Luận văn sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

-----------------------

NGUY N THU HÀ

S T N T I NGHI M C A
BÀI TOÁN QUAN H BI N PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN GI I TÍCH
Mã s :
60. 46. 01. 02

LU N VĂN TH C S

KHOA H C

NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C:
PGS. TS. T

Hà N i - Năm 2015

DUY PHƯ NG


M cl c
M đu

3

1 Ki n th c cơ s
1.1 Ki n th c tôpô và gi i tích hàm . . . . . .
1.1.1 Không gian véctơ . . . . . . . . . .

6
6

.....
.......
. .
.....
.......
. .
61.1.2 Không gian
.....
.......
. .
71.1.3 Không gian véctơ
.....
.......
. .
91.1.4 Không gian metric .
.....
.......
. . 10
.....
.......
. . 11

.....
.......
. . 12
.....
.......
. . 12
.....
.......
. . 15
v đi m b t đ ng c a
.....
.......
. . 16

tôpô . . . . . . . . . .
tôpô . . . . . . .
........
1.1.5 Không gian véctơ đ nh chu n . . .
1.2 Ánh x đa tr . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Đ nh nghĩa ánh x đa tr . . . . . .
1.2.2 Tính liên t c c a ánh x đa tr . .
1.2.3 M t s đ nh lý v s tương giao và
ánh x đa tr . . . . . . . . . . . .

2 Bài toán quan h bi n phân
2.1 Phát bi u bài toán và m t s ví d . . . . . . . . . . .
2.2 S t n t i nghi m c a bài toán quan h bi n phân . .
2.2.1 Đ nh lý cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tiêu chu n d a trên s tương giao c a các t p
2.2.3 Tiêu chu n d a trên đ nh lý đi m b t đ ng . .

3 S t n t i nghi m c a bài toán quan
tính l i
3.1 Nguyên lý gi i đư c h u h n . . . . .
3.2 Ánh x tương giao đóng . . . . . . . .
3.2.1 Bài toán minimax . . . . . . . .
3.2.2 Bài toán đi m yên ng a . . . .
3.2.3 Bài toán đi m b t đ ng . . . .
3.2.4 Bài toán cân b ng Nash . . . .
3.2.5 Bài toán cân b ng chi n lư c tr

......
......
......
compact
......

.
.
.
.
.

17
17
21
21
22
28

.

.
.
.
.
.
.

32
32
33
34
34
35
35
36

h bi n phân không có
.
.
.
.
.
.
i

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.


1


4 Bài toán quan h bi n phân không có tính ch t KKM
4.1 Quan h KKM t ng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Bài toán quan h bi n phân không có tính ch t KKM . . . . . .
4.3
ng d ng vào m t s bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Bài toán bao hàm th c bi n phân . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 B t đ ng th c Ky Fan minimax t ng quát v i hàm C t a lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 B t đ ng th c véctơ minimax Ky Fan véctơ t ng quát v i
C - P - t a lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.4 Trò chơi đa m c tiêu t ng quát và trò chơi n - ngư i không
h p tác t ng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K T LU N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

.
.
.
.

38
38
41
45
45

. 48
. 49
.
.
.
.

51
52
53
54

M đu
Đ đưa ra m t ch ng minh đơn gi n hơn ch ng minh ban đ u r t ph c t p c a đ
nh lý đi m b t đ ng Brower (1912), ba nhà toán h c Balan là Knaster, Kuratowski,
Mazurkiewicz đã ch ng minh m t k t qu quan tr ng v giao khác r ng c a h u h n
các t p đóng trong không gian h u h n chi u (1929), k t qu này sau g i là b đ
KKM. Năm 1961, Ky Fan m r ng b đ này ra không gian vô h n chi u, k t qu này
đư c g i là Nguyên lý ánh x KKM. Vào năm 2008, GS. Đinh Th L c đã s d ng
quan h KKM vào m t bài toán m i, bài toán "Quan h bi n phân", nh m nghiên c
u m t bài toán t ng quát hơn theo nghĩa m t s l p bài toán quen thu c như bài
toán t i ưu tuy n tính, bài toán t i ưu phi tuy n, bài toán cân b ng, bài toán t a cân
b ng, bài toán bao hàm th c bi n phân, bài toán bao hàm th c t a bi n phân, bài
toán b t đ ng th c bi n phân có th bi n đ i đư c v bài toán này.
Bài toán quan h bi n phân đư c phát bi u như sau:
Cho A, B, Y là các t p khác r ng, S1 : A
A, S2 : A
B, T : A ⋅ B
các ánh x đa tr v i giá tr khác r ng và R(a, b, y) là quan h gi a các ph n t
a ∈ A, b ∈ B, y ∈ Y. Hãy tìm m t đi m a ∈ A sao cho

Y là

(1) ¯ là đi m b t đ ng c a ánh x S1, t c là ¯ ∈ S1(¯);
a

a

(2) Quan h R(¯ b, y) đúng v i m i b ∈ S2(¯) và y ∈ T (¯ b).
a,

a

a
a,

M c đích c a lu n văn là trình bày s t n t i nghi m c a bài toán quan h bi n
phân trong trư ng h p bài toán có ho c không có tính ch t KKM và tính l i d a
theo các bài báo [3] , [4] , [5] .
Ngoài ph n m đ u, k t lu n và tài li u tham kh o, lu n văn g m b n chương:
Chương 1. Ki n th c cơ s . Chương này gi i thi u cơ s lý thuy t cho ba
chương sau, nh c l i m t s ki n th c v gi i tích hàm, trình bày m t s khái ni m và
tính liên t c c a ánh x đa tr .
Chương 2. Bài toán quan h bi n phân. M c đích chính c a chương này là
trình bày v s t n t i nghi m c a bài toán quan h bi n phân d a trên tính ch t tương
giao KKM và các đ nh lí v đi m b t đ ng.
3


Chương 3. S t n t i nghi m c a bài toán quan h bi n phân không
có tính l i. M c đích chính c a chương này là trình bày s t n t i nghi m c a bài
toán quan h bi n phân không có tính l i.
Chương 4. S t n t i nghi m c a bài toán quan h bi n phân không có tính ch t
KKM. M c đích chính c a chương này là trình bày s t n t i nghi m c a bài toán
quan h bi n phân không có tính ch t KKM.
Lu n văn này c g ng trình bày m t cách có h th ng (v i các ch ng minh chi ti t
hơn) v s t n t i nghi m c a bài toán quan h bi n phân đư c đ c p trong các bài báo
[3] , [4] , [5] .

4

L i c m ơn
Lu n văn này đư c hoàn thành t i Trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên - Đ i h c Qu
c gia Hà N i. Nhân d p này tôi xin bày t lòng bi t ơn sâu s c t i PGS. TS. T Duy
Phư ng - Vi n Toán h c, Vi n Khoa h c và Công ngh Vi t Nam, ngư i th y đã t n
tình hư ng d n tôi hoàn thành công vi c nghiên c u này này.
Tôi xin g i t i quý th y cô Khoa Toán - Cơ - Tin h c, Trư ng Đ i h c Khoa h c T
nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà N i, cũng như các th y cô đã tham gia gi ng d y khóa
cao h c 2012 - 2014, l i c m ơn sâu s c nh t.
Xin đư c c m ơn gia đình, đ ng nghi p, b n bè đã đ ng viên r t nhi u giúp tôi
hoàn thành lu n văn này.
Hà N i, tháng 9 năm 2015
Tác gi lu n văn
Nguy n Thu Hà

5


Chương 1

Ki n th c cơ s
Trong chương này, ta s trình bày m t s ki n th c v gi i tích hàm như các khái ni
m không gian metric, không gian tôpô, không gian véctơ tôpô,..và khái ni m ánh x
đa tr , tính liên t c c a ánh x đa tr ,...(theo [1] và [2]) c n thi t cho vi c trình bày
các n i dung chương sau.

1.1
1.1.1

Ki n th c tôpô và gi i tích hàm
Không gian véctơ

Đ nh nghĩa 1.1.1. (Xem [1], trang 181) Ký hi u R là t p s th c. Các ph n t c a R
đư c g i là s (hay đ i lư ng vô hư ng). M t không gian véctơ V trên trư ng R là m t
t p h p V không r ng mà trên đó xác đ nh hai phép c ng véctơ
và phép nhân v i m t s đư c đ nh nghĩa sao cho các tiên đ sau đây đư c th a
mãn:
1. Phép c ng véctơ có tính ch t k t h p:
V i m i u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w;
2. Phép c ng véctơ có tính ch t giao hoán:
V i m i v, w ∈ V : v + w = w + v;
3. Phép c ng véctơ có ph n t trung hòa:
V i m i v ∈ V, có m t ph n t 0 ∈ V, g i là véctơ không: v + 0 = v;
4. Phép c ng véctơ có ph n t đ i:
V i m i v ∈ V, t n t i w ∈ V : v + w = 0;
5. Phép nhân vô hư ng phân ph i v i phép c ng véctơ:
V i m i α ∈ R, v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw;

6


6. Phép nhân véctơ phân ph i v i phép c ng các s :
V i m i α, β ∈ R, v ∈ V : (α + β)v = αv + βv;
7. Phép nhân các s phân ph i v i phép nhân véctơ: V i m i α, β ∈ R; v ∈ V :
α.(β.v) = (α.β)v;
8. Ph n t đơn v c a R có tính ch t: V i m i v ∈ V : 1.v = v.1 = v.
Đ nh nghĩa 1.1.2. (Xem [1], trang 256) Cho X là không gian véctơ. T p C ⊆ X
đư c g i là t p l i n u v i m i x, y ∈ C và v i m i λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x + λy ∈ C (nói cách
khác, C ch a m i đo n th ng n i hai đi m b t kì thu c nó).

Đ nh nghĩa 1.1.3. (Xem [1], trang 262) Cho X là không gian véctơ, x1, x2, ..., xk ∈
X và các s λ1, λ2, ..., λk th a mãn λj ≥ 0, j = 1, 2..., k và
k

x=
j=1

k

j=1

λj = 1. Khi đó,

λjxj, đư c g i là t h p l i c a các véctơ x1, x2, ..., xk ∈ X.

Đ nh nghĩa 1.1.4. (Xem [1], trang 262) Gi s S ⊂ X. Bao l i c a S, kí hi u
là convS là t p h p các t h p l i c a các đi m c a S.
Đ nh nghĩa 1.1.5. Cho X là không gian véctơ.
1. M t t p C ⊆ X đư c g i là nón n u v i m i λ ≥ 0, m i x ∈ C thì λx ∈ C.
2. M t nón đư c g i là nón l i n u nó đ ng th i là t p l i. Như v y, m t t p C
là nón l i khi và ch khi nó có các tính ch t sau:
(i) λC ∈ C v i m i λ ≥ 0,
(ii) C + C ⊆ C.
1.1.2

Không gian tôpô

Đ nh nghĩa 1.1.6. (Xem [1], trang 372)(Không gian tôpô) Cho t p X = ∅. M t h τ
các t p con c a X đư c g i là m t tôpô trên X n u nó th a mãn các tính
ch t sau:

(i) ∅, X ∈ τ ;
(ii) Giao c a m t s h u h n các ph n t thu c τ thì thu c τ ; (iii) H p c a
m t s tùy ý các ph n t thu c τ thì thu c τ .
M t t p X cùng v i m t tôpô τ trên X, đư c g i là không gian tôpô (X, τ ) .
Đ nh nghĩa 1.1.7. (Xem [1], trang 373) Cho hai tôpô τ1 và τ2. Ta nói τ1 y u hơn τ2
(hay τ2 m nh hơn τ1) n u τ1 ⊂ τ2, nghĩa là m i t p m trong tôpô τ1 đ u là t p m trong τ2.
7


Đ nh nghĩa 1.1.8. (Xem [1], trang 376) Cho (X, τ ) là không gian tôpô.

• T p G ⊂ X đư c g i là t p m

trong X n u G ∈ τ.

• T p F ⊂ X đư c g i là t p đóng trong X n u X∴F ∈ τ.
Đ nh nghĩa 1.1.9. (Xem [1], trang 375) Lân c n c a m t đi m x trong không gian
tôpô X là b t c t p nào bao hàm m t t p m ch a x. Nói cách khác V là lân c n c a
x n u có m t t p m G sao cho x ∈ G ⊂ V.
Đ nh nghĩa 1.1.10. M t h ς = V : V là lân c n c a đi m x ∈ X đư c g i là cơ s lân c
n c a đi m x n u v i m i lân c n U c a đi m x, t n t i lân c n V ∈ ς sao cho x ∈ V ⊂ U.
Đ nh nghĩa 1.1.11. (Xem [1], trang 376) Cho không gian tôpô (X, τ ), A là m t
t p con b t kì c a X. Đ i v i m i ph n t b t kì x ∈ X ta g i:
(i) x là đi m trong c a A n u t n t i ít nh t m t lân c n c a x n m trong A.
(ii) x là đi m biên c a A n u m i lân c n c a x đ u ch a ít nh t m t đi m
trong c a A và m t đi m không thu c A.
Đ nh nghĩa 1.1.12. (Xem [1], trang 377) Gi s A là t p con b t kì c a không gian
tôpô (X, τ ). Ta g i ph n trong c a A là h p c a t t c các t p m n m trong A.
Ph n trong c a A là t p m l n nh t n m trong A. Nó đư c ký hi u b i A
ho c intA.

Đ nh nghĩa 1.1.13. (Xem [1], trang 377) Gi s A là t p con b t kì c a không gian
tôpô (X, τ ). Ta g i bao đóng c a A là giao c a t t c các t p đóng ch a A.
Bao đóng c a A là t p đóng nh nh t ch a A. Nó đư c ký hi u b i A ho c ¯
clA.

Đ nh nghĩa 1.1.14. (Xem [1], trang 383) Cho X là m t không gian tôpô và
M ⊂ X. M là t p compact n u và ch n u m i ph m c a M đ u ch a m t ph con h u h n.
Đ nh nghĩa 1.1.15. (Xem [1], trang 377) Cho X, Y là hai không gian tôpô.
M t ánh x f t X vào Y đư c g i là liên t c t i đi m x0 n u v i m i lân c n
V c a f (x0) t n t i m t lân c n U c a x0 sao cho f (U ) ⊆ V.

Ánh x f đư c g i là liên t c trên X n u nó liên t c t i m i đi m x ∈ X.

8

o


Đ nh nghĩa 1.1.16. (Xem [1], trang 382) Không gian tôpô (X, τ ) đư c g i là
không gian Hausdorff (hay T2 − không gian) n u m i c p đi m x khác y trong
X đ u t n t i m t lân c n U c a x và V c a y sao cho U ∩ V = ∅.
Đ nh nghĩa 1.1.17. T p I khác r ng đư c g i là đ nh hư ng n u trên nó xác
đ nh m t quan h " ≥ " th a mãn các tính ch t sau:
(i)) V i m i α, β, γ ∈ I sao cho: α ≥ β, β ≥ γ thì α ≥ γ;
(ii) N u α ∈ I thì α ≥ α;
(iii) V i m i α, β ∈ I thì t n t i γ ∈ I sao cho: γ ≥ α, gamma ≥ β.
Khi đó ta nói t p I đư c đ nh hư ng b i quan h " ≥ " và kí hi u là (I, ≥) ho c
vi t t t là I.
Đ nh nghĩa 1.1.18. Cho I là t p đ nh hư ng b i quan h " ≥ ". Khi đó ánh
x x xác đ nh trên I và nh n giá tr trong t p X đư c g i là lư i (hay dãy suy

r ng) trong X. Ta vi t xi = x(i) và kí hi u lư i là (xα)α∈I
N u mi n giá tr c a lư i là không gian tôpô X thì (xα)α∈I đư c g i là lư i trong
không gian tôpô.
Đ nh nghĩa 1.1.19. Cho I là m t t p đ nh hư ng b i quan h " ≥ " và X là
m t không gian tôpô. Khi đó lư i (xα)α∈I đư c g i là h i t trong không gian
tôpô đ n đi m x đ i v i tôpô τ n u v i m i lân c n U c a x t n t i α0 ∈ I sao
cho v i m i α ∈ I mà α ≥ α0 thì xα ∈ U. Kí hi u: lim xα = x hay xα → x. →∞
α

1.1.3

Không gian véctơ tôpô

Đ nh nghĩa 1.1.20. (Xem [1], trang 387) Ta nói m t tôpô τ trên không gian véctơ X
tương h p v i c u trúc đ i s , n u các phép toán đ i s trong X liên
t c trong tôpô đó, t c là:
1. x + y là m t hàm liên t c c a hai bi n x, y. C th , v i m i lân c n V c a
đi m x + y đ u có m t lân c n Ux c a x và m t lân c n Uy c a y sao cho
n u x ∈ Ux, y ∈ Uy thì x + y ∈ V.
2. αx là m t hàm liên t c c a hai bi n α, x. C th , v i m i lân c n V c a αx
đ u có m t s ε > 0 và m t lân c n U c a x sao cho α ∈ (α − ε, α + ε) thì
α x ∈ V.
M t không gian véctơ X, trên đó có m t tôpô tương h p v i c u trúc đ i s
đư c g i là m t không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuy n tính).
9


Đ nh nghĩa 1.1.21. (Xem [1], trang 392) M t không gian véctơ tôpô X đư c
g i là không gian véctơ tôpô l i đ a phương n u trong X có m t cơ s lân c n (c a g
c) ch g m các t p l i.

1.1.4

Không gian metric

Đ nh nghĩa 1.1.22. (Xem [1], trang 34) Cho t p X = ∅, ánh x d t tích X ⋅ X
vào t p h p các s th c R đư c g i là m t metric trên X n u các tiên đ sau
đây đư c th a mãn:
1) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, (tiên đ đ ng nh t);
2) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x), (tiên đ đ i x ng);
3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đ tam giác).
T p X v i metric d trang b trên X đư c g i là không gian metric, kí hi u là (X, d)
hay thư ng đư c vi t là X.
S d(x, y) đư c g i là kho ng cách gi a hai ph n t x và y. Các ph
n t c a X đư c g i là các đi m.
Các tiên đ 1), 2), 3) đư c g i là h tiên đ metric.
Đ nh nghĩa 1.1.23. Cho X là không gian metric, m t đi m x ∈ X và A là m t
t p con c a X. Kho ng cách t đi m x đ n t p A đư c xác đ nh b i
d(x, A) = ainf d(x, a). ∈A

Đ nh nghĩa 1.1.24. (Xem [1], trang 47) Trong không gian metric X. M t dãy
{xn} đư c g i là dãy cơ b n (dãy Cauchy) n u
(∀ε > 0) (∃N ) (∀n ≥ N ) (∀m ≥ N ) thì d (xn, xm) < ε.

Nh n xét 1.1.1. M t dãy h i t bao gi cũng là dãy cơ b n, vì n u xn → x thì
theo b t đ ng th c tam giác ta có
d (xn, xm) ≤ d (xn, x) + d (x, xm) → 0 (n, m → ∞).

Nhưng ngư c l i m t dãy cơ b n trong m t không gian b t kỳ không nh t
thi t h i t . Ch ng h n n u xét kho ng (0, 1) là m t không gian metric v i
d(x, y) = |x − y| v i m i x, y ∈ (0, 1) thì dãy

1
n

không h i t trong không gian y (dãy

1 , m c dù là dãy cơ b n, nhưng
n
h i t đ n đi m x = 0 ∈ (0, 1)). /

Đ nh nghĩa 1.1.25. (Xem [1], trang 47) Không gian metric X trong đó m i
dãy cơ b n đ u h i t (t i m t ph n t c a X ) đư c g i là m t không gian metric đ y
đ.
10


Đ nh nghĩa 1.1.26. (Xem [1], trang 59) Ánh x P : X → X đư c g i là ánh x
Lipschitz n u t n t i k > 0 sao cho:
d (P (x), P (y)) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ X.

Đ c bi t,

• k = 1: f đư c g i là ánh x không giãn.
• 0 < k < 1: f đư c g i là ánh x co.
Đ nh lý 1.1.1. (Xem [1], trang 59)[Nguyên lý Banach v ánh x co] M i ánh x co P
t không gian metric đ (X, d) vào chính nó đ u có đi m b t đ ng duy
nh t, nghĩa là t n t i duy nh t ¯ ∈ X sao cho P ¯ = ¯.
x
1.1.5

xx

Không gian véctơ đ nh chu n

Đ nh nghĩa 1.1.27. (Xem [1], trang 187)(Không gian véctơ đ nh chu n) M t
không gian đ nh chu n là m t không gian véctơ X, trong đó ng v i m i ph n t x ∈
X, ta có m t s x ,đư c g i là chu n c a nó sao cho các đi u ki n sau
đư c th a mãn:
1) x > 0 n u x = 0, x = 0 n u x = 0;
2) αx = |α| x (tính thu n nh t c a chu n).
3) x + y
x + y (b t đ ng th c tam giác);
Đ nh nghĩa 1.1.28. (Xem [1], trang 189) Không gian Banach là không gian
véctơ đ nh chu n đ y đ . Đi u này nghĩa là m t không gian Banach là không gian
véctơ V trên trư ng s th c v i m t chu n . sao cho m i dãy Cauchy (tương ng v i
metric d (x, y) = x − y ) có gi i h n trong V.
Đ nh nghĩa 1.1.29. (Xem [1], trang 313) Trong không gian Rk tích vô hư ng
c a hai véctơ x = (ξ1, ξ2, ..., ξk) , y = (η1, η2, ..., ηk) đư c xác đ nh b i công th c:
(x, y) = ξ1η1 + ξ2η2 + ... + ξkηk.

Đ nh nghĩa 1.1.30. (Xem [1], trang 315) M t không gian véctơ th c X đư c
g i là không gian Hilbert, n u trong nó xác đ nh hàm hai bi n (x, y), g i là tích
vô hư ng c a hai véctơ (x, y), v i các tính ch t sau:
1) (x, y) = (y, x) ;
2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ;
3) (αx, y) = α (x, y) v i m i s th c α;
4) (x, x) > 0 n u x = 0, (x, x) = 0 n u x = 0.
11


1.2

1.2.1

Ánh x đa tr
Đ nh nghĩa ánh x đa tr

Đ nh nghĩa 1.2.1. (Xem [2], trang 9) Cho X, Y là hai t p h p b t kì và t p các t p
con c a Y (đư c kí hi u là 2Y ). Ta nói F là ánh x đa tr t X vào Y
n u v i m i x ∈ X, F (x) là m t t p h p con c a Y . Kí hi u: F : X
Y, hay
F : X → 2Y .

Nh n xét 1.2.1. N u v i m i x ∈ X t p F (x) ch g m đúng m t ph n t c a
Y , thì ta nói F là ánh x đơn tr t X vào Y . Khi đó, thay kí hi u F : X
Y

ta dùng kí hi u quen thu c F : X → Y.
Ví d 1.2.1. Xét phương trình đa th c:
xn + a1xn−1 + ... + an−1 + an = 0

trong đó ai ∈ R. Ta th y v i m i đi m a = (a1, a2, ..., an) ∈ Rn thì phương trình trên có n nghi m
ph c. V y quy t c cho tương ng m i đi m a = (a1, a2, ..., an) ∈
Rn v i t p nghi m ph c F (a) c a phương trình trên cho ta m t ánh x đa tr
F : Rn

C.

Đ nh nghĩa 1.2.2. (Xem [2], trang 10) Đ th gphF , mi n h u hi u domF và
mi n nh rgeF c a ánh x đa tr F : X
Y tương ng đư c ký hi u b i:
gphF = {(x, y) ∈ X ⋅ Y : y ∈ F (x)} ,

domF = {x ∈ X : F (x) = ∅} ,
và
rgeF = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)} .
Đ nh nghĩa 1.2.3. (Xem [2], trang 11) Cho X và Y là các không gian tôpô và
F :X
Y là ánh x đa tr .
1. F đư c g i là ánh x đóng (ho c ánh x có đ th đóng) n u gphF là t p
đóng trong không gian tôpô tích X ⋅ Y.
2. F đư c g i là ánh x có giá tr đóng n u F (x) là t p đóng v i m i x ∈ domF.
3. F đư c g i là ánh x m (ho c ánh x có đ th m ) n u gphF là t p m
trong không gian tôpô tích X ⋅ Y.
4. F đư c g i là ánh x có giá tr m n u F (x) là t p m v i m i x ∈ domF.
12


Nh n xét 1.2.2. N u ánh x đa tr F có gphF đóng thì F (x) là đóng v i m i
x ∈ domF.

Th t v y, l y m t lư i (xn, yn) ∈ gphF sao cho (xn, yn) h i t t i (¯ ¯). Do x, y
(xn, yn) ∈ gphF nên yn ∈ F (xn). M t khác, gphF là đóng nên (x, y) ∈ gphF, suy

ra ¯ ∈ F (¯). V y v i m i lư i xn → ¯ v i yn ∈ F (xn) thì ¯ ∈ F (¯). V y F (x) là
y

x

x,

y

x

đóng v i m i x ∈ domF.
Ví d 1.2.2. Ánh x đa tr F : R
F (x) =

R xác đ nh b i
[0, 1]

n u x = 0,

0

n u x = 0.

(1.1)

∗

gphF = (R ⋅ {0}) ∪ ({0} ⋅ [0, 1]) là h p c a hai t p đóng nên gphF là t p đóng.

Ví d 1.2.3. Ánh x đa tr F : R
F (x) =

không ph i là ánh x đa tr đóng vì
nhưng đi m (0; 1) ∈ gphF. /

R xác đ nh b i
[0, 1]

n u x = 0,

0

n u x = 0.
1,1 − 1
n
n

∈ gphF và 1 → 0,
n

(1.2)
1− 1

n

→1

Đ nh nghĩa 1.2.4. (Xem [2], trang 11) Cho X, Y là các không gian véctơ. Ta
nói ánh x đa tr F : X
Y là:
1. Ánh x đa tr l i n u gphF là t p l i trong không gian tích X ⋅ Y.
2. Ánh x có giá tr l i n u F (x) là t p l i v i m i x ∈ X.
Nh n xét 1.2.3. Gi s X, Y là các t p l i c a không gian tuy n tính.

• Ánh x đa tr F : X

Y là l i n u và ch n u v i m i x1, x2 ∈ X và t ∈ [0, 1]

thì
tF (x1) + (1 − t)F (x2) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2)

Th t v y, gi s F là ánh x đa tr l i, t c là gph F là l i. L y hai ph n t
x1, x2 b t kì sao cho y1 ∈ F (x1), y2 ∈ F (x2), khi y (x1, y1), (x2, y2) ∈ gphF.
V i t ∈ [0, 1] , do gphF l i nên
(x, y) = (tx1 + (1 − t)x2, ty1 + (1 − t)y2) ∈ gphF.

Suy ra, ty1 +(1−t)y2 ∈ F (tx1 +(1−t)x2) đúng v i m i y1 ∈ F (x1), y2 ∈ F (x2).
Vì th ,
13

(1.3)


tF (x1) + (1 − t)F (x2) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2).

Đi u ngư c l i đư c ch ng minh tương t .
Trong trư ng h p ánh x F : X → R là ánh x đơn tr , F (x) = {f(x)} thì F
là l i khi và ch khi nó l i theo nghĩa thông thư ng, t c là
f (tx1 + (1 − t)x2) ≤ tf (x1) + (1 − t)f (x2).

(1.4)

Ta nh n th y r ng (1.3) tương thích v i (1.4). Th t v y, gi s f : X
ánh x đơn tr . Hàm epif = F đư c xác đ nh b i
F (x) = f (x) + R+ = {f (x) + α, α

R là

0} .

Khi y f là hàm l i, khi và ch khi F là ánh x đa tr l i.
Th t v y, do f là hàm l i khi và ch khi
tf (x1) + (1 − t) f (x2)

f (tx1 + (1 − t) x2) .

Suy ra t n t i α > 0 sao cho:
tf (x1) + (1 − t) f (x2) = f (tx1 + (1 − t) x2) + α.

Vì F (x1) = f (x1) + R+ nên t n t i s1, s2 ∈ R+ sao cho F (x1) = f (x1) + s1,
F (x2) = f (x2) + s2. Xét w ∈ tF (x1) + (1 − t) F (x2) , t c là
w = tf (x1) + ts1 + (1 − t)f (x2) + (1 − t)s2
= f (tx1 + (1 − t)x2) + α + ts1 + (1 − t)s2
= f (tx1 + (1 − t)x2) + β,

v i β = α + ts1 + (1 − t)s2 ≥ 0 ∈ F (tx1

+ (1 − t)x2).

V y tF (x1) + (1 − t)F (x2) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2). Hay F là ánh x đa tr l i.
Ví d 1.2.4. Ánh x đa tr F : R

R xác đ nh b i

F (x) = y ∈ R : y ≥ x2 + 2x + 2 ,

là ánh x đa tr l i.
Ví d 1.2.5. Ánh x đa tr F : R

F (x) =

R xác đ nh b i
0
[0, 1]

n u x = 0,
n u x = 0,

(1.5)

không ph i là ánh x đa tr l i vì l y x2 = −x1, x1 > 0 và t = 1. Khi y ta có
2

tF (x1) + (1 − t)F (x2) = 1 {[0, 1] + [0, 1]}
2
= 1 [0, 2] = [0, 1]
2
F (tx1 + (1 − t)x2) = F (0) = {0} .
14


1.2.2

Tính liên t c c a ánh x đa tr

Cho Y , X là các không gian tôpô và ánh x đa tr F : X

Y.

Đ nh nghĩa 1.2.5. (Xem [2], trang 19) Ánh x F là:
(i) N a liên t c trên t i x ∈ domF (kí hi u usc) n u v i m i t p m V ⊂ Y th a
mãn F (x) ⊂ V, t n t i t p m U c a x sao cho F (x) ⊂ V v i m i x ∈ U;
(ii) N a liên t c dư i t i x ∈ domF (kí hi u lsc) n u v i m i t p m V ⊂ Y
th a mãn F (x) ∩ V = ∅, t n t i t p m U c a x sao cho F (x) ∩ V = ∅ v i
m i x ∈ U ∩ domF ;
(iii) Liên t c t i x ∈ domF n u nó v a n a liên t c trên và n a liên t c dư i
t i x.
N u F liên t c t i m i đi m thu c domF, thì F đư c g i là liên t c trên domF
Ví d 1.2.6. Xét ánh x đa tr F : R
F (x) =

R xác đ nh b i
0, 1

2

[0, 1]

n u x = 0,
n u x = 0.

Ánh x F là ánh x n a liên t c trên t i x = 0 nhưng không là ánh x n a liên t c
dư i t i x = 0.
Th t v y, l y m t lân c n m V c a F (0) sao cho F (0) ⊂ V , hay [0, 1] ⊂ V.
L y U là lân c n b t kỳ c a 0 , khi y ta có F (x) = [0, 1) ⊂ [0, 1] ⊂ V v i m i 2
x ∈ U, x = 0.
V y F là ánh x n a liên t c trên t i x = 0.
Ti p theo ta ch ng minh F không là ánh x n a liên t c dư i t i x = 0.
L y V = 3, 2 , ta có F (0) = [0, 1] nên F (0) ∩ V = (3, 1] = ∅.

4

4

G i U là lân c n b t kỳ c a 0 thì t n t i x ∈ U, x = 0 sao cho F (x) ∩ V =
0, 1 ∩ 3 , 2 = ∅ V y F không là ánh x n a liên t c dư i t i x = 0
2

4

Ví d 1.2.7. Xét ánh x đa tr F : R
F (x) =

R xác đ nh b i
0

n u x = 0,

[0, 1]

n u x = 0.

Ánh x F là ánh x n a liên t c dư i t i x = 0 nhưng không là ánh x n a liên t c
trên t i x = 0.
Th t v y, v i m i lân c n V th a mãn V ∩ F (0) = {0} = ∅ hay 0 ∈ V.
Ch n lân c n U = −1, 1 ta có 0 ∈ F (x) ∩ V = ∅ v i m i x ∈ −1, 1
22

22

1
5


V y F là hàm n a liên t c dư i t i x = 0.
Ti p theo ta ch ng minh F không là ánh x n a liên t c trên t i x = 0
Th t v y, l y m t lân c n m V = −1, 1 c a F (0). Khi y m i lân c n U 22
c a 0 thì t n t i x ∈ U, x = 0 sao cho F (x) = [0, 1] ⊂ V. Do đó F không ph i là
ánh x n a liên t c trên t i x = 0.
1.2.3

M t s đ nh lý v s tương giao và v đi m b t đ ng c a ánh x đa
tr

Cho X, Y là các không gian véctơ tôpô Hausdorff, A m t t p con khác r ng
trong X.
Đ nh nghĩa 1.2.6. (Ánh x KKM) Ánh x đa tr F : A
A đư c g i là ánh
x KKM n u v i m i t p con h u h n {a1, ..., an} c a A và m i ph n t a thu c
vào bao l i c a {a1, ..., an} có th tìm đư c m t ch s i sao cho a ∈ F (ai).
Dư i đây là m t s đ nh lý quan tr ng c a gi i tích hàm s d ng trong các
Chương sau
Đ nh lý 1.2.1. (Đ nh lý v s tương giao c a các t p compact) Gi s {Ci : i ∈ I} là m t h
các t p compact, khác r ng trong không gian X. N u nó có tính ch t
giao h u h n, t c là

Cj = ∅ v i J là t p h u h n trong I thì
j∈J

Ci = ∅.

i∈I

Đ nh lý 1.2.2. (Đ nh lí KKM-Fan cho ánh x đa tr ) Cho A là t p compact,
l i, khác r ng và ánh x F : A
. Khi đó
F (a) = ∅.

A đóng v i giá tr khác r ng, là ánh x KKM

a∈A

Đ nh lý 1.2.3. (Đ nh lí đi m b t đ ng Fan-Browder) Cho A là m t t p compact, l i, khác r ng. N u ánh x đa tr F : A
intF −1(a), thì t n t i a ∈ A mà a ∈ convF (a).
a∈A

16

A th a mãn đi u ki n A =


Chương 2

Bài toán quan h bi n phân
Trong chương này ta trình bày bài toán quan h bi n phân và đưa ra m t s bài
toán có th xem như bài toán quan h bi n phân và trình bày s t n t i nghiêm c a
bài toán quan h bi n phân d a trên tính ch t tương giao KKM và đ nh lý đi m b t
đ ng theo bài báo [3].

2.1

Phát bi u bài toán và m t s ví d

Gi s A, B, Y là các t p khác r ng, S1 : A

A, S2 : A
Y

B, T : A ⋅ B

là các ánh x đa tr v i giá tr khác r ng và R(a, b, y) là quan h gi a các ph n
t a ∈ A, b ∈ B, y ∈ Y.
Đ nh nghĩa 2.1.1. Bài toán tìm ¯ ∈ A sao cho a
(1) ¯ là đi m b t đ ng c a ánh x S1, t c là ¯ ∈ S1(¯);
a

a

a

(2) Quan h R(¯ b, y) đúng v i m i b ∈ S2(¯) và y ∈ T (¯ b);
a,

a

a,

đư c g i là bài toán quan h bi n phân, kí hi u là (VR).
Các ánh x đa tr S1, S2, T đư c g i là ánh x ràng bu c.
Quan h R là m t quan h bi n phân.
Đi m ¯ th a mãn đi u ki n (1) và (2) đư c g i là nghi m c a bài toán (VR). a

T p các nghi m c a bài toán (VR) kí hi u là Sol(VR).
Sau đây là m t s bài toán đã bi t có th đư c xem như m t bài toán quan
h bi n phân.
Ví d 2.1.1. Bài toán quy ho ch phi tuy n
Cho X ⊆ Rn, và f : X → R, g : X → Rm, h : X → Rk và t p
D = x ∈ X : g(x) ≤ 0 và h(x) = 0 .
17


Bài toán quy ho ch phi tuy n đư c phát bi u như sau:
Tìm ¯ ∈ D sao cho f(¯) ≤ f(x) v i m i x ∈ D.
x

x

Đ t:
A = B = Y = X,
S1(a) = X, S2(a) = x ∈ Rn : g(x) ≤ 0 và h(x) = 0 , T (a, b) = {b} .

Quan h R(a, b, y) đư c xác đ nh như sau:
R(a, b, y) đúng n u f (a) ≤ f (b) đúng v i m i b ∈ D.

Như v y, bài toán quy ho ch phi tuy n đư c đưa v bài toán quan h bi n phân.
Ví d 2.1.2. Bài toán bao hàm th c bi n phân (Variational Inclusion Problem)
Cho A, B, Y là các t p khác r ng. S1 : A
A, S2 : A
B, T : A ⋅ B
Y là các
ánh x đa tr v i giá tr khác r ng. Cho F , G là hai ánh x đa tr xác đ nh trên
A ⋅ B ⋅ Y l y giá tr trên không gian Z. Bài toán bao hàm th c bi n phân, đư c

kí hi u là (VIP), phát bi u như sau:
Tìm ¯ ∈ A sao cho ¯ ∈ S1(a) và F (¯ b, y) ⊆ G(¯ b, y) v i m i b ∈ S2(¯) và

a
y ∈ T (¯ b). a,

a

a,

a,

Đ t:
A = B = Y = X,
S1(a) = X = S2(a), T (a, b) = {b} v i m i a ∈ A, b ∈ B.

Quan h R đư c xác đ nh như sau:
R(a, b, y) đúng n u F (a, b, y) ⊆ G(a, b, y) v i m i b ∈ S2(a) và y ∈ T (a, b).

Như v y, (VIP) là (VR).
Ví d 2.1.3. Bài toán cân b ng (Equilibrium Problem)
Cho t p X = ∅, φ là m t hàm th c trên t p X ⋅ X. Bài toán cân b ng, đư c kí
hi u là (EP), phát bi u như sau
Tìm ¯ ∈ X sao cho φ(¯ y) ≥ 0 v i m i y ∈ X.
x

x,

Đ t:
A = B = Y = X,

S1(a) = S2(a) = X, T (a, b) = {b} v i m i a ∈ A, b ∈ B.

Quan h R đư c xác đ nh như sau:
R(a, b, y) đúng n u φ(a, y) ≥ 0 v i m i y ∈ X.

Như v y, (EP) là (VR).
18

a


Ví d 2.1.4. Bài toán b t đ ng th c bi n phân (Variational Inequality Problem)
Cho ϕ : K → X, X là không gian Hilbert, K ⊆ X là t p l i, khác r ng.
Bài toán tìm x ∈ X sao cho
ϕ (x) , y − x

0, ∀y ∈ K

đư c g i là bài toán b t đ ng th c bi n phân.
Đ t ϕ (x, y) = ϕ (x) , y − x thì bài toán (VI) là bài toán (EP), do đó cũng là
bài toán (VR)
Ví d 2.1.5. Bài toán b t đ ng th c véctơ Ky Fan y u (Weak vector Ky Fan
inequality problem)
Cho X là không gian tôpô, Z là không gian véctơ tôpô, t p K ⊂ X là t p khác
r ng, C ⊂ Z là nón l i đóng v i intC = ∅ và ánh x đa tr F : K ⋅ K
Z.
Bài toán b t đ ng th c véctơ Ky Fan y u kí hi u là (P) đư c phát bi u như
sau
Tìm x ∈ K sao cho F (x, η) ⊂ −intC v i m i η ∈ K.
Đ t: A = K = B = Y, S1(a) = K = S2(a), T (a, b) = {b} .

Quan h R(a, b, y) đư c xác đ nh như sau
R(a, b, y) đúng n u F (a, b) ⊂ −intC, v i m i b ∈ S2(a).

Như v y, (P) là (VR).
Nh n xét: Khi Z = R, F là ánh x đơn tr , ký hi u là ϕ
C = R+ = {x ∈ R : x 0}

Suy ra int C = {x ∈ R : x > 0} hay − int C = {x ∈ R : x < 0} .
Khi đó F (x, y) ⊂ − int C tr thành ϕ (x, y) ⊂ − int C hay ϕ (x, y) > 0.
Do đó b t đ ng th c véctơ Ky Fan là m r ng (t ng quát hóa) c a bài toán
cân b ng.
Ví d 2.1.6. Bài toán cân b ng véctơ t ng quát m nh (Generalized strong
vector equilibrium problem)
Cho X là không gian tôpô, Z là không gian véctơ tôpô và C ⊂ Z là nón l i,
đóng. Gi s t p con K ⊂ X khác r ng và F : K ⋅ K
Z, F (x, y) = ∅, ∀x, y ∈ K.
Bài toán cân b ng véctơ t ng quát m nh, kí hi u là (GSVEP) phát bi u như
sau:
Tìm x ∈ K sao cho F (x, y) ∩ (−C∴ {0Z}) = ∅ v i m i y ∈ K.
19


Đ t A = B = K = Y, S1(a) = K = S2(a), T (a, b) = {b} v i m i a ∈ A, b ∈ B và
quan h R(a, b, y) đư c xác đ nh như sau:
R(a, b, y) đúng n u F (a, y) ∩ (−C∴ {0Z}) = ∅, v i m i y ∈ K.

Như v y, (GSVEP) là (VR).
Ví d 2.1.7. Bài toán t a cân b ng (Quasi-Equilibrium Problem )
Cho X là không gian tôpô, C là m t t p con đóng c a không gian véctơ tôpô Z
v i intC khác r ng, các ánh x đa tr S, G : X

X và F : X ⋅ X
Z. Bài toán
t a cân b ng kí hi u là (QEP) đư c phát bi u như sau:
Tìm ¯ ∈ X sao cho a
(1) ¯ là đi m b t đ ng c a clS, t c là ¯ ∈ clS(¯);
a

a

a

(2) F (b, y) ⊆ Z∴ − intC v i m i b ∈ S(¯) và y ∈ G(¯).
a

a

Đt
A = B = Y = X,
S1(a) = clS(a), S2(a) = S(a), T (a, b) = G(a) v i m i a, b ∈ X.

Quan h R(a, b, y) đư c xác đ nh như sau:
R(a, b, y) đúng n u F (b, y) ⊆ Z∴ − intC v i m i b ∈ S2(a), y ∈ T (a, b).

Như v y, (QEP) là (VR).
Cho X là không gian tôpô, A ⊆ X, ánh x S : X
X và f : X ⋅ X → Z. V i
m i a ∈ A, C(a) là t p con, có ph n trong khác r ng c a không gian véctơ tôpô
Z. M t d ng khác c a (QEP) là (QEP') đư c phát bi u như sau:
Tìm ¯ ∈ A sao cho a
(1) ¯ ∈ S(¯);

a

a

(2) f(¯ b) ∈ Z∴ − intC(¯) v i m i b ∈ S(¯).
a,

a

a

Đt
A = B = Y = X,
S1(a) = S2(a) = S(a), T (a, b) = {b} v i m i a ∈ A và F (x, b, y) = {f (x, b)} và
G (x, b, y) = Z∴ − int C (x) .

Bài toán (QEP') là (VIP), do đó cũng là (VR).
Bài toán (QEP∗) là m t d ng khác c a bài toán (QEP'),
thay th b i −clC(¯), c th : a
Tìm ¯ ∈ A sao cho a

đây −intC(¯) đư c a


20


(1) ¯ ∈ S(¯);
a

a

(2) f(¯ b) ∈ Z∴ − clC(¯) v i m i b ∈ S(¯).
a,

a

a

Tương t , đ t
A = B = Y = X,
S1 (a) = S (a) , S2 (a) = X, T (a, b) = {b} ,
F (x, b, y) = {f (x, b)} , G (x, b, y) = Z∴ − clC (x) .

Khi y bài toán (QEP∗) là (VIP), do đó cũng là (VR).
K t lu n: H u h t các bài toán c a t i ưu phi tuy n đ u đưa đư c v mô
hình bài toán quan h bi n phân.

2.2
2.2.1

S t n t i nghi m c a bài toán quan h bi n phân
Đ nh lý cơ b n

Gi s S1, S2, T là các ánh x đa tr và quan h bi n phân R đư c xác đ nh
trong M c 2.1. Xét ánh x đa tr P : B
A đư c xác đ nh b i
P (b) = P1(b) ∪ P2(b),

trong đó

P1(b) = A∴S−1(b), S−1(b) = {a ∈ A : b ∈ S2(a} ,
2

2

P2(b) = a ∈ A : a ∈ S1(a) và R(a, b, y) đúng v i m i y ∈ T (a, b) .

Đ nh lý 2.2.1. a ∈ Sol (V R) khi và ch khi ¯ ∈ a

P (b).
b∈B

Ch ng minh. Đi u ki n c n: Gi s ¯ ∈ A là m t nghi m c a bài toán (VR). a
L y b ∈ B b t kì, khi đó có hai kh năng ho c là b ∈ S2(¯) ho c là b ∈ S2(¯).
a

N u b ∈ S2(¯) thì ¯ ∈ S2
/

a

a/

/

a

(b), suy ra ¯ ∈ A∴S−1(b) hay ¯ ∈ P (b), do đó a ∈ P (b)
2
1

a
a
N u b ∈ S2(¯) thì theo đ nh nghĩa c a bài toán (VR) ta có R(¯ b, y) đúng v i
a
a,
−

1

m i y ∈ T (¯ b). M t khác theo đi u ki n (1) c a bài toán (VR) thì ¯ ∈ S1(¯).
a,

a

a

Suy ra ¯ ∈ P2(b). a
K t h p hai trư ng h p trên ta có ¯ ∈ P (b) v i m i b ∈ B. V y ¯ ∈
a

P (b).

a
b∈B

Đi u ki n đ : Gi s ¯ ∈ P (b) v i m i b ∈ B. Trư c h t ta đi ch ng minh a
¯ ∈ S1(¯). Ph n ch ng r ng ¯ ∈ S1(¯), t c là ¯ ∈ P2(b).


a

a

a/

a

a/

Mà ¯ ∈ P (b) v i m i b ∈ B nên ¯ ∈ P1(b) hay ¯ ∈ A∴S−1(b) v i m i b ∈ B. Suy ra,
a

a

a

/ 2a

1

2

2a

2