Lý thuyết tích phân và ứng dụng

Header Page 1 of 126.

1

2
Công trình ñược hoàn thành tại

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

XAYAPHET KEODAVANH

Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu

LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN

Phản biện 2: PGS. TSKH. Trần Quốc Chiến

VÀ ỨNG DỤNG
Luận văn sẽ ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ toán học họp tại Đại học Đà Nẵng, vào ngày…..tháng ……

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

năm …….

Mã số : 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Có thể tìm hiểu tại:
- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
Đà Nẵng – Năm 2012

Footer Page 1 of 126.


Header Page 2 of 126.

3

4

MỞ ĐẦU

chứng tôi có xét một vài trường hợp mở rộng ñể chứng tỏ lĩnh vực

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình toán của Lào, lý thuyết tích phân ñược học từ

này có thể phát triển xa hơn về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng.
IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

lớp 10, 11, 12, vậy có thể nói lý thuyết tích phân ñóng một vai trò

Nội dung nghiên cứu của luận văn này ñược giới hạn trong phạm

khá quan trọng trong việc học và giảng dạy bộ môn toán. Trong

vi về lý thuyết tích phân theo ñộ ño, khuyếch ñộ ño và các ứng dụng

chương trình toán ở bậc trung học, phần kiến thức về tích phân chiếm

của tích phân trong vật lý. Sau ñó chúng tôi có ñưa ra một số ví dụ cụ

một tỷ lệ lớn. Trong quá trình giảng dạy ở trường phổ thông, tôi phát

thể trong chương cuối ñể minh họa cho việc ứng dụng của chúng ñến

hiện ra rằng thông thường các học sinh ñều cảm thấy lúng túng khi

việc giải toán ở bậc trung học phổ thông.

giải các bài toán về tích phân, chính vì vậy tôi muốn nghiên cứu một

V. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

phần lý thuyết tích phân nhằm góp phần phục vụ cho công việc giảng

5.1. Ý nghĩa khoa học: Hệ thống kiến thức về tiếp cận lý thuyết tích

dạy ở trường phổ thông. Đó là lý do ñể tôi chọn ñể tài “Lý thuyết tích

phân và sử dụng tích phân vào việc giải một số bài toán thực tế.

phân và ứng dụng” làm luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình.

5.2. Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài hoàn thành trở thành tài liệu tham

II. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

khảo bổ ích cho giáo viên, sinh viên ở các trường ñại học, cao ñẳng

Dựa vào sự ứng dụng sau này của ñề tài nên chúng tôi sử dụng
các phương pháp giải quyết vấn ñề thiên về cách chứng minh của
toán sơ cấp. Mặc dù thế trong một vài tinh huống ñặc biệt chúng tôi

và học sinh ở trường trung học phổ thông, các bạn yêu toán
VI. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Luận văn gồm 3 chương với cấu trúc như sau:

cũng mạnh dạn mở rộng vấn ñề theo hướng toán học hiện ñại.

•

Mở ñầu

Phương pháp chủ yếu ñược sử dụng trong luận văn này là kết hợp các

•

Chương 1: Độ ño dương

kết quả ñã có trong các tài liệu chuyên khảo có liên quan ñến ñề tài

•

Chương 2: Lý thuyết tích phân

và sự liên hệ ñến các ứng dụng của nó trong chương trình toán phổ

•

Chương 3: Các ứng dụng của tích phân

thông.

•

Kết luận

III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng mà chúng tôi tập trung nghiên cứu là lý thuyết tích
phân và sự ứng dụng của chúng ñể giải toán ở bậc phổ thong trung
học và có thể dùng ñể giảng dạy cho các sinh viên ñại học. Ngoài ra

Footer Page 2 of 126.


5

Header Page 3 of 126.

6
Định lý 1.2.1 [ 2] Giả sử { X 1 , X 2 ,..., X n } là một phân hoạch của

Chương 1- ĐỘ ĐO DƯƠNG
1.1 TẬP HỢP
Định lý 1.1.1 [ 2] Nếu A = n , thì |P

tập S . Khi ñó: S = X 1 + X 2 + ... + X n

( A) | = 2n .

Định lý 1.1.2 [ 2] Quan hệ bao hàm có các tính chất sau ñây
- Phản xạ: Với mọi tập A thì A ⊂ A .
- Phản ñối xứng: Với mọi tập A, B sao cho A⊂B và B ⊂ A thì A = B .

•

Hệ quả: A ∪ B = A + B − A ∩ B .

Định lý 1.2.2 [ 2] Cho các tập A, B,C trong tập vũ trụ U, khi ñó ta có:
- Luật kết hợp:

( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )
( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

- Bắc cầu: Với mọi tập A, BC
, sao cho A ⊂ B và B ⊂ C thì A⊂C .
1.2. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP
Cho các tập A và B . Ta ñịnh nghĩa các phép toán sau:
•

}.

• Phần bù: Cho tập X và A ⊂ X . Phần bù của A (trong X )
là tập ký hiệu bởi C X ( A ) và ñược xác ñịnh bởi: CX ( A) = X \ A.
Phép hợp: Hợp của A và B , ký hiệu A ∪ B là tập ñược

{

xác ñịnh bởi: A ∪ B = x x ∈ A hoặc x ∈ B} .
•

Phép giao: Giao của A và B , ký hiệu A ∩ B là tập ñược

{

xác ñịnh bởi: A ∩ B = x x ∈ A và x ∈ B}
•

A∪ B = B ∪ A

phép hiệu: Hiệu của A và B , ký hiệu A \ B là tập

A \ B = { x x ∈ A và x ∉ B

•

- Luật giao hoán:

Phân hoạch một tập hợp:

Nếu A∩B=φ, ta nói A và B rời nhau. Nếu các tập X1, X2 ,..., Xn

thỏa mãnvà chúng rời nhau từng ñôi một, ta nói { X 1 , X 2 ,..., X n } là
một phân hoạch của tập hợp A .

Footer Page 3 of 126.

A∩ B = B ∩ A

-

Luật phân bố:

A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )
A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )

- Luật bù kép (ñối hợp):

A= A

)

(trong ñó: A = U \ A .

- Luật ñối ngẫu De Morgan:

A∪ B = A∩ B, A∩ B = A∪ B

A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An
A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An .
1.3. CÁC CẤU TRÚC TRONG DẠI SỐ TẬP HỢP
1.3.1. Vành Boole (Boole, Boolean ring).

Định nghĩa 1.3.1 [1] Một vành Boole (Boole, Boolean ring), các tập


7

8

hợp là một tập hợp ℜ Các tập hợp thỏa mãn nếu A ∈ ℜ, B ∈ ℜ thì

Định lý 1.4.3 [1] Nếu ε là một lớp ñếm ñược các tập hợp, thì ℜ ( ε )

A ∪ B ∈ ℜ và A \ B ∈ ℜ .

là ñếm ñược.

Header Page 4 of 126.

Mệnh ñề 1.3.1 [1] cho ℜ là một vành Boole, khi ñó φ ∈ ℜ , các
phép hiệu ñối xứng và giao của hai tập hợp là ñóng trong ℜ .
1.3.2. Đại số Boole (Boolean algebra).
Định nghĩa 1.3.2 [1] Một lớp các tập hợp A ñược gọi là một ñại số
Boole nếu thỏa mãn:

Định nghĩa 1.4.2 [1] Một lợp không rỗng S các tập hợp ñược gọi là

σ - vành nếu nó thỏa mãn:
a / Nếu E ∈ S và F ∈ S thì E \ F ∈ S .
b / Nếu { En }n∈N ⊂ S thì

UE

n∈N

n

∈S .

a / Nếu A ∈ ℜ và B ∈ ℜ thì A ∪ B ∈ ℜ .

Định nghĩa 1.4.3 [1] Cho một lớp bất kỳ các tâp hợp ε , σ - vành nhỏ

b / Nếu A ∈ ℜ thì Ac ∈ ℜ , ( Ac là phần bù của A ).

nhất chứa lớp ε ñược gọi là σ - vành sinh bởi lớp ε là ñược ký hiệu

Rõ rang mỗi ñại số Boole là một vành Boole vì:

(

)

c

A \ B = A ∩ B c = Ac ∪ B .

bởi σ ( ε ) .
Định lý 1.4.4 [1] Nếu ε là một lớp bất kỳ các tập hợp và E là một

Mệnh ñề 1.3.2 [1] cho ℜ là một vành Boole các tập con của X .

tập bất kỳ trong σ ( ε ) thì tồn tại một lớp ñếm ñược D của ε sao

Vành ℜ là một ñại số khi và chỉ khi X ∈ ℜ .

cho E ∈ σ ( D ) .

1.4. VÀNH SINH (generated ring), σ - VÀNH ( σ - ring )
Định nghĩa 1.4.1 [1]

cho ε là một lớp các tập hợp. Vành nhỏ nhất

chứa ε ñược gọi là vành sinh bởi lớp ε và ñược ký hiệu bởi R ( ε ) .

Định lý 1.4.5 [1] Nếu ε là lớp bất kỳ các tập hợp con của tập X và

A là tập con bất kỳ của X thì σ ( ε ) ∩ A = σ ( ε ∩ A ) .
1.5. CÁC LỚP ĐƠN ĐIỆU (monotone classes)

Định lý 1.4.1 [1] Nếu ε là lớp các tập hợp bất kỳ thì tồn tại một vành

1.5.1. Giới hạn trên (the superior limit)

sinh bởi lớp ε duy nhất R ( ε ) .

Định nghĩa 1.5.1 [1] Cho { En }n∈N là một dãy các tập con của X ,

Định lý 1.4.2 [1] Nếu ε là một lớp bất kỳ các tập hợp thì mỗi tập

tập E ∗ gồm tất cả các phần tử của X thuộc En với vô hạn các giá

trong R ( ε ) ñược phủ bởi một họ hữu hạn các tập trong ε .

trị của n ñược gọi là giới hạn trên của dãy { En } và ký hiệu:

E ∗ = lim. sup En
n

Footer Page 4 of 126.


9

Header Page 5 of 126.

10

1.5.2. Giới hạn dưới (the inferior limit)
Định nghĩa 1.5.2 [1] Cho { En }n∈N là một dãy các tập con của X , tập

Định nghĩa 1.6.1 [1] Ánh xạ µ : A → [ 0, +∞ ] ñược gọi là một ñộ ño
dương trên σ - ñại số A nếu với mọi họ ñếm ñược các tập ñôi một

E∗ gồm tất cả các phần tử của X thuộc mọi En trừ một số hữu hạn

không giao nhau { Ak }k∈N , trong ñó Ak ∈ A với mọi k ∈ N , ta có:

các giá trị của n ñược gọi là giới hạn dưới của dãy { En } và ký hiệu:

µ



U

 k∈N

E∗ = lim inf En
n

Nếu xảy ra trường hợp E ∗ = E∗ thì ta ký hiệu E ∗ = E∗ = lim En và
n

gọi là giới hạn của dãy { En } .


Ak  =


∑ µ (A )

k∈N

k

và µ (φ ) = 0 .

Định nghĩa 1.6.2 [1] Tập X với σ - ñại số A các tập con của X và
ñộ ño dương µ trên A thì bộ ba ( X , A, µ ) ñược gọi là một không
gian ño.

- Dãy các tập hợp { En } ñược gọi là tăng (ñồng biến) nếu

Định nghĩa 1.6.3 [1] Ta nói µ là σ - hữu hạn nếu X là hợp của một

En ⊂ En +1, ∀n ∈ N .

họ ñếm ñược các tập có ñộ ño hữu hạn.

- Dãy các tập hợp { En } ñược gọi là giảm (nghịch biến) nếu

En +1 ⊂ En , ∀n ∈ N . Một dãy các tập hợp tăng hay là giảm ñược
gọi dãy ñơn ñiệu (monotone).
Định nghĩa 1.5.3 [1] Một lớp không rỗng M các tập ñược gọi là ñơn
ñiệu nếu mọi dãy ñơn ñiệu các tập { En } trong M ta có lim En ∈ M.
n

Định nghĩa 1.6.4 [1] Nếu với mọi A∈ A thỏa mãn µ ( A) = 0 và với
mọi A' ⊂ A ta có: A' ∈ A, thì ta nói rằng σ - ñại số A là µ − ñủ
(tức là ñủ theo ñộ ño µ ).
Định nghĩa 1.6.5 [1] Bộ ba ( X , A, µ ) ñược gọi là một không gian
có ñộ ño ñủ, σ - hữu hạn nếu µ là ñộ ño dương σ - hữu hạn và A là

µ − ñủ.

Định nghĩa 1.5.4 [1] Lớp ñơn ñiệu nhỏ nhất chứa lớp ε ñược gọi là

1.7 . CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐỘ ĐO CẢM SINH

lớp ñơn ñiệu sinh bởi lớp ε và ñược ký hiệu bởi M ( ε ) .

1.7.1. Độ ño ngoài

Định lý 1.5.1 [1] Một lớp ε là một σ - vành khi và chỉ khi nó là
vành ñơn ñiệu.
1.6 . ĐỘ ĐO; KHÔNG GIAN ĐO; ĐỘ ĐO ĐỦ; ĐỘ ĐO σ HỮU HẠN .

Footer Page 5 of 126.

Định nghĩa 1.7.1.1 [1] Một lớp không rỗng các tập hợp ε ñược gọi là
lớp di truyền nếu với mọi tập E ∈ ε và F ⊂ E thì F ∈ ε .


11

12

Định nghĩa 1.7.1.2 [1] σ - vành di truyền nhỏ nhất chứa lớp ε ñược

Nếu µ là (hoàn toàn) σ - hữu hạn thì µ ∗ cũng vậy. Độ ño ngoài

gọi là σ -vành di truyền sinh ra bởi lớp ε và ñược ký hiệu bởi H ( ε ) .

µ ∗ ñược gọi là cảm sinh bởi ñộ ño µ .

Định nghĩa 1.7.1.3 [1] Một hàm tập µ ∗ có giá trị trên tập số thực mở

1.7.2. Các tập ño ñược

Header Page 6 of 126.

rộng, xác ñịnh trên lớp ε ñược gọi là:

Định nghĩa 1.7.2.1 [1] Cho µ ∗ là một ñộ ño ngoài trên σ - vành di

- Dưới cộng tính nếu với mọi tập E ∈ ε , F ∈ ε và E ∪ F ∈ ε

truyền H . Một tập E ∈ H ñược gọi là µ ∗ ño ñược nếu với mọi tập

thì: µ ∗ ( E ∪ F ) ≤ µ ∗ ( E ) + µ ∗ ( F ) .

A ∈ H , ta có: µ ∗ ( A) = µ ∗ ( A ∩ E ) + µ ∗ A ∩ E c

(

- Dưới công tính hữu hạn nếu với mọi hữu hạn tập E1 , E2 , ... , En



n

và

n



n

 i =1

i =1



i =1

- σ - dưới công tính (dưới cộng tính ñếm ñược) nếu với mọi dãy các
tập { Ei } mà

n

UE ∈ ε
i =1

i



∞

∞


E  ≤ ∑ µ ( E ).
U



thì: µ ∗ 

i =1

i

∗

i =1

i

- Đơn ñiệu nếu E ∈ ε , F ∈ ε và E ⊂ F thì µ ( E ) ≤ µ ( F ) .
Định nghĩa 1.7.1.4 [1] Một hàm tập µ ∗ nhận giá trị trên tập số thực
mở rộng, xác ñịnh trên σ - vành di truyền H ñược gọi là một ñộ ño
ngoài nếu nó không âm, ñơn ñiệu, σ - dưới cộng tính và µ ∗ (φ ) = 0.
Định lý 1.7.1.1 [1] Nếu µ là một ñộ ño trên vành ε và nếu với mọi

∞
tập E ∈ H ( ε ) ñặt: µ ∗ ( E ) = inf ∑ µ ( Ei ) : Ei ∈ ε ,
 i =1

∞

∀i : E ⊂ UEi  .
i =1


Thì µ ∗ là một ñộ ño ngoài trên H ( ε ) và là một mở rộng của µ .

Footer Page 6 of 126.

E c là phần bù của E.
Định lý 1.7.2.1 [1] Nếu µ ∗ là một ñộ ño ngoài trên một σ - vành di

µ ∗  U Ei  ≤ ∑ µ ∗ ( Ei ) .

U Ei ∈ ε thì:

)

truyền H và nếu S là một lớp tất cả các tập µ ∗ - ño ñược thì S là
một vành.
Định lý 1.7.2.2 [1] Nếu µ ∗ là một ñộ ño ngoài trên σ - vành di
truyền H và nếu S là lớp tất cả các tập µ ∗ ño ñược, thì S là một

σ - vành. Nếu A ∈ H và nếu { En } là dãy rời nhau các tập trong S
với

∞

∞

n =1

n =1

U En = E , thì: µ ∗ ( A ∩ E ) = ∑ µ ∗ ( A ∩ En ) .

Định lý 1.7.2.3 [1] Nếu µ ∗ là một ñộ ño ngoài trên σ - vành di
truyền H và nếu S là lớp tất cả các tập µ ∗ - ño ñược, thì mỗi tập có
ñộ ño ngoài bằng 0 thuộc vào S và hàm tập µ xác ñịnh trên S

ñược cho bởi µ ( E ) = µ ∗ ( E ) ,

∀E ∈ S là một ñộ ño ñủ trên S .


13

14

Độ ño µ ñược gọi là ñộ ño cảm sinh bởi ñộ ño ngoài µ ∗ . Độ ño µ

Định lý 1.8.1 [1] Nếu µ là ñộ ño σ - hữu hạn trên vành ε , thì tồn

là hạn chế của ñộ ño ngoài µ ∗ trên S và ñược ký hiệu µ = µ ∗ .

tại một ñộ ño duy nhất µ trên σ - vành σ ( ε ) sao cho µ = µ .

Định lý 1.7.1 [1] Mọi tập trong σ ( ε ) là các tập µ ∗ ño ñược.

Định lý 1.8.2 [1] Cho µ là ñộ ño trên σ - vành K và ñặt:

Header Page 7 of 126.

S

Định lý 1.7.2 [1] Nếu E ∈ H ( ε ) thì:

{
}
= inf {µ ( F ) : E ⊂ F ∈ σ ( ε )}

µ ∗ ( E ) = inf µ ( E ) : E ⊂ F ∈ S

ε

K = { E ∆N : E ∈ K , ∃B ∈ K , N ⊂ B, µ ( B ) = 0} .
Khi ñó K là một σ - vành và hàm tập µ xác ñịnh bởi

µ ( E ∆N ) = µ ( E ) là một ñộ ño ñủ trên K .

Nghĩa là, ñộ ño ngoài cảm sinh bởi µ trên σ ( ε ) và ñộ ño ngoài

Định lý 1.8.3 [1] Nếu µ là ñộ ño σ - hữu hạn trên vành ε và µ ∗ là

cảm sinh bởi µ trên S trùng nhau.

ñộ ño ngoài ñược cảm sinh bởi ñộ ñô µ thì tính ñủ của ñộ ño mở

Định nghĩa 1.7.1 [1] Tập F∈σ ( ε ) ñược gọi là một phủ ño ñược của

rộng của µ trên σ ( ε ) ñồng nhất với tính ñủ của µ ∗ trên lớp tất cả

tập E∈H ( E) nếu mọi tập G ∈σ ( ε ) mà G ⊂ F \ E thì µ ( G ) = 0 .

các tập µ ∗ - ño ñược.

Định lý 1.7.3 [1] Nếu một tập E ∈ H ( ε ) có ñộ ño ngoài σ - hữu
hạn thì tồn tại một phủ ño ñược F ( ε ) ∈ σ ( ε ) sao cho: µ∗ ( E) = µ( F) .
Định lý 1.7.4 [1] Nếu F1 , F2 là các phủ ño ñược của E ∈ H ( ε ) thì

µ ( F1∆F2 ) = 0 , nếu F là phủ ño ñược của E thì µ ∗ ( E ) = µ ( F ) .
Định lý 1.7.5 [1] Nếu ñộ ño µ trên σ - vành ε là σ - hữu hạn thì

µ

σ (ε )

và µ

S

cũng σ - hữu hạn.

1.8. KHUYẾCH , ĐẦY ĐỦ VÀ XẤP XỈ MỘT ĐỘ ĐO

Footer Page 7 of 126.

Định lý 1.8.4 [1] Nếu µ là ñộ ño σ - hữu hạn trên vành ε , thì với
mọi tập E có ñộ ño hữu hạn trong σ ( ε ) và với mọi số dương ε ,
tồn tại tập E0 ∈ ε sao cho µ ( E ∆E0 ) ≤ ε .
1.9. ĐỘ ĐO TRONG (Inner measures)
Định lý 1.9.1 [1] Nếu E ∈ H ( S ) , thì:

{

µ∗ ( E ) ≤ sup µ ( F ) : E ⊃ F ∈ S

}

(1.12 )

Mặt khác do ñịnh lý 2.3.1 với mọi F ∈ S tồn tại tập G ∈ S sao cho

G ⊂ F và µ ( F ) = µ ( G ) . Nên:


15

Header Page 8 of 126.

{

16

}

sup µ ( F ) : E ⊃ F ∈ S = sup {µ ( G ) : E ⊃ G ∈ S}
= µ∗ ( E )

Định lý 1.9.8 [1] Nếu E ∈ S thì với mọi tập con A ⊂ X có:

(1.13)

µ ( A ∩ E ) + µ ∗ ( Ac ∩ E ) = µ ( E ) .

Từ ( 2.3.1) và ( 2.3.2 ) suy ra ñiều phải chứng minh.

1.10. ĐỘ ĐO LEBESGUE (Lebesgue measure)

Định nghĩa 1.9.1 [1] Tập F ∈ S ñược gọi là hạt nhân ño ñược của

Định lý 1.10.1 [1] Mỗi tập ñếm ñược trong ℜ là một tập Borel có ñộ

tập E∈H ( S ) nếu F ⊂Evà mọi tập G ∈S mà G ⊂ E \ F thì µ ( G) = 0 .

ño khong (tập A ñược gọi là có ñộ ño không nếu µ ( A ) = 0 ).

Định lý 1.9.2 [1] Mọi tập E ∈ H ( S ) có một hạt nhân ño ñược.

Định lý 1.10.2 [1] Gọi u là lớp tất cả các tập mở rộng ℜ . khi dó:

σ ( P ) = σ (u ) .

Định lý 1.9.3 [1] Nếu E ∈ H ( S ) và F là hạt nhân ño ñược của E
thì µ ( F ) = µ∗ ( E ) , nếu F1 và F2 ñều là các hạt nhân ño ñược của

Định lý 1.10.3 [1] Nếu E ⊂ ℜ thì: µ ∗ ( E ) = inf {µ (U ) : E ⊂ U ∈ u} .

E thì µ ( F1∆F2 ) = 0 .

Định lý 1.10.4 [1] Nếu T là một hàm từ ℜ ñược xác ñịnh bởi

Định lý 1.9.4 [1] Nếu

{En }

thì:

µ∗  U En  ≥ ∑ µ∗ ( En ) .



là dãy các tập rời nhau trong H ( S )
∞

 n =1



∞



n =1

T ( x ) = ax + β , trong ñó α ∈ ℜ, β ∈ ℜ và α ≠ 0 , thì:

µ ∗ ( E ) = α .µ ∗ ( E ) và µ∗ (T ( E ) ) = α .µ∗ ( E ) .

Định lý 1.9.5 [1] Nếu A ∈ H ( S ) và nếu { En } là dãy các tập rời
∞

nhau với

(The Theory of the Integral)

∞

UE
n =1

Chương 2- LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN

n

= E thì: µ∗ ( A ∩ E ) = ∑ µ∗ ( A ∩ En ) .
n =1

Định lý 1.9.6 [1] Nếu E ⊂ S thì µ ∗ ( E ) = µ∗ ( E ) = µ ( E ) .
Ngược lại nếu E ∈ H ( S ) và µ

∗

( E ) = µ∗ ( E ) < ∞

thì E ∈ S .

Định lý 1.9.7. [1] Nếu E ∈ H ( S ) .F ∈ H ( S ) và E ∩ F = φ thì:

µ ( E ∪ F ) ≤ µ∗ ( E ) + µ ∗ ( F ) ≤ µ ∗ ( E ∪ F ) .

Footer Page 8 of 126.

2.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM
Định nghĩa 2.1.1 [3] Nếu f là ño ñược không âm trên không gian
ño ( χ :F: µ ) thì tích thân của f theo ñộ ño µ ñược xác ñịnh như
sau:

∫ f ( x )µ ( dx ) = lim ∫ f ( x ) µ ( dx ) .

Suy ra:

n

n

lim ∫ f n ( x ) µ ( dx ) = lim ∫ g m ( x ) µ ( dx ) .
n

m


17

18

Định nghĩa 2.1.2 [3] Tích phân bất ñịnh của một hàm ño ñược f là

v ( E ) = lim vn ( E ) và λ ( E ) = lim λn ( E )

Header Page 9 of 126.

n

n

hàm tập xác ñịnh trên lớp các tập ño ñược E bởi v ( E) = ∫ f ( x)µ ( dx) .

Thì các hàm tập v và λ trùng nhau.

Định nghĩa 2.1.3 [3] Với f là hàm ño ñược ta ñặt f + = max ( f ;0 )

Định lý 2.1.5 [3] Nếu

và f −1 = − min ( f ;0 ) .

trung bình tới f thì

E

Giả sử min

(∫ f

+

)

µ ( dx ) : ∫ f −1µ ( dx ) < ∞ , ta xác ñịnh tích phân

của f theo ñộ ño bởi: f ( x)µ( dx) = f

∫ ( x) µ( dx) −∫ f ( x)µ( dx) .

∫

+

−

{ f n } các hàm

{ f n } là dãy cơ bản theo trung bình các hàm

ñơn giản khả tích và tích phân bất ñịnh của f n là vn , n ∈ N thì

a / Nếu f là một hàm ño ñược và c là một hằng số thì:

∫ c. f ( x )µ ( dx ) = c.∫ f ( x )µ ( dx )
b / Nếu f và g các hàm ño ñược và f ≤ g thì:

∫ f ( x )µ ( dx ) ≤ ∫ g ( x )µ ( dx ) .
Định lý 2.2.2 [3]

v ( E ) = lim vn ( E ) . Tồn tại với mỗi tập ño ñược E và hàm tập v có

a / Nếu ∫ f ( x )µ ( dx ) tồn tại thì

giá trị hữu hạn và cộng tính ñếm ñược ( σ cộng tính).

b / Nếu

n

Định lý 2.1.3 [3] Nếu

{ fn }

là dãy cơ bản theo trung bình các hàm

khả tích và tích phân bất ñịnh của f n là vn , n ∈ N thì hàm tập vn là

{ fn }

và

{gn }

là các dãy hàm cơ bản theo

trung bình các hàm ñơn giản khả tích hội tụ theo ñộ ño tới cùng một
giới hạn là hàm ño ñược f và nếu vn và λn lần lượt là các tích
phân bất ñịnh của f n và g n . Với mỗi tập ño ñược E , ta ñặt:

Footer Page 9 of 126.

∫ f ( x ) µ ( dx ) ≤ ∫ f ( x ) µ ( dx ) .

∫ f ( x )µ ( dx ) tồn tại thì ∫ f ( x ).χ ( x ) µ ( dx ) tồn tại
A

với mỗi A ∈ χ ; nếu f ( x )µ ( dx ) hữu hạn thì f ( x ).χ A ( x ) µ ( dx )

∫

∫

cũng hữu hạn.

c / Nếu f và g là các hàm ño ñược không âm hay

liên tục tuyệt ñối ñều.
Định lý 2.1.4 [3] Nếu

f theo ñộ ño.

Định lý 2.2.1 [3]

khả tích cũng là dãy hàm cơ bản theo ñộ ño.
Định lý 2.1.2 [3] Nếu

{ f n } hội tụ tới

2.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

Dãy cơ bản theo trung bình và sự hội tụ theo ñộ ño.
Định lý 2.1.1 [3] Một dãy hàm cơ bản theo trung bình

{ f n } là một dãy các hàm khả tích hội tụ theo

∫ f ( x ) µ ( dx ) < ∞ và ∫ g ( x ) µ ( dx ) < ∞ thì:
∫  f ( x ) + g ( x ) µ ( dx ) = ∫ f ( x )µ ( dx ) + ∫ g ( x )µ ( dx ) .
Định lý 2.2.3 [3] Nếu f là một hàm khả tích không âm hẩu khắp


19

Header Page 10 of 126.

20

∫ f ( x )µ ( dx ) = 0 là

nơi, thì diều kiện cần và ñủ ñể

•

f = 0 a. e

sao cho: ∀n ∈ N , f n ≤ ϕ (giả thiết bị chặn)

Định lý 2.2.4 [3] Nếu f là hàm khả tích và dương hầu khắp nơi
Thì:

trên tập ño ñược E và f ( x )µ ( dx ) = 0 , thì µ ( E ) = 0 .

∫

•

E

Định lý 2.2.5 [3] Nếu f là hàm khả tích sao cho

∫ f ( x )µ ( dx ) = 0

lý

2.2.6 [3] Nếu f là

{

một

hàm

khả

tích

thì

}

tập N ( f ) = x : f ( x) ≠ 0

Với mọi n thuộc N , f n khả tích trên I .

•

f khả tích trên I .

•

∫ f ( x )dx → ∫ f ( x ) dx .

F

với mọi tập ño ñược f , thì f = 0 hầu khắp nơi.
Định

Có ϕ : I → ℜ liên tục từng khúc, không âm khả tích trên I

I

n →∞

n

I

Mệnh ñề 2.4.1 [ 4] Cho một dãy ánh xạ ( f n : I → K )n∈N . Nếu:
•

Với mọi n thuộc N , f n liên tục và khả tích trên I .

có ñộ ño σ -hữu hạn.

•

( f n )n∈N

2.3. ĐÃY CÁC HÀM KHẢ TÍCH (Sequences of integrable function)

•

I bị chặn

Định lý 2.3.1 [ 4] Nếu

{ fn }

là dãy hàm cơ bản theo trung bình các

hàm ñơn giản khả tích hội tụ. Theo ñộ ño tới hàm khả tích f thì:

ρ ( f , f n ) = ∫ f ( x ) − f n ( x ) µ ( dx ) → 0 khi n → ∞ .
Định lý 2.3.2 [ 4] Nếu

{ f n } là dãy hàm cơ bản khả tích tồn tại hàm

khả tích f sao cho ρ ( f n , f ) → 0 .

( f n : I → ℜ )n∈N .

•

f liên tục và khả tích trên I .

•

∫ f ( x ) dx → ∫ f ( x ) dx .
I

n →∞

n

I

2.5. HỘI TỤ ĐỀU VÀ LẤY TÍCH PHÂN TRÊN MỘT ĐOẠN
Định lý2.5.1 [ 4] Giả sử ( a, b ) ∈ ℜ2 sao cho a ≤ b và
là một chuỗi ánh xạ. Nếu:

Nếu:

•

Với mọi n thuộc N , f n liên tục từng khúc trên I .

•

( f n )n∈N

•

f liên tục từng khác trên I .

hội tụ ñơn trên I ñến một ánh xạ ký hiệu là f .

Footer Page 10 of 126.

Thì:

∑( f : [a; b] → E)
n≥0

2.4. ĐỊNH LÝ VỀ HỘI TỤ BỊ CHẶN
Cho dãy ánh xạ

hội tụ ñều trên I ñến một ánh xạ ký hiệu là f .

•

Với mọi n ∈ N , f n liên tục trên [ a; b ] .

•

∑f
n≥0

Thì:

n

hội tụ ñều trên [ a; b ] .

n


21

Header Page 11 of 126.
•

+∞

∑f
n =0

•
•

b

a

n≥0

f n ( x ) dx

+∞



∫  ∑ f ( x )  dx = ∑ ∫
a

n=0

n

n=0

b

a

b

hội tụ chuẩn tắc trên [ a; b ] . Khi ñó,
+∞

∑f
n =0

a

∑
n ≥0

( ak )0≤k ≤ N

∑ ( f : [ a; b ] → E )
n≥0

f n 1 hội tụ trong ℜ ,

∑f
n =0

n

(

)

∫ g(t) dt .
b

)

n∈N

∀x ∈]0; +∞[ , ∫ ϕ ( t )e dt = ∑λk ∫
a

những ánh xạ bậc thang trên [ a; b ]

Định lý 3.1.2 [5] Với mọi ánh xạ f : [ a; b ] → E lien tục, có một dãy
n

n∈N

b−a

. Ký hiệu

bk+1

ak

k=0

eixak+1 − eixak
e dt = ∑λk
ix
k=0
N−1

ixt

N −1

ixt

Trong ñó: M = Max λk . Vì N cổ ñịnh nên có x0 ∈ ]0; +∞[
0≤ k ≤ N

cho : ∀x ∈ ] x0 ; +∞[ ,
ta có:

∫ f (t ) e
b

ixt

sao

a

những ánh xạ afin từng khúc và liên tục, hội tụ

2 NM
≤ ε . Khi ñó, với mọi x thuộc [ x0 ; +∞[
x

dt ≤

∫ ( f (t ) − ϕ (t )) e

b

a

≤ (b − a ) f − ϕ

hôi tụ ñều ñến f trên [ a; b ] .

( ϕ : [ a; b ] → E )

ε

a

Định lý 3.1.1 [5] Với mọi ánh xạ f : [ a; b ] → E liên tục từng khúc,

(

≤

eixak +1 − eixak 2 NM
≤
Từ ñó : ∀x ∈ ]0; +∞[ , ∫ ϕ ( t ) e dt = ∑ λk
a
x
x
k =0

Chương 3- CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

có một dãy en : [ a; b ] → E

ta có:

N−1

ixt

b

n =0

Nhắc lại, nhận xét với g ∈C [ a;b] , E , ta kýhiệu: g 1 = N1 ( g) =

∞

là mọt phần hoạch của [ a; b ] tương thích với ϕ và λk là

b

+∞

≤ ∑ fn 1 .
1

dt 
→ 0 . Cho ε > 0 . Theo ñịnh lý 3.1.1, có một
x →+∞

giá trị của ϕ trên ]ak ; ak +1 [ với mọi k thuộc {0,..., N − 1} .Khi ñó,

n

+∞

n

ixt

ánh xạ bậc thang ϕ : [ a; b ] → N sao cho f − ϕ

f n ( x ) dx .

Mệnh ñề 2.5.1 [ 4] Cho chuỗi ánh xạ liên tục

liên tục trên [ a; b ] và

∫ f ( t )e

) hội tụ trong E .

+∞

b

Cho f : [ a; b ] → C liên tục từng khúc.

liên tục trên [ a; b ] .

n

∑(∫

22

∞

ixt

dt +

∫ ϕ (t ) e
b

a

ixt

dt

+ ε ≤ 2ε

Vậy, ta ñã chứng minh:

∀ε > 0, ∃x0 ∈ ]0; +∞[ , ∀x ∈ ] x0 ; +∞[ ,

∫ f ( t )e

∫ f (t ) e
b

a

ixt

dt ≤ ε

ñều ñến f trên [ a; b ] .

Tức là:

3.1. ĐỊNH LÝ RIEMANN-LEBESGUE TRÊN MỘT ĐOẠN

3.2. ĐỊNH LÝ RIEMANN-LEBESGUE TRÊN MỘT KHOẢNG

b

ixt

a

Bồ ñề Lebesgue:

Footer Page 11 of 126.

dt 
→0 .
x →+∞

23

Header Page 12 of 126.

24

Cho ( a, b ) ∈ ℜ2 sao cho a ≤ b, f : [ a; b ] → C liên tục từng khúc.

∫ f ( t )e
b

Khi ñó:

a

iλ t

dt 
→0
λ →+∞

∫

a

hiệu:

∫

b

f

a

[ a; b] .

c/ Cuối cùng, cho f : [ a; b ] → C liên tục từng khúc, cho ε > 0 , có
một ánh xạ bậc thang e : [ a; b ] → C sao cho f − e
ta có: ∀λ ∈ℜ+ ,

∫

b

a

< ε . Khi ñó

∞

( f ( t ) − e ( t ) ) eiλt dt ≤ ∫ f ( t ) − e ( t ) dt ≤ ( b − a) ε
b



∫ e( t ) e
b

a

iλt

dt ≤ ε 


∫

a

∫(
b

a

) ∫

f ( t ) − e ( t ) eiλt dt +

b

a

e ( t ) eiλt dt

Nó chứng tỏ

λ
→0 .
λ

∫ f ( t )e dt 
a

i t

→+∞

3.3. TÍCH PHÂN TRÊN MỘT ĐOẠN MỘT ÁNH XẠ LIÊN
TỤC TỪNG KHÚC
Mệnh ñề 3.3.1 [ 4] Cho f : [ a, b ] → ℜ , liên tục từng khúc. Các bộ

Footer Page 12 of 126.

∫[

hay:

a ,b ]

f hay:

b

b

a

a

∫ f ( x )dx

b

a

f = Sup

ϕ∈E ( a ,b )
ϕ ≤≤ f

n −1

Số thực

∑ (a
i =0

i +1

(∫ ϕ ) =
b

a

Inf

ψ ∈E ( a ,b )
f ≤ψ

(∫ ψ )
b

a

− ai )λi không phụ thuộc phân hoạch s tương tích

với e số thực này ñược gọi là tích phân của e trên [ a, b ] và ñược ký

∫

b

a

e hay

∫ e ( x )dx .
b

a

3.4. Các tịnh chất ñại số
Mệnh ñề 3.4.1 Ánh xạ CM 
→ℜ là một dạng tuyền tính,
b
fa

≤ (1 + ( b − a ) ) ε
b

a

e , và với mọi i ∈ {0,..., ( n − 1)} , λi là giá trị của e trên ]ai , ai +1 [ .

hiệu là

Vậy với mọi λ ∈ ℜ+ sao cho λ ≥ λ0 , ta có:

f ( t ) eiλt dt ≤

a

Mệnh ñề 3.3.2 Cho e ∈ E ( a, b ) , s = ( ai )0≤i ≤ n ∈ S , tương thích với

a

Mặt khác, có ∀λ0 ∈ ℜ+ sao cho: ∀λ ∈ℜ+ , λ ≥ λ0 ⇒

b

b

∫ f ( x )dx = ∫

b/ sử dụng hệ thức Chasles , suy ra từ ñó rằng tính chất vẫn ñúng khi

f là hàm bậc thang trên

b

nhau. Ta gọi biên chung ñó là tích phân của f (trên [ a, b ] ) và ký

ei λ b − e i λ a
2
≤
→ 0 .
iλ
λ λ →+∞

eiλt dt =

{∫ ϕ;ϕ ∈ E ( a,b) ,ϕ ≤ f } và {∫ ψ ;ψ ∈E ( a,b) , f ≤ψ}

theo thứ tự biên trên và Biên dưới trong ℜ , và các biên ñó bằng

a/ Tính chất ñó là ngay tức khắc khi f = 1 , vì:
b

phận của ℜ :

∫a f ( x )dx

nghĩa là: ∀( f , g) ∈( CM )2

∀λ ∈ℜ, ∫ ( λ f ( x) dx + g ( x) dx) = λ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx .
b

b

b

a

a

a

3.5 CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG VẬT LÝ
3.5.1 Tích phân mặt

ur

Định nghĩa 3.5.1.1 [5] Giả sử D là một compăc của ℜ . F : D→ℜ3


25

Header Page 13 of 126.

26

là một lớp tham số hóa thuộc lớp C1 . f : D → ℜ là một ánh xạ

uuur

một ñiểm G thuộc ℜ3 xác ñịnh bởi: OG =

thuộc lớp C1 . Ta gọi tích phân kép:

∫∫

D

ur
ur
∂F ∂F
∧
f ( u, v )
dudv
∂u ∂v

uuuur
1
σ ( M)OMdS .
∫∫
µ( S,σ ) S

3.5.5. Moment quán tính của một bản ghềnh
là tích phân mặt.

Định nghĩa 3.5.5.1 [5] Giả sử H là một ñường thẳng hoặc một mặt
phẳng của ℜ3 , với mọi M thuộc ℜ3 ta ký hiệu d ( M , H ) là

3.5.2. Diện tích một phần của mặt

khoảng cách từ M ñến H . Moment quán tính của một bản ghềnh

Định nghĩa 3.5.2 [5] Giả sử S là một mặt có biểu diễn tham số

( S,σ ) ñối với H là số thực IH xác ñịnh bởi: IH = ∫∫sσ ( M) ( d ( M, H) )

ur
F : D → ℜ3 thuộc lớp C1 Ta gọi số thực ký hiệu là:
ur
ur
∂F ∂F
là diện tích của S .
A ( S ) = ∫∫
∧
dudv
D ∂u
∂v

2

dS ,

Trong ñó M chạy trên S và dS là yếu tố diện tích của S .
KẾT LUẬN

3.5.3. Khối lượng của một bản ghềnh
Định nghĩa 3.5.3.1 [5] Ta gọi, số thực µ xác ñịnh bởi tích phân
mặt: µ =

∫∫ σ ( M )dS , trong ñó
S

M là một ñiểm chạy của S và

dS là một yếu tố diện tích, là khối lượng của một bản ghềnh ( S , σ )
ur

của ℜ3 . Như vậy, nếu S có một biểu diễn tham số F : D → ℜ3
( u ,v ) a F ( u ,v )

(

ur

µ = ∫∫ σ F ( u, v )
D

)

ur
ur
∂F ∂F
∧
dudv .
∂u ∂v

3.5.4. Tâm quán tính của một bản ghềnh
Định nghĩa 3.5.4.1 [5] Tâm quán tính của một bản ghềnh ( S , σ ) là

Footer Page 13 of 126.

hợp một cách chặc chẽ. Luận văn ñã thực hiện ñược các nội dung
sau:
1. Trình bày các cấu trúc về tập hợp như σ - vành, σ - ñại số,
vành ñơn ñiệu…
2. Trình bày lý thuyết ñộ ño và các vấn ñề liên quan.
3. Trình bày lý thuyết tích phân và các ứng dụng của chúng.

thì khối lượng của ( S , σ ) .
Sẽ là:

Luận văn ñã trình bày lý thuyết tích phân dựa trên lý thuyết tập

Thời gian thực hiện luận văn có hạn nên nhiều vấn ñề sâu sắc
hơn chưa ñược ñề cập và chắc chắn không tránh khỏi những kiếm
khuyết, chúng tôi rất mong nhận ñược sự ñóng góp ý kiến của quý
thầy cô giao và các ñồng nghiệp.