Cơ lý thuyết 2 bài giảng dành cho sinh viên Đại học và cao đẳng

TR
NG H PH M V N
NG
KHOA K THU T CÔNG NGH
*******

ThS. NGUY N QU C B O

BÀI GI NG

C

LÝ THUY T 2
PH N

NG L C H C

Qu ng Ngưi ậ 12/2015
1


M CL C
PH Nă
L IăNịI
M
Ch

NGăL CăH C

Uă.....…………………………………………...……….........……….. 3

Uă.....…………………………………………...……….........….………….. 4
CÁC Ð NH LU T C A NEWTON VÀ PH

ng 1.

PHÂN CHUY N

NG TRÌNH VI

NG

1.1. Các khái ni m ………...…………...…………….....……..…..…………….. 5
1.2. Các đ nh lu t đ ng l c h c c a Newton ………..........…...……………….. 6
1.3. Ph

ng trình vi phân chuy n đ ng c a ch t đi m .........…….…..…...…….. 8

1.4. Hai bài toán c b n c a đ ng l c h c ……..…….....…………..…...……… 9
Ch

Ch

ng 2.ăăăăăăăăăăCÁCăợ NHăLụăT NGăQUÁTăC Aă

NGăL CăH C

2.1.

nh lý bi n thiên đ ng l

ng …………………….....…..….……………. 18

2.2.

nh lý chuy n đ ng kh i tâm …………...………….........………………. 25

2.3.

nh lý bi n thiên momen đ ng l

2.4.

nh lý bi n thiên đ ng n ng …………......……….....……....…………… 35

ng …….…..…….......….……………. 29

ngă3.ăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăNGUYểNăLụăD’ALEMBERT
3.1. L c quán tính ……...……………………….……….........……………….. 49
3.2. Nguyên lý d’Alembert …………..…………………….........………….….. 53
3.3. Bài toán áp d ng nguyên lý d’Alembert ….……......………...….....……... 55

Ch

ngă4.

NGUYÊN LÝ DIăCHUY NăKH ăD

4.1. Các khái ni m …….…..…………..................................................……….. 63
4.2. Nguyên lý di chuy n kh d ………..……………….....……...………….. 66
4.3. Bài toán áp d ng nguyên lý di chuy n kh d ………......…...………...….. 67

Ch

ngă 5. PH

NGă TRỊNHă D'ALEMBERT-LAGRANGE VĨă PH

NGă

TRỊNHăLAGRANGEăLO IăII
5.1. Ph

ng trình d'Alembert - Lagrange…….......………....…………...…….. 73

5.2. Ph

ng trình Lagrange lo i II ………….....…………......……....…………77

T NGăK TăPH Nă

NGăL CăH Că…...……...…………………….......…….. 86

TÀI LI UăTHAMăKH O …….....…………...………………………...…...…….. 89

2


L I NĨI
C
ơ

U

lý thuy t là m t mơn h c thu c kh i ki n th c k thu t c

c gi ng d y trong các ngành k thu t

các tr

s

ng ơ i h c, cao ơ ng.

C lý thuy t nghiên c u các qui lu t t ng quát v chuy n ơ ng và s cân
b ng chuy n ơ ng c a các v t th .
C lý thuy t trong ch
V n

ng trình ơào t o c a Tr

i h c Ph m

ng dành cho sinh viên b c ơ i h c ngành C khí ơào t o theo h c

ch tín ch ơ

c chia làm 2 ph n:

Ph n I. T nh h c và
Ph n II.

ng h c.

ng l c h c.

Bài gi ng C lý thuy t 2 (Ph n
5 ch

ng

ng. Trong m i ch

ng l c h c) ơ

c biên so n g m

ng ơ u có ph n Câu h i ôn t p giúp cho h c

viên c ng c các ki n th c ơã h c. Cu i tài li u có T ng k t Ph n ơ ng
l c h c giúp sinh viên h th ng l i toàn b n i dung ơã h c.

i kèm v i

Bài gi ng này, chúng tơi có biên so n tài li u Bài t p C lý thuy t 2.
Bài gi ng này ơã ơ

c hi u ch nh và b sung nhi u l n, tuy nhiên

c ng không tránh kh i nh ng sai sót, r t mong ơ
b n ơ c ơ tài li u ngày càng ơ

c s

ơóng góp c a

c hồn thi n h n. Chúng tôi xin chân

thành c m n.
Qu ng Ngãi, tháng 12/2015
Ng

i biên so n

Email:

3


PH N

NG L C H C

M
Trong các ph n tr

U

c chúng ta nghiên c u v l c (xác đ nh l c, thu

g n l c, h p l c) c ng nh v chuy n đ ng (các d ng chuy n đ ng, y u t
đ c tr ng chuy n đ ng).

Ph n

ng l c h c ( LH) là ph n th ba và là ph n t ng quát nh t

c a C lý thuy t. Nó nghiên c u các qỐi lỐ t chỐy n đ ng c a ố t th
d

i tác d ng c a l c.
Nói m t cách khác:

LH nghiên c u quan h gi a l c là nguyên

nhân gây ra chuy n đ ng và chuy n đ ng c a v t th d

i tác d ng c a

l c tác d ng lên chúng.
Trong
V t th

LH kh i l

ng c a các v t th đóng m t vai trị quan tr ng.

đây có th là ch t đi m, h ch t đi m (c h ) và v t r n tuy t đ i.

4


Ch

CÁC
PH

ng 1.

NH LU T C A NEWTON VÀ

NG TRÌNH VI PHÂN CHUY N

NG

A. M C TIÊU
-N mđ

c các đ nh lu t Newton c a đ ng l c h c và các d ng c a ph

ng

trình vi phân chuy n đ ng.
- Gi i đ

c hai bài toán c b n c a đ ng l c h c.
B. N I DUNG

1.1. CÁCăKHÁIăNI M
1.1.1.ăCh tăđi m
Ch t đi m là đi m hình h c mang kh i l
V t chuy n đ ng t nh ti n đ
ti n, nh ng kích th

ng.

c coi là ch t đi m. V t không chuy n đ ng t nh

c c a nó có th b qua trong bài tốn kh o sát c ng có th coi là

ch t đi m.
Ví d : Khi nghiên c u chuy n đ ng c a qu đ t quanh m t tr i, có th coi qu đ t
nh 1 ch t đi m; viên đ n khi xác đ nh t m b n c ng coi nh là 1 ch t đi m, …
tr ng thái t do (g i là ch t đi m t do)

Trong chuy n đ ng ch t đi m có th

ho c không t do (g i là ch t đi m không t do hay ch t đi m ch u liên k t).
1.1.2.ăC ăh
C h là t p h p h u h n ho c vô h n các ch t đi m chuy n đ ng ph thu c l n
nhau.
Ví d : Coi các hành tinh là các ch t đi m thì h m t tr i là 1 c h .
C h g m c h t do và c h không t do. C h khơng t do có th đ

c

kh o sát nh c h t do nh thay th liên k t.
V t r n là 1 tr

ng h p đ c bi t c a c h v i vô h n các ch t đi m mà kh ang

cách gi a 2 đi m b t k thu c nó không đ i.
1.1.3.ăL c
L c là s đo c a tác d ng t

ng h gi a các v t th . Trong LH, l c là đ i l

bi n đ i theo v trí r , v n t c v và th i gian t.


 

F  F (r , v , t ) .

5

ng


Khi tác d ng lên c h , l c đ

 

c phân theo 2 cách:

 

- Ngo i l c Fke và n i l c Fki .

 

 

- L c ho t đ ng Fka và ph n l c liên k t N k .

1.1.4.ăH ăquiăchi uăquánătính

H qui chi u là h to đ g n v i v t làm m c (v t chu n) đ xác đ nh chuy n
đ ng c a ch t đi m (ho c h ch t đi m).
H qui chi u quán tính là h qui chi u, trong đó đ nh lu t qn tính c a Newton
đ

c nghi m đúng.
Trong k thu t, qu đ t và các v t r n chuy n đ ng th ng đ u đ i v i qu đ t

đ

c xem là h qui chi u quán tính.
1.1.5.ăH ăđ năv
Theo h đ n v qu c t (SI), ta có các đ i l
Các đ i l

ng c b n c a c h c:

dài:

-

- Kh i l

ng:

m.
ng: kg.

- Th i gian:
Các đ i l

s.
ng d n xu t t các đ i l

ng c b n: nh l c (F = mw) thì đ n v là

kgms 2  N .

1.2.ăCÁCă
1.2.1.ă

NHăLU Tă

NGăL CăH CăC AăNEWTON

nhălu tăquánătínhă(

nhălu tă1)

Ch t đi m không ch u tác d ng c a l c nào s đ ng yên ho c chuy n đ ng th ng
đ u.
F 0



v  0 ho c v = const.

Tr ng thái đ ng yên ho c chuy n đ ng th ng đ u c a ch t đi m đ

c g i là

tr ng thái qn tính c a nó.
Nh v y n u khơng có l c tác d ng lên ch t đi m thì nó có tr ng thái qn tính.
Do đó l c là ngun nhân làm bi n đ i tr ng thái chuy n đ ng.
H qui chi u tho mãn
1.2.2.ă

nhălu tăc ăb nă(

nh lu t: D
v ih

nh lu t 1 g i là h qui chi u quán tính.
nhălu t 2)

i tác d ng c a l c, ch t đi m chuy n đ ng v i gia t c cùng h

ng c a l c và có giá tr t l v i tr s c a l c.
6

ng


Bi u th c: Ta có bi u th c:
m.w  F

(1.1)

Trong đó:
+ m: h s t l có giá tr khơng đ i, là s đo qn tính c a ch t đi m đ
là kh i l

cg i

ng c a ch t đi m.
+ w : gia t c c a ch t đi m.

Bi u th c (1.1) đ

ng trình c b n c a đ ng l c h c.

c g i là ph

* Chú ý:










1. N u F  0 thì w  0 (bao g m c tr



ng h p v  0 ), t c là ch t đi m

tr ng

thái quán tính. Do đó, l c là nguyên nhân gây chuy n đ ng có gia t c.
2. N u F  Cte , ch t đi m có kh i l

ng m l n thì gia t c w bé (v thay đ i ít) 

m c n tr s thay đ i v n t c.
3. Khi v < < c, ta xem kh i l

ng m là h ng s .

4. Khi ch t đi m r i t do trong tr ng tr

ng, ta có tr ng l

ng là:
(1.2)

P = mg
Trong đó: g g i là gia t c tr ng tr
đ và đ cao, th

ng (gia t c c a r i t do), g thay đ i theo v

ng l y g = 9,81 m/ s 2

Bi u th c (1.2) cho ta quan h gi a kh i l

Do v y, v t có kh i l
1.2.3.

ng m= 1kg thì có tr ng l

ng đ và ng

ng ch t đi m.

ng là 9,81 N.

nhălu tăl cătácăd ngăvƠăl căph nătácăd ngă(

Hai l c tác d ng t
cùng c

ng và tr ng l

nhălu tă3)

ng h gi a 2 ch t đi m s có cùng đ

ng tác d ng (giá),

c chi u nhau.

nh lu t này là c s đ nghiên c u bài toán c h trong đ ng l c h c.
* Chú ý: L c tác d ng và l c ph n tác d ng không ph i là c p l c cân b ng vì chúng
đ t lên 2 ch t đi m khác nhau.
1.2.4.

nhălu tăđ căl pătácăd ngă(

nhălu t 4)

M t ch t đi m ch u tác d ng đ ng th i nhi u l c s có gia t c b ng t ng hình
h c các gia t c do t ng l c riêng r sinh ra.
w   wk

7


Tr





ng h p ch t đi m ch u tác d ng đ ng th i c a h l c F1 , F2 ,..., Fn , thì bi u

th c (1.1) tr thành:
m.w   Fk

1.3.ăPH
Ph

NGăTRỊNHăVIăPHỂNăCHUY Nă

NG C AăCH Tă I M

ng trình vi phân chuy n đ ng c a ch t đi m ch u tác d ng c a h l c là

d ng c a bi u th c (1.3) và các ph
th

(1.3)

ng trình hình chi u c a nó lên các tr c to đ . Ta

ng dùng 3 d ng sau:

1.3.1.ăD ngăvector
Xét ch t đi m kh i l





ng m ch u tác d ng c a h l c F1 , F2 ,..., Fn . G i r là bán

kính vector (vector đ nh v ) c a ch t đi m. T (1.3), ta có: m.w   Fk .
Mà:

w

Ta đ

c:

d2r

r
dt 2

m.r   Fk

Bi u th c (1.4) là ph

(1.4)

ng trình vi phân chuy n đ ng ch t đi m d ng vector.

1.3.2.ăD ngăt aăđ ăDescartes
Ch n h tr c to đ Descartes g n vào h qui chi u quán tính. Khi chi u (1.4) lên
các tr c to đ , ta đ

c:
m.x   X k

m. y   Yk

m.z   Z k

(1.5)

Trong đó: r x, y, z. ; F  X , Y , Z .
Các ph

ng trình (1.5) là ph

ng trình vi phân chuy n đ ng ch t đi m d ng to

đ Descartes.
* Chú ý: Khi ch t đi m chuy n đ ng trong m t ph ng ho c trên đ
ph

ng trình gi m xu ng cịn t

ng th ng thì s

ng ng 2 ho c 1.

1.3.3.ăD ngăto ăđ ăt ănhiên
Ch n h to đ t nhiên Mtnb (H. 1.1). Chi u bi u th c (1.4) lên 3 tr c: ti p
tuy n, pháp tuy n chính và trùng pháp tuy n, ta có:
8


m.wt   Ftk

m.wn   Fnk

m.wb   Fbk

Theo ph n đ ng h c, ta có: w t  v  s; w n 

v2





s2



; w b  0.

Do đó:
 m.s   Ftk

2
 s
m.   Fnk
 

0   Fbk


(1.6)

Trong đó: F Ftk , Fnk , Fbk  0
Các ph

ng trình (1.6) là ph

ng trình vi phân chuy n đ ng ch t đi m d ng to

đ t nhiên.

Mo (+)

n
M
t
b
Hình 1.1

* Chú ý: Ph

ng trình này th

ng đ

c áp d ng khi ta bi t qu đ o chuy n đ ng c a

ch t đi m.
1.4.ăHAIăBĨIăTỐNăC ăB NăC Aă

NGăL CăH C

Ta có s đ bi u di n m i quan h c a 2 bài toán c b n nh sau:

BƠi toán thu n
CHUY N
NG

m.w = ∑Fek
Bài toán ng
9

L C
c


1.4.1.ăBƠiătoánăthu n
a) Bài toán
Bi t: Chuy n đ ng c a ch t đi m (ph

ng trình chuy n đ ng, ho c v n t c, ho c

gia t c)  Xác đ nh: L c tác d ng lên ch t đi m.
b) Ph

ng pháp gi i

Ta xác đ nh gia t c c a ch t đi m r i thay vào ph
thích h p, ta s tìm đ

ng trình vi phân chuy n đ ng

c l c tác d ng.

c) Trình t gi i
1. Xác đ nh v t th kh o sát d
2.

i d ng 1 ch t đi m.

t các l c tác d ng lên ch t đi m: các l c ho t đ ng và các ph n l c liên k t.

3. Ch n h tr c to đ thích h p và vi t ph

ng trình vi phân chuy n đ ng.

4. Tìm gia t c: b ng cách tính đ o hàm ho c hình chi u c a vect gia t c lên tr c
to đ .
5. Tìm l c: b ng cách thay gia t c vào các ph
1.4.2.ăBƠiătốnăng

ng trình đã có.

c

a) Bài tốn
Bi t: các l c tác d ng lên ch t đi m và các đi u ki n ban đ u c a chuy n đ ng.
 Xác đ nh: Chuy n đ ng c a ch t đi m (ph

ng trình chuy n đ ng, ho c v n t c,

ho c gia t c, ho c th i gian chuy n đ ng).
b) Ph

ng pháp gi i

Khi bi t các l c, ta l p các ph
là các ph

ng trình vi phân chuy n đ ng c a ch t đi m, đây

ng trình vi phân c p 2 và gi i ph

ng trình vi phân ta xác đ nh đ

c các

yêu c u.
c) Trình t gi i
1. Kh o sát ch t đi m
2.

v trí b t k .

t các l c tác d ng lên nó.

3. Ch n h tr c to đ thích h p, vi t ph

ng trình vi phân chuy n đ ng và các

đi u ki n đ u có d ng:



m.r   Fk t , r , v

10



(a)

m.x   X k  t , x, x 


m. y   Yk  t , y, y 


m.z   Z k  t , z, z 



4. Gi i h ph

(b)

ng trình vi phân:

- Tích phân đ tìm nghi m t ng quát: ta đ

c hàm theo th i gian có ch a các

h ng s tích phân.



r  r t , C1 , C2





(c)

 x  x  t, C1x , C2x 


 y  y  t, C1 y , C2 y 


z  z  t, C1z , C2 z 

(d)

- Tìm nghi m riêng c a bài toán: d a vào đi u ki n đ u xác đ nh các h ng s
tích phân.
T i th i đi m ban đ u ta bi t đ

c v trí và v n t c c a ch t đi m là:

r  t  t0   r0 ; v  t  t0   v0

(e)

o hàm (a) ta có:



v  r  r t , C1 , C2



(f)

Thay gía tr c a (e) vào (c) và (f), ta có:




r0  r t0 , C1 , C2


v0  v t0 , C1 , C2

T (g) ta xác đ nh đ




(g)

c các h ng s tích phân:







C1  C1 t0 , r0 , v0



C2  C2 t0 , r0 , v0

Thay (h) vào (c), ta đ

c ph

ng trình chuy n đ ng c a ch t đi m:





r  r t , t0 , r0 , v0  r  t 



(h)

 x  x  t , to , xo , xo   x  t 

 y  y  t , to , yo , yo   y  t 

 z  z  t , t o , zo , zo   z  t 

Ví d 1.1: M t thang máy tr ng l

ng P đi lên v i gia t c w.
11

(i)

(j)


Xác đ nh s c c ng T c a dây cáp (H. 1.2).
Gi i: (Bài toán thu n)
Thang máy chuy n đ ng t nh ti n nên có th coi nh 1 ch t đi m chuy n đ ng
th ng đ ng d
Ph

i tác d ng c a tr ng l c P và s c c ng T .

ng trình vi phân chuy n đ ng c a ch t đi m theo tr c z:


m.w = - P + T


T = m.w + P =

P
w
.w  P  P(1  ) .
g
g

w

K t qu : T = P 1  .

g

T

z

w

P
Hình 1.2
* Nh n xét:
- Khi thang máy đ ng yên, ho c chuy n đ ng th ng đ u (w = 0) thì: T = P.
w
g

- Khi thang máy đi xu ng thì: T  P(1  ) < P.
-

c bi t, khi thang đi xu ng v i v i w = g thì T = 0.

Ví d 1.2: M t v t n ng có tr ng lu ng P treo vào đ u s i dây dài L và bu c vào
đi m O. V t n ng quay quanh tr c th ng đ ng và v ch nên 1 vòng tròn trong m t
ph ng n m ngang, dây treo t o v i đ

ng th ng đ ng 1 góc  (H. 1.3).

Xác đ nh v n t c v c a v t n ng và s c c ng c a dây.
Gi i:(Bài toán thu n)
V t kh o sát: v t n ng coi nh ch t đi m.
H l c tác d ng: P và s c c ng dây T .

Ch n h tr c to đ t nhiên M tnb nh hình v (H. 1.3)
Ta có ph

ng trình:

12


P
.w  P  T
g

Chi u ph

ng trình trên lên h tr c to đ t nhiên, ta đ
P
 g .w  0

P
 .wn  T .sin 
g
0  T cos   P



c:

P
 g .v  0


 P v2
 .  T .sin 
g R
0  T cos   P





V i: R = L.sin  .
V y: T 

P
Lg
; v  sin  .
 const
cos 
cos 

O

l

L
R

b
n
M

t

v

P
Hình 1.3
Ví d 1.3: M t qu c u kh i l

ng m r i th ng đ ng t đi m O, không v n t c

đ u, du i tác d ng c a tr ng l c và s c c n khơng khí Fc  km (k là h ng s ) (H. 1.4).
Tìm qui lu t chuy n đ ng c a qu c u.
Gi i:(Bài toán ng

c)

Xem qu c u nh

1 ch t đi m chuy n đ ng theo ph

ng th ng đ ng h

xu ng.
L p ph

ng trình vi phân chuy n đ ng c a qu c u theo tr c z là:
m.z  P  Fc  mg  km  mg  k 



z  g  k

13

ng


Do đó: z 

dz
 g  k  dz  g  k dt
dt

O
z
z m

Fc
P

Hình 1.4
Gi i ph

ng trình ta đ

c:
z  g  k t  C1



(a)

dz
  g  k  t  C1  dz   g  k  t  C1  dt
dt

z

V y:

1
 g  k  t 2  C1 t  C2
2

(b)

Thay đi u ki n ban đ u: t = 0, z = 0, z = 0 vào (a) và (b), ta đ
K t qu : z 
* Chú ý: Trong tr

1
 g  k  t2 .
2

ng h p có l c c n là 1 hàm theo z: Fc   z , thì ph

phân chuy n đ ng c a qu c u là: m.z  m.g   .z
Ví d 1.4: M t viên đ n có kh i l
nghiêng 1 góc  so v i ph
Vi t ph

c: C1  C2  0 .

ng trình vi

 m.z   .z  m.g .

ng m đ

c b n ra v i v n t c ban đ u v0

ng ngang (H. 1.5).

ng trình chuy n đ ng c a viên đ n. B qua s c c n c a khơng khí.

Gi i:
- Coi viên đ n nh 1 ch t đi m, có kh i l

ng m.

- L c tác d ng: tr ng l c P .
- Ch n h tr c Oxy, ph

ng trình chuy n đ ng:
m.r   F  P

Chi u bi u th c lên 2 tr c t a đ :
14

m.x  0

m.y   P   mg

x  0

 y   g



(a)

y

M
vo

r

P

O

x
Hình 1.5

i u ki n ban đ u:
 x(0)  0

 y 0  0

 x (0)  vo . cos 
 y 0  vo .sin 

(b)

và: 

(c)

Tích phân (a):
 x  C1

 y   gt  C2

Theo đi u ki n (c), ta đ
C1  vo . cos 

C2  vo .sin 

c:
 x  vo . cos 

 y   gt  vo .sin 



Tích phân (d):
 x  vo .t. cos   C3



gt 2
 vo .t.sin   C4
y  
2


Theo đi u ki n (b), ta đ

 x  vo .t. cos 


gt 2
y


 vo .t.sin 

2



Kh t ta đ

c: C3  C4  0 .

c:

15

(d)



 2
g
 x  tan  x : ph
y    2
2
 2vo . cos  

Ví d 1.5: M t v t kh i l

ng trình đ

ng m đ

cđ

ng parabol.

c m c vào đ u 1 lò xo có đ c ng C,

đ u kia c a lị xo bu c vào đi m c đ nh. B qua ma sát gi a v t và m t ph ng ngang.
Hãy xác đ nh qui lu t chuy n đ ng c a v t khi lò xo đ

c kéo dãn ra 1 đo n 

và buông ra không v n t c đ u (H. 1.6).
Gi i: (Bài toán ng

c)

Kh o sát v t n ng

th i đi m b t k .

L c tác d ng:
+ Tr ng l

ng: P = m.g.

+ Ph n l c: N.
+ L c đàn h i c a lò xo t l v i đ dãn dài x:

F = C.x.

N
F

P

x

x



Hình 1.6
Ch n tr c x nh hình v , tâm O t i v trí cân b ng t nh c a lị xo (ch a dãn).

Ph

ng trình vi phân chuy n đ ng c a v t theo tr c x:
m.x   Fx  C.x



x

C
x0
m

trong đó:  
Nghi m c a ph

x  2x  0



C
là t n s dao đ ng riêng.
m

ng trình đ

c vi t:

x  C1 . cos t  C2. sin .t

(a)

x   C1.sin .t  C2 ..cos .t

(b)

16


C1 ,C 2 đ

xác đ nh đ

c xác đ nh t đi u ki n ban đ u: t = 0, x 0   , x0  0 . T (a) và (b) ta

c: C1   , C2  0

K t qu : x   cos .t .

C. CÂU H I ÔN T P
1. Phát bi u các đ nh lu t c b n c a LH ?
2. Vi t ph

ng trình vi phân chuy n đ ng c a ch t đi m d

d ng to đ t nhiên.
3. Cách gi i hai bài toán c b n cu

LH ch t đi m.

17

i d ng to đ Descartes,


Ch
CÁC

ng 2.

NH LÝ T NG QUÁT C A

NG L C H C

A. M C TIÊU
- Nghiên c u các đ nh lý t ng quát c a đ ng l c h c.
- Cho phép thi t l p m i quan h gi a các đ c tr ng c b n c a chuy n đ ng v i
l c tác d ng.
- Nghiên c u nh ng tính ch t quan tr ng c a chuy n đ ng mà không c n bi t chi
ti t c a các chuy n đ ng đó.
B. N I DUNG
Ph

ng pháp tìm quy lu t chuy n đ ng c a ch t đi m (ho c c h ) b ng cách l p

ph

ng trình vi phân chuy n đ ng r i tích phân các ph

nh

c đi m nh : Khơng ph i m i ph

ng trình vi phân đ u tích phân đ

v i c h có nhi u ch t đi m thì kh i l
Do v y, đ có th l p ph

ng trình vi phân đó có nhi u

ng tính tốn khá l n.

ng trình chuy n đ ng mà khơng nh t thi t ph i bi t

chuy n đ ng c a t ng ch t đi m c th ta dùng các đ nh lý t ng quát c a
đ nh lý t ng quát c a LH là h qu c a ph

LH. Các

ng trình c b n LH, cho bi t m i quan

h gi a các đ c tr ng đ ng l c c b n (đ ng l
và các đ i l

c, h n n a

ng, momen đ ng l

ng c b n do tác d ng c a l c (xung l

ng, đ ng n ng)

ng c a l c, momen c a l c và

công c a l c).
2.1.ă

NHăLụăBI NăTHIểNă

2.1.1.ăKh iăl

NGăL

NG

ngăvƠăkh iătơmăc aăc ăh

2.1.1.1. Kh i l

ng c a c h

Xét 1 c h g m n ch t đi m (k = 1, 2,…, n) có kh i l
nh ngh a: Kh i l

ng c a c h b ng t ng các kh i l

ng mk .
ng các ch t đi m thu c

h :

n

M   mk
k 1

Trong đó:
- M là kh i l
- m k là kh i l

ng c a toàn c h .
ng c a ch t đi m th k.

2.1.1.2. Kh i tâm c a c h
18

(2.1)


Xét 1 c h g m n ch t đi m (k = 1, 2,…, n), ch t đi m th k có kh i l
và v trí c a chúng đ

ng m k ,

c xác đ nh b i các vect đ nh v rk (H. 2.1).

i m hình h c C đ

c g i là kh i tâm c a c h n u v trí c a nó đ

c xác đ nh

b i cơng th c:
rC 

 m .r   m
M
m
k

r

k. k

k

(2.2)

k

M.rC   mk .rk



(2.3)

Trong đó: r C là vect đ nh v c a kh i tâm C.

z
C
K

rC
O

rk
y

x

Hình 2.1

* Chú ý:
1. Chi u bi u th c (2.2) lên các tr c to đ Descartes, ta có:

 mk .xk
x C 
M


 mk . yk
yC 
M


 mk .zk
z C 
M


2.

i v i v t r n đ t trong tr

(2.4)

ng tr ng l c, kh i tâm trùng v i tr ng tâm, ta

có:

 Pk .xk
x C 
P


 Pk . yk
yC 
P


 Pk .zk
z C 
P


Trong đó:
19

(2.5)

- P   Pk là tr ng l
- Pk  mk .g là tr ng l
2.1.2.ă
a)

ng c a v t r n
ng c a ch t đi m th k.

ngăl

ng

ng l

ng ch t đi m ( q )

ng l

ng ch t đi m là 1 đ i l

ng vector và b ng tích s gi a kh i l

ng ch t

đi m và v n t c c a nó.
q  m.v

ng l

b)

ng l

(2.6)

ng c a c h ( Q )

ng c a c h b ng t ng đ ng l

ng c a các ch t đi m thu c c h .

Q   qk   mk .vk

n v c a đ ng l

(2.7)

ng: kgm/s = N.s.

* Chú ý:
1. Ta có th tính đ ng l
(2.3) theo th i gian, ta đ

ng c a h qua v n t c kh i tâm.

o hàm bi u th c

c:
M.v C   m k .v k  Q


V y:

(2.8)

Q = M.vC

ng l

ng c a c h b ng tích kh i l

ng c a c h v i v n t c kh i tâm

c a nó.
2. N u h chuy n đ ng nh ng kh i tâm c a h đ ng yên ( vC  0) thì Q  0 .
3. Hình chi u c a Q lên các tr c to đ , ta có:
Qx  M .xC   mk .xk

Qy  M . yC   mk . y k

Qz  M .zC   mk .zk

4. N u h chuy n đ ng ph c h p thì đ ng l

ng Q ch đ c tr ng cho ph n

chuy n đ ng t nh ti n c a h cùng v i kh i tâm ch không đ c tr ng cho chuy n đ ng
quay quanh kh i tâm.
2.1.3.ăXungăl
Xung l

ngăc aăl c

ng c a l c là đ i l

ng dùng đ đánh giá tác d ng c a l c theo th i

gian.
20


a) Xung l
Xung l

ng nguyên t c a l c ( d S )
ng nguyên t c a l c là 1 đ i l

ng vect và b ng tích s gi a l c và

th i gian vô cùng bé dt.
d S  F .dt

b) Xung l
Xung l

(2.9)

ng h u h n c a l c ( S )
ng h u h n c a l c trong kho ng th i gian t

t 0  t1 đ

c xác đ nh

theo bi u th c:
t1

t1

S   d S   F .dt
t0

n v c a xung l

(2.10)

t0

ng trong h SI là N.s (Niut n.giây).

* Chú ý:
1. N u chi u bi u th c (2.10) lên h tr c to đ Descartes, ta có:
t1


S
 x  X.dt

to


t1


S
 y  Y.dt
to


t1
S  Z.dt
 z t
o


(2.11)

2. N u F  const  S  F (t1  t 0 )  F .t .
2.1.4.ăCácăđ nhălỦ
2.1.4.1.

nh lý 1

o hàm vect đ ng l

ng c a c h theo th i gian c a b ng t ng hình h c t t c

ngo i l c tác d ng lên h .
dQ
  Fke
dt

CM: Theo đ nh lu t Newton 4: mk .wk  Fke  Fki
iv ic h :


m

k

e
i
dv k
 Fk  Fk
dt

e
d
( mk v k )   F k (Vì: Fki  0 )
dt

21

(2.12)
 mk .

d vk
 Fke  Fki
dt

e
dQ
 Fk
dt



2.1.4.2.

nh lý 2

Bi n thiên đ ng l
l

ng c a c h trong kho ng th i gian nào đó b ng t ng xung

ng c a t t c ngo i l c tác d ng lên c h trong kho ng th i gian đó.
Q1  Q0   Ske

(2.13)

CM: T bi u th c (2.12), ta có: dQ   F k .dt .
e

Tích phân 2 v : t0  t1; Q0  Q1
Q1

 dQ  Q1  Qo 

Q0

t1

t1

e
e
  Fk .dt    Fk .dt

to



S

e
k

to

* Chú ý:
1. N i l c không nh h

ng đ n s bi n đ i c a đ ng l

ng c h .

2. Chi u bi u th c (2.12) lên h tr c to đ vuông góc, ta có:
 dQ x
e

 dt   X k

 dQ y
  Yke

 dt
 dQ z
e
 dt   Z k


(2.14)

3. Chi u bi u th c (2.13) lên h tr c to đ vng góc, ta có:
Q1x  Q0x   Sexk

e
Q1y  Q0y   Syk

e
Q1z  Q0z   Szk

2.1.5.

nhălu tăb oătoƠnăđ ngăl

(2.15)

ng

- N u t ng các ngo i l c tác d ng b ng 0, thì đ ng l

F

e
k

0



ng c h đ

c b o tồn.

Q  const

- N u t ng hình chi u các ngo i l c trên 1 tr c nào đó b ng 0, thì hình chi u đ ng
l

ng c h trên tr c đó đ
Tr

c b o tồn.

ng h p tr c x thì:

X

e

k

0



CM: Theo (2.12), ta có:
22

Qx  const


F

 0  Q  const : đ ng l

e
k

T

ng c h đ

c b o toàn.

ng t , theo (2.14), đ i v i tr c x ta có:

X

e

k

 0  Qx  const : đ ng l

ng c h theo ph

ng x đ

c b o tồn.

2.1.6. BƠiătốnăápăd ng
a) Ph m vi áp d ng
Trong công th c c a các đ nh lý bi n thiên đ ng l
do dó nó th

ng đ

ng có 3 đ i l

ng: v, w và t,

c áp d ng trong các bài toán va ch m và chuy n đ ng c a ch t

l ng.
b) Trình t gi i:
1. Xác đ nh c h kh o sát.
2.

t các ngo i l c tác d ng lên h : g m l c ho t đ ng và ph n l c lên k t.

3. Ch n h tr c to đ và áp d ng đ nh lý đ vi t ph
4. Gi i ph
l

ng trình.

ng trình, d a vào các bi u th c đ nh ngh a đ ng l

ng đ tìm các đ i l

ng u c u

Ví d 2.1: Nòng súng đ i bác đ t n m ngang có tr ng l
đ n có tr ng l

ng và xung

ng Q = 115 kN. Viên

ng P = 550 N. Khi b n viên đ n ra kh i nòng súng v i v n t c v 0 =

900 m/s.
Xác đ nh v n t c gi t lùi c a nòng súng

th i đi m viên đ n bay ra (H. 2.2).

Gi i:
Xét c h g m: súng và viên đ n.
H ngo i l c tác d ng lên h : tr ng l
nòng súng N đ u có ph

ng P, Q và ph n l c liên k t c a b lên

ng th ng đ ng.

N
vo

v
x
P

Q

Hình 2.2

Ch n tr c x nh hình v . Áp d ng đ nh lu t b o tồn đ ng l
ta có:
23

ng theo ph

ng x,


F

0



ng c a h theo ph

ng x

e
xk

Q1x  Q0x

Trong đó:
Q1x là đ ng l
Qx0 là đ ng l

ng c a h theo ph

th i đi m viên đ n bay ra.

ng x tr

c khi b n. Ban đ u c h đ ng

yên nên Qx0 = 0.
G i v là v n t c gi t lùi c a viên đ n, ta có:
Q1x 


Q
P
v  v0  0

g
g
P
550
v   v0  
.900   4,3 (m / s)
Q
115000

Tr l i: v0 = - 4,3(m/s) (Giá tr âm vì nịng súng b gi t lùi).
* Nh n xét: Ví d 2.1 cho ta gi i thích chuy n đ ng do ph n l c
tên l a, … khi lu ng n
l a, … ti n lên phía tr

c ho c lu ng khí ph t ra phía sau thì tàu th y, máy bay, tên
c.

Ví d 2.2: M t dịng n
vng góc v i t

tàu th y, máy bay,

c ch y t

ng có ti t di n F d i vào t

ng v i v n t c v

ng th ng đ ng.

Xác đ nh l c tác d ng c a n

c lên t

ng.

Gi i:

1

2'
2

1'

2'
2

v
x
1

1'

3
3'

3
3'

Hình 2.3
Kh o sát kh i n

c gi i h n b i các m t c t 1, 2, 3. Sau th i gian dt nó di chuy n

đ n v trí 1’, 2’, 3’.
Áp d ng đ nh lý b o toàn đ ng l

ng c a kh i n

th i gian dt:
24

c theo ph

ng x trong kho ng


Qx  Qox   Skxe

V i: Q  Qx  Qox   m.v

S
Mà:

e
kx

  R.dt

m   .V   .F.s   .F.v.dt

Do đó:   .F .v 2 .dt   R.dt
 R   .F .v 2
2.2.ă

NHăLụăCHUY Nă

NGăKH IăTỂM

nhălỦ

2.2.1.ă

Kh i tâm c a c h chuy n đ ng nh 1 ch t đi m có kh i l

ng b ng kh i l

ng

tồn c h khi ch u tác d ng c a h ngo i l c.
e

M.w C   F k

(2.16)

Trong đó:
- M là kh i l

ng c a c h .

- wC là gia t c c a kh i tâm.
-

F

e
k

là t ng ngo i l c tác d ng.

CM: T đ nh lý bi n thiên đ ng l



d
M .vC
dt



M .wC 

ng:

dQ
  Fke , v i: Q = M.vC , ta có:
dt

  M . dvdt

C





Fke

F

e
k

* Nh n xét:
1.
l

nh lý chuy n đ ng kh i tâm là 1 d ng khác c a đ nh lý bi n thiên đ ng

ng dùng đ gi i các bài toán h v t r n.
2. N i l c không nh h

ng đ n chuy n đ ng c a kh i tâm, mà ch làm thay đ i

t ng b ph n thu c hê.
3. Chi u bi u th c (2.16) lên h tr c to đ vuông góc, ta có:
M.x C   X ke


e
M.yC   Yk

e
M.z C   Z k

25

(2.17)