Luận văn một số quá trình ngẫu nhiên có bước nhảy trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
_______________________

Hoàng Thị Phương Thảo

MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
CÓ BƯỚC NHẢY

DỰ THẢO LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
_______________________

Hoàng Thị Phương Thảo

MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
CÓ BƯỚC NHẢY
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 62460106

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TRẦN HÙNG THAO

Hà Nội - 2015

L i cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên c u c a riêng tôi. Các s li
u, k t qu nêu trong lu n án là trung th c và chưa t ng đư c ai công b
trong b t kỳ công trình nào khác.

Nghiên c u sinh

Hoàng Th Phương Th o


L i c m ơn
Trong quá trình h c t p nghiên c u đ hoàn thành đư c lu n án Ti n
sĩ này tôi đã nh n đư c r t nhi u s giúp đ t các th y cô giáo, b n bè đ ng
nghi p và gia đình tôi. Ngư i đ u tiên tôi mu n g i l i c m ơn chân thành
nh t là PGS. TS Tr n Hùng Thao, ngư i Thày đã và đang hư ng d n, đào
t o tôi nghiên c u khoa h c r t nhi t tình. Thày không ch giúp tôi ngày
càng có thêm ni m say mê nghiên c u khoa h c, thày còn cho tôi r t nhi u
l i khuyên trong cu c s ng.
Ti p theo tôi mu n bày t nh ng l i c m ơn t i các thành viên trong
B môn Xác su t Th ng kê , Khoa Toán Cơ Tin h c đã thư ng xuyên giúp
tôi, cho tôi nh ng l i khuyên chân thành trong quá trình làm b n lu n án
này. Đ c bi t tôi đã đư c tham gia xê mi na c a B môn Xác su t Th ng
kê, qua xê mi na tôi đã trau d i, m r ng thêm ki n th c và các th y trong
b môn đã luôn cho tôi nh ng l i nh n xét quý báu trong quá trình h c t p
và nghiên c u c a mình.
Đ ng th i, tôi xin g i l i c m ơn sâu s c đ n Ban giám đ c Đ i h c Qu
c gia Hà N i, Ban giám hi u Trư ng Đ i h c Khoa h c t nhiên, Ban ch nhi
m Khoa Toán-Cơ-Tin h c, Phòng sau đ i h c đã t o nh ng
đi u ki n thu n l i đ tôi nghiên c u t t hơn và giúp tôi hoàn thành th t c b

o v lu n án.
Cu i cùng, tôi xin g i l i cám ơn đ n nh ng ngư i thân trong gia
đình, h hàng, b n bè thân thi t, nh ng ngư i đã luôn bên c nh đ ng viên
giúp đ tôi, đ tôi hoàn thành lu n án này.
Hà n i, 01/2015
NCS: Hoàng Th Phương Th o.


M cl c
L i cam đoan

1

L i c m ơn

2

B ng ký hi u

4

M đu

5

1

Các ki n th c chu n b
1.1 Quá trình đi m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1

1.1.2
1.1.3

Quá trình đi m m t bi n . . . . . . . . . . . . . .
Quá trình đi m nhi u bi n . . . . . . . . . . . . Quá

12
12
13
13

trình Poisson ng u nhiên kép hay quá trình
Poisson có đi u ki n . . . . . . . . . . . . . . . .

14
15

1.2

1.1.4 Đ c trưng Wantanabe . . . . . . . . . . . . . . .
Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3

Quá trình Poisson ph c h p . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4

Tích phân ng u nhiên đ i v i quá trình có bư c nh y . .

21

1.5

Công th c Itô đ i v i quá trình có bư c nh y . . . . . .

22

1.6

1.5.1

Công th c Itô đ i v i quá trình Poisson tiêu chu n 23

1.5.2

Công th c Itô đ i v i quá trình Poisson ph c h p

23

1.5.3

Trong trư ng h p t ng quát . . . . . . . . . . . .

24

Quá trình ng u nhiên phân th
1.6.1

..............

Chuy n đ ng Brown phân th
1

...........

26
26


1.6.2

X p x L2-semimartingale . . . . . . . . . . . . .

1.6.3

Tích phân ng u nhiên phân th và phương trình

27

vi phân ng u nhiên phân th . . . . . . . . . . .

28

2 Quá trình có bư c nh y và bài toán r i ro tín d ng
2.1 Mô hình có bư c nh y đi u khi n b i m t martingale

30

Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1

2.3

Phá s n t i th i đi m t khi công ty có m t kho n
n L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Phá s n khi có n kho n n L1, L2, ..., Ln . . . . .

34

Brown và m t quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . .

36

2.2.1

Xác su t phá s n khi công ty có m t kho n n . .

38

2.2.2

Phá s n khi công ty có nhi u kho n n

39

2.1.2
2.2

32

Mô hình có bư c nh y đi u khi n b i m t chuy n đ ng

......

Mô hình có bư c nh y đi u khi n b i m t chuy n đ ng
Brown và m t quá trình Poisson ph c h p . . . . . . . .

42

2.3.1

Công ty có m t kho n n

44

2.3.2

Trư ng h p công ty có nhi u kho n n

.............
......

3 Quá trình có bư c nh y và quá trình phân th
3.1 Các quá trình phân th có bư c nh y . . . . . . . . . . .
3.1.1

59

Phương trình vi phân ng u nhiên phân th có bư c
nh y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

56

Quá trình Ornstein-Uhlenbeck phân th có bư c
nh y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.3

55
55

Chuy n đ ng Brown phân th hình h c có bư c
nh y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2

47

61

Ư c lư ng đ bi n đ ng ng u nhiên phân th v i quan
sát là quá trình có bư c nh y . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.2.1

67

3.2.2

X p x ng u nhiên phân th
Ư c lư ng Vt ,1

...................
2

...........

70


3.2.3

Ư c lư ng Vt ,2 và Vt . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

3.2.4
3.2.5

S h i t c a Vt t i nghi m Vt . . . . . . . . . .
Ư c lư ng đ bi n đ ng Vt . . . . . . . . . . . . .

74
75

Danh m c các công trình khoa h c c a tác gi liên quan đ n
lu n án

78

Tài li u tham kh o

79

3


B ng ký hi u
P- h.c.c
S h i h u ch c ch n
L2(Ω, Φ, P ) T p h p các l p tương đương các hàm
bình phương kh tích
.

Chu n trong không gian L2(Ω, Φ, P )

Γ(α)

Hàm Gamma

Ν (0, 1)

Bi n ng u nhiên có phân ph i chu n t c

L2 − lim

S h i t trong L2

C(S)

Không gian các hàm ng u nhiên liên t c
trên không gian S.

Cb(S)
[x]

Không gian các hàm ng u nhiên b ch n trên S
Ph n nguyên c a x

4


M đu
M t quá trình có bư c nh y là m t quá trình ng u nhiên mà các qu
đ o c a nó b gián đo n b i các bư c nh y.
V m t l ch s thì đ u tiên, ngư i ta nghiên c u các h đ ng l c ng u nhiên đi
u khi n b i chuy n đ ng Brown mà l i gi i là các quá trình có qu đ o liên t
c. Tuy nhiên trong các ng d ng th c t thì nhi u khi các h đ ng l c y

không ph n ánh đúng s th c nh ng s ki n quan sát đư c. Thay vào đó
ngư i ta nh n th y các quá trình có bư c nh y đáp
ng đư c t t hơn s mô t các hi n tư ng đó. Ch ng h n, các quá trình có
bư c nh y đóng vai trò h t s c quan tr ng trong t t c các lĩnh v c tài
chính. Đóng góp cho s phát tri n c a các mô hình ng u nhiên có bư c nh
y ph i k đ n nh ng thành t u c a lý thuy t Semimartingale và c năng l c
tính toán hi n đ i c a công ngh thông tin.
Quá trình có bư c nh y đơn gi n nh t là quá trình có m t bư c nh y. G i T
là m t th i đi m ng u nhiên, thông thư ng đó là m t th i đi m
d ng ng v i m t b l c (Φt, t ≥ 0) nào đó.
Xt = 1{T≤t ,
}

quá trình này có giá tr b ng 0 trư c khi m t s ki n nào đó x y ra t i
th i đi m T và b ng 1 sau đó. Nó cũng mô t th i đi m phá s n c a m t
công ty trong vi c mô hình hóa r i ro tín d ng.
Ti p theo là các quá trình có giá tr nguyên và có c bư c nh y ch b ng
1, g i là quá trình đ m (Xt, t ≥ 0). Đó là quá trình mô t s các bi n c
x y ra trong kho ng th i gian t 0 đ n t. Quá trình đ m đi n hình là quá
trình Poisson (Nt, t ≥ 0), trong đó Nt có phân ph i Poisson v i tham s
5

(1)


λt. Ngư i ta cũng có th mô t quá trình đó b ng cách cho kho ng th i
gian gi a hai bư c nh y là bi n ng u nhiên đ c l p cùng phân b mũ v i
tham s λ.
S m r ng ti p theo là các quá trình Poisson ph c h p (Xt, t ≥ 0), t c
là các quá trình v i gia s đ c l p, d ng và có c bư c nh y không ph i

là 1 n a mà là các bi n ng u nhiên có phân b xác su t µ nào đó.
Xt =

Nt
k=1

Yk,

(2)

trong đó (Y1, Y2, ...) là dãy các bi n ng u nhiên đ c l p cùng phân ph i µ.
M t ng d ng đi n hình c a quá trình Poisson ph c h p là mô t t ng s ti n
mà công ty b o hi m ph i tr cho khách hàng t i th i đi m t, t i th i đi m y
s khách hàng đòi tr b o hi m là bi n ng u nhiên có phân b Poisson.
Bên c nh đó ngư i ta cũng chú ý đ n quá trình đ i tr ng c a Xt, t c là

quá trình Xt − E[Xt]. N u phân ph i µ có kỳ v ng h u h n thì vì Xt có gia s đ c l
p, d ng nên ta có E[Xt] = tE[X1] và do đó ta có bi u di n
Xt = (Xt − E[Xt]) + tE[X1].

(3)

Quá trình đ i tr ng (Xt − E[Xt]) là m t martingale nên t ng c a (3) là
t ng c a m t martingale và m t d ch chuy n tuy n tính tE[X1].
Bi u di n (3) trên g i ý đ n m t đ nh nghĩa t ng quát v quá trình
semimartingale
Xt = X 0 + V t + M t ,
trong đó V = (Vt, t ≥ 0) là m t quá trình thích nghi, càdlàg và có bi n
phân h u h n, còn M = (Mt, t ≥ 0) là m t martingale đ a phương.
Cũng có nh ng quá trình không ph i là semimartingale, m t ví d quan

tr ng đó là quá trình chuy n đ ng Brown phân th .
H th c (4) nói chung không ph i là duy nh t, nó s là duy nh t v i
6

(4)


m t quá trình V là kh đoán, n u ta xét các semimartingale đ c bi t,
t c là các semimartingale đã b đi các bư c nh y có giá tr tuy t đ i l n
hơn 1. Đi u đó rút ra t s ki n là m i m t semimartingle v i bư c nh y gi i n
i là thu c lo i "đ c bi t".
Kí hi u ∆Xt = Xt − Xt là bư c nh y c a Xt t i th i đi m t thì
−

Xt −

s≤t

∆Xs1|∆Xs|>1

là m t quá trình có bư c nh y gi i n i.
Chú ý r ng, m i martingale đ a phương M (v i M0 = 0) có m t
bi u th c phân tích tr c giao duy nh t thành m t martingale đ a phương
M c v i qu đ o liên t c và m t martingale đ a phương v i qu đ o gián
đo n M d. Gi s X0 = 0 thì bi u di n duy nh t c a semimartingale s
là:
X t = Vt + M c + M d +

s≤t

∆Xs1(|∆Xs|>1).

S phát tri n ti p theo là các quá trình Lévy. Đó là các quá trình có s
gia đ c l p và d ng. Đây chính là s m r ng sát sao nh t c a các quá trình
Wiener và quá trình Poisson v i công th c Lévy-Khintchine n i
ti ng:
ϕ (u) : = E [exp (iuXt)]

eiux − 1 − iux1(|x|≤1) γ (dx) ,

2

= exp iub − 1u c +
2

trong đó γ là đ đo Lévy, b và c là các h ng s .
Công th c đó hình thành d a trên m t k t qu quan tr ng là phân tích
Lévy sau đây đ i v i m t quá trình Lévy (Xt, t ≥ 0):
x (Nt (., dx) − tγ (dx)) + αt

Xt = W t +
|x|<1

+
0≤s≤t

∆Xs1(|∆Xs|≥1),
7

trong đó Wt là m t chuy n đ ng Brown, Nt(ω, dx) = { s các s < t :
∆Xs(ω) ∈ dx} còn NtA = Nt (., dx) là m t quá trình Poisson đ c l p
A

v i Bt, v i A là m t t p b t kỳ ⊂ R ∴ {0} và γ(dx) là m t đ đo trên
R ∴ {0} v i min 1, x2 γ (dx) < ∞.
Lu n án nghiên c u m t s quá trình có bư c nh y v n là l i gi i c a
các phương trình vi phân ng u nhiên có bư c nh y. G n v i các quá trình
đó là s m r ng mô hình Merton nh m xác đ nh xác su t phá s n trong lý
thuy t r i ro tín d ng. Ngoài ra m t v n đ v ư c lư ng tr ng thái t i ưu c a m
t h đ ng l c ng u nhiên phân th v i quan sát là các quá trình có bư c nh
y cũng đư c kh o sát.
V m t ng d ng c a các quá trình ng u nhiên có bư c nh y trong tài
chính chúng tôi t p trung vào vi c phát tri n mô hình Merton đ i v i r i ro
tín d ng (Credit Risk).
Năm 1974, Robert Merton là ngư i đ u tiên đưa ra vi c mô hình
hóa đ nh lư ng r i ro tín d ng nh m ch ra xác su t phá s n (default
probability) đ i v i m t công ty tín d ng. V đ p c a mô hình Merton n m
ch xem giá tr tài s n c a công ty như là m t quy n ch n mua trên các tài
s n c a công ty đó và do đó có th áp d ng phương pháp đ nh giá quy n
ch n Black-Scholes.
Các gi thi t c a mô hình Merton là:
1. Giá tr tài s n c a công ty Vt tuân theo phương trình
dVt = µdt + σdZ , t
Vt
trong đó µ là l i su t trung bình t c th i, σ là đ bi n đ ng, Zt là quá
trình đi u khi n di n bi n ng u nhiên c a Vt, thông thư ng
đư c ch n là chuy n đ ng Brown.

2. Các kho n n c a công ty bao g m m t kho n n đơn v i m nh giá

là L ph i thanh toán t i m t th i đi m T . S phát tri n sau này có
8


th đưa ra nhi u kho n n ph i tr vào các th i đi m khác nhau.

3. Các kho n n đư c xem như là m t tài s n phái sinh xây d ng trên
các tài s n c a công ty. S phá s n x y ra n u t i th i đi m đáo
h n mà VT < L.
4. Khi v n x y ra tài s n c a công ty ph i đư c chuy n cho bên ch
n.
Sau khi mô hình Merton ra đ i, nhi u nhà nghiên c u đã tìm cách m
r ng và c i ti n theo nhi u cách nh m phù h p v i th c t và thích nghi v i
nh ng d li u th trư ng. Nh ng nghiên c u đó t p trung theo
các hư ng sau đây:
1. Theo ph m vi c a mô hình Merton nguyên b n thì s

phá s n ch

có th x y ra t i th i đi m đáo h n n là T . Mô hình

có th đư c c

i ti n b ng cách cho v n t i nh ng th i đi m trư

c T n u giá

tài s n Vt t i th i đi m t < T không vư t qua đư c m
t ngư ng Lt
nào đó. đây có th áp d ng phương pháp quy n ch n có rào c n

(barrier options). Đi tiên phong trong s m r ng theo hư ng này là
Black và Cox. Các mô hình thu c lo i này đư c g i là các mô hình
"Ch m M c Đ u tiên" (First Passage Time Models).
2. M t hư ng n a là thay th lãi su t c đ nh trong mô hình Merton
c đi n b i mô hình v i lãi su t ng u nhiên. Theo hư ng này, nhi u khi
còn ph i nghiên c u tương quan gi a quá trình tài s n và quá trình
lãi su t.
3. Vi c xem m i kho n n như là m t trái phi u lãi su t-0 (zero coupon
bond) không ph i lúc nào cũng thu n ti n. Robert Geske đã nghiên c
u mô hình v i nhi u kho n n có nh ng đ c trưng khác nhau,
9


g i là mô hình "Quy n ch n ph c h p Geske" (Geske Compound
Option Model).
4. M t s mô hình khác có c u trúc ph c t p hơn bao g m đ bi n
đ ng ng u nhiên, khu ch tán có bư c nh y và c các phương pháp
chuy n ti p ch đ (như chuy n ti p trơn, chuy n ti p Markov,...) cũng
đã đư c nghiên c u. Các mô hình này góp ph n gi i thích nh ng
quan sát th c t trên th trư ng m t cách chính xác hơn
nhưng cũng đòi h i nh ng phân tích sâu s c hơn và m t s công c
toán h c ph c t p hơn.
V ph n ng d ng trong tài chính chúng tôi k t h p c 4 hư ng trên, trên cơ
s phân tích l i gi i c a các phương trình vi phân ng u nhiên có bư c nh y
th hi n giá tr tài s n c a m t công ty. Đó là các quá trình có d ng sau đây.
1. Quá trình ng u nhiên đi u khi n b i m t martingale Poisson.
2. Quá trình ng u nhiên đi u khi n b i m t quá trình khu ch tán có
bư c nh y.
3. Quá trình ng u nhiên đi u khi n b i chuy n đ ng Brown và m t
quá trình Poisson ph c h p.

G n v i các quá trình đó là s m r ng mô hình Merton nh m xác đ nh xác
su t phá s n trong lý thuy t r i ro tín d ng.
Trong nh ng trư ng h p này các mô hình có c u trúc như nhau nhưng k
thu t tính toán và ư c lư ng xác su t phá s n thì khác nhau.
Ngoài các quá trình ng u nhiên đư c xét trong các mô hình r i ro
tín d ng nói trên trong lu n án cũng nêu ra khái ni m quá trình ng u
nhiên phân th có bư c nh y. Các quá trình này ph n ánh h đ ng l c ng u
nhiên có trí nh và có qu đ o gián đo n t i các bư c nh y. Ngoài ra v i m t
quá trình phân th ph n ánh nhi u h đ ng l c có tác d ng lâu dài như kh
ng ho ng kinh t , chi n tranh, chính sách dài h n c a
10


nhà nư c, và nhi u khi ta không quan sát tr c ti p đư c mà ph i thông
qua m t quá trình quan sát khác. Do đó lu n án cũng nghiên c u bài
toán ư c lư ng tr ng thái c a đ bi n đ ng ng u nhiên phân th c a m t h đ
ng l c ng u nhiên d a trên các quá trình quan sát có bư c nh y là các
quá trình đi m. Đó th c ch t là bài toán l c ng u nhiên mà quá trình h th
ng là m t quá trình ng u nhiên phân th và quá trình quan sát là m t quá
trình đi m.
Lu n án g m 3 chương.
Chương 1 nêu nh ng v n đ chung v các quá trình ng u nhiên
có bư c nh y như quá trình đi m, quá trình Poisson, quá trình Poisson ph
c h p, cùng các công c c a gi i tích ng u nhiên đ i v i quá trình có bư c
nh y như tích phân ng u nhiên, công th c Itô. Trong chương này cũng
nêu lên khái ni m quá trình ng u nhiên phân th và m t s tính ch t c a
nó.
Chương 2 dành đ trình bày các quá trình có bư c nh y áp d ng
vào các bài toán r i ro tín d ng. Chúng tôi đã phát tri n bài toán Merton
c đi n cho các trư ng h p mô hình đi u khi n b i m t martingale Poisson,

mô hình đi u khi n b i các quá trình khu ch tán có bư c nh y, mô hình đi u
khi n b i m t chuy n đ ng Brown và m t quá trình Poisson ph c h p.
Trong Chương 3 chúng tôi xây d ng các quá trình phân th có bư
c nh y và bài toán ư c lư ng t i ưu đ bi n đ ng c a m t quá trình phân th d
a trên các quan sát quá trình có bư c nh y là các quá trình đi m.

11


Chương 1
Các ki n th c chu n b
Chương này ch y u trình bày nh ng v n đ v quá trình ng u nhiên
có bư c nh y thu n túy, t c là các quá trình ch thay đ i t i các bư c nh y.
Hai l p quá trình đư c nêu lên đây là các quá trình đi m ch y u là quá
trình Poisson và quá trình Poisson ph c h p. Ngoài ra chương này cũng
nêu lên đ nh nghĩa và m t s tính ch t c a chuy n đ ng Brown phân th .
N i dung chương này ch y u đư c trích d n
t các tài li u [1], [3], [6], [8], [13], [15], [21], [47], [49].

1.1

Quá trình đi m

M t quá trình đi m có th xem xét dư i ba góc nhìn khác nhau:
ho c xem nó như là m t dãy các bi n ng u nhiên không âm, ho c là m t
đ đo r i r c ho c như là m t quá trình đ m. đây ta theo quan đi m th 3 t c
là xem nó như quá trình đ m. Đi u này phù h p v i các nghiên c u ng d
ng v h đ ng l c ng u nhiên r i r c trong cơ h c, trong kinh t tài chính,...
12

1.1.1

Quá trình đi m m t bi n
Quá trình đi m m t bi n có th đư c mô t b i dãy các bi n ng u

nhiên Tn không âm xác đ nh trên không gian xác su t (Ω, Φ, P ) sao cho
∀ω ∈ Ω, T0(ω) = 0,

Tn(ω) < ∞ ⇒ Tn+1(ω) > Tn(ω).

(1.1.1)

Th hi n đó s đư c g i là không bùng n (nonexplosive) n u
lim Tn = ∞.

n→∞

(1.1.2)

V i m i th hi n Tn như th ta cho tương ng m t hàm đ m Nt xác đ nh
như sau


n n u t ∈ [Tn, Tn+1)
Nt =  +∞ n u t ≥ T∞.

(1.1.3)

Như th Nt là m t quá trình ng u nhiên có qu đ o liên t c ph i và c

c a bư c nh y là 1. Ta g i nó là quá trình đi m và t nay ta ch xét quá
trình đi m không bùng n nghĩa là Nt < ∞, ∀t ≥ 0 ho c tương đương
T = ∞.
∞

Ngoài ra n u E[Nt] < ∞, ∀t ≥ 0 thì ta nói quá trình đi m Nt là kh
tích.
1.1.2

Quá trình đi m nhi u bi n

G i Tn là dãy các bi n ng u nhiên xác đ nh trên không gian xác
su t (Ω, Φ, P ) và g i (Zn, n ≥ 0) là các bi n ng u nhiên cũng xác đ nh
trên không gian xác su t (Ω, Φ, P ) nh n các giá tr trong t p {1, 2, ...k}.
V i m i i, (0 ≤ i ≤ k) và v i m i t ≥ 0 ta đ nh nghĩa
Nt(i) =

n ≥1

1(Tn≤t)1(Zn=i),

(1.1.4)

trong đó 1 là hàm ch tiêu.
Ta s g i véc tơ k-chi u Nt = (Nt(1), ...Nt(k)) là quá trình đi m k- chi u.
13


Chú ý 1.1.
(i) Đôi khi ta cũng g i dãy các c p bi n ng u nhiên (Tn, Zn, n ≥ 1)

là quá trình đi m k−chi u.
(ii) Gi i h n T = limn Tn đư c g i là th i đi m bùng n c a
∞
→∞
quá trình đi m Nt. C th v i m t i nào đó (1 ≤ i ≤ k) mà Nt(i) có th i đi
m bùng n T (i).
∞

(iii) Các quá trình Nt(1) và Nt(2) cùng xác đ nh trên không gian xác
su t (Ω, Φ, P ) đư c g i là không có bư c nh y chung n u
∆Nt(1).∆Nt(2) = 0 P- h.c.c., v i m i t ≥ 0.
1.1.3

Quá trình Poisson ng u nhiên kép hay quá trình Poisson
có đi u ki n

Theo ngôn ng thông thư ng (không ph i ngôn ng toán h c)
ngư i ta mô t quá trình Poisson kép theo hai bư c ng u nhiên hóa như
sau:
Đ u tiên v ch ra qu đ o c a m t quá trình "đi u khi n" kí hi u là Yt và
m t khi qu đ o đư c ch n xong ngư i ta t o ra m t quá trình Poisson
v i cư ng đ λ(t, Yt). V y quá trình này ch là quá trình Poisson có đi u
ki n đ i v i Yt. Các quá trình này có r t nhi u ng d ng trong th c t .
Đ nh nghĩa 1.1. (xem [26]) G i Nt là m t quá trình đi m thích nghi v i
l c Φt và cho λt là m t quá trình đo đư c không âm.
Gi s

λt là Φ0 − đo đư c v i m i t ≥ 0
và

t
0

(1.1.5)

λsds < ∞. P − h.c.c

(1.1.6)

N u v i 0 ≤ s ≤ t và v i m i u ∈ R mà
t
iu

E[exp(iu(Nt − Ns))|Φs] = exp{(e − 1)
14

s

λvdv},

(1.1.7)


thì Nt đư c g i là quá trình ng u nhiên Poisson kép hay còn g i là quá
trình ng u nhiên Poisson v i đi u ki n cư ng đ ng u nhiên λt.
Chú ý 1.2.
(i) N u λt là t t đ nh λ = λt thì Nt đư c g i là quá trình Poisson

đ i v i (Φt, P ). Hơn n a n u Φt = ΦtN thì ta ch c n nói r ng Nt
là quá trình Poisson v i cư ng đ t t đ nh λ. Thêm n a n u λ = 1

thì Nt s đư c g i là quá trình Poisson tiêu chu n. Vi c kh o sát
k hơn v quá trình Poisson s đư c nêu ph n sau. Các đi u ki n
(1.1.5) và (1.1.7) kéo theo s ki n là:
V i m i s, t mà 0 ≤ s ≤ t thì gia s Nt − Ns đ c l p v i Φs v i đi u
ki n Φ0. Th t v y, vì λt là Φ0−đo đư c nên
t
iu

E[exp{(e − 1)

t

λvdv|Φ0] = exp{(e − 1)
iu

s

s

λvdv}.

(1.1.8)

Do đó n u l y kì v ng có đi u ki n v trái c a (1.1.7) đ i v i Φ0 ta
đư c
E[E[exp(iu(Nt − Ns))|Φs]|Φ0] = E[exp(iu(Nt − Ns))|Φ0]. (1.1.9)
(ii) Cũng t (1.1.7) ta có th suy ra.
V i m i 0 ≤ s ≤ t và v i m i k ≥ 0 thì
P (Nt − Ns = k|Φ0) =
1.1.4

e

−

t
s

λu

kt

( λ du) .
du s u
k!

(1.1.10)

Đ c trưng Wantanabe

Cho Nt là m t quá trình Poisson ng u nhiên kép n u nhân hai v c
a (1.1.10) v i k r i l y t ng theo m i k ≥ 0 và chú ý t i s đ c l p có
đi u ki n c a Nt − Ns đ i v i Φs v i đi u ki n Φ0 và s đo đư c c a λt
đ i v i Φ0 ta có

t

E[Nt − Ns|Φs] = E[
15

s

λudu|Φs].

(1.1.11)


Bây gi ta gi thi t r ng v i m i t, E[

t
0

λudu] < ∞ và do (1.1.11) ta có
E[Nt]
< ∞, t c
là Nt kh
tích, t đó
ta có
quá trình
t

M
t

=
N
t

−

λ
s

d
s

(
1
.
1
.
1
2
)
0

là kh tích và là m t
martingale đ i v i Φt. Đó
là m t tính ch t đ c
bi t c a quá trình Nt.
Tính ch t này có th đư c


m r ng cho quá trình
đi m và
đư c g i là
đ c trưng
Wantana
be.

.
2

Đ nh lý 1.1. Cho Nt là m t quá trình
đi m thích nghi v i m t b l c
Φt và cho λt là hàm đo đư c không

t
r
ì
n
h

âm kh tích đ a phương. Gi s
Nt − 0t λsds là m t Φt−martingale. Khi đó
Nt là m t quá trình Poisson
v
i
c
ư
n
g
đ
λ
t

th
íc
h
n

g
hi
v
i
Φ
.
t
Sau đây ta s
xem xét k hơn v quá
trình Poisson.

có bư c nh y là 1
và
qu
đo
kh
ôn
g
th
ay
đi
gi
a
hai
bư
c
nh
y.

Q

u
á

P
o
i
s
s
o
n

∞

N
uá
trình
có
bư c
nh y
sơ c
p nh
t và
có
ích
nh t
chín
h là
quá

Q

t

=

1
[
T
k

,

trình

∞

Pois

]

son
tiêu

1

n Nt, t ∈ R+. Quá trình này

chu

(

t
)


.

(
k
k

(1.2.1)

s

k
=
1

Trong đó (Tk)k≥1 là h tăng, các th i đi m
nh y c a Nt sao cho limk Tk =
→∞
∞, Tk có phân
b Gamma v i
tham s λ > 0.
Ta có th nói, quá trình Poisson tiêu
chu n Nt xác đ nh b i (1.2.1) là
m t quá trình có gia s đ c l p và d
ng, các gia s đó có phân ph i
P
o

i
s
s
o
n
P se

−

λ
(

(
N
t

−

t
−
s
)

λ
(
t

N
k

−
s)
k

,


(i) V i 0 ≤ t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn thì (Nt1 − Nt0, Nt2 − Nt1, ..., Ntn − Ntn−1) là
m t véc tơ g m các bi n ng u nhiên Poisson đ c l p v i các tham
s l n lư t là λ(t1 − t0), λ(t2 − t1), ..., λ(tn − tn−1).
(ii) Tham s λ đư c g i là cư ng đ c a quá trình Poisson và đư c cho
bi

λ = lim0 1 P (Nh = 1). h→
h
Nói riêng Nt có phân ph i Poisson v i tham s λt
k k
t
−
e λt λ
P
Ta th y r ng
P
P

(1.2.3)


!
.

λ,
h
→
0

h

1−
h λ,
h
→
0


trong đó ta kí hi u f (h)

hk có nghĩa là limh→0 fh(h) = 1. k

(iii) T ng quát hơn v i m i t ta có
h λe

P (Nt+h − Nt = 1)
P (Nt+h − Nt = 0)

e

−
λh

−
λh

h λ, h → 0
1 − hλ, h → 0.

Đi u này có nghĩa là trong m t kho ng th i gian ng n [t, t + h] v i
đ dài h thì s gia Nt+h − Nt có dáng đi u c a m t bi n ng u nhiên
Bernouli v i tham s λh. Đi u này có ích cho vi c mô t các qu
đ o c a quá trình Poisson.
(iv) Ta cũng th y r ng
h2 λ , h → 0, t → 0. 2

P (Nt+h − Nt = 2)

2

T
h kλ , k
k! h → 0, t → 0.
17