Bài giảng môn xác suất thông kê dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng

YăBANăNHỂNăDỂNăT NHăQU NGăNGẩI

TR

NGă

IăH CăPH MăV Nă

TR Nă

NG

CăTH NH

BÀIăGI NG
XÁCăSU TăTH NGăKểăA

ttt
T ăToánăLỦăậ KhoaăC ăB n
Thángă12ăn mă2013

1


TR

YăBANăNHỂNăDỂNăT NHăQU NGăNGẩI

NGă

IăH CăPH MăV Nă

TR Nă

CăTH NH

BÀIăGI NG
XÁCăSU TăTH NGăKểăA

T Toán LỦ ậ Khoa C B n
Tháng 12 n m 2013
2

NG


L IăNịIă

U

LỦ thuy t xác su t th ng kê lƠ m t b ph n c a toán h c, nghiên c u các
hi n t

ng ng u nhiên vƠ ng d ng chúng vƠo th c t . Ta có th hi u hi n t

ng u nhiên lƠ hi n t

ng không th nói tr

ng

c nó x y ra hay không x y ra khi th c

hi n m t l n quan sát. Tuy nhiên, n u ti n hƠnh quan sát khá nhi u l n m t hi n
t

ng ng u nhiên trong các phép th nh nhau, ta có th rút ra đ

khoa h c v hi n t

c nh ng k t lu n

ng nƠy.

LỦ thuy t xác su t c ng lƠ c s đ nghiên c u Th ng kê là môn h c nghiên
c u các ph

ng pháp thu th p thông tin ch n m u, x lỦ thông tin, nh m rút ra các

k t lu n ho c quy t đ nh c n thi t. NgƠy nay, v i s h tr tích c c c a công ngh
truy n thông m i, lỦ thuy t xác su t th ng kê ngƠy cƠng đ

c ng d ng r ng rƣi vƠ

hi u qu trong m i l nh v c khoa h c t nhiên vƠ xƣ h i. Chính vì v y lỦ thuy t xác
su t th ng kê đ

c gi ng d y cho h u h t các nhóm ngƠnh

cao đ ng vƠ đ i h c.

Có nhi u sách giáo khoa vƠ tƠi li u chuyên kh o vi t v lỦ thuy t xác su t
th ng kê. Tuy nhiên, v i ph

ng th c đƠo t o theo tín ch có nh ng đ c thù riêng,

đòi h i sinh viên ph i t h c nhi u h n, vì v y c n ph i có tƠi li u h
t p c a t ng môn h c thích h p cho ph
gi ng xác su t th ng kê A” đ
BƠi gi ng nƠy đ
c

ng d n h c

ng th c đƠo t o nƠy. T p tƠi li u “Bài

c biên so n c ng nh m m c đích trên.

c biên so n cho h cao đ ng ngƠnh s ph m Toán theo đ

ng chi ti t h c ph n qui đ nh c a tr

ng đ i h c Ph m V n

ng. N i dung c a

bƠi gi ng bám sát các giáo trình c a d án đƠo t o giáo viên trung h c c s và theo
kinh nghi m gi ng d y nhi u n m c a b n thơn. Vì v y, bƠi gi ng nƠy c ng có th
dùng lƠm tƠi li u h c t p, tƠi li u tham kh o cho sinh viên c a các ngành cao đ ng
s ph m, cao đ ng kh i kinh t , k thu t và các ngành c a b c đ i h c.
BƠi gi ng g m 8 ch

ng t

ng ng v i 3 tín ch (45 ti t tín ch ):

Ch

ngă1. Bi n c vƠ xác su t.

Ch

ngă2. Bi n ng u nhiên vƠ hƠm phơn ph i.

Ch

ngă3. Các đ c tr ng c a bi n ng u nhiên.

Ch

ngă4. Lu t s l n vƠ đ nh lỦ gi i h n trung tâm.

Ch

ngă5.ăLỦ thuy t m u.
3


Ch

ngă6.

Ch

ngă7.ăKi m đ nh gi thi t.

Ch

ngă8. H i quy vƠ t

cl

BƠi gi ng đ

ng tham s .
ng quan.

c trình bƠy theo cách phù h p đ i v i ng

ph c v đ c l c cho công tác đƠo t o theo h c ch tín ch . Tr

i t h c, đ c bi t

c khi nghiên c u các

n i dung chi ti t, sinh viên nên xem ph n gi i thi u c a m i ch
m c đích Ủ ngh a, yêu c u chính c a ch
sinh viên có th t đ c vƠ hi u đ
rƠng.

c

ng, m i n i dung,

c c n k thông qua cách di n đ t và ch d n rõ

c bi t sinh viên nên chú Ủ đ n các nh n xét, bình lu n đ hi u sơu h n ho c

m r ng t ng quát h n các k t qu vƠ h
toán đ

ng đó. Trong m i ch

ng đ th y đ

c xơy d ng theo l

ng ng d ng vƠo th c t . H u h t các bƠi

c đ : đ t bƠi toán, ch ng minh s t n t i l i gi i b ng

lỦ thuy t vƠ cu i cùng nêu thu t toán gi i quy t bƠi toán nƠy. Các ví d lƠ đ minh
ho tr c ti p khái ni m, đ nh lỦ ho c các thu t toán, vì v y s giúp sinh viên d
dƠng h n khi ti p thu bƠi h c. Có kho ng t 10 đ n 20 bƠi t p cho m i ch
th ng bƠi t p nƠy bao trùm toƠn b n i dung v a đ
d ng tr c ti p các ki n th c v a đ

ng. H

c h c, có nh ng bƠi t p ch v n

c h c nh ng c ng có nh ng bƠi t p đòi h i sinh

viên ph i v n d ng m t cách t ng h p vƠ sáng t o các ki n th c đ gi i quy t. Vì
v y, qua vi c gi i các bƠi t p nƠy giúp sinh viên n m ch c h n lỦ thuy t vƠ ki m tra
đ

c m c đ ti p thu lỦ thuy t c a mình. Cu i m i ch

ng đ u có ph n h

ng d n

t h c.
M c dù chúng tôi đƣ r t c g ng, song do th i gian b h n h p cùng v i yêu
c u c p bách c a khoa vƠ tr

ng, vì v y các thi u sót còn t n t i trong bƠi gi ng là

đi u khó tránh kh i. Chúng tôi r t mong đ

c s đóng góp Ủ ki n c a b n bè đ ng

nghi p, sinh viên đ ti p t c hoƠn ch nh bƠi gi ng t t h n (M i đóng góp Ủ ki n xin
g i v đ a ch mail: , chúng tôi r t c m kích vƠ bi t n).
Cu i cùng chúng tôi bƠy t s cám n đ i v i các th y cô giáo t Toán Lý,
Ban ch nhi m khoa C B n tr

ng đ i h c Ph m V n

ng vƠ b n bè đ ng

nghi p đƣ khuy n khích đ ng viên, t o nhi u đi u ki n thu n l i đ chúng tôi hoàn
thƠnh t p bƠi gi ng này.

4


Ch

ngă1.

BI NăC ăVÀăXÁCăSU T
A.ăN IăDUNGăBÀIăGI NG
Các hi n t
bi t tr

ng trong t nhiên hay xƣ h i x y ra m t cách ng u nhiên (không

c k t qu ) ho c t t đ nh (bi t tr

ch n r ng m t v t đ
hi n t

c k t qu s x y ra). Ch ng h n ta bi t ch c

c th t trên cao ch c ch n s r i xu ng đ t...

ó lƠ nh ng

ng di n ra có tính quy lu t, t t đ nh. Trái l i khi tung đ ng xu ta không bi t

m t s p hay m t ng a s xu t hi n. Ta không th bi t có bao nhiêu cu c g i đ n
t ng đƠi, có bao nhiêu khách hƠng đ n đi m ph c v trong kho ng th i gian nƠo đó.
Ta không th xác đ nh tr

c ch s ch ng khoán trên th tr

ng ch ng khoán ó lƠ

nh ng hi n t ng ng u nhiên. Tuy nhiên, n u ti n hƠnh quan sát khá nhi u l n m t hi n
t

ng ng u nhiên trong nh ng hoƠn c nh nh nhau, thì trong nhi u tr

th rút ra nh ng k t lu n có tính quy lu t v nh ng hi n t
su t nghiên c u các qui lu t c a các hi n t
lu t nƠy s cho phép d báo các hi n t
Chính vì v y các ph

ng h p ta có

ng nƠy. LỦ thuy t xác

ng ng u nhiên. Vi c n m b t các quy

ng ng u nhiên đó s x y ra nh th nƠo.

ng pháp c a lỦ thuy t xác su t đ

c ng d ng r ng rƣi trong

vi c gi i quy t các bƠi toán thu c nhi u l nh v c khác nhau c a khoa h c t nhiên,
k thu t vƠ kinh t - xƣ h i.
Ch

ng nƠy ôn l i lỦ thuy t t p h p, gi i tích t h p vƠ trình bƠy m t cách có

h th ng các khái ni m vƠ các k t qu chính v lỦ thuy t xác su t:
- Ọn vƠ h th ng các ki n th c v lỦ thuy t t p h p vƠ gi i tích t h p.
- Các khái ni m phép th , bi n c .
- Quan h gi a các bi n c .
- Các đ nh ngh a v xác su t: đ nh ngh a xác su t theo c đi n, theo th ng kê,
theo hình h c vƠ theo h tiên đ .
- Các tính ch t c a xác su t: công th c t ng (c ng) xác su t, xác su t c a bi n
c đ i l p.
- Xác su t có đi u ki n, công th c nhơn, công th c xác su t đ y đ vƠ công
th c Bayes.
- Dƣy phép th Bernoulli vƠ xác su t nh th c
5


Khi n m v ng các ki n th c v đ i s t p h p nh h p, giao t p h p, t p con,
ph n bù c a m t t p con  sinh viên s d dàng trong vi c ti p thu, bi u di n ho c mô
t các bi n c .
tính s các tr

tính xác su t các bi n c theo ph

ng h p thu n l i đ i v i bi n c vƠ s các tr

sinh viên c n n m v ng các ph
l i cho ng

ng pháp c đi n đòi h i ph i
ng h p có th . Vì v y

ng pháp đ m - gi i tích t h p. Tuy nhiên đ thu n

i h c chúng tôi s nh c l i các k t qu chính trong m c 1.1.

M t trong nh ng khó kh n c a bƠi toán xác su t lƠ xác đ nh đ

c bi n c vƠ

s d ng đúng các công th c thích h p. B ng cách tham kh o các ví d vƠ gi i nhi u
bƠi t p s rèn luy n t t k n ng nƠy.
1.1. B ătúcăv ăgi iătíchăt ăh p
1.1.1. T păh p
1.1.1.1. T p h p vƠ ph n t c a t p h p
a) T p h p con: A  B  (  x A  x  B ).
b) T p h p b ng nhau: A = B  A  B và B  A.
c) T p r ng lƠ t p h p không ch a ph n t nƠo. KỦ hi u: .
d) Không gian: T p l n nh t c đ nh mƠ m i t p h p đ

c xét đ u ch a trong nó.

KỦ hi u: U
e) Cách mô t m t t p h p: li t kê, d u hi u đ c tr ng.
f) T p h p h u h n vƠ t p h p vô h n (vô h n đ m đ

c vƠ không đ m đ

c).

1.1.1.2. Các phép toán trên t p h p
a) H p: H p c a hai t p h p A vƠ B lƠ m t t p h p, kí hi u A  B, sao cho:

 x A
 x, x  A  B  
 x B
b) Giao: Giao c a hai t p h p A vƠ B lƠ m t t p h p , kí hi u A  B, sao cho:

 x A
 x , x  A B  
 x B
c) Hi u: Hi u c a hai t p h p A vƠ B lƠ m t t p h p , kí hi u A\ B, sao cho:
 x A
 x , x A \ B  
 x B

* Ph n bù c a t p h p:

A U \ A

6


d) Hi u đ i x ng:

A B  ( A \ B ) ( B \ A)

1.1.1.3. Các tính ch t c a các phép toán trên t p h p
a) Lu t lu đ ng:

A  A A ; A  A A

( A B ) C  A( B C ) ;

b) Lu t k t h p:

( A B ) C  A( B C )

c) Lu t giao hoán:

A B  B  A ; A B  B  A

d) Lu t phơn ph i:

A( B C )  ( A B ) ( AC ) ;

e) Lu t đ ng nh t:

A A ; A  ; AU  U ; AU  A

A( B C )  ( A B ) ( AC )

A  A

f) Lu t ph đ nh c a ph đ nh (lu t đ i h p):

AA  U

g) Lu t thƠnh ph n:

; AA   ; U   ;  U

h) Lu t Demorgan: A  B  A  B
1.1.1.4. Tích

;

A B  A  B

các (Descartes)
A B   ( a, b ) / a  A , b B



+ Hai ph n t b ng nhau: ( a, b ) = ( c, d )
+ Qui

c:

1.1.1.5.



a = c và b = d

A    A  

m các ph n t c a t p h p h u h n (B n s c a t p h p h u h n)

a) B n s c a t p h p h u h n A lƠ s ph n t c a t p h p A, kí hi u lƠ n(A).
b) Gi s A vƠ B lƠ hai t p h p h u h n. Khi đó:
 A  B c ng h u h n vƠ n(A
 N u A B =

thì : n(A





B ) = n(A) + n(B) - n( A  B ).

B ) = n(A) + n(B).

 N( A \ B ) = n( A ) - n( A  B ).
c bi t: N u A

 B thì n(A \ B) =

n(A) - n(B).

 Gi s U lƠ không gian vƠ A  U lƠ t p h p h u h n thì: n( A ) = n(U) - n(A).
 n(A  B) = n(A) + n(B) ậ 2n(A  B).
 A  B lƠ t p h p h u h n vƠ n(A  B) = n(A)  n(B)
c) Gi s A1, A2, A3, ầ , Am lƠ nh ng t p h p h u h n. Khi đó:
n(A1  A2  A3  ầ  Am ) = n( A1)  n(A2)  n(A3)  ầ  n(Am )
1.1.1.6. Lu th a t p h p, phân ho ch,

- đ i s các t p con.
7


a) Lu th a t p h p:
T p h p t t c các t p con c a t p S đ

c g i lƠ lu th a t p h p c a S vƠ kí hi u

là (S). S các ph n t c a ( (S) là n( (S)) = 2n(S). V i n(S) lƠ s ph n t c a S.
b) Phơn ho ch c a t p h p:
Cho S lƠ t p khác r ng. Ta nói phơn ho ch c a t p h p S lƠ t p h p các t p h p
A1,A2,A3,ầ,An ầ khác t p h p r ng sao cho:
1) M i a  S, ta suy ra a  Ai nƠo đó, i = 1,2,3,ầ,n,ầ
2) Ai
c)

i j

A

j



; i ,j = 1, 2, . . . , n,ầ

is ( -đ is )
Gi s

 lƠ t p khác r ng. Kí hi u

Α

lƠ t p các t p con c a  đ

c g i là

đ i s ( - đ i s ) các t p con c a  n u tho mƣn các đi u ki n sau:
1)  

Α

2) N u A 

Α

thì A =  \ A 

3) N u A1,A2,A3,ầ,An 

thì A1

Α

Α
 A2  A3  ầ  An  Α

( N u A1,A2,A3,ầ,An , . . . 

Α

thì



A  Α )
i 1

i

1.1.2. Gi iătíchăt ăh p
1.1.2.1. T h p
a) G i m t t h p ch p k c a n ph n t đƣ cho lƠ m t t p h p con g m k ph n t
c a t p h p g m n ph n t đƣ cho (0  k  n). S các t h p ch p k khác nhau c a
n ph n t đ

c kí hi u lƠ

C

k
n

(ho c nCk) và tính theo công th c:

C

k

n



n!
k !( n  k )!

b) T m t t p h p g m n ph n t l y ng u nhiên cùng lúc ra k ph n t sao cho hai
cách l y đ

c g i lƠ khác nhau n u gi a chúng có ít nh t m t ph n t khác nhau. S

cách l y nh v y chính lƠ s t h p ch p k khác nhau c a n ph n t đƣ cho.
c) Ví d
1) Trong m t l p h c có 25 h c sinh. H i có bao nhiêu cách ch n m t l n 5 h c
sinh b t k ?
8


2) Cho m t đa giác l i có 20 đ nh. H i đa giác đó có bao nhiêu đ

ng chéo?

Gi i:
1) M i cách ch n (không có s p th t ) 5 h c sinh trong m t l p h c lƠ m t t h p
ch p 5 c a 25 ph n t (h c sinh) nên s cách ch n 5 h c sinh trong l p đó chính
b ng s t h p ch p 5 c a 25 ph n t :

25!

5

C25  5!20! 

25  24  23  22  21
 53130 .
5  4  3 2 1

2) N u ta n i 2 đ nh b t k c a đa giác ta s đ
nên m i c nh ho c m i đ

ng chéo đ

(đ nh). Do đó t ng s c nh vƠ s đ
ch p 2 c a 20:

c20  2!18! 

Suy ra s đ

ng chéo,

c xem lƠ m t t h p ch p 2 c a 20 ph n t
ng chéo c a đa giác l i có 20 đ nh lƠ t h p

20  19
 190 .
2 1

20!

2

c m t c nh ho c m t đ

ng chéo c a đa giác đó là 190 ậ 20 = 170.

d) Tính ch t c a t h p
1)

nk

k

Cn  Cn

.

2)

k

k

k 1

Cn  Cn1  Cn1;

n  1 . 3)

k

n

k 1

Cn  k Cn 1;

n 1

1.1.2.2 Ch nh h p không l p
a) M t ch nh h p không l p ch p k (0  k  n) c a n ph n t đƣ cho lƠ m t t p h p
con có th t g m k ph n t trong n ph n t . Hai ch nh h p không l p ch p k c a n
ph n t đƣ cho đ

c g i lƠ khác nhau n u có ít nh t m t ph n t khác nhau ho c có

th t khác nhau. S các ch nh h p không l p ch p k khác nhau c a n ph n t đƣ
cho đ

c kí hi u

k

A

n

(ho c A(n,k);nAk) vƠ tính theo công th c:

ν!

κ

Αν  (ν − κ)!  n (n  1)...( n  k  1)
+ Chú ý:

Ta có

κ

κ

Αν  κ!Χ ν

b) L y ng u nhiên ra k ph n t t m t t p h p g m n ph n t sao cho hai cách l y
đ

c g i lƠ khác nhau n u gi a chúng ho c có ít nh t m t ph n t khác nhau ho c

th t l y ra c a các ph n t lƠ khác nhau. S cách l y ra k ph n t nh v y đ
g i lƠ s ch nh h p không l p ch p k khác nhau c a n ph n t đƣ cho.

9

c


c) T m t t p h p g m n ph n t l y ng u nhiên l n l

t t ng ph n t m t không

hoƠn l i k l n. S cách l y nh v y chính lƠ s ch nh h p không l p ch p k khác
nhau c a n ph n t .
d) Ví d
1) Cho n m ch s 1, 2, 3, 4, 5. H i có bao nhiêu s g m 3 ch s khác nhau l y t
5 ch s

trên?

2) Có bao nhiêu s t nhiên có 3 ch s khác nhau?
Gi i:
1) S các s khác nhau g m 3 ch s l y t n m ch s 1, 2, 3, 4, 5 b ng s ch nh
h p không l p ch p 3 c a 5 ph n t (ch s ):

5!

3

A5  (5  3)!  5  4  20 .

2) M t s có 3 ch s khác nhau (k c s có ch s 0 đ ng tr

c) đ

c xem lƠ

ch nh h p không l p ch p 3 c a 10 ph n t (10 ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Do
đó s các s có 3 ch s khác nhau (k c s có ch s 0 đ ng tr
3

c) lƠ:

10!

A10  (10  3)!  10  9  8  720 .
M t khác ta có m i s có 3 ch s khác nhau mƠ ch s 0 đ ng tr

c lƠ m t ch nh

h p không l p ch p 2 c a 9 ph n t (9 ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Do đó s các
s có 3 ch s khác nhau mƠ ch s 0 đ ng tr

c lƠ:

9!

2
A9  (9  2)!  9  8  72 .

V y s các s t nhiên có 3 ch s khác nhau lƠ: 720 ậ 72 = 648.
1.1.2.3. Ch nh h p l p
a) Ta g i ch nh h p l p ch p k ( 0  k  n ) c a n ph n t đƣ cho lƠ m t t p h p có
th t g m k ph n t l y t n ph n t đƣ cho, mƠ ph n t c a t p đó có th có m t
nhi u nh t lƠ k l n. Kí hi u s các ch nh h p l p ch p k khác nhau c a n ph n t đƣ
cho là

P

k

n

(ho c P(n,k) ho c nPk vƠ đ

c tính theo công th c:

b) T m t t p h p g m n ph n t l y ng u nhiên l n l

k

P

n



k

n

t t ng ph n t m t có hoƠn

l i k l n. S cách l y nh v y chính lƠ s ch nh h p l p ch p k khác nhau c a n
ph n t .
10


c) Ví d
1) Cho n m ch s 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu s có 3 ch s l y t 5 ch s

trên?

2) Có bao nhiêu s t nhiên có 3 ch s ?
3) M t đoƠn tƠu có 3 toa (m i toa còn trên 12 ch ). H i có bao nhiêu cách phân
ng u nhiên 12 hƠnh khách lên 3 toa tƠu?
Gi i:
1) S các s g m 3 ch s l y t n m ch s 1, 2, 3, 4, 5 b ng s ch nh h p l p
ch p 3 c a 5 ph n t (ch s ):

3
3
P5  5  125 .

2) M t s có 3 ch s (k c s có ch s 0 đ ng tr

c) đ

c xem lƠ ch nh h p l p

ch p 3 c a 10 ph n t (10 ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Do đó s các s có 3
ch s khác nhau (k c s có ch s 0 đ ng tr

c) lƠ:

3
3
P10  10  1000 .

M t khác ta có m i s có 3 ch s mƠ ch s 0 đ ng tr

c lƠ m t ch nh h p

không l p ch p 2 c a 10 ph n t (10 ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Do đó s các
s có 3 ch s

mƠ ch s 0 đ ng tr

c lƠ:

3
2
P10  10  100 .

V y s các s t nhiên có 3 ch s là: 1000 ậ 100 = 900.
3) Vì m i hƠnh khách có th phơn ng u nhiên m t trong 3 toa I, II, III. Ngh a lƠ m i
hành khách có 3 cách ch n, đo đó s cách phơn ng u nhiên 12 hƠnh khách lên 3 toa
tƠu chính bƠng s ch nh h p l p 12 c a 3 ph n t (toa tƠu):

12
12
P3  3 .

1.1.2.4. Hoán v
a) Gi s ta có n ph n t m i cách s p x p c a n ph n t theo m t th t nƠo đó lƠ
m t hoán v c a n ph n t . S các hoán v khác nhau c a n ph n t b ng n!
b) Gi s ta có n ph n t đ

cs px p

n v trí. Ta đ i ch các ph n t cho nhau.

S cách đ i ch c a n ph n t cho nhau đ
kí hi u Pn vƠ đ

c g i lƠ s hoán v c a n ph n t đ

c

c tính theo công th c: Pn = n! = n( n ậ 1 ) ầ 2.1

c) Ta có n ph n t vƠ n v trí, x p n ph n t vƠo n v trí đƣ cho sao cho m i ch ch
có m t ph n t . S cách s p x p nƠy b ng s các hoán v khác nhau c a n ph n t .
d) Ví d
1) Cho n m ch s 1, 2, 3, 4, 5. H i có bao nhiêu s g m 5 ch s khác nhau l y t
5 ch s

trên?
11


2) Có bao nhiêu cách s p x p 10 h c sinh đ ng thƠnh m t hƠng ngang?
Gi i:
1) M i s g m 5 ch s khác nhau lƠ m t hoán v c a 5 ph n t (5 ch s 1, 2, 3,4
,5). Do đó s các s g m 5 ch s khác nhau l y t 5 ch s

trên là: P5 = 5! = 120.

2) M i cách s p x p 10 h c sinh đ ng thƠnh m t hƠng ngang lƠ m t hoán v c a 10
ph n t (h c sinh). Do đó s cách s p x p 10 h c sinh đ ng thƠnh m t hƠng ngang:
P10 = 10! = 3.628.800

1.1.2.5. Lu t tích
a) Lu t tích (nhân): N u s vi c A đ

c phơn tích thƠnh m s vi c liên ti p khác

nhau vƠ s vi c Ai có ki cách th c hi n (i =1,2ầm). Khi đó s cách th c hi n s
vi c A lƠ k1.k2. .. km
b) Ví d : M t h p ch a 15 bi đ , 10 bi tr ng vƠ 7 bi xanh. L y ng u nhiên 7 bi, h i
có bao nhiêu cách l y đ

c 2 bi đ , 3 bi tr ng, 2 bi xanh.

Gi i:
2

S cách l y đ

c 2 bi đ lƠ

S cách l y đ

c 3 bi tr ng lƠ

C

S cách l y đ

c 2 bi xanh lƠ

C

S cách l y đ

c 2 bi đ , 3 bi tr ng vƠ 2 bi xanh tuơn theo lu t tích lƠ

2

3

2

15

10

7

C C C

C

15

 105
3

10

2
7

 120

 21

 105.120 . 21  264600
n

(a  b ) 

1.1.2.6. Nh th c Newton
N u a = b = 1 thì 2 n

n

 Ckn a n  k b k

k 0
n

k
n

C

k 0

;

N u a + b = 1 thì

n

 Ckn a n  k b k  1

k 0

1.2. Phépăth ăng uănhiên,ăbi năc ăng uănhiên,ăcácăphépătoánăv ăbi năc
1.2.1.

tăv năđ ă
Trong nhi u tr

ng h p vi c l p đi l p l i m t thí nghi m v i nh ng đi u

ki n bên ngoƠi gi ng h t nhau nh ng không d n t i cùng m t k t qu .
Hi n t
đ nh đ

ng khi bi t các đi u ki n ban đ u c a m t thí nghi m không xác

c k t qu c a nó, g i lƠ hi n t

ng ng u nhiên.
12


Vi c nghiên c u các h th ng nh ng hi n t
đ

c các quy lu t ng u nhiên lƠ đ i t

ng ng u nhiên đ t đó rút ra

ng c a môn xác su t th ng kê toán h c. Lý

thuy t xác su t vƠ th ng kê toán thu c vƠo lỦ thuy t toán h c hi n đ i. Có nhi u
ng d ng trong nhi u ngƠnh khoa h c.
1.2.2. Phépăth ăng uănhiên
1.2.2.1. M t s ví d
a) Gieo m t l n đ ng ti n đ

c xem nh ti n hƠnh m t phép th “gieo đ ng ti n”.

K t qu c a phép th nƠy lƠ “xu t hi n m t s p” ho c “xu t hi n m t ng a”. Hai
kh n ng có th nƠy đ

c g i lƠ hai bi n c s c p.

b) Gieo m t l n con xúc x c đ

c xem nh ti n hƠnh m t phép th “gieo con xúc

x c”. K t qu c a phép th lƠ “xu t hi n m t i ch m

m t trên c a con xúc x c”

ó lƠ 6 bi n c s c p ng v i phép th đƣ cho, “Xu t hi n m t có s ch m

i  1,6 .

ch n” c ng lƠ m t bi n c , nh ng không ph i lƠ bi n c s c p c a phép th trên.
c) M t h c sinh lƠm m t bƠi ki m tra đ

c xem nh ti n hƠnh m t phép th . K t

qu c a phép th lƠ “đ t” ho c “không đ t”. ó lƠ hai bi n c s c p.
d) Ta quan sát nhi t đô ngoƠi tr i.

ó c ng lƠ m t phép th v i k t qu “ nhi t đ

ngoƠi tr i lƠ to C” lƠ m t bi n c s c p.
Nh v y: th c hi n m t phép th ngh a lƠ lƠm m t thí nghi m, th c hi n m t
quan sát, th c hi n m t công vi c, m t hƠnh đ ng nƠo đó.
1.2.2.2. Phép th ng u nhiên
Phép th ng u nhiên lƠ phép th mƠ k t qu c a nó ta không th đoán đ nh
đ

c tr

c. Kí hi u phép th ng u nhiên là G.

+ Các k t qu có th x y ra c a phép th G g i lƠ các bi n c (s ki n).
+ Các bi n c không th phơn tích đ

c n a g i lƠ bi n c s c p vƠ kí hi u i

1.2.2.3. Không gian các bi n c s c p (không gian m u)
T p h p t t c các bi n c s c p c a phép th G đ

c g i là không gian các

bi n c s c p vƠ kí hi u  , khi đó ta có:  = { i / i = 1, 2, 3 . . .}.
 Bi n c chính lƠ m t t p con c a không gian các bi n c s c p.
 Bi n c ch c ch n lƠ bi n c nh t đ nh x y ra khi phép th đ
kí hi u  .
13

c th c hi n vƠ


 Bi n c không th có lƠ bi n c không x y ra khi phép th đ

c th c hi n vƠ

kí hi u .
1.2.3. Bi năc ăng uănhiên
Bi n c ng u nhiên lƠ bi n c mƠ nó có th x y ra ho c không x y ra khi
phép th đ

c th c hi n, kí hi u các bi n c ng u nhiên b ng ch in hoa A, B, C,..

khi đó v m t lỦ thuy t t p h p thì A lƠ m t t p h p con c a không gian các bi n c
s c p .
1.2.4. Quanăh ăgi aăcácăbi năc
1.2.4.1. Bi n c A đ

c g i lƠ kéo theo bi n c B, kí hi u A  B n u vƠ ch n u A

x y ra thì suy ra B x y ra.

1.2.4.2. Bi n c A vƠ bi n c B đ

c g i lƠ b ng nhau (t

ng đ

hi u A = B khi vƠ ch khi bi n c A kéo theo bi n c B vƠ ng
(A = B

ng v i nhau), kỦ

c l i.

A  B và B  A).

1.2.5. Cácăphépătoánătrênăbi năc
1.2.5.1. Cho hai bi n c A vƠ B, ta có các phép toán:
a) Phép c ng: T ng c a hai bi n c A vƠ B, kí hi u lƠ A  B, lƠ bi n c ch x y ra
n u ít nh t m t trong hai bi n c A, B x y ra.
b) Phép nhân: Tích c a hai bi n c A vƠ B, kí hi u lƠ A  B (ho c A.B), lƠ bi n c
ch x y ra n u hai bi n c A vƠ B đ ng th i x y ra.
c) Phép tr : Hi u c a bi n c A tr bi n c B, kí hi u là A\ B, lƠ bi n c ch x y ra
n u bi n c A x y ra vƠ bi n c B không x y ra.
d) Bi n c xung kh c: Hai bi n c A vƠ B đ

c g i lƠ xung kh c n u A  B = .

e) Bi n c đ i l p: G i A   \ A lƠ bi n c đ i l p c a bi n c A.
(A đ i l p v i A

A  A=

và A

A = ).

1.2.5.2. L u ý
+ Hai bi n c đ i l p thì xung kh c, nh ng đi u ng

c l i thì không đúng.

+ Nh ng tính ch t c a các phép toán c ng, nhơn, hi u c a các bi n c gi ng nh
các phép toán h p, giao, hi u c a các t p h p vƠ có th m r ng cho n bi n c .
1.2.5.3. Ví d
a) L y ng u nhiên m t con bƠi trong b bƠi Tơy, g i A lƠ bi n c l y đ
14

c con bƠi


mƠu đ , B lƠ bi n c l y đ
bi n c l y đ

c con bƠi mang s nh h n 4, khi đó bi n c A  B là

c con bƠi mƠu đ mang s nh h n 4.

b) Ch n ng u nhiên 2 viên bi trong m t cái h p có 3 viên bi xanh, 4 viên bi đ . G i
AX lƠ bi n c ch n đ
ch n đ

c 2 bi xanh, A lƠ bi n c ch n đ

c 2 bi cùng mƠu, AK lƠ bi n c ch n đ

c AX, A , AK xung kh c t ng đôi m t; AC = AX

c 2 bi đ , AC lƠ bi n c

c 2 bi khác mƠu. Khi đó các bi n
A ; AC và AK đ i l p v i nhau.

c) Gieo m t l n m t con xúc x c, g i Bi lƠ bi n c m t trên con xúc x c xu t hi n i
ch m, khi đó bi n c B1và B2 xung kh c v i nhau, nh ng B1 không ph i lƠ bi n c
đ i l p c a B2 mà bi n c đ i l p c a B1 là: B1 = {B2, B3, B4, B5, B6}.
d) Ba x th cùng b n vƠo m t m c tiêu trong cùng m t th i đi m. G i Ai lƠ bi n c
x th i b n trúng m c tiêu, A lƠ bi n c c 3 x th đ u b n trúng, B lƠ bi n c ch
có 1 x th b n trúng, C lƠ bi n c có ít nh t 1 x th b n trúng, D lƠ bi n c không
có x th nƠo b n trúng. Hƣy bi u di n các bi n c A, B, C, D theo các bi n c Ai .
Gi i:
Ta có: A = A1A2A3 ; B A1 A 2 A3

A1A 2 A3

A1 A 2 A3

C = A1 A2 A3 và D  A1 A 2 A3
1.2.6. H ăđ yăđ ăcácăbi năc ă
1.2.6.1.

nh ngh a

Dƣy n bi n c B1, B2, ầ,Bn l p thƠnh h đ y đ các bi n c khi vƠ ch tho mƣn:
1) Các bi n c Bi xung kh c t ng đôi m t ( Bi  B j   ; i, j  1, 2, ..., n ).
i j

2) Khi phép th th c hi n có ít nh t m t Bi x y ra (B1  B2  . . .  Bn =  ).
+ Nh n xét: T đ nh ngh a ta có hai bi n c A và A luôn l p thƠnh m t h đ y đ .
1.2.6.2. Ví d
a) Gieo m t đ ng ti n. G i A vƠ A lƠ bi n c xu t hi n m t s p vƠ m t ng a. Khi
đó A vƠ A l p thƠnh h đ y đ .
b) Gieo m t l n m t con xúc x c cơn đ i vƠ đ ng ch t.
G i Bi lƠ bi n c m t trên con xúc x c xu t hi n i ch m, i = 1, 2 ầ, 6. Khi đó B1,
B2, B3, B4, B5, B6 l p thƠnh h đ y đ các bi n c .
15


c) Gieo đ ng th i hai đ ng ti n cơn đ i vƠ đ ng ch t. Khi đó các bi n c {SS, SN,
NS, NN} l p thƠnh h đ y đ các bi n c .
Bơy gi ta có th chính xác hoá khái ni m bi n c

trên b ng đ nh ngh a

theo tiên đ .
nhăngh a

1.2.7.

1) Cho t p 



,  đ

c g i lƠ không gian bi n c s c p. Ph n t

   đ c g i lƠ bi n c s c p.
2) Cho  - đ i s

Α các t

p con c a  . Ph n t A  Α đ

c g i lƠ bi n c

ng u nhiên.
1.3. Kháiăni măxácăsu tă
nhăngh aă(c ăđi n)

1.3.1.
1.3.1.1.

nh ngh a

N u bi n c A đ

c phơn tích thƠnh t ng c a m bi n c trong h đ y đ g m

n bi n c đ ng kh n ng B1,B2,..., Bn ngh a lƠ:
A  Bi1  Bi2  Bi3 ...  Bim ; 1 i1 , i2 , i3 ... im  n thì t s

m
đ
n

c A (kh n ng x y ra bi n c A) và kí hi u: P( A) 

c g i lƠ xác su t c a bi n

m
, 0 m  n .
n

+ Tính đ ng kh n ng c a n bi n c B1, B2, B3 . . . , Bn đ

c hi u lƠ kh n ng x y ra

c a B1, B2, B3 . . . , Bn lƠ nh nhau. Ví d “Gieo m t con xúc x c cơn đ i vƠ đ ng
ch t”, các bi n c B1, B2, B3 . . . , B6 lƠ đ ng kh n ng.
+ T đ nh ngh a nƠy ta nh n th y r ng s x y ra c a các bi n c

Bi1 Bi2 ầ Bim d n

đ n s x y ra bi n c A. Ta g i m lƠ s kh n ng thu n l i cho A, còn n bi n c B1
, B2 , B3 , ...,Bn lƠ s kh n ng có th . Khi đó, ta có th vi t l i đ nh ngh a nh sau:
Π(Α) =

Σο〈 κηα να νγ τηυα ν λ ι χηο Α
.
Σο〈 κηα να νγ χο τηε∑

1.3.1.2. Ví d
a) M t đ t x s phát hƠnh 106 vé s , trong đó có 1 gi i nh t, 3 gi i nhì, 10 gi i ba
và 20 gi i khuy n khích. M t ng

i mua ng u nhiên m t vé.Tìm xác su t đ đ

gi i nh t, gi i nhì, gi i ba, gi i khuy n khích vƠ đ

16

c gi i.

c


Gi i:
S kh n ng có th lƠ 106. Có 1 kh n ng đ
V y xác su t đ đ

c gi i nh t lƠ P( A) 

c gi i nh t trong 106 kh n ng.

1
 0,000001 . T
106

Xác su t đ đ

c gi i nhì lƠ P( B)  36  0,000003 .

Xác su t đ đ

c gi i ba là P(C ) 

Xác su t đ đ

c gi i khuy n khích là P( D) 

Xác su t đ đ

c gi i là P( E ) 

ng t :

10

10
 0, 00001 .
106

20
 0, 00002 .
106

1  3 10  20
 0, 000034 .
106

b) Xét m t đ c tính do c p gen gơy A vƠ a gơy ra. Trong vi c lai t o thì b m m i
ng

i cho m t gen. N u c hai ng

i đ u lƠ d h p t , ngh a lƠ c hai đ u lƠ h p t

Aa thì các h p t c a con s lƠ m t trong 4 lo i sau: AA, Aa, aA, aa. Tìm xác su t
đ con có ki u gen: [ aa ]; [ Aa ]; [ AA ].
Gi i:
Xác su t đ con có ki u gen [aa] là: P([ aa ]) =

1
4

Xác su t đ con có ki u gen [Aa] lƠ: P([ Aa ]) = 1

2

Xác su t đ con có ki u gen [AA] lƠ: P([ AA ]) =

1.
4

c) M t lô s n ph m g m N s n ph m, trong đó có M s n ph m t t vƠ (NậM) s n
ph m x u.L y ng u nhiên s s n ph m t lô hƠng. Tìm xác su t đ trong s s n ph m
l y ra có đúng k s n ph m t t.
Gi i:
S kh n ng có th l y s s n ph m t N s n ph m lƠ: C kN
S kh n ng ch n k s n ph m t t trong M s n ph m t t lƠ: C kM

S kh n ng l y s ậ k s n ph m x u t N ậ M s n ph m x u lƠ:

C

sk
N M

S kh n ng ch n s s n ph m trong đó có đúng k s n ph m t t lƠ: C  C
k

sk

M

N M

V y xác su t đ trong s s n ph m l y ra trong đó có đúng k s n ph m t t:

17


P( A) 

CMk  CNs kM
CNk

.

d) Gieo đ ng th i hai con xúc x c cơn đ i vƠ đ ng ch t. Tìm xác su t đ :
1) T ng s ch m

m t trên hai con xúc x c b ng 8.

2) Hi u s ch m

m t trên hai con xúc x c có giá tr tuy t đ i b ng 2.

3) S ch m

m t trên hai con xúc x c b ng nhau.

4) S ch m

m t trên con xúc x c th nh t b ng 4 vƠ s ch m

m t trên con xúc

x c th hai n m trong kho ng [3;5].
Gi i:
S kh n ng có th lƠ n = 6  6 = 36
1) G i A lƠ bi n c t ng s ch m
S tr

m t trên hai con xúc x c b ng 8.

ng h p thu n l i cho bi n c A là mA = 5; ((6,2); (2,6); (5,3); (3,5); (4,4))
V y P(A) = 5 .
36

2) G i B lƠ bi n c hi u s ch m m t trên hai con xúc x c có giá tr tuy t đ i b ng 2

Ta có P(B) =
3) G i C lƠ bi n c s ch m

8
2
 .
36 9

m t trên hai con xúc x c b ng nhau.

Ta có P(C) =
4) G i D lƠ bi n c s ch m

6
1
 .
36 6

m t trên con xúc x c th nh t b ng 4 vƠ s ch m

m t trên con xúc x c th hai n m trong kho ng [3;5].
Ta có P(D) =
e) L y ng u nhiên l n l

3
1

.
36 12

t 3 ch s t t p g m 5 ch s {0, 1, 2, 3, 4} x p thƠnh

hàng ngang t trái sang ph i. Tìm xác su t đ nh n đ

c m t s g m 3 ch s

(không k ch s 0 đ ng đ u).
Gi i:
Ta có s tr

ng h p có th có c a phép th lƠ A35  5  4  3  60

G i A lƠ bi n c đ nh n đ
S các tr

c m t s g m 3 ch s (không k ch s 0 đ ng đ u).

ng h p x y ra đ A x y ra là A14  A 24  4  4  3  48
18


(Chia s ki n A thƠnh hai s ki n liên ti p lƠ ch n ch s hƠng tr m trong 4 ch s
1, 2, 3, 4 và ch n l n l

t 2 trong 4 ch s còn l i cho ch s hƠng ch c vƠ hƠng

đ n v ).
Xác su t đ nh n đ

c m t s g m 3 ch s (không k ch s 0 đ ng đ u):

P( A ) 
+ Nh n xét: Có th tìm s tr

A14  A 24
A 35



48 4
  0,8 .
60 5

ng h p thu n l i cho A nh sau các s g m 3 ch s

mƠ s 0 đ ng đ u b ng ch nh h p không l p ch p 2 c a 4 (4 ph n t 1, 2, 3, 4) b ng
12, do đó s các s g m 3 ch s (không k ch s 0 đ ng đ u) lƠ: 60 ậ 12 = 48.
nhăngh aăxácăsu tătheoăt năsu t (th ngăkê)

1.3.2.

nh ngh a

1.3.2.1.

Ta l p l i n l n m t phép th ng u nhiên, th y bi n c A xu t hi n m l n thì
t s

m
n

g i lƠ t n su t c a bi n c A.

+ Khi n thay đ i, t n su t

m
c ng thay đ i nh ng nó luôn dao đ ng quanh m t s
n

c đ nh nƠo đó, n cƠng l n thì

m
cƠng g n s c đ nh đó.
n

+ N u s phép th n cƠng l n, t n su t

m
c a bi n c A cƠng ti n g n đ n m t s
n

c đ nh p thì ta nói r ng bi n c A n đ nh ng u nhiên vƠ s p đ

c g i lƠ xác su t

c a bi n c A theo ngh a th ng kê (t n su t).
1.3.2.2. Ví d
Các nhƠ toán h c Pearson vƠ Buffon đƣ lƠm th c nghi m gieo nhi u l n m t
đ ng ti n cơn đ i vƠ đ ng ch t. K t qu cho

b ng 1.1

B ngă1.1
Ng

i lƠm thí nghi m

S l n gieo S l n xu t hi n m t ng a T n su t

Buffon

4040

2048

0,508

Pearson ( L n 1 )

12000

6019

0,5016

Pearson ( L n 2 )

24000

12012

0,5008

19


Nhìn vƠo k t qu thí nghi m ta th y s l n gieo đ ng ti n cƠng l n thì t n su t
cƠng g n

1.
2

S

1
2

c g i lƠ xác su t c a bi n c “xu t hi n m t ng a”.

nhăngh aăxácăsu tătheoăhìnhăh c

1.3.3.
1.3.3.1.

nh ngh a

Cho mi n đo đ
đo đ

đ

m
n

c  (trong m t ph ng, đ

ng th ng, không gian) vƠ mi n con

c S c a  . L y ng u nhiên m t đi m M c a  .

Xác su t đ đi m M r i vƠo mi n S (bi n c A) đ

t A = {M / M  S}.

c xác đ nh: P(A) 

∇ο 〉ο Σ
∇ο 〉ο 

1.3.3.2. L u ý: Mi n chính lƠ không gian các bi n c s c p. Khái ni m “đ đo” c a

 ta hi u nh sau: n u lƠ đ

ng cong hay đo n th ng thì “đ đo” c a  lƠ đ dƠi

c a nó, n u lƠ hình ph ng (kh i) thì “đ đo” c a  lƠ di n tích (th tích) c a nó.
1.3.3.2. Ví d
a) Tìm xác su t đ m t đi m M r i vƠo hình tròn n i ti p hình vuông có c nh 2 m
Gi i:

Xác su t ph i tìm lƠ

P( A) 

 12
2

2





2m

4

Hình 1.1
b) Hai c u bé h n g p nhau
Ng

i đ n tr

c s đ i ng

m t đ a đi m xác đ nh vƠo kho ng t 8 gi đ n 9 gi .
i đ n sau 10 phút; sau đó n u không g p thì s đi. Hãy

tìm xác su t đ hai c u bé g p nhau. Bi t r ng m i c u bé đ n ch h n trong kho ng
th i gian qui đ nh m t cách ng u nhiên vƠ không tu thu c vƠo ng

i kia đ n vƠo

lúc nào.
Gi i:
Kí hi u x lƠ th i đi m mƠ c u bé th nh t đ n đi m h n, y lƠ th i đi m c u
bé th hai đ n đi m h n. Hai c u bé g p nhau khi vƠ ch khi x  y  10 .
Ta bi u di n x, y nh to đ các đi m trên m t ph ng to đ Descartes vuông
góc, đ n v

tr c lƠ phút. Không gian bi n c s c p

đơy lƠ hình vuông c nh 60,

còn bi n c s c p thu n l i cho vi c g p nhau lƠ mi n mƠu xanh, xem hình 1.2.

20


y
60

2
2
V y xác su t ph i tìm lƠ Π( Α) = 60 - 250 = 11

60

10
10

0

60

36

x

Hình 1.2
c) Trên đo n th mg OA ta l y m t cách ng u nhiên hai đi m B, C có to đ t

ng

ng OB = x, OC = y (y > x). Tìm xác su t sao cho đ dƠi c a đo n BC bé h n đ dƠi
c a đo n OB.
Gi i:
Các to đ x, y ph i tho mƣn đi u ki n: 0 ≤ x ≤ T ; 0 ≤ y ≤ T ; y > x (1)
Trong đó T lƠ đ dƠi đo n OA. Theo gi thi t bƠi toán ta có y –x < x  y < 2x
Bi u di n x, y lên h to đ vuông góc ta đ

c hình 1.3

V y xác su t c n tìm lƠ
y
Π ( Α) =

ΣΟΜΛ
ΣΟΜΘ

L

Τ2
1
= 42 =
Τ
2
2

M

y =2x

y=x
0

T

x

Hình 1.3
1.3.4.
1.3.4.1.

nhăngh aăxácăsu tătheoătiênăđ ă(Kolmogorov)
nh ngh a

HƠm P xác đ nh trên

 - đ i s Α các t p con c a  vƠ l y giá tr trong R đ c

g i lƠ xác su t n u tho mƣn các đi u ki n sau:
1)  A 

Α,

P(A)  0

2) P (  ) = 1

21


3) N u A1, A2, A3 ..., An ầ 

thì : P (


ι =1

Αι

Α, và Α

ι

ι ϕ

Α

ϕ

 ;

i,j = 1, 2,... n ầ



 P( Ai )  P(A1) + P(A2 ) + P(A3 ) + . . . + P(An ) +ầ.

) =

1 1

c g i lƠ xác su t c a bi n c A, và (  ,Α,P) đ

Khi đó: P(A) đ

c g i lƠ không

gian xác su t.
1.3.4.2. L u ý
Các đ nh ngh a
đ , vƠ lƠ đ nh ngh a đ

trên lƠ tr

ng h p riêng c a đ nh ngh a xác su t theo tiên

c dùng đ ch ng minh các tính ch t c a xác su t.

1.4. Tínhăch t
1.4.1. N u A,B 

và A  B thì P(A)  P(B).

Α

Ch ng minh: Vì A

B nên ta có th vi t B = A

AΒ

Do A, A B xung kh c nên theo tiên đ 3 ta có: P(B) = P(A) + P( A Β)
ς P( A Β)
1.4.2.  A 

Α,

0 νν P(B)

P(A). ó lƠ đi u ph i ch ng minh.

Ta có: 0  P(A)  1 ; P(  ) = 0 ; P(  ) = 1

Ch ng minh:
+ T đ nh ngh a vƠ tính ch t trên ta có: 0  P(A)  1 ; P(  ) = 1
+ Ta có

=

1.4.3.  A 

, suy ra P( ) = P( ) + P( )

Α,

1 = 1 + P( ) => P( ) = 0.

Ta có: P( Α ) = 1 ậ P(A).

Ch ng minh:
Ta có: A

A=

1.4.4.  A , B 

=> P(A) + P( A ) = P(  ) = 1 => P( Α ) = 1 ậ P(A)

Α , Ta có:

P( A  B ) = P(A) + P(B) - P(A.B).

N u A, B xung kh c thì P( A  B ) = P(A) + P(B).
Ch ng minh:
Ta bi t r ng A B = A

AB

Vì A, A B xung kh c nên P(A B) = P(A) + P( A B)
M t khác B =

B = AB

A B, vì AB

A B xung kh c nên

P(B) = P(AB) + P( A B) => P( A B) = P(B) - P(AB)
22

(1)

(2)


T (1) vƠ (2) suy ra P( A  B ) = P(A) + P(B) - P(A.B) (đpcm)
1.4.5.  A, B 

Α, Ta có: P(A\ B) =

P(A) ậ P(AB)

Ch ng minh:
Ta có A\ B = A B , suy ra P(A\ B) = P(A B )
M t khác A = AB  A B và AB, A B xung kh c, suy ra P(A) = P(AB) + P(A B )
T (3) và (4) suy ra P(A\ B) = P(A) ậ P(AB) (đpcm).
1.4.6. M r ng công th c t ng :  A1 ,A2 ,A3 ,... ,An 

Π(

ν
ι =1

Αι ) 

ν

 Π(Αι ) 
ι =1

ν



1 ι < ϕ  ν

Π( Α ι Α ϑ ) 

ν



1 ι < ϕ< κ  ν

Α , Ta có:

Π( Α ι Α ϑ Ακ )  ...  (1)ν 1 Π( Α1... Αν )

(1.1)

Ch ng minh:
Chúng ta ch ng minh b ng quy n p
+

trên ta đƣ ch ng minh công th c (1.1) đúng v i n = 2.

+ Gi s (1.1) đúng v i n ậ 1. Ta ch ng minh (1.1) đúng v i n b t k
+ Theo gi thi t quy n p ta có
n

P(  A i ) 
i2

n

 P( A i ) 

i2

n

n

 P( A i A j ) 

2 i  j  n
n

n

 P(Ai A jA k )  ...  (1) n  2 P(A 2 ... A n )

2 i  j  k  n
n

n

Ta có: P(  Ai )  P(A1  (  Ai ))  P(A1 )  P(  Ai )  P(  A1 Ai )
i 1

i2

i2

i2

Theo gi thi t quy n p ta l i có:
n

P(  A1A i ) 
i2



n

 P(A1A i ) 

i2

n

 P(A1Ai A j ) 

2 i  j  n

n

 P(A1Ai A jA k )  ...  (1) n  2 P(A1A 2 ... A n )

2 i  j  k  n

T k t qu trên ta suy ra (1.1) (đi u ph i ch ng minh).
1.4.7. Víăd
a) Gieo m t l n con xúc x c cơn đ i vƠ đ ng ch t. KỦ hi u: A lƠ bi n c {1,2,4}; B
lƠ bi n c {2,5,6}; C lƠ bi n c {1,2,6}. Tính các xác su t P(A); P(B); P(C);
P(A B); P(AB); P(AC); P(BC); P(ABC); P(A B C).
Gi i:

23


P ( A) 

3
6



1

P( B) 

;

2

3
6



1
2

P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB) 
P ( AC ) 

2
6



1

;

3

P ( BC ) 

2
6



P (C ) 

;

3
6



1
2

;

P ( AB) 

1
6

1 1 1 5
  
2 2 6 6

1
3

P ( ABC ) 

1
6

P ( A  B  C )  P ( A)  P ( B )  P (C )  P ( AB)  P ( BC )  P ( AC )  P ( ABC )


1 1 1 1 1 1 1 5
      
2 2 2 6 3 3 6 6

b) Có ba b c th vƠ ba phong bì th có ghi d a ch s n. Cho ng u nhiên ba b c th
vƠo ba bì th đó. Tìm xác su t đ trong ba b c th có tít nh t m t b c th g i đúng
đ a ch .
Gi i:
G i A lƠ bi n c {trong ba b c th có ít nh t m t b c th g i đúng đ a ch }.
Ai lƠ bi n c {b c th th i g i đúng đ a ch }, i = 1, 2, 3.
Ta có: A = A1 A2 A3. Suy ra xác su t c a bi n c A lƠ

P( A)  P( A1)  P( A2 )  P( A3 )  P( A1A2 )  P( A2 A3 )  P( A1A3 )  P( A1A2 A3 ) .
Trong ba bì th có ghi đ a ch s n thì có m t cái có đ a ch c a b c th g i đi
Nên P(A1) = P(A2) = P(A3) =

1
3

(do tính đ i x ng)

Ta ti p t c tính P(A1A2). S kh n ng có th trong tr

ng h p cho hai th vƠo ba bì

th là 3  2 = 6, s kh n ng thu n l i cho bi n c tích A1A2 là 1.
V y P(A1A2) =

1
6

và do tính đ i x ng ta có P(A1A2) = P(A2A3) = P(A1A3) =

Ta ti p t c tính P(A1A2A3). S kh n ng có th trong tr

1
6

.

ng h p cho ba th vƠo ba

bì th lƠ 3! = 3  2  1 = 6, s kh n ng thu n l i cho bi n c tích A1A2A3 là1.
V y P(A1A2A3) =

1
6

. T đó ta suy ra đ

c P(A) = 

1 1 1 1 1 1 1 2
       .
3 3 3 6 6 6 6 3

1.5. Xácăsu tăcóăđi uăki n,ătínhăch t,ăquyăt cănhơnăxácăsu t
Tr

c h t ta xét ví d : Gieo đ ng th i hai con xúc x c cơn đ i vƠ đ ng ch t.
24


KỦ hi u A lƠ bi n c {t ng s ch m
lƠ bi n c {t ng s ch m

m t trên hai con xúc x c b ng 8}vƠ B

m t trên hai con xúc x c lƠ s ch n}. Tính xác su t c a

bi n c A, B vƠ AB.
Gi i:
S tr

ng h p có th có n = 6  6 = 36

S tr

ng h p thu n l i cho A lƠ 5. V y P(A) =

S tr

ng h p thu n l i cho B lƠ 18. V y P(B) =

Ta có A

5
36

.

18
36

B => A B = A, nên P(A B) = P(A) =



5
36

1
.
2

.

+ Bơy gi ta có nh n xét sau: n u bi n c B x y ra có ngh a lƠ s các c p s có th

x y ra mƠ t ng c a chúng lƠ s ch n b ng 18. N u kí hi u xác su t c a bi n c A
v i đi u ki n bi n c B đƣ x y ra là P(A/B) thì xác su t nƠy lƠ P(A/B) =

5
18

.

5
P(A  B) 36 5
P(A  B)
.
H n n a ta c ng có:

 . T đó suy ra: P(A / B) 
1 18
P(B)
P(B)
2
+ T ví d trên ta đ a đ n đ nh ngh a xác su t có đi u ki n nh sau:
nhăngh a

1.5.1.

Gi s A vƠ B lƠ hai bi n c b t k vƠ P(B) > 0.
G it s

P(A  B)
lƠ xác su t có đi u ki n c a bi n c A v i đi u ki n bi n B đƣ
P(B)

x y ra vƠ kí hi u: P(A / B) 

P(A  B)
.
P(B)

+ N u P(A) > 0 thì P(B / A) 

P(A  B)
lƠ xác su t có đi u ki n c a bi n c B v i
P( A)

đi u ki n bi n c A đƣ x y ra.
1.5.2. Tínhăch t
1.5.2.1. Cho ba bi n c A, B, C v i P(A) > 0, ta có các tính ch t sau:

25