BẤT ĐẲNG THỨC_b94978a0cf711031d318cd369c81c2cd

THẦY TRẦN MINH- SDT: 0169.535.0169 2017

Chủ đề 8. BÀI TẬP TỔNG HỢP
8.1

a) Cho hai số dương x, y thỏa: x  y  3xy . Tính
b) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa:

x
.
y

1 1 1
 
x y 2
2

TS lớp chuyên 10 TPHCM 06 - 07

8.2

ĐS : a)

x 3 5 

 b) (3;6), (6;3); (4;4)
y  2 

Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa a ≤ b ≤ c ≤ d và a + d = b + c.
Chứng minh rằng:
a) a2 + b2 + c2 + d2 là tổng của ba số chính phương.

b) bc ≥ ad.
TS lớp chuyên 10 TPHCM 08 - 09

8.3

Cho hai số thực sao cho x + y, x2 + y2, x4 + y4 là các số nguyên.
Chứng minh x3 + y3 cũng là các số nguyên.
TS lớp chuyên 10 TPHCM 08 - 09

8.4

Cho a, b là hai số thực sao cho a3 + b3 = 2. Chứng minh 0 < a + b ≤ 2.
TS lớp chuyên 10 TPHCM 08 - 09

8.5

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, biết
A = (x – 1)4 + (x – 3)4 + 6(x – 1)2(x – 3)2
ĐS : minA = 8

TS lớp 10 Hà Nội 08 - 09

8.6

Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 4x 2  3x 

ĐS : minM = 2011

TS lớp 10 Hà Nội 11 - 12

8.7

1
 2011 .
4x

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:

x3  y3  3xy(x 2  y2 )  4x 2 y2 (x  y)  4x 3 y3  0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y.
TS lớp 10 Bắc Giang 11 - 12

8.8

ĐS : Min M = 2 hki x = y = 1

Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng:
x
y
z


1
x  3x  yz y  3y  xz z  3z  xy
TS lớp 10 Hải Dương 11 - 12


THẦY TRẦN MINH- SDT: 0169.535.0169 2017

8.9

Cho x, y, z là các số thực tùy ý. Chứng minh:

x 2  y2  z2  yz  4x  3y  7
TS lớp 10 Đăk Lăk 11 - 12

8.10 Tìm cặp số thực (x; y) biết: xy  x y  1  y x  1
ĐS :

TS lớp 10 Hải Phòng 11 - 12

8.11 Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức: 8x 2  y 2 

1
 4 . Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất.
4x 2

TS lớp 10 Kon Tum 11 – 12
ĐS : min( xy )  1 / 2 khi x  1 / 2; y  1 hoặc x  1 / 2; y  1

8.12 Tìm số tự nhiên n biết: n + S(n) = 2011, trong đó S(n) là tổng các chữ số của n.
TS lớp 10 Lạng Sơn 11 - 12

8.13 Cho ba số x, y, z thỏa mãn 1  x, y,z  3 và x  y  z  3 .
Chứng minh rằng x 2  y2  z2  11 .
TS lớp 10 Ninh Bình 11 - 12

8.14 Tìm các bộ số thực (x, y, z) thoả mãn:
1
x  29  2 y  6  3 z  2011  1016  (x  y  z)

2
ĐS: x  30; y  10; z  2020

TS lớp 10 Quảng Ninh 11 - 12

8.15 Cho a, b, c là ba số thực khác không và thỏa mãn:
2
2
2

a (b  c)  b (c  a)  c (a  b)  2abc  0
 2013
 b2013  c2013  1

a

Hãy tính giá trị của biểu thức: Q 
TS lớp 10 Bắc Giang 12 - 13

1
a

2013



1
b

2013



1
c

2013

ĐS : Q = 1

8.16 Cho các số x, y thỏa mãn x  0; y  0 và x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A = x2 + y2.
TS lớp 10 Bắc Ninh 12 - 13

ĐS : GTNN A = ½; GTLN A = 1


THẦY TRẦN MINH- SDT: 0169.535.0169 2017
8.17 Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a  1; b  4; c  9.
Tìm giá trị lớn nhất của P 

bc a  1  ca b  4  ab c  9
.
abc

TS lớp 10 Hà Nam 12 - 13

8.18 Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = 3. Chứng minh rằng

1 2
  3.

x y

TS lớp 10 ĐăkLăk 12 - 13

8.19 Với x, y là các số dương thỏa mãn điểu kiện x ≥ 2y, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 

x 2  y2
.
xy

ĐS : GTNN là 5/2 khi x = 2y

TS lớp 10 Hà Nội 12 - 13

8.20 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau vô nghiệm:
x 2  4x  2m x  2  m  6  0
TS lớp 10 Hà Tĩnh 12 - 13

ĐS : m < 1

8.21 Không dùng máy tính cầm tay, tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá S, trong đó S  (2  3)6 .
ĐS : 2701

TS lớp 10 Hà Nam 12 - 13

8.22 a) Cho x > 0, y > 0. Chứng minh rằng

1 1
4
. Dấu “=” xảy ra khi nào ?

 
x y xy

b) Cho x > 0, y > 0 và 2x + 3y ≤ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A
TS lớp 10 Hải Phòng 12 - 13

4
9

2
4x  9y
xy
2

ĐS : b) min A = 56 khi x = ½, y = 1/3

8.23 Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x 2  y2  x  y . Chứng minh: x + y ≤ 2.
TS lớp 10 Hòa Bình 12 - 13

8.24 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 4.
1
1
Chứng minh rằng:

1.
xy xz
TS lớp 10 Hưng Yên 12 - 13

8.25 Chứng minh rằng: Q  x 4  3x 3  4x 2  3x  1  0 với mọi giá trị của x.

TS lớp 10 Lạng Sơn 12 - 13

8.26 Giải phương trình:

2(x 4  4)  3x 2  10x  6

TS lớp 10 Nam Định 12 - 13

8.27 Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

ĐS : x  3  7


THẦY TRẦN MINH- SDT: 0169.535.0169 2017

bc ca ab
b
c 
 a


 4



a
b
c
bc ca a b
TS lớp 10 Ninh Bình 12 - 13

1
2
y .
2
3
2 2
2
2
2
2
M  6x y  7x y  24xy  2x 18y  28xy 8x 21y 6

8.28 Cho

hai

số

x,

y

thỏa

mãn

1 x  3

và

Tìm

giá

trị

lớn

nhất

của

biểu

thức

ĐS

TS lớp 10 Bắc Giang 13 - 14

8.29 a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x; y) thỏa mãn phương trình:
x 2  2y2  3xy  2x  4y  3  0
b) Cho tứ giác lồi ABCD có BAD và BCD là các góc tù.
Chứng minh rằng AC < BD.
TS lớp 10 Bắc Ninh 13- 14

8.30 Cho các số thực x, y thỏa mãn: x + 3y = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  x 2  y2  16y  2x
TS lớp 10 Đăk Lăk 13 - 14

ĐS :

8.31 Cho các số thực dương x, y thỏa mãn

y
2x  3  1

2x  3
y 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q  xy  3y  2x  3 .
TS lớp 10 Hà Nam 13 - 14

ĐS : Qmin = – 121/8 khi x = 5/4; y = 11/2

8.32 Với a, b, c là các số dương thỏa điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6abc. Chứng minh:

1
1 1
 2  2  3.
2
a
b
c

TS lớp 10 Hà Nội 13 - 14

8.33 Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn 0 < x < 1, 0 < y < 1.
Chứng minh: x  y  x 1  y 2  y 1  x 2 

3 3
2

TS lớp 10 Hà Tĩnh 13 - 14

8.34 Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
a
4b
9c
S


bca ca b a bc
TS lớp 10 Hà Tĩnh 13 - 14

ĐS : Mín = 1 khi a = 5/6; b = 2/3; c = 1/2

8.35 a) Cho x, y là các số dương. Chứng minh rằng:
x  y  2( x  y)  2  0 . Dấu “=” xảy ra khi nào ?


THẦY TRẦN MINH- SDT: 0169.535.0169 2017

b) Tìm cặp số (x; y) thỏa mãn:
x 2  y2  (x  y)





x  y  1 , với x 

1
1
, y .
4
4

ĐS : b) ( x; y )  ( 1;1)

TS lớp 10 Hải Phòng 13 - 14

8.36 Tìm nghiệm nguyên x, y của phương trình:
x 2 y2  (x  1)2  (y  1)2  2xy(x  y  2)  2
TS lớp 10 Lạng Sơn 13 - 14

ĐS : (2; 2), (0; 0), (2; 0), (0; 2)

8.37 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.
a2
b2
c2
1
Chứng minh rằng:


 .
ab bc ca 2
TS lớp 10 Nghệ An 13 - 14

8.38 Cho 2 số thực dương x, y. Tìm GTNN của P 
TS lớp 10 Ninh Thuận 13 - 14

xy
.
x(2x  y)  y(2y  x)

ĐS: GTNN của P 1/ 3 khi x = y

8.39 Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = (x4 + 1)(y4 + 1) + 2013.
TS lớp 10 Quảng Bình 13 - 14

ĐS: GTNN của P là 2017 khi x = y = 1

8.40 Với x ≠ 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 
TS lớp 10 Quảng Ngãi 13 - 14

x 2  2x  2014
.
x2

ĐS: GTNN của A là 2013/2014

8.41 Cho các số thực x, y, z thỏa: ( x  y)3  ( y  z)3  ( z  x )3  0 .
Tính giá trị biểu thức: T  ( x  y)2013  ( y  z)2013  ( z  x )2013
TS lớp 10 Quảng Ninh 13 - 14

ĐS: T = 0

8.42 Cho các số thực x, y thoả mãn x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
TS lớp 10 Vĩnh Phúc 13 - 14

ĐS: GTNN của M là – 1/2

3 xy + y2.