Tính ổn định hệ tuyến tính không ôtônôm và ứng dụng trong điều khiển

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

-----------------------

TR NH TH NG C

TÍNH N Đ NH H TUY N TÍNH KHÔNG
ÔTÔNÔM VÀ NG D NG
TRONG ĐI U KHI N
Chuyên ngành: TOÁN GI I TÍCH
Mã s :
60.46.01.02

LU N VĂN TH C S

KHOA H C

NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C:
GS.TSKH Vũ Ng c Phát

Hà N i - Năm 2015


M cl c
M

2

ĐU

1 CƠ S TOÁN H C
1.1 H phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 H phương trình vi phân ôtônôm, không ôtônôm .

.
.

61.1.2 Các đ nh lý t n t i và duy nh t nghi m . . . . . .
1.2 Tính n đ nh h phương trình vi phân . . . . . . . . . . .
1.2.1 Bài toán n đ nh h phương trình vi phân . . . . .

.
.
.

71.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . .
1.2.3 M t s b đ b tr . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Tính n đ nh c a h phương trình vi
2.1 H tuy n tính ôtônôm . . . . . . . .
2.1.1 M t s đ nh lý cơ s . . . . .
2.1.2 Bài toán n đ nh hóa . . . .
2.2 H tuy n tính không ôtônôm . . . .
2.2.1 Bài toán n đ nh . . . . . . .
2.2.2 Bài toán n đ nh hóa . . . .
K T LU N . . . . . . . . . . . . . . .
Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . .

1

phân tuy n tính
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........

6
6
7
7

. 10
. 12
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

13
13
13
18
20
22
26
36
37


M

ĐU

Bài toán n đ nh là m t trong nh ng bài toán quan tr ng trong lý thuy t đ
nh tính phương trình vi phân và tích phân. Nói m t cách hình tư ng, m t h
th ng đư c g i là n đ nh t i tr ng thái cân b ng nào đó n u các nhi u bé
trong các đi u ki n ban đ u ho c trong c u trúc c a h th ng không làm cho h
th ng đó thay đ i quá nhi u so v i tr ng thái cân b ng đó. Đư c b t đ u
nghiên c u t nh ng năm cu i th k XIX b i nhà toán h c V. Lyapunov, đ n
nay lý thuy t n đ nh Lyapunov đã tr thành m t b ph n nghiên c u không th
thi u trong lý thuy t phương trình vi phân, lý thuy t h th ng và ng d ng. Đ c
bi t t nh ng năm 60 c a th k XX, cùng v i s phát tri n c a lý thuy t đi u khi

n, ngư i ta cũng b t đ u nghiên c u tính n đ nh c a các h đi u khi n hay còn
g i là tính n đ nh hóa c a các h đi u khi n, do đó tính n đ nh mà Lyapunov đ
xư ng trư c kia càng th hi n t m quan tr ng c a mình trong s phát tri n liên
t c c a toán h c.Vì nh ng lý do v a phân tích trên mà cho đ n nay tính
n đ nh đã đư c nghiên c u và phát tri n như m t lý thuy t toán h c đ c l p có
nhi u ng d ng h u hi u trong t t c các lĩnh v c t kinh t đ n khoa h c kĩ thu t.
Như chúng ta đã bi t, có nhi u phương pháp đ nghiên c u tính n đ nh h
phương trình vi phân. Ch ng h n như: phương pháp th nh t Lyapunov
(hay còn g i là phương pháp s mũ đ c trưng), phương pháp th hai
Lyapunov (hay còn g i là phương pháp hàm Lyapunov), phương pháp x p
x , phương pháp so sánh, ... M i phương pháp đ u có ưu như c đi m riêng.
Trong lu n văn này, chúng tôi nghiên c u tính n đ nh h tuy n tính không
ôtônôm và ng d ng trong đi u khi n theo phương pháp th hai: phương pháp
hàm Lyapunov.
Lu n văn đư c chia thành hai chương:
Chương 1. Cơ s toán h c. Chương này trình bày m t s ki n th c
cơ s chu n b cho n i dung chính c a lu n văn. C th là trình bày nh ng
2


M

ĐU

khái ni m cơ b n v h phương trình vi phân, bài toán n đ nh, phương pháp
hàm Lyapunov đ nghiên c u tính n đ nh c a các h phương trình vi phân.
Chương 2. Tính n đ nh c a h phương trình vi phân tuy n
tính. Chương này trình bày m t s k t qu v tính n đ nh c a h phương trình vi
phân. N i dung chính c a chương này là trình bày các đi u ki n c n và đ
tính n đ nh c a h tuy n tính không ôtônôm. Đ ch ng minh, chúng tôi đã s d

ng phương pháp hàm Lyapunov và các kĩ thu t đánh giá b t đ ng th c ma
tr n tuy n tính. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày
ng d ng c a h không ôtônôm trong bài toán n đ nh hóa h đi u khi n.
Đóng góp chính c a chúng tôi trong lu n văn là trình bày m t cách h
th ng bài toán n đ nh, n đ nh hóa h tuy n tính không ôtônôm v i các ví d
minh h a m i.

3


L i c m ơn
Lu n văn này đư c hoàn thành dư i s hư ng d n nhi t tình và nghiêm kh c
c a GS.TSKH. Vũ Ng c Phát. Th y đã dành nhi u th i gian hư ng d n cũng
như gi i đáp các th c m c c a tôi trong su t quá trình làm lu n văn. Tôi mu n
bày t lòng bi t ơn sâu s c đ n th y.
Qua đây, tôi xin g i t i quý th y cô Khoa Toán-Cơ-Tin h c, Trư ng Đ i h c
Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà N i, cũng như các th y cô đã tham
gia gi ng d y khóa cao h c 2012- 2014, l i c m ơn sâu s c nh t đ i v i công
lao d y d trong su t quá trình h c t p c a tôi t i nhà trư ng.
Tôi xin c m ơn gia đình, b n bè và các b n đ ng nghi p thân m n đã
quan tâm, t o đi u ki n và c vũ, đ ng viên tôi đ tôi hoàn thành t t lu n văn c
a mình.
Hà N i, tháng 2 năm 2015
Tác gi lu n văn
Tr nh Th Ng c

4


B ng kí hi u

R
Rn
R+

Không gian s th c.
Không gian vecto n chi u
T p h p các s th c không âm.

R
AT
I
λ(A)
λmax(A)
A≥0
A>0
BM +(0, ∞)
b ch n trên (0, ∞)

Không gian các ma tr n n ⋅ r chi u.
Ma tr n chuy n v c a ma tr n A.
Ma tr n đơn v .
T p t t c các giá tr riêng c a A.
max {Reλ, λ ∈ λ(A)}.
Ma tr n A xác đ nh không âm. Ma
tr n A xác đ nh dương.
T p các hàm ma tr n đ i x ng, xác đ nh không âm và

n ⋅r

C([a, b], Rn)
T p t t c các hàm liên t c trên [a, b] và nh n giá tr
n
trên R
Chu n ph c a ma tr n A, A = λmax(AT A).
A
BC([0, ∞), Rn⋅m) T p t t c các ma tr n hàm c p n ⋅ m, liên t c và
b ch n trên [0, ∞).
BC+([0, ∞), Rn⋅m) T p t t c các ma tr n hàm đ i x ng, xác đ nh
dương c p n ⋅ m, liên t c và b ch n trên R+.
L2([t, s], Rn)
T p t t c các không gian kh tích trên Rn và nh n
giá tr trên [t, s].

5


Chương 1
CƠ S

TOÁN H C

Trong chương này, chúng tôi trình bày nh ng ki n th c cơ s v h
phương trình vi phân: các khái ni m cơ b n v h ôtônôm, không ôtônôm và
n đ nh h phương trình vi phân, trong đó chúng tôi có trình bày phương
pháp th hai c a Lyapunov là phương pháp hàm Lyapunov đ i v i bài toán
n đ nh h phương trình vi phân. Chúng tôi cũng nh c l i m t s k t qu làm
cơ s cho n i dung nghiên c u các chương sau. N i dung chương này đư c
trình bày t tài li u [1, 2, 5].

1.1
1.1.1

H phương trình vi phân.
H phương trình vi phân ôtônôm, không ôtônôm .

R t nhi u các quá trình trong t nhiên, v t lý, cơ h c, sinh h c... đư c
mô t b i các phương trình vi phân. Các phương trình vi phân này th hi n
m i quan h gi a bi n th i gian, tr ng thái c a h th ng và v n t c thay đ i c a
tr ng thái t i cùng m t th i đi m. đây ta phân ra làm hai lo i: h phương trình
vi phân ôtônôm và h phương trình không ôtônôm. M t h phương trình vi
phân ôtônôm là h phương trình vi phân có d ng:

x(t) = f (x), ˙

t ≥ 0,

trong đó x ∈ Rn; f (.) : Rn → Rn. Hay nói cách khác, h phương trình vi
phân ôtônôm là h phương trình vi phân mà v ph i không ph thu c vào
bi n th i gian t. Ngư c l i, h phương trình vi phân không ôtônôm là h
phương trình vi phân mà v ph i ph thu c vào bi n th i gian t, t c là
phương trình c a nó có d ng

x(t) = f (t, x(t)), ˙
6

t ≥ 0,

(1.1)

Chương 1. CƠ S

TOÁN H C

v i x ∈ Rn; f (.) : [0, +∞) ⋅ Rn → Rn.

1.1.2

Các đ nh lý t n t i và duy nh t nghi m

Xét phương trình vi phân không ôtônôm (1.1), trong đó f xác đ nh và
liên t c trên mi n G = (a, b) ⋅ {y ∈ Rn : y − y0 ≤ r} . Cùng v i phương
trình (1.1) ta xét bài toán Cauchy :

t ≥ 0,

x(t) = f (t, x(t)), ˙
x(t0) = x0.

(1.2)

Đ nh lý sau đây kh ng đ nh s t n t i nghi m x(.) trong m t lân c n c a

t0.
Đ nh lý 1.1. (Đ nh lý t n t i đ a phương) Gi s f là ánh x liên t c t

G sang Rn th a mãn các đi u ki n sau v i m i t ∈ (a, b), x, y ∈ Bn(x0) =
{x ∈ Rn : x − x0 ≤ η}
f (t, x) ≤ M1,

f (t, x) − f (t, y) ≤ M2 x − y ,
trong đó M1, M2 là các h ng s không ph thu c vào t, x, y. Khi đó, t n t i
s δ > 0 (δ = min M1 , M2 ) sao cho v i m i t0 ∈ (a, b), trong kho ng
η

1

(t0 − δ, t0 + δ) ∩ (a, b) bài toán Cauchy (1.2) có đúng m t nghi m x(t) th a mãn
φ(t) − x0 ≤ η.
Đ nh lý 1.2. (Đ nh lý t n t i toàn c c) Gi s f (.) : R+ ⋅ Rn → Rn liên
t c và th a mãn các đi u ki n sau :

∀t ∈ R+, x ∈ Rn,

f (t, x) ≤ M1 + M0 x ,

∀t ∈ R+, x ∈ Rn.

f (t, x) − f (t, y) ≤ M2 x − y ,

Khi đó, v i b t kì đi m x0 ∈ Rn, t0 ∈ R+, t n t i duy nh t m t nghi m
x(t) c a bài toán Cauchy c a phương trình (1.2) trên toàn kho ng R+.

1.2
1.2.1

Tính n đ nh h phương trình vi phân
Bài toán n đ nh h phương trình vi phân

Xét h phương trình vi phân không ôtônôm

x(t) = f (t, x(t)), ˙
7

t ≥ 0,

(1.3)


Chương 1. CƠ S

TOÁN H C

trong đó f : R+ ⋅ Rn → Rn . Gi s f th a mãn các đi u ki n c n thi t
đ bài toán Cauchy (1.2) có nghi m duy nh t trên R+. Gi s x = η(t) là
nghi m c a (1.3) xác đ nh trên R+. Ta đ t y = x − η(t), t c y là đ l ch c a nghi m
x v i nghi m η(t).
Vì η˙(t) = f (t, η(t)) nên ta nh n đư c phương trình vi phân đ i v i y:

y˙ = g(t, y),
trong đó g(t, 0) = 0 nên h phương trình y˙ = g(t, y) có nghi m t m thư ng
y = 0 ng v i nghi m đã cho x = η(t) c a phương trình

x = f (t, x). ˙
Như v y vi c nghiên c u tính n đ nh c a nghi m x = η(t) trong không gian Rn
đư c đưa v nghiên c u tính n đ nh c a nghi m t m thư ng
y = 0 trong Rn.
Do đó, không m t tính t ng quát, ta luôn gi s phương trình (1.1) có
nghi m t m thư ng x = 0, t c là f (t, 0) = 0.
Đ nh nghĩa 1.1. Nghi m t m thư ng x = 0 đư c g i là n đ nh n u ∀ε >

0, ∀t0 ≥ 0, ∃δ = δ(ε, t0) > 0 sao cho t b t đ ng th c x(t0) ≤ δ
suy ra x(t) < ε, v i ∀t ≥ t0.
Đ nh nghĩa 1.2. Nghi m t m thư ng x = 0 đư c g i là n đ nh ti m c n
n u nó n đ nh và m i nghi m x(t) th a mãn:

lim

t→+∞

x(t) = 0.

Đ nh nghĩa 1.3. Nghi m t m thư ng x = 0 đư c g i là n đ nh mũ n u ∃M > 0,
α > 0 sao cho v i m i nghi m x(t) c a phương trình (1.1) th a
mãn:
−
x(t)
M x(t0) e α(t−t0), ∀t ≥ t0.
Ta quy ư c thay vì nói nghi m t m thư ng c a h (1.1) là n đ nh ( n
đ nh ti m c n, n đ nh mũ ) ta nói r ng h (1.1) là n đ nh ( n đ nh ti m c n, n đ
nh mũ ).
Ví d 1.1. Xét h phương trình vi phân sau trong Rn

x(t) = αx(t), ˙
8

t ≥ 0.


Chương 1. CƠ S

TOÁN H C

Nghi m x(t), v i x(t0) = x0 cho b i công th c
α

x(t) = x0e t,
Khi đó h

t ≥ 0.

n đ nh (ti m c n, mũ) n u α < 0. N u α = 0 thì h là n đ nh.

Ví d 1.2. Xét phương trình vi phân

t ≥ 0,

x(t) = a(t)x(t), ˙

trong đó, a(t) : R+ → R là hàm liên t c, nghi m x(t) c a h v i đi u ki n
ban đ u x(t0) = x0 cho b i
t

x(t) = x0

a(t)dt.
t0

Do đó d ki m tra đư c h là n đ nh n u
t
t0

a(τ )dτ ≤ µ(t0) < +∞,

∀ t ≥ t0

là n đ nh ti m c n n u
t

lim

t→∞

t0

a(τ )dτ = −∞.

Đ gi i bài toán n đ nh các h phi tuy n, Lyapunov đã đưa ra hai
phương pháp:
- Phương pháp th nh t: N i dung chính c a phương pháp này là nghiên c u
tính n đ nh thông qua s mũ Lyapunov ho c thông thư ng hơn là d a vào h
x p x tuy n tính. N u v ph i đ t t thì tính n đ nh s đư c rút ra t tính n đ nh c
a x p x tuy n tính.
- Phương pháp th hai: Phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp này đư
c xem là cách ti p c n chính khi nghiên c u v tính n đ nh. N i dung c a
phương pháp này là d a vào s t n t i c a m t l p hàm toàn phương đ c bi t
(g i là hàm Lyapunov) mà tính n đ nh c a h đã cho đư c ki m tra tr c ti p
qua d u c a đ o hàm (d c theo qu đ o đang xét) c a hàm Lyapunov tương
ng. Hi n nay chưa có m t thu t toán t ng quát đ tìm đư c hàm Lyapunov
cho t t c các phương trình. Sau đây chúng tôi xin trình bày nh ng k t qu
chính c a phương pháp này.

9


Chương 1. CƠ S

1.2.2

TOÁN H C

Phương pháp hàm Lyapunov

Xét h phương trình vi phân

x(t) = f (t, x(t)), ˙

t ≥ 0,

(1.4)

trong đó: x(t) ∈ Rn là vectơ tr ng thái c a h , f : R+ ⋅ Rn → Rn là hàm
vectơ cho trư c, f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0.
Kí hi u κ là t p các hàm liên t c tăng ch t a(.) : R+ → R+, a(0) = 0.
Đ nh nghĩa 1.4. Hàm V (t, x) : R+ ⋅ Rn → R, V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, kh
vi liên t c đư c g i là hàm Lyapunov c a h (1.4) n u
(i) V (t, x) là hàm s xác đ nh dương theo nghĩa

∃a(.) ∈ κ : V (t, x) ≥ a( x ),

∀(t, x) ∈ R+ ⋅ Rn.

(ii) V˙ (t, x(t)) = ∂V + ∂V f (t, x(t))
0, v i m i nghi m x(t) c a h
∂t
∂x
(1.4)
N u hàm V (t, x) th a mãn thêm các đi u ki n:
(iii) ∃b(.) ∈ κ : V (t, x)

b( x ),

∀(t, x) ∈ R+ ⋅ Rn.

(iv) ∃c(.) ∈ κ : V˙ (t, x(t)) −c( x(t) ), v i m i nghi m x(t) c a h (1.4)
thì ta g i hàm V (t, x) là hàm Lyapunov ch t c a h (1.4).
Đ nh lý 1.3. N u h (1.4) có hàm Lyapunov thì h là n đ nh. H (1.4) có hàm
Lyapunov ch t thì h là n đ nh ti m c n.
Ví d 1.3. Xét h phương trình vi phân

x = −(x − 2y)(1 − x2 − 3y2), ˙
y˙ = −(x + y)(1 − x2 − 3y2).
L y V (x, y) = x2 + 2y2. Hàm này là xác đ nh dương. Ta có
V˙ (x, y) = −2(1 − x2 − 3y2)(x2 + 2y2) ≤ 0 v i x, y đ bé. V y h đã
cho là n đ nh.
Ví d 1.4. Xét h phương trình vi phân

x = −x + y + xy, ˙
y˙ = x − y − x2 − y3.
10

Chương 1. CƠ S

TOÁN H C

Xét hàm V (x, y) = x2 + y2.
Ta có V (x, y) ≥ 0, và V (0, 0) = 0.

V˙ (x, y) = 2xx + 2yy˙ ˙
= 2x(−x + y + xy) + 2y(x − y − x2 − y3)
= −2x2 + 2xy + 2x2y + 2xy − 2y2 − 2yx2 − 2y4
= −2(x2 − 2xy + y2) − 2y4
= −2(x − y)2 − 2y4 < 0,

(x, y) = (0, 0)

V y h là n đ nh ti m c n.
Đ nh lý 1.4. Gi s t n t i hàm V (t, x) : R+ ⋅ Rn → R+ th a mãn đi u
ki n:
C2 x 2 ,
2
V (t, x)
∀(t, x) ∈ R ⋅ Rn
(i) ∃C1, C2 > 0 : C1 x
(ii) ∃C3 > 0 : V˙ (t, x(t)) ≤ −C3 x(t) 2, ∀x(t) là nghi m c a phương
trình (1.4) thì h đã cho là n đ nh mũ và ta có đánh giá:

x(t)

C2 e
C1

−

2CC3

t
2

x. 0

Ví d 1.5. Xét h phương trình vi phân

x˙1 = x2 − x1,
x˙2 = −1x1 − 1x2.
2
3
3
2
2
L y V (x) = x + 3x , ta có x
V (x)
1

3 x 2.

2

V˙ (x) = 2x1x˙1 +
6x2x˙2
= 2x1(x2 − x1) + 6x2(−1x1 − 1x2)

3
3
= −2(x1 2 + x ). 2
Theo đ nh lý trên suy ra h đã cho n đ nh mũ v i M =
Ví d 1.6. Xét h phương trình vi phân sau:




˙
x = −1etx,

2
y˙ = −1ety.

√ 3, α = 1.
3



11

2


Chương 1. CƠ S

TOÁN H C

L y V (t, x, y) = x2 + y2. ta có:

V˙ (t, x, y) = 2xx + 2yy˙ ˙
= −e t(x2 + y2)
−(x2 + y2).
Suy ra h phương trình vi phân th a mãn đ nh lý v i C1 = C2 = C3 = 1
do đó h đã cho n đ nh mũ v i M = 1, α = 1.

1.2.3

2

M t s b đ b tr

Ta nh c l i m t s b đ , b t đ ng th c s s d ng đ ch ng minh các
k t qu chính trong các chương sau
B đ 1.1. ( B t đ ng th c ma tr n Cauchy ) Gi s N ∈ Rn⋅n là
m t ma tr n đ i x ng, xác đ nh dương và x, y ∈ Rn, ta có
−

2 < x, y > < N x, x > + < N 1y, y > .
B đ 1.2. ( B t đ ng th c tích phân ) Gi s M ∈ Rn⋅n là m t ma
tr n đ i x ng, xác đ nh dương. Khi đó v i m i s γ > 0 và v i m i hàm
kh tích ω : [0, γ] −→ Rn, ta có
γ
0

ω(s)ds

γ

T

M
0

ω(s)ds

γ

γ
0

ωT (s)M ω(s))ds.

B đ 1.3. (B đ Schur ) Cho các ma tr n đ i x ng X, Y, Z ∈ Rn⋅n
−
th a mãn X = XT , Y = Y T > 0. Khi đó X + ZT Y 1Z < 0 khi và ch khi

X ZT
Z −Y

< 0 ho

−Y Z
c ZT X

12

< 0.

Chương 2
Tính n đ nh c a h phương trình
vi phân tuy n tính
Trong chương này, chúng tôi trình bày m t s k t qu v tính n đ nh h
phương trình vi phân tuy n tính ôtônôm, không ôtônôm và tính n đ nh
hóa h đi u khi n không ôtônôm. N i dung chương này đư c trình bày t tài li
u [2,3,4,6,7].

2.1

H tuy n tính ôtônôm

Xét h tuy n tính

x(t) = Ax(t), ˙

t ≥ 0,

trong đó A là (n ⋅ n)- ma tr n. Nghi m c a h (2.1) xu t phát t tr ng
thái ban đ u x(t0) = x0 cho b i

x(t) = eA(t−t0)x0,
2.1.1

∀t ≥ 0.

M t s đ nh lý cơ s

Đ nh lý 2.1. H (2.1) n đ nh ti m c n khi và ch khi ph n th c c a t t

c các giá tr riêng c a ma tr n A là âm, t c là

Reλ < 0,

∀λ ∈ λ(A).

Ch ng minh. T lý thuy t v ma tr n và theo công th c Sylvester [2]
λ
áp d ng cho f (λ) = e , ta có
q
At

e =

k=1

α 1 λ
k− )e tk,

(Zk1 + Zk2 + ... + Zkαt
13

(2.1)


Chương 2. Tính n đ nh c a h phương trình vi phân tuy n tính

trong đó: λk là các giá tr riêng c a A, αk là ch s mũ b i c a các λk trong phương
trình đa th c đ c trưng c a A. Zki là các ma tr n h ng s . Do đó
ta có đánh giá sau

e

At

≤

αk

q

λ

ti−1eRe kt Zki .

k=1 i=1

Vì Reλk < 0 nên x(t) → 0 khi t → +∞.
Ngư c l i, n u h là n đ nh mũ, khi đó m i nghi m x(t), x(t0) = x0
c a h (2.1) th a mãn đi u ki n

x(t) ≤ µ x0 e

−
)
δ(t−t0 ,

t ≥ t0 ,

v i µ > 0, δ > 0 nào đó. Ta gi s ph n ch ng r ng có m t λ0 ∈ λ(A) sao

cho Reλ0 ≥ 0. Khi đó v i vectơ riêng x0 ng v i λ0 này ta có

Ax0 = λ0x0
λ

và khi đó nghi m c a h v i x0(t) = x0 là x0(0) = x0e 0t, lúc đó ta có
λ

x0(t) = x 0 e Re 0t,

t ≥ 0,

khi đó nghi m x0(t) → +∞ khi t → +∞, vô lý v i đi u ki n (2.2). Đ nh lý đư c
ch ng minh.
Ví d 2.1. Xét tính n đ nh c a h

x = −x + y, ˙
y˙ = 2x − 3y.
Ta có:

A=

−1 1 ,
2 −3

và phương trình đ c trưng

−1 − λ
2

1
−3 − λ = 0,
√
√
có nghi m λ1 = −2 − 3 < 0, λ2 = −2 + 3 < 0.
V y h trên là n đ nh ti m c n.

14

(2.2)


Chương 2. Tính n đ nh c a h phương trình vi phân tuy n tính

Ví d 2.2. Xét tính n đ nh c a h :

x = 2x − y + 2z, ˙
y˙ = 5x − 3y + 3z, z˙
= −x − 2z.
Ta có:
A=

2 −1 2
5 −3 3 ,
−1 0 −2

và phương trình đ c trưng:

2−λ
5

−1

−1
−3 − λ
0

2
3
−2 − λ

= −(λ + 1)3 = 0,

có nghi m λ = −1(b i 3)
Vì h trên có nghi m λ = −1 < 0, nên h là n đ nh ti m c n.
Đ nh lý sau cho m t tiêu chu n khác v tính n đ nh h phương trình tuy n
tính ôtônôm (2.1) thông qua phương trình Lyapunov.
Xét phương trình Lyapunov d ng

AT P + P A = −Q,

(LE)

trong đó P, Q là các ma tr n (n ⋅ n) chi u và g i là c p nghi m c a (LE).
Đ nh lý 2.2. H (2.1) là n đ nh ti m c n khi và ch khi v i b t kì m t
ma tr n Q đ i x ng, xác đ nh dương, phương trình Lyapunov LE :

AT P + P A = −Q,
có nghi m P đ i x ng, xác đ nh dương.
Ch ng minh. Gi s (LE) có nghi m là ma tr n P > 0, v i Q > 0. V i x(t) là m t
nghi m tùy ý c a (2.1) v i x(t0) = x0, t0 ∈ R+, ta xét hàm s

V (x(t)) =< P x(t), x(t) >,

t ≥ t0.

Ta có

d V (x(t)) =< P x, x > + < P x, x >
˙
˙
dt
=< (P A + AT P )x, x >
= − < Qx(t), x(t) > .
15


Chương 2. Tính n đ nh c a h phương trình vi phân tuy n tính

Do đó

t

V (x(t)) − V (x(t0)) = −

< Qx(s), x(s) > ds.
t0

Vì P là xác đ nh dương nên V (x(t)) ≥ 0, v i m i t ≥ t0 và do đó
t
t0

< Qx(s), x(s) > ds ≤ V (x0) =< P x0, x0 > .

M t khác, vì Q xác đ nh dương, nên t n t i s α > 0 sao cho

< Qx, x >≥ α x 2,
Do đó

∀x ∈ Rn,

t

Cho t → +∞ ta đư c

t0

x(s) 2ds ≤ < P xα, x0 >. 0
(2.3)
+∞

x(s) 2ds < +∞.

t0

Ta s ch ng minh Reλ < 0 v i m i λ ∈ λ(A).
Th t v y, gi s có m t s λ0 ∈ λ(A) mà Reλ0 ≥ 0. L y x0 ∈ Rn ng v i
λ
giá tr riêng λ0 này, thì nghi m c a h (2.1) s cho b i x1(t) = e 0(t)x0 và
∞
∞

do đó
2
x1(t) dt =
e2Reλ0t x0 2dt = +∞,
t0

t0

vì Reλ > 0, vô lý v i đi u ki n (2.3).
Ngư c l i, gi s A là ma tr n n đ nh, t c là Reλ < 0 v i m i λ ∈ λ(A). V i b t kì
ma tr n Q đ i x ng, xác đ nh dương, xét phương trình ma tr n
sau
Z(t) = AT Z(t) + Z(t)A, ∀t ≥ t0, ˙
(2.4)
Z(t0) = Q.
Nh n th y r ng h (2.4) có m t nghi m riêng là

Z(t) = eAT tQeAt.
Đt

t

P (t) =
t0

Z(s)ds < ∞,


16

Chương 2. Tính n đ nh c a h phương trình vi phân tuy n tính

là xác đ nh và do Q là đ i x ng nên P cũng là đ i x ng. M t khác, l y
tích phân hai v phương trình (2.4) t t đ n t0 ta có

Z(t) − Q = AT P + P A,

∀t ≥ t0.

Cho t → +∞ đ ý r ng Z(t) → 0 khi t → +∞ và vì A là n đ nh, nên ta
đư c
−Q = AT P + P A,
hay các ma tr n đ i x ng P, Q th a mãn (LE). Ta ch còn ch ng minh P
là ma tr n xác đ nh dương. Th t vây, ta có
∞

< P x, x >=

< QeAT tx, eAtx > dt.

t0
At

Do Q > 0 và e là không suy bi n nên

< P x, x >> 0,

x = 0.

Đ nh lý đư c ch ng minh.
Ví d 2.3. Xét tính n đ nh c a h :

x = −1x + 2y − 3z, 
 ˙
2
y˙ = −x − 1y + 3z,
z˙ = x − 2y4− 1z.

6
Ta có:

 −1 2 −3 
A=

Ch n ma tr n :

2

−1 −1 3 , 4
 1 −2 −1

6

Q=

100
010 ,
001
ta th y Q là ma tr n đ i x ng, xác đ nh dương.

Thay vào phương trình Lyapunov LE:
AT P + P A + Q = 0,
ta tìm đư c nghi m P là
P=

100
020 ,
003
17


Chương 2. Tính n đ nh c a h phương trình vi phân tuy n tính

vì P là hàm đ i x ng, xác đ nh dương nên h là n đ nh ti m c n theo
Lyapunov.
Đi u ph i ch ng minh.

2.1.2

Bài toán n đ nh hóa

Xét h đi u khi n mô t b i h phương trình vi phân

x(t) = f (t, x(t), u(t)), ˙

t ≥ 0,

(2.5)

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ tr ng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ đi u khi n, u(.)

thu c l p hàm kh tích b c hai trên các đo n h u h n [0, s], ∀s ≥ 0 và l y
giá tr trong Rm, f : R+ ⋅ Rn ⋅ Rm → Rn là hàm vectơ cho trư c đư c gi
thi t th a mãn f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0.
Đ nh nghĩa 2.1. H đi u khi n (2.5) đư c g i là n đ nh hóa đư c n u
t n t i hàm h(x) : Rn → Rm sao cho v i u(t) = h(x(t)) h phương trình
vi phân sau (thư ng g i là h đóng, closed- loop system):

x(t) = f (t, x(t), h(x(t)), ˙

∀t ≥ 0,

(2.6)

là n đ nh ti m c n. Hàm u(t) = h(x(t)) thư ng đư c g i là hàm đi u
khi n liên h ngư c.
Xét h tuy n tính

x(t) = Ax(t) + Bu(t), ˙

∀t ≥ 0,

(2.7)

trong đó A ∈ Rn⋅n, B ∈ Rn⋅m là các ma tr n hàm.
Đ nh lý 2.3. H tuy n tính (2.7) n đ nh hóa đư c n u t n t i ma tr n
A + BK là ma tr n n đ nh, t c là các ph n th c c a giá tr riêng c a (A + BK)
là âm.
Ch ng minh. L y đi u khi n liên h ngư c u(t) = Kx(t), trong đó

K ∈ Rm⋅n, ta có h đóng là

x(t) = [A + BK]x(t), ˙

t ≥ 0.

Do đó theo Đ nh lý 2.1, h đóng là n đ nh n u Reλ(A + BK) < 0.
Ví d 2.4. Xét tính n đ nh hóa h đi u khi n sau

x(t) = 1 2 x(t) + −1 u(t),
˙
04
−3
18

t ≥ 0.


Chương 2. Tính n đ nh c a h phương trình vi phân tuy n tính

Theo đ nh nghĩa, ta tìm ma tr n đi u khi n ngư c K = (k1, k2) sao cho
ma tr n

A + BK = 1 2 + −1 (k1, k2)
04
−3
là ma tr n n đ nh, t.l. các ph n th c các giá tr riêng c a ma tr n này là
âm. Ta có

A + BK = 1−−kk11 42− 3kk22 . −
3
Do đó ta ch n k1 = 2, k2 = 2 thì K = (2, 2) và:

A + BK = −1 −2 , 0
−6
khi đó các giá tr riêng c a ma tr n A + BK là −1, −2, suy ra h là n
đ nh hóa đư c và hàm đi u khi n liên h ngư c là

u(t) = (2, 2) x1

x2

= 2x1(t) + 2x2(t).

Đ nh lý sau cho m t tiêu chu n n đ nh hóa khác c a h (2.7).
Đ nh lý 2.4. H tuy n tính (2.7) n đ nh hóa đư c n u t n t i ma tr n
đ i x ng, xác đ nh dương P, Q th a mãn phương trình ma tr n sau:

AT P + P A − P BBT P + Q = 0,
và ma tr n đi u khi n liên h ngư c là:

u(t) = −1BT P x(t),
2

t ≥ 0.

(2.8)

Ch ng minh. Xét hàm liên h ngư c (2.8), ta có h đóng là :

x(t) = [A − 1BBT P ]x(t),
˙

2

t ≥ 0.

Xét hàm Lyapunov cho h đóng (2.9):

V˙ (x(t)) =< P x(t), x(t) >,

t ≥ 0.

Ta ch ng minh đây là hàm Lyapunov ch t cho h (2.9) và khi đó theo
Đ nh lý 1.3, h đóng là n đ nh ti m c n.
Th t v y, d th y đi u ki n (i), (ii) c a Đ nh nghĩa 1.4 th a mãn:

λmin(P ) x

2

≤ V (x) ≤ λmax(P ) x 2.

(2.9)


19


Chương 2. Tính n đ nh c a h phương trình vi phân tuy n tính

Đ ki m tra đi u ki n (iv) ta có:

V˙ (x(t)) = 2 < P x(t), x(t) > ˙
= 2 < P [A − 1BBT P ]x(t), x(t) >
2
T
=< (A P + P A − P BBT P )x(t), x(t) > .
Theo phương trình ma tr n (2.8) ta có:

x(t) = − < Qx(t), x(t) > ˙
≤ −λmin(Q) x 2.
Suy ra đi u kiên (iv) c a Đ nh nghĩa 1.4. Đ nh
lý đư c ch ng minh.
Ví d 2.5. Xét tính n đ nh c a h sau

x = 143x + 9y
4
˙
y˙ = 62x + 142y.
4

Ch n Q =

1 0 ma tr n đ i x ng, xác đ nh dương, và B = 6
02 là
Ta th y phương trình LE :

có nghi m : P =

6

AT P + P A − P BBT P + Q = 0,

2 0 là đ i x ng, xác đ nh dương.
,
02

V y h là n đ nh hóa.

2.2

H tuy n tính không ôtônôm

Xét h tuy n tính đi u khi n không ôtônôm (LTV) sau:

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), ˙

∀t ∈ R+,

x(0) = x0,

(2.10)

trong đó, A ∈ BC([0, ∞), Rn⋅n), B ∈ BC([0, ∞), Rn⋅m), ∀u(.) ∈ L2([0, t], Rm),
∀t ≥ 0, nghi m c a (2.10) đư c cho b i
t

x(t) = S(t)x0 +

0

−

S(t)S 1(s)B(s)u(s)ds,
20


Chương 2. Tính n đ nh c a h phương trình vi phân tuy n tính

trong đó S(t) là ma tr n nghi m c a h thu n nh t x = A(t)x(t), t ∈ R+. ˙
Nói cách khác, nghi m đư c cho b i d ng Cauchy
t

x(t) = U (t, 0)x0 +

0

U (t, s)B(s)u(s)ds,

−

v i U (t, s) = S(t)S 1(s) là ma tr n chuy n c a h . Nghi m c a h LTV
đư c xác đ nh theo phương trình vi phân Riccati (RDE) sau

P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)BT (t)P (t) + Q(t) = 0,

∀ t ≥ 0.
(2.11)

Đ nh nghĩa 2.2. [3] Cho Q ∈ BC([0, ∞), Rn⋅n). H tuy n tính (2.10) là Q− n đ nh
n u v i m i tr ng thái ban đ u x0, có đi u khi n u(.) ∈
L2([0, ∞), Rm) sao cho hàm:
∞

J(u) =

[ u(t) 2+ < Q(t)x(t), x(t) >]dt,

0

t n t i và h u h n, trong đó x(t) là nghi m c a h .
M nh đ 2.1. [3] N u h tuy n tính (2.10) là Q− n đ nh, thì RDE (2.11) có nghi m

P ∈ BC+([0, ∞), Rn⋅n).
Đ nh nghĩa 2.3. Ma tr n hàm P (.) là xác đ nh dương đ u (kí hi u P >>
0), n u

∃c > 0, ∀x ∈ Rn, ∀t ∈ R+ :< P (t)x, x >≥ c x 2.
Ví d 2.6. Ma tr n

P = e0 e

−
2 ,
t
−t

0

là ma tr n xác đ nh dương, nhưng không xác đ nh dương đ u. Ma tr n

P=

ecos 2 t sin
02 ,
0e t

là xác đ nh dương đ u, vì ta có: < P (t)x, x >≥ 2 x 2,

21

∀x ∈ R2.