Sức bền Vật liệu tập 1 Giáo trình, bài giảng dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng

TR

NG
I H C PH M V N
NG
KHOA K THU T CÔNG NGH
*******

ThS. NGUY N QU C B O

S C B N V T LI U
T P1

STRENGTH OF MATERIALS
PART 1

Qu ng Ngãi, 12/2016



S c b n v t li u 1

M CăL C
M căl c …………………..…………………………….….......…….....………. 2
L iănóiăđ u ………………………………………………...……….…………... 4
Cácăkíăhi uăthôngăd ngă………………………………...…..……….…………. 5
Ch

CÁCăKHÁIăNI MăC ăB Năă

ng 1.

it

1.1.

ng và nhi m v nghiên c u ......................…………….....……. 7

1.2. Các gi thi t c b n v v t li u …………………...………………..…. 8
1.3. Ngo i l c …………………………...…………………..………..……. 9
1.4. N i l c ………………....…………………..………………………… 12
1.5.

ng su t ………………………………………………………...…… 30

1.6. Bi n d ng và chuy n v ………....………………………..………..… 32
Câu h i ôn t p ............................................................................................. 33
Ch

ngă2.ăăă

THANHăCH U KÉO - NÉNă ỎNGăTỂMă

2.1. Khái ni m .............................…………………………...……………. 34
2.2.

ng su t trên m t c t ngang ………......…………………………….. 34

2.3. Bi n d ng c a thanh ch u kéo - nén …………………………………. 38
2.4. Các đ c tr ng c h c c a v t li u ………...…………………………. 42
2.5. Th n ng bi n d ng đàn h i khi kéo - nén ....….……………………. 45
2.6. Tính toán đi u ki n b n .......................................……..…………..…. 46

2.7. Bài toán kéo - nén siêu t nh …....…………...…..….………………… 52
Câu h i ôn t p ............................................................................................. 55
Ch

ngă3.ă

TR NGăTHÁIă NG SU TăVĨăCÁCăTHUY TăB N

3.1. Khái ni m v tr ng thái ng su t .....……….………………………... 56
3.2. Tr ng thái ng su t ph ng ….………………………………………... 58
3.3. Quan h gi a ng su t và bi n d ng (Các đ nh lu t Hooke) …...…… 61
3.4. Các thuy t b n …..………....………..………..……....……………... 64
Câu h i ôn t p ............................................................................................. 68
Ch

ngă4.ăă

C TR NGăHỊNHăH CăC AăM TăC TăNGANGă

4.1. Khái ni m ……..……...…………………….………………………... 69
4.2. Di n tích - Momen t nh - Tr ng tâm.…….....………………………... 69
4.3. Momen quán tính …...……………….......……………....…………... 74
2


S c b n v t li u 1

4.4. Momen chính trung tâm c a m t s m t c t đ n gi n …..................... 76
4.5. Công th c chuy n tr c song song c a momen quán tính ……....….... 78
4.6. Công th c xoay tr c c a momen quán tính ........………...……..…….80

Câu h i ôn t p ............................................................................................. 83
Ch

ngă5.

THANHăCH UăU NăPH NGă

5.1. Khái ni m ………………………...……………..…………………… 84
5.2. D m ch u u n thu n tuý ph ng …...………………….……………… 85
5.3. D m ch u u n ngang ph ng …………...……………..……………… 97
5.4. D m ch ng u n đ u ……………………………..…….........……… 110
5.5. Chuy n v c a d m ch u u n …………………………..……..….… 111
Câu h i ôn t p ........................................................................................... 116
Ch

ngă6.

THANH TH NG CH U XO N THU N TUÝ

6.1. Khái ni m ……..…………………..................................………..…. 117
6.2.

ng su t trên m t c t ngang c a thanh tròn ………………….……. 121

6.3. Bi n d ng c a thanh tròn ch u xo n …………………………..……. 126
6.4. Tính thanh tròn ch u xo n ......................................….….…........….. 128
6.5. Bài toán xo n siêu t nh ........……………….…..…………………… 131
6.6. Thanh th ng m t c t ch nh t ch u xo n ..............………..................132
6.7. Tính lò xo xo n hình tr b

c ng n ..............…………………..……134

Câu h i ôn t p ........................................................................................... 137
Ph ăl c
PL 01. Các đ n v đo l

ng thông d ng ……...……..………………….. 138

PL 02. B ng tra h s mođun đàn h i d c……………………...…...……139
PL 03. B ng tra h s bi n d ng d c……………………...….…...………139
PL 04. B ng tra ng su t cho phép ..………………….……….….…...…140
PL 05. Thu t ng K thu t Anh - Vi t ………………………….….….…141
TƠiăli uăthamăkh oă………………...………………………………….....….. 143

3


S c b n v t li u 1

L IăNịIă

U

S c b n v t li u là m t môn khoa h c th c nghi m
thu c kh i ki n th c k thu t c s đ
các ngành k thu t

các tr

c gi ng d y trong

ng đ i h c, cao đ ng. M c

đích c a môn h c là cung c p nh ng ki n th c c n thi t v
c h c v t r n bi n d ng nh m gi i quy t các v n đ liên
quan t thi t k đ n ch t o, và h tr cho vi c nghiên c u
các môn h c chuyên ngành khác trong l nh v c c khí và
xây d ng.
Bài gi ng S c b n v t li u 1 đ

c biên so n theo

ch

ng trình gi ng d y đ

c đi u ch nh n m 2016 c a

Tr

ng

ng dành cho sinh viên b c đ i

i h c Ph m V n

h c ngành C
ch

khí. Bài gi ng g m 6 ch

ng. Trong m i

ng đ u có ph n Câu h i ôn t p giúp cho h c viên c ng

c các ki n th c đã h c.

i kứm v i Bài gi ng này, chúng

tôi có biên so n tài li u Tr c nghi m và Bài t p S c b n
v t li u 1.
Bài gi ng này đã đ

c hi u ch nh và b sung nhi u

l n, tuy nhiên c ng không tránh kh i nh ng sai sót, r t
mong đ
đ

c s đóng góp c a b n đ c đ tài li u ngày càng

c hoàn thi n h n. Chúng tôi xin chân thành c m n.
Qu ng Ngãi, tháng 12 - 2016
Ng

i biên so n

Nguy năQu căB o
Email:

4


S c b n v t li u 1

CÁCăKệăHI UăTHỌNGăD NG

Kíăhi u
z
H to đ

c tr ng
v t li u

H tr c chính trung tâm

 ,

To đ c c

E

G

Môđun đàn h i tr

J xy

t (môđun đàn h i c t)

Momen t nh đ i v i tr c x, y.
Momen quán tính c a hình ph ng đ i v i
tr c x, y.
Momen quán tính c c
Momen quán tính ly tâm (c a hình ph ng
đ i v i h tr c xy).

kN/cm 2

m3
m4
m4
m4

Wx , Wy

Momen ch ng u n đ i v i tr c x, y.

m3

Wo

Momen ch ng xo n c a m t c t tròn

m3

ix , i y

Ngo i l c

kN/cm 2

Young)
H s Poisson

Jo

hình h c

Môđun đàn h i d c (môđun đàn h i



Jx , Jy

năv

Tr c thanh

X,Y

Sx , Sy

c tr ng

Tênăg i

Bán kính quán tính c a ti t di n đ i v i
tr c x, y

m

P

L c t p trung

M

Momen t p trung

N.m

q

C

ng đ c a l c phân b trên 1 đo n

N/cm

p

C

ng đ c a l c phân b trên 1 di n tích

N/cm 2

m

C

ng đ c a momen phân b trên 1 đo n

N/m

5

N


S c b n v t li u 1



ng su t pháp

N/m 2



ng su t ti p

N/m 2

p

ng su t toàn ph n

N/m 2

 1 , 2 , 3

ng su t

ng su t gi i h n t l

N/m 2

 ch

ng su t gi i h n ch y

N/m 2

b

ng su t gi i h n b n

N/m 2

ng su t cho phép

N/m 2

ng su t t i h n

N/m 2

 th

Nz

L cd c

N

Qx, Qy

L cc t

N

Mx, My

Momen u n

Nm

Mz

Momen xo n

Nm



Bi n d ng dài t đ i

Chuy n v



Bi n d ng góc t đ i

và bi n

l

Bi n d ng dài tuy t đ i

d ng



Góc xo n t đ i c a thanh
võng và góc xoay c a thanh ch u u n

y, 
EF
Các kí hi u
khác

N/m 2

 tl

  ,  

N il c

Các ng su t chính c a tr ng thái ng su t

c ng c a m t c t khi thanh ch u kéo nén

EJ

c ng c a m t c t khi thanh ch u u n

GJ

c ng c a m t c t khi thanh ch u xo n



m nh c a thanh



H s gi m ng su t cho phép (h s u n
d c)

6


S c b n v t li u 1

Ch

ngă1.

CÁCăKHÁIăNI MăC ăB N
A.ăM CăTIểU
- Cung c p nh ng khái ni m c b n nh : n i l c, ng su t, bi n d ng và các
gi thi t c b n v v t li u.
- N m v ng các n i dung đ làm c s cho các ch

ng sau, nh t là v bi u

đ n i l c.

B.ăN IăDUNG
1.1.ă

IăT

NGăVĨăNHI MăV ăNGHIểNăC U

iăt

1.1.1.

ng

Khác v i C lý thuy t, kh o sát s cân b ng và chuy n đ ng c a v t r n
tuy t đ i, còn S c b n v t li u kh o sát v t th th c t c là v t r n bi n d ng.
it

ng nghiên c u c a S c b n v t li u là các v t r n bi n d ng và có

các d ng v t th là:
- Kh i (H. 1.1a): là nh ng v t th có kích th
đ

c theo ba ph

ng t

ng

ng nhau. Ví d nh : h p, viên bi, móng máy, …
- T m và v (H. 1.1b,c): là nh ng v t th có kích th

h n nhi u so v i ph

c theo hai ph

ng th ba. Ví d nh : sàn nhà, tr n nhà, t

ng l n

ng, v b n

ch a, …
- Thanh (H. 1.1d,e): là nh ng v t th có kích th
h n nhi u so v i ph

c theo m t ph

ng l n

ng th ba.
c)

a)
b)

d)

e)

Hình 1.1
N i dung nghiên c u

đây, ch y u là thanh và h thanh (khung, dàn).

7


S c b n v t li u 1

- Thanh có thanh th ng và thanh cong.
- H thanh (khung) có khung ph ng và khung không gian.
Trong tính toán thanh đ

c bi u di n b ng đ

ng tr c c a nó.

1.1.2.ăNhi măv

S c b n v t li u là m t ph n c a c h c v t r n bi n d ng. Nó cung c p các
ki n th c c b n đ tính đ b n, đ c ng v ng và n đ nh cho các chi ti t máy
c ng nh m t b ph n c a công trình khi ch u tác d ng c a ngo i l c.
Khi thi t k các chi ti t máy ho c các b ph n c a công trình ta ph i đ m
b o hai đi u ki n:
- V an toàn:
+ Chi ti t không b phá h y t c là đ b n (đi u ki n b n).
+ Chi ti t không b bi n d ng d c, xoay, ... quá l n t c là đ c ng (đi u
ki n c ng).
+ Chi ti t d ch chuy n trong ph m vi cho phép t c là đ m b o v chuy n
v (đi u ki n n đ nh).
- V kinh t : ti t ki m v t li u nh t.
* S c b n v t li u có nhi m v đ a ra các ph
đ c ng và đ

ng pháp tính toán v đ b n,

n đ nh c a các chi ti t máy ho c các b ph n c a công trình.

Cùng v i các k t qu c a S c b n v t li u, b ng ph

ng pháp suy di n toán

h c, S c b n v t li u tìm ra m i liên h gi a tác d ng c a môi tr

ng (ngo i l c)

v i s bi n đ i v đ c tr ng hình h c (bi n d ng) và tr ng thái c h c bên trong
(n i l c) c a v t th .
1.2.ăCÁCăGI ăTHI TăC ăB NăV ăV TăLI U

vi c tính toán đ

c đ n gi n nh ng v n đ m b o đ

c đ chính xác c n

thi t môn S c b n v t li u công nh n các gi thi t sau:
1.2.1.ăGi ăthi tă1
V t li u có tính liên t c, đ ng nh t và đ ng h

ng.

Ngh a là:
- Liên t c: th tích c a v t th đ u có v t li u, không có l h ng, v t n t t
vi.

8


S c b n v t li u 1

-

ng nh t: tính ch t c h c, v t lý c a v t li u

m i n i trong v t th

đ u gi ng nhau.
-

ng h

ng: tính ch t c a v t li u theo m i ph

ng đ u nh nhau.

G a thi t này ch đúng v i v t li u nh : thép, đ ng, …; còn g ch, g , … thì
không đúng.
1.2.2.ăGi ăthi tă2
V t li u đàn h i hoàn toàn và tuân theo đ nh lu t Hooke.
Ngh a là:
- Khi có l c tác d ng thì v t th b bi n d ng, khi b l c tác d ng đi thì v t
th tr l i hình d ng và kích th

c ban đ u c a nó.

V t li u tho mãn gi thi t này g i là v t li u đàn h i tuy n tính. Th c t
không có v t li u đàn h i hoàn toàn mà có bi n d ng d .
- Tuân theo đ nh lu t Hooke: Trong ph m vi bi n d ng đàn h i c a v t li u,
bi n d ng c a v t th t l b c nh t v i l c gây ra bi n d ng đó.
Gi thi t này ch đúng v i kim lo i nh thép, đ ng, … có l c tác d ng trong
ph m vi nào đó và ph m vi nghiên c u c a S c b n v t li u c ng ch gi i h n
trong các v t li u tuân theo đ nh lu t này.
1.2.3.ăGi ăthi tă3
Bi n d ng c a v t th là bỨ.
* Ghi chú
Áp d ng các gi thi t trên trong tính toán ta có th :
- Nghiên c u m t phân t bỨ đ suy r ng cho c v t th (phỨp tính vi tích
phân).
- Xem đi m đ t các ngo i l c không đ i trong khi v t th b bi n d ng (s

đ không bi n d ng).
- Áp d ng nguyên lí c ng tác d ng (nguyên lí đ c l p tác d ng):
“M t đ i l

ng (n i l c, bi n d ng, chuy n v ,

nguyên nhân gây ra s b ng t ng đ i l

ng su t,…) do nhi u

ng đó do t ng nguyên nhân riêng l gây

ra”
Do đó thay vi c tính toán bài toán ph c t p b ng cách gi i các bài toán đ n
gi n h n đ gi i quy t.

9


S c b n v t li u 1

1.3.ăNGO IăL C
1.3.1.ă

nhăngh a

Ngo i l c là l c tác đ ng t các v t khác ho c t môi tr

ng bên ngoài lên

v t th đang xét.
1.3.2.ăPhơnălo i
Ngo i l c g m: t i tr ng và ph n l c.
1.3.2.1. T i tr ng
a)

nh ngh a

T i tr ng là l c ch đ ng tác d ng tr c ti p lên v t th mà v trí, tính ch t và
tr s đã bi t.
Ví d nh : tr ng l

ng c a v t, …

b) Phân lo i:
T i tr ng đ

c chia ra nh sau:

- C n c vào tính ch t tác d ng:
+ T i tr ng t nh: nêú nó t ng r t ch m t 0 đ n m t giá tr nh t đ nh r i
gi nguyên giá tr đó không k l c qúan tính.
+ T i tr ng đ ng: giá tr c a nó t ng đ t ng t hay k đ n quán tính.
- C n c vào hình th c tác d ng:
+ T i tr ng t p trung: là t i tác d ng lên v t trên m t di n tích truy n
l c khá bé, có th coi nh m t đi m. T i tr ng t p trung có th là l c t p trung
ho c momen t p trung.
Th nguyên là: [l c] ho c [l c] x [chi u dài].
n v th

ng dùng là: N, kN, … ho c N.m, kNm, …

+ T i tr ng phân b : là t i tr ng tác d ng lên m t đo n dài hay trên m t
di n tích truy n l c đáng k c a v t.
L c phân b có th là l c phân b đ u (hình ch nh t), l c phân b không
đ u (hình tam giác, hình thang, ...)
n v : T i tr ng phân b trên m t đo n q là: N/cm, kN/m, T/m, …; t i
tr ng phân b trên m t di n tích p là: N/m 2 , kN/m 2 , T/m 2 ,...
* Chú ý

10


S c b n v t li u 1

tính toán m t chi ti t ho c m t k t c u, tr

1)
đ

c tiên ta ph i thi t l p s

tính, đó là s đ k t c u. Trong s đ k t c u, m i m t d m đ

b im tđ

ng tr c và các liên k t đã đ

c bi u di n

c mô hình hoá. Các tính toán đ u đ

c

th c hi n trên s đ này (H. 1.2).
M  ql 2
M  ql 2

q

P  ql

z

HA
A
VA

l

D

B

C

VB

l

l

y

Hình 1.2
2) Khi tính ph n l c liên k t t đi u ki n cân b ng, trên s đ k t c u ta
ph i thay l c phân b b ng h p l c (l c t p trung) c a nó. Giá tr c a h p l c
b ng di n tích c a bi u đ l c phân b , còn đ

ng tác d ng c a nó đi qua v trí

kh i tâm c a bi u đ đó.
Th

ng có hai tr

ng h p (H. 1.3):

- L c phân b là h ng s (qui lu t hình ch nh t):
+ L c t p trung: Q = q.L.
1
2

+ Tr ng tâm đ t t i trong tâm hình ch nh t: xC  .L
- L c phân b là hàm b c nh t (qui lu t hình tam giác):
+ L c t p trung: Q =

1
q.l.
2

2
3

+ Tr ng tâm đ t t i tr ng tâm hình tam giác: xC  .l

Q
Q

L/2

q

2/3 L

L/2

L
Hình 1.3
11


S c b n v t li u 1

1.3.2.2. Ph n l c liên k t
nh ngh a

a)

Ph n l c liên k t là l c th đ ng, phát sinh t i ch ti p xúc gi a v t th
đang xét và các v t th khác khi t i tr ng tác d ng.

Ví d nh : L c phát sinh t i các g i đ tác đ ng lên tr c, ...
Giá tr ph n l c ph thu c vào t i tr ng. Liên k t có chuy n đ ng b c n tr
theo ph

ng nào thì xu t hi n ph n l c liên k t theo ph

ng đó.

b) Các liên k t và ph n l c liên k t:
Khi ch u tác d ng c a ngo i l c, m t thanh mu n duy trì đ

c hình d ng và

v trí ban đ u thì ph i liên k t v i v t th khác. Tùy theo tính ch t c n tr chuy n
đ ng mà có các s đ liên k t th

ng g p là:

- G i di đ ng (H. 1.4a): ch c n tr chuy n đ ng theo ph
phát sinh ph n l c liên k t V theo ph

ng th ng đ ng,

ng c n tr , g m kh p di đ ng, liên k t

t a, …
- G i c đ nh (H. 1.4b): c n tr chuy n đ ng theo ph
th

ng đ

ng b t k . Ph n l c

c phân làm hai thành ph n: th ng đ ng V và n m ngang H, g m

kh p b n l , …
- Ngàm (H. 1.4c): c n tr chuy n đ ng theo ph
l c th

ng đ

ng b t k và xoay. Ph n

c phân làm ba thành ph n: th ng đ ng V, n m ngang H và ng u

l c M, g m liên k t ngàm, …

H

H

M

H

V

V

V

a)

V
b)

Hình 1.4
1.4.ăN IăăL C
1.4.1.ă

nhăngh a

12

V
c)


S c b n v t li u 1

Trong v t th , gi a các ph n t có các l c liên k t đ gi cho v t th m t
hình dáng nh t đ nh. D

i tác d ng c a ngo i l c, các l c liên k t gi a các ph n

t c a v t t ng lên đ ch ng l i s bi n d ng.
* V y: N i l c là l

ng thay đ i c a l c liên k t đ ch ng l i s bi n d ng

c a v t do ngo i l c gây ra.
gia t ng (n i l c) ch đ t đ

c m t giá tr nào đó thì v t li u s b phá

h y. Vì v y xác đ nh n i l c là m t trong nh ng n i dung c b n c a môn S c
b n v t li u.
1.4.2.ăXácăđ nhăn iăl cătrênăm tăc tăngangăc aăthanh
N i l c đ

c xác đ nh b ng ph

ng pháp m t c t (hay ph

ng pháp

Cauchy) .
Xét m t v t th ch u l c

tr ng thái cân b ng (H. 1.5).

m t đi m K nào đó trong v t th , ta t
K. V t th đ

ng t

tìm n i l c t i

ng dùng m t m t ph ng  c t qua

c chia ra làm hai ph n A và B. G i F là di n tích m t c t.

Gi s xét s cân b ng c a ph n A thì ta ph i tác d ng lên m t F m t h l c
phân b . ó là n i l c c n tìm.
Vì ph n A cân b ng nên n i l c và ngo i l c tác d ng lên nó h p thành m t
h cân b ng:
( Fke ,  Fki )  0 .

Do đó ta áp d ng đi u ki n cân b ng t nh h c đ xác đ nh n i l c d
d ng c a ngo i l c.

P1


(A)

P2
P3
P2
P3

P5

K

P1

P4

(B)

P6
(A)

K
Hình 1.5

* Chú ý
13

i tác


S c b n v t li u 1

Ta c ng có th xỨt s cân b ng c a ph n B , nh ng chú ý là trên m t c t n i
l c c a ph n B thì cùng ph
m tc t

ng, cùng tr s , nh ng ng

c chi u v i n i l c trên

ph n A.

Nh v y mu n xác đ nh n i l c c a m t m t c t nào đó ta có th xét s cân
b ng c a ph n bên ph i ho c ph n bên trái c a m t c t đó.
1.4.3.ăCácăthƠnhăph năn iăl cătrênăm tăc tăngangăc aăthanh
Xét s cân b ng m t trong hai ph n c a m t c t. H n i l c đ

c thu g n v

tâm O g m vect chính R và mômen chính M .

P1
MX
(A)

QX

MZ
O

z

NZ

P2

MY
QY
P3

y

x
Hình 1.6

Chi u R và M lên ba tr c to đ h tr c Oxyz nh hình v (H. 1.6) ta có
sáu thành ph n n i l c trên m t c t ngang là:

- V i R có:
+ L c d c N z : n i l c vuông góc v i m t c t và h

ng theo tr c z.

+ L c c t Q x : n i l c n m trên m t c t và h

ng theo tr c x.

+ L c c t Q y : n i l c n m trên m t c t và h

ng theo tr c y.

- V i M có:
+ Momen u n M x : n i l c là ng u l c tác d ng th ng góc v i m t c t và
quay quanh tr c x.
+ Momen u n M y : n i l c là ng u l c tác d ng th ng góc v i m t c t và
quay quanh tr c y.
14


S c b n v t li u 1

+ Momen xo n M z : n i l c là ng u l c n m trên m t c t và quay quanh
tr c z.
* V y: Trên m t c t ngang c a thanh có t t c sáu thành ph n n i l c là:
Qx , Qy , N z , M x , M y và M z .

* Chú ý:
i v i bài toán ph ng, là bài toán có ngo i l c tác d ng n m trong m t

m t ph ng ch a tr c thanh, th

ng là m t ph ng Oyz.

Trong m t ph ng Oyz, ch có ba thành ph n n i l c: N z , Qy , M x và đ

c

bi u di n nh hình 1.7.
Mx
Nz

z

Qy

y
Hình 1.7
1.4.4.ăTínhăcácăthƠnhăph năn iăl c
tính các thành ph n n i l c ta s d ng các ph

ng trình cân b ng t nh

h c nh tiên đ gi i phóng liên k t.
- Trong bài toán không gian: ta có sáu ph
 X  0,

 M x  0,

ng trình cân b ng:

Y  0,

Z  0,

M y  0,

Mz  0

- Trong bài toán ph ng: ta có ba ph

ng trình cân b ng nh sau:

 Y  0

 Z  0

 M A  0

1.4.5.ăQuiă
Trong tr
1.8. Ta qui

(1.1)

(1.2)

căd uăc aăn iăl c
ng h p bài toán ph ng, ch n h tr c Oxy
c d u các n i l c nh sau:

15

hai m t c t nh hình


S c b n v t li u 1

- L c d c ( N z ): coi là d

ng (+) khi nó có chi u đi ra kh i m t c t (trùng

vector pháp tuy n ngoài c a m t c t).
- L c c t ( Q y ): coi là d

ng (+) khi nó có xu h

ng làm quay ph n thanh

đang xét theo chi u kim đ ng h (quay pháp tuy n ngoài c a m t c t đi m t góc
90 0 theo chi u kim đ ng h thì trùng v i chi u c a l c).
- Mômen u n ( M x ): coi là d

ng khi nó làm c ng th d

i c a đo n thanh

đang xét.
QY  0

MX  0

MX  0

NZ  0

NZ  0

y

z

QY  0

Hình 1.8
* Chú ý: Chi u d

ng n i l c c a ph n bên trái và ph n bên ph i ng

c

chi u nhau.
1.4.6.ăBi uăđ ăn iăl c
1.4.6.1.

nh ngh a

Bi u đ n i l c là đ th bi u di n s bi n thiên c a thành ph n n i l c theo
tr c thanh.
Khi tính toán ta ph i s d ng các bi u đ n i l c vì ta c n tìm tr s c a n i

l c t i m i v trí c a nó trên thanh, c ng nh xác đ nh đ

c v trí m t c t có tr s

n i l c l n nh t và tr s c a nó.
Nói chung ta có sáu bi u đ n i l c, nh ng tu thu c vào tính ch t c a h
ngo i l c tác d ng lên thanh mà ta s có s bi u đ c n thi t.
1.4.6.2. Cách v bi u đ n i l c
a) Các ph
Có nhi u ph
- Ph
d

ng pháp v bi u đ n i l c
ng pháp đ xác đ nh n i l c nh :

ng pháp gi i tích: dùng ph

ng pháp m t c t đ xác đ nh n i l c

i d ng bi u th c gi i tích theo z r i v đ th

16


S c b n v t li u 1

- Ph

ng pháp nh n xỨt: ph

ng pháp d a trên các bi u th c liên h gi a

ngo i l c và n i l c.
- Ph

ng pháp c ng tác d ng: d a vào nguyên lý c ng tác d ng.

- Ph

ng pháp v n n ng: dùng bi u th c n i l c đã đ

c thi t l p d

i

d ng t ng quát đ i v i t ng bài toán (kéo/nén, u n, xo n) cho m i đo n đ tính.
b) Trình t v bi u đ n i l c b ng ph
Ta ti n hành theo b n b

ng pháp gi i tích:

c sau:

1) Xác đ nh các ph n l c liên k t (n u c n):
- Thay các liên k t b ng các ph n l c liên k t.
- Xác đ nh các giá tr c a ph n l c liên k t c n thi t c a các liên k t b ng
cách l p các ph

ng trình cân b ng t nh h c.

2) Phân đo n thanh:
- Phân đo n sao cho n i l c liên t c trên t ng đo n
- D a vào s phân b c a t i tr ng, thanh đ

c chia thành nh ng đo n sao

cho trong m i đo n không có l c t p trung, momen t p trung ho c không có
b

c nh y c a l c phân b .
3) Xác đ nh các gía tr c a n i l c trên t ng đo n:
- Dùng ph

theo chi u d

ng pháp m t c t cho t ng đo n và đ t các n i l c trên m t c t

ng.

- L p các ph

ng trình cân b ng đ xác đ nh các n i l c (đó là các bi u

th c gi i tích).
4) V các bi u đ n i l c:
D a vào các giá tr c a các n i l c v a tìm, ta v bi u đ cho t ng lo i n i
l c.
* Chú ý: Ta qui

c h tr c c a các bi u đ n i l c nh hình 1.9 v i:

- Tr c hoành xác đ nh v trí m t c t theo tr c thanh, tr c tung xác đ nh tr
s c an il c
- Tung đ d

ng c a n i l c N z , Qy bi u di n phía trên tr c hoành và ghi

d u "+" ho c "-" trên bi u đ .
- Tung đ d

ng c a n i l c M x bi u di n phía d

ghi d u "+" ho c "-" trên bi u đ .
17

i tr c hoành và không


S c b n v t li u 1

Nz
Qy
O

O

z

z

Mx
Hình 1.9
1.4.7.ăLiênăh ăviăphơnăgi aăn iăl căvƠăt iătr ngăphơnăb ă(
1.4.7.1.

nhălỦăJurapski)

nh lý Jurapski

Cho m t thanh AB ch u l c phân b b t k q(z) nh hình 1.10. Xét m t
đo n thanh dz

hoành đ z, do phân t dz quá ng n nên ta có th xem l c phân

b đ u và b ng q. Trên m t c t ngang xu t hi n các n i l c t

ng ng: l c c t

Q y , momen u n M x .

q(z)
A

B

dz

q

Qy

M x  dM x

Mx
dz

Qy  dQy

Hình 1.10
Xét đi u ki n cân b ng c a các n i l c trên các m t c t và ngo i l c phân
b q, ta có:

Y  Q

y

 M  M
(a) 
B qua đ i l
(b) 

 dQy  Qy  q.dz  0

x

 dM x   M x

q

(a)

2

dz 
 Q .dz  q
y

dQy
dz

2

0

(b)
(c)

ng VCB b c hai: dz 2  0 .
Qy 

18

dM x
dz

(d)


S c b n v t li u 1

K t h p (c) và (d), ta có:
q

(e)

nh lý:

*
1)

o hàm b c nh t c a l c c t Q y b ng c

q(z) t i m t c t t

dz

2)

ng đ c a t i tr ng phân b

ng ng.
dQ y

c tt

d 2M x
dz 2

 q(z)

(1.3)

o hàm b c nh t c a momen u n M x b ng tr s c a l c c t Q y t i m t

ng ng.
dM x
 Qy
dz

3)

(1.4)

o hàm b c hai c a momen u n M x b ng c

q(z) t i m t c t t

ng đ t i tr ng phân b

ng ng.

T (1.3) và (1.4), ta có đ

c:
d 2 M x ( z ) dQ y ( z )

 q(z)
dz
dz 2

(1.5)

* Nh n xỨt
Ta áp d ng quan h vi phân c a đ nh lý Jurapski đ :
- V nhanh bi u đ n i l c Qy và M x (ph

ng pháp v b ng nh n xỨt).

- Ki m tra các bi u đ n i l c.
1.4.7.2. V nhanh bi u đ n i l c b ng nh n xỨt
D a vào các liên h trên ta có th v nhanh các bi u đ n i l c v i m t s
nh n xét nh sau:
1) T i đi m đ t c a ngo i l c t p trung P thì bi u đ Qy có b
và tr s b

c nh y (chi u

c nh y trùng chi u và tr s c a ngo i l c), còn bi u đ

M x gãy

khúc.
2) T i đi m đ t c a momen t p trung M thì bi u đ Qy không đ i, còn bi u
đ M x có b

c nh y (chi u và tr s b

c nh y trùng chi u và tr s c a momen

t p trung).

19


S c b n v t li u 1

3) N u trên đo n thanh bi u th c c a t i tr ng ngang phân b là đ
n thì bi u đ Qy là đ

ng b c (n + 1), M x là đ

ng b c (n + 2). C th :

- Không có t i tr ng phân b [q(z) = 0] 
m t h ng s và M là m t đ
*

dQ
d 2M
 0,
 0 . Do đó: Q là
dz
dz 2

ng b c nh t trong đo n đó.

c bi t: Q = 0 thì M là h ng s .

- T i tr ng phân b đ u [q(z) = C]  Do đó: Q là m t đ

là m t đ
*

*

ng b c nh t và M

ng b c hai trong đo n đó.
c bi t: t i Q = 0 thì M có c c tr .

- T i tr ng phân b theo đ
m tđ

ng b c

ng b c nh t thì Q là m t đ

ng b c hai và M là

ng b c ba trong đo n đó.
c bi t: t i q = 0 thì Q có c c tr và t i Q = 0 thì M có c c tr .

4) N u trên đo n thanh qz  > 0 (h
phía trên và qz  < 0 thì ng

ng lên) thì Qy đ ng bi n, M x l i v

c l i. Ngh a là:

ng cong momen M x luôn h ng

l y l c phân b qz  .
5) N u trên đo n thanh Qy > 0 thì M x đ ng bi n và ng
6) Trên đo n xét, giá tr l c c t Qy

c l i.

đi m cu i b ng giá tr c a Qy

đi m

đ u c ng v i di n tích c a t i tr ng qz  trên đo n đó:
Q1y  Qy0    q( z )

(1.6)

7) Trên đo n xét, giá tr momen u n M x đi m cu i b ng giá tr c a M x
đi m đ u c ng v i di n tích c a t i tr ng Qy trên đo n đó:
M 1x  M x0   Qy 

(1.7)

* Chú ý:
1) Khi v nhanh ta v t trái sang ph i và bi u đ b t đ u t tr c thanh và
k t thúc

tr c thanh.

2) Các giá tr q(z), Qy và M x là các giá tr đ i s . q(z) >0 khi có chi u tác
d ng h

ng lên trên

Ví d 1.1: Cho m t d m ch u l c nh hình v (H. 1.11). Xác đ nh:

20


S c b n v t li u 1

a) Ph n l c liên k t t i các g i đ A, B.
b) Tr s n i l c t i v trí m t c t z = 10m.
Gi i:
a) Tính các ph n l c liên k t:
T i tr ng tác d ng lên d m g m:
- L c phân b : q = 1 kN/m, do đó: Q = q x 8 = 8kN.
- L c t p trung: P = 15kN.
- Momen t p trung: M = 52kN.m.
Thay các liên k t t i A và B b ng các ph n l c liên k t: H A , VA , VB .
Xét s cân b ng c a d m, ta có:
 Z  H A  0


 Y  VA  VB  Q  P  0


 M A   Qx4  M  VB x14  Px 20  0

 H A  0; VA  3 kN ; VB  20 kN
b) Tính n i l c t i z = 10

M  52kNm

q  1kN / m

1

P  15kN

B

A
6m

8m

1

6m

M

q

Mx
Nz

A
z  10

Qy

Hình 1.11

Dùng m t c t 1-1 t i C (z = 10m) và xét cân b ng c a ph n bên trái:

Z  N  0
Y  Q  3  8  0  Q   5 kN.
 M  M  3x10  8x6  52  0  M
z

y

x

y

x

V y: N z  0; Qy   5 kN (ng

x

  70 kNm

c chi u hình v ); M x  - 70 kNm (ng

chi u hình v ).

21

c

S c b n v t li u 1

Ví d 1.2: V bi u đ n i l c N z , Qy và M x c a thanh ch u nh hình v v i
l c t p trung P = 50kN, momen t p trung M = 50kNm, a = 3m, b = 4m (H.
1.12a).
Gi i:
-B

c 1: Xác đ nh các ph n l c liên k t (H. 1.12b)

+ T i tr ng tác d ng lên thanh g m: P là l c t p trung, M là momen t p
trung.
+ Các ph n l c liên k t g m: Thay th g i đ c đ nh A b ng 2 thành ph n
ph n l c H A , VA và g i đ di đ ng B b ng ph n l c th ng đ ng VB .
D m cân b ng d

i tác d ng c a h l c: ( H A ,VA ,VB , P)  0 .

xác đ nh ph n l c t i g i t a A và B ta l p ph

ng trình cân b ng c a

h :
 Z  H A  P  0.


 Y  P  VA  VB  0



 M A  VB .(2a  b)  P.a  M  0

(a)
(b)
(c )

(a)  H A  P  50 kN
(c)  VB 

P.a  M 50 x3  50

 10kN.
2a  b
64

(b)  VA  P  VB  50  10  40kN.
-B

c 2: Phân đo n thanh.

Theo t i tr ng tác d ng, ta chia thanh làm 3 đo n: AC, CD và DB.
-B

c 3: Xác đ nh các giá tr n i l c.
xác đ nh giá tr n i l c t i các m t c t ngang c a thanh ta t

ng t

ng

c t thanh t i v trí nào đó có hoành đ z.
+ o n AC ( 0  z  3) :
Dùng m t c t 1-1 g c t i A. Xét s cân b ng c a ph n bên trái c a thanh.
t các thành ph n n i l c trên m t c t theo chi u d
L p các ph

ng trình cân b ng:

22

ng c a hình v (H. 1.12c).


S c b n v t li u 1

Z  N  H  0
Y   V  Q  0
 M   V .z  M  0
z

 N z   H A   50 kN

A

A

x

 Qy  VA  40kN

y

A

 M x  40 z kN.m

x

+ o n CD ( 3  z  7 ): (H. 1.12d)
Dùng m t c t 2-2 g c t i A. T

Z  N  H  0
Y   V  P  Q  0
 M  V .z  P.( z  a)  M
z

x

 Qy  VA  P  10 kN

y

A

ng trình cân b ng:

 N z  - H A  - 50 kN

A

A

ng t , ta l p các ph

x

 0  M x  40 z  50( z  3)  150  10 z kN.m

+ o n DB ( 0  z  3 ): (H. 1.12e)
đ n gi n xét s cân b ng c a ph n bên ph i c a thanh. Dùng m t c t 3-3
g c t i B, ta l p các ph

ng trình cân b ng:

Z  N  P  0
Y  Q  V  0
 M  M  V .z  0
z

y

x

-B

B

x

B

 N z   P  - 50 kN
 Qy   VB  10 kN

-

 M x  VB .z  10 z kN .m

c 4: V các bi u đ
+ o n AC:

T i A (z = 0): N z   50 kN; Qy  40 kN; M x  0.
T i C (z = 3): N z   50 kN; Qy  40 kN; M x  120 kN.m.
+ o n CD:
T i C (z = 3): N z   50 kN; Qy   10 kN; M x  120 kN.m.
T i D (z = 7): N z   50 kN; Qy   10 kN; M x  80 kN.m.
+ o n DB:
T i B (z = 0): N z   50 kN; Qy   10 kN; M x  0.
T i D (z = 3): N z   50 kN; Qy   10 kN; M x  30 kN.m.
C n c vào bi u th c c a t ng đo n, ta n i các đi m đ đ

c bi u đ n i

l c nh hình 1.12f,g,h.

M

P
A

C

D
23

B

P

a)


S c b n v t li u 1

a

b
M

P

1

HA

a
2
2

1

VA

D

P

3

b)

3
VB

MX
NZ

HA

c)
VA

QY

z

MX

QY

HA

NZ
d)

VA

z

MX
NZ

QY
P

40 kN
z

+

e)

VB

-

QY

f)

MX

g)

10 kN

+

30 kNm
80 kNm

120 kNm
NZ

-

h)

50 kN
Hình 1.12
* Nh n xỨt
1) Ta c ng có th xác đ nh n i l c trên đo n DB b ng cách xỨt cân b ng
ph n thanh bên trái và c ng cho cùng k t qu .
2) Ta có:
24