Luận văn một số phương trình hàm cơ bản và phương pháp giải

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------------------

VŨ THỊ VÂN

MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH
HÀM
CƠ BẢN VÀ PHƢƠNG PHÁP
GIẢI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------------------

VŨ THỊ VÂN

MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH
HÀM
CƠ BẢN VÀ PHƢƠNG PHÁP
GIẢI
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhụy

HÀ NỘI - 2015


L I C M ƠN
Lu n văn này đư c hoàn thành v i s hư ng d n và ch b o t n tình
c a PGS. TS. Nguy n Nh y. Nhân d p này t đáy lòng mình, em xin đư c
bày t lòng bi t ơn trân tr ng và sâu s c t i PGS. TS Nguy n Nh y, ngư i th y
đã quan tâm, đ ng viên và s ch b o hư ng d n nhi t tình, chu đáo cùng nh
ng l i đ ng viên khích l em trong su t quá trình làm lu n văn.
Em cũng xin g i l i c m ơn chân thành c a mình đ n quý Th y Cô giáo
trong khoa Toán - Cơ - Tin, phòng Sau Đ i h c, phòng Đào t o Trư ng Đ i H
c Khoa h c T nhiên - ĐHQGHN, đ c bi t là nh ng Th y Cô giáo
đã t ng gi ng d y

l p PPTSC, khóa h c 2013 - 2015. C m ơn Th y Cô

đã truy n th cho em ki n th c và giúp đ em trong su t quá trình h c t p t i
khoa. Đ ng th i, em xin g i l i c m ơn t i t p th l p Cao H c Toán PPTSC,
khóa h c 2013 - 2015 đã đ ng viên, giúp đ em trong su t quá trình vi t và ch
nh s a lu n văn này.
Cu i cùng, em xin g i l i c m ơn đ n nh ng ngư i thân trong gia đình
và b n bè đã luôn ng h , t o đi u ki n thu n l i và nhi t tình giúp đ em trong
th i gian v a qua.
M c dù đã r t c g ng song do s hi u bi t có h n c a b n thân và
khuôn kh c a lu n văn th c sĩ, nên ch c r ng trong quá trình nghiên c u
không tránh kh i nh ng thi u sót, em r t mong đư c s ch d y và đóng góp ý
ki n c a Th y Cô và đ c gi quan tâm t i Lu n văn này.
Hà N i, ngày 15 tháng 09 năm 2015

H c viên

Vũ Th Vân

1


M cl c
0.1
0.2

M c đích c a đ tài lu n văn . . . . . . . . . . . . . . . . .
B c c c a lu n văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 M t s phương trình hàm cơ b n và ví d
1.1 M t s phương trình hàm cơ b n . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1

T

ng quát Bài toán 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Bài toán phương trình hàm Cauchy không có đi u
ki n liên t c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.4

Bài toán 2

1.1.5

T ng quát Bài toán 2

1.1.6

7
7

Bài toán 1 (Phương trình hàm Cauchy) . . . . . . .
71.1.2

1.1.3

5
5

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
. . . . . . . . . . . . . . . . 14

Bài toán 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.7
T ng quát Bài toán 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.8
Bài toán 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.9
T ng quát Bài toán 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2

Các ví d áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 M t vài phương pháp gi i phương trình hàm
2.1 Phương pháp đ t n ph
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1
2.1.2
2.2

2.3

Phương trình d ng: f (α(x)) = g(x) . . . . . . . . . 33
Các ví d

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Phương pháp đưa v h phương trình . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1

Phương trình d ng: a(x)f (x) + b(x)f (g(x)) = c(x) . 40

2.2.2

Các ví d

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Phương pháp chuy n qua gi i h n . . . . . . . . . . . . . . 52
2

33


2.3.1

Các ví d

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3 Phương trình hàm v i mi n xác đ nh là t p các s t nhiên 69
3.1 Tìm công th c t ng quát c a dãy s b ng cách đưa v c p s
3.2

70

Tìm công th c t ng quát c a dãy b ng phương trình đ c
trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2.1

Phương trình đăc trưng c a dãy . . . . . . . . . . . 79 3.2.2
Áp d ng gi i phương trình hàm . . . . . . . . . . . 86

3.3

M t s phương trình hàm d ng khác . . . . . . . . . . . . . 91

K t lu n

100

Tài li u tham kh o

101

3


M
Đ I CƯƠNG V

ĐU

PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ C U TRÚC
C A LU N VĂN

Phương trình hàm là phương trình trong đó n s là m t hàm s nào
đó, vi c gi i phương trình hàm là đi tìm các hàm s th a mãn đi u ki n c a đ
bài, m i hàm s th a mãn phương trình hàm đư c g i là nghi m c a phương
trình hàm. C u trúc c a phương trình hàm g m ba ph n chính
1. Phương trình hàm cơ b n và các ví d .
2. M t vài phương pháp gi i phương trình hàm.
3. Phương trình hàm v i t p xác đ nh là t p s t nhiên.
Phương trình hàm nói chung là m t d ng toán khó c a Gi i tích nói
riêng và c a toán h c nói chung. Nhìn chung vi c gi i phương trình hàm thư
ng không theo m t quy t c t ng quát nào c . Gi i phương trình hàm đòi h i
ph i có s tư duy sáng t o, v n d ng m t cách linh ho t các ki n th c đã h c
vào t ng bài toán c th . Vi c tìm ra l i gi i ph thu c vào t ng phương trình
hàm c th và m t vài đi u ki n ràng bu c. Tuy nhiên cũng có nh ng bài toán
v phương trình hàm có cách gi i g n gi ng nhau, có nh ng phương trình
hàm có c u trúc tương t nhau, nh ng đ c trưng cơ b n gi ng nhau. Vì th , ta

c n có m t s phân l p các lo i phương hàm đ tìm ra phương pháp gi i đ i di
n cho m i l p. Ti p theo ta c n s p x p các phương trình hàm đ có th đưa đư
c v lo i các phương trình hàm
đã kh o sát b ng cách th c nào đó. Ti p theo n a, là đưa ra m t s k
thu t đ c trưng đ gi i phương trình hàm. Cu i cùng gi ng như các bài toán
đ ng em xin nêu ra m t s đ nh hư ng gi i phương trình hàm mà t m g i là
phương pháp. Các phương pháp này có đư c là nh vi c phân lo i c u trúc
phương trình hàm thành các phương trình hàm t ng quát có cách gi i
tương t nhau.
Phương trình hàm cũng là m t chuyên đ quan tr ng thu c chương trình
toán trong các trư ng THPT đ c bi t là các trư ng chuyên. Các bài
4


toán có liên quan đ n phương trình hàm cũng là các bài t p khó, thư ng
g p trong các kỳ thi h c sinh gi i c p qu c gia, c p khu v c, c p qu c t và
các kỳ thi Olympic toán sinh viên.Tuy nhiên, cho đ n nay, h c sinh các trư
ng chuyên, l p ch n nói riêng và ngư i làm toán nói chung còn bi t r t ít
các phương pháp chính th ng đ gi i các bài toán v phương trình hàm, th
m chí b lúng túng không đ nh hư ng đư c khi ti p c n m t phương trình
hàm.
Các tài li u v phương trình hàm còn ít và chưa có m t tài li u nào
trình bày đ y đ các khía c nh c a phương trình hàm. Do đó, có th giúp h c
sinh ti p c n v i phương trình hàm d dàng hơn và gi i quy t đư c m t s bài
toán v phương trình hàm là m t yêu c u h t s c c n thi t nên em ch n đ tài "
M t s phương trình hàm cơ b n và phương pháp gi i ".

0.1

M c đích c a đ tài lu n văn

M c đích c a lu n văn là d a trên vi c tìm hi u các phương trình hàm
và các tài li u liên quan đ n phương trình hàm đ hình thành nên phương
pháp phân tích, khai thác các d li u, d đoán các hư ng gi i, các k thu t bi n
đ i... trên cơ s đó hình thành nên m t s phương pháp cơ b n đ gi i phương
trình hàm.

0.2

B c c c a lu n văn

Bài lu n văn " M t s phương trình hàm cơ b n và phương pháp
gi i " g m có: M đ u, 3 chương n i dung, k t lu n và tài li u tham kh o.
Chương 1. M t s phương trình hàm cơ b n và các ví d
Trong chương này em đưa ra các Bài toán cơ b n c a phương trình hàm
và các nghi m c a bài toán đó. Có nhi u Bài toán cơ b n
đây đư c gi i
5


thi u trong ([1]) và ([2]). Nh ng bài toán đã có l i gi i trong ([1]) và ([2]),
thì trong Lu n văn này ta ch s d ng k t đ gi i các bài toán khác.
Chương 2. M t s phương pháp cơ b n gi i phương trình hàm
Trong chương này em trình bày m t s d ng thư ng g p c a phương
trình hàm và m t s phương pháp cơ b n đ gi i các phương trình hàm và
các ví d áp d ng.
Chương 3. Phương trình hàm v i t p mi n xác đ nh là các t p
s t nhiên
Đó là các phương trình hàm mà t p xác đ nh là t p s t nhiên và các
cách gi i khác.

6


Chương 1
M t s phương trình hàm cơ b n và
ví d
Trong chương này ta gi i thi u m t s Bài toán cơ b n và các ví d áp
d ng. M t s Bài toán cơ b n đã có l i gi i trong các tài li u quen thu c, c th là
trong tài li u ([1]) và ([2]), thì ta s không trình bày l i gi i mà ch đưa ra k t
qu .
Ti p theo trong m c 1.2 c a chương, em đưa ra các ví d c th áp d ng
các k t qu c a các Bài toán cơ b n này.

1.1
1.1.1

M t s phương trình hàm cơ b n
Bài toán 1 (Phương trình hàm Cauchy)

Xác đ nh các hàm f (x) liên t c trên R th a mãn đi u ki n
f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R
Bài toán này đã đư c trình bày trong tài li u ([1]) và ([2]),

(1.1)
đây em ch

đưa ra k t qu . Nghi m c a bài toán là

f (x) = ax, ∀a ∈ R.

1.1.2

T ng quát Bài toán 1

Cho a, b ∈ R∴{0}. Tìm các hàm f (x) xác đ nh, liên t c trên R và th a
mãn đi u ki n

f (ax+by) = af (x)+bf (y), ∀x, y ∈ R.
7

(1.2)


Gi i
Cho x = y = 0 thay vào (1.2) ta đư c

f (0) = af (0) + bf (0)
⇔ f (0).(a + b − 1) = 0.
a) N u a + b = 1 thì f (0) = 0. T (1.2) l n lư t cho x = 0, y = 0 ta đư c

f (by) = bf (y), ∀y ∈ R
f (ax) = af (x), ∀x ∈ R.
V y (1.2) tr thành f (ax + by) = af (x) + bf (y) = f (ax) + f (by).
Khi đó tr v bài toán Cauchy có nghi m là f (x) = cx, v i c ∈ R .
b) N u a + b = 1 thì f (0) là tùy ý. Khi đó ta đ t g(x) = f (x) − f (0).
Cho x = y = 0 thì g(0) = f (0) − f (0) = 0 thay vào (1.2) ta đư c

g(ax + by) + f (0) = a[g(x) + f (0)] + b[g(y) + f (0)]
⇔ g(ax + by) = ag(x) + bg(y).
Theo k t qu trên thì g(x) = cx, v i c ∈ R.

V y f (x) = cx + d v i d = f (0), c ∈ R tùy ý.
Th l i th y f (x) = cx + d th a mãn.
Nh n xét 1.1. Ngoài gi thi t liên t c trên R c a hàm c n tìm trong phương
trình hàm Cauchy n u thay b ng các đi u ki n khác như Bài toán
1.1.3 dư i đây thì l p hàm nh n đư c v n không thay đ i.

1.1.3

Bài toán phương trình hàm Cauchy không có đi u ki n
liên t c

Ch ng minh r ng n u hàm f : R −→ R th a mãn phương trình hàm
Cauchy

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R
và m t trong các đi u ki n
1. f liên t c t i m t đi m x0 ∈ R;
8

(1.3)


2. f b ch n trên trên m t kho ng (a; b);
3. f đơn đi u trên R
thì f (x) = ax.
Gi i
Trư c h t ta th y r ng n u hàm f : R → R th a mãn đi u ki n Cauchy

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R
thì

f (nx) = nf (x), ∀n ∈ N, ∀x ∈ R

(1.3a)

f (x) = 1 f (x), ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ R
n
n

(1.3b)

f (rx) = rf (x), ∀r ∈ Q, ∀x ∈ R.
Th t v y, thay x = y vào (1.3) ta đư c

(1.3c)

và

f (2x) = 2f (x),
thì (1.3a) đúng v i n = 2.
Gi s (1.3a) đúng v i n = k, ∀k ∈ N, k ≥ 2, t c là

f (kx) = kf (x),
ta s ch ng minh (1.3a) đúng v i n = k + 1 ta có
f ((k + 1)x) = f (kx + x) = kf (x) + f (x) = (k + 1)f (x) (đúng).
Do đó b ng qui n p thì bi u th c (1.3a) đư c ch ng minh v i n ≥ 2, n ∈ N.
Khi đó t (1.3a) v i x = 0 ta có f (0) = f (n.0) = nf (0). T đó suy ra

f (0) = 0.

(1.3d)

N u n = 0 ta có f (0.x) = f (0) = 0 = 0.f (x) (đúng).
N u n = 1 ta có f (1.x) = f (x + 0) = f (x) + f (0) = f (x) (đúng). V y
(1.3a) đư c ch ng minh.
Hơn n a t (1.3) l y y = −x và s d ng f (0) = 0, ta thu đư c

f (x − x) = f (x) + f (−x)
⇔ f (0) = f (x) + f (−x)
9


⇔ 0 = f (x) + f (−x)
⇔ f (−x) = −f (x).

(1.3e)

B i v y khi n = −1; −2; −3; ....., s d ng (1.3a) và (1.3e) ta có

f (nx) = f (−n(−x)) = −nf (−x) = nf (x).

(1.3f )

T (1.3a) và (1.3f) ta suy ra

f (nx) = f (−n(−x)) = −nf (−x) = nf (x), ∀n ∈ Z.
Bây gi ta s ch ng minh (1.3b). Đ ng th c (1.3a) kéo theo

(1.3g)

f (x) = f (
n
n
h

⇔

(x)

n
a


(x) = 1 f (x), ∀n ∈ N∗, ∀x ∈

f

R.
n
n
Do đó (1.3b) cũng đư c ch ng
minh.
Đ ch ng minh (1.3c), ta k t h p (1.3a) và (1.3b) ta thu
đư c

f (m.x) = mf (x), ∀m, n ∈ N, n = 0.
n
n
Đ t r = m ∈ Q, do
đó

n
f (rx) = rf (x), ∀r ∈

Q, ∀x ∈ R
t đây ta suy
ra

f (0) = f (0.0) = 0.f (0)
= 0.
Tóm l i, n u f th a mãn Phương trình Cauchy thì ta có (1.3b),
(1.3c),
(1.3d), (1.3e)
(1.3g).

a) Ta s ch ra r ng v i đi u ki n đã cho f : R −→ R s liên t c t i m i
x ∈ R,
do đó

f (x) = ax, (a = f
(1)).
Trư c h t ta ch ra f liên t c t i
0.
Gi s {xn} là dãy sao cho xn → 0, khi đó (xn + x0) → x0. L i do f
1

0


th a mãn Phương trình Cauchy cho nên

f (xn + x0) = f (xn) + f (x0).
Do f liên t c t i x0 nên

f (x0) = nlim f (xn + x0) = nlim f (xn) + f (x0).
Suy ra

→∞

→∞

lim f (xn) = 0,

n→∞

mà

f (0) = 0
do đó

lim f (xn) = f (0).

n→∞

V y f là hàm liên t c t i 0.
Bây gi ta gi s x ∈ R là s th c tùy ý và xn → x. Khi đó

xn − x → 0,
ta có

f (xn − x) = f (xn) + f (−x) = f (xn) − f (x).
Do f liên t c t i 0 và f (xn − x) → f (0) = 0 nên

lim f (xn) = f (x),

n→∞

v y f : R −→ R liên t c t i x ∈ R b t kỳ. Do đó theo Bài toán 1 ta
có

f (x) = ax, (a = f (1)).
b) Trư c h t ta ch ra r ng n u f th a mãn Phương trình Cauchy và f
b ch n trên trên m t kho ng (a, b) nào đó thì nó b ch n trong m i
kho ng (−α, α) v i α > 0 tùy ý. Ta xét hàm

g(x) = f (x)−f (1)x, ∀x ∈ R.
11

(1.3h)


D th y hàm g xác đ nh b i (1.3h) cũng th a mãn Phương trình
Cauchy

g(x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R.
Th t v y, ta có

g(x + y) = f (x + y) − f (1)(x + y)
= f (x + y) − f (1)x − f (1)y
= f (x) + f (y) − f (1)x − f (1)y = f

(x) − f (1)x + f (y) − f (1)y
= g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R.
Suy ra g th a mãn (1.3c). Do đó
g(r) = g(r.1) = rg(1) = r[f (1) − f (1).1] = 0,
t c là

g(r) = 0, ∀r ∈ Q.
V i x ∈ (−α, α) ta có th ch n s h u t r ∈ Q sao cho x + r ∈ (a, b),
khi đó

g(x) = g(x) + g(r) = g(x + r)
= f (x + r) − f (1)(x + r).
Do f b ch n trên trên kho ng (a, b), gi s f (x + r) ≤ M1 v i M1
nào đó. Khi đó

g(x) ≤ M1 − f (1)a = M2
v y g cũng b ch n trên trên (−α, α). Ta có

f (x) = g(x) + f (1)x ≤ M2 + f (1)b = M3, ∀x ∈ (−α, α),
nên f (x) cũng v ch n trên trên kho ng (−α, α). V i x ∈ (−α, α) thì
y = −x ∈ (−α, α). Do đó

f (x) ≤ M3.
Nhưng vì f (y) = f (−x) = −f (x) ≤ M3, nên

f (x) ≥ −M3.
12

(1.3i)

V y f (x) cũng b ch n dư i trên (−α, α), t c f b ch n trên t p

(−α, α).
Bây gi ta ch c n ch ng minh f liên t c t i 0, khi đó theo (a) ta
đư c

f (x) = ax.
Đ ch ng minh đư c đi u đó ta s ch ng minh b đ sau
B đ 1.1. N u {xn}∞=1 là m t dãy d n t i 0, thì t n t i m t dãy n
các s h u t {rn}∞=1 ⊂ Q. Sao cho rn → ∞ và n

lim xnrn = 0.

n→∞

Ch ng minh. Do xn → 0 nên |xn| → 0. Khi đó ta cũng có |xn|12 →

0,|xn|13 → 0 và do |xn| → 0 nên có th gi thi t 0 < |xn| < 1, ∀n ∈ N.
Ta có
|xn|13 > |xn|12 > 0
⇔ |xn|−12 > |xn|−13 > 0, ∀n ∈ N.
Do t p s h u t Q trù m t trong R v i m i n ∈ N, t n t i rn ∈ Q
sao cho

|xn|−12 > rn > |xn|−13 .
Khi đó

|xnrn| ≤ |xn||xn|−12 = |xn|12 → 0, (n → ∞).

Bây gi ta ti p t c gi i bài toán (b).
Gi s {xn}∞=1 là dãy d n t i 0 khi n → ∞. Khi đó theo B đ trên n
t n t i rn ∈ Q, rn → +∞ sao cho xnrn → 0 khi n → ∞. V y thì v i

n đ l n xnrn ∈ (−α, α). Do đó {|f (xnrn)|} là dãy b ch n, gi s
|f (xnrn)| ≤ M, ∀n đ l n.
Khi đó

|f (xn)| = |f (r1 rnxn)| = r1 |f (rnxn)| ≤ M .
n

n

13

rn


V y thì

lim f (xn) = 0 = f (0),

n→∞

t c là f liên t c t i 0. Do đó theo (a) ta có

f (x) = ax, ∀x ∈ R.
c) Gi s f đơn đi u không gi m, khi đó do (1.3b), (1.3c), (1.3d) v i

− 1 < x < 1 , ta suy ra

n
n
− 1 f (1) ≤ f (x) ≤ 1 f (1).
n
n
Do đó f liên t c t i 0, nên t (a) ta suy ra

f (ax) = ax.
1.1.4

Bài toán 2

Xác đ nh các hàm f (x) liên t c trên R và th a mãn đi u ki n
f (x + y) = f (x).f (y), ∀x, y ∈ R.
Bài toán này đã đư c trình bày trong tài li u ([1]) và ([2]),

(1.4)
đây em ch

đưa ra k t qu . Nghi m c a bài toán là:

f (x) = 0, v i x=y=0
f (x) = ax, v i a > 0 tùy ý
Nh n xét 1.2. Ta bi t r ng hàm mũ ch xác đ nh v i cơ s dương. N u h n
ch mi n giá tr c a bài toán là R+ thì có th t ng quát Bài toán 2 như sau.

1.1.5

T ng quát Bài toán 2

Cho a, b ∈ R∴{0}. Tìm các hàm f : R −→ R+ xác đ nh, liên t c trên
R và th a mãn đi u ki n:

f (ax + by) = [f (x)]a.[f (y)]b, ∀x, y ∈ R.
Gi i
14


Theo gi thi t f (x) > 0, ∀x ∈ R nên có th đ t

g(x) = ln f (x).
Bài toán đư c quy v xác đ nh hàm g xác đ nh, liên t c trên R và th a
mãn đi u ki n

g(ax + by) = ag(x) + bg(y), ∀x, y ∈ R,
theo cách gi i c a Bài toán t ng quát c a Bài toán 1 ta có
a) N u a + b = 1 thì

g(x) = cx + d, ∀c, d ∈ R tùy ý.
Suy ra

f (x) = ecx+d, ∀c, d ∈ R tùy ý.
b) N u a + b = 1 thì

g(x) = cx, ∀c, d ∈ R tùy ý.
Suy ra

f (x) = ecx, ∀c, d ∈ R tùy ý.

1.1.6

Bài toán 3

Xác đ nh các hàm f (x) liên t c trên R∴{0} và th a mãn đi u ki n:
(1.5)
f (x.y) = f (x).f (y), ∀x, y ∈ R.
đây em ch
Bài toán này đã đư c trình bày trong tài li u ([1]) và ([2]),
đưa ra k t qu . Nghi m c a bài toán là:
1. f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R∴{0};
2. f (x) = |x|α, ∀x ∈ R∴{0}, α ∈ R tùy ý;
3.

f (x) =

x β , ∀x ∈ R +

−|x|β, ∀x ∈ R−.

Nh n xét 1.3. N u h n ch mi n xác đ nh và mi n giá tr c a bài toán
là R+ thì ta có th t ng quát hóa như sau.
15


1.1.7

T ng quát Bài toán 3

Cho a, b ∈ R∴{0}. Tìm f : R+ −→ R+ xác đ nh, liên t c trên R+ và
th a mãn đi u ki n

f (xa.yb) = [f (x)]a.[f (y)]b, ∀x, y ∈ R+.
Gi i
Do x > 0, y > 0 nên ta có th đ t u = ln x, v = ln y, khi đó t gi thi t
c a bài toán ta đư c

f (eau+bv) = [f (eu)]a.[f (ev)]b, ∀u, v ∈ R.
Ta đ t g(x) = f (ex) bài toán quy v tìm hàm g : R −→ R+ xác đ nh, liên
t c trên R và th a mãn đi u ki n

g(ax + by) = [g(x)]a.[g(y)]b, ∀x, y ∈ R.
S d ng k t qu c aBài toán t ng quát c a Bài toán 2 ta đư c
1. N u a + b = 1 thì f (x) = ec ln x, ∀c ∈ R tùy ý.
2. N u a + b = 1 thì f (x) = ec ln x+d, ∀c, d ∈ R tùy ý.

1.1.8

Bài toán 4

Xác đ nh các hàm f (x) liên t c trên R∴{0} và th a mãn đi u ki n:

f (x.y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R.
Bài toán này đã đư c trình bày trong tài li u ([1]) và ([2]),
đưa ra k t qu . Nghi m c a bài toán là

đây em ch

f (x) = b ln |x| v i b ∈ R tùy ý.
Nh n xét 1.4. N u h n ch mi n xác đ nh là R+ thì ta có th t ng quát bài toán
như sau.

16


1.1.9

T ng quát Bài toán 4

Cho a, b ∈ R∴{0}. Tìm f : R+ −→ R+ xác đ nh, liên t c trên R+ và
th a mãn đi u ki n

f (xa.yb) = af (x) + bf (y), ∀x, y ∈ R+.
Gi i
Do x > 0, y > 0 nên ta có th đ t eu = x, ev = y, ∀u, v ∈ R, khi đó t
gi thi t c a bài toán ta đư c

f (eau+bv) = af (eu) + bf (ev), ∀u, v ∈ R.
Ta đ t g(x) = f (ex) bài toán quy v tìm hàm g : R −→ R+, xác đ nh liên
t c trên R và th a mãn đi u ki n

g(ax + by) = ag(x) + bg(y), ∀x, y ∈ R.
S d ng k t qu c a Bài toán t ng quát c a Bài toán 1 ta đư c
1. N u a + b = 1 thì g(x) = cx, c ∈ R tùy ý.
Suy ra f (x) = c ln x, c ∈ R tùy ý.
2. N u a + b = 1 thì f (x) = cx + d v i c, d ∈ R tùy ý.
Suy ra f (x) = c ln x + d v i c, d ∈ R tùy ý.

1.2

Các ví d áp d ng

Dư i đây là các ví d áp d ng các Bài toán cơ b n trên.
Ví d 1.1. Xác đ nh hàm s f liên t √ trên R th a mãn đi u ki n: c

f (x)+f (y)−f (x+y) = 2015xy, ∀x, y ∈ R.
Gi i
Ta có

√

√
2015xy =

2015[(x + y)2 − x2 − y2].
2
17

(1.1)


Do đó (1.1) tương đương v i
√

√
√
2015x2] + [f (y) + 2015y2] = [f (x + y) + 2015(x + y)2].
2
2
[f (x) + 2
√

Đ t g(x) = f (x) + 2015x2, do f liên t c trên R nên g cũng liên t c trên
2
R. Khi đó bài toán quy v tìm hàm g liên t c trên R và th a mãn đi u
ki n

g(x + y) = g(x) + g(y).
Theo k t qu c a Bài toán 1, ta có nghi m là:

g(x) = ax, ∀a ∈ R.
V y khi đó nghi m c a bài toán là
√

f (x) = − 2015x2 + ax, ∀a ∈ R.
2
Ví d 1.2. (T ng quát hóa) Xác đ nh các hàm s f liên t c trên R th a
mãn đi u ki n

f (x) + f (y) − f (x + y) = axy, ∀x, y ∈ R.
Gi i
Ta có

axy = a[(x + y)2 − x2 − y2].
2
Do đó (1.2) tương đương v i
[f (x) + ax2] + [f (y) + ay2] = [f (x + y) + a(x + y)2].
2
2
2
Đ t g(x) = f (x) + ax2, do f liên t c trên R nên g cũng liên t c trên R.

2
Khi đó bài toán quy v tìm hàm g liên t c trên R và th a mãn đi u ki n

g(x + y) = g(x) + g(y).
Theo k t qu c a Bài toán 1, ta có nghi m là:

g(x) = αx, ∀α ∈ R.
18

(1.2)


V y khi đó nghi m c a bài toán là

f (x) = −ax2 + αx, ∀α ∈ R.
2
Ví d 1.3. ( Đ thi hoc sinh gi i Qu c gia 2006)
Xác đ nh các hàm s f liên t c trên R, l y giá tr trong R và th a mãn
đi u ki n

f (x−y)f (y−z)f (z−x)+8 = 0, ∀x, y, z ∈ R.

(1.3)

Gi i
Thay x = t , y = − t , z = 0 vào (1.3) ta đư c
2
2

f (t)f 2(− t ) + 8 = 0,

2
vì f 2(− t ) > 0 nên đ phương trình trên x y ra thì f (t) < 0, ∀t ∈ R.
2
Ta đ t g(x) = log2 (−f (x)) ⇒ f (x) = −2g(x), do f liên t c trên R nên g
cũng liên t c trên R. Thay vào phương trình (1.3) ta đư c
g(x−y)+g(y −z)+g(z −x) = 3.

(1.3a)

Đ t u = x − y; v = y − z ⇒ z − x = −u − v, khi đó (1.3a) tr thành

g(u) + g(v) + g(−u − v) = 3.

(1.3b)

Đ t h(x) = g(x) − 1 thì (1.3b) tr thành

h(u)+h(v) = −h(−u−v).

(1.3c)

Cho u = v = 0 thay vào (1.3c) ta đư c

h(0) + h(0) = −h(0) ⇔ h(0) = 0
Cho u = x; v = 0 thay vào (1.3c) ta đư c

h(x) + h(0) = −h(−x) ⇔ h(−x) = −h(x).
V y h(x) là hàm l và do g liên t c nên h cũng liên t c. Do đó phương
trình (1.3c) tr thành

h(u) + h(v) = h(u + v).
Theo k t qu c a Bài toán 1 thì

h(x) = ax, ∀a ∈ R
19


⇒ g(x) = ax + 1, ∀a ∈ R
⇒ f (x) = −2ax+1, ∀a ∈ R.
Ví d 1.4. Xác đ nh các hàm s f liên t c trên R th a mãn đi u ki n
f [2015f (x) + f (y)] = 2015x + y, ∀x, y ∈ R.

(1.4)

( Đ d tuy n Olympic.)
Gi i
Cho x = y thay vào (1.4) ta đư c

f [2016f (x)] = 2016x.

(1.4a)

Đ t u = 2016f (x); v = 2016f (y) thay vào (1.4a) ta đư c

f (u) = 2016x; f (v) = 2016y.
Do đó

f [2015f (u)+f (v)] = f (2015.2016x+2016y).

(1.4b)

f [2015f (u)+f (v)] = 2015u+v.

(1.4c)

Theo gi thi t
T (1.4b) và (1.4c) ta có

f (2015.2016x + 2016y) = 2015u + v
⇒ f (2015.2016x+2016y) = 2015.2016f (x)+2016f (y), (1.4d)
Trong (1.4d) thay x = y = 0 ta đư c

f (0) = 2015.2016f (0) + 2016f (0)
⇔ f (0) = 0.
L i thay l n lư t x = 0; y = 0 vào (1.4d) ta đư c

f (2016y) = 2016f (y);
và

f (2015.2016x) = 2015.2016f (x).
Do đó (1.4d) tr thành

f (2015.2016x+2016y) = f (2015.2016x)+f (2016y).
Đ t u = 2015.2016x; v = 2016y thay vào (1.4e) ta đư c

f (u + v) = f (u) + f (v).
20

(1.4e)

Đ n đây bài toán tr v Bài toán 1 có nghi m là

f (x) = ax, ∀a ∈ R.
Ví d
ki n

1.5. Xác đ nh các hàm s liên t c f : R+ −→ R th a mãn đi u

f [f (1 )] = f (x)f (y), ∀x > 0; y > 0. xy

(1.5)

Gi i
Đ t f (1) = a = 0 vì theo (1.5) cho x = y = 1 ta đư c

1
f [f (1.1)] = f (1)f (1).
Trong (1.5) thay y = 1 ta đư c

f [f (1x)] = af (x),
suy ra

f [f (1 )] = af (xy). xy
Do đó (1.5) tr thành

af (xy) = f (x)f (y)
⇔ f (xy) = f (ax).f (ay) a
Đ t g(x) =

f (x) thì g(x) liên t c và (1.5a) tr thành
a
g(xy) = g(x).g(y), ∀x > 0; y > 0.

Đ n đây theo k t qu Bài toán 3 nghi m c a bài toán là

g(x) = xβ.
Vy

f (x) = axβ.
Thay vào (1.5) ta có

1
f [a(xy)β ] = axβ.ayβ, ∀x > 0; y > 0
21

(1.5a)


1
⇔ a[a(xy)β ]β = a2.(xy)β
1
⇔ aβ(xy)2β = a.(xy)β, ∀x > 0, y > 0.
Cho xy = 1 thay vào (1.5b) ta đư c

(1.5b)
⇔ β
=

aβ+1 = 1

−
1
.

a=1

1
.
N
u

a
=
1
t
h
ì

f
(
x
)
=
x
β

t
h
a

y
v
à
o