Tuyển tập 500 bài tập trắc nghiệm chuyên đề oxyz giải chi tiết

Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u
h t tCHUYÊN
p://w
wHỌC
. t aTỌA
i l ĐỘ
i eKHÔNG
u p r GIAN
o.co
ĐỀ w
HÌNH
h t t p : / / w wGV:wPhạm
. t Thành
a i l Luân
ieupro.co
Toànw
bộ công
thức
OXYZ
+ full

các
dạng
bài .
tậpc o
h t tTàipliệu: bao
/ /gồm
w500: w
.
t
a
i
l
i
e
u
p
r
o
câu hỏi trắc nghiệm giải chi tiết
cho đỡ
h t tCácpem:in /ra /đọcw
whạiwmắt .– chúc
t acácieml họci etốt u p r o . c o
Facebook.com/thaygiao2k



lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
Mục Lục :

1- TÓM TẮT LÝ THUYẾT – DẠNG TOÁN CHƯƠNG 3 HH LỚP 12

CHUYÊN ĐỀ 8.1: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
CHUYÊN ĐỀ 8.2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

CHUYÊN ĐỀ 8.3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

CHUYÊN ĐỀ 8.4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
CHUYÊN ĐỀ 8.5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

CHUYÊN ĐỀ 8.6: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

1

Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u







lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
 u p r o . c
lie
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw

a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
TÓM TẮT LÝ THUYẾT – DẠNG TOÁN CHƯƠNG 3 HH LỚP 12
I. TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VECTƠ
TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM

1. M ( xM ; yM ; zM )  OM  xM i  yM j  zM k

TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ
1. a  (a1; a2 ; a3 )  a  a1 i  a2 j  a3 k

2. Cho A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB)

2. Các tính chất:

Cho hai vecto a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) ta có:



AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A )



AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A ) 2  ( zB  z A ) 2

3. M là trung điểm AB thì :

 x  x B  x C y A  y B  yC z A  z B  z C 
G A
;
;

3
3
3


5. G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì:

G  xA  xB  xC  xD ; yA  yB  yC  yD ; z A  zB  zC  zD 
4
4
4



6. Ứng dụng của tích có hướng:

SABC 

1
AB, AC 

2

b) Diện tích h b hành ABCD: SABCD   AB, AD 



c) Thể tích tứ diện ABCD: VABCD 

 ka  (ka1; ka2 ; ka3 )

z

 a.b  a1b1  a2b2  a3b3

 x  x y  yB z A  z B 
M A B ; A
;

2
2 
 2
4. G là trọng tâm của ABC thì:

a) Diện tích tam giác ABC:

 a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )

1
AB, AC  . AD

6

d) Thể tích khối hộp: VABCDA’B’C’D’ = [ AB, AD]. AA '

7. Tọa độ các điểm đặc biệt:
M  Ox  M ( x;0;0)
M  (Oxy )  M ( x; y;0)
M  Oy  M (0; y;0)
M  (Oxz )  M ( x;0; z )
M  Oz  M (0;0; z )
M  (Oyz )  M (0; y; z )

k  (0;0;1)
O j  (0;1;0)

a1  b1

 a  b  a2  b2
a  b
 3 3

 | a | a  a2  a3
2
1

2

y

i  (1;0;0)

x

2

 a  b  a.b  0  a1b1  a2b2  a3b3  0
a1.b1  a2 .b2  a3 .b3
 cos(a, b) 
a12  a22  a32 . b12  b22  b32

(với a  0 , b  0 )
3. Tích có hướng của 2 vectơ:
a
a  b   a, b    2
 b2
Độ dài tích có hướng :
a
 a, b    2
 
 b2


2

a3 a3
;
b3 b3

a1 a1 a2 
;

b1 b1 b2 

a3 a3

;
b3 b3

2

a1 a1
;
b1 b1

2
a2 

b2 


Hoặc u , v   u . v sin u , v
4. Điều kiện 2 vectơ cùng phương:
 a cuøng phöông b 

a1 a2 a3
 
(b , b , b  0)
b1 b2 b3 1 2 3

 a cuøng phöông b   a, b   0
 
5. Điều kiện 3 vectơ đồng phẳng:

a, b, c đồng phẳng   a, b  .c  0
 

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
1. Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng: Cho 2mp
(  1 ): A1 x  B1 y  C1 z  D1  0

6. A, B, C thẳng hàng AB, AC cùng phương.
KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm Mo(xo;yo;zo) đến mặt phẳng
(  ): Ax + By + Cz + D = 0:

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

2


Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
w w
ww
. t.at ial ii lei u

h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p
r
o
.
c

h t t p : / / w w w . t a i l  i e
u
p
r
o
.
c


lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
(  2 ): A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 A2 ; B2 ; C2  0

Axo  Byo  Czo  D

d ( M o ,( )) 

A2  B 2  C 2

A B C
 (  1 ) cắt (  2 )  1 ; 1 ; 1 có một cặp khác nhau
A2 B2 C2
 (  1 ) // (  2 )



A1 B1 C1 D1



A2 B2 C2 D2

 ( 1 ) ≡ (  2 )



A1 B1 C1 D1




A2 B2 C2 D2

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Khoảng cách từ điểm M0 đến đt d (d đi qua M1 và
 a, M 0 M 


có VTCP a ): d ( M 0 , d ) 
a

 (  1 )  (  2 )  n1.n2  0  A1. A2  B1.B2  C1.C2  0
2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng: Cho 2 đt

3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

d1 qua M1 và có VTCP a1 ;

d1 qua M1 và có VTCP a1 ; d2 qua M2 và có VTCP a2






d2 qua M2 và có VTCP a2
  a , a   0  d1 cắt d2
d1//d2    1 2 
  a1 , a2   0



 M1  d 2

  a1 , a2  .M 1M 2  0
  a1 , a2   0


d1  d2  
 M1  d 2
d1 chéo d2  a1 , a2  .M1M 2  0
d1  d 2
 a1.a2  0

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

a) Cách 1:
 x  x0  a1t

Cho d:  y  y0  a2t và (  ): Ax  By  Cz  D  0
z  z  a t
0
3

+ Thay ptts của d vào pt (  ) ta có:
A(xo + a1t) + B(yo + a2t) + C(z0 + a3t) + D = 0 (1)
 Phương trình (1) có 1 nghiệm  d cắt (  )
 Phương trình (1) vô nghiệm  d // (  )
 Phương trình (1) vô số nghiệm  d  (  )
* Tìm tọa độ giao điểm I của d và (  ):




Thay ptts của d vào pt (  ), giải tìm t
Thay t vừa tìm được vào ptts của d tìm x,y,z
 I(x;y;z)

b) Cách 2:

Đt d đi qua M và có VTCP a ; mp (  ) có VTPT n
 d cắt (  )  a.n  0
a.n  0
 d // (  )  
 M  ( )
a.n  0
 d  ( )  
 M  ( )
 d  ( )  a; n cùng phương.

 a1 , a2  .M 1M 2


d d1 , d 2 
 a1 , a2 


4. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song:

d d1 , d 2  d M , d 2 (lấy M  d1 )

5. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song:

d (1 ), ( 2 )  d M , ( 2 ) (lấy M  (1 ) )

6. Khoảng cách giữa đt và mp song song:

d d , ( )  d M , ( ) (lấy M  d )
GÓC

1. Góc giữa 2 mặt phẳng:

Cho (1 ) có VTPT n1 , ( 2 ) có VTPT n2 , ta có :

cos  

n1.n2

n1 . n2

2. Góc giữa 2 đường thẳng:

Cho d1 có VTCP a1 , d2 có VTCP a2 , ta có :

cos  

a1.a2

a1 . a2

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cho d có VTCP a , ( ) có VTPT n , ta có :

sin  

n.a

n.a

4. Góc trong tam giác ABC :

cos A 

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

AB.AC
AB.AC

3


Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w

ww
ww
. t.at ial ii lei u


h t t p : / / w w w . t a i l i e u p rr Io . c o




lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1. Muốn viết phương trình mặt cầu (S) ta cần tìm 2 yếu tố: tâm và bán kính
Mặt cầu (S) có:
+ Tâm I(a;b;c)

+ Bán kính r

Vậy ptmc (S): ( x  a) 2  ( y  b)2  ( z  c) 2  r 2

2. Mặt cầu (S): x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 có tâm I (a;b;c) , bán kính

r  a 2  b2  c 2  d , (với a 2  b 2  c 2  d  0 ).

1/ Bài toán 1: Viết phương trình mặt cầu dạng cơ bản

Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và đi qua điểm A( x A ; y A ; z A ) :
Mặt cầu (S) có:
+ Tâm I(a;b;c)

A

+ Do (S) đi qua A nên có bán kính: r  IA 

 x A  xI    y A  y I    z A  z I 
2

2

r I

2

r  IA

Vậy ptmc (S): ( x  a) 2  ( y  b)2  ( z  c) 2  r 2

Dạng 2: Mặt cầu (S) có đường kính AB:
Mặt cầu (S) có:
 x  x y  yB z A  z B 
+ Gọi I là trung điểm của AB  Tâm I  A B ; A
;

2
2 
 2
+ Do (S) có đkính AB nên có bkính: r  AB 
2

(Ta có thể tính bán kính r = IA hay r = IB)
Vậy ptmc (S): ( x  a) 2  ( y  b)2  ( z  c) 2  r 2

 xB  xA    yB  yA    zB  z A 
2

2

A

r I

B

2

2

Dạng 3: Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và tiếp xúc với mp(P): Ax+By+Cz+D = 0:
Mặt cầu (S) có:
+ Tâm I(a;b;c)
Aa  Bb  Cc  D
+ Do (S) tiếp xúc với mp(P) nên có bán kính: r  d I ,( P) 
A2  B 2  C 2
Vậy ptmc (S): ( x  a) 2  ( y  b)2  ( z  c) 2  r 2

AB
2
(r  IA  IB)
r

I
r

P) r  d(I,(P)

Dạng 4: Mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A,B,C,D:
+ Gọi ptmc (S): x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 (đk: a 2  b 2  c 2  d  0 )
+ Do (S) đi qua 4 điểm A,B,C,D nên: (Thay lần lượt tọa độ A,B,C,D vào ptmc (S) có hệ 4 pt, giải hệ tìm
a,b,c,d)
+ Vậy ptmc (S): x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0

III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

4

Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u

h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o


h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
 
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w

. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
1. Phương trình tổng quát: Muốn viết phương trình tổng
quát của mp(P) ta cần tìm 2 yếu tố:

VTPT n  (A; B;C)

+ Điểm thuộc mp(P) là: M0(x0;y0;z0)

+ VTPT của mp(P) là: n  ( A; B; C ) , n  0

M 0  x 0 ; y0 ; z 0 

(VTPT là vectơ vuông góc với mp(P))

P)

 Ptmp (P) có dạng: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

2. Chú ý

3. Các trường hợp đặc biệt:

* Nếu (P) : Ax + By + Cz + D = 0 thì có
véctơ pháp tuyến là n  ( A; B; C ) .

 ( ) / /Ox  ( ) : By  Cz  D  0 D  0  ( )  Ox

* Ptmp theo đoạn chắn: Nếu mp(P) cắt các
trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0),
B(0;b;0), C(0;0;c) thì:
(P):

 ( ) / /Oy  ( ) : Ax  Cz  D  0 D  0  ( )  Oy
 ( ) / /Oz  ( ) : Ax  By  D  0 D  0  ( )  Oz
(Oxy ) : z  0; (Oxz ) : y  0; (Oyz ) : x  0 .

x y z
   1 ( a, b, c  0) .
a b c

1/ Bài toán 1: (P) có điểm thuộc và có 1 VTPT

* Phương pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định tọa độ một
điểm thuộc (P) và một VTPT vuông góc với (P)
+ Điểm thuộc mp(P) là: M0(x0;y0;z0)
+ VTPT của mp(P) là: n  ( A; B; C ) , n  0

 Ptmp (P) là: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

VTPT n  (A; B;C)

M 0  x 0 ; y0 ; z 0 

P)

* Một số cách xác định VTPT thường gặp:
1/ (P) // (Q): Ax + By + Cz + D = 0
+ VTPT của (Q) là: n(Q)  (A;B;C)

+ Do (P) // (Q) nên (P) có VTPT là: n(P)  n(Q)  (A;B;C)

n P  n Q

P)

Q)

 x  x0  a1t
x  x0 y  y0 z  z0

2/ (P)  d:  y  y0  a2t (hay d:
)


a1
a2
a3
z  z  a t
0
3

+ VTCP của d là: a d  (a1;a 2 ;a 3 )

+ Do (P) // (Q) nên (P) có VTPT là: n (P)  a d  (a1;a 2 ;a 3 )

3/ (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB
 x  x y  yB z A  z B 
+ Gọi I là trung điểm của AB  I  A B ; A
;
  ( P)
2
2 
 2
+ Do (P)  AB nên (P) có VTPT: n  AB  xB  x A ; yB  y A ; zB  zA

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

d

nP  a d

P)

B n  P   AB
I

P)

A

5


Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên

Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>4/ (P)  AB thì (P) có VTPT: n  AB   xB  x A ; yB  y A ; zB  zA 
B n  P   AB

ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u







lieu
P) p r o . c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e P)u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c




t ph :t /t /pw
w
w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
:// w
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
P)

A

2/ Bài toán 2: (P) có điểm thuộc và có 2 VTCP

* Phương pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định tọa độ một
điểm thuộc (P) và 2 VTCP u, v của (P) (VTCP là vectơ nằm trong
(P) hay song song với (P))

VTPT n   u, v 

v

+ Điểm thuộc mp(P) là: M0(x0;y0;z0)

u

+ VTPT của mp(P) là: n  u, v   ( A; B; C )

P)

M0

 Ptmp (P) là: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

* Một số cách xác định VTCP của mp(P):

1/ (P) // d hay (P) chứa d thì VTCP a d của d là 1 VTCP của (P)

ad

d

d

ad

2/ (P) // AB hay (P) chứa AB thì AB là 1 VTCP của (P)

B

A

AB

3/ (P)  (Q) thì VTPT n  Q  của Q là 1 VTCP của (P)

n Q

P)

Q)

 x  x0  a1t
x  x0 y  y0 z  z0

4/ Chú ý: Nếu (P) chứa d:  y  y0  a2t (hay d:
)


a
a
a
1
2
3
z  z  a t
0
3

thì (P) chứa luôn điểm M thuộc d
Lấy M x 0 ; y0 ; z 0  d  M x 0 ; y0 ; z 0  (P)

d

P)

M

3/ Bài toán 3: (P) có 1 VTPT (hoặc 2 VTCP) nhưng chưa có điểm thuộc

* Phương pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định 1 VTPT hay 2 VTCP của (P)
+ VTPT của mp(P) là: n  ( A; B; C )

 Ptmp (P) là: Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó D là ẩn chưa biết, đặt đk cho D nếu cần)

+ Sử dụng dữ kiện còn lại để tìm D, các dữ kiện thường gặp là:
+ d ( M ,( P)) 

Axo  Byo  Czo  D
A2  B 2  C 2

D

+ mp(P) tiếp xúc mặt cầu  d(I, (P))  R  D (I và R là tâm và bán kính của mặt cầu (S))

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

6


Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m

o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u

http://ww
w
.
t
a
i
l
i
e
u
p
r
o
.
c
o


 

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
h t t p : / / w w
 w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Phương trình tham số: Muốn viết phương trình 2. Phương trình chính tắc: Muốn viết phương
tham số của đt d ta cần tìm 2 yếu tố:
trình chính tắc của đt d ta cần tìm 2 yếu tố:
+ Điểm thuộc d là: M0(x0;y0;z0)

+ Điểm thuộc d là: M0(x0;y0;z0)

+ VTCP của d là: a  (a1;a 2 ;a 3 ) , a  0

+ VTCP của d là: a  (a1;a 2 ;a 3 ) , a1; a2 ; a3  0

(VTCP là vectơ nằm trên d hay song song với d)

 Ptts của d:

 Ptct của d:

x  x0 y  y0 z  z0


a1
a2
a3

 x  x0  a1t

 y  y0  a2t (t  )
z  z  a t
0
3


3. Chú ý:
 VTCP của trục Ox là : i  (1;0;0)

VTCP a

a

d

M0



VTCP của trục Oy là : j  (0;1;0)



VTCP của trục Oz là : k  (0;0;1)

4. Cách tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P):
x  x0 y  y0 z  z0
 x  x0  a1t
* Chú ý: Nếu d:



a1
a2
a3
Cho d:  y  y0  a2t và (P): Ax  By  Cz  D  0
z  z  a t
và (P): Ax  By  Cz  D  0
0
3

+ Tọa độ giao điểm I của d và (P) là nghiệm của
+ Tọa độ giao điểm I của d và (P) là nghiệm của hệ:
hệ
 x  x0 y  y0 z  z0
 x  x0  a1t




a2
a3
y  y  a t
 a1

0
2
 Ax  By  Cz  D  0


z

z

a
t
0
3

+ Chuyển hệ trên về hệ 3 pt 3 ẩn tìm x,z,y
 Ax  By  Cz  D  0
+ Giao điểm của d và (P) là : I(x;y;z)
+ Thay ptts của d vào pt (P) ta có:
A(xo + a1t) + B(yo + a2t) + C(z0 + a3t) + D = 0 (1)
+ Giải pt(1) tìm t
+ Thay t vừa tìm được vào ptts của d tìm x,y,z
+ Giao điểm của d và (P) là : I(x;y;z)

1/ Bài toán 1: d có điểm và có VTCP

* Phương pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định tọa độ một điểm thuộc d và một VTCP nằm
trên d hay song song với d
+ Điểm thuộc d là: M0(x0;y0;z0)

+ VTCP của d là: a  (a1;a 2 ;a 3 ) , a  0

(VTCP là vectơ nằm trên d hay song song với d)

 x  x0  a1t

 Ptts của d:  y  y0  a2t (t  )
z  z  a t
0
3


Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

7


Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m

o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u


h t t p : / / w w w . t a i l i e u pa r ao . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e udp r o . c o
h t t p : / / w w w. t a i l i e u p r o . c o


lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w  w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
* Một số cách xác định VTCP thường gặp:

1/ d  (P): Ax + By + Cz + D = 0

+ VTPT của (P) là: n (P)  (A;B;C)

a d  nP

d

+ Do d  (P) nên d có VTCP là: a d  n (P)  (A;B;C)

P)

 x  x0  a1t
x  x0 y  y0 z  z0

2/ d //  :  y  y0  a2t (hay  :
)


a
a
a
1
2
3
z  z  a t
0
3




d

+ VTCP của  là: a   (a1;a 2 ;a 3 )

+ Do d //  nên d có VTCP là: a d  a   (a1;a 2 ;a 3 )

3/ d qua 2 điểm A, B thì d có VTCP: ad  AB  xB  x A ; yB  y A ; zB  zA

a d  AB

d A

B

2/ Bài toán 2: d có điểm và có 2 VTPT

* Phương pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định tọa độ một
điểm thuộc d và 2 VTPT u, v của d (VTPT là vectơ vuông góc với d)
+ Điểm thuộc d là: M0(x0;y0;z0)
+ VTCP của d là: a d  u, v   (a1; a2 ; a3 )

VTCP a   u, v 
u

 x  x0  a1t

 Ptts của d:  y  y0  a2t (t  )
z  z  a t
0
3


* Một số cách xác định VTPT của đt d:

v

d

M0

1/ d   thì VTCP a  của  là 1 VTPT của d



a

d

2/ d // (P) hay d nằm trong (P) thì VTPT n  P  của (P) là 1 VTPT của d

n P

d

P) d

3/ d  AB thì AB là 1 VTPT của d

B AB

d A

3/ Bài toán 3: d có điểm thuộc, chưa có 1 VTCP hoặc d có 1 VTCP, chưa có điểm thuộc (bài toán
này thường cho đt d “cắt” đường thẳng  cho trước)

 x  x0  a1t

1/ PP chung: Giả sử d đi qua A và cắt  :  y  y0  a2t tại M
z  z  a t
0
3

+ Gọi M  d   M x0  a1t; y0  a2t ; z0  a3t  

a

b

M

d

+ Tính AM   A; B;C  (ẩn là t)

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

A



8

Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u







d B a
lieupro.c
ABr o . c
lieu
p
A
h t t p : / / w w w . t a i l i de u pa r o . c
lieupro.c
lieupro.c

lieupro.c
lieupro.c

t ph :t /t /pw: /w/ w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
w
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
+ Dựa vào dữ kiện còn lại để tìm ẩn t, các dữ kiện hay gặp là:
+ AM  a  (a1; a2 ; a3 )  n  P .a  0  A.a1  B.a 2  C.a 3  0
A B C
+ AM cùng phương với b  (b1;b2 ;b3 )  

b1 b2 b3
+ Khi có t ta tìm tọa độ điểm M
+ Viết phương trình đường thẳng d cần tìm đi qua A và M.
*Lưu ý: Nếu đt d cắt 2 đt 1 ,  2 cho trước thì ta gọi hai điểm
M  d  1 , N  d   2 theo 2 ẩn t1, t2. Sử dụng dữ kiện đề bài tìm t1, t2
2/ Chú ý:
+ M  d  Ox  M(x 0 ;0;0)  Ox ; M  d  Oy  M(0; y 0 ;0)  Oy; M  d  Oz  M(0;0; z 0 )  Oz

B  0
+ AM   A; B;C  cùng phương với i  (1;0;0)  
C  0
3/ Đt d là đường vuông góc chung của 2 đt d1 và d2
 x  x0  a1t

 x  x1  b1t '


d1 :  y  y0  a2t ; d 2 :  y  y1  b2t '
z  z  a t
z  z  b t '
1
3

0
3


+ VTCP của đt d1 là : ad1  (a1 ; a2 ; a3 )

2

+ VTCP của đt d1 là : ad2  (b1 ; b2 ; b3 )
+ Gọi A, B là chân đường vuông góc chung của d1, d2
+ Ta có: A  d1  A( x0  a1t ; y0  a2t ; z0  a3t )
B  d 2  B( x1  b1t '; y1  b2t '; z1  b3t ')
+ AB là đường vuông góc chung


 AB  ad1
 AB.ad1  0
 Giải hệ tìm t, t’


AB


a
AB
.
a

0


d
d

2

2
+ Suy ra tọa độ A, B
+ Viết ptđt d đi qua 2 điểm A, B.

d2

1

d1

V. TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG THỎA ĐIỀU KIỆN

 x  x0  a1t

1/ PP chung: Giả sử cần tìm điểm M thuộc đt d :  y  y0  a2t
z  z  a t

0
3

+ Gọi M x0  a1t; y0  a2t ; z0  a3t  d
+ Dựa vào dữ kiện đề bài để tìm ẩn t  M(...;...;...)

* Các dữ kiện hay gặp:

1/ AB  ( xB  xA )  ( yB  y A )  ( zB  z A )
2

2/ d (M ,( )) 

2

2

Axo  Byo  Czo  D

A2  B 2  C 2
 a, MM 0 


M0  d
3/ d ( M , d ) 
a

4/ ABC vuông tại A  AB  AC  AB. AC  0

(Cần đưa ptđt d về ptts)

1
AB, AC 

2
8/ A, B, C thẳng hàng
 AB  (a1; a2 ; a3 ), AC  (b1; b2 ; b3 )
a
a
a
cùng phương  1  2  3
b1 b2 b3

7/ SABC 

9/ a  (a1; a2 ; a3 ) vuông góc b  (b1; b2 ; b3 )

 a.b  0  a1b1  a2b2  a3b3  0

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

9


Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep

u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u





http
: / / w w w . t a i l i e u p r o . c o


lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c

5/ ABC cân tại A  AB  AC

10/ a cùng phương với b 

 AB  BC
6/ ABC đều  
 AB  AC

2/ Chú ý: + M(x 0 ;0;0)  Ox

M(0; y 0 ;0)  Oy

a1 a 2 a 3


b1 b2 b3

M(0;0; z 0 )  Oz

+ Nếu đề bài yêu cầu tìm 2 điểm M  1 , N   2 thì ta gọi tọa độ điểm M, N lần lượt theo 2 ẩn t1, t2. Sử
dụng dữ kiện đề bài tìm t1, t2
VI. TÌM ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG

1/ PP chung: Giả sử cần tìm điểm M thuộc mp(P): Ax + By + Cz + D = 0
+ Gọi M a; b; c  ( P)  A.a  B.b  C.c  D  0 (ta được một phương trình chứa ẩn a,b,c)
+ Dựa vào dữ kiện đề bài để tìm thêm 2 phương trình chứa ẩn a,b,c.
+ Giải hệ phương trình tìm a,b,c  M(...;...;...)
M  (Oxz)  M(a; 0;c)
2/ Chú ý: M  (Oxy)  M(a; b;0) ; M  (Oyz)  M(0; b;c) ;
VII. HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC - ĐỐI XỨNG – KHOẢNG CÁCH

1/ HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC
Dạng 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên mp (P):
+ Lập ptđt d qua A và vuông góc với (P):
 A(x0;y0;z0)  d
 VTCP: a  nP
(Do d  (P))

 x  x0  a1t

 ptts của d:  y  y0  a2t
z  z  a t
0
3

+ Gọi H là hình chiếu của A lên (P), ta có: H  d  ( P )
+ Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H.
Dạng 2: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đt d:
+ Lập ptmp (P) qua A và vuông góc với d:
 M0(x0;y0;z0)  (P)
 VTPT: n  ad (Do (P)  d)
 ptmp (P): A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
+ Gọi H là hình chiếu của A lên d, ta có: H  d  ( P )
+ Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H.
Dạng 3: Tìm hình chiếu vuông góc d’ của đt d trên mp (P): (d cắt (P))
+ Gọi A  d  ( P ) ,thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ A
+ Lấy điểm M  d, viết ptđt  qua M và  (P)
+ Gọi B    ( P) ,thay ptts  vào pt (P) tìm tọa độ B
+ Viết ptđt d’ đi qua 2 điểm A, B là đt cần tìm.

d

A

P)

H

d

P) A

H



A
P)

d
M

B d'

2/ ĐỐI XỨNG

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

10

Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u




h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o


lieupro.c
http://ww
w . t a i l i e u p r o . c

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w

. tw
a i. lt iae i ul iperuop. cr oo .mc
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c

 

lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i  l i e u p r o . c
lieupro.c
Dạng 1: Tìm điểm đối xứng A’ của điểm A qua mp (P):
+ Lập ptđt d qua A và vuông góc với (P):
 A(x0;y0;z0)  d
 VTCP: a  nP
(Do d  (P))

d

A

 x  x0  a1t

 ptts của d:  y  y0  a2t
z  z  a t
0
3

+ Gọi H là hình chiếu của A lên (P), ta có: H  d  ( P )
+ Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H.
+ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P)

 H là trung điểm của AA’  A ' 2 xH  xA ; 2 yH  y A ; 2 zH  z A

H

P)

A'

Dạng 2: Tìm điểm đối xứng A’ của điểm A qua đt d:

+ Lập ptmp (P) qua A và vuông góc với d:
 M0(x0;y0;z0)  (P)
 VTPT: n  ad (Do (P)  d)
 ptmp (P): A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
+ Gọi H là hình chiếu của A lên d, ta có: H  d  ( P )
+ Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H.
+ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d
 H là trung điểm của AA’  A ' 2 xH  xA ; 2 yH  y A ; 2 zH  z A

d

A'

P) A H

Dạng 3: Viết ptmp (P’) đối xứng với mp (P): Ax+By+Cz+D=0 qua
điểm A

P ')

+ Do (P’) đối xứng với (P) qua A nên (P’) // (P)
 (P) có pt dạng: Ax+By+Cz+D’= 0 (D’  D)
+ Do (P’) đối xứng với (P) qua A nên: d(A,(P’)) = d(A,(P))  D’
+ Vậy ptmp (P’): Ax+By+Cz+D’=0

A

P)

3/ KHOẢNG CÁCH

1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng:

Khoảng cách từ điểm Mo(xo;yo;zo) đến mặt
phẳng (  ): Ax + By + Cz + D = 0:

d ( M o ,( )) 

Axo  Byo  Czo  D
A2  B 2  C 2

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường
thẳng:

Khoảng cách từ điểm M0 đến đt d (d đi qua M1
và có VTCP a ):
 a, M 0 M 



d (M 0 , d ) 
a

3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

d1 qua M1 và có VTCP a1 ; d2 qua M2 và có VTCP a2
d d1 , d 2 

 a1 , a2  .M 1M 2


 a1 , a2 



4. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song:

d d1 , d 2  d M , d 2 (lấy M  d1 )

5. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song:

d (1 ), ( 2 )  d M , ( 2 ) (lấy M  (1 ) )

6. Khoảng cách giữa đt và mp song song:

d d , ( )  d M , ( ) (lấy M  d )

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

11

Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u









lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e uIp r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i deA ur Hp rB o . c

t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
VIII. VỊ TRÍ GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU
1/ Bài toán 1: Mặt phẳng cắt mặt cầu

+ Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính r.

+ Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn giao tuyến
(C) (có tâm H và bán kính r’)  d(I, (P))  r

I

+ H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(P).

r

A

+ IH = d(I,(P))

r’

H

+ Tam giác IAH vuông tại H

P)

+ r '  r  IH  r  d(I, (P))
2

2

2

2

2/ Bài toán 2: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

+ Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính r.

I

+ Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm H  d(I, (P))  r
+ H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(P).

r
H

P)
r  IH  d(I,(P)

+ r = IH = d(I,(P))

IX. VỊ TRÍ GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT CẦU

1/ Bài toán 1: Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt

+ Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính r.
+ Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A và B
 a d , IM 


 d(I, d) 
r
ad
+ H là hình chiếu vuông góc của I lên đt d.
+ H là trung điểm của AB
2

2
 AB 
+ r  AH  IH  
  d(I, d)
 2 
+ Tam giác IAB cân tại I, tam giác IAH vuông tại H
*Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt cầu (S):
 x  x0  a1t

Giả sử d :  y  y0  a2t ; ( S ) : ( x  a)2  ( y  b) 2  ( z  c) 2  r 2
z  z  a t
0
3


+ Thay pt tham số của d vào pt của mặt cầu (S) ta có phtrình bậc hai theo ẩn t: At 2  Bt  C  0 (1)  t
+ Nếu pt(1) có 2 nghiệm t thì d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B (Thay lần lượt nghiệm t vào ptts của d
để tìm tọa độ A, B)
+ Nếu pt(1) có nghiệm kép t thì d tiếp xúc (S) tại điểm H (Thay nghiệm t vào ptts của d để tìm tọa độ H)
+ Nếu pt(1) vô nghiệm d và (S) không có điểm chung.
2

2

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

12


Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
2/ Bài toán 2: Đường thẳng tiếp xúc mặt cầu

+ Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính r.

+ Đthẳng d tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm H  d(I, d) 

 a d , IM 


r
ad

I

r

d

+ H là hình chiếu vuông góc của I lên đt d.

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

H

13


Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
CHUYÊN ĐỀ 8.1 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A. LÝ THUYẾT

1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy , Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một

điểm gốc O. Gọi i, j, k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy , Oz . Hệ ba trục như vậy
gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.
2

2

2

i  j  k  1 và i. j  i.k  k. j  0 .
Chú ý:
2. Tọa độ của vectơ
a) Định nghĩa: u   x; y; z   u  xi  y j  zk

b) Tính chất: Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ), k 
 a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )
 ka  (ka1 ; ka2 ; ka3 )

a1  b1

 a  b  a2  b2
a  b
 3 3

 0  (0;0;0), i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1)
 a cùng phương b (b  0)

 a.b  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3

 a  kb (k  )
a1  kb1
a
a a

 a2  kb2

 1  2  3 , (b1 , b2 , b3  0)
b1 b2 b3
a  kb
3
 3
 a  b  a1b1  a2b2  a3b3  0
 a 

 a 2  a12  a22  a32
 cos(a, b ) 

a.b

a .b



a12  a22  a22

a1b1  a2b2  a3b3

a12  a22  a32 . b12  b22  b32

(với a, b  0 )

3. Tọa độ của điểm
a) Định nghĩa: M ( x; y; z)  OM  x.i  y. j  z.k
(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:
 M  Oxy  z  0; M  Oyz  x  0; M  Oxz  y  0

 M  Ox  y  z  0; M  Oy  x  z  0; M  Oz  x  y  0 .

b) Tính chất: Cho A( xA ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; z B )
 AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A )

 AB  ( xB  x A ) 2  ( yB  y A ) 2  ( z B  z A ) 2

 x  x y  yB z A  z B 
;
 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : M  A B ; A

 2
2
2 
 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC :
 x  x  x y  yB  yC z A  zB  zC 
G A B C ; A
;

3
3
3


 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :
 x  x  x  xD y A  yB  yC  yD z A  z B  zC  zC 
G A B C
;
;



4
4
4


Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

14


Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u

h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o


h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t  a i l i e u p r o . c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. t w
a i.lt iae i u
e ru op. cr oo .mc
 l ip
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
4. Tích có hướng của hai vectơ
a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  (a1; a2 ; a3 ) , b  (b1; b2 ; b3 ) . Tích có hướng
của hai vectơ a và b, kí hiệu là a, b , được xác định bởi
 a a3 a3 a1 a1 a2 
 a , b    2
;
;
  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1
b
b
b
b

b
b
2
3
3
1
1
2



Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
 [a, b]  a;
[a, b]  b
 a, b    b, a 
 i , j   k ;
 j , k   i ;

 k , i   j

 [a, b]  a . b .sin a, b (Chương trình nâng cao)

 a, b cùng phương  [a, b]  0 (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)
c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)
 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b và c đồng phẳng  [a, b].c  0

  AB, AD 
1
  AB, AC 

2

 Diện tích hình bình hành ABCD :

S

 Diện tích tam giác ABC :

S ABC

 Thể tích khối hộp ABCDABCD :

VABCD. A' B 'C ' D '  [ AB, AD]. AA

 Thể tích tứ diện ABCD :

VABCD 

ABCD

1
[ AB, AC ]. AD
6

Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính
góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ
diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các
vectơ cùng phương.

a  b  a.b  0
a vaø b cuøng phöông  a, b  0
a, b , c ñoàng phaúng  a, b .c  0

5. Một vài thao tác sử dụng máy tính bỏ túi (Casio Fx570 Es Plus, Casio Fx570 Vn Plus, Vinacal
570 Es Plus )
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A xA ; y A ; z A , B xB ; yB ; z B , C xC ; yC ; zC , D xD ; yD ; z D
w 8 1 1 (nhập vectơ AB )
q 5 2 2 2 (nhập vectơ AC )
q 5 2 3 1 (nhập vectơ AD )

C q53q54= (tính  AB, AC  )

C q53q54q57q55= (tính [ AB, AC]. AD )

Cqc(Abs) q53q54q57q55= (tính [ AB, AC ]. AD )
C1a6qc(Abs) q53q54q57q55=

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

15


Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m

o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u







lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
(tính VABCD 

1

[ AB, AC ]. AD
6

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

16


Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u






h t t p : / / w w w .  t a i l i e u p r o . c o
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u  p r o . c
lieupro.c

h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
h t t p : / / w w w
. t a i l i e u p r o . c

h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c

http
: / / w  w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t  a  i l i e u p r o . c
lieupro.c
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.

Gọi  là góc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos  bằng
A.

a.b

a.b

.

B.

a.b

Câu 2.

C.

a.b

.

D.

a.b

a.b

ab

B.

2
.
5

C.

2
.
5

2
D.  .
5

Cho vectơ a  1;3; 4  , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a
A. b   2; 6; 8  .

B. b   2; 6;8  .

C. b   2;6;8  .

D. b   2; 6; 8  .

Câu 4.

Tích vô hướng của hai vectơ a   2; 2;5  , b   0;1; 2  trong không gian bằng
A. 10.
B. 13.
C. 12.
D. 14.

Câu 5.

Trong không gian cho hai điểm A 1; 2;3 , B 0;1;1 , độ dài đoạn AB bằng
A.

Câu 6.

6.

Câu 9.

8.

C. 10.

D. 12.

B. xi  y j  zk.

C. x j  yi  zk.

D. xi  y j  zk.

Tích có hướng của hai vectơ a  (a1; a2 ; a3 ) , b  (b1; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí hiệu  a , b  , được
xác định bằng tọa độ
A. a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 .
B. a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 .
C.

Câu 8.

B.

Trong không gian Oxyz , gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, khi đó với M x; y; z thì OM bằng
A.  xi  y j  zk.

Câu 7.

.

a.b

Gọi  là góc giữa hai vectơ a  1; 2;0  và b   2;0; 1 , khi đó cos  bằng
A. 0.

Câu 3.

.

a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 .

D.

a2b2  a3b3 ; a3b3  a1b1 ; a1b1  a2b2 .

Cho các vectơ u   u1 ; u2 ; u3  và v   v1 ; v2 ; v3  , u.v  0 khi và chỉ khi
A. u1v1  u2v2  u3v3  1 .

B. u1  v1  u2  v2  u3  v3  0 .

C. u1v1  u2v2  u3v3  0 .

D. u1v2  u2v3  u3v1  1 .

Cho vectơ a  1; 1; 2  , độ dài vectơ a là
A.

6.

B. 2.

C.  6 .

D. 4.

Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M không trùng với gốc tọa
độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng
A. M a;0;0 , a  0 . B. M 0; b;0 , b  0 . C. M 0;0; c , c  0 . D. M a;1;1 , a  0 .

Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng Oxy sao cho M không trùng với
gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy , khi đó tọa độ điểm M là ( a, b, c  0 )
A. 0; b; a .
B. a; b;0 .
C. 0;0; c .
D. a;1;1

Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho a   0;3; 4  và b  2 a , khi đó tọa độ vectơ b có thể là
A. 0;3; 4 .

B. 4;0;3 .

C. 2;0;1 .

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

D. 8;0; 6 .

17

Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u
h t t p : / /  w w w . t a i l i e u p r o . c o

h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a  i l  i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a  i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a  i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t  a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
h t t p : / / w w  w  . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c

h t t p : / / w w w
. t a i l i e u p r o . c
t ph :t /t /pw: /w/ w w

. tw
a i. lt iaei ul  ip eruop. cr oo .mc








h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a  i l i e u p r o . c


h t t p : / / w w
w
. t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
Câu 13. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u và v , khi đó u , v  bằng
A. u . v .sin u, v .

B. u . v .cos u, v .

C. u.v.cos u, v .

D. u.v.sin u, v .

Câu 14. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a  1; 1; 2  , b   3;0; 1 , c   2;5;1 , vectơ

m  a  b  c có tọa độ là
A. 6;0; 6 .
B. 6;6;0 .

C. 6; 6;0 .

D. 0;6; 6 .

Câu 15. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;0; 3 , B 2; 4; 1 , C 2; 2;0 . Độ dài các cạnh
AB, AC , BC của tam giác ABC lần lượt là

A.

21, 13, 37 .

B. 11, 14, 37 .

C.

21, 14, 37 .

D.

21, 13, 35 .

Câu 16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;0; 3 , B 2; 4; 1 , C 2; 2;0 . Tọa độ trọng tâm G
của tam giác ABC là
5 2 4
5 2 4
5


A.  ; ;   .
B.  ; ;  .
C. 5; 2; 4 .
D.  ;1; 2  .
3 3 3
3 3 3
2

Câu 17. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1; 2;0 , B 1;1;3 , C 0; 2;5 . Để 4 điểm A, B, C , D
đồng phẳng thì tọa độ điểm D là
A. D 2;5;0 .
B. D 1; 2;3 .
C. D 1; 1;6 .
D. D 0;0; 2 .

Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a  (1; 2; 3), b  (2; 0;1), c  (1; 0;1) . Tìm tọa độ của
vectơ n  a  b  2c  3i
A. n  6; 2;6 .
B. n  6; 2; 6 .

C. n  0; 2;6 .

D. n  6; 2;6 .

Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0; 2), B (2;1;3), C (3; 2; 4) . Tìm tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC
 1 
2


A. G  ;1;3  .
B. G 2;3;9 .
C. G 6;0; 24 .
D. G  2; ;3  .
 3 
3


Câu 20. Cho 3 điểm M 2;0;0 , N 0; 3;0 , P 0;0;4 . Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của
điểm Q là
A. Q 2; 3; 4

B. Q 2;3; 4

C. Q 3; 4; 2

D. Q 2; 3; 4

Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M 1;1;1 , N 2;3; 4 , P 7;7;5 . Để tứ giác MNPQ
là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là
A. Q 6;5; 2 .
B. Q 6;5; 2 .

C. Q 6; 5; 2 .

D. Q 6; 5; 2 .

Câu 22. Cho 3 điểm A 1;2;0 , B 1;0; 1 , C 0; 1;2 . Tam giác ABC là
A. tam giác có ba góc nhọn.
B. tam giác cân đỉnh A .

C. tam giác vuông đỉnh A .
D. tam giác đều.

Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A 1; 2; 2 , B 0;1;3 , C 3; 4;0 . Để tứ giác

ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
A. D 4;5; 1 .
B. D 4;5; 1 .
C. D 4; 5; 1 .

D. D 4; 5;1 .

Câu 24. Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 60 0 và a  2; b  4 . Khi đó a  b bằng
Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

18


Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u

h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o

h t t p : / /  w  w w
. t a i l i  e u p r o . c o
h t t p : / / w w w
. t a i l i e u p r o . c o

h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o


h t t p : / / w w w .  t a i  l i e u p r o . c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c








h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c

 
 
 


lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c

 p  r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e
u

lieupro.c
A.

8 3  20.

C. 2 5.

B. 2 7.

D. 2 .

Câu 25. Cho điểm M 1; 2; 3 , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng Oxy bằng
B. 3 .

A. 2.

C. 1.

D. 3.

Câu 26. Cho điểm M 2;5;0 , hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là điểm
A. M  2;5;0 .

B. M  0; 5;0 .

D. M  2;0;0 .

C. M  0;5;0 .

Câu 27. Cho điểm M 1; 2; 3 , hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng Oxy là điểm
A. M  1; 2;0 .

B. M  1;0; 3 .

C. M  0; 2; 3 .

D. M  1; 2;3 .

Câu 28. Cho điểm M 2;5;1 , khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng
A.

29 .

B.

5.

C. 2.

D.

26 .

Câu 29. Cho hình chóp tam giác S.ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là
đẳng thức đúng
B. IA  IB  CI  0.

A. IA  IB  IC.



C. IA  BI  IC  0.

D. IA  IB  IC  0.





Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a  1;1; 0 ; b  1;1; 0 ; c  1;1;1 . Trong các mệnh
đề sau, mệnh đề nào sai:
A. b  c.

B. a  2.

C. c  3.

D. a  b.

Câu 31. Cho điểm M 3; 2; 1 , điểm đối xứng của M qua mặt phẳng Oxy là điểm
A. M  3; 2;1 .

B. M  3; 2; 1 .

C. M  3; 2;1 .

D. M  3; 2;0 .

Câu 32. Cho điểm M 3; 2; 1 , điểm M  a; b; c đối xứng của M qua trục Oy , khi đó a  b  c bằng
A. 6.

B. 4.

C. 0.

D. 2.

Câu 33. Cho u  1;1;1 và v   0;1; m  . Để góc giữa hai vectơ u, v có số đo bằng 450 thì m bằng
A.  3 .

B. 2  3 .

C. 1  3 .

D.

3.

Câu 34. Cho A 1; 2;0 , B 3;3; 2 , C 1; 2; 2 , D 3;3;1 . Thể tích của tứ diện ABCD bằng
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 6.

Câu 35. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD
cho bởi công thức nào sau đây:
A. h 

1  AB, AC  . AD
.
3  AB. AC 



 AB, AC  . AD


..
C. h 
AB. AC

B. h 

1  AB, AC  . AD
.
3
AB. AC

 AB, AC  . AD


.
D. h 
 AB. AC 



Câu 36. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 1; 2;0 , B 3;3; 2 , C 1; 2; 2 , D 3;3;1 . Độ
dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ABC là

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

19


Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u

http://www
.
t
a
i
l
i
e
u
p
r
o
.
c
o







h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c

lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
A.

9

7 2

.

B.

9
.
7

C.

9
.
2

D.

9
.
14

Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0; 2), B(2;1;3), C (3; 2; 4), D(6;9; 5) . Tìm
tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD
14 
 18


A. G  9; ; 30  .
B. G 8;12; 4 .
C. G  3;3;  .
D. G 2;3;1 .
4
4




Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B (2; 1; 2) . Điểm M trên trục Ox và cách đều
hai điểm A, B có tọa độ là
1 1 3
 1 3
1
3


A. M  ; ;  .

B. M  ;0;0  .
C. M  ;0;0  .
D. M  0; ;  .
2 2 2
 2 2
2
2


Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B (3; 1; 2) . Điểm M trên trục Oz và cách đều
hai điểm A, B có tọa độ là
3
3 1 3

A. M 0;0; 4 .
B. M 0;0; 4 .
C. M  0;0;  .
D. M  ; ;  .
2
2 2 2

Câu 40. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 2;3), B(0;3;1), C (4; 2; 2) . Cosin của góc BAC là
9
9
9
9
A.
.
B.
.

C. 
.
D. 
.
2 35
35
2 35
35
Câu 41. Tọa độ của vecto n vuông góc với hai vecto a  (2; 1;2), b  (3; 2;1) là
A. n   3; 4;1 .

B. n   3; 4; 1 .

C. n   3; 4; 1 .

Câu 42. Cho a  2; b  5, góc giữa hai vectơ a và b bằng

D. n   3; 4; 1 .

2
, u  ka  b; v  a  2b. Để u vuông
3

góc với v thì k bằng
A. 

6
.
45

B.

45
.
6

C.

6
.
45

D. 

45
.
6

Câu 43. Cho u   2; 1;1 , v   m;3; 1 , w  1; 2;1 . Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên đồng phẳng
A.

3
.
8

3
B.  .
8

C.

8
.
3

8
D.  .
3

Câu 44. Cho hai vectơ a  1;log 3 5; m  , b   3;log 5 3; 4  . Với giá trị nào của m thì a  b
A. m  1; m  1 .
B. m  1.
C. m  1 .
D. m  2; m  2 .

Câu 45. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), B(3; 7; 4), C ( x; y; 6) . Giá trị của x, y để ba điểm
A, B, C thẳng hàng là
A. x  5; y  11 .
B. x  5; y  11 .
C. x  11; y  5 .
D. x  11; y  5 .
Câu 46. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B (0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC là
A. tam giác vuông tại A .
B. tam giác cân tại A .
C. tam giác vuông cân tại A .
D. Tam giác đều.

Câu 47. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1;0;0), B (0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC có
diện tích bằng
1

6
6
A. 6 .
B.
.
C.
.
D. .
2
3
2
Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

20


Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ilieupro.co
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ia
 l i e  u  p r o . c o m

h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : /  / w w w . t a i l  i e u  p r o . c o


lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
 p  r o . c o m
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. ltiae i u
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a  i l  i  e u p r o . c
h t t p :  / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
Câu 48. Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là 1;1;1 , 2;3; 4 , 7;7;5 . Diện tích của hình bình
hành đó bằng
83
A. 2 83 .
B. 83 .
C. 83 .
D.
.
2

Câu 49. Cho 3 vecto a  1; 2;1 ; b   1;1; 2  và c   x;3 x; x  2  . Tìm x để 3 vectơ a, b, c đồng
phẳng
A. 2.

B. 1.

C. 2.


D. 1.



Câu 50. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a   3; 2; 4  , b  5;1;6 , c  3;0; 2 . Tìm vectơ x
sao cho vectơ x đồng thời vuông góc với a, b, c
A. 1;0;0 .

B. 0;0;1 .

C. 0;1;0 .

D. 0;0;0 .

Câu 51. Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm B(1; 2; 3) , C (7; 4; 2) . Nếu E là điểm thỏa mãn đẳng
thức CE  2EB thì tọa độ điểm E là

 8 8
A.  3; ;   .
 3 3

 8 8
B.  3; ;  .
 3 3

8

C.  3;3;   .
3


1

D. 1; 2;  .
3


Câu 52. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 1) , B (2; 1;3) , C ( 2;3;3) .
Điểm M a; b; c là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM , khi đó P  a 2  b 2  c 2 có giá trị
bằng
A. 43. .

B. 44. .

C. 42. .

D. 45.

Câu 53. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 2; 1) , B (2; 1;3) , C ( 2;3;3) . Tìm
tọa độ điểm D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC
A. D (0;1;3) .

B. D (0;3;1) .

C. D (0; 3;1) .

D. D(0;3; 1) .

Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A(1;3;5) , B(4;3;2) , C(0;2;1) . Tìm tọa
độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
8 5 8
A. I ( ; ; ) .
3 3 3

5 8 8
B. I ( ; ; ) .
3 3 3

5 8 8
C. I ( ; ; ).
3 3 3

8 8 5
D. I ( ; ; ) .
3 3 3

Câu 55. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a  1;1;0 , b  1;1;0 , c  1;1;1 . Cho hình hộp

OABC.OABC thỏa mãn điều kiện OA  a ,OB  b ,OC '  c . Thể tích của hình hộp nói trên
bằng:
1

2
A.
B. 4
C.
D. 2
3
3

Câu 56. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ 4 điểm A 2; 1;1 , B 1;0;0 ,

C 3;1;0 , D 0;2;1 . Cho các mệnh đề sau:

1) Độ dài AB  2 .
2) Tam giác BCD vuông tại B .
3) Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6 .
Các mệnh đề đúng là:
Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

21


Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w

ww
ww
. t.at ial ii lei u

h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o






h t t p : / / w w
w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iae i ul ipe ruo
. cr oo .mc
 p


lieupro.c

 
 

 

http://w
w
w.tailieupro.c


h t t p : / / w w
w
.
t
a
i
l
i
e
u
p
r
o
.
c






lieupro.c
lieupro.c

A. 2).

B. 3).

C. 1); 3).

D. 2), 1)

Câu 57. Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a   1,1, 0  ; b  (1,1, 0); c  1,1,1 . Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào đúng:
A. cos b, c 

6
.
3

B. a  b  c  0.
D. a.b  1.

A. a, b, c đồng phẳng.

Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD , biết A(1; 0;1) , B (1;1; 2) ,
C ( 1;1; 0) , D (2; 1; 2) . Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD bằng:
A.

2
.
13

B.

1
.
13

C.

13
.
2

D.

3 13
.
13

Câu 59. Cho hình chóp tam giác S.ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là
đẳng thức đúng
A. SI 

1
SA  SB  SC .
2

C. SI  SA  SB  SC.

B. SI 

1

SA  SB  SC .
3

D. SI  SA  SB  SC  0.

Câu 60. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;0;1), D( 2;1; 1) . Thể
tích của tứ diện ABCD bằng
3
1
A. .
B. 3 .
C. 1 .
D. .
2
2
Câu 61. Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  a, SC  3a, ASB  CSB  600 , CSA  900 . Gọi G là trọng
tâm tam giác ABC . Khi đó khoảng cách SG bằng
a 15
a 5
a 7
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 3 .
3
3
3

Câu 62. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A 2;5;1 , B 2; 6; 2 , C 1; 2; 1 và điểm

M m; m; m , để MB  2 AC đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng

A. 2.

B. 3 .

C. 1.

D. 4.

Câu 63. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A 2;5;1 , B 2; 6; 2 , C 1; 2; 1 và điểm

M m; m; m , để MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng
A. 3.
B. 4.
C. 2.

D. 1.

Câu 64. Cho hình chóp S.ABCD biết A 2; 2;6 , B 3;1;8 , C 1;0;7 , D 1; 2;3 . Gọi H là trung
điểm của CD, SH  ABCD . Để khối chóp S.ABCD có thể tích bằng

27
(đvtt) thì có hai
2

điểm S1 , S2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S1S2
A. I 0; 1; 3 .

B. I 1;0;3

C. I 0;1;3 .

D. I 1;0; 3 .

Câu 65. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 1;7), B(4;5; 2) . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng
(Oyz ) tại điểm M . Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào
Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

22


Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u

h t t p : / / w w w . t a  i l i e u p r o . c o

h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
A.

1
.
2

B. 2 .

C.

1
.

3

D.

2
.
3

Câu 66. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(2;1; 1), B (3;0;1), C(2; 1;3) và D thuộc
trục Oy . Biết VABCD  5 và có hai điểm D1 0; y1;0 , D2 0; y2 ;0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Khi đó y1  y2 bằng
A. 0.

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Câu 67. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1; 2; 4), B(3;0; 2), C(1;3;7) . Gọi D là
chân đường phân giác trong của góc A . Tính độ dài OD .
A.

207
.
3

203
3

B.

C.

201
.
3

205
.
3

D.

Câu 68. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(1;1;1) , B(5;1; 2) , C (7;9;1) .
Tính độ dài phân giác trong AD của góc A
A.

2 74
.
3

3 74
.
2

B.

C. 2 74.

D. 3 74.

Câu 69. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm A(2; 4; 1) , B (1; 4; 1) , C (2; 4;3)
D (2; 2; 1) . Biết M x; y; z , để MA2  MB 2  MC 2  MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x  y  z
bằng
A. 7.

B. 8.

C. 9.

D. 6.

Câu 70. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B (1; 2; 0) , C (1;1; 2) . H là
trực tâm tam giác ABC , khi đó, độ dài đoạn OH bằng
A.

870
.
12

B.

870
.
14

C.

870

.
16

D.

870
.
15

Câu 71. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(3;1; 0) , B nằm trên mặt
phẳng (Oxy ) và có hoành độ dương, C nằm trên trục Oz và H (2;1;1) là trực tâm của tam giác
ABC . Toạ độ các điểm B , C thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

 3  177 17  177  
3  177 
A. B 
;
;0  , C  0;0;
.

4
2
 
4

 3  177 17  177  
3  177 
B. B 
;
;0  , C  0;0;

.

4
2
 
4


 3  177 17  177  
3  177 
C. B 
;
;0  , C  0;0;
.

4
2
 
4


 3  177 17  177  
3  177 
D. B 
;
;0  , C  0;0;
.

4
2

 
4


Câu 72. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD , B (3; 0;8) , D(5; 4;0) . Biết
đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA  CB bằng:

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

23


Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u


h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o


h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
A. 5 10.

B. 6 10.

C. 10 6.

D. 10 5.

Câu 73. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(5;3; 1) , B(2;3; 4) ,
C (3;1; 2) . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:
A. 9  2 6.

B. 9  3 6.

C. 9  3 6.

D. 9  2 6.

Câu 74. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 3;0;0 , N m, n, 0 , P 0;0; p . Biết

MN  13, MON  600 , thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức A  m  2n 2  p 2
bằng
A. 29.

B. 27.

C. 28.

D. 30.

Câu 75. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B (1; 2; 0) , C (1;1; 2) . Gọi
I a; b; c là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính giá trị biểu thức

P  15a  30b  75c
A. 48.

B. 50.

C. 52.

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

D. 46.

24


Tặng các em tài liệu ôn thi THPT QG 2017
Các em theo dõi để nhận tài liệu thường xuyên
Facebook.com/thaygiao2k
Tham gia nhóm học tập
/>
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u







lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
t ph :t /t /pw: /w/ w w

. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc


lieupro.c
lieupro.c


h t t p : / / w w w
.
t
a
i
l
i
e
u
p
ro.c



lieupro.c
lieupro.c
C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 8.1

1
A

2
B

3
A

4
C

5
A

6
D

7
A

8
C

9
A

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B D A C C A A D A B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

B D D C A A C A A D A B A C D A A B B D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
A A B C A B D A A D A B B A B

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

II –HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.

Gọi  là góc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos  bằng
A.

a.b

a.b

.

B.

a.b

Câu 2.

C.

a.b

.

D.

a.b

a.b

ab

B.

2
.
5

C.

2
.
5

2
D.  .
5

Cho vectơ a  1;3; 4  , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a
A. b   2; 6; 8  .

B. b   2; 6;8  .

C. b   2;6;8  .

D. b   2; 6; 8  .

Câu 4.

Tích vô hướng của hai vectơ a   2; 2;5  , b   0;1; 2  trong không gian bằng
A. 10.
B. 13.
C. 12.
D. 14.

Câu 5.

Trong không gian cho hai điểm A 1; 2;3 , B 0;1;1 , độ dài đoạn AB bằng
A.

Câu 6.

6.

8.

C. 10.

D. 12.

B. xi  y j  zk.

C. x j  yi  zk.

D. xi  y j  zk.

Tích có hướng của hai vectơ a  (a1; a2 ; a3 ) , b  (b1; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí hiệu  a , b  , được
xác định bằng tọa độ
A. a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 .
B. a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 .
C.

Câu 8.

B.

Trong không gian Oxyz , gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, khi đó với M x; y; z thì OM bằng
A.  xi  y j  zk.

Câu 7.

.

a.b

Gọi  là góc giữa hai vectơ a  1; 2;0  và b   2;0; 1 , khi đó cos  bằng
A. 0.

Câu 3.

.

a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 .

D.

a2b2  a3b3 ; a3b3  a1b1 ; a1b1  a2b2 .

Cho các vectơ u   u1 ; u2 ; u3  và v   v1 ; v2 ; v3  , u.v  0 khi và chỉ khi
A. u1v1  u2v2  u3v3  1 .

B. u1  v1  u2  v2  u3  v3  0 .

Lớp chuyên luyện thi ĐH : Gần đại học bách khoa Hà Nọi – 0966.666.201

25