Luận văn dáng điệu nghiệm của hệ động lực tuyến tính và một vài ứng dụng

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

THÂN THU PHƯƠNG

DÁNG ĐI U NGHI M C A H
TUY N TÍNH VÀ M T VÀI

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

Hà N i - 2015

Đ NG L C
NG D NG


Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

THÂN THU PHƯƠNG

DÁNG ĐI U NGHI M C A H

Đ NG L C

TUY N TÍNH VÀ M T VÀI

NG D NG

Chuyên ngành:

TOÁN GI I TÍCH

Mã s :

60460102

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C:
PGS.TS. Đ NG ĐÌNH CHÂU

Hà N i - 2015


M cl c
1 N a nhóm liên t c m nh và toán t sinh c a n a nhóm liên t
m nh
1.1 Khái ni m v n a nhóm liên t c m nh và m t s tính ch t sơ c p
c a n a nhóm liên t c m nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.1.1 Đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.1.2 M t s tính ch t sơ c p c a n a nhóm liên t c m nh . .
1.2 Khái ni m v toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh và các

tính ch t c a nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c
4
.
.
.
.

71.2.1 Khái ni m v toán t sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

71.2.2 Các tính ch t c a toán t sinh . . . . . . . . . . . . . . .

.

81.2.3 M t vài bi u th c liên quan đ n gi i c a toán t sinh . .
1.3 Các đ nh lý v toán t sinh c a n a nhóm . . . . . . . . . . . .
1.4 M t s d ng đ c bi t c a n a nhóm liên t c m nh . . . . . . . .
1.4.1 N a nhóm liên t c đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 N a nhóm tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

.
.
.
.
.

12
15
21
21
25

2 Bài toán nhi u c a n a nhóm liên t c m nh
28
2.1 Khái ni m v h các toán t ti n hóa và m t s tính ch t nghi m
c a phương trình vi phân tuy n tính thu n nh t . . . . . . . . . .
28
2.2 Phương trình vi phân tuy n tính b nhi u trên đư ng th ng th c
và m t s mô hình đơn loài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Mô
38
hình qu n th tăng trư ng theo hàm mũ (Malthus, 1798) 2.2.2 Mô
38
hình qu n th tăng trư ng Logistic (Verhulst, 1838) .
39
2.3 Mô hình thú - m i Lotka - Volterra đơn gi n . . . . . . . . . . . . 2.4 Mô
40
hình thú - m i Lotka - Volterra v i loài m i tăng trư ng Logistic 2.5 Nhi u b 43
ch n c a n a nhóm liên t c m nh . . . . . . . . . . . . . 2.6 Phương trình ti n
45
hóa v i nhi u Lipschitz . . . . . . . . . . . . . .
48
2.7 Nhi u tuy n tính c a phương trình ti n hoá và h toán t ti n
hóa liên t c m nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 M t s
54
ví d minh h a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56
2.8.1 Gi i thi u bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 Các
56
ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58


1


M Đu
Lý thuy t h đ ng l c đư c kh i xư ng b i nhà toán h c Pháp Henri Poincare cách
đây hơn 1 th k . Ngày nay, nó đã đư c phát tri n m nh m và đã tr thành m t lĩnh v
c quan tr ng trong toán h c. Lý thuy t h đ ng l c liên quan t i h u h t các ngành
khoa h c khác và đư c ng d ng r ng rãi trong đ i s ng h ng ngày. Đ có th có m t
khái ni m sơ lư c nh t v h đ ng l c ta s b t đ u làm quen v i đ nh nghĩa sau. Ký hi
u R là đư ng th ng th c, M là m t không gian Metric, gi s S là t p m trong M. Ta
thư ng ký hi u φ : R ⋅ S → M b i
φ = φ(t, x) (hay φ = φtx ) khi đó ánh x φ là nhóm ph thu c m t tham s t c
là:

(a) φt=0 : S → S là ánh x đ ng nh t. (b) φt.φs =

φt+s, v i m i s, t ∈ R.
Như chúng ta đã bi t h u h t các v n đ liên quan t i toán h c tr u tư ng

mà có th ng d ng trong các ngành khoa h c t nhiên đ u đi đ n nghiên c u tính ch
t c a m t h đ ng l c nào đó ho c t p nghi m c a các phương trình vi phân thư ng
và phương trình đ o hàm riêng. Bài toán mà chúng tôi s đ c p đ n trong b n Lu n
văn "Dáng đi u nghi m c a h phương trình đ ng l c tuy n tính và m t s ng d ng" ch

y u là tìm hi u và trình bày l i m t vài v n đ cơ b n c a phương pháp h đ ng l c
tuy n tính và kh năng ng d ng c a nó trong th c t . C th hơn đó là phương pháp
n a nhóm b nhi u đ nghiên c u các phương trình ti n hóa. Tuy nhiên đây là m t
lĩnh v c khá tr u tư ng và đa
d ng vì v y trong khuôn kh c a m t b n lu n văn th c sĩ chúng tôi s dành s
quan tâm nhi u hơn cho vi c xây d ng ví d minh h a cho phương pháp n a nhóm
và m t vài ng d ng c a lý thuy t nhi u trong m t s mô hình qu n th sinh h c quen
thu c.
B c c lu n văn g m ph n m đ u, hai chương, ph n k t lu n và danh m c tài li u
tham kh o.
Chương m t trình bày đ nh nghĩa, tính ch t c a n a nhóm liên t c m nh và m t
s đ nh lý quan tr ng v toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh. Đ
2


hoàn thành n i dung c a chương này chúng tôi đã tham kh o tài liêu [1], [2],[6],
[7], [8], [9], [10], [12], [14].
Chương hai trình bày v bài toán nhi u c a n a nhóm, đ nh nghĩa và tính ch t c
a h toán t ti n hóa liên t c m nh đ t t và ng d ng c a bài toán nhi u trong các
mô hình qu n th đa loài. Đ hoàn thành n i dung c a chương
này chúng tôi đã tham kh o tài liêu [11], [17], [18], [19], [23], [25], [26].
B n lu n văn này đư c th c hi n dư i s hư ng d n c a PGS. TS. Đ ng Đình
Châu. Nhân d p này tôi xin bày t lòng bi t ơn sâu s c t i th y, ngư i đã dành nhi u
công s c và th i gian đ hư ng d n, ki m tra, giúp đ tôi trong vi c hoàn thành b n lu
n văn.
Tôi xin g i l i c m ơn đ n lãnh đ o và các th y cô trong khoa Toán - Cơ - Tin h
c, trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên Hà N i v các ki n th c và nh ng đi u t t đ p
mang l i cho tôi trong th i gian h c t p t i trư ng. Tôi xin c m ơn
t i phòng Sau Đ i h c v nh ng đi u ki n thu n l i trong vi c hoàn thành th t c h c t
p và b o v lu n văn.

Cám ơn các th y và các b n trong seminar Phương trình vi phân v nh ng s đ
ng viên và nh ng ý ki n trao đ i quí báu đ i v i b n thân tôi trong th i gian qua.
Cu i cùng tôi mu n t lòng bi t ơn gia đình, ngư i thân là ch d a v tinh th n và v
t ch t cho tôi trong cu c s ng và trong h c t p.
M c dù đã có nhi u c g ng nhưng b n lu n văn khó tránh kh i nh ng thi u
sót. Vì v y, tôi r t mong nh n đư c s góp ý c a quý th y, cô và các b n.

Hà N i, tháng 11 năm 2015

Thân Thu Phương

3


Chương 1

N a nhóm liên t c m nh và toán t
sinh c a n a nhóm liên t c m nh
1.1

Khái ni m v n a nhóm liên t c m nh và m t s tính ch t
sơ c p c a n a nhóm liên t c m nh

1.1.1

Đ nh nghĩa

Đ nh nghĩa 1.1. M t h (T (t))t≥0 các toán t tuy n tính b ch n trên không gian Banach X
đư c g i là n a nhóm liên t c m nh (ho c C0− n a nhóm ) n u
nó th a mãn các đi u ki n sau:

1. T (t + s) = T (t)T (s) v i m i t, s ≥ 0. 2. T (0) =
I.
3. tlim0 T (t)x = T (t0)x v i m i x ∈ X, t ≥ 0. →t
Ví d 1.1.
Xét n a nhóm (T (t))t≥0 trong không gian C0 = C0(R), xác đ nh b i
C0(R) = {f ∈ C(R) : s

→±∞

f (s) = 0}. lim

V i chu n ||f|| = sup |f(s)|. Ta có (C0, ||.||) là m t không gian Banach.
s∈R

∀t ≥ 0, ta đ nh nghĩa:

(Tl(t)f )(s) = f (t + s)

∀f ∈ C0, ∀s ∈ R.

(Tr(t))f (s) = f (s − t)

∀f ∈ C0, ∀s ∈ R.

Và

4


Khi đó (Tr(t))t≥0 và (Tl(t))t≥0 là các n a nhóm liên t c m nh trên C0, đư c g i

tương ng là n a nhóm d ch chuy n ph i và trái c a C0.
Ch ng minh. Ta ch ng minh cho trư ng h p n a nhóm d ch chuy n trái, trư ng
h p n a nhóm d ch chuy n ph i đư c ch ng minh tương t .

• Ta ch ng minh (Tl(t)) là m t n a nhóm.
Th t v y: ∀t, h ≥ 0, ∀f ∈ C0, s ∈ R, ta có

(Tl(t + h)f )(s) = f (t + h + s) = (Tl(t)f )(h + s) = (Tl(t)Tl(h))f (s)

suy ra Tl(t + h) = Tl(t)Tl(h).

• Ta ch ng minh (Tl(t))t≥0 liên t c m nh. Th t v y, ta c n ch ra r ng, ∀f ∈ C0
thì

lim ||Tl(t)f − f || = lim+ sup |f (t + s) − f (s)| = 0.

t→0+

t→0 s∈R

Vì f ∈ C0 suy ra f liên t c trên R và t n t i các gi i h n s

→±∞

f(s) = 0, lim

nên f liên t c đ u trên R.
Do đó
∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho: ∀s1, s2 : |s1 − s2| < δ

Khi đó

∀t : 0 ≤ t < δ, |t + s − s| < δ,

∀s ∈ R, ta có

|f (t + s) − f (s)| <

Suy ra

sup |f (t + s) − f (s)| ≤

suy ra : |f(s1) − f(s2)| < .

∀s ∈ R.

∀t : 0 ≤ t < δ.

s∈R

V y theo đ nh nghĩa gi i h n ta có
lim sup |f (t + s) − f (s)| = 0.

t→0+ s∈R

V y (Tl(t))t≥0 là n a nhóm liên t c m nh.

1.1.2

M t s tính ch t sơ c p c a n a nhóm liên t c m nh

B đ 1.1. Gi s X là m t không gian Banach và F là m t hàm t m t t p
compact K ⊂ R vào L(X). Khi đó các kh ng đ nh sau là tương đương.
(a) F là toán t tôpô liên t c m nh; t c là, ánh x K t → F (t)x ∈ X là liên
5


t c ∀x ∈ X.
(b) F là b ch n đ u trên K, và ánh x K t → F (t)x ∈ X là liên t c ∀x ∈ D ⊂ X, D trù m t
trong X.
(c) F là liên t c đ i v i tôpô h i t đ u trên t p con compact c a X; t c là, ánh x K ⋅ C
(t, x) → F (t)x ∈ X là liên t c đ u đ i v i t p compact C trong X.
Đ nh lý 1.1. Cho m t n a nhóm (T (t))t≥0 trên m t không gian Banach X. Khi đó các tính
ch t sau là tương đương.
(a) (T (t))t≥0 là n a nhóm liên t c m nh.
(b) tlim+ T (t)x = x ∀x ∈ X. →0
(c) Có m t s δ > 0, M ≥ 1 và m t t p con trù m t D ⊂ X th a mãn
i. ||T (t)|| ≤ M ∀t ∈ [0, δ],
ii. tlim+ T (t)x = x ∀x ∈ D. →0
Ch ng minh.
+) Ch ng minh (a) ⇒ (c.ii).
Vì (T (t))t≥0 là n a nhóm liên t c m nh trên m t không gian Banach, nên
∀x ∈ D (D trù m t trong X).

lim T (t)x = T (0)x = x

t→0+

+) Ch ng minh (a) ⇒ (c.i).
Gi s ngư c l i, t c là t n t i m t dãy (δn)n∈N ⊂ R+ h i t đ n 0 th a mãn

||T (δn)|| → ∞ khi n → ∞. Theo nguyên lý b ch n đ u, t n t i x ∈ X th a mãn
(||T (δn)x||)n∈ không b ch n. Đi u này mâu thu n v i T (.)x liên t c t i t = 0
N

(do (T (t))t≥0 là n a nhóm liên t c m nh).
+) Ch ng minh (c) ⇒ (b).

Đ t K = {tn : n ∈ N} ∪ {0} v i m i dãy b t kì (tn)n∈N ⊂ [0, ∞) h i t đ n 0. Khi
đó K ⊂ [0, ∞) là compact, T (.) Kx là liên t c ∀x ∈ D.
|
Do đó áp d ng b đ 1.1 (b) ta đư c T (.) Kx liên t c ∀x ∈ X, t c là:
|

lim T (tn)x = x

n→∞

∀x ∈ X.

Vì (tn)n∈N đư c ch n tùy ý nên (b) đư c ch ng minh. +) Ch ng
minh (b) ⇒ (a).
Gi s t0 > 0 và x ∈ X . Khi đó
lim ||T (t0 + h)x − T (t0)x|| ≤ ||T (t0)||.|| lim+ ||T (h)x − x|| = 0,

h→0+

h→ 0

suy ra (T (t))t≥0 liên t c ph i. N u h < 0
||T (t0 + h)x − T (t0)x|| ≤ ||T (t0 + h)||.||x − T (−h)x||

6


d n đ n tính liên t c trái, trong đó ||T (t)|| b ch n đ u ∀t ∈ [0, t0]. V y (T (t))t≥0
là n a nhóm liên t c m nh.
Đ nh lý 1.2. Cho m t n a nhóm liên t c m nh (T (t))t≥0. Khi đó có m t h ng
s w ∈ R và M ≥ 1 th a mãn:
||T (t)|| ≤ M ewt

∀t > 0.

(1.1)

Ch ng minh. Ch n M ≥ 1 th a mãn ||T (s)|| ≤ M ∀0 ≤ s ≤ 1.
V i t ≥ 0 l y t = s + n, ∀n ∈ N và 0 ≤ s < 1. Khi đó:
||T (t)|| = ||T (s + n)|| = ||T (s).T (n)|| ≤ ||T (s)||.||T (n)||
≤ ||T (s)||.||T (1)||n
≤ M n+1 = M en ln M ≤ M ewt

v i w = ln M và t ≥ 0.
Ví d 1.2. Theo đinh lý (1.2) ta luôn có ω < +∞ nhưng có th ω0 = −∞. Ch ng
h n: Trong không gian L1 , ta xét n a nhóm t nh ti n trái xác đ nh b i: [0;1]
T (t)f (s) =

f (t + s) n u s + t ≤ 1

n us+t>1

0

Ta có: T (t) = 0, ∀t > 1.
V i m i t th a mãn 0 ≤ t ≤ 1, ||T (t)|| ≤ 1 do ||T (t)f|| = || 01 T (t)f(s)ds|| ≤ ||f||.
−ω
Suy ra ||T (t)|| ≤ 1 V i ω < 0 c đ nh, ch n M sao cho M ≤ e . Khi đó:
ω

ω

||T (t)|| < 1 ≤ M.e ≤ M.e t,

∀t ≥ 0.

V y ω0 = −∞.

1.2

Khái ni m v toán t

sinh c a n a nhóm liên t c m nh

và các tính ch t c a nó
1.2.1

Khái ni m v toán t sinh

Đ xây d ng khái ni m toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh, trư c h t
ta ch ng minh b đ sau:

7

B đ 1.2. Cho m t n a nhóm (T (t))t≥0 liên t c m nh và m t ph n t x ∈ X.
Đ i v i qu đ o ánh x ξx : t → T (t)x, các tính ch t sau là tương đương. (a) ξx(.) là kh
vi trên R+.
(b) ξx(.) kh vi bên ph i t i t = 0.
Đ nh nghĩa 1.2. Toán t sinh A : D(A) ⊂ X → X c a m t n a nhóm liên t c
m nh (T (t))t≥0 trên m t không gian Banach X là m t toán t

(1.2)

Ax = ξ˙x(0) = lim+ 1 (T (h)x − x), h→0 h

xác đ nh v i m i x trong mi n xác đ nh c a nó
(1.3)

D(A) = {x ∈ X : ξx là kh vi trên R+}.

Theo b đ 1.2, ta th y mi n xác đ nh D(A) là t p t t c các ph n t x ∈ X
mà ξx(.) là kh vi bên ph i t i t = 0. Do đó

(1.4)

D(A) = {x ∈ X : lim+ 1 (T (h)x − x) t n t i}. h→0 h

Mi n D(A) là m t không gian vector và chúng ta ký hi u toán t sinh c a nó là
(A, D(A)). Chúng ta thư ng ch vi t A và coi mi n xác đ nh c a nó là cho b i (1.4).
1.2.2

Các tính ch t c a toán t sinh

Gi s T (t)t≥0 là toán t liên t c m nh c a toán t sinh (A, D(A)), ta đ t:
t

y(t) = 1

t

0

t

ξx(s)ds = 1

∀x ∈ X,

T (s)xds,
t

t > 0.

0

Do tlim+ T (t)x = x nên v i m i ε > 0, t n t i s δ > 0 sao cho v i 0 < t < δ thì ta →0
có
||T (t)x − x|| < ε .
2

M t khác theo đ nh nghĩa tích phân xác đ nh v i m i ε > 0 t n t i m t phân
ho ch c a đo n [0, t] sao cho:
t

n

T (s)xds −

i=1

T (αi)x∆si

< ε t,
2

0

8

αi ∈ [si−1, si]

(i = 1, n).


V i 0 < t < δ ta có
t

t

n

n

1
T
t0
(s)

T +i T

0T i
(s =1

xds

)

−

x

1=1
(
(
t
α
α

x≤

ds

i

1

t

)

− x
1 ∆
t i
s

i

)

x
∆
si

n

−
x
=

s
i

T

< (α )
x−
x||∆
i

t

V
y
t
a
c
ó
:
t

l
im+ y(t) = lim+ 1
T (s)xds = x.

(1.5)
t→0
t→0 t
0

Đ nh lý 1.3. Cho
toán t sinh (A,
D(A)) c a n a

i

nhóm liên t c m
nh (T (t))t≥0,
t
a

D

N

i

(
A

)

u

)

c
ó

∀

x

t

⊂
∈

c
á
c

≥

X
D
→

0

(
A

t
í
n
h
c
h
t
s
a

u
l
à

X

)

v
à

l
à
t
o
á
n
t

t
h
ì

x
∈

T
(

X

t

,

)

t

x

t
u
y

a
∈

c

D

đ
ú
n
g
.
(
i
)

A
:

n

ó

(
A

t
í
n
h
.

t

)

T (s)xds ∈
D(A).

v
à

0

(
(

(
i
i
)

dT
AT
dt

(
i

i
v
)


∀

s)xds

.

t

nu

8

x ∈ X,

)

y

0

∈

,

(1.7)

≥

t

0

=

,
T

t
(

a

C
h

X
,

n
g

t
a

s

c
ó
:
t

)

m

A

i

x

n

d

h

s

.

t
)

n

A

(

lim+ 1 [(T (h)

i

(αx + βy) −

)

(αx + βy)] =

u
∀

x
x
−

ó

(αx + βy) =

T
(

c

α
,

αAx + βAy.
h→0 h

V

∈

β

x

y

D
=

(

∈

A

R

:

v

D

à

(

A
A

)
.

T
(

(
1

A
x

)


)

,

L

∀

⊆

X

→

t

y
≥
x
0

X

∈

t
l

D

à

(

t
o
á

a

A

t

)

h

,

y

t

n

ξ˙(t) = lim+ T

ξ

t

x

t
u
y

(
t
)
=

n
T

t
í
n
h
.
(

h)x − T (t)x =

˙

(
t
)

ξ
˙
x

(

i

0

i

)

(t)ξ˙(0) = T (
h

9


Do đó

lim+ 1 (T (h)T (t)x − T (t)x) = lim T (t + h)x − T (t)x = T (t)Ax,
h→ 0 h
h→ 0
h
T (t)x ∈ D(A) (do (1.4))

suy ra

và AT (t)x = T (t)Ax.

(iii) ∀x ∈ X, t ≥ 0 ta có
t


1

T

 (h)

h

0

t

T (s)xds −
0

T (s)

xds



=

h

0

h

T (s)xds

0

h

t+h

T (s)xds − 1

h

t

T (s + h)xds − 1

1

t
t+h

=1

t



h

h

T (s)xds = 1
0

T (s)xds − 1

h

h

t

T (s)xds
0

h i t đ n T (t)x − x khi h → 0+. Do đó
t

T (s)xds ∈ D(A)
0

(iv) Theo ch ng minh trong (iii) khi h → 0+, ∀x ∈ X ta có (1.7) đúng.

N u x ∈ D(A) thì hàm
s → T (s)(T (h)h − x) x

t

lim+ 1 (T (h) − I)

t

h→0

t

T (s) 1 (T (h) − I)xds =

T (s)xds = lim+

h→ 0 h

khi h → 0+.

s → T (s)Ax

h i t đ u trên [0, t] đ n hàm

Do đó

Axds.

h

0

0

0

Đ nh lý 1.4. Toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh là toán t tuy n tính đóng,
xác đ nh trù m t và xác đ nh m t n a nhóm duy nh t.
Ch ng minh. Gi s (T (t))t≥0 là n a nhóm liên t c m nh trên m t không gian Banach X.
Theo b đ 1.3 toán t sinh (A, D(A)) là m t toán t tuy n tính.
+) Ch ng minh A đóng.
L y m t dãy (xn)n∈N ⊂ D(A) sao cho nlim xn = x và nlim Axn = y t n t i.
→∞
Do (1.8) trong b đ 1.3 ta có:
10

t

T (t)xn − xn =

0

T (s)Axnds,

→∞

∀t ≥ 0.


Do tính h i t đ u c a T (.)Axn trên [0, t] khi n → ∞ d n đ n:
t

T (t)x − x =

T (s)yds.
0

Nhân c hai v v i

1

và l y gi i h n khi t → 0+ ta đư c:
t

t

lim

T (t)x − x
= lim+ 1 T (s)yds, t→0+ t

t→0 t

0

suy ra x ∈ D(A) và Ax = y, t c là A đóng.
+) Ch ng minh D(A) trù m t trong X.
Theo b đ 1.3(iii) ta có

1
t

t
0

T (s)xds ∈ D(A).
t

Do tính liên t c m nh c a (T (t))t≥0 nên tlim+ 1 T (s)xds = x ∀x ∈ X. →0 t 0
Suy ra D(A) trù m t trong X.
+) Ch ng minh tính duy nh t.
Gi s (S(t))t≥0 là n a nhóm khác liên t c m nh có toán t sinh (A, D(A)).
∀x ∈ D(A) và t > 0, xét ánh x :
s → ηx(s) = T (t − s)S(s)x

Ta có v i s c đ nh t p

∀0 ≤ s ≤ t.

S(s + h)x − S(s)x : h ∈ (0, 1) ∪ {AS(s)x} là compact.
h

Xét t s sai phân:

1 (η (s + h) − η (s)) = T (t − s − h) 1 (S(s + h)x − S(s)x)
x
h
hx
1 (T (t − s − h) − T (t − s)) S(s)x.
+h

Khi đó:
d η (s) = T (t − s)AS(s)x − AT (t − s)S(s)x = 0.
dt x

Suy ra ηx(s) là m t h ng s .
Ta có ηx(0) = T (t)x và ηx(t) = S(t)x.
Suy ra: T (t)x = S(t)x v i m i x trong mi n trù m t D(A).
Do đó:
T (t) = S(t) ∀t ≥ 0.

11


1.2.3

M t vài bi u th c liên quan đ n gi i c a toán t sinh

Đ nh lý 1.5. Gi s (A, D(A)) là toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh
(T (t))t≥0. Khi đó v i m i λ ∈ C và t > 0, ta có các đ ng th c sau:
(

−λ

e tT (t)x − x =

−λ

 A − λI) t e sT (s)xds n u x ∈ X (∗)
0



n u x ∈ D(A). (∗∗)
−λ
 t e sT (s)(A − λI)xds

0

−λ

Ch ng minh. Áp d ng đ nh lý 1.3 đ i v i n a nhóm đi u ch nh S(t) = e tT (t),
t ≥ 0. Ta có:
−

lim+ e T (t) − I x = lim+ e λt T (t)t− I x + e t− I x
t →0
−λt
t→0
t
∀x ∈ D(A)
= Ax − λx,

−λt

Mi n xác đ nh D(B) c a toán t sinh B c a n a nhóm (S(t))t≥0 là D(B) = D(A)
và Bx = Ax − λx v i m i x ∈ D(A). Áp d ng đ nh lý 1.3, ta suy ra:
t
B
S(t)x − x =  S(s)xds n u x ∈ X

t

0

 (s)Bxds
 0S


n u x ∈ D (B )

V y ta có đi u ph i ch ng minh.
Sau đây ta nêu ra m t công th c quan tr ng liên h n a nhóm v i gi i th c
c a toán t sinh.
Đ nh lý 1.6. Gi s T (t)t≥0 là n a nhóm liên t c m nh trên không gian Banach
X có toán t sinh (A, D(A)) và l y m t h ng s w ∈ R, M ≥ 1 th a mãn
||T (t)|| ≤ M ewt

∀t ≥ 0.

(1.9)

Khi đó các tính ch t sau là đúng.
∞ −λ

(i) N u λ ∈ C th a mãn R(λ)x = 0 e sT (s)xds t n t i ∀x ∈ X, thì λ ∈ ρ(A) và
R(λ, A) = R(λ).
(ii) N u Reλ > w thì λ ∈ ρ(A), và gi i th c đư c cho b i tích phân trong (i).
M
(iii) ||R(λ, A)|| ≤ Reλ − w , ∀Reλ > w.

Công th c R(λ, A) trong (i) g i là bi u di n tích phân c a gi i th c. Tích
phân này đư c hi u là tích phân Riemann suy r ng, t c là:
t
0

R(λ, A)x = tlim →∞

e

−λs

T


(s)xds

12

∀x ∈ X.

(1.10)

Ta thư ng vi t

∞

R(λ, A) =

e

−λs

(1.11)

T (s)ds.

0

Ch ng minh. (đ nh lý 1.6)
(i) Xét trư ng h p λ = 0. Khi đó v i m i x tùy ý ∈ X và h > 0, ta có
∞

T (h) − I R(0)x = T (h) − I
h
h

T (s)xds
0

∞

=1

=1

h

∞

T (s + h)xds − 1
0
∞

T (s)xds − 1

h

h
∞

h

T (s)xds
0

T (s)xds = − 1

h

h

0

h

T (s)xds.

0

+

L y gi i h n khi h → 0 suy ra v ph i ti n đ n -x nên R(0)x ∈ D(A) và
AR(0) = −I.

M t khác v i x ∈ D(A), ta có
lim

t→∞
t

và

lim A

t→∞

0

t
0

T (s)xds = R(0)x,

t
0

T (s)xds = tlim

T (s)Axds = R(0)Ax(theo b đ 1.3(iv)). Vì theo

→∞

đ nh lý 1.4 toán t A đóng d n t i R(0)Ax = AR(0)x = −x, do đó
−

R(0) = (−A) 1.

+ Ph n (ii) và (iii) đư c suy ra t (i). Vì
t

||

t

e

−λs

e(w−Reλ)sds.

T (s)ds|| ≤ M

0

0

M
V i Reλ > w v ph i h i t đ n Reλ − w khi t → ∞.
(
)
H qu 1.1. Đ i v i toán t sinh (A, D(A)) c a n a nhóm liên t c m nh
(T (t))t≥0

th a mãn ||T (t)|| ≤ Mewt v i m i t ≥ 0, v i Reλ > w và n ∈ N ta

có:

+∞

n
−

R(λ, A)nx = ((−1) 1)! dλn−1 R(λ, A)x = (n − 1)!

3

1

1

0

−λ

sn−1e sT
(s)xds,


∀
x

(

1 .12)


Đ c bi t, ta có:
||R(λ, A)n|| ≤ (ReλM w)n , −

∀n ∈ N và Reλ > w.

Ch ng
minh.
Đ ng th
c (1.12)
tương
đương
v i:
d
n
−
1

R
(

λ
,

A
)
x

=

(
−
1
)
n
−
1

(
n


−(λ, A) = I. Do

d
λ
n

1)!
v y, ta suy ra:

r

R

a

λλIR(λ,
A) −
AAR(λ,
A)]R(µ,
n
A) =
R(µ, A),

−
1

v

+
∞

à
=(
s

[

:
R(λ,
A) −
R(µ, A)
A)R(µ,
R

A)
λ
−
µ

[µR(µ,
A) −

i

AR(µ,

m

A)] =

i
λ
,
µ
∈

ρ

),

c

C

A).

Do A và R(λ, A) giao hoán
v i nhau nên tr t ng v hai
phương trình trên, ta
đ
ư

ó

o
µ

λ

,
R

R(µ, A) =

h

→

c
:

(λ, A) −

t
a

(

(µ −

λ

λ)R(λ,

I

A)R(µ,

ó

A).

:

−

A
)
R

=

.

R(λ,

ta

µ

λ

(
A

i

= −R(λ,

(λ, A)

V

v

c

S
u
y

d
R


(s
d
Aλ

d
λ

d
λ

M

Th t v y gi s (1.12) đúng
v
i

0

t
k
h

á
c
,

0

n

V

,

y

t
c

(
1

t
a

.
1

c
ũ
n
g

l
à
:

2
)

đ
c
ó
:

ú
n
g
+

+

d R∞

∞

v

d
es
−λs

T
(s)

e

i

−

λ

xds

s

=

T

n

=

−
(

2

s

.

)
x
d

d
n 1
− R(λ, A) =

(−1)n−1(n − 1)!(R(λ,
A))n.
d
λ
n
−
1

Ta
ch
ng
min
h
cho
trư
ng
hp
n+
1.

Ta
có:
d
n

Trư ng h p t ng quát
ta suy ra b ng quy n p.

R(λ, A) =

(−1)n−1(n − 1)! d
(R(λ, A))n