Luận văn hàm toàn phương lồi suy rộng và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

TRẦN VĂN THIỆN

HÀM TOÀN PHƯƠNG LỒI SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

TRẦN VĂN THIỆN

HÀM TOÀN PHƯƠNG LỒI SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN NĂNG TÂM

Hà Nội - 2015


M cl c
M t s kí hi u

2

1 Ki n th c chu n b
1.1 Không gian Ơclit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tpl i . . . .

5
5

1.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hàm l

6

1.3

i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hàm t a l

7

1.4

i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hàm gi l i . . . . . . . . .

10

1.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . M i quan h gi a nh ng hàm l i suy r

14

1.6

ng . . . . . . . . .

16

2 Hàm toàn phương l i suy r ng
2.1 Nh c l i m t s đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . M t s tính

3

18
18

2.2

ch t c a hàm toàn phương l i suy r ng . . . . Tiêu chu n ki m

19

2.3

tra theo giá tr riêng và véctơ riêng . . . Tiêu chu n ki m tra

23

2.4

theo ma tr n Hessian tăng cư ng . . . Tiêu chu n ki m tra

32

2.5

theo đ nh th c biên . . . . . . . . . . Tiêu chu n xác đ nh cho

33

2.6

oc-tan không âm . . . . . . . . . Tính gi l i trên oc - tan n a

34

2.7

dương và oc - tan không âm

51

ng d ng vào lý thuy t t i ưu
3.1

ng d ng vào bài toán t i ưu v i ràng bu c hình h c . . .

54
54

3.2

57

ng d ng vào bài toán t i ưu có ràng bu c b t đ ng th c

Tài li u tham kh o

64
1


B ng kí hi u
đư ng th ng th c
không gian Euclid n - chi u

R
Rn

t p s th c suy r ng

R = R ∪ {−∞, +∞}
f :X→R
int A

ánh x đi t X vào R
ph n trong c a A

A

bao đóng c a A

dom(f )

mi n h u hi u c a f

epi(f ) ϕ

trên đ th c a f

(x)

đ o hàm c a ϕ t i x
gradient c a f t i x

f (x)
ϕ (x)

đ o hàm b c hai c a ϕ t i x

2

ma tr n Hessian c a f t i x

f (x)

tích vô hư ng trong Rn

., .
af f (A)

chu n trong không gian Rn
tr tuy t đ i c a s x

coA

bao l i affine c a A

(x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1)} (x, y]

bao l i c a A

||.|| |x|

= {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1]} [x, y]
= {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]}
L(f, α) = {x ∈ X | f (x)

đo n th ng m n i x và y đo
n th ng m n i x và y
đo n th ng đóng n i x và y

α}

t p m c dư i

M đu
Trong quy ho ch phi tuy n và kinh t lư ng, tính t a l i và gi l i
đư c xem như là s m r ng quan tr ng c a tính l i. M t tr ng i khi làm vi c v
i nh ng khái ni m l i suy r ng là chúng không d ki m tra. Vì v y, ngư i ta
mong mu n đưa ra nh ng tiêu chu n th c ti n hơn đ ki m tra tính l i suy r
ng.
Lu n văn này trình bày m t cách có h th ng nh ng n i dung cơ b n
nh t v l p hàm toàn phương l i suy r ng và m t s

ng d ng c a nó vào

lý thuy t t i ưu.
Lu n văn đư c trình bày g m 3 chương.
Chương 1: Ki n th c cơ b n. Tác gi trình bày các ki n th c cơ b n v t p l
i, hàm l i, hàm t a l i, hàm gi l i và m i quan h gi a các hàm l i suy r ng.
Các ki n th c cơ b n đư c s d ng đ nghiên c u các v n đ trong chương 2.
Chương 2: Hàm toàn phương t a l i và hàm toàn phương gi l i. N i
dung chính c a chương t p trung trình bày các tiêu chu n ki m tra tính l i
suy r ng c a các hàm toàn phương. Các tiêu chu n đư c nêu trong
chương g m: tiêu chu n ki m tra theo giá tr riêng và véc tơ riêng, tiêu chu
n ki m tra theo ma tr n Hessian tăng cư ng, tiêu chu n ki m tra theo đ nh th
c biên, tiêu chu n ki m tra cho Oc-tan không âm và xét tính gi l i c a m t
hàm toàn phương trên oc-tan n a dương và oc - tan không âm.
Chương 3:

ng d ng vào bài toán t i ưu. Lu n văn trình bày v

d ng c a hàm toàn phương l i suy r ng vào nghiên c u bài toán t i ưu

3

ng


toàn phương v i ràng bu c hình h c và bài toán t i ưu v i ràng bu c b t
đ ng th c.
Nhân d p này, tác gi lu n văn xin bày t lòng kính tr ng và bi t ơn sâu s
c t i PGS.TS. Nguy n Năng Tâm đã hư ng d n t n tình tác gi hoàn thành
lu n văn này. Tác gi cũng xin bày t lòng bi t ơn chân thành đ n các th y ph
n bi n đã dành th i gian đ c và đóng góp nhi u ý ki n quý báu cho tác gi .
Tác gi xin trân tr ng c m ơn ban lãnh đ o khoa Toán - Cơ - Tin h c, khoa
Sau đ i h c và các th y cô giáo trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên, Đ i h c
Qu c gia Hà N i đã trang b ki n th c, t o đi u ki n thu n l i cho tác gi trong
su t th i gian tác gi h c t p t i trư ng. Cu i cùng, tác gi xin c m ơn gia đình,
b n bè và đ ng nghi p đã quan tâm, đ ng viên và chia s đ tác gi hoàn thành
lu n văn c a mình.

Hà N i, ngày 02 tháng 10 năm 2015
Tác gi lu n văn

Tr n Văn Thi n

4


Chương 1

Ki n th c chu n b

Chương này trình bày m t s n i dung ki n th c cơ b n v t p l i,
hàm l i, hàm t a l i, hàm gi l i và m i quan h gi a các hàm l i suy
r ng. Nh ng n i dung đư c trình bày trong chương này ch y u ch n t
tài li u Mathematics of Optimization: Smooth and Nonsmooth Case c a G.
Giorgi, A. Guerraggio and J. Thierfelder [17] và nh ng tài li u trích d n
trong đó.

1.1

Không gian Ơclit

Tph p
Rn := {x = (x1, ..., xn) | x1, ..., xn ∈ R}
v i hai phép toán
(x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) := (x1 + y1, ..., xn + yn)

λ(x1, ..., xn) := (λx1, ..., λxn),

λ∈R

l p thành m t không gian véc tơ Ơclit n−chi u.
N u x = (x1, ..., xn) ∈ R thì xi g i là thành ph n ho c t a đ th i c a

x. Véc tơ không c a không gian này g i là g c c a Rn và đư c kí hi u đơn
gi n là 0, v y 0 = (0, ..., 0).

5


Trong Rn ta đ nh nghĩa tích vô hư ng chính t c ., . như sau: v i

x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn) ∈ Rn,
n

x, y =
i=1

xiy i.

Khi đó v i m i x = (x1, ..., xn) ∈ Rn ta đ nh nghĩa
n

x :=

x, x =
i=1

(xi)2

và g i là chu n Euclid c a véc tơ x.

1.2

Tpl i

Đ nh nghĩa 1.1. T p C ⊂ Rn đư c g i là l i, n u
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C.
M nh đ 1.2. Cho C ⊂ Rn (α ∈ I) là các t p l i, v i I là t p ch s
α
b t kì. Khi đó C =
C cũng l i.

α∈I

α

M nh đ 1.3. Cho các t p Ci ⊂ Rn l i, λi ∈ R (i = 1, 2, ..., m). Khi đó λ1C1 + ... +
λmCm cũng là t p l i.
M nh đ 1.4. Cho các t p Ci ⊂ Rni l i, (i = 1, 2, . . . , m). Khi đó tích
Đ các C1 ⋅ ... ⋅ Cm là t p l i trong Rn1 ⋅ ... ⋅ Rnm.
Đ nh nghĩa 1.5. Véc tơ x ∈ Rn đư c g i là t hmp l i c a các véctơ
x1, ..., xm thu c Rn, n u ∃λi ≥ 0 (i = 1, 2, ..., m) ,
λi = 1 sao cho
i=1

m

x=
xi .

λi
i=1

Đ nh lý 1.6. Cho t p C ⊂ Rn l i; x1, ..., xm ∈ C. Khi đó C ch a t t c các t h p l i c
a x1, ..., xm.
6


Đ nh nghĩa 1.7. Cho C ⊂ Rn. Giao c a t t c các t p l i ch a C đư c
g i là bao l i c a t p C, kí hi u là coC.
Đ nh nghĩa 1.8. Gi s C ⊂ Rn. Giao c a t t c các t p l i đóng ch a C đư c g i là
bao l i đóng c a t p C và kí hi u là coC.

M nh đ 1.9. Cho C ⊂ Rn l i. Khi đó,
i) Ph n trong intC và bao đóng C c a C là các t p l i;
ii) N u x1 ∈ intC, x2 ∈ C, thì
{λx1 + (1 − λ)x2 : 0 < λ ≤ 1} ⊂ intC.

1.3

Hàm l i

Đ nh nghĩa 1.10. Cho hàm f : C → R, trong đó C ⊂ Rn, t p
epi(f ) = {(x, α) ∈ C ⋅ R | f (x) ≤ α} ,
đư c g i là trên đ th c a f .
Đ nh nghĩa 1.11. Cho C ⊂ Rn là m t t p l i, f : C → R.
Hàm f đư c g i là l i trên C n u trên đ th epi(f ) c a nó là m t t p
l i trong Rn ⋅ R.
Hàm f đư c g i là lõm trên C n u −f là hàm l i trên C.
Ta nh c l i m t s đ c trưng và tính ch t c a hàm l i m t bi n kh vi.
Đ nh lý 1.12. Cho ϕ : (a, b) → R.
i) N u ϕ kh vi trên (a, b) thì ϕ l i trên (a, b) khi và ch khi ϕ không
gi m trên (a, b).
ii) N u ϕ có đ o hàm b c hai trên (a, b) thì ϕ l i trên (a, b) khi và ch
khi ϕ (t)

0 v i m i t ∈ (a, b).

iii) N u ϕ l i trên [a, b] thì ϕ liên t c trên (a, b).
Đ nh lý 1.13. Cho C là t p l i trong không gian Rn và f : C → R. Khi
đó, các đi u ki n sau là tương đương:
a) f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ C.
7

b) f (λx + (1 − λ) y)

λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀λ > 1, ∀x, y ∈ C sao cho
λx + (1 − λ) y ∈ C.

c) f (λx + (1 − λ) y)

λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀λ < 0, ∀x, y ∈ C sao cho
λx + (1 − λ) y ∈ C.

d)(B t đ ng th c Jensen) V i b t kì x1, . . . , xm ∈ C, i = 1, . . . , m và v i
b t kì λi ∈ [0, 1], i = 1, . . . , m,

m

i=1

λi = 1 b t đ ng th c sau đúng:

f (λ1x1 + ... + λmxm) ≤ λ1f (x1) + ... + λmf (xm) .
e) V i m i x ∈ C, v i m i y ∈ Rn, hàm ϕx,y(t) = f (x + ty) là hàm l i
trên đo n Tx,y = {t ∈ R | x + ty ∈ C}.
f) V i m i x, y ∈ C, hàm ψx,y(λ) = f (λx + (1 − λ)y) l i trên đo n [0, 1].
g) Trên đ th c a f là t p l i trong Rn+1.

Đ nh lý 1.14. Gi s C ⊂ Rn là m t t p l i m , f : C → R. Khi đó, f
∗
l i trên C khi và ch khi v i m i x0 ∈ C, t n t i x ∈ Rn sao cho

f (x) − f (x0)

∗

x (x − x0),

x ∈ C.

Đ nh lý 1.15. Cho C ⊂ Rn là m t t p l i và f : C → R. Khi đó, n u f
l i trên C thì, v i m i α ∈ R t p m c dư i c a f
L(f, α) = {x ∈ C | f (x) ≤ α}
là t p l i.
Ví d . Xét hàm s f : R → R xác đ nh b i f (x) = x3. Ta có f không l i
trên R, trong khi L(f, α) = {x ∈ R | x3 ≤ α} = {x ∈ R | x ≤ α1/3} là t p l i v i m i

α ∈ R.
Đ nh lý 1.16. Cho C ⊂ Rn là m t t p m và f : C → R kh vi trên C.
Khi đó các kh ng đ nh sau tương đương:
a) f l i trên C

8


b) V i m i x ∈ C và v i m i y ∈ Rn hàm
ϕx,y(t) = y, f (x + ty) ,
bi n t, không gi m trên đo n Tx,y = {t ∈ R | x + ty ∈ C}.
c) V i m i x, y ∈ C, hàm

ψx,y(λ) = (x − y), f (λx + (1 − λ)y) ,
bi n λ, không gi m trên đo n [0, 1] .

d) V i m i x, y ∈ C, f (x) − f (y)

(x − y), f (y) . e) V i

m i x, y ∈ C, f (x) − f (y)

(x − y), f (x) .

f) V i m i x, y ∈ C, (x − y), [ f (x) −

f (y)]

0.

Đ nh lý 1.17. Cho f : C → R là hàm s kh vi liên t c hai l n trên
t p l i m C ⊂ Rn. Khi đó, f l i trên C khi và ch khi ma tr n Hessian
2
f ( x) n a xác đ nh dương v i m i x ∈ C.
Đ nh nghĩa 1.18. Cho C là t p l i trong không gian Rn, f : C → R. Ta
nói f l i ch t trên C n u
f (λx + (1 − λ) y) < λf (x)+(1 − λ) f (y) ∀λ ∈ (0, 1),

∀x, y ∈ C, x = y.

Đ nh lý 1.19. Cho C là t p l i trong không gian Rn và f : C → R. Khi
đó, các đi u ki n sau là tương đương:
a) f l i ch t trên C
b) V i m i x ∈ C, v i m i y ∈ Rn, hàm ϕx,y(t) = f (x + ty) là hàm l i

ch t trên đo n Tx,y = {t ∈ R | x + ty ∈ C}.

c) V i m i x, y ∈ C, hàm ψx,y(λ) = f (λx + (1 − λ)y) l i trên đo n [0, 1] .
Đ nh lý 1.20. Cho C ⊂ Rn là m t t p m và f : C → R kh vi trên C.
Khi đó các kh ng đ nh sau tương đương:
a) f l i ch t trên C
b) V i m i x, y ∈ C, x = y, f (x) − f (y) > (x − y), f (y) . c) V i m i x, y ∈
C, x = y, f (x) − f (y) < (x − y), f (x) .
d) V i m i x, y ∈ C, (x − y), [ f (x) −

f (y)] > 0.
9


Đ nh lý 1.21. Cho f : C → R là hàm s kh vi liên t c hai l n trên t p l i
2
f (x) xác đ nh dương v i m i
m C ⊂ Rn. Khi đó, n u ma tr n Hessian
2
x ∈ C, nghĩa là v i m i x ∈ C, y,
f (x)y > 0 v i m i y ∈ Rn, y = 0,
thì f l i ch t trên C.
Đi u ki n nêu trên ch đ ch không c n đ f l i ch t. Ví d như,
2
f (x) = 12x2 không xác đ nh dương
f (x) = x4 l i ch t trên R, nhưng
trên R, vì

2

f (0) = 0.

Đ nh nghĩa 1.22. Hàm f : C → R xác đ nh trên t p l i C ⊂ Rn đư c
g i là hàm aphin trên C n u có v a l i v a lõm trên C, nghĩa là
f (λx + (1 − λ) y) = λf (x) + (1 − λ) f (y) ∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ C.
Đ nh lý 1.23. Hàm f : Rn → R là hàm aphin khi và ch khi t n t i
c ∈ Rn và s α ∈ R sao cho f (x) = c, x + α.
Đ nh lý 1.24. Gi s f là hàm l i trên Rn. Khi đó các kh ng đ nh sau là
tương đương:
i) f b ch n trong m t lân c n c a x ;
ii) f liên t c t i x ; iii)
int(epi(f )) = ∅.

1.4

Hàm t a l i

Đ nh nghĩa 1.25. Cho C ⊂ Rn là t p l i. Hàm f : C → R g i là hàm
t al in u
f (λx + (1 − λ)y)

max{f (x), f (y)},

∀x, y ∈ C,

∀λ ∈ [0, 1].

Nh n xét 1.26. M t đ nh nghĩa tương đương c a hàm t a l i f : C → R,
trong đó C ⊂ Rn là m t t p l i, là:
x, y ∈ C,

f ( x)

f (y) =⇒ f (λx + (1 − λ)y)

10

f (y),

∀λ ∈ [0, 1]


Nh n xét 1.27. M i hàm l i f : C → R đ u là hàm t a l i. Th t v y,
gi s f l i. Khi đó
f (λx + (1 − λ)y)

λf (x) + (1 − λ)f (y)
max{f (x), f (y)},

∀x, y ∈ C,

∀λ ∈ [0, 1].

Ví d sau ch ng t r ng, đi u ngư c l i trong nh n xét trên không
đúng.
Ví d . L y C = {(x, y) ∈ R2 | x, y

0}, f : C → R; f (x, y) = −xy.

Đ nh lý 1.28. Cho C ⊂ Rn là m t t p l i và f : C → R. Khi đó, các
đi u ki n sau đây là tương đương:
a) f là hàm t a l i trên C, nghĩa là

f (λx + (1 − λ)y)

max{f (x), f (y)},

∀x, y ∈ C,

∀λ ∈ [0, 1].

b) V i m i x ∈ C và v i m i y ∈ Rn hàm s gx,y(t) = f (x + ty) là t a l i
trên đo n Tx,y = {t ∈ R | x + ty ∈ C}.
c) V i m i x, y ∈ C hàm hx,y(λ) = f (λx + (1 − λ)y) là t a l i trên đo n [0, 1].
d)V i m i α ∈ R t p m c dư i

L(f, α) = {x ∈ X | f (x)

α}

là l i (có th r ng).
e) V i m i α ∈ R, t p m c dư i ch t
S L ( f , α ) = { x ∈ C | f ( x) < α }
là t p l i .
Đ nh lý 1.29. Cho C ⊂ Rn là m t t p l i m , f : C → R là m t hàm
kh vi trên C. Khi đó, f t a l i trên C khi và ch khi
x, y ∈ C,

f ( x)

f (y) ⇒ (x − y), f (y)

0.

Đ nh lý 1.30. a) Cho f : C → R là m t hàm liên t c trên t p l i C ⊂ Rn.
Khi đó f t a l i trên C khi và ch khi
x, y ∈ C,

f (x) < f (y) =⇒ f (λx + (1 − λ)y)
11

f (y),

∀λ ∈ [0, 1]


b) Cho f : C → R là m t hàm kh vi trên t p l i m C ⊂ Rn. Khi đó f
t a l i trên C khi và ch khi
x, y ∈ C,

f (x) < f (y) =⇒ (x − y), f (y)

0.

Đ nh lý 1.31. Cho f : C → R là m t hàm hai l n kh vi liên t c trên
t p l i m C ⊂ Rn. Đi u ki n c n đ f t a l i trên C là:
2
0.
f (x)y
y ∈ Rn, x ∈ C, y f (x) = 0 =⇒ y,
Lưu ý r ng, các đi u ki n nêu trong đ nh lý trên không đ đ f t a l i.
V i hàm f : R → R; f (x) = x4, các đi u ki n nêu trong đ nh lý trên đ u
th a mãn, nhưng f không t a l i trên R.

Đ nh lý 1.32. Cho f : C → R là m t hàm hai l n kh vi liên t c trên
t p l i m C ⊂ Rn. Gi s r ng,
f ( x) = 0 v i m i x ∈ C . N u
2
0
f (x)y
n
y ∈ R , x ∈ C, y f (x) = 0 =⇒ y,
thì f t a l i trên C.
Đ nh lý 1.33. Cho f : C → R là m t hàm hai l n kh vi liên t c trên
t p l i m C ⊂ Rn. Khi đó, n u
2
f (x)y
n
y ∈ R , y = 0, x ∈ C, y f (x) = 0 =⇒ y,

>0

thì f t a l i trên C.
Đ nh nghĩa 1.34. Ta nói hàm f : C → R là t a tuy n tính trên t p l i
C ⊂ Rn n u f và −f đ u là t a l i trên C, nghĩa là v i b t kì x, y ∈ C,
λ ∈ [0, 1] ta có
min{f (x), f (y)} ≤ f (λx + (1 − λ)y) ≤ max{f (x), f (y)}.
D dàng th y r ng, f : C → R là t a tuy n tính trên t p l i C ⊂ Rn khi và ch khi
các t p m c dư i L(f, α) và các t p m c trên U (f, α) :=
{x ∈ C | f (x)
α} l i v i m i α ∈ R. T đây suy ra r ng, n u f t a l i
trên C thì các t p m c
Y (f, α) = {x ∈ C | f (x) = α}
12

l i v i m i α ∈ R. Tuy nhiên, đi u ngư c l i không đúng.
Xét f : [0, 3] → R;

1, n u 1 ≤ x ≤ 2



n u 2f (x) = 3,

 n u 32,
Ta có Y (f, α) = ∅ v i α = 1, 2, 3 và Y (f, 1) = [1, 2], Y (f, 2) = (3, 4],
Y (f, 3) = (2, 3]. Như v y, Y (f, α) l i v i m i α ∈ R, nhưng f không t a l i và do đó
f không t a tuy n tính. Lưu ý r ng f không liên t c.
Đ nh lý 1.35. N u các t p m c Y (f, α) = {x ∈ C | f (x) = α} l i v i
m i α ∈ R và f liên t c trên t p l i X ⊂ Rn thì f t a tuy n tính trên C
Khi f là hàm kh vi, ta có các k t qu sau:
Đ nh lý 1.36. Cho f kh vi trên t p l i m C ⊂ Rn. Khi đó, f t a tuy n
tính trên C khi và ch khi
x, y ∈ C, f (x) = f (y) =⇒ (x − y), f (y) = 0.
Đ nh nghĩa 1.37. Hàm f : C → R xác đ nh trên t p l i X ⊂ Rn đư c
g i là t a l i ch t trên C n u v i x, y ∈ C, x = y, λ ∈ (0, 1) tùy ý:
f (λx + (1 − λ)y) < max{f (x) f (y)}.
Đ nh lý 1.38. Cho f kh vi trên t p l i m C ⊂ Rn. Khi đó, f t a l i
ch t trên C khi và ch khi
x ∈ C, y ∈ Rn, y = 0, y, f (x) = 0 =⇒ gx,y(t) = f (x + ty),
xác đ nh v i t

0, không đ t c c đ i đ a phương t i t = 0.

Đ nh nghĩa 1.39. Hàm f : C → R xác đ nh trên t p l i C ⊂ Rn đư c
g i là t a l i n a ch t trên C n u v i x, y ∈ C,
f (x) < f (y), λ ∈ (0, 1) =⇒ f (λx + (1 − λ)y) < f (y)
hay m t cách tương đương
f (x) = f (y), λ ∈ (0, 1), : f (λx + (1 − λ)y) < max{f (x) f (y)}.
13


Ví d : Hàm s f : R → R, f (0) = 1, f (x) = 0 v i m i x = 0, là t a l i
n a ch t, nhưng không t a l i.
Đ nh lý 1.40. Cho f n a liên t c dư i trên t p l i C ⊂ Rn. Khi đó, n u f t a l i n
a ch t trên C thì f t a l i.
Ví d sau ch ra r ng đi u ngư c l i trong đ nh lý không đúng. L y
f : R → R,



x v i x ≤ 0


f (x) = 0 v i 0 < x < 1
x − 1 v i x 1.



Ta có f t a l i trên R, nhưng v i x = −1/2, y = 1/2, λ = 1/10 ta có f (x) < f
(y) và f (λx + (1 − λ)y) = f (y).

1.5

Hàm gi l i

Trong ph n này chúng ta h n ch ch xét nh ng hàm gi l i kh vi. Do
đó ta dùng đ nh nghĩa sau:
Đ nh nghĩa 1.41. Cho f : X → R là hàm kh vi trên t p m X ⊂ Rn.
Ta nói f gi l i trên X n u
x, y ∈ X,

(x − y), f (y)

0 =⇒ f (x)

f (y),

ho c, m t cách tương đương
x, y ∈ X, f (x) < f (y) =⇒ (x − y), f (y) < 0.
Hàm f g i là gi lõm n u −f gi l i.
Ví d . Hàm f : R → R, f (x) = x3 − x gi l i trên R, nhưng không l i.
Lưu ý r ng, đ nh nghĩa hàm gi l i trong trư ng h p t ng quát như
sau (và tương đương v i đ nh nghĩa trên trong trư ng h p hàm kh vi,
xem [11]):

14


Đ nh nghĩa 1.42. Ta nói hàm f : C → R là gi l i trên t p l i C ⊂ Rn
n u ta có: v i x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1)

f (x) < f (y) =⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ f (y) − λ(1 − λ)β(x, y),
trong đó β(x, y) là m t s dương ph thu c vào x và y.
Đ nh lý 1.43. Cho f : C → R là hàm kh vi trên t p l i m C ⊂ Rn.
Khi đó, f gi l i trên C khi và ch khi
x ∈ C, y = 0, y, f (x) = 0 =⇒ g(t) = f (x + ty),
xác đ nh v i t

0, đ t c c ti u đ a phương t i t = 0.

Đ nh lý 1.44. Cho f : C → R là hàm kh vi liên t c hai l n trên t p l i
m C ⊂ Rn. Khi đó, f gi l i trên C khi và ch khi v i m i x ∈ C:
2
i)
f (x) = 0 =⇒ y,
f (x)y
0, và
ii) n u như

f (x) = 0 thì f có c c ti u đ a phương t i x.

Ch ng minh. Xem [31].
Đ nh nghĩa 1.45. Cho f : C → R xác đ nh trên t p l i m C ⊂ Rn. N u f và −f đ u
gi l i thì ta nói f là hàm gi tuy n tính.
Đ nh lý 1.46. Cho f : C → R, trong đó C ⊂ Rn là m t t p l i m . Khi
đó các m nh đ sau tương đương:
i) f là gi tuy n tính
ii) V i tùy ý x, y ∈ C, (x − y), f (y) = 0 khi và ch khi f (x) = f (y)
Đ nh nghĩa 1.47. Cho f : C → R là hàm kh vi trên t p m C ⊂ Rn.
Ta nói f gi l i ch t trên C n u
x, y ∈ C, x = y f (x)

f (y) =⇒ (x − y), f (y) < 0 ,

ho c, m t cách tương đương
x, y ∈ C, x = y (x − y), f (y)

0 =⇒ f (x) > f (y).

D th y tính gi l i ch t suy ra tính gi l i.
15


Đ nh lý 1.48. Cho f : C → R là hàm kh vi trên t p l i m C ⊂ Rn.
Khi đó f gi l i ch t trên C khi và ch khi
x ∈ C y = 0, y, f (x) = 0 =⇒ g(t) = f (x + ty),
xác đ nh v i t

0, đ t c c ti u đ a phương ch t t i t = 0.

Đ nh lý 1.49. Cho f : C → R là hàm kh vi liên t c hai l n trên t p l i
m C ⊂ Rn. Khi đó, f gi l i ch t trên X khi và ch khi

và g(t) = f (x + ty), xác đ nh v i t
t = 0.

1.6

2

y,

x ∈ C y = 0, y, f (x) = 0 =⇒

f (x)y

> 0 ho c y,

2

f (x)y

0, đ t c c ti u đ a phương ch t t i

M i quan h gi a nh ng hàm l i suy r ng

Cho f : C → R.
Đ nh lý 1.50. Xét
1) f l i ch t
2) f l i
3) f gi l i ch t
4) f gi l i
5) f t a l i ch t
6) f t a l i n a-ch t
7) f t a l i
Ta có: 1) −→ 2) −→ 4) −→ 6) (và f n a liên t c dư i)−→ 7), 1) −→
3) −→ 4) và 5), 4) −→ 6), và 5) −→ 6).
Dư i đây là m t s ví d .
Ví d . Các hàm sau đây đ u xét trên R:
f 1 ( x) = x + x3 ,
f 2 ( x) = x3 ,

16

=0



0

vi

x<0
f3 = v

0



−
x
2




x
<
0

f4 =



v x
∈
[
0
,
1
]

( v x
>
1



Ta có: f1 gi l i nhưng không l i,
f2 t a l i n a-ch t nhưng không
gi l i,
f3 t a l i n a-ch t nhưng không t
a l i ch t, f4 t a l i nhưng không
ta
l
i
n
a
c
h

t
.

K
t
l
u
n
N i dung chính c a chương
đã trình bày khái ni m và m t
s tính ch t
c a m t s l p hàm l i suy r ng,
m i quan h gi a các hàm l i
suy r ng.

17


Chương 2

Hàm toàn phương l i suy r ng
Chương này trình bày t p trung trên tính t a l i và gi l i c a hàm
toàn phương v i ba khái ni m khác nhau c a tính l i suy r ng, bao g m:
tính t a l i, tính gi l i, tính gi l i ch t.

2.1

Nh c l i m t s đ nh nghĩa

Xét

Q(x) = 1xT Ax + bT x,
2
trong đó A là ma tr n th c đ i x ng n ⋅ n và b ∈ Rn. Hơn n a, đ t
C ⊂ Rn xác đ nh m t t p l i đ c, t c là mi n trong c a C khác r ng.
Chúng ta s xem xét các hàm Q(x) t a l i, gi l i ho c gi l i ch t trên
C. Ta nh c l i m t s đ nh nghĩa.
Đ nh nghĩa 2.1. Q(x) đư c g i là hàm t a l i trên C n u, v i m i
x, y ∈ C,
Q(y) ≤ Q(x) suy ra (y − x) Q(x) ≤ 0.

(2.1)

M t cách tương đương, đi u này nghĩa là các t p m c dư i.
{x ∈ C : Q(x) ≤ α} là t p l i v i ∀α ∈ R

(2.2)

Đ nh nghĩa 2.2. Q(x) đư c g i là gi l i trên C n u, v i m i x, y ∈ C,
y − x ≥ 0 suy ra Q(y) ≥ Q(x).
18

(2.3)


Đ nh nghĩa 2.3. Q(x) đư c g i là gi l i ch t trên C n u v i m i x, y ∈
C, x = y ,
y − x ≥ 0 suy ra Q(y) > Q(x).

(2.4)

Đ nh nghĩa 2.4. Cho A = [aij] là ma tr n c p m ⋅ n, Khi đó:
a) A đư c g i là xác đ nh không âm n u aij ≥ 0, ∀i = 1, ..., m; j =
1, 2, ..., n.
b) A đư c g i là n a xác đ nh dương n u aij ≥ 0 và ít nh t m t ph n t aij >
0, i = 1, ..., m; j = 1, 2, ..., n
c) A đư c g i là xác đ nh dương n u aij > 0, ∀i = 1, ..., m; j = 1, 2, ..., n
Đ nh nghĩa 2.5. Xét các t p con c a Rn. Khi đó:
a) Rn = {x ∈ Rn | xj ≥ 0, j = 1, • • • , n}, đư c g i là oc-tan không âm +

c a Rn .

b) Rn ∴{0} = {x = (x1, x2, ..., xn) | xi ∈ R, ∃xj > 0, xi ≥ 0, i = 1, 2..., n} +

đư c g i là oc-tan n a dương c a Rn.
Rn.

c) Rn = {x ∈ Rn | xj > 0, j = 1, • • • , n}, đư c g i là oc-tan dương c a +

Hàm gi l i ch t Q(x) là gi l i và các hàm gi l i là t a l i. Tuy nhiên
đi u ngư c l i chưa ch c đúng.
M t hàm t a l i (gi l i, gi l i ch t) mà không l i thì đư c g i là hàm ch t a l i
(tương ng, ch gi l i, ch gi l i ch t).

2.2

Mts

tính ch t c a hàm toàn phương l i suy

r ng
Đ nh lý 2.6. Cho Q (x) = 1 xT Ax+cT x+α mà A ∈ Rn⋅n, c ∈ Rn, α ∈ R. S
2
N u A là m t ma tr n n a xác đ nh dương thì Q(x) là m t hàm toàn
phương l i.
Ch ng minh. Vì x → cT x + α là m t hàm l i và t ng c a hai hàm l i là
m t hàm l i, ta ch c n ch ng minh Q1 (x) := xT Ax là m t hàm l i. Khi
19


A là m t ma tr n n a xác đ nh dương, v i m i u ∈ Rn, v ∈ Rn ta có
0 ≤ (u − v)T A (u − v) = uT Au − 2vT Au + vT Av.
Đi u này suy ra r ng
vT Av ≤ uT Au − 2vT A (u − v) .

(2.5)

Cho b t kì x ∈ Rn, y ∈ Rn và t ∈ (0, 1), ta đ t z = tx + (1 − t) y. Theo
(2.5) ta có
zT Az ≤ yT Ay − 2zT A (y − z) ,
zT Az ≤ xT Ax − 2zT A (x − z) .
Vì y − z = t (y − x) và x − z = (1 − t) (x − y), t hai b t đ ng th c
cu i ta suy ra r ng
(1 − t) zT Az + tzT Az ≤ (1 − t) yT Ay + txT Ax,
vì th
Q1 (tx + (1 − t) y) = Q1 (z) ≤ tQ1 (x) + (1 − t) Q1 (y) .
Như v y Q1 là m t hàm l i.
K t qu sau c a Cottle [17].
Đ nh lý 2.7. Cho C ⊂ Rn là m t t p l i khác r ng. Khi đó Q(x) l i trên
C khi và ch khi Q(x) l i trên m i t nh ti n C + α c a X

K t qu sau c a Martos [17]
Đ nh lý 2.8. Hàm toàn phương Q(x) t a l i trên Rn khi và ch khi nó l i
trên Rn.
Ch ng minh. L y y là véc tơ tùy ý c a Rn và α > 0 sao cho:
Q(αy)

Q(−αy).

(Đ i d u c a y, d u α không đ i, n u c n). Khi đó
1 α2yT Ay + αbT y
2

1α2yT Ay − αbT y,
2
20

(2.6)


nghĩa là 2αbT y
0.
Song, n u như đi u này đúng v i m t α > 0 thì nó s đúng v i m i

α > 0. V y (2.6) đúng v i m i α > 0. Bây gi , n u Q(x) t a l i trên Rn
thì t (2.6) suy ra v i m i α > 0 ta có
[αy − (−αy)]T [A(−αy) + b] = −2α2yT Ay + 2αbT y

0,

nghĩa là bT y

αyT Ay.
B t đ ng th c trên đúng v i m i α > 0 ch khi yT Ay
(−y)T A(−y)

0 ho c

0 n u như d u c a y b đ i. Vì y đư c l y tùy ý, ta

có Q(x) l i trên Rn. Chi u ngư c l i là hi n nhiên.
Đ nh lý trên ch ra r ng, không có lý do gì đ nghiên c u tính l i suy
r ng c a hàm toàn phương trên c Rn. Tuy nhiên, có th hàm toàn phương
ho c d ng toàn phương là gi l i ho c t a l i trên m t t p con l i c a
Rn, ch ng h n như Rn , nhưng không l i trên t p con đó. Ví d như hàm +
f (x, y) = −xy t a l i trên R2 , nhưng không l i trên đó. +
Đ nh nghĩa 2.9. Ma tr n vuông đ i x ng A c p n và d ng toàn phương
tương

ng v i nó xT Ax đư c g i là dư i xác đ nh dương n u v i m i

x ∈ Rn ta có
xT Ax < 0 → Ax

0 ho c Ax

0

và dư i xác đ nh dương ch t n u v i m i x ∈ Rn ta có
xT Ax < 0 → Ax > 0 ho c Ax < 0.
Ta lưu ý r ng, n u A n a xác đ nh dương thì nó dư i xác đ nh dương
ch t và dư i xác đ nh dương, nhưng đi u ngư c l i không đúng.

Đ nh nghĩa 2.10. Ma tr n vuông đ i x ng A c p n và d ng toàn phương
tương ng v i nó xT Ax đư c g i là ch dư i xác đ nh dương (ch t) n u nó dư i
xác đ nh dương (tương ng, ch t) nhưng nó không n a xác đ nh dương.
M t hàm s f đư c g i là ch t a l i (ch gi l i) trên m t t p l i, n u nó t a l i
(tương ng, gi l i) nhưng nó không l i trên t p đó.
21


Đ nh lý 2.11. Ma tr n đ i x ng A là ch dư i xác đ nh dương khi và ch
khi
i) A có m t giá tr riêng (đơn) âm, và
ii) A

0.

Đ nh lý 2.12. Ma tr n đ i x ng A là ch dư i xác đ nh dương khi và ch
khi
i) A

0. và

ii) t t c đ nh th c con chính c a A là không dương.
Ch ng minh. Xem [7]
Đ nh lý 2.13. Hàm toàn phương Q(x) = 1xT Ax + bT x là t a l i trên
2
n
ortan không âm R+ khi và ch khi ma tr n biên
Ab
là ch dư i xác đ nh dương. N u Q(x) là t a l i trên Rn +
A= T

b0
và b = 0 thì Q(x) là gi l i trên Rn . +
Ch ng minh. Xem [6],[7]
V i d ng toàn phương F (x) = xT Ax ta có k t qu sau c a Martos [12].
Đ nh lý 2.14. D ng toàn phương xT Ax là t a l i trên Rn khi và ch khi +
nó là dư i xác đ nh dương. D ng toàn phương xT Ax là gi l i trên Rn khi +
và ch khi nó là dư i xác đ nh dương ch t.
Ch ng minh. Xem [6],[7]
M t cách đơn gi n đ ki m tra có hay không m t d ng toàn phương
ch t a l i, t a l i trên Rn thì cũng gi l i trên Rn là k t qu đư c xác
+
+
đ nh sau đây ([22]):
Đ nh lý 2.15. M t d ng toàn phương xT Ax ch t a l i trên Rn là ch gi +
l i khi và ch khi A không ch a m t dòng b ng 0.
S suy r ng c a k t qu trên v i t p l i đ c tùy ý đư c cho b i k t qu
sau đây([5]):
22