Thì số giấy dùng để in sách chính là diện tích
hình chữ nhật.
Ta có sơ đồ:

Quyển

P
C

E
S1

B

M

600 quyển

S2
150 trang
O

200 trang

K

A

trang

10


Biểu thị số trang của một quyển dày 150 trang là đoạn OK. Thì số trang của một
quyển dày 200 trang là đoạn OA, đoạn OA dài hơn OK một đoạn KA tương ứng là :
200 - 150 = 50 (trang)
Đoạn OC biểu thị số quyển sách mối quyển dày 200 trang thì đoạn OP biểu thị số
quyển sách mỗi quyển dày 150 trang và hơn số quyển biểu thị là đoạn CP
Vì biểu thị cùng một số lượng giấy để in sách nên diện tích hai hình chữ nhật:
SOABC = SOKEP cùng bớt đi diện tích chung là hình chữ nhật OKMC ta có:
SKABM =SCMEP = KA × KM = 50 × 6000 = 300000
Vậy CM × CP = 300000 hay CP × 150 = 300000
CP = 300000 : 150 = 2000(quyển)
Vậy số quyển sách mà mỗi quyển dày 150 trang là:
6000 + 2000 = 8000 (quyển)
Đáp số: 8000 quyển

Bài tập tự luyện:
Bài 1: Ba người thợ mộc cùng làm chung một bộ bàn ghế thì sau 6 ngày sẽ xong.
Hỏi nếu 9 người cùng làm một bộ bàn ghế như thế thì hết bao nhiêu ngày? (năng suất
của mỗi người là như nhau)
Bài 2: Bốn người đào 3 ngày thì được 22,8m mương. Hỏi cũng số mét mương đó
nếu muốn đào xong trong 2 ngày thì cần bao nhiêu người? (năng suất của mỗi người
làm là như nhau)
Bài 3: Năm người thợ xây trong 9 ngày thì xây được 450m 2 tường. Hỏi nếu cũng số
mét vuông tường đó cần xây trong 3 ngày thì cần điều thêm bao nhiêu người nữa?
Biết rằng mỗi người họ làm số giờ như nhau và năng suất làm việc mọi người như

nhau.
Bài 4: Chị Lan là thợ may nhận may một số mũ ca lô cho học sinh của trường. Nếu
mỗi giờ chị may được 8 chiếc thì đến 15 giờ sẽ xong nhưng thực tế chị chỉ may được
mỗi giờ 5 chiếc nên mãi đến 18 giờ chị mới hoàn thành số mũ ca lô đó.
a) Hãy tính thời gian thực tế mà chị Lan đã may?
b) Tính số mũ ca lô học sinh của trường mà chị đã nhận may?
11


c) Tính trung bình mỗi giờ chị Lan phải may bao nhiêu chiếc mũ ca lô để hoàn
thành số mũ đó để đúng 4 giờ nhà trường nhận phát cho học sinh?

Dạng 3: Vòi nước chảy vào bể, với ba đại lượng: Lưu lượng,
thời gian và thể tích bể

Bài toán 1: Người ta cùng một lúc mở hai vòi nước chảy vào hai cái bể rỗng có thể
tích bằng nhau. Vòi thứ nhất chảy một giờ được 600 lít, vòi thứ hai chảy mỗi giờ
được 800 lít nên đã chảy đầy bể trước vòi thứ nhất 2 giờ. Hãy tính:
a)Thời gian chảy đầy bể của mỗi vòi?
b)Thể tích mỗi bể là bao nhiêu m3?

Phân tích: Học sinh xác định ba đại lượng:
*Lưu lượng (số lít nước chảy/ 1giờ)
*Thời gian chảy đầy bể
*Thể tích bể
Thể tích bể = lưu lượng × thời gian.
Từ đó các em biết cách biểu thị các đại lượng ấy trên sơ đồ.
Bài giải:
Biểu thị số lít nước chảy trong 1 giờ là cạnh nằm ngang và thời gian nước chảy
bằng cạnh thẳng đứng của hình chữ nhật. Khi

đó thể tích của bể nước là diện tích của
Giờ
hình chữ nhật.
Ta có sơ đồ:
2giờ

C
P

B

S1

N
Q
S2

600lít/giờ
O

800lít/giờ

A

M

lít

12

Biểu thị đoạn OP là thời gian của vòi thứ hai, OC là thời gian của vòi thứ nhất.
Đoạn OC dài hơn đoạn OP một đoạn là PC tương ứng 2 giờ.
Biểu thị vòi thứ nhất chảy được 600lít/giờ là đoạn OA thì đoạn OM biểu thị cho
vòi thứ hai chảy được 800lít/giờ và hơn vòi thứ nhất là đoạn AM tương ứng với
800 - 600 = 200 (lít)
Vì cùng biểu thị thể tích bể nước bằng nhau nên diện tích hai hình chữ nhật OABC
và OMNP bằng nhau, cùng bớt đi phần diện tích chung là SOAQP, ta có:
SPQBC = SAMNQ = PQ x PC = 600 x 2 = 1200
Vậy AM x AQ = 1200 hay 200 x AQ = 1200
Suy ra: AQ = 1200 : 200 = 6 (giờ)
Vậy thời gian cần thiết để vòi thứ hai chảy đầy bể là 6 giờ.
Thời gian cần thiết để vòi thứ hai chảy đầy bể là: 6 + 2 = 8 (giờ)
Thể tích của mỗi bể nước là:
600 × 8 = 4800 (lit) = 4800 (dm3) = 4,8 (m3)
Đáp số: a) 6 giờ; 8 giờ
b) 4,8 m3

Bài toán 2: Một vòi nước chảy vào bể rỗng, nếu chảy mỗi giờ 6m 3 thì đến 10 giờ sẽ
đầy bể. Nếu chảy mỗi giờ 4m3 thì đến 12 giờ sẽ đầy bể.
a) Tính thể tích của bể nước.
b) Để đến 11 giờ đầy bể, thì vòi phải chảy bao nhiêu m3 mỗi giờ?

Phân tích: Học sinh xác định ba đại lượng:
* Lưu lượng (số m3 nước chảy trong 1 giờ)
* Thời gian chảy của vòi nước
* Thể tích bể nước.
Thể tích = lưu lượng x thời gian

13

Từ đó các em biết cách biểu thị các đại lượng ấy trên sơ đồ.

Bài giải:
Biểu thị số lượng nước chảy trong 1 giờ là cạnh nằm ngang và thời gian nước
chảy bằng cạnh thẳng đứng của hình chữ nhật. Khi đó thể tích của bể nước là diện
tích của hình chữ nhật.
Thời gian để vòi nước chảy 4m3/giờ nhiều hơn chảy 6m3/giờ là 12 - 10 = 2 (giờ).
Ta có sơ đồ:
Biểu thị đoạn OP là thời gian cần thiết để
chảy đầy bể nếu vòi nước chảy 4m3/giờ,
đoạn OC là thời gian cần thiết để chảy
đầy bể nếu vòi nước chảy 6m3/giờ
Đoạn OC dài hơn đoạn OP một đoạn
là PC tương ứng 2 giờ.
Đoạn AM biểu thị lượng nước chênh lệch của
Giờ
3
vòi chảy trong 1 giờ là: 6 - 4 = 2 (m /giờ).
Vì cùng biểu thị thể tích của bể nước nên diện tích hai hình chữ nhật: OABC và
B
OMNP bằng nhau, cùng bớt đi phần diện tíchCchung là SOAQP, nên ta có:
S1
2giờ
N
SPQBC = SAMNQ = PQ x PC = 4 x 2 = 8 P
Q
3
3

Tức là AM x AQ = 8 (m ) hay 2 x AQ = 8 (m )
S2
3
Vậy thời gian cần thiết để vòi nước chảy đầy4m
bể /giờ
với lưu lượng 6m3/giờ là:
AQ = 8 : 2 = 4 (giờ)
O
a)Thể tích của bể nước bằng: 6 x 4 = 24 m

3

6m3/giờ

A

M

m3/giờ

b)Thời gian vòi chảy đến 11 giờ đầy bể là: 4 + (11-10) = 5 (giờ)
Lưu lượng tương ứng với thời gian chảy 5 giờ là: 24 : 5 = 4,8 (m3)
Đáp số: a) 24m3
b) 4,8m3

14


Bài toán 3: Một hồ nước đầy có đặt ba vòi nước, nếu chảy một mình thì:
Vòi thứ nhất có thể làm hồ cạn vào lúc 14 giờ.

Vòi thứ hai có thể làm hồ cạn vào lúc 18 giờ.
Vòi thứ ba có thể làm hồ cạn vào lúc 15 giờ.
Biết rằng vòi thứ nhất chảy được 6m3/giờ, vòi thứ hai chảy được 4m3/giờ.
a)Tính thời gian chảy của mỗi vòi?
b)Tính thể tích của hồ nước?
c)Vòi thứ ba chảy được bao nhiêu m3 trong 1 giờ?
Phân tích:

Học sinh xác định ba đại lượng:
*Lưu lượng (số m3 nước chảy trong 1 giờ)
*Thời gian chảy của vòi nước
*Thể tích hồ nước.
Thể tích = lưu lượng x thời gian

Từ đó các em biết cách biểu thị các đại lượng ấy trên sơ đồ.
Bài giải:
Biểu thị số lượng nước chảy trong 1 giờ của vòi 1 và vòi 2 là cạnh nằm ngang và
thời gian chảy của hai bằng cạnh thẳng đứng của hình chữ nhật. Khi đó thể tích của
hồ nước là diện tích của hình chữ nhật.
Thời gian vòi thứ hai chảy nhiều hơn vòi thứ nhất là: 18 -14 = 4 (giờ)
Ta có sơ đồ:

Giờ

Biểu thị đoạn OP là thời gian vòi 1 chảy làm
cạn hồ, thì thời gian của vòi 2 là đoạn OC.

C
Đoạn OC hơn đoạn OP một đoạn là PC tương
4giờ

P
ứng 4 giờ . Đoạn AM biểu thị hiệu số m3 hai vòi
chảy trong 1 giờ là: 6 - 4 = 2 (m3/giờ)

B

S1

N
Q
S2

4m3/giờ
O

3

6m /giờ

A

M

Số m3

15


Vì cùng biểu thị thể tích của hồ nước nên diện tích hai hình chữ nhật OABC và
OMNP bằng nhau, có cùng phần diện tích chung là SOAQP nên ta có:

SPQBC = SAMNQ = PQ × PC = 4 × 4 = 16
Tức là AQ × AM = AQ × 2 = 16 (m3)
a) Vậy vòi thứ nhất làm cạn hồ trong thời gian là: AQ = 16 : 2 = 8 (giờ)
Vòi thứ hai làm cạn hồ trong thời gian là: 8 + 4 = 12 (giờ)
Vòi thứ ba làm cạn hồ trong thời gian là: 8 + (15-14) = 9 (giờ)
b)Thể tích của hồ nước bằng: 8 × 6 = 48 (m3)
c)Lượng nước mà vòi thứ ba chảy trong 1 giờ là: 48 : 9 = 5 (m3)
Đáp số: a) 8giờ; 12giờ và 9giờ
b)48m3
c) 5 m3
Bài tập rự luyện:
Bài 1: Hai hồ nước có chứa dung tích bằng nhau. Cùng một lúc người ta mở hai vòi
nước, mỗi vòi chảy vào một hồ. Vòi thứ nhất chảy mỗi phút được 40lít, vòi thứ hai
chảy mỗi phút được 30 lít. Khi vòi thứ nhất chảy đầy hồ thì vòi thứ hai còn phải chảy
thêm 20phút nữa mới đầy hồ. Tính xem thể tích mỗi hồ là bao nhiêu m3 nước (biết
1dm3 = 1lít).

Dạng 4: Các bài toán với ba đại lượng: Diện tích, năng suất và sản lượng

Bài toán 1: Có hai thửa ruộng, thửa ruộng thứ nhất có diện tích hơn thửa ruộng thứ
hai là 20dam2. Biết mỗi dam2 của thửa ruộng thứ nhất thu hoạch được 65 kg thóc,
thửa ruộng thứ hai thu hoạch được 78kg thóc. Số thóc mà cả hai thửa thu được là
ngang nhau.
a)Tính diện tích mỗi thửa?
b)Mỗi thửa ruộng thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc?

Phân tích:

Học sinh xác định được ba đại lượng:
16

*Số kg thóc thu hoạch trên diện tích 1dam2
*Diện tích thửa ruộng.
*Sản lượng (số thóc thu hoạch được của thửa ruộng)
Sản lượng = số kg/dam2 × diện tích (dam2).
Từ đó học sinh biết cách biểu thị các đại lượng trên sơ đồ
Bài giải:
Biểu thị số kg thóc thu hoạch trên 1dam 2 là cạnh nằm ngang và diện tích các thửa
ruộng bằng cạnh thẳng đứng của hình chữ nhật. Khi đó diện tích của hình chữ nhật
chính là sản lượng thóc thu hoạch được của mỗi thửa ruộng.
Ta có sơ đồ:
Biểu thị đoạn OC là diện tích
thửa ruộng có năng suất 78kg/dam2.
Đoạn OP là diện tích thửa ruộng
có năng suất 65kg/dam2.
Đoạn OP hơn đoạn OC là CP
tương ứng 20dam2.
Đoạn MA biểu thị mức chênh lệch
(hiệu số) năng suất của hai thửa trên mỗi
Diện
tích
Vì sản lượng thóc của hai thửa ngang nhau nên diện tích hai hình chữ nhật: OABC
và OMNP bằng nhau, cùng có phần diệnPtích chung là SOMQCN
nên ta có:
2
S1
SCQNP = SMQBA = CQ × CP = 65 ×20dam
20 = 1300
Q

B
C
Tức là MA × MQ = MQ × 13 = 1300(kg)
S2
Suy ra: MQ = 1300 : 13 = 100 (dam2)
2
65kg/dam
a) * Diện tích thửa ruộng thư hai là:
100(dam2)
Số kg/dam2
2
A
M )
* Diện tích thửa ruộng thư nhất là:O100 + 20 = 120(dam
2
78kg/dam
b)Sản lượng thóc mỗi thửa ruộng thu hoạch được là:
dam2 và bằng 78 - 65 = 13 (kg)

17


65 × 120 = 78 × 100 = 7800(kg) = 78(tạ)
Đáp số: a) 100dam2 và 120dam2
b) 78tạ.
Bài toán 2: Hai thửa ruộng có sản lượng ngang nhau, thửa ruộng thứ nhất có diện
tích nhiều hơn thửa ruộng thứ hai là 100dam2 thu hoạch được 480kg ngô. Thửa
ruộng thứ hai trên mỗi dam2 thu hoạch lại nhiều hơn thửa ruộng thứ nhất 12kg. Tính:
a) Sản lượng cả hai thửa ruộng thu hoạch được bao nhiêu tạ ngô?
b) Trung bình mỗi dam2 thửa ruộng thứ hai thu hoạch được bao nhiêu kg ngô?

Phân tích: Học sinh xác định được ba đại lượng:
*Số kg ngô thu hoạch trên diện tích 1dam2
*Diện tích thửa ruộng.
*Sản lượng (số kg ngô thu hoạch được ở trên diện tích của thửa ruộng)
Sản lượng = số kg/dam2 x diện tích (dam2).
Từ đó học sinh biết cách biểu thị các đại lượng trên sơ đồ

Bài giải:
Biểu thị năng suất (số kg ngô thu hoạch trên 1dam 2) là cạnh nằm ngang và diện
tích các thửa ruộng bằng cạnh thẳng đứng của hình chữ nhật. Khi đó sản lượng ngô
thu hoạch được của mỗi thửa ruộng là diện tích của hình chữ nhật.
Ta có sơ đồ:
Biểu thị diện tích thửa ruộng thứ nhất

Diện
tích

P
là đoạn OP, thửa thứ hai là đoạn OC.
10dam2
Đoạn OC ít hơn đoạn OP một đoạn là

N
480kg

Q

C

CP tương ứng với 10dam2

B

12kg
O

M

A

Số kg/dam2

18


Biểu thị năng suất (trên mỗi dam 2 thu hoạch được) của thửa ruộng thứ nhất là
đoạn OM, thửa ruộng thứ hai là OA. Đoạn OA hơn đoạn OM là đoạn MA tương ứng
12kg. Vì sản lượng ngô của hai thửa ruộng ngang nhau nên diện tích hai hình chữ
nhật: OABC và OMNP bằng nhau, cùng có phần diện tích chung là SOMQC, nên ta có:
SCQNP = SMQBA = CQ × CP = CQ × 10 = 480
CQ = 480 : 10 = 48 (kg)
Vậy năng suất ngô của thửa ruộng thứ nhất là: 48kg/dam2
Suy ra: MA × MQ = 12 × MQ = 480

MQ = 480 : 12 = 40 (dam2).

Tức là thửa ruộng thứ hai có diện tích là 40dam2
a)Sản lượng ngô thu được của cả hai thửa ruộng là:
48 × (40 + 10) × 2 (thửa) = 4800 (kg) = 48 (tạ)

b)Trung bình mỗi dam2 thửa ruộng thu hoạch được:
48 + 12 = 60 (kg)
Đáp số: a) 48tạ
b) 60kg.

Bài toán 3: Bác Minh có ba thửa ruộng trồng cà chua, thu hoạch sản lượng ngang
nhau. Diện tích thửa thứ nhất nhiều hơn diện tích thửa thứ hai là 20m 2. Năng suất
thửa thứ nhất là 8kg/m2. Thửa thứ hai là 12kg/m2. Thửa thứ ba có diện tích hơn thửa
thứ nhất là 10m2. Tính trung bình 1m2 thửa thứ ba thu được bao nhiêu kg cà chua?
Phận tích: Ta xác định ba đại lượng:
* Sản lượng cà chua thu hoạch của ba thửa ngang nhau.
* Diện tích các thửa ruộng.
* Số kg thu hoạch trên 1m2 (năng suất)
Sản lượng = năng suất × diện tích
Từ đó học sinh biểu thị các đại lượng đó bằng sơ đồ hình chữ nhật như sau:

Bài giải:

19


Biểu thị diện tích các thửa ruộng là cạnh thẳng đứng. Còn năng suất (số kg/m 2) là
cạnh nằm ngang của hình chữ nhật.
Ta có sơ đồ sau:

Đoạn OC biểu thị diện tích thửa ruộng thứ hai, OP là diện tích thửa ruộng thứ nhất.
Diện
Đoạn OP dài hơn đoạn OC là đoạn CP
tương ứng với 20m2.
tích

Đoạn MA biểu thị hiệu số kg thu hoach trên 1m2 tương ứng là 12 - 8 = 4 (kg)
N
P
Cũng lí luận như những bài trên ta có: 2
20m
S1
Q
B
SCQNP = SMQBA = CQ × CP = 8 × 20 = 160
C
MA × MQ = 4 × MQ = 160 hay MQ = 160 : 4 = 40 (m2).
S2
2
2
Vậy diện tích thửa ruộng thứ hai là 40m8kg/m
.
Số kg/m2
Sản lượng cà chua của mỗi thửa là: 12 × 40 = 480 (kg)
O
M
A
2
Diện tích thửa ruộng thứ ba của bác Minh là:
40 + (20-10)
= 50 (m2).
12kg/m
Năng suất cà chua của thửa ruộng thứ ba là: 480 : 50 = 9,6 (kg)
Đáp số: 9,6 kg.

Các bài toán khác:

Bài 1: Một nhà máy dùng một số giấy để đóng một số quyển sách. Nếu đóng mỗi
quyển dày 150 trang sẽ nhiều hơn nếu đóng mỗi quyển dày 200 trang là 2000 quyển.
hỏi nhà máy đóng được bao nhiêu quyển sách dày 150 trang?

20


Phân tích: Học sinh xác định 3 đại lượng đó là:
* Số giấy để đóng sách
* Số trang sách của một quyển.
* Số quyển sách.
Số giấy = số trang × số quyển.
Từ đó học sinh biết cách biểu thị các đại lượng đó trên sơ đồ.
Ta có sơ đồ:

Đoạn OC biểu thị số quyển sách 200trang, OP biểu thị số quyển sách 150trang. Đoạn
OP hơn đoạn OC một đoạn là CPSốứng
với 2000quyển. Đoạn MA biểu thị hiệu số
quyển
trang của hai quyển sách hai loại ứng với 200 - 150 = 50 (trang)
Diện tích hai hình chữ nhật OABC và OMNP
bằng nhau vì cùng
N biểu thị một số giấy.
P
2000quyển
Tương tự như những bài
toán trên ta có:

Q

SCQNP = SMABQ = CQ × CP =C150 x 2000 = 300000

B

MA × MQ = 50 × MQ = 300000 hay MQ = 300000 : 50 = 6000 (quyển)
150trang
Vậy số quyển sách 150 trang
nhà máy đóng được là:
6000 + 2000O= 8000 (quyển) M
200trang
Đáp số: 8000 quyển

A

Số trang/1quyển

Bài 2: Một người dự định mua một số cây bút với giá 2500đồng/1cái. Nhưng cửa
hàng chỉ còn lại loại bút giá 3000đồng/1cái. Vì vậy số bút người đó thực tế mua đã bị
hụt đi so với dự định là 2 cái. Tính số tiền người đó đã mang theo?

21


Phân tích: Học sinh xác định 3 đại lượng đó là:
*Giá tiền của một cái bút
*Số lượng bút
*Số tiền người đó mang theo.
Số tiền mang theo = giá tiền x số lượng bút.
Từ đó học sinh biết cách biểu thị các đại lượng đó trên sơ đồ

Bài giải:
Ta có sơ đồ:

Đoạn OC biểu thị số bút muaSốvới
bútgiá 3000đồng, OP biểu thị số bút mua với giá
2500đồng. Đoạn OP hơn đoạn OC là đoạn CP ứng với 2 cái. Còn đoạn MA biểu thị
giá tiền chênh lệch giữa hai loại bút tương
P ứng là 3000 - 2500N= 500 (đồng)
Lí luận như trên ta có:

2cái

× 2 = 5000
SCQNP = SMABQ = CQ × CP = 2500 C

Q

B

MA × MQ = 500 × MQ = 5000 hay MQ = 5000 : 500 = 10 (cái)
Người đó mua được 10 cái bút giá 30002500đồng
đồng.
Vậy số tiền người đó mang theo là:O3000 x 10 = 30000
M (đồng) A
Đáp3000đồng
số : 30000đồng

Giá bút

22

Bài 3: Số tiền trả công cho 1 người làm việc trong 1 ngày gọi là một ngày lương.
Một ông chủ tính rằng nếu thuê thêm hai người thợ và kéo dài thời gian làm việc
của tập thể thêm 2 ngày thì phải trả thêm 52 ngày lương. Hỏi nếu ông chủ đó thuê
thêm 3 người thợ và kéo dài thời gian làm việc của tốp thợ thêm 3 ngày thì phải trả
thêm bao nhiêu ngày lương?
Phân tích: Học sinh xác định được 3 đại lượng, đó là:
*Số thợ làm việc
*Số ngày làm việc của tốp thợ
*Số ngày lương
Số ngày lương = số thợ x số ngày làm việc của tốp thợ.
Từ đó học sinh biểu thị được các đại lượng đó trên sơ đồ.

Bài giải:
Biểu thị số thợ là cạnh nằm ngang, số ngày làm việc của tốp thợ là cạnh thẳng
đứng, thì số ngày lương chính là diện tích của hình chữ nhật.
Ta có sơ đồ sau:

Số ngày làm việc của tốp thợ
P
C

N
S1

S2
B

S4

H
K

S3
O

A M

Số thợ

Gọi OABC là hình chữ nhật biểu thị số ngày lương lúc đầu. sau khi tăng số thợ và số
ngày làm việc thêm 2 người và 2 ngày ta có hình chữ nhật OMNP (là hình biểu thị số
ngày lương mới) có chiều dài và chiều rộng lớn hơn hình cũ 2 đơn vị dài, ta thấy :
S1 + S2 + S3 = 52
Dời mảnh S3 đến vị trí S4 ta có hình chữ nhật CPHK bằng S1 + S2 + S4 = 52.

23


Hình chữ nhật CPHK có chiều rộng là 2 nên chiều dài PH của nó là: 52 : 2 = 56
Chiều dài PH này bằng tổng của chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu
(OABC) cộng thêm 2. do vậy tổng của chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật OABC
là 26 - 2 = 24
Như vậy nếu tổng của cả chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật thêm 3 đơn vị dài thì
diện tích tăng thêm sẽ là diện tích của một hình chữ nhật có chiều rộng là 3 và chiều
dài bằng tổng của chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu rồi cộng thêm 3, tức
là bằng: 24 + 3 = 27.
Vậy diện tích tăng thêm sẽ là: 27 × 3 = 81
Đây chính là số ngày lương ông chủ phải trả thêm.

Đáp số: 81 ngày lương.
Thực chất trong cách giải bài toán này tôi đã chuyển bài toán ban đầu thành bài
toán về diện tích hình chữ nhật: “Nếu tăng cả chiều dài lẫn chiều rộng của một hình
chữ nhật thêm 2 đơn vị dài thì diện tích của nó tăng thêm 52 đơn vị diện tích. Nếu
tăng cả chiều dài lẫn chiều rộng của một hình chữ nhật thêm 3 đơn vị dài thì diện tích
của nó tăng thêm bao nhiêu?”
Như vậy ta đã thay việc tăng thợ và tăng số ngày làm việc bằng việc tăng hai kích
thước của hình chữ nhật, khi đó việc tăng thêm số ngày lương thay bằng việc tăng thêm
diện tích tương ứng. do đó mà chúng ta đã giải bài toán dễ dàng bằng phương pháp hình
học trực quan. Với bài toán này nếu chúng ta không sử dụng phương pháp như trên mà
chỉ giải nó theo cách thông thường thì tôi e rằng sẽ rất khó (ngoại trừ việc giải nó một
cách rất ngắn gọn theo cách giải của lớp trên, thuộc bậc THCS hoặc THPT).
KẾT LUẬN CHUNG:
Qua thực tế cho thấy khi áp dụng kinh nghiệm này vào việc bồi dưỡng cho học sinh
lớp 5, ngay từ những bài tập đầu tiên đã thực sự thu hút sự chú ý học tập của các em,
các em dễ dàng nhận được dạng của bài toán và giải một cách khá linh hoạt các bài
tập tiếp theo. Khi chưa áp dụng kinh nghiệm này chỉ có khoảng dưới 10% số học sinh
hiểu bài. Sau khi áp dụng vào thực tế giảng dạy thì hầu hết các em hiểu và biết giải
quyết vấn đề thật sự sâu sắc và khoa học.
Với kinh nghiệm nhỏ này, tôi xin phép trình bày. Mặc dù rất tâm huyết và hết sức
cố gắng song không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong được sự góp ý
chân thành của đồng nghiệp xa gần, và đặc biệt là của hội đồng khoa học các cấp để
đề tài này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
24