Giao-trinh-CO UNG DUNG-2016 (1)

Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

GV: Th.S Trần Văn Đời

LỜI NĨI ĐẦU
Mơn Cơ ứng dụng là môn học cơ sở ngành đầu tiên đối với sinh viên các
trường Trung học, Cao đẳng và Đại học các ngành kỹ thuật khơng chun về cơ
khí hay xây dựng. Giáo trình Cơ kỹ thuật gồm kiến thức của hai môn học Cơ
học lý thuyết và Sức bền vật liệu như một số trường Đại học và Cao đẳng khác
đang sử dụng. Giáo trình được chia làm hai phần:
Phần 1: Cơ học lý thuyết (cơ học vật rắn) trình bày những kiến thức về
tĩnh học của cơ hệ.
Phần 2: Sức bền vật liệu. Trong phần này sinh viên được trang bị những
kiến thức cơ bản về tính tốn các kết cấu (chủ yếu là thanh) về độ bền, độ cứng.
Giáo trình này được dùng để giảng dạy cho sinh viên Cao đẳng và Trung
học của Trường Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ Chí Minh, đồng thời cũng có thể
sử dụng làm tài liệu tham khảo cho các cán bộ kỹ thuật.
Khi biên soạn quyển giáo trình này chúng tôi đã cố gắng cập nhật những
kiến thức mới về ngành cơ học. Tuy nhiên, do trình độ và thời gian có hạn, chắc
chắn sẽ khơng thiếu những sai sót. Rất mong đồng nghiệp và sinh viên góp ý
kiến cho lần tái bản sau.

Tác giả

1


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

GV: Th.S Trần Văn Đời

MỤC LỤC
Lời nói đầu ....................................................................................................................1
Mục lục ..........................................................................................................................2
PHẦN 1: CƠ HỌC VẬT RẮN .....................................................................................4
Chương 1: Các khái niệm cơ bản ................................................................................4
1.1. Những khái niệm cơ bản ..........................................................................................4
1.2. Các tiên đề tĩnh học..................................................................................................6
1.3. Liên kết và phản lực liên kết ....................................................................................9
Chương 2: Hệ lực phẳng..............................................................................................13
2.1. Véctơ chính và mơmen chính của lực phẳng ...........................................................13
2.2. Thu gọn hệ lực phẳng..............................................................................................14
2.3. Điều kiện cân bằng - Các phương trình cân bằng của hệ lực phẳng .........................17
PHẦN 2: SỨC BỀN VẬT LIỆU ..................................................................................36
Chương 3: Các khái niệm cơ bản về sức bền vật liệu ................................................36
3.1. Đối tượng, mục tiêu nghiên cứu .............................................................................36
3.2. Nội lực - Ứng suất...................................................................................................37
3.3. Các giả thiết cơ bản của sức bền vật liệu .................................................................41
Chương 4: Kéo – nén đúng tâm ..................................................................................42
4.1. Kéo - nén đúng tâm .................................................................................................42
4.2. Ba bài toán cơ bản của thanh chịu kéo-nén đúng tâm ..............................................50
4.3. Bài toán siêu tĩnh ....................................................................................................52
Chương 5: Đặc trưng hình học của hình phẳng .........................................................58
5.1. Khái niệm ...............................................................................................................58
5.2. Các đặc trưng qn tính của hình phẳng ..................................................................58
5.3. Momen qn tính của một số hình đơn giản ............................................................60
5.4. Cơng thức chuyển trục song song của momen quán tính .........................................62
5.5. Cơng thức xoay trục của momen qn tính .............................................................63
Chương 6: Xoắn thuần túy thanh thẳng mặt cắt tròn ...............................................69
6.1. Định nghĩa – nội lực................................................................................................69
6.2. Ứng suất trên thanh mặt cắt tròn chịu xoắn .............................................................70

6.3. Biến dạng của thanh mặt cắt tròn chịu xoắn ............................................................72
6.4. Điều kiện bền và điều kiện cứng của thanh mặt cắt tròn chịu xoắn ..........................73
6.5. Bài toán siêu tĩnh ....................................................................................................76
Chương 7: Uốn phẳng .................................................................................................79
7.1. Định nghĩa – nội lực ...............................................................................................79
7.2. Uốn phẳng thuần túy ...............................................................................................84
7.3. Uốn ngang phẳng ...................................................................................................89
7.4. Điều kiện bền .........................................................................................................91
Chương 8: Thanh chịu lực phức tạp ...........................................................................94
8.1. Khái niệm chung và nguyên lý cộng tác dụng .........................................................94
8.2. Uốn xiên .................................................................................................................94
8.3. Kéo (nén) đúng tâm và uốn đồng thời .....................................................................97
8.4. Kéo (nén) lệch tâm ..................................................................................................99
8.5. Uốn và xoắn đồng thời thanh mặt cắt tròn .............................................................. 103
2


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

GV: Th.S Trần Văn Đời

PHỤ LỤC .................................................................................................................... 109
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 116

3


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

GV: Th.S Trần Văn Đời

PHẦN 1
CƠ HỌC VẬT RẮN
CHƯƠNG 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1.1. Vật rắn tuyệt đối là một tập hợp vô số các chất điểm mà khoảng cách giữa hai

chất điểm bất kỳ luôn luôn không đổi. Vật rắn tuyệt đối là mơ hình đơn giản của vật
thể khi biến dạng của nó có thể bỏ qua được do quá bé hoặc khơng đóng vai trị quan
trọng trong q trình khảo sát.Vật rắn tuyệt đối được gọi tắt là vật rắn.
1.1.2. Cân bằng là trạng thái đứng yên của vật rắn so với một vật rắn khác được chọn

làm chuẩn ( hệ qui chiếu ). Trong tĩnh học hệ qui chiếu được chọn phải làm thoả mãn
định luật quán tính của Galilê (hệ qui chiếu đứng yên tuyệt đối). Cân bằng như vậy
được gọi là cân bằng tuyệt đối.
1.1.3. Lực là tương tác giữa các vật mà kết quả là gây ra sự biến đổi trạng thái chuyển

động cơ học (tức là sự thay đổi vị trí, bao gồm cả biến dạng) mà cân bằng chỉ là trường
hợp riêng. Kinh nghiệm và thực nghiệm xác minh rằng lực được đặc trưng bởi các yếu
tố sau :
a) Điểm đặt của lực là điểm mà tại đó vật nhận được tác dụng cơ học từ vật khác
b) Phương chiều của lực là phương chiều chuyển động của chất điểm (vật thể có kích
thước vơ cùng bé) từ trạng thái yên nghỉ dưới tác dụng cơ học
c) Cường độ của lực là số đo mạnh yếu của tương tác cơ học. Đơn vị lực là Niutơn, kí
hiệu là N, cùng các bội số của nó như KiloNiutơn, kí hiệu kN.


Mơ hình tốn học của lực là vectơ lực, kí hiệu F . Điểm đặt của vectơ lực là điểm
đặt của lực. Phương chiều của vectơ lực là phương chiều tác dụng của lực. Mođun của

vectơ lực biểu diễn cường độ tác dụng của lực (với tỉ lệ xích được chọn) . Giá mang
vectơ lực được gọi là đường tác dụng của lực (hình 1-1)

Hình 1-2
Hình 1-1


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

GV: Th.S Trần Văn Đời

1.1.4. Các định nghĩa khác
a) Hệ lực là một tập hợp nhiều lực tác lên
 

một vật rắn, được kí hiệu ( F1 , F2 ,..., FN )
hình (1-2).
Hai hệ lực gọi là tương đương khi chúng
gây cho cùng một vật rắn các trạng thái
chuyển động cơ học như nhau, kí hiệu
 



(hình 1-3) : ( F1 , F2 ,..., FN )  (1 ,... k )

Hình 1-3

Hợp lực của hệ lực là một lực
duy nhất


R
tương đương với hệ lực. Gọi là hợp lực
 

của hệ lực ( F1 , F2 ,..., FN ) thì (hình 1-4) :
n 

 

R  ( F1 , F2 ,..., FN )   Fi
i 1

Hình 1-4

Hệ lực cân bằng là hệ lực mà dưới tác
dụng của nó vật rắn nằm ở vị trí cân bằng
(hình 1-5) :
 

( F1 , F2 ,..., FN )  0

b) Ngẫu lực là một hệ lực gồm hai lực
song song ngược chiều và cùng cường độ.
Một ngẫu lực được đặc trưng bởi các yếu tố
sau
- Mặt phẳng tác dụng ngẫu lực là mặt
phẳng P chứa hai lực thành phần của ngẫu
lực (hình 1-6)
-

Hình 1-5

Hình 1-6

Chiều quay của ngẫu lực nằm trong mặt phẳng của nó.

- Cường độ tác dụng của ngẫu lực được đặc trưng bằng tích số F.d, trong đó F là giá
trị của các lực thành phần, d là khoảng cách vng góc giữa hai lực thành phần được
gọi là cánh tay đòn của ngẫu lực. Đơn vị ngẫu lực là Niutơn.mét, kí hiệu Nm,và các
bội của nó như kNm, MNm
Trong không gian, khi các ngẫu lực nằm trong những mặt phẳng khác nhau, ngẫu

lực được biểu diễn bằng vectơ momen ngẫu lực, kí hiệu là m ; được xác định như sau
(hình 1-7):


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

GV: Th.S Trần Văn Đời

- Phương vng góc với mặt phẳng
chứa ngẫu lực.
- Chiều : nhìn từ ngọn xuống thấy
chiều quay ngẫu lực ngược chiều quay
kim đồng hồ.
- Mođun của vectơ momen ngẫu lực
bằng momen ngẫu lực, tức bằng F.d.


Qui ước gốc của vectơ m tại mặt phẳng
ngẫu lực.
Trong trường hợp khi các ngẫu lực
nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc
trong các mặt phẳng song song nhau,
ngẫu lực được biểu diễn qua momen đại
số ngẫu lực, kí hiệu là : m   F.d , lấy
“+” khi ngược chiều quay kim đồng hồ
và lấy dấu “-” trong trường hợp ngược
lại,
ví
dụ
(hình
1-8),
m1   F1 .d1 , m2   F2 .d 2 , m3   F3 .d 3 .

Hình 1-7

Hình 1-8

1.2. CÁC TIÊN ĐÈ TĨNH HỌC

1.2.1. Tiên đề 1 (Tiên đề về hai lực cân bằng)
Điều kiện cần và đủ để một vật rắn nằm cân bằng dưới tác dụng của hai lực là hai
lực đó có cùng đường tác dụng, ngược chiều và cùng cường độ.
Hai lực thoả mãn điều kiện này được gọi là hai lực cân bằng (hình 1-9a,b)

Hình 1-9

1.2.2. Tiên đề 2 (Tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng)

Tác dụng của một hệ lực không thay đổi nếu thêm vào hoặc bớt đi hai lực cân bằng
 

Như vậy nếu ( F, F' ) là hai lực cân bằng thì (hình 1-10a) :
 

 
  
( F1 , F2 ,..., FN )  ( F1 , F2 ,..., FN , F ' , F )


Hoặc nếu hệ lực có hai lực F1 và F2 cân bằng nhau thì (hình 1-10b) :
 

 

( F1 , F2 ,..., FN )  ( F3 , F4 ,..., FN )


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

GV: Th.S Trần Văn Đời

Hình 1-10a

Hình 1-10b

Hệ quả (định lý trượt lực):
Tác dụng của lực không thay đổi khi trượt lực trên đường tác dụng của nó.
 



Thực vậy thêm hai lực cân bằng nhau ( FB , FB' ) tại B có cùng cường độ với lực FA , ta có
(hình 1-11) :

  

( FA )  ( FB , FB' , FA )  ( FB )

Hình 1-11

Như vậy trong trường hợp lực tác dụng lên vật rắn (và chỉ đối với vật rắn) điểm đặt
lực khơng quan trọng, chỉ có đường tác dụng là quan trọng. Lực trong tĩnh học vật rắn
được biểu diễn bằng vectơ trượt.
1.2.3. Tiên đề 3 (Tiên đề hình bình hành lực)
Hai lực tác dụng tại một điểm tương
đương với một lực tác dụng tại cùng
điểm đó và có vectơ lực bằng vectơ
chéo của hình bình hành với hai
cạnh là hai vectơ lực đã cho (hình 112).

Hình 1-12

Nhờ tiên đề 3 phép cộng vectơ được sử dụng cho phép tính lực. Cần lưu ý rằng nhờ
hệ quả trượt lực, điều kiện hai lực đặt tại một điểm có thể thay thể bằng điều kiện hai
đường tác dụng của hai lực gặp nhau.


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

GV: Th.S Trần Văn Đời

1.2.4. Tiên đề 4 (Tiên đề tác dụng và phản tác dụng)
Lực tác dụng và lực phản tác dụng giữa hai vật có cùng đường tác dụng và hướng
ngược chiều nhau (hình 1-13).

Hình 1-13

Chú ý rằng lực tác dụng và lực phản tác dụng không phải là hai lực cân bằng vì
chúng khơng tác dụng lên cùng một vật rắn. Tiên đề tác dụng và phản tác dụng đúng
cho mọi hệ qui chiếu (hệ qui chiếu qn tính và khơng qn tính) và là cơ sở cho phép
mở rộng các kết quả đã khảo sát đối với bài toán một vật sang bài toán hệ vật.
1.2.5. Tiên đề 5 (Tiên đề hoá rắn)
Một vật biến dạng đã cân bằng dưới tác dụng của một hệ lực thì khi hố rắn nó
vẫn cân bằng (hình 1-14).
Vậy hệ lực tác dụng lên “vật biến
dạng cân bằng” phải thoả mãn các điều
kiện như hệ lực tác dụng lên vật rắn
cân bằng. Do đó có thể sử dụng các kết
quả khảo sát đối với vật rắn cân

Hình 1-14

bằng cho trường hợp vật biến dạng cân bằng. Tuy nhiên đó chỉ là điều kiện cần chứ
không phải là điều kiện đủ. Để khảo sát bài toán cân bằng của vật biến dạng ngoài các
kết quả nhận được khi khảo sát vật rắn cân bằng cần thêm vào các giả thiết về biến
dạng (ví dụ, định luật Húc trong sức bền vật liệu).
1.2.6. Tiên đề 6 (Tiên đề thay thế tương đương liên kết)
Vật khơng tự do cân bằng có thể được xem là vật tự do cân bằng bằng cách giải

phóng tất cả các liên kết và thay thế tác dụng các liên kết được giải phóng bằng các
phản lực liên kết thích hợp (hình 1-15).

Hình 1-15

Qui tắc tìm các đặc trưng của phản lực liên kết đối với một số liên kết thường gặp
(các liên kết không ma sát).


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

GV: Th.S Trần Văn Đời

1.3. LIÊN KẾT VÀ PHẢN LC LIấN KT

1.3.1 Khái niệm về liên kết và bậc tù do
z

Vật A đặt trong khơng gian có 6 khả
năng chuyển động độc lập: Tịnh tiến theo
3 trục và quay quanh 3 trục, được gọi là 6
bậc tự do (hình 1.16a)

A

Khi vật chịu những điều kiện làm cản
trở chuyển động của nó, ta nói vật đã chịu
liên kết. Vật gây ra cản trở chuyển động
gọi là vật gây liên kết.
Vậy liên kết là những điều kiện cản

trở chuyển động của vật. Trong tĩnh học
liên kết được thực hiện bằng sự tiếp xúc,
nối (bản lề, hàn, dây..) giữa các vật.

y
0

x
Hình 1-16a

1.3.2 Khái niệm về phản lực liên kết
Phn lc liờn kt (gọi tắt là phản lực) là lực từ vật gây liên kết tác dụng lên vật chịu
liên kết (hình 1.16b) có tác dụng cản trở chuyển động của vật. Phản lực liên kết có
phương là phương mà nó ngăn cản chuyển động của vật, có chiều ngược với chuyển
chuyển động của vật bị ngăn cản.
Nói chung xác định phương, chiều của phản lực liên kết theo
quy tắc sau: tương ứng với hướng di chuyển thẳng bị cản trở có
phản lực ngược chiều; tương ứng với hướng di chuyển quay bị
cản trở có ngẫu lực ngược chiều. Các lực khơng phải là lực liên
kết gọi là lực chủ động (lực hoạt động). Các lực do vật tác dụng
lên vật liên kết với nó gọi là áp lực.
Trong ví dụ hình 1.16b, vật B gây liên kết, vật A chịu liên

kết. Vật A tác dụng lên vật B một lực P ; theo tiên đề tác dụng

và phản tác dụng, vật B cũng tác dụng lên vật A lực N và

 
N   P , N là phản lực liên kết.

N
A
B
P
Hình 1-16b

1.3.3. Các loại liên kết thường gặp
a) Liờn kt ta : hai vật tựa trực tiếp lên nhau, chỗ tiếp xúc là bề mặt hoặc đường hoặc
điểm. Phản lực tựa có phương vng góc với mặt tựa (hoặc đường tựa ) (hình 1-17)

Hình 1-17


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

GV: Th.S Trần Văn Đời

b) Liên kết dây mềm, thẳng : phản lực của dây tác dụng lên vật khảo sát đặt vào điểm
buộc dây và hướng vào dây. Phản lực của vật rắn tác dụng lên dây được gọi là sức căng
dây, kí hiệu là T. Sức căng của dây hướng dọc và hướng ra đối với mặt cắt dây (hình 118a,b).

Hình 1-18

c) Liên kết bản lề. Hai vật có liên kết
bản lề khi chúng có trục (chốt) chung.
Trong trường hợp này hai vật tựa vào
nhau theo đường nhưng điểm tựa chưa

được xác định. Phản lực liên kết R đi
qua tâm của trục và có phương chiều

chưa xác định. Phản lực được phân
thành hai thành phần vng góc với


nhau ( R x  R y ), nằm trong mặt phẳng
thẳng góc với đường trục tâm của bản
lề (hình 1-19a,b)
Hình 1-19

d) Liên kết gối: dùng để đỡ các dầm,
khung v..v…có loại gối cố định và gối
có con lăn (gối di động). Phản lực liên
kết của gối cố định được xác định như
liên kết bản lề, còn phản lực liên kết
của gối có con lăn được tìm theo qui
tắc của phản lực liên kết tựa (hình 120).

Hình 1-20

e) Liên kết gối cấu được thực hiện nhờ một quả cầu gắn vào đầu của vật chịu liên kết và
được đặt trong một vỏ cầu gắn liền với vật gây liên kết. Phản lực gối cầu đi qua tâm O
của vỏ cầu, có phương chiều chưa xác định. Thường phản lực gối cầu được phân thành
  
ba thành phần vng góc ( R x , R y , R z ) đặt tại tâm O của vỏ cầu (hình 1-21). Trường hợp
tương tự liên kết gối cầu là liên kết cối (ổ chắn)(hình 1-22).


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

Hình 1-21

GV: Th.S Trần Văn Đời

Hình 1-22

g) Liên kết ngàm là liên kết khi vật được nối cứng vào một vật khác (ví dụ, hàn). Trong
trường hợp ngàm phẳng phản lực liên kết gồm hai lực thẳng góc với nhau và một ngẫu
lực nằm trong mặt phẳng chứa hai lực (hình 1-23). Đối với ngàm khơng gian, phản lực
liên kết gồm ba thành phần lực vng góc với nhau (dọc ba trục toạ độ) và ba thành
phần ngẫu lực trong ba mặt phẳng toạ độ (hình 1-24).

Hình 1-23

Hình 1-24

h) Liên kết thanh được thực hiện nhờ các thanh thoả mãn các điều kiện sau : chỉ có lực

tác dụng ở hai đâu, cịn dọc thanh khơng có lực tác dụng và trọng lượng thanh được bỏ
qua (ví dụ, các thanh không trọng lượng, liên kết bằng các liên kết trụ hoặc cầu). Phản
lực có phương đi qua hai điểm chịu lực (hình 1-25).
Nói chung, liên kết có thể có kết cấu đa
dạng. Xác định phương chiều của phản lực
liên kết trong trường hợp chung theo qui
tắc sau: tương ứng với hướng di chuyển
thẳng bị ngăn trở có phản lực ngược chiều,
tương ứng với hướng di chuyển quay bị
ngăn trở cú ngu lc ngc chiu.
Hỡnh 1-25

Câu hỏi ôn tập

1. Ti sao xem các vật rắn là rắn tuyệt đối? Khi nào vật rắn được gọi là cân bằng?
2. Lực là gì? Các yếu tố để xác định một lực? Cách biểu diễn lực như thế nào?
3. Hợp lực của hệ lực là lực như thế nào?


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

4.
5.
6.
7.

GV: Th.S Trần Văn Đời

Hai lực trực đối là 2 lực như thế nào? Hai lực cân bằng là hai lực như thế nào?
Cho ví dụ và giải thích tiên đề tác dụng và phản tác dụng.
Xác định hợp lực của 2 lực cùng điểm đặt?
Nêu các loại liên kết thường gặp? (Cách biểu diễn và tính chất phản lực).

Bài tập:


1. Một vật có khối lượng m nằm yên trên mặt phẳng nghiêng nhờ lực F song song với
mặt phẳng nghiêng đó (hình 1-26a). Tìm hệ lực tác dụng lên vật.
2. Vật A có khối lượng m chịu liên kết như hình 1-26b. Tìm hệ lực tác dụng lên vật.

F

Hình 1-26a

Hình 1-26b

3. Thanh AB có khối lượng m, đầu A có liên kết bản lề cố định, đầu B tựa lên mặt trụ
như hình 1-26c. Tìm hệ lực tác dụng lên thanh.
4. Trụ có khối lượng m được đặt lên bộ đỡ như hình 1-26d. Tìm hệ lực tác dụng lên trụ.
5. Cho hệ dầm cân bằng chịu lực như trên hình 1.26e, 1.26f. Hãy giải phóng các liên kết
cho từng dầm.
B
A
O
Hình 1-26c
Hình 1-26d

A

B

P1

D

P2

C
Hình 1-26e


P1

P2


P3
12

Hình 1-26f


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

GV: Th.S Trần Văn Đời

CHƯƠNG 2

HỆ LỰC PHẲNG
Hệ lực phẳng là một tập hợp các lực có đường tác dụng nằm trong cùng một mặt
phẳng (hình 2-1).
2.1. VÉCTƠ CHÍNH VÀ MƠMEN CHÍNH CỦA LỰC PHẲNG.
2.1.1. Vectơ chính của hệ lực phẳng.

 

Cho hệ lực phẳng ( F 1, F 2 ,….., F N)

R’

1) Định nghĩa : vectơ chính của hệ lực, kí hiệu
là vectơ tổng của các vectơ của hệ lực :





R ’= F 1 + F 2 + ……+ F N =
N

=



Fk

(2-1)

Hình 2-1

k 1

2) Xác định vectơ chính: có thể sử dụng phương
pháp vẽ đa giác lực. Trong trường hợp này đa giác
lực là đa giác phẳng (hình 2-2) cũng có thể xác định
vectơ chính qua các hình chiếu của nó trên các trục
toạ độ vng góc theo công thức (2-1). Trong trường
hợp này chỉ cần xác định hai hình chiếu của nó trên
hai trục vng góc nhau, ví dụ :

Hình 2-2

R’x = F1x + F2x + …..+ FNx =

 F kx

(2-2)

R’y = F1y + F2y + …..+ FNy =

 F ky

(2-3)

Giá trị và phương chiều của vectơ chính được xác định theo cơng thức:
R’ =


R' y
R '2x  R '2y ; cos ( R ,Ox) =
R'

(2-4)

2.1.2. Momen chính của hệ lực phẳng đối với một điểm
1) Momen của một lực đối với một điểm.






Momen của lực F đối với điểm O, kí hiệu m o ( F ) là một đại lượng đại số :

m o ( F ) =  F.d

(2-5)

trong đó F là trị số của lực, d- khoảng
cách thẳng góc từ O đến đường tác dụng
của lực, gọi là tay đòn lực, lấy dấu “+”
khi lực có chiều quay quanh O ngược

Hình 2-3


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

với chiều kim đồng hồ và lấy dấu “-”
trong trường hợp ngược lại. Trong
trường hợp của hình 2-3 thì :

GV: Th.S Trần Văn Đời


m o ( F ) = + F.d

Momen của lực đối với điểm bằng không khi lực đi qua điểm lấy momen. Về trị số
momen của lực đối với điểm bằng hai lần diện tích của tam giác có đỉnh là điểm lấy
momen, có cạnh đáy là vectơ lực :

m o (F)



= 2dt OAB

(2-6)

Chú ý :
 

Momen của ngẫu lực ( F , F' ) đối với một

điểm Obất kỳ (tức là tổng momen của lực F
và lực F' đối với điểm O) chính bằng momen
của ngẫu lực, tức là (hình 2-5) :


m = mo ( F ) + mo ( F' )

Hình 2-5

(2-7)

2) Momen chính của hệ lực phẳng đối với một điểm là một đại lượng đại số, kí hiệu m o ,
bằng tổng momen các lực của hệ lực đối với điểm O :



m o ( F 1 ) + m o ( F 2 )+….+ m o ( F N ) =

mo =

N

m

o


( Fk )

(2-8)

k 1

3) Nhận xét :
(a) Vectơ chính là vectơ tự do, nhưng momen chính phụ thuộc vào điểm lấy momen,
nghĩa là momen chính đối với hai điểm khác nhau sẽ khác nhau :

m o ' = m o + m o ' ( Ro ' )

(2-9)

trong đó m o' và m o là momen chính của hệ lực đối với các điểm O’ và O tương ứng, còn

m o ' ( R o ' ) là momen đối với điểm O’ của vectơ chính đặt tại O.
(b) Đối với hệ lực đồng qui thì momen chính của hệ lực đối với điểm đồng qui bằng
không. Đối với hệ ngẫu lực thì vectơ chính của hệ ngẫu lực ln ln bằng khơng, cịn
momen chính của hệ ngẫu lực với bất kỳ điểm O nào cũng bằng momen của ngẫu lực
tổng cộng tức bằng tổng momen các ngẫu lực thành phần của hệ ngẫu lực .
2.2. THU GỌN HỆ LỰC PHẲNG

2.2.1. Định lý 2-1: dời lực song song.





Tác dụng của lực F đặt tại A tương đương với tác dụng của nó tại O ( Lực F ' ) và tác
dụng của một ngẫu lực có momen bằng momen của lực F đối với điểm O.
 

F  F' và m = m o ( F )

(2-10)






Chứng minh. Đặt tại O hai lực cân bằng ( F" , F' ) có cùng trị số lực F . Theo tiên đề cân
bằng (chương 1), ta có:


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

GV: Th.S Trần Văn Đời


  
 

F  ( F ' , F" , F )  F' và ( F" , F )





( F" , F ) là một ngẫu lực , có momen :

m = m o ( F ) theo (2-6)

Vậy (2- 10) đã được chứng minh (hình 2-6)

Hình 2-6

2.2.2. Thu gọn hệ lực phẳng về tâm O.
Lấy một điểm O trong mặt phẳng tác dụng của hệ lực gọi là tâm thu gọn. Sử dụng
định lý dời lực song song để dời các lực về tâm O (hình 2-1) :



F1  F '1 và ngẫu lực m1 = m o ( F1 )



F2  F '2 và ngẫu lực m 2 = m o ( F 2 )

……………………………………




FN  F' N và ngẫu lực m N = m o ( FN )

 

Như vậy, thu gọn hệ lực ( F1 , F2 ,…, FN ) về tâm O ta được hệ lực đồng qui tại O (
 

F1' , F2 ,.... FN' ) và hệ ngẫu lực phẳng ( m1 , m 2 ,….., m N )

Hình 2-7

Như đã biết hệ lực đồng qui có hợp lực qua O, được biểu diễn bằng vectơ chính của
hệ lực đã cho đặt tại O (vectơ chính của hệ đồng qui thu về O và vectơ chính của hệ lực
đã cho bằng nhau ):

R '0 

N

'

F

k

k 1

N

=



F

k



= R'

k 1



trong đó R '0 là hợp lực của hệ đồng qui thu về O, còn R ' là vectơ chính của hệ lực phẳng

đã cho.
Hệ ngẫu lực phẳng ( m1 , m 2 ,….., m N ), như đã chứng minh, tương đương với ngẫu lực
m , nằm trong mặt phẳng của hệ lực :


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

GV: Th.S Trần Văn Đời




m = m1 + m 2 + …….+ m N = m o ( F1 ) + m o ( F 2 ) + ……+ m o ( F N )
N


m =  m o (Fk ) = m o
(2-12)
k 1

Vậy ta có:
Định lý 2-2: Hệ lực phẳng bất kỳ tương đương với một lực và một ngẫu lực đặt tại
một điểm tuỳ ý cùng nằm trong mặt phẳng tác dụng của hệ lực. Chúng được gọi là lực
thu gọn và ngẫu lực thu gọn. Lực thu gọn được biểu diễn bằng vectơ chính của hệ lực đặt
tại tâm thu gọn, còn ngẫu lực thu gọn có momen bằng momen chính của hệ lực đối với
tâm thu gọn
Chú ý: Phương chiều và giá trị của lực thu gọn không phụ thuộc vào tâm thu gọn (vì
vectơ chính là vectơ tự do) cịn ngẫu lực thu gọn phụ thuộc vào tâm thu gọn (ngẫu lực
thu gọn biến thiên theo tâm thu gọn và được tính theo công thức (2-9)).
2.2.3. Các dạng chuẩn của hệ lực phẳng.
Dạng chuẩn là dạng đơn giản nhất nhận được khi thu gọn hệ lực. Từ kết quả thu gọn
hệ lực phẳng về một tâm, ta nhận được dạng chuẩn sau đây :
a) Hệ lực phẳng cân bằng là hệ lực khi vectơ chính và momen chính đều triệt tiêu :

 

R ' = 0 , m o = 0  ( F1 , F2 ,.... FN )  0

b) Hệ lực phẳng thu về một ngẫu lực khi vectơ chính triệt tiêu, cịn momen chính khơng
triệt tiêu :

 

R ' = 0 , m o  0  ( F1 , F2 ,....FN )  m o

Hai trường hợp trên vì R ' = 0 nên theo công thức (2-9), momen chính đối với mọi tâm

đều bằng nhau: trong trường hợp a) momen chính bằng khơng, cịn trường hợp b) momen
chính bằng m o đối với mọi tâm.
c) Hệ lực phẳng có hợp lực.


 



Khi R '  0, m o = 0 thì ( F1 , F2 ,..., FN )


 R 'o tức là hệ lực đã cho có hợp lực được

biểu diễn bằng vectơ chính đặt tại O (hình
2-8a).


Khi R '  0, m o  0 thì thu gọn hệ lực

về tâm O ta được một lực ( R 'o ) và một
ngẫu lực m o , theo định lý dời lực song
song có thể đưa về một lực có phương
chiều và giá trị của vectơ chính nhưng đặt
tại điểm O’ khác O, cách O một đoạn
(hình 2-8b) :
h

mo

R'

Hình 2-8a

Hình 2-8b


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

GV: Th.S Trần Văn Đời





sao cho momen của hợp lực R đối với điểm O bằng m o (hình 2-8a), tức m o ( R )= m o =

m

o


( Fk ) . Vậy trong trường hợp hệ lực có hợp lực ta có định lý sau :

Định lý Varinhơng (định lý 2-3)
Hệ lực có hợp lực thì momen của hợp lực đối với một điểm bất kỳ bằng tổng momen
các lực của hệ lực đối với cùng điểm đó.

mo ( R ) =

N

m

o


( Fk )

(2-13)

k 1

Từ đây dễ dàng suy ra rằng:
Hệ lực đồng qui phẳng có hai dạng chuẩn :
- Cân bằng nếu vectơ chính của hệ lực triệt tiêu.
- Hợp lực nếu vectơ chính của hệ lực khơng triệt tiêu.
Hệ ngẫu lực phẳng có hai dạng chuẩn :
- Cân bằng nếu momen chính của hệ ngẫu lực triệt tiêu.
- Ngẫu lực nếu momen chính của hệ ngẫu lực không triệt tiêu.
Hệ lực song song phẳng cùng chiều chỉ có một dạng chuẩn là hợp lực vì vectơ chính
khơng triệt tiêu.
Hệ lực song song phẳng ngược chiều có thể có ba dạng chuẩn : cân bằng, ngẫu lực và
hợp lực.
2.3. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG - CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC
PHẲNG
2.3.1. Điều kiện cân bằng.

Định lý 2-4. Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là vectơ chính và momen
chính cả hệ lực đối với một điểm bất kỳ phải đồng thời triệt tiêu :

N 
 '
R

Fk  0
 



( F1 , F2 ,....FN )  0  
k 1

m  m ( F
 o  o k)0

(2-14)

Chứng minh . Điều kiện cần được chứng minh dựa vào các dạng chuẩn của hệ lực vì
nếu điều kiện (2-14) khơng thoản mãn thì hệ lực phẳng hoặc tương đương với một lực
hoặc một ngẫu lực, không thoả mãn Tiên đề 1 (chương 1). Điều kiện đủ là hiển nhiên vì
khi vectơ chính bằng khơng, hệ lực thu gọn về tâm O sẽ được một ngẫu lực, tức thu về
hai lực. Nếu ngẫu lực bằng khơng thì hai lực đó là hai lực cân bằng.
2.3.2. Các dạng phương trình cân bằng của hệ lực phẳng.
Điều kiện (2-14) có thể viết dưới dạng các phương trình được gọi là các phương trình
cân bằng. Có ba dạng phương trình cân bằng.
1) Dạng 1. Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hình chiếu các lực trên
hai trục toạ độ vng góc và tổng momen các lực đối với một điểm bất kỳ đồng thời triệt
tiêu.
17

Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh
N

N

F

kx

k 1

0;

F

ky

 0;

k 1

m


(
F
o
k)  0

GV: Th.S Trần Văn Đời

(2-15)


Hai phương trình đầu tương đương với R '  0 .
Phương trình cuối tương đương với m o = 0

2)Dạng 2. Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hình chiếu các lực trên
trục  và tổng momen các lực đối với các tâm A , B tuỳ ý triệt tiêu với điều kiện AB
khơng vng góc với trục  (hình 2-9):

F

k



 0;  m A ( Fk )  0;  mB ( Fk )  0

(2-16)

với điều kiện trục  không vuông góc với đoạn AB.
Chứng minh. Điều kiện cần được chứng minh dựa
vào dạng chuẩn : nếu một trong ba điều kiện khơng

Hình 2-9

được thoả mãn thì hệ đã cho hoặc tương đương với một lực hoặc một ngẫu lực, tức không
thể cân bằng theo Tiên đề 1 (chương 6). Để chứng minh điều kiện đủ ta nhận xét rằng nếu

ba điều kiện trên thoả mãn thì hệ lực khơng có hợp lực, cũng không thể tương đương

ngẫu lực. Thực vậy hệ lực khơng thể có hợp lực vì nếu hệ lực có hợp lực ( R '  0) thì dựa
vào hai điều kiện cuối và dựa vào định lý Varinhông (định lý 2-3) :




m
(
F
)

m
(
R
)

0
;
m
(
F
)

m
(
R
)0
 A k

 B k
A
B

tức hợp lực R phải đi qua hai điểm A và B. Điều này mâu thuẫn với điều kiện đầu :

F

kx

R x  R cos   0

Vì R  0 ; cos   0 (do AB khơng vng góc với trục x) nên R cos  không thể triệt
tiêu.
Hệ lực cũng không thể tương đương với một ngẫu lực m o nào khác khơng vì trong


trường hợp này (do vectơ chính R ' triệt tiêu).

m o  m A   m A (Fk )  0

3) Dạng 3.Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng momen của các lực đối
với ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng triệt tiêu (hình 2-10)

m

A





( Fk )  0 ;  m B ( Fk )  0 ;  mC ( Fk )  0

(2-17)

Chứng minh.Điều kiện cần là hiển nhiên vì nếu một trong ba điều kiện trên khơng
thoả mãn thì hệ lực tương đương với ngẫu lực khác không, hệ lực sẽ không cân bằng.
Để chứng minh điều kiện đủ, tương tự cách
chứng minh cho dạng 2, nếu ba điều kiện được
thoả mãn thì hệ lực khơng có lực cũng như
khơng thể tương đương với ngẫu lực khác
khơng.
Hình 2-10


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

GV: Th.S Trần Văn Đời

Hệ lực khơng thể có hợp lực vì dựa vào định lý Varinhơng nếu ba điều kiện đều thoả

mãn thì hợp lực phải đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Điều này vô lý . Vậy R

=0 tức R '  0 . Hệ lực cũng không thể tương đương
với một ngẫu lực m o nào khác khơng

'
vì khi R  0 ta có :
m o = m A =  m A ( Fk )  0
Ví dụ 2-1. Cột OA = 2a, trọng lượng

P thẳng đứng và được chôn sâu (ngàm) xuống

nền đất. Cột chịu tác dụng nằm ngang F đặt tại A và ngẫu lực m (hình 2-11). Tìm:
- Phản lực tại ngàm
- Trạng thái lực tại mặt cắt ngang cách chân trụ khoảng cách x
BÀI GIẢI




Khảo sát cân bằng của cột AB dưới tác dụng của hệ lực gồm : trọng lực P ,lực F và
 
ngẫu lực m , phản lực ngàm (gồm hai thành phần lực vng góc X o , Yo )(hình 2-11). Vậy


ta có :

 



( X o , Yo , m o , P, F, m ) = 0

Viết các phương trình cân bằng của hệ lực theo dạng 1 :

F

= Xo + F = 0

F

= Yo – P = 0

x

y

m

o


(F) = mo –m – F.2a =0

Khi giải ra ta nhận được :
Xo = -F ; Yo = P; m o = m + 2aF

Hình 2-11

Trong các kết quả nhận được thì Yo và m o lấy giá trị dương, nên chiều đã giả sử như
trên hình 2-11 là chiều đúng , cịn Xo lấy giá trị âm : chiều đã giả sử như hình 2-11 là
khơng đúng. Muốn có chiều đúng cần lấy chiều ngược lại.
Bây giờ để xác định trạng thái lực (nội lực) tại một tiết diện cách chân trụ một đoạn x,
ta tưởng tượng cắt trụ bằng một mặt cắt vng góc với trục y tại tiết diện x và xét một
trong hai phần của trụ,ví dụ, ta xét phần dưới (hình 2-12). Tác dụng của phần trên lên
phần dưới được thay thế bằng một lực và một ngẫu lực.
Lực được phân tích thành hai lực:



+ Lực theo phương ngang, kí hiệu Q , được gọi là lực cắt.
+Lực theo phương đứng (phương dọc trục của trụ), kí hiệu


N được gọi là lực kéo (nếu hướng ra khỏi mặt cắt) hoặc lực

nén (nếu hướng vào mặt cắt)
Ngẫu lực thu gọn, kí hiệu M, được gọi là momen uốn.




Các đại lượng N , Q , M (hình 2-12 ) được gọi là các
thành phân nội lực tại tiết diện x-x.


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

GV: Th.S Trần Văn Đời
Hình 2-12

Để tính chúng ta có thể thành lập phương trình cân bằng cho hệ lực tác dụng lên
   
phần dưới của cột:
( X o , Yo , mo , Px , Q, N , M )  0
Trong đó Px là trọng lượng của phần cột dưới. Nếu xem cột là đồng chất và có tiết
diện khơng đổi suốt chiều dài cột thì:

Px = P

x
2a

Phương trình cân bằng trong dạng 1 đối với hệ lực trên được viết như sau :

 F = - Xo + Q = 0
x
 F = Yo – P 2a –N = 0

 m (F) = –Xox + mo – M =0
x

y

1

Giải các phương trình ta có :
Q = Xo = F; N = Yo - P

x
x
= P (1);
2a
2a

M = mo - Xox = m + 2aF – Fx = m + F(2a-x)
Ví dụ 2-2. Cho một dầm AB có kích thước và chịu lực như hình 2-13. Xác định các phản
lực tại A và B
BÀI GIẢI
Đầu tiên ta thay thế lực phân

bố trên đoạn AB bằng lực tập
trung, kí hiệu F, có giá trị bằng
2aq, hướng thẳng đứng xuống.
Tại A phản lực có hai thành
 
phần đứng và ngang ( YA , X B ) vì
A là gối cố định, còn B là gối di
động, ta đặt phản lực theo hướng

thẳng đứng N B .

Hình 2-13

Dầm AB cân bằng dưới tác dụng của hệ lực sau:
  
 
( X A , YA , F, M o , P, N B )= 0

Khi viết phương trình cân bằng cho hệ lực này trong dạng 1, ta có :

F

= XA = 0

F

= YA – P + NB - F= 0

x

y

m

A


o
(F) = –Fa – M – P.2a + NB.3a=0

Với Mo= qa2, P = qa; F= 2qa, ta tìm được
X A = 0 ; NB =

5
4
qa ; YA = qa
3
3


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

GV: Th.S Trần Văn Đời

Chiều các phản lực được vẽ trên hình 2-13.
Ví dụ 2-3. Thanh đồng chất OA=6a, trọng lượng P1 được gắn vào tường nhờ bản lề O
được đỡ nằm ngang nhờ thanh đồng chất BC = 4a, có trọng lượng P2, bị ngàm ở C và

nghiêng 30o với tường. Điểm A chịu lực Q thẳng đứng. Tìm phản lực tại O, B và C (hình
2-14).

BÀI GIẢI
Xét hệ hai thanh chịu lực như hình 2-14 :


 









Thanh OA chịu các lực P1 , Q, X o , Yo , N .




Thanh CB chịu các lực P2 , X c , Yc , m , N ' .
 

Chú ý rằng các lực N, N ' có modun bằng nhau, kí hiệu N.
Hệ gồm hai thanh OA và BC. Ta xét trạng thái
cân bằng của từng thanh và thiết lập phương trình
cân bằng của hệ lực tác dụng lên mỗi thanh.
Phương pháp này gọi là phương pháp tách vật.
Thanh OA cân bằng dưới tác dụng của hệ lực :


 





( P1 , Q, X o , Yo , N )

0

Các phương trình cân bằng (dạng 1) đối với hệ lực
này là :

 F = Xo = 0
 F =Yo – P1 + N - Q = 0
 m (F) = N.2a- P1.3a-Q.6a =0
x

Hình 2-14

y

o

Rút ra :
Xo = 0; N =

3
P
P 1+ 3Q; Yo = - 1 - 2Q

2
2

Thanh BC cân băng dưới tác dụng của hệ lực








( P2 , X c , Yc , m , N ' )

0

Các phương trình cân bằng (dạng 1) đối với hệ lực này có dạng :

 F = Xc = 0;
 F = Yc – P2 -N = 0

 m (F) = m- P2a-N.2a =0
x

(với N=N')

y

c

Rút ra :

3
2

Xc =0; Yc = P2 + N = P 2 + P1 + 3Q; m= P2a + 3aP 2 + 6aQ

Chiều của thành phần thẳng đứng của phản lực tại O ngược lại với chiều trên hình 214 (vì đáp số Yo mang dấu âm).


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

GV: Th.S Trần Văn Đời

Câu hỏi:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Nêu cách tìm hợp lực của hệ lực phẳng.
Phát biểu điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng.
Cách tìm hình chiếu của 1 lực lên 2 trục vng góc như thế nào?
Cách tìm hợp lực của hệ lực phẳng theo phưong pháp giải tích?
Phát biểu điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng theo giải tích?
Phát biểu định lý hệ ba lực phẳng khơng song song cân bằng? Cho ví dụ.
Nêu thứ tự các bước giải một bài toán hệ lực phẳng?

Bài tập:
1. Thanh OA trọng lượng khơng đáng kể, có liên kết và chịu lực như hình 2-15 biết
OB=0,5BA, góc α = 300 . Tìm phản lực tại O và sức căng của dây.
2. Dầm đồng chất AB, trọng lượng 100N được giữ cân bằng với ba thanh không trọng
lượng AC, BE, FD (hình 2-16). Xác định ứng lực trong các thanh?

Hình 2-15

Hình 2-16

3. Dàn đồng chất AB trọng lượng P chịu lực Q và có liên kết như hình 2-17, góc α = 450.
Tìm phản lực tại A và B (hình 2-17).

.
Hình 2-17

4. Quả cầu O1 bán kính r, trọng lượng P (đặt ở trọng tâm O1) được giữ ở trạng thái cân
bằng nhờ tựa vào tường tại điểm A và tựa vào thanh CD tại điểm B. Thanh CD có chiều
dài l, trọng lượng Q đặt ở điểm giữa thanh O2, đầu C được liên kết bản lề với tường, đầu
D được treo bằng một dây DE theo phương thẳng đứng. Góc  =60o. (hình 2-18). Xác
định lực căng của sợi dây?
5. Lực P=40N tác dụng vào tấm hình tam giác được cố định vào tường nhờ bulông A và
B. Bulông B không cản trở dịch chuyển của tấm theo phương thẳng đứng. Xác định phản
lực của bulông A và B. (hình 2-19)


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

GV: Th.S Trần Văn Đời

6. Một phần của dàn cầu treo bằng 3 sợi dây như hình 2-20 khối lượng của giàn cầu
m=420Kg đặt tại D. Biết giàn cầu nằm ngang, tìm phản lực các dây?
7. Để kéo vật nặng P lên, người ta cuốn dây treo vật vào một tang tời bán kính R quay

được quanh trục O và tác động lực Q vào đầu A của tay quay OA = a gắn với tang tời.

Biết Q vuông góc với OA. Tìm trị số Q cần thiết (hình 2-21).
8. Bể nước trọng lượng P được đặt lên tháp hai chân PA và PB. Tại A liên kết bản lề cố

định, tại B tựa trên mặt đất. Ở độ cao h có lực gió nằm ngang Q hướng theo chiều từ B
đến A. Tìm khoảng cách AB = a để tháp khơng bị lật (hình 2-22).
9. Thanh CD đặt trên 2 gối đỡ A và B chịu các lực tác dụng F=2.10 4N; m = 8000 Nm; q
= 2.104N/m có vị trí như trên hình 2-23. Hãy xác định phản lực tại gối đỡ A và B.
10. Thanh AB ngàm đặt tại A, đầu B chiu lực tác dụng K = 104N và hợp với AB góc 600
(hình 2-24). Trọng lượng thanh AB là P = 10 3N. Biết chiều dài AB = l = 1/2m. Hãy xác
định phản lực tại ngàm.
11. Thanh đồng chất AB trọng lượng P = 20N có trục quay nằm ngang A, đầu B treo vật
nặng Q = 10N. Buộc sợi dây vào đầu B, đầu kia treo vật nặng G = 20N sau khi vắt qua
ròng rọc nhỏ D. Biết AD nằm ngang, AD = AB. Tìm góc nghiêng  của thanh khi cân
bằng (hình 2-25).
12. Thanh OA trọng lượng khơng đáng kể, có liên kết và chịu lực như hình 2-26a. Biết
OB = 2BA, góc  = 30 0. Tính phản lực tại O và sức căng của dây.
13. Tính phản lực tại ngàm A của thanh AB chịu lực như hình 2-26b. Biết P=qa; m=qa2;
q=103N/m; a=2m
14. Một ô tô vận tải có sơ đồ như hình 2-27.
a. Khi xe khơng chở hàng, 2 bánh trước chịu một áp lực 1500N, 2 bánh sau chịu một
áp lực 1000N. Hãy tìm khoảng cách x từ trọng tâm xe tới bánh trước (hình 2-27).
b. Muốn thay bánh xe sau người ta đặt một kích ở điểm cuối xe. Hỏi lực K mà kích
tác dụng vào xe nhỏ nhất phải bằng bao nhiêu (xem như ơ tơ vẫn nằm ngang).

15. Cho thanh có kích thước và chịu lực như hình 2-28. Biết: AB=BC=0,4 (m); CD=DE
= 0,3 (m) ; F = 20 (kN); q = 50 (kN/m); m = 10 (kNm). Xác định phản lực liên kết tại A.
16. Cho thanh có kích thước và chịu lực như hình 2-29. Tại A là gối cố định, tại B là gối
di động. Biết: lực phân bố q = 2.104N/m; lực tập trung P = 4.104N; mô men tập trung m =
3. 104Nm; a = 1m; b = 2m. Xác định phản lực liên kết tại A và B?

23


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

GV: Th.S Trần Văn Đời

Hình 2-19
Hình 2-18

60 0
D

A

BF

O

2m

1m

a

E

Q

P

H×nh 2-20

P

A

C

P
4m

R

45 0

H×nh 2-21

Q
q(N/m)
h

A

B

m
B

A

C

P
C

E
0,8m

0,8m

a
Hình 2-22

D

Hình 2-23

0,8m

0,8m

F

A
l/2

K
600

l/2

Hình 2-24

B


Cơ ứng dụng – Cao đẳng nghề KTCN Tp Hồ CHí Minh

C

B
D

Q



O

A P

G

B
P

A


B
a

2a

K

H×nh 2-26a

H×nh 2-25
q

GV: Th.S Trần Văn Đời

m

2a

K

P

A

C

x

a

4m
H×nh 2-26b

1m

H×nh 2-27

Hình 2-28

Hình 2-29

PHẦN 2
SỨC BỀN VẬT LIỆU
CHƯƠNG 3
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỨC BỀN VẬT LIỆU
3.1. ĐỐI TƯỢNG, MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU
Trong phần một ta đã nghiên cứu trạng thái cân bằng của vật rắn tuyệt đối. Trong
phần hai ta sẽ nghiên cứu về vật rắn biến dạng. Vật rắn biến dạng là vật rắn mà kích
thước và hình dạng của nó thay đổi khi chịu lực tác dụng. Vật rắn biến dạng là vật rắn có
thực như dàn thép, bệ gang, dầm bê tơng…
Khi tính tốn các chi tiết máy hay bộ phận cơng trình người ta thường biểu thị chúng
dưới dạng một sơ đồ tính. Sơ đồ tính là hình vẽ đối tượng tính tốn đã được đơn giản hoá,
chỉ mang những đặc điểm cần thiết cho việc tính tốn đã được lý tưởng hố. Việc mơ
hình hoá một kết cấu thực dưới dạng một sơ đồ tính địi hỏi sự hiểu biết đúng đắn về sự

làm việc của kết cấu, ý nghĩa của sơ đồ tính và đặc biệt là kinh nghiệm của người tính
tốn.
Các đối tượng nghiên cứu của cơ học vật rắn biến dạng có thể có ba dạng sơ đồ tính
như sau (hình 4.1):