Định lý giá trị trung bình và phương trình hàm liêm quan

Header Page 1 of 126.

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG



TRẦN THỊ YẾN LY

ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2012
Footer Page 1 of 126.


Header Page 2 of 126.

2

Công trình ñược hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG





Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí
Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Gia Định

Luận văn ñược bảo vệ tại Hội ñồng chấm
Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp tại
Đại học Đà Nẵng vào ngày 01 tháng 07 năm 2012

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.
Footer Page 2 of 126.


Header Page 3 of 126.

3

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Định lý giá trị trung bình Lagrange là một kết quả rất quan trọng trong giải
tích. Nó có nguồn gốc từ ñịnh lý Rolle, ñược chứng minh bởi nhà toán học người
Pháp Michel Rolle (1652-1719) ñối với ña thức vào năm 1691. Xuất phát từ nhu
cầu muốn tìm hiểu về ñịnh lý giá trị trung bình và phương trình hàm, hai vấn ñề
quan trọng trong chương trình THPT, ñặc biệt là dành cho khối chuyên toán,
chúng tôi quyết ñịnh chọn ñề tài với tên gọi: Định lý giá trị trung bình và

phương trình hàm liên quan ñể tiến hành nghiên cứu. Vấn ñề này vẫn mang
tính thời sự trong giải tích. Chúng tôi hy vọng tạo ñược một tài liệu tham khảo
tốt cho những người bắt ñầu tìm hiểu về Các ñịnh lý giá trị trung bình và các
phương trình hàm liên quan ñến chúng và trình bày một số ví dụ minh hoạ ñặc
sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục tiêu của ñề tài nhằm nghiên cứu các ñịnh lý giá trị trung bình
Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng ñịnh lý giá trị trung bình và các
phương trình hàm xuất phát từ chúng. Có nhiều vấn ñề liên quan ñến ñịnh lý giá
trị trung bình, nhưng ở ñây chỉ ñề cập ñến phương trình hàm có liên quan.
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu của ñề tài là ñịnh lý giá trị trung bình và phương
trình hàm liên quan. Phạm vi nghiên cứu của ñề tài là các ñịnh lý giá trị trung
bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng ñịnh lý giá trị trung bình và
các phương trình hàm liên quan ñến chúng.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan
ñến các ñịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan ñến chúng.
2. Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn ñể trao ñổi các kết quả
ñang nghiên cứu.
5. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI
1. Tổng quan các kết quả của các tác giả ñã nghiên cứu liên quan ñến
Định lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan nhằm xây dựng
một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về ñịnh lý giá trị trung
bình và phương trình hàm.
2. Chứng minh chi tiết và làm rõ một số ñịnh lý, cũng như ñưa ra một số ví dụ
minh hoạ ñặc sắc nhằm làm cho người ñọc dễ dàng tiếp cận vấn ñề ñược ñề cập.
Footer Page 3 of 126.

Header Page 4 of 126.

4

6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Luận văn gồm phần mở ñầu, 3 chương, phần kết luận và danh mục tài
liệu tham khảo.
- Chương 1: Hàm cộng tính và song cộng tính.
- Chương 2: Định lý giá trị trung bình Lagrange và các phương trình hàm
liên quan.
- Chương 3: Định lý giá trị trung bình Pompeiu và các phương trình hàm
liên quan.

CHƯƠNG 1
HÀM CỘNG TÍNH VÀ SONG CỘNG TÍNH
Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tài
liêụ [2] , [5], [6].
Mục ñích của chương này là trình bày một số kết quả liên quan ñến hàm
cộng tính và song cộng tính. Việc nghiên cứu hàm cộng tính có từ A.M. Legendre,
người ñã nỗ lực ñầu tiên xác ñịnh nghiệm của phương trình hàm Cauchy
f ( x + y ) = f ( x) + f ( y )
với mọi x, y ∈ , Cuốn sách của Kuczma (1985) mô tả tuyệt vời về hàm cộng
tính. Hàm cộng tính cũng ñã tìm thấy trong cuốn sách của Aczél (1966, 1987),
Aczél – Dhombres (1989) và Smital (1988). Nghiệm tổng quát của nhiều
phương trình hàm hai hay nhiều biến có thể ñược biểu diễn theo các hàm cộng
tính, nhân tính, logarit hoặc hàm mũ. Các phương trình mà chúng ta sẽ trình bày
ở ñây chỉ liên quan ñến hàm cộng tính, song cộng tính và những biến dạng của
chúng. Nhân tiện, chúng ta sẽ khảo sát nghiệm của một số phương trình khác có
liên hệ với phương trình Cauchy cộng tính.
1.1. HÀM CỘNG TÍNH LIÊN TỤC

Định nghĩa 1.1.1. Một hàm f : → , trong ñó là tập các số thực, ñược gọi
là một hàm cộng tính nếu nó thỏa mãn phương trình hàm Cauchy.
f ( x + y ) = f ( x) + f ( y )

(1.1)

với mọi x, y ∈ . Phương trình (1.1) ñược ñề cập ñầu tiên bởi A. M. Legendre
(1791) và C.F. Gaus(1809), nhưng A.L. Cauchy (1821) là người ñầu tiên tìm ra
nghiệm liên tục tổng quát.

Footer Page 4 of 126.


Header Page 5 of 126.

5

Định nghĩa 1.1.2. Một hàm f :
có dạng

→

ñược gọi là một hàm tuyến tính nếu nó

f ( x) = mx ( ∀x ∈

),

trong ñó m là một hằng số bất kì.
Định lý 1.1.1. Cho f : → là một hàm cộng tính liên tục. Khi ñó f là tuyến

tính, nghĩa là, f(x)=mx với m là một hằng số tùy ý.
Định nghĩa 1.1.3. Một hàm f : → ñược gọi là khả tích ñịa phương nếu nó
khả tích trên mỗi khoảng hữu hạn .
Chú ý 1.1.2. Mọi hàm cộng tính khả tích ñịa phương ñều là tuyến tính
Định nghĩa 1.1.4. Một hàm f : → ñược gọi là thuần nhất hữu tỉ nếu

f ( rx ) = rf ( x ) ,

(1.2)

với mọi x ∈ R và mọi số hữu tỉ r.
Định lý 1.1.2. Nếu một hàm cộng tính liên tục tại một ñiểm thì nó liên tục khắp nơi.
1.2. HÀM CỘNG TÍNH GIÁN ĐOẠN
Trong phần trước, chúng ta ñã chứng tỏ các hàm cộng tính liên tục là tuyến
tính. Thậm chí nếu chúng ta giảm ñiều kiện liên tục về liên tục tại một ñiểm, các
hàm cộng tính vẫn còn tuyến tính. Trải qua nhiều năm, sự tồn tại của hàm cộng
tính gián ñoạn là một bài toán mở. Các nhà toán học không thể chứng minh mọi
hàm cộng tính là liên tục và không ñưa ra ñược một ví dụ về hàm cộng tính gián
ñoạn. Nhà toán học người Đức G. Hamel vào năm 1905 là người ñầu tiên thành
công trong việc chứng minh sự tồn tại các hàm cộng tính gián ñoạn.
Bây giờ chúng ta bắt ñầu nghiên cứu các hàm cộng tính phi tuyến (không
tuyến tính).
Định nghĩa 1.2.1. Đồ thị của một hàm f : → là tập hợp

G = {( x, y ) / x ∈ , y = f ( x )} .
Dễ dàng thấy rằng ñồ thị G của một hàm f :

→

là một tập con của mặt phẳng

Định lý 1.2.1. Đồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến tính f :

→

là trù

mật khắp nơi trong mặt phẳng 2 .
Định nghĩa 1.2.2. Cho S là một tập các số thực và B là một tập con của S. Khi
ñó B ñược gọi là một cơ sở Hamel ñối với S nếu mỗi phần tử của S là một tổ
hợp tuyến tính hữu tỉ ( hữu hạn) duy nhất của B.
Định lý 1.2.2. Cho B là một cơ sở Hamel ñối với . Nếu hai hàm cộng tính có
cùng giá trị tại mỗi phần tử của B thì chúng bằng nhau.
Footer Page 5 of 126.

2

.


Header Page 6 of 126.

6

Định lý 1.2.3. Cho B là 1 cơ sở Hamel ñối với

. Cho g : B →

là một hàm
→

tùy ý xác ñịnh trên B . Khi ñó tồn tại một hàm cộng tính f :

sao cho

f ( b ) = g ( b ) với mọi b ∈ B .
1.3. TIÊU CHUẨN KHÁC CHO TÍNH TUYẾN TÍNH
Chúng ta ñã thấy rằng ñồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến f là trù
mật trong mặt phẳng . Nghĩa là mỗi vòng tròn chứa một ñiểm (x,y) sao cho
y = f ( x ) . Chúng ta cũng ñã nhận thấy rằng một hàm cộng tính f trở thành
tuyến tính khi áp ñặt tính liên tục trên f . Chúng ta có thể làm yếu ñiều kiện
liên tục về liên tục tại một ñiểm. Trong ñoạn này, chúng ta trình bày một số
ñiều kiện chính qui nhẹ khác mà làm cho một hàm cộng tính là tuyến tính.
Định lý 1.3.1. Nếu một hàm cộng tính f hoặc bị chặn từ một phía hoặc ñơn
ñiệu thì f là tuyến tính

Định nghĩa 1.3.1: Một hàm f :

→

ñược gọi là nhân tính nếu

f ( xy ) = f ( x) f ( y ), ∀x, y ∈

.

Định lý 1.3.2 : Nếu một hàm cộng tính f cũng là nhân tính thì f là tuyến tính
1.4. HÀM CỘNG TÍNH TRÊN MẶT PHẲNG THỰC VÀ PHỨC
Trong mục này, ñầu tiên chúng ta trình bày một số kết quả liên quan ñến
hàm cộng tính trên mặt phẳng 2 và sau ñó nghiên cứu hàm cộng tính giá trị

phức trên mặt phẳng phức. Chúng ta bắt ñầu mục này với kết quả sau ñây.

Định lý 1.4.1. Nếu f :
hàm cộng tính A1 , A2 :

2

→

→

là cộng tính trên mặt phẳng

2

thì tồn tại các

sao cho

f ( x1 , x2 ) = A1 ( x1 ) + A2 ( x2 )

(1.3)

với mọi x1 , x2 ∈ .

Định lý 1.4.2. Nếu f :
2

2

→

là một hàm cộng tính liên tục trên mặt phẳng

thì tồn tại các hằng số c1 , c2 sao cho

f ( x1 , x2 ) = c1 x1 + c2 x2

(1.4)

với mọi x1 , x2 ∈ .

Bổ ñề 1.4.1. Nếu một hàm cộng tính f :

2

→

liên tục theo từng biến thì nó

là hàm liên tục.

Định lý 1.4.3. Nếu f :

n

→

là một hàm cộng tính liên tục trên

tại các hằng số c1 , c2 ,..., cn sao cho
Footer Page 6 of 126.

n

thì tồn


Header Page 7 of 126.

7

f ( x1 , x2 ,..., xn ) = c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn
với mọi x1 , x2 ,..., xn ∈

(1.5)

.

Chú ý 1.4.1. Trong phần còn lại của mục này, chúng ta khảo sát hàm cộng tính
có giá trị phức trên mặt phẳng phức. Chúng ta bắt ñầu với một giới thiệu ngắn
gọn về hệ số phức. Các số có dạng a + b −1 , trong ñó a và b là những số thực,
ñược gọi là các số phức. Vào ñầu thế kỉ 16, Cardan(1501 – 1576) làm việc với
số phức trong việc giải phương trình bậc hai và bậc ba. Vào thế kỉ 18, các hàm
liên quan ñến số phức ñược tìm thấy bởi Euler. Trong một thời gian dài, các số
phức ít ñược quan tâm và nói chung không ñược xét ñến như các số chính thống
cho ñến giữa thế kỉ 19. Descartes loại bỏ các nghiệm phức của phương trình và
ñặt tên chúng là ảo. Euler cũng cảm thấy các số phức “tồn tại chỉ trong tưởng
tượng” và xem các nghiệm phức của một phương trình chỉ hữu ích trong việc
chứng tỏ rằng các phương trình này thực sự vô nghiệm. Gauss ñưa ra một biểu

diễn hình học ñối với số phức và nhận ra rằng thật là không ñúng nếu cho rằng
“có một bí mật mờ mịt nào ñó trong các số này”. Ngày nay, các số phức ñược
chấp nhận rộng rãi theo công trình của Gaus. Định nghĩa hình thức về số phức
ñược cho bởi William Hamilton.
Hệ số phức
là tập hợp các cặp thứ tự các số thực ( x,y) với phép cộng
và phép nhân xác ñịnh bởi
( x, y ) + (u , v) = ( x + u , y + v)
( x, y )(u, v) = ( xu − yv, xv + yu )

với mọi x, y, u , v ∈ .

Đồng nhất số thực x với cặp ( x,0) và kí hiệu i là số thuần ảo (0,1), ta có
thể viết lại biểu thức sau
( x, y ) = ( x,0) + (0,1)( y,0)
thành ( x, y ) = x + iy . Nếu ta kí hiệu vế trái của biểu diễn này là z thì ta có
z = x + iy . Số thực x ñược gọi là phần thực của z, kí hiệu là Rez. Tương tự, số
thực y ñược gọi là phần ảo của z và kí hiệu là Imz. Nếu z là một số phức có
dạng x + iy thì số phức x − iy ñược gọi là liên hợp của z và kí hiệu là z .
Một hàm bất kì f :

→

có thể ñược viết thành:

f ( z ) = f1 ( z ) + if 2 ( z ) ,
trong ñó f1 :

→

và f 2 :

→

ñược cho bởi

f1 ( z ) = Re f ( z ) , f 2 ( z ) = Im f ( z ).
Footer Page 7 of 126.

(1.6)
(1.7)


Header Page 8 of 126.

8

Nếu f cộng tính thì theo (1.6) và (1.7), ta có:

f1 ( z1 + z2 ) = Re f ( z1 + z2 ) = Re  f ( z1 ) + f ( z2 ) 
= Re f ( z1 ) + Re f ( z2 ) = f1 ( z1 ) + f1 ( z2 ) .
Tương tự, f 2 ( z1 + z2 ) = Im f ( z1 + z2 ) = Im  f ( z1 ) + f ( z2 ) 
= Im f ( z1 ) + Im f ( z2 ) = f 2 ( z1 ) + f 2 ( z2 ) .

Định lý 1.4.4. Nếu
f kj :

→

f:

→

là cộng tính thì tồn tại các hàm cộng tính

( k , j = 1, 2 ) sao cho
f ( z ) = f11 ( Rez ) + f12 ( Im z ) + if 21 ( Re z ) + if 22 ( Im z ) .

Định lý 1.4.5. Nếu f :

→

là một hàm cộng tính liên tục thì tồn tại các

hằng số phức c1 và c2 sao cho
f ( z ) = c1 z + c2 z

(1.8)

Trong ñó z kí hiệu số phức liên hợp với z .
Lưu ý rằng không như các hàm cộng tính liên tục giá trị thực trên , các
hàm cộng tính liên tục giá trị phức trên
là không tuyến tính. Tính tuyến tính
có thể ñược khôi phục nếu ta giả sử ñiều kiện chính quy mạnh hơn như là tính
giải tích thay vì tính liên tục.
Định nghĩa 1. 4.1. Một hàm f : → ñược gọi là giải tích nếu f khả vi trên
.
Định lý 1.4.6. Nếu f :

→

là một hàm cộng tính giải tích thì tồn tại một

hằng số phức c sao cho f ( z ) = cz , nghĩa là f tuyến tính.

1.5. HÀM SONG CỘNG TÍNH
Định nghĩa 1.5.1. Một hàm f :

2

→

ñược gọi là song cộng tính nếu nó

cộng tính theo từng biến, nghĩa là
f ( x + y , z ) = f ( x , z ) + f ( y , z ) , f ( x , y + z ) = f ( x , y ) + f ( x, z )

(1.9)

với mọi x, y, z ∈ .
Ví dụ duy nhất về hàm cộng tính dễ dàng thấy ñược là một bội của tích
các biến ñộc lập. Vì vậy nếu m là một hằng và ta ñịnh nghĩa f bởi

f ( x, y ) = mxy ,

x, y ∈

thì f là song cộng tính.

Định lý 1.1.5. Mỗi hàm song cộng tính liên tục f :

Footer Page 8 of 126.

2

→

có dạng


Header Page 9 of 126.

9

f ( x, y ) = mxy
với mọi x, y ∈

và hằng số m tùy ý nào ñó trong
→

có thể ñược biểu diển dưới dạng

r sj ,

(1.10)

2

Định lý 1.5.2. Mỗi hàm cộng tính f :
n

f ( x, y ) = ∑
k =1

n

trong ñó

x = ∑ rk bk ,
k =1

.

m

∑α
j =1

kj k

m

y = ∑ s jbj ,
j =1

rk , s j là hữu tỉ, trong khi b j là các phần tử của một cơ sở Hamel B và α kj tùy ý
phụ thuộc vào b j và bk .

CHƯƠNG 2
ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE VÀ
CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN

Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tài
liệu [1], [2], [3], [5].
Mục ñích của chương này là nhằm trình bày ñịnh lý giá trị trung bình của
phép tính vi phân cùng với một số ứng dụng của nó và bàn ñến nhiều phương
trình hàm ñược thúc ñẩy việc sử dụng ñịnh lý giá trị trung bình. Tất cả các
phương trình hàm ñề cập trong chương này ñược sử dụng theo ña thức ñặc
trưng. Ớ ñây, chúng ta cũng khảo sát ñịnh lý giá trị trung bình ñối với tỉ sai
phân và ñưa ra một số ứng dụng trong việc xác ñịnh trung bình hàm. Cuối
cùng, chúng ta chứng minh ñịnh lý giá trị trung bình của Cauchy và chỉ ra các
phương trình hàm khác nhau có thể là ñộng lực sử dụng ñịnh lý tổng quát này.
2.1. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE
Một trong các ñịnh lý quan trọng nhất trong phép tính vi phân là ñịnh lý
giá trị trung bình Lagrange. Định lý này ñược khám phá ñầu tiên bởi Joseph
Louis Lagrange (1736-1813) nhưng ý tưởng của việc ứng dụng ñịnh lý Rolle
vào một hàm bổ trợ thích hợp ñược cho bởi Ossian Bonnet (1819-1892). Tuy
nhiên, phát biểu ñầu tiên của ñịnh lý này xuất hiện trong bài báo của nhà vật lý
học nổi tiếng André-Marie Ampère (1775-1836). Như ñã biết nhiều kết quả của
giải tích thực cổ ñiển là một hệ quả của ñịnh lý giá trị trung bình. Chứng minh
của ñịnh lý Rolle dựa vào hai kết quả ñơn giản sau ñây.

Footer Page 9 of 126.


Header Page 10 of 126.

10

Mệnh ñề 2.1.1. Nếu một hàm khả vi f :

→

ñạt cực trị tại một ñiểm c

thuộc khoảng mở (a,b) thì f ' ( c ) = 0 .

Mệnh ñề 2.1.2. Một hàm liên tục f :

→

ñạt cực trị trên một khoảng ñóng

và bị chặn bất kỳ [ a, b ] .

Chúng ta bắt ñầu ñịnh lý Rolle như sau:
Định lý 2.1.1. Nếu f liên tục trên [ x1 , x2 ] , khả vi trên

( x1 , x2 )

và

f ( x1 ) = f ( x2 ) , thì tồn tại một ñiểm η ∈ ( x1 , x2 ) mà sao cho f ' (η ) = 0 .
Định lý 2.1.2. Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên khoảng I và với mọi cặp

x1 ≠ x2 trong I , tồn tại một ñiểm η phụ thuộc x1 và x2 sao cho
f ( x1 ) − f ( x2 )
= f ' (η ( x1 , x2 ) ) .
x1 − x2

(2.1)

2.2. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
Định lý giá trị trung bình có giải thích hình học như sau. Tiếp tuyến với ñồ
thị của hàm f tại η ( x1 , x2 ) song song với cát tuyến nối các ñiểm

( x , f ( x )) .
2

( x , f ( x ) ) và
1

1

2

Trong mục này, chúng ta thiết lập một số kết quả về phép tính vi phân và
tích phân sử dụng ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange.
Bổ ñề 2.2.1. Nếu f ' ( x ) = 0 với mọi x trong khoảng ( a, b ) thì f là hằng trên

[ a, b ] .
Bồ ñề 2.2.2. Nếu

f ' ( x ) = g ' ( x ) với mọi x ∈ ( a, b ) thì f và g sai khác một

hằng số trên [ a, b ] .

Bồ ñề 2.2.3. Nếu f ' ( x ) > 0 (< 0) , với mọi x ∈ ( a, b ) thì hàm f tăng ( giảm )
thực sự trên [ a, b ] .

Bồ ñề 2.2.4. Nếu f '' ( x ) > 0 , với mọi x ∈ ( a, b ) thì f là lõm trên khoảng [ a, b ] .
Định lý cơ bản của phép tính phát biểu rằng nếu f là một hàm liên tục

trên [ a, b ] và F là một nguyên hàm của f trên [ a, b ] thì
b

∫ f ( t )dt = F ( b ) − F ( a ) .
a

Footer Page 10 of 126.

(2.2)


Header Page 11 of 126.

11

Định lý này cũng có thể ñược thiết lập bằng cách ñưa vào ñịnh lý giá trị trung
bình
Ngoài những ứng dụng lý thuyết, ñịnh lý giá trị trung bình còn có những ứng
dụng khác. Các ví dụ sau ñây minh họa một số ứng dụng khác của ñịnh lý giá
trị trung bình.
Ví dụ 2.2.1. Định lý giá trị trung bình có thể ñược dùng ñể chứng minh bất
ñẳng thức Bernoullis: Nếu x > −1 thì

(1 + x )

n

≥ 1 + nx , với mọi n ∈

.

Ví dụ 2.2.2. Định giá trị trung bình có thể ñược sử dụng trong việc chứng minh
bất ñẳng thức
x ≥ 1 + ln x , x > 0
(2.3)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 1 .
Ví dụ 2.2.3. Định lý giá trị trung bình có thể ñược sử dụng trong việc thiết lập
bất ñẳng thức sau ñây
aα <  aα + b (1 − α )  bα −1 ,
với 0 < α < 1 và a,b là hai số thực dương .

Ví dụ 2.2.4 . Định lý giá trị trung bình có thể ñược dùng ñể chứng tỏ (1 +
là hàm tăng, trong khi (1 +

1
x

)

x +1

(2.5)
1
x

)

x

là một hàm giảm với x > 0

Ví dụ 2.2.5. Định lý giá trị trung bình có thể ñược dùng trong việc ñể thiết lập
công thức
bα +1
∫0 x dx = α + 1
với α ≥ 0 và b > 0
b

α

(2.6)

Ví dụ 2.2.6. Cho f là một hàm xác ñịnh trên ( a, b ) và giả sử f ' ( c ) tồn tại với

c ∈ ( a, b ) nào ñó. Cho g khả vi trên khoảng chứa f (c + h) với h ñủ nhỏ và giả
sử g ' liên tục tại f ( c ) . Khi ñó g o f khả vi tại c và

( g o f ) '( c ) = g '( f ( c )) f '( c ) .

Ví dụ 2.2.7. Định lý giá trị trung bình cũng có thể ñược dùng trong việc giới
thiệu một họ vô hạn các trung bình, như là trung bình Stolarsky.

Footer Page 11 of 126.


Header Page 12 of 126.

12

Định nghĩa f ( x ) = xα , trong ñó α là một tham số thực. Áp dụng ñịnh lý

giá trị trung bình ñối với f trên khoảng [ x, y ] . Tồn tại một ñiểm η với

x < η < y ( phụ thuộc vào x, y và α ) sao cho
f ' (ηα ( x, y ) ) =

f ( x) − f ( y )
x− y
α

α

1

 x −y 
⇔ (ηα ) ( x, y ) = 
 .
α
(
x
y
)
−


Lưu ý rằng ta sử dụng ηα ( x, y ) thay vì η ñể nhấn mạnh sự phụ thuộc của η
α −1

vào x, y và α .Từ ñiều này, ta có ñược một họ vô hạn các trung bình bằng cách
thay ñổi tham số α .Các trung bình này ñược biết là trung bình Stolarsky .
Nếu α = −1 , thì ta có trung bình hình học: η −1 ( x, y ) = x y ;

Nếu α = 2 thì ta có trung bình số học

: η 2 ( x, y ) =

x+ y
;
2

Nếu α → 0 , thì ta có trung bình lôgarit : limηα ( x, y ) =
α →0

x− y
;
ln x − ln y
1
y−x

1y 
Nếu α → 1, thì ta có trung bình identric : lim (ηα ) ( x, y ) =  x  .
α →1
ex 
Dể dàng mở rộng ñịnh nghĩa về trung bình số học và trung bình hình học
ñối với n số thực dương, lần lượt là
x + x + ... + xn
A ( x1 , x2 ,...xn ) = 1 2
, G ( x1 , x2 ,...xn ) = n x1 , x2 ,...xn .
n
2.3. CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN
Trong mục này, chúng ta minh họa một phương trình hàm xuất hiện từ
ñịnh lý giá trị trung bình và trình bày một nghiên cứu có hệ thống về phương

trình hàm này và các suy rộng khác nhau của nó.
Định nghĩa 2.3.1. Với các số thực phân biệt x1 , x2 ,..., xn , tỉ sai phân của hàm
y

f:

→

ñược ñịnh nghĩa là

f [ x1 ] = f ( x2 ) ,

f [ x1 , x2 ,..., xn ] =
Định lý 2.3.1. Các hàm
Footer Page 12 of 126.

f

f [ x1 , x2 ,..., xn−1 ] − f [ x2 , x3 ,..., xn ]
x1 − xn
, h:

→

, với n ≥ 2 .

thỏa mãn phương trình hàm


Header Page 13 of 126.

13

f [ x, y ] = h ( x + y ) , x ≠ y ,

(2.7)

khi và chỉ khi f ( x ) = ax 2 + bx + c và h ( x ) = ax + b trong ñó a, b, c là các số
thực tùy ý.
Hệ quả 2.3.1. Hàm f :

→

thỏa mãn phương trình hàm

 x+ y
f ( x) − f ( y ) = ( x − y ) f '
 , x ≠ y,
2


khi và chỉ khi f ( x ) = ax 2 + bx + c , với a, b, c là các hằng số thực tùy ý.

Định lý 2.3.2. Nếu ña thức bậc hai f ( x ) = ax 2 + bx + c , với a ≠ 0 , là một
nghiệm của phương trình hàm
f ( x + h ) − f ( x ) = h f ' ( x + θ h ) ( 0 < θ < 1)

ñược giả sử với mọi x ∈ , h ∈

\{0} thì θ =

mãn phương trình hàm ở trên với θ =

1
2

1
2

(2.8)

. Đảo lại, nếu một hàm f thỏa

thì nghiệm duy nhất là một ña thức có

bậc nhiều nhất bằng hai.
Định lý 2.3.3. Với các tham số thực s , t các hàm f , g , h :
f ( x) − g ( y)
= h ( sx + ty )
x− y

→

thỏa mãn
(2.9)

với mọi x, y ∈ , x ≠ y khi và chỉ khi

ax + b
ax + b


ax + b

f ( x ) = α tx 2 + ax + b

 A ( tx ) + b
 t

β x + b
ay + b
ay + b

ay + b

g ( y ) = α ty 2 + ay + b

 A ( ty ) + c
 t

β y + b
Footer Page 13 of 126.

nÕu s = 0 = t
nÕu s = 0 , t ≠ 0
nÕu s ≠ 0 , t = 0
nÕu s = t ≠ 0

( 2.10)

nÕu s = −t ≠ 0

nÕu s 2 ≠ t 2
nÕu s = 0 = t
nÕu s = 0 , t ≠ 0
nÕu s ≠ 0 , t = 0
nÕu s = t ≠ 0
nÕu s = −t ≠ 0
nÕu s 2 ≠ t 2

(2.11)


Header Page 14 of 126.

14

nÕu s = 0 = t
 tùy ý víi h(0) = a
a
nÕu s = 0 , t ≠ 0

a
nÕu s ≠ 0 , t = 0

nÕu s = t ≠ 0
h ( y ) = α y + a
(2.12)
 A ( y ) (c − b)t

+
nÕu s = −t ≠ 0

y
 y

nÕu s 2 ≠ t 2 ,
β y
trong ñó A: → là một hàm cộng tính và a, b, c, α , β là các hằng số thực tùy ý.

Định lý 2.3.4. Nếu f là một hàm khả vi thỏa mãn phương trình hàm
f [ x, y , z ] = h ( x + y + z )

(2.13)

thì f là một ña thức có bậc nhiều nhất là ba.
Năm 1992 Bailey ñặt ra câu hỏi có hay không mỗi hàm liên tục ( hoặc khả
vi) f thỏa mãn phương trình hàm

f [ x1 , x2 ,...xn ] = g ( x1 + x2 + ... + xn )

(2.14)

là một ña thức có bậc nhiều nhất n . Sử dụng một số kỹ thuật sơ cấp,
Kannappan và Sahoo (1995) ñã giải bài toán Bailey. Định lý sau ñây là lời giải
với n = 3 .
Định lý 2.3.5. Cho f thỏa mãn phương trình hàm

f [ x1 , x2 , x3 ] = g ( x1 + x2 + x3 )
với mọi x1 , x2 , x3 ∈

(2.15)

mà x1 ≠ x2 , x2 ≠ x3 và x1 ≠ x3 . Khi ñó f là một ña thức có

bậc nhiều nhất ba và g là tuyến tính.

Bổ ñề 2.3.1. Cho

S

− S = S ) và cho f , g :

là tập con hữu hạn của
→

và ñối xứng qua 0 ( nghĩa là,

là các hàm thỏa mãn phương trình hàm

f ( x) − f ( y ) = ( x − y ) g ( x + y)
với mọi x, y ∈

\ S . Khi ñó

f ( x) = ax 2 + bx + c, g ( y ) = ay + b
với mọi x, y ∈

(2.16)
(2.17)

\ S và y ∈ , trong ñó a, b, c là các hằng số nào ñó.

Định lý 2.3.6. Cho f , g :

→

thỏa mãn phương trình hàm (2.14) với

x1 , x 2 , ..., x n phân biệt. Khi ñó f là một ña thức có bậc nhiều nhất n và g là
tuyến tính .

Footer Page 14 of 126.


Header Page 15 of 126.

15

2.4. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI TỈ SAI PHÂN
Trong mục này, chúng ta chứng minh ñịnh lý giá trị trung bình ñối với tỉ
sai phân và sau ñó trình bày một số ứng dụng hướng về nghiên cứu các trung
bình. Chúng ta bắt ñầu mục này với một biểu diễn tích phân của tỉ sai
phân.Trong mục này f

(n)

ký hiệu ñạo hàm cấp n của hàm f ,trong khi f ' sẽ

biểu diễn ñạo hàm cấp một của f .

Định lý 2.4.1. Giả sử f :

→

có một ñạo hàm cấp n liên tục trong khoảng

min { x0 , x1 ,..., xn } ≤ x ≤ m ax { x0 , x1 ,..., x n } .
nếu tất cả các ñiểm x0 , x1 ,..., xn là phân biệt thì
1

t1

t n −1

∫ d t1 ∫ d t 2 ... ∫ f
0

0

0

(n)


 x0 +



t
(
x
−

x
)
∑
k
k
k − 1 d t n
k =1

n

(2.18)

= f [ x 0 , x1 , ..., x n ] , với n ≥ 1.

Định lý 2.4.2. Cho f : [ a, b ] →

là một hàm giá trị thực với ñạo hàm cấp n

liên tục và x 0 , x1 ,..., x n trong [ a, b ] . Khi ñó tồn tại một ñiểm η trong khoảng
 min { x0 , x1 ,..., xn } , max { x0 , x1 ,..., xn } sao cho
f ( n ) (η )
f [ x0 , x1 ,..., xn ] =
.
n!
2.5. DÁNG ĐIỆU GIỚI HẠN CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
Nếu x là một số thực trong khoảng (a,b) thì áp dụng ñịnh lý giá trị trung
bình Lagrange ñối với khoảng [ a, x ] , có thể chọn một số η x trong ( a, x ) như là
một hàm của x sao cho

f [ a, x ] = f '(η x ) .

(2.19)

Trong mục này, chúng ta khảo sát dáng ñiệu của giá trị trung bình η x khi x tiến

ñến ñiểm mút trái a của khoảng [ a, x ] . Kiểu dáng ñiệu của giá trị trung bình
tích phân này ñầu tiên ñược nghiên cứu bởi Jacobson (1982) và sau ñó bởi BaoLin (1997). Dáng ñiệu của giá trị trung bình vi phân ñược nghiên cứu bởi
Powers, Riedel và Sahoo (1988). Đầu tiên, chúng ta chứng minh hai kết quả
mang tính biểu diễn khác ñối với tỉ sai phân n -ñiểm f [ x0 , x1 ,..., xn ] của f .

Định lý 2.5.1. Tỉ sai phân n-ñiểm của f có thể ñược biểu diễn thành

Footer Page 15 of 126.


Header Page 16 of 126.

16

f (x j )

n

∑

f [ x0 , x1 ,..., xn ] =

j =1

∏( x

n

k≠ j
k =1

j

(2.20)

− xk )

với mọi số nguyên dương n

Định lý 2.5.2. Giả sử f ( x ) = x l với số nguyên không âm l nào ñó, khi ñó
nÕu l < n < 1,
0

nÕu l = n − 1,
f [ x1 , ..., x n ] = 1
 x ,..., x
nÕu l = n .
n
 1
với mọi số nguyên dương n .
Định lý 2.5.3. Giả sử hàm f khả vi liên tục trên [ a, b ] và có ñạo hàm cấp hai
tại a với f '' ( a ) ≠ 0 . Nếu η x ký hiệu giá trị trung bình trong (2.19) thì
l i m+

x→ a

η

− a
1
.
=
x − a
2
x

Chú ý 2.5.1. Ý tưởng chính của chứng minh ñịnh lý trên xuất phát từ một bài
báo của Jacobson(1982). Chúng ta sẽ ñưa ra một ñịnh lý tổng quát hơn mà ñịnh
lý trên như là một trường hợp ñặc biệt. Như ta ñã biết ñịnh lý giá trị trung bình
ñối với tỉ sai phân n-ñiểm phát biểu là nếu f : [ a, b ] → khả vi liên tục cấp
n − 1 và

x 1 , ..., x n

là n ñiểm phân biệt trong

[ a, b ]

thì tồn tại

η ∈  min { x1 ,..., xn } , max { x1 ,..., xn } sao cho
f ( ) (η )
 x1 ,..., xn ; f ( x )  =
.
( n − 1)!
n −1

(2.21)

Ở ñây chúng ta sử dụng kí hiệu  x1 ,..., xn ; f ( x )  ñể chỉ tỉ phân n − ñiểm
f [ x1 ,..., xn ] của f . Ngoài ra, nếu α ∈ và n ∈ thì hệ số nhị thức suy rộng

C

a
k

ñược ñịnh nghĩa là
Cα =
k

α (α − 1 ) ... (α − k + 1 )
k!

Trong trường hợp k = 0 , tích

k −1

∏ (α − i )
i =0

Định lý 2.5.4. Cho f : [ a, b ] →

ñược hiểu là 1.

khả vi liên tục cấp n − 1 trên [ a, b ] sao cho

f (t ) = p (t ) + (t − a ) g (t )
α

Footer Page 16 of 126.

1 k −1
=
∏ (α − i ) .
k ! i=0

(2.22)


Header Page 17 of 126.

17

Trong ñó p ( t ) là một ña thức có bậc nhiều nhất n − 1, g (

[ a, b ]

n −1)

(t )

bị chặn trên

\ {0 ,1 ..., n − 1} . Khi ñó

và g ( a ) ≠ 0 và α ∈

1

α
η x − a   m 1 ,..., m n ; x  


li m
n −1

x→ 0+

α +1− n

(2.23)



trong ñó 0 ≤ m1 < ... < mn ≤ 1, η x là giá trị trung bình ñược cho trong (2.21) ñối
x

Cα

với  a + m 1 x , ..., a + m n x ; f ( x )  và 0 < x < b − a .
Định lý 2.5.5. Giả sử f khả vi cấp n tại a . Khi ñó tồn tại hàm ε ( x ) sao cho
n

f (a + x )∑
trong ñó lim ε ( x ) = 0 .

k =0

f(

k)

( a )xk + ε

k!

( x ) xn ,

(2.24)

x →0

Định lí 2.5.6. Giả sử: f : [ a , b ] →

có ñạo hàm cấp n − 1 liên tục và khả vi

cấp k ≥ n tại a với f ( ) ( a ) = 0 với i = n , ..., ( k − 1 ) và f (
i

k)

( a ) ≠ 0 . Khi ñó

1
k +1− n

  m 1 ,..., m n ; x  

(2.25)
= 
n −1
x→ 0
x
C


k
trong ñó 0 ≤ m1 < ... < mn ≤ 1, η x là giá trị trung bình ñược cho trong (2.21) ñối
lim+

ηx − a

k

với  a + m1 x,..., a + mn x; f ( x )  và 0 < x < b − a.
2.6. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CAUCHY VÀ PHƯƠNG TRÌNH
HÀM
Augustine – Louis Cauchy (1789 – 1857) ñưa ra một suy rộng sau ñây của ñịnh
lý giá trị trung trung bình mà hiện nay mang tên ông ta.
Định lý 2.6.1. Với mọi giá trị thực f và g khả vi trên một khoảng số thực I
và với mọi cặp x1 ≠ x2 trong I , tồn tại một ñiểm η phụ thuộc vào x1 và x2 sao
cho
 f ( x1 ) − f ( x2 )  g ' (η ) =  g ( x1 ) − g ( x2 )  f ' (η ) .
(2.26)
Định lý 2.6.1. Với mọi giá trị thực f và g khả vi trên một khoảng số thực I

và với mọi cặp x1 ≠ x2 trong I , tồn tại một ñiểm η phụ thuộc vào x1 và x2 sao
cho

Footer Page 17 of 126.


Header Page 18 of 126.

18

 f ( x1 ) − f ( x2 )  g ' (η ) =  g ( x1 ) − g ( x2 )  f ' (η ) .
(2.27)
Chú ý 2.6.1. Định lý giá trị trung bình Cauchy ñược dùng trong việc chứng
minh một phương pháp thông dụng ñể tính giới hạn của tỉ nào ñó các hàm.
Phương pháp này là của Guillaume Francois Marquis de l’Hospital (16611704) và ñược biết là qui tắc l’Hospital. Năm 1696 Marquis de l’Hospital biên
tập bài giảng của thầy ông ta là Johann Bernoulli (1667- 1748), quy tắc gọi là
l’Hospital ñầu tiên xuất hiện. Có lẽ chính xác hơn nên gọi quy tắc này là quy
tắc Bernoulli- l’Hospital.
Định lý 2.6.2. Cho f , g : [ a, b ] → là các hàm giá trị thực có ñạo hàm cấp n

[ a, b] . Hơn nữa, cho x 0 , x 1 , ..., x n
Khi ñó tồn tại một ñiểm η ∈  min { x0 , x1 ,..., xn } , max { x0 , x1 ,..., xn }
f [ x0 , x1 ,..., xn ] g n (η ) = g [ x0 , x1 ,..., xn ] f n (η ) .
liên tục và g ( n ) ( t ) ≠ 0 trên

trong [ a, b ] .
sao cho
(2.28)

CHƯƠNG 3

ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU
VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN
Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tài
liệu [2], [3], [5].
Trong chương này, chúng ta khảo sát một ñịnh lý giá trị trung bình của
Pompeiu (1946). Chúng ta cũng xét một suy rộng của ñịnh lý giá trị trung bình
pompeiu ñược ñề xuất bởi Boggio (1947 – 1948). Trong Chương 2, chúng ta ñã
gặp nhiều phương trình hàm dẫn xuất từ ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange.
Các phương trình hàm tương tự xuất hiện từ ñịnh lý giá trị trung bình Pompeiu.
Các phương trình hàm này ñược biết ñến là kiểu Stamate. Mục 2 bàn ñến một
số phương trình hàm kiểu Stamate và các suy rộng của chúng. Mục 3 gồm suy
rộng của ñịnh lý giá trị trung bình Pompeiu của Boggio. Trong mục này, chúng
ta sẽ có một phương trình hàm nghiên cứu bởi Kuczma (1991). Trong Mục 4,
chúng ta khảo sát một suy rộng của phương trình hàm kiểu Stamate và sau ñó
giải một số phương trình hàm liên quan xuất hiện từ quy tắc Simpson về ước
lượng số tích phân xác ñịnh.

Footer Page 18 of 126.


Header Page 19 of 126.

19

3.1. ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU
Năm 1946, Pompeiu giới thiệu một biến thể của ñịnh lý giá trị trung bình
Lagrange mà ngày nay gọi là ñịnh lý giá trị trung bình Pompeiu.
Định lý 3.1.1. Với mỗi hàm f giá trị thực khả vi trên một khoảng [a,b] không
chứa 0 và với mọi cặp x1 ≠ x2 trong [ a , b ] , tồn tại ñiểm ξ ∈(x1, x2 ) sao cho
x1 f ( x 2 ) − x 2 f ( x1 )

= f (ξ ) − ξ f '(ξ ).
x1 − x 2

3.2. PHƯƠNG TRÌNH KIỂU STAMATE
Chú ý 3.2.1. Biểu thức ñại số (3.1) cho một phương trình hàm. Ở ñây dạng chính
xác của vế phải là không cần thiết. Điều có liên quan là vế phải của (3.1) chỉ phụ
thuộc vào ξ mà không trực tiếp vào x1 và x2. Vì vậy, ta có phương trình hàm
x f ( y ) − y f ( x)
= h (ξ ( x , y )), ∀x , y ∈
x− y

với x ≠ y.

(3.1)

Tương tự như tỉ sai phân, một biến thể của nó ñược ñịnh nghĩa trong công
trình của Chung và Sahoo (1993) bằng ñệ quy là
f {x1}= f (x2),
f { x1 , x2 ,..., x n } =

x n f { x1 , x2 ,..., xn −1} − x1 f { x2 , x3 ,..., xn }
.
x1 − xn

Một tính toán dễ dàng chứng tỏ rằng
x f
f { x1 , x 2 } = 2

( x1 ) −

x1 f
x 2 − x1

(x2 ) ,

 n xj 
f {x1, x2 ,..., xn} = ∑ ∏
 f ( xi ).

x
−
x
i =1  j ≠i i
j 
Kết quả sau ñây ñược trình bày trong công trình của Aczél và Kuczma (1989).
Định lý 3.2.1. Các hàm f , h : →
thỏa mãn phương trình hàm
n

f { x , y} = h ( x + y ), ∀x , y ∈

với x ≠ y ,

(3.2)

khi và chỉ khi
f ( x) = ax + b và h ( x ) = b ,

trong ñó a, b là các hằng số tùy ý.
Bổ ñề 3.2.1. Nếu f , g, h : → thỏa mãn phương trình hàm

xf ( y ) − yg ( x )
= h(x + y)
x− y
Footer Page 19 of 126.

(3.3)


Header Page 20 of 126.
∀

x, y ∈

20

, x ≠ y thì f (x) = g(x), x∈ .

Định lý 3.2.2. Cho s , t là các tham số thực. Các hàm f , h :

→

thỏa mãn

xf ( y ) − yf ( x )
= h ( sx + ty )
x− y

(3.4)

, x ≠ y khi và chỉ khi

với mọi x , y ∈

tïy ý víi b = h(0) nÕu s = 0 = t

nÕu s = − t, x ≠ 0
f ( x) = ax + b, h( x) = b
b
trong tr−êng hîp cßn l¹i,


(3.5)

trong ñó a,b là các hằng số tùy ý.
3.3. MỘT PHƯƠNG TRÌNH CỦA KUCZMA
Định lý 3.3.1. Với mọi hàm giá trị thực f và g khả vi trên một khoảng [ a , b ] không
chứa 0 và với mọi cặp x1 ≠ x2 trong [ a, b] , tồn tại một ñiểm ξ ∈ ( x1 , x 2 ) sao cho
g ( x1 ) f ( x2 ) − g ( x2 ) f ( x1 )
g (ξ )
= f (ξ ) −
f ' (ξ ) .
g ( x1 ) − g ( x2 )
g ' (ξ )

(3.6)

Ở ñây giả sử g(x) và g’(x) là khác không trong [ a , b ] .
Định lý 3.3.2. Cho g :

→

với κ ∈ nào ñó. Các hàm f , g , h :

là một hàm liên tục và tăng chặt mà g (κ ) = 0
→

thỏa mãn phương trình hàm

x+ y
g ( x ) f ( y ) − g ( y ) f ( x ) =  g ( x ) − g ( y )  h 
 , x, y ∈
 2 

,

(3.7)

khi và chỉ khi
 f ( x) = α g ( x) + β

 h( x) = β
 g ( x) = tùy ý,


(3.8)

trong ñó α , β là các hằng số tùy ý.

3.4. PHƯƠNG TRÌNH XUẤT PHÁT TỪ QUY TẮC SIMPSON
Chú ý 3.4.1. Quy tắc Simpson là một phương pháp số sơ cấp ñể ước lượng tích

phân xác ñịnh

∫

b
a

f ( t ) dt . Phương pháp này bao gồm việc phân hoạch khoảng

[ a, b] thành các khoảng con có ñộ dài bằng nhau và rồi xấp xỉ ñồ thị của

f trên

mỗi khoảng con với một hàm bậc hai. Nếu a = x0 < x1 < x2 <... < x2n =b là một phân

Footer Page 20 of 126.


Header Page 21 of 126.

21

hoạch của [ a, b] thành 2n khoảng con, mỗi khoảng có ñộ dài

b −a
thì
2n

b−a
[ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + ... + 2 f ( x2n−2 ) + 4 f ( x2n−1 ) + f ( x2 n )].

∫a
6n
Công thức xấp xỉ này gọi là quy tắc Simpson. Sai số ñối với quy tắc này cho bởi
b

∫

b

f (t )dt

f (t ) dt −

a

b−a
[ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + ... + 2 f ( x 2 n − 2 ) + 4 f ( x 2 n −1 ) + f ( x 2 n )]
6n

{

}

K (b − a )
≤
180 n 4

5

(4)

trong ñó K = sup f (x) | x ∈[ a,b] . Dễ dàng lưu ý từ bất ñẳng thức này là nếu f

khả vi liên tục ñến cấp 4 và f (4) (x) = 0 thì
b−a
[ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + ... + 2 f ( x2 n − 2 ) + 4 f ( x2 n −1 ) + f ( x2 n )].
a
6n
b
b−a
[ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x2 )].
Rõ ràng ñúng khi n=1 và nó thu về : ∫a f (t )dt =
6
x+ y
Cho a = x, b = y, x1 =
trong công thức trên, ta có ñược
2
y
y−x
x+ y
f
(
t
)
dt
=
[
f
(
x
)

+
4
f
(
) + f ( y )].
(3.9)
∫x
6
2
Phương trình tích phân (3.9) ñúng với mọi x , y ∈
nếu f là một ña thức có

∫

b

f (t ) dt =

bậc nhiều nhất ba. Tuy nhiên, không hiển nhiên nếu (3.9) ñúng với mọi
x , y ∈ thì nghiệm duy nhất f là một ña thức bậc ba. Phương trình tích phân
(3.9) dẫn ñến phương trình hàm
y−x
x+ y
g ( y ) − g ( x) =
[ f ( x) + 4 f (
) + f ( y )]
(3.10)
6
2
trong ñó g là một nguyên hàm của f . Phương trình trên là một trường hợp ñặc

biệt của phương trình hàm
f ( x ) − g ( y ) = ( x − y ) [h ( x + y ) + ψ ( x ) + φ ( y ) ]
(3.11)
với mọi x , y ∈ . Trong mục này, chúng ta ñịnh nghĩa nghiệm tổng quát của
phương trình hàm (3.11). Hai phương trình hàm sau ñây là công cụ trong việc
giải phương trình hàm (3.11)
g ( x ) − g ( y ) = ( x − y ) f ( x + y ) + ( x + y ) f ( x − y ),
(3.12)
xf ( y ) − yf ( x ) = ( x − y ) [ g ( x + y ) − g ( x ) − g ( y ) ].
Footer Page 21 of 126.


Header Page 22 of 126.

22

Phương trình ñầu của (3.12) có thể xem như là một biến thể của

f ( x )− f ( y )
x− y

= h ( x + y ) và phương trình thứ hai của (3.12) là một biến thể khác của

xf ( y ) − yf ( x ) = ( x − y ) g ( x + y ) .

Định lý 3.4.1. Các hàm f , g : →
thỏa mãn phương trình hàm
g(x) − g(y) = (x − y) f (x + y) +(x + y) f (x − y), ∀x, y∈
khi và chỉ khi f ( x ) = ax 3 + A ( x ) và g ( x) = 2ax 4 + 2 xA( x) + b,
trong ñó A: → là cộng tính, a và b là các hằng số tùy ý.

Định lý 3.4.2. Các hàm f , g : → thỏa mãn phương trình hàm
xf ( y ) − yf ( x ) = ( x − y ) [ g ( x + y ) − g ( x ) − g ( y ) ]

với mọi x, y∈

(3.13)
(3.14)

(3.15)

khi và chỉ khi

f ( x ) = 3ax 3 + 2bx 2 + cx + d , g ( x ) = − ax 3 − bx 2 − A( x ) − d ,

(3.16)

→

trong ñó A :

là hàm cộng tính và a, b, c, d là các hằng số tùy ý.
Định lý 3.4.3. Các hàm f , g, h, k : → thỏa mãn phương trình hàm
f ( x ) − g ( y ) = ( x − y ) [h ( x + y ) + k ( x ) + k ( y ) ]

với mọi x , y ∈

khi và chỉ khi

 f ( x)


 g ( y)

h( x)
k ( x )

trong ñó A: →

= 3ax 4 + 2bx3 + cx 2 + dx + α
= 3ay 4 + 2by 3 + cy 2 + dy + α
= ax3 + bx 2 + A( x) + d − 2 β

(3.17)

(3.18)

= 2ax3 + bx 2 + cx − A( x) + β ,

là hàm cộng tính và a, b, c, d ,α , β là các hằng số tùy ý.
Định lý 3.4.4. Các hàm f , g , h,φ ,ψ : → thỏa mãn phương trình hàm
f ( x ) − g ( y ) = ( x − y ) [h ( x + y ) + φ ( x ) + ψ ( y ) ]

với mọi x, y∈

khi và chỉ khi
 f ( x)

 g ( y)

 h( x )
φ ( x )


ψ ( y )


trong ñó A: →

Footer Page 22 of 126.

(3.19)

= 3ax 4 + 2bx 3 + cx 2 + dx + α
= 3ay 4 + 2by 3 + cy 2 + dy + α
= ax 3 + bx 2 + A( x ) + d − 2 β
= 2ax 3 + bx 2 + cx − A( x ) + β + γ
= 2ay 3 + by 2 + cy − A( y ) + β − γ ,

là hàm cộng tính và a , b , c , d , α , β , γ là các hằng số tùy ý.


Header Page 23 of 126.

23

3.5. MỘT SỐ SUY RỘNG
Chú ý 3.5.1. Trong mục này, chúng ta xét một số suy rộng của phương trình
hàm (3.10). Số hạng 4f

( )
x+ y
2

của (3.10) phụ thuộc vào phân hoạch một

khoảng thành các khoảng con có ñộ dài bằng nhau trong quy tắc Simpson. Tuy
nhiên, không có lý do tại sao ta phải hạn chế một phân hoạch bằng nhau như
thế. Nếu cho phép phân hoạch không bằng nhau thì số hạng giữa không có dạng
4f

( ) , nhưng nó có thể có dạng
x+ y
2

α f (sx + ty) , trong ñó α , s, t là các hằng số.

Từ ñó chúng ta có một suy rộng của (3.10) là
f ( x ) − f ( y ) = ( x − y ) [ h ( sx + ty ) + g ( x ) + g ( y ) ]

(3.20)

với mọi x , y ∈ với s và t là các tham số ñược chọn ưu tiên.
Kế ñến, chúng ta xác ñịnh nghiệm tổng quát của phương trình hàm (3.20)
mà không có giả thiết chính qui nào (tính khả vi, tính liên tục, tính ño ñược, …)
gán cho các hàm ẩn. Hơn nữa, sử dụng nghiệm của phương trình này, chúng ta
xác ñịnh nghiệm tổng quát của phương trình hàm
f ( x ) − g ( y ) = ( x − y ) [ h ( sx + ty ) + ψ ( x ) + φ ( y ) ]
(3.21)
với mọi x , y ∈
với s và t là các tham số ñược chọn ưu tiên.
Lưu ý rằng phương trình hàm (3.21) bao gồm phương trình hàm
f ( x) − g ( y) = ( x − y)h( x + y)

mà ñược nghiên cứu bởi Haruki (1979) và Aczél (1985) và phương trình hàm
f ( x) − g ( y) = ( x − y)h(sx + ty)
mà nghiệm của nó ñược xác ñịnh bởi Kannappan, Sahoo và Jacobson (1995).
Kết quả sau ñây là của Haruki (1979) và sẽ ñược dung trong việc xác ñịnh
nghiệm tổng quát của phương trình hàm (3.20).
Bổ ñề 3.5.1. Các hàm f , g : → thỏa mãn phương trình hàm
 g ( x) + g ( y ) 
f ( x) − f ( y ) = ( x − y ) 

2



với mọi x, y∈

(3.22)

khi và chỉ khi

f ( x ) = ax 2 + bx + c và

g ( x) = 2ax + b

(3.23)

trong ñó a, b, c là các hằng số tùy ý.
Định lý 3.5.1.
Cho s và t là các tham số thực. Các hàm giá trị thực
f , g,h: → thỏa mãn phương trình hàm (3.20) với mọi x , y ∈ khi và chỉ khi

Footer Page 23 of 126.


Header Page 24 of 126.

24

 ax 2 + (b + d ) x + c
 2
 ax + (b + d ) x + c
 ax 2 + (b + d ) x + c

f ( x) = 
4
3
2
 3 ax + 2bx + cx + ( d + 2 β ) x + α
 2 ax 3 + cx 2 + 2 β x − A ( x ) + α

 ax 2 + (b + d ) x + c
b

ax
+

2

 ax + b

2


b

g ( x ) =  ax +
2

3
2
 2 ax + bx + cx − A ( x ) + β

2
ax
3
+ cx + β


b
 ax +
2

 tùy ý víi h (0) = d
d

d

3
2
x
x
 x

h( x) = a   + b   + A   + d
t 
t 
 t 
  x 2 t  x 
−a   − A   , x ≠ 0
x t 
 t 

d

nÕu

s=0=t

nÕu

s = 0, t ≠ 0

nÕu

s ≠ 0, t = 0

nÕu

s =t ≠ 0

nÕu

s = −t ≠ 0

nÕu

0 ≠ s2 ≠ t2 ≠ 0

nÕu

s=0=t

nÕu

s = 0, t ≠ 0

nÕu

s ≠ 0, t = 0

nÕu

s=t≠0

nÕu

s = −t ≠ 0

nÕu 0 ≠ s 2 ≠ t 2 ≠ 0
nÕu s = 0 = t
nÕu s = 0, t ≠ 0
nÕu

s ≠ 0, t = 0

nÕu

s=t≠0

nÕu

s = −t ≠ 0

nÕu

0 ≠ s2 ≠ t2 ≠ 0

trong ñó A: → là hàm cộng tính và a , b , c , d , α , β là các hằng số tùy ý.
Bổ ñề 3.5.2. Cho α là một hằng số thực khác không. Các hàm f , g : →
thỏa mãn phương trình hàm
f ( x ) − f ( y ) = ( x − y ) [α xy + g ( x ) + g ( y ) ]

với mọi x, y∈

khi và chỉ khi
 f ( x) = ax3 + β x2 + 2γ x + δ

2
 g ( x) = α x + β x + γ ,

Footer Page 24 of 126.

(3.24)

(3.25)


Header Page 25 of 126.

25

trong ñó β , γ , δ là các hằng số tùy ý.
Định lý 3.5.2.
Cho s và t là các tham số thực. Các hàm giá trị thực
f , g, h,φ,ψ : → thỏa mãn phương trình hàm (3.21) với mọi x, y∈ khi và chỉ
khi g ( x ) = f ( x ) và
 ax 2 + (b + d ) x + c
nÕu s = 0 = t
 2
nÕu s = 0, t ≠ 0
 ax + bx + c
 ax 2 + bx + c
nÕu s ≠ 0, t = 0

f ( x) = 
4
3
2
nÕu s = t ≠ 0
 3 ax + 2 bx + cx + ( d + 2 β ) x + α
 2 ax 3 + cx 2 + (2 β − d ) x − A ( x ) + α
nÕu s = − t ≠ 0


 − 2bstx 3 + β x 2 + (2γ + α − d ) x + δ nÕu 0 ≠ s 2 ≠ t 2 ≠ 0
nÕu s = 0 = t
 ax + b −2δ

b +δ
nÕu s = 0, t ≠ 0
 ax + 2
 ax + b +2δ
nÕu s ≠ 0, t = 0

φ ( x) = 
3
2
δ
nÕu s = t ≠ 0
 2 ax + bx + cx − A( x ) + β + 2
 3 ax 2 + cx − 1 A ( x ) + β
nÕu s = − t ≠ 0
0
2

 bs ( s − 2t ) x 2 + β x + A ( sx ) + γ + α
nÕu 0 ≠ s 2 ≠ t 2 ≠ 0
nÕu s = 0 = t
 ax + b +2δ

b −δ
nÕu s = 0, t ≠ 0
 ax + 2 − h (tx )
 ax + b −2δ − h ( sx )

nÕu s ≠ 0, t = 0

ψ ( x) = 
3
2
δ
nÕu s = t ≠ 0
 2 ax + bx + cx − A ( x ) + β − 2
 3 ax 2 + cx + 1 A ( x ) + β − δ
nÕu s = − t ≠ 0
0
2

 bs (t − 2 s ) x 2 + β x + A (tx ) + γ
nÕu 0 ≠ s 2 ≠ t 2 ≠ 0
nÕu s = 0 = t
 tùy ý víi h (0) = d
 tùy ý
nÕu s = 0, t ≠ 0

 tùy ý
nÕu s ≠ 0, t = 0

2
h( x) =  x 3
nÕu s = t ≠ 0
a ( t ) + b ( xt ) + A ( xt ) + d

 − a ( x )2 − t A ( x ) + 1 A ( x ) , x ≠ 0
nÕu s = − t ≠ 0

0 t
t
x
t
2

 − bx 2 − A ( x ) − d
nÕu 0 ≠ s 2 ≠ t 2 ≠ 0
trong ñó A0 , A : → là các hàm cộng tính và a, b, c, d ,α , β , γ , δ là các hằng số

tùy ý.
Footer Page 25 of 126.