Phân loại các hệ phương trình trong toán học phổ thông

TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN
Đ I H C QU C GIA HÀ N I

LU N VĂN TH C SĨ

"PHÂN LO I CÁC H PHƯƠNG TRÌNH TRONG TOÁN
H C PH THÔNG"

H C VIÊN: LÊ VĂN LƯU
CHUYÊN NGÀNH: Phương pháp toán sơ c p
MÃ S : 60460113
CÁN B HƯ NG D N: PGS. TS. Nguy n Minh Tu n

HÀ N I - 2015


L i c m ơn
Lu n văn đư c hoàn thành dư i s ch b o và hư ng d n c a PGS. TS. Nguy n Minh Tu n.
Th y đã dành nhi u th i gian hư ng d n và gi i đáp các th c m c c a tôi trong su t quá trình
làm lu n văn. T t n đáy lòng em xin c m bày t s bi t ơn sâu s c đ n th y.
Tôi xin g i l i c m ơn chân thành t i: các th y cô khoa Toán-Cơ-Tin h c; Phòng sau
đ i h c Trư ng Đ i H c Khoa H c T Nhiên, Đ i H c Qu c Gia Hà N i; Các th y cô giáo đã
tham gia gi ng d y khóa cao h c chuyên ngành phương pháp toán cơ c p khóa 2013-2015;
Ban giám hi u và các đ ng nghi p trư ng THPT Nguy n Siêu Hưng Yên đã t o đi u ki n thu n
l i cho tôi hoàn thành lu n văn c a mình.
M c dù đã c g ng r t nhi u và r t nghiêm túc trong quá trình tìm tòi, nghiên c u
nhưng do th i gian và trình đ còn h n ch nên nh ng n i d ng đư c trình bày trong lu n văn
còn r t khiêm t n và không tránh kh i nh ng thi u sót. Vì v y tác gi r t mong nh n đư c s
đóng góp c a quý th y cô và các b n đ ng nghi p đ lu n văn đư c hoàn thi n hơn.
Hà N i, tháng 9 năm 2015
Tác gi

Lê Văn Lưu

i


M cl c
M đu

3

1 Phương trình đ i s b c ba và b n
1.1 Phương trình đ i s b c ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
. . . . . .
41.2 Phương
. . . . . .
8
. . . . . .
81.2.2
. . . . . .
81.2.3
. . . . . .
91.2.4
. . . . . . 10
. . . . . . 11

trình đ i s b c b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Phương trình d ng (x − a)4 + (x − b)4 = c. . . . . . . . .

Phương trình d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phương trình v i h s ph n h i. . . . . . . . . . . . . .
Phương trình d ng t4 = αt2 + βt + λ. . . . . . . . . . . .
1.2.5 Phương trình d ng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 , a = 0
2 H phương trình thư ng g p
2.1 H phương trình b c nh t hai n . . . . . . . . . . . . .
2.2 H phương trình đ i x ng . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 H phương trình đ i x ng lo i m t . . . . . . . .
2.2.2 H phương trình đ i x ng lo i hai . . . . . . . . .
2.3 H phương trình đ ng c p . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 H phương trình ch a m t phương trình đ ng c p
2.3.2 H phương trình đ ng c p . . . . . . . . . . . . .
2.4 H phương trình b c hai t ng quát . . . . . . . . . . . .
2.5 H phương trình b c cao nhi u n s . . . . . . . . . . .
2.5.1 H phương trình hoán v vòng quanh . . . . . . .
2.5.2 H phương trình b c cao nhi u n s . . . . . . .
2.6 H phương trình ch a căn, h phương trình mũ và logarit
2.6.1 H phương trình ch a căn . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 H phương trình mũ và logarit . . . . . . . . . . .
3 H phương trình không m u m c
3.1 Phương pháp bi n đ i tương đương . . . .
3.1.1 Phương pháp c ng . . . . . . . . .
3.1.2 Phương pháp th . . . . . . . . . .
3.1.3 Phương pháp phân tích thành nhân

.....
.....
.....
t ...

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

12
12
15
15
31
41
41
43
51
58
58
67
73
73
79

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

83
88
89
94
97


ii

M CL C

M CL C

3.2 Phương pháp đ t n ph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.3 Phương
pháp hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.4
Phương pháp
đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
K t lu n

117

Tài li u tham kh o

118

iii


M đu
H phương trình là m t trong nh ng n i dung tr ng tâm, ph bi n có v trí đ c
bi t quan tr ng trong chương trình toán h c ph thông. Nó xu t hi n nhi u trong các
kỳ thi h c sinh gi i cũng như kỳ thi tuy n sinh vào đ i h c và cao đ ng. H c sinh ph i
đ i m t v i r t nhi u nh ng d ng toán v h phương trình mà vi c phân lo i chúng chưa
đư c li t kê đ y đ trong sách giáo khoa. Đó là các h phương trình b c nh t, h
phương trình đ i x ng lo i m t, h phương trình đ i x ng lo i hai, h phương trình đ ng
c p, h phương trình b c hai t ng quát,...
Vi c phân lo i các h phương trình cũng như vi c tìm l i gi i các h và vi c xây
d ng các h là ni m đam mê c a không ít ngư i, đ c bi t nh ng ngư i tr c ti p

gi ng d y. Chính vì v y đ đáp ng nhu c u gi ng d y và h c t p, tác gi đã ch n đ tài
"Phân lo i các h phương trình trong toán h c ph thông" làm đ tài nghiên c u c a lu n
văn. Đ tài nh m m t ph n nào đó đáp ng mong mu n c a b n thân v m t đ tài phù h p
mà sau này có th ph c v thi t th c cho vi c gi ng d y c a mình trong nhà trư ng ph
thông.
Lu n văn này đ c p đ n vi c phân lo i các h phương trình trong chương trình
toán ph thông, t đó giúp h c sinh có cách nhìn nh n sâu s c hơn v các bài toán
liên quan đ n h phương trình. Lu n văn đư c chia thành ba chương. Chương 1 đ c p
đ n hương trình b c ba và phương trình b c b n. Chương 2 phân lo i có h th ng m t
s h phương trình thư ng g p. Chương 3 nêu m t s phương pháp gi i đi n hình cho
h phương trình không m u m c. Hy v ng đây s là m t tài li u h u ích trong gi ng d y
cũng như h c t p c a th y, cô và các em h c sinh.

3


Chương 1
Phương trình đ i s b c ba và b n
Chương này ta s nêu cách gi i cho phương trình b c ba và phương trình b c
b n t ng quát.

1.1

Phương trình đ i s b c ba

Trong ph n này ta s nêu phương pháp gi i phương trình b c ba v i h s th c
tùy ý:
ax3 + bx2 + cx + d = 0, a = 0.

Bài toán 1.1. Gi i phương trình (1.1) khi bi t m t nghi m: x = x0.

L i gi i. Theo gi thi t
ax3 + bx2 + cx0 + d = 0.
0

0

Phương trình (1.1) tương đương v i các phương trình sau
ax3 + bx2 + cx + d = ax3 + bx2 + cx0 + d;
0

0

a x3 − x3 + b x2 − x2 + c (x − x0) = 0;
0

0

(x − x0)(ax2 + (ax0 + b)x + ax2 + bx0 + c) = 0. 0

Xét ∆ = (ax0 + b)2 − 4a ax2 + bx0 + c . 0
1) N u ∆ < 0 thì phương trình (1) có nghi m duy nh t x = x0.
4

(1.1)


Phương trình đ i s b c ba và b n

2) N u ∆ ≥ 0 thì phương trình có nghi m là
√

√
∆, x = −(ax0 + b) −
3
2a

x1 = x0, x2 = −(ax0 + a) + b

∆.

2

Nh n xét 1.1. 1) N u x0 là nghi m c a (1.1) thì đi u ki n c n và đ đ (1.1) có

ba nghi m phân bi t là:

ax2 + (ax0 + b)x0 + ax2 + bx0 + c = 0
0

0

∆ > 0.

2) N u x0 là nghi m c a (1.1) thì có th phân tích ax3 + bx2 + cx + d = f (x) (x − x0) ,
trong đó f (x) là tam th c b c hai.
3) N u x1, x2, x3 là các nghi m c a (1.1) thì
ax3 + bx2 + cx + d = a (x − x1) (x − x2) (x − x3) ,

và công th c Viét là
x1 + x2 + x3 = − b , x1x2 + x2x3 + x3x1 = c , x1x2x3 = − d .

a
a

a

Bài toán 1.2. Gi i phương trình 4x3 − 3x = m v i |m| ≤ 1.
L i gi i. Đ t m = cosα = cos (α ± 2π) . Khi đó
= 4cos3 α − 3 cos α .

cosα = cos 3.α
3

3
α

Do v y phương trình có ba nghi m: x1 = cos , x2 = cos
3

Bài toán 1.3. a) Đ t x =

1
2

a+

1
a

3
α π

+2

, x3 = cos

α
π
−32

3

, a = 0. Ch ng minh đ ng th c

4x3 − 3x = 1 a3 + a13 . 2

b) Gi i phương trình 4x3 − 3x = m v i |m| > 1.
L i gi i. a) Ta có
x = 1 (a + 1 ) hay a2 − 2ax + 1 = 0 v i a = x ±

x2 − 1.

.


2

a

5

Phương trình đ i s b c ba và b n
√

Đ t a = x + x2 − 1 thì x = 1(a + 1 ) và x3 = 1(a3 + 3a + 3 + a13 ). Suy ra
2

8

a

a

4x3 − 3x = 1(a3 + 3a + 3 + a13 ) − 3 (a + 1 ) = 1 (a3 + a13 ).
2
a
2
a
2

b) Ta ch ng minh phương trình có nghi m duy nh t. Th t v y, phương trình không
có nghi m x0 ∈ [−1; 1] vì n u x0 ∈ [−1; 1] thì đ t x0 = cosϕ suy ra
4x3 − 3x = 4cos3ϕ − 3 cos ϕ = |cos3ϕ| ≤ 1 < |m| .

Gi s phương trình có nghi m x1, |x1| > 1, 4x3 − 3x1 = m. Khi đó 1
4x3 − 3x = 4x3 − 3x1; 1
(x − x1) 4x2 + 4xx1 + 4x2 − 3 = 0. 1

Ta có

∆ = 4x2 − 4 4x2 − 3 = 12 − 12x2 < 0.

1

1

V y x = x1 là nghi m duy nh t. Đ t m =

1
2

a3 +

1
a3

1

, a3 = m ±

√

m2 − 1. Khi đó

phương trình có nghi m duy nh t
3

x= 1

3

2

m − 1+

m+

m−

m2 − 1 .

2

Bài toán 1.4. Gi i phương trình: 4x3 + 3x = m.
L i gi i. Nh n xét r ng x = x0 là nghi m c a phương trình thì đó là nghi m duy
nh t. Th t v y, xét x > x0, khi đó 4x3 + 3x > 4x3 + 3x1 = m. Tương t , v i x < x0 1
thì 4x3 + 3x < 4x3 + 3x1 = m. 1
1 a− 1
Đ tx=
, a = 0. Khi đó d dàng ki m tra đ ng th c
2
a
4x3 + 3x = 1 a3 − a13 . 2

Suy ra cách gi i phương trình, đ t
3

m2 + 1 .

3

m = 1 a − a13 , a = m ± 2

Khi đó phương trình có nghi m duy nh t
3

x= 1

m+

m
2

2
6

+

1+

3


m−

m2

+1.


Phương trình đ i s b c ba và b n

Bài toán 1.5. (xem [3]) Gi i và bi n lu n phương trình t3 + at2 + bt + c = 0.
L i gi i. Đ t t = y − a. Khi đó vi t phương trình thành 3
(y − a) + a(y − a) + b(y − a) + c = 0;
3 3
3 2
3
y3 − px = q, p = a3 − b, q = −227 + ab − c.
2

Ta có các trư ng h p sau:

a3

3

1) N u p = 0 thì phương trình có nghi m duy nh t y = √q. 3
p

2) N u p > 0 thì đ t y = 2

x. Khi đó ta đư c phương trình
√

3

4x3

− 3x = m, m = 2p√p

3 3q .

a) |m| ≤ 1, đ t m = cos α thì phương trình có ba nghi m
x1 = cos α , x2 = cos α − 2π , x3 = cos α + 2π .
3
3
3

b) |m| > 1, đ t
m = 1 d3 + d13 , d 3 = m ±

m2 − 1. 2

Khi đó phương trình có nghi m duy nh t
=1

m+

3

x= 1 d+ 1
2

3

m−

m2 − 1 .

2

d
−

3) N u p < 0, đ t y = 2

m2 − 1 +

p

x, s đư c phương trình

3

4x3 + 3x = m.

Đt
m = 1 d3 − d13 , d3 = m ±

m2 + 1. 2

Khi đó phương trình có nghi m duy nh t
=1

3

x= 1 d− 1
2

d

2
7

m+

m2 + 1 +

3

m−

m2 + 1 .



Phương trình đ i s b c ba và b n

1.2

Phương trình đ i s b c b n

Trong ph n s nêu phương pháp chung đ phân tích đa th c b c b n t ng quát
thành tích hai tam th c b c hai. Đ i v i m t s d ng đa th c b c b n đ c bi t có nh ng
phép bi n đ i phù h p và đơn gi n hơn, không đòi h i ph i v n d ng toàn b thu t toán t
ng quát.

1.2.1

Phương trình d ng (x − a)4 + (x − b)4 = c.
a−

Đtx=t+

a b
+ ,

α=2

2

b

.

Khi đó phương trình tr thành

(t + α)4 + (t − α)4 = c;
2t4 + 12α2t2 + 2α4 − c = 0.

Đây là phương trình đã bi t cách gi i.
Bài toán 1.6. Gi i phương trình (x − 3)4 + (x − 5)4 = 82.
L i gi i. Đ t x = y + 4. Khi đó phương trình đã cho tr thành các phương trình sau
(y + 1)4 + (y − 1)4 = 82;
y4 + 6y2 − 40 = 0.

Gi i phương trình tìm đư c y = 2 và y = −2
Do v y phương trình đã cho có hai nghi m x = 2, x = 6.

1.2.2

Phương trình d ng

(x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = m, a + d = b + c.

Đ t u = (x + a) (x + d) suy ra (x + b) (x + c) = u + bc − ad. Khi đó phương trình tr
thành u (u + bc − ad) = m hay u2 + (bc − ad) u − m = 0. Đây là phương trình đã bi t cách gi i.
Bài toán 1.7. Gi i phương trình x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = 8.
8


Phương trình đ i s b c ba và b n

L i gi i. Đ t u = x (x + 3) suy ra (x + 1) (x + 2) = u + 2. Khi đó phương trình tr
thành
u2 + 2 u − 8 = 0 ,

gi i phương trình ta đư c u = 2 và u = −4 suy ra hai phương trình nhưng ch có
phương trình sau có nghi m
x2 + 3x − 2 = 0.

Ta tìm đư c x =

1.2.3

−3±

√
17

.2

Do v y phương trình có nghi m x =

3

ax + bx + cx

Đt

.2

Phương trình v i h s ph n h i.

4

d
b

−3 ±

√
17

2

+ dx + e = 0, e =

a

d

b

2

.

= α suy ra d = bα, e = aα2. Khi đó phương trình tr thành các phương trình

sau
ax4 + bx3 + cx2 + bαx + aα2 = 0;
(x2 + α2)2 + bx(x2 + α) + (c − 2aα)x2 = 0.

Nh n xét x = 0 không th a mãn phương trình. Chia hai v phương trình cho x2 ta
đưa phương trình đã cho v h phương trình
at2 + bt + c − 2aα = 0
2

α

t =x+ .x

Hay h phương trình

at2 + bt + c − 2aα = 0 x2 − tx
+ α = 0.

Nh n xét 1.2. Đ c bi t khi a = e, b = d phương trình ban đ u tr thành phương
trình đ i x ng ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. Khi a = e, b = −d phương trình ban đ u tr thành
phương trình n a đ i x ng ax4 + bx3 + cx2 − bx + a = 0.
Bài toán 1.8. Gi i phương trình: x4 + 3x3 − 6x2 + 6x + 4 = 0.

9


Phương trình đ i s b c ba và b n

L i gi i. D th y x = 0 không là nghi m c a phương trình. Xét x = 0 chia hai v
phương trình cho x2 ta đư c
x2 + 3x − 6 + 6 1 + 4 x12 = 0; x
2
2
+4
x
x2 + 3 x + x − 6 = 0.

Đ t t = x + 2 , (|t| > 2) suy ra t2 = x2 + x42 + 4. Phương trình đã cho tr thành

x

t2 + 3t − 10 = 0.

Gi i phương trình v i chú ý đi u ki n ta ch n t = −5, suy ra
x + 2 = −5.
x
√

T đó tìm đư c x =

−5 ±

17

√

.2

Do v y phương trình đã cho có hai nghi m x =

1.2.4

−5 ±

17

.2

Phương trình d ng t4 = αt2 + βt + λ.

Trư ng h p: ∆ = β2 −4αλ = 0, bi n đ i v ph i thành bình phương đúng. Trư ng
h p: ∆ = 0. Ta s d ng
2

t4 = [ t2 − m + m]4 = t2 − m

+ 2m t 2 − m + m2

2

= t2 − m

+ 2mt2 − m2.

Suy ra phương trình ban đ u tương đương v i
t2 − m

2

= (α − 2m) t2 + βt + λ + m2.

(1.2)

Ta c n ch n m sao cho v ph i c a (1.2) có bi t th c ∆m = 0, t c là ch n m sao
cho
β2 − 4 (α − 2m) λ + m2 = 0.

Ta th y (1.3) là phương trình b c ba theo m mà ta bi t phương trình b c ba luân
gi i đư c nên phép gi i này luân đi đ n k t qu cu i cùng.
10

(1.3)


Phương trình đ i s b c ba và b n

Bài toán 1.9. Gi i phương trình x4 = 3x2 + 10x + 4.
L i gi i. Vi t phương trình dư i d ng
2

x2 + α

= (3 + 2α) x2 + 10x + 4 + α2.

Ch n α đ
∆ = 25 − (3 + 2α) 4 + α2 = 0;
2α3 + 3α2 + 8α − 13 = 0.

Ta th y α = 1 th a mãn, v y có th vi t phương trình dư i d ng
x2 + 1
x2 + 1

2
2

= 5x2 + 10x + 5;
√
= [ 5 (x + 1) ]2.

Ta có hai trư ng h p:

√
√
√
√
Trư ng h p 1. − 5x − 5 + 1 = 0 hay x = 5± 21+4 5. x2
√
√
Trư ng h p 2. x2 + 5x + 5 + 1 = 0 vô m. nghi
√√
√
5
Do v y phương trình có hai nghi m x = ± 21+4 5.

1.2.5

√

Phương trình d ng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 , a = 0

Đ t x = −4ba + t. Khi đó phương trình tr thành t4 = αt2 + βt + λ. Đây là phương trình đã bi t
cách gi i.
Bài toán 1.10. Gi i phương trình: x4 − 8x3 + 20x2 − 12x − 9 = 0.
L i gi i. Đ t x = t + 2. Khi đó phương trình đã cho tr thành các phương trình sau
(t + 2)4 − 8(t + 2)3 + 20(t + 2)2 − 12 (t + 2) − 9 = 0;
t4 = 4t2 − 4t + 1;
t4 = (2t − 1)2;
t2 = 2t − 1 ho c t2 = −2t + 1.

Gi i phương trình tìm đư c t = 1 và t = −1 ± 2.

√

Do v y phương trình đã cho có ba nghi m x = 3; x = 1 ± 2.
11

√


Chương 2
H phương trình thư ng g p
2.1

H phương trình b c nh t hai n

Đ nh nghĩa 2.1. H phương trình b c nh t hai n có d ng
ax + by = c
ax+by =c

Vi c gi i và bi n lu n h trên đư c ti n hành như sau:
Bư c 1. Tính các đ nh th c
D = a bb = ab − a b, a

Dx = cc bb = cb − c b,
Dy = a cc = ac − a c. a

Bư c 2. + N u D = 0 h có nghi m duy nh t: x =

Dx ;
D

y=

Dy . D

+ N u D = 0, Dx = 0 ho c Dy = 0 thì h vô nghi m.
+ N u D = Dx = Dy = 0 thì h có vô s nghi m (x; y) th a mãn: ax + by = c.
Bài toán 2.1. Gi i và bi n lu n h phương trình
ax + 2y = 4 − a 2x +
ay = a.
12

H phương trình thư ng g p

L i gi i. Ta tính các đ nh th c sau:
a2
2a

D=

= a2 − 4,

Dx =

4−a 2
a

Dy =

a 4−a
2a

a

= −a(a − 2),
= a2 − 2 (4 − a) = (a − 2) (a + 4) .
Dx

+ N u a2 = 4 hay a = ±2 h có nghi m duy nh t x =

D

+ N u a = −2 suy ra: D = 0, Dx = 0 h vô nghi m.

a

= −a ; y = +2

Dy
D

+ N u a = 2 suy ra D = Dx = Dy = 0 h có vô s nghi m (x; y) th a mãn x + y = 1.
Bài toán 2.2. Tìm m đ 2 phương trình sau có nghi m chung
x2 + (2m − 1) x + m2 − 2 = 0, x2 − (2m + 1) x − m − 2 = 0.

L i gi i. Đ t y = x2, y ≥ 0, ta xét h phương trình
(2m − 1)x + y = 2 − m2
−(2m + 1)x + y = 2 + m.

Ta tính các đ nh th c sau:
D=

2m − 1
−2m − 1 1

1

= 4m,

Dx =

2 − m2 1

2+m 1

Dy =

2m − 1
2 − m2
−2m − 1 2 + m

= −m (m + 1) ,
= m −2m2 + m + 7 .

+ N u m = 0 ⇒ D = 0 h có nghi m duy nh t
x = Dx = −m + 1 ; y = Dy = −2m + m + 7 . 2
D
2
D

Ta có y = x2 suy ra
−2m2 + m + 7 = m2 + 2m + 1 .
4
16
13

4

=

+4
a
a+2

.


H phương trình thư ng g p

T đó
9m2 − 2m − 27 = 0.
√

61
Ta tìm đư c m =
1 ±2
.9
+ N u m = 0 suy ra D = Dx = Dy = 0 h phương trình có vô s (x; y) th a mãn

y − x = 2, và h phương trình có nghi m chung là
x2 − x − 2 = 0 .

Ta tìm đư c x = −1 và x = 2.
V y các giá tr tìm đư c c a m là m = 0, m =

1± 2

√
61

.9

Bài toán 2.3. Bi n lu n theo m giá tr nh nh t c a bi u th c

A = (x − 2y + 1)2 + (2x + my + 5)2.

L i gi i. Ta có

(x − 2y + 1)2 ≥ 0
(2x + my + 5)2 ≥ 0.

Ta xét h phương trình
x − 2y = −1
2x + my = −5.

Ta tính các đ nh th c:
D=

1 −2
2m

Dx =

−1 −2
−5 m

Dy =

1 −1
2 −5

= 4 + m,
= −m − 10,
= −3.

+ N u D = 0 hay m = −4 h phương trình có nghi m duy nh t. Suy ra A ≥ 0 và
minA=0.
+ N u m = −4 thì
A =(x − 2y + 1)2 + (2x − 4y + 5)2
2
2

2

=u + (2u + 3) = 5 u + 6
14

5

+9

v i u = x − 2y + 1 .
5


H phương trình thư ng g p

Suy ra min A =

9
5

khi x − 2y = −11. 5

Nh n xét 2.1. B ng phương pháp xét h
phương trình b c nh t hai n ta tìm
đư c giá tr nh nh t c a bi u th c A.
Tương t ta tìm giá tr nh nh t c a bi u th
c B = |x + y − 2| + |x + my − 3| .

2.2
H
phươ
ng
trình
đix
ng
2.2.1 H
phương
trình đ i x
ng lo i m t
Đ nh nghĩa 2.2. H phương
trình đ i x ng lo i m t có d ng t
ng quát
f
(
x
;
y
)
=
0
g
(

xi x

t
r
o
n
g
đ
ó

4P .

Bư c 3. Bi u di n f(x; y) và g(x;
u+

y) qua S, P ta có h phương

trình m i
ky

F

i ,
(
S
;

f(

nP
g

P
h
ư
ơ
n
g
p
h
á
p
g
i

P

n=

)

ux

=

.

cy

0

ó

G
(
S
;

. v
Bi

i
.

ư

B

ci

P

đ

)

ư

=

2u
c

0
.

.
k

1

Đi

.

Gi i h phương trình này tìm đư c S, P.
Khi đó x, y là nghi m c a phương trình

t n
Đ

2

SS
2

t
=

đ

≥

− St + P =
0.

t

M t s bi u di
n bi u th c đ
i x ng qua
S, P .


x

. y

2

+ y) =
SP.
2

x=
+

3

S
y

+3

2

y −
=

3

3
(

=P

x
( S
+

x.

y

+x

)

2

2

y y
)

−

+
(

2

xx

x

y

y

+2

=

y =
)

S

2

2

x
y

−
−

(
3x

2
P

x

24
x2

+ y 42 =
x +y
−22x2y2 =
S − 2P
− 2P 2.

+ N u (x; y) là nghi m c a h thì do tính đ
i x ng c a h (y; x) cũng là nghi m
1

5


H phương trình thư ng g p

c a h , nên đ h có nghi m duy nh t thì x = y.
+ Đi u ki n đ h có nghi m là S2 ≥ 4P. N u S2 = 4P thì h có nghi m duy nh t
x = y = S . + Trong m c này ta xét c các ví d h đ i x ng ba n.

2

Bài toán 2.4. Gi i h phương trình
x3y(1 + y) + x2y2(2 + y) + xy3 − 30 = 0 x2y + x(1
+ y + y2) + y − 11 = 0.

L i gi i. Bi n đ i h phương trình đã cho tr thành
xy(x2 + y2) + x2y2(x + y) + 2x2y2 = 30 xy(x + y)
+ (x + y) + xy = 11.

Đ t S = x + y, P = xy, S2 ≥ 4P , ta có các h phương trình sau
P (S2 − 2P ) + P 2S + 2P 2 = 30
SP + S + P = 11;
SP (S + P ) = 30
SP + S + P = 11.

Gi i h phương trình ta tìm đư c S + P = 6, SP = 5 ho c S + P = 5, SP = 6.
Ta có hai trư ng h p:
Trư ng h p. S + P = 6, SP = 5 ta tìm đư c S = 5, P = 1 ho c S = 1, P = 5, nhưng do đi u ki
n nên ta ch n S = 5, P = 1 . T đó suy ra x, y là nghi m c a phương
trình

t2 − 5t + 1 = 0

hay t =

√
5+ 21
2

ho c t =

5−

√
21

.2

Trư ng h p. S + P = 5, SP = 6 ta tìm đư c S = 3, P = 2 ho c S = 2, P = 3, nhưng
do đi u ki n nên ta ch n S = 3, P = 2 . T đó suy ra x, y là nghi m c a phương
trình
t2 − 3t + 2 = 0

hay t = 1 ho c t = 2.
V y h phương trình đã cho có nghi m
(x; y) = (1; 2), (2; 1),

√
√
√
5+ 21 5 21

5 21 5+ 21
( 2 ; −2 ), ( −2 ; 2 ).

16

√


H phương trình thư ng g p

Bài toán 2.5. Gi i h phương trình
√
2
2
x
+
y
+
2xy
=82
√
x + √y = 4.

√

L i gi i. Đi u ki n: x ≥ 0, y ≥ 0. Bi n đ i h phương trình đã cho tr thành các h
phương trình sau
√
2
(x

+
y)
−
2xy
+
2xy
=
82
√
x + √y = 4;

√

{ ( x + √y)2 − 2√xy } 2 − 2xy + 2xy = 8 2
√
√
√

√

x + √y = 4.

Đ t S = √x + √y, P = √x.√y (P ≥ 0, S2 ≥ 4P ), ta có các h phương trình
(S2 − 2P )2 − 2P 2 +
S = 4;
(16 − 2P )2 − 2P 2 =
S = 4.

√

√

√
2P = 8 2
2(8 − P )

(1)

Phương trình đ u c a h phương trình (1) tương đương v i
√
2P 2 − 64P + 256 =
2 (8 − P ) ;
0≤P ≤8
2P 2 − 64P + 256 = 2(P 2 − 16P + 64);
0≤P ≤8
32P = 128.
√
Tìm đư c P = 4 và S = 4 suy ra x, √y là nghi m c a phương trình
t2 − 4t + 4 = 0 hay t = 2.

T đó suy ra x = y = 4.
V y h phương trình có nghi m (x; y) = (4; 4).
Nh n xét 2.2. Không ph i lúc nào ta cũng đ t t ng và tích c a x, y như là cách đ t S =
x + y, P = x.y mà đôi khi ta đ t S, P b ng t ng và tích c a hai bi u th c như cách đ t c a

bai 2.5 trên.
17