bồi dưỡng học sinh giỏi môn vật lý thpt chuyên đề ĐỘNG học vật rắn

ĐỘNG HỌC VẬT RẮN
Phần 1. Cơ sở lí thuyết
Có 3 loại chuyển động của vật rắn: Chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay quanh trục cố
định và chuyển động song phẳng.
I. Chuyển động tịnh tiến.
Tất cả các điểm trên vật rắn có cùng vận tốc và có cùng gia tốc ở cùng 1 thời điểm:

v v
v A = vB ,
v
v
a A = aB .
II. Chuyển động quay quanh một trục cố định
Tất cả các điểm trên vật rắn quay quanh một trục cố định với cùng vận tốc góc và gia tốc góc.

dθ
,
dt
dω
α=
,
dt
α dθ = ω dω.

ω=

Nếu gia tốc góc không đổi

ω2 = ω1 + α t ,
1
θ 2 = θ1 + ω1t + α t 2 ,

2
2
2
ω2 = ω1 + 2α ( θ 2 − θ1 ) .
Vận tốc và gia tốc của một điểm trên vật khi quay với gia tốc biến đổi

v v v
v = ω ×r,
v v v v v
v v v
a = at + an = α × r + ω × ( ω × r ) .
III. Chuyển động song phẳng của vật rắn
Là tổng hợp của chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay
1. Chuyển động song phẳng: trục quay chuyển động tịnh tiến
Xét hệ quy chiếu đứng yên, A là trục đang chuyển động tịnh tiến, B là một điểm trên vật rắn,
vật rắn quay với tốc độ góc ω. Chuyển động song phẳng của vật rắn có thể phân tích thành
chuyển động tịnh tiến của A và chuyển động quay của vật rắn.

1


v v v
rB = rA + rB / A ,
v v v
v v v
vB = v A + vB / A = v A + ω × rB / A ,
v v
v v v
v
v

v
v
v
aB = a A + ( aB / A ) t + ( aB / A ) n = a A + α × rB / A + ω × ( ω × rB / A ) .
•
•
•

Áp dụng cho
Các cơ cấu có chốt cố dịnh
Các mặt trượt cố định
Lăn không trượt

Điểm tiếp xúc không trượt, chuyển động trên các quỹ đạo khác nhau, có cùng vận tốc và gia tốc
tiếp tuyến nhưng gia tốc hướng tâm khác nhau

Lăn không trượt có thể phân tích thành chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay

2


v

v

v

v

Lăn không trượt, vận tốc khối tâm vG = rω i gia tốc khối tâm aG = α ri .

Xác định tâm vận tốc tức thời:

2. Trục quay vừa chuyển động tịnh tiến, vừa chuyển động quay
Trong hệ quy chiếu cố định, A là trục vừa chuyển động quay, vừa chuyển động tịnh tiến.

v v v
rB = rA + rB / A ,
v v v v
v
vB = v A + Ω × rB / A + ( vB / A ) xyz ,
v v v
v v
v v v
v
& × rv + Ω
aB = a A + Ω
× ( Ω × rB / A ) + 2Ω × ( vB / A ) xyz + ( aB / A ) xyz .
B/ A

3


Áp dụng cho:
• Vật rắn trượt tự do ở điểm liên kết.
• Chuyển động của 2 điểm trên 2 vật rắn khác nhau.
• Hạt chuyển động trên 1 quỹ đạo đang quay
Phần 2. Bài tập áp dụng
Bài 1: Hình vẽ là một kết cấu nằm trên mặt phẳng thẳng đứng tạo thành từ 3 thanh cứng AB,
BC, CD của một tam giác. AB và CD có thể chuyển động quanh 2 trục A, D cố định vuông góc
với mặt hình vẽ ; 2 điểm A, D cùng ở trên 1 đường nằm ngang. Hai đầu của thanh BC nối với

AB và CD có thể quay quanh chỗ tiếp xúc (tương tự bản lề).
Cho AB quay quanh trục A với tốc độ góc ω tới vị trí như trên hình vẽ, AB ở vị trí thẳng đứng,
BC và CD đều tạo với phương nằm ngang góc 450 . Biết rằng độ dài của AB là l, độ dài của BC
và CD được xác định như trong hình vẽ. Khi đó hãy tìm giá trị và hướng gia tốc ac của điểm C
(biểu diễn qua góc với thanh CD)

Cách giải 1 :
Vì điểm B quay tròn quanh trục A, tốc độ của nó là
v B = ωl

(1)

a B = ω 2l

(2)

gia tốc hướng tâm của điểm B là

4


Hình 1
Vì chuyển động với tốc độ góc không đổi nên thành phần gia tốc tiếp tuyến của điểm B bằng
0 và aB cũng là gia tốc toàn phần của B, nó có hướng dọc theo BA. Điểm C quay tròn quanh
trục D với tốc độ vC, tại thời điểm khảo sát có hướng vuông góc với thanh CD. Từ hình 1có
thể thấy hướng đó dọc theo BC. Vì BC là thanh cứng nên tốc độ của B và C theo hướng BC ắt
phải bằng nhau và bằng
vC = vB cos450 =

2

ωl
2

(3)

Lúc đó thanh CD quay quanh trục D theo hướng thuận chiều kim đồng hồ, gia tốc pháp tuyến
của C bằng
aCn =

vC2
CD

(4)

Hình 1 cho thấy CD = 2 2l , từ (3), (4) ta được
aCn =

2 2
ωl
8

(5)

Gia tốc này có hướng dọc theo hướng CD.
Bây giờ ta sẽ phân tích gia tốc của điểm C theo hướng vuông góc với thanh CD, tức là gia tốc
tiếp tuyến aCt . Vì BC là thanh cứng nên chuyển động của C đối với B chỉ có thể là quay quanh
B, phương của vận tốc ắt phải vuông góc với thanh BC. Gọi vCB là độ lớn của vận tốc này, theo
(1) và (3) ta có
vCB = vB2 − vC2 =

2
ωl
2

(6)

Điểm C quay tròn quanh điểm B, vậy gia tốc hướng tâm của nó đối với B là
aCB =

2
vCB
CB

(7)

2 2
ωl
4

(8)

Vì CB = 2l nên
aCB =

5


Gia tốc này có hướng vuông góc với CD
Từ công thức (2) và hình 1 thấy rằng thành phần gia tốc dọc thanh BC của điểm B là
(a B ) BC = aB cos450 =

2 2
ωl
2

(9)

Cho nên thành phần gia tốc vuông góc với thanh CD của điểm C đối với điểm A (hoặc điểm D)
là
aCt = aCB + ( a B ) BC =

2 2
2 2 3 2 2
ω l+
ωl=
ωl
4
2
4

(10)

Gia tốc toàn phần của điểm C bao gồm gia tốc pháp tuyến aCn khi C chuyển động tròn quanh
D và gia tốc tiếp tuyến aCt , nghĩa là
2
aC = aCn
+ aCt2 =

74 2
ωl

8

(11)

Góc giữa phương của aC với thanh CD là

θ = arctan

aCt
= arctan 6 = 80,540
aCn

(12)

Bài 2:
Một khối trụ bán kính R có quấn chỉ trên mặt ngoài, một đầu dây
cố định. Người ta đặt khối trụ lên mặt phẳng nhẵn nghiêng góc α (hình
Ở thời điểm khi sợi dây có phương thửng đứng thì vận tốc góc của khối
là ω . Hỏi tại thời điểm đó:
a)
Vận tốc trục hình trụ bằng bao nhiêu?
b)

buộ
1).
trụ

Vận tốc của điểm tiếp xúc giữa hình trụ và mặt phẳng nghiêng là

A

bao nhiêu?
Lời giải
Do dây không dãn nên đầu dưới của phần dây thẳng đứng và điểm tiếp

αC

Hình 1

xúc của dây với khối trụ (điểm A) có cùng một vận tốc và hướng theo

r

phương ngang v A . Chuyển động của khối trụ bao gồm: chuyển động tịnh tiến cùng với trục với

r

vận tốc v 0 hướng theo mặt phẳng nghiêng và chuyển động quay quanh trục theo chiều kim
đồng hồ với vận tốc góc ω . Khi đó:
a)

r

r

r

Điểm A: v A = v 0 + v 'q

v 'q

αC

r
v 'q = ωR 
ωR
r
r  → v0 =
v A ⊥ v 'q 
sin α
b)

Điểm tiếp xúc C:

r
r r
r
r
v C = v 0 + v ''q ; v0 ↑↓ v ''q

C

C

v ''q

C
6

v C = v 0 − ωR = ωR

1 − sin α
sin α

Bài 3:
A

M

Trên mặt phẳng thẳng đứng P có vẽ một vòng tròn C bán kính

v
O1

R tiếp xúc với mặt phẳng ngang. Một chiếc vòng M có bán
kính R lăn không trượt trên mặt phẳng ngang tiến về phía vòng

C
O2

tròn C. Vận tốc của tâm O1 của vòng M là v. Mặt phẳng của M
nằm sát mặt phẳng P. Gọi A là một giao điểm của hai vòng
tròn khi khoảng cách giữa tâm của chúng là d < 2R. Tìm:
a) Vận tốc và gia tốc của A.
b) Bán kính quỹ đạo và vận tốc của
điểm nằm trên vòng M tại A.

vA

A
M

Lời giải

v

a) Giao điểm A dịch chuyển trên
đường tròn C với vận tốc vA tiếp

O1

α v
x
a
α
ht
a

C

O2

tuyến với C, hình chiếu lên phương
ngang là vx = v/2 = vAcosα = vA

R 2 − d 2 / 4 . Vậy:
R

vA =

v
2 1−

d2 .
4R 2
r

Vì thành phần vận tốc của v A theo phương ngang không đổi nên gia tốc của A hướng thẳng
đứng và thành phần của gia tốc này lên phương bán kính O2A là gia tốc hướng tâm:

v 2A
v2
v2
v 2A
=
=
→a=
a ht = a.cosα =
Rcosα 4.R.cos3α 4R(1 − d 2 / 4R 2 )3/ 2
R
b) Trong khoảng thời gian rất ngắn quỹ đạo cong của điểm A1 (tại A) trên vòng có thể coi là
một cung tròn. Vòng lăn không trượt nên có thể
xem như nó đang quay quanh điểm tiếp xúc với
vận tốc góc ω = v/R.
Ta có:

IA1 = 2R.cosβ, với β = α/2.

A1

M
O1

a1

β

v1

β
I

7


→ cosβ =

1
d2 
1 + 1 −
÷
2 
4R 2 ÷


Do đó v1 = ω.IA1 = v


d2 

2 1 + 1 −
÷
2 ÷.

4R



Gia tốc của A1 hướng về tâm O1 và có độ lớn là a1 = v2/R. Gia tốc hướng tâm của A1 lại là:


v12
d2 
2
1
+
1
−

÷
aht1 = a1.cosβ =
. Vậy: R1 = 2R
2 ÷

R1
4R



Bài 4:

Một tấm gỗ dán mỏng phẳng rơi trong không gian. Ở một thời điểm nào đó vận tốc của 2 điểm
r
r
r
A và B trên tấm gỗ là v A = v B = v và nằm trong mặt phẳng của tấm. Điểm C (tam giác ABC
đều: AB = AC = BC = a) có vận tốc 2v. Hỏi những điểm trên tấm gỗ có vận tốc là 3v nằm ở
cách đường thẳng AB là bao nhiêu?
Lời giải
r
r
r
Trong hệ quy chiếu (HQC) chuyển động với vận tốc v A = v B = v thì A và B đứng yên còn

r

r r

r

C quay quanh AB. Như vậy trong HQC gắn với đất: vC = v + vq , trong đó vq là vận tốc C

r
r
r
r
r
quay quanh AB. Vì v A = v B = v và nằm trong mặt phẳng của tấm nên vq vuông góc với v .
2
2
2

Vậy: vC = vq + v ⇒ vq = 3v .

Vận tốc góc của chuyển động quay ω =

vq
R

;R =

3
a.
2

Những điểm có vận tốc 3v nằm trên hai đường thẳng song song với AB và cách AB là L,
'
'
quay quanh AB với vận tốc vq = ωL , trong đó vq tìm từ phương trình:

(3v)2 = v 2 + (vq' ) 2 Như vậy vq' = 2 2v = ωL → L = 2a

Bài 5:
Một đĩa nặng bán kính R có 2 dây không dãn quấn vào.
Các đầu tự do của dây gắn chặt (hình 3). Khi khối đĩa
chuyển động thì dây luôn căng. Ở một thời điểm vận tốc
góc của đĩa bằng ω và góc giữa các dây là α. Tìm vận

α
ω

tốc của tâm đĩa ở thời điểm này.

O
R
Hình 3

8


Lời giải
Gọi v0 là vận tốc của tâm O của đĩa. Tại các điểm tiếp xúc C và D của dây và đĩa vận tốc là:

r
r r
v C = v 0 + v C0
r
r r
v D = v 0 + v D0

(1)

trong đó vD0 và vC0 là các vận tốc của C và D trong chuyển động quay quanh O:
vC0 = vD0 = ωR

r

r

Do dây không giãn nên hình chiếu của v C và v D lên phương của các dây tương ứng phải
bằng không. Chọn hệ quy chiếu gắn với tâm O của đĩa và hai
trục song song với hai dây, như vậy góc giữa hai trục này bằng

r

r

α. Chiếu v C và v D cho bởi hệ các phương trình (1) lên hai
trục ta được:

α

vC0

vCx = v0x - ωR = 0
vDy = v0y - ωR = 0

r

Có nghĩa là v 0 hướng theo phân giác của góc giữa hai dây,

và có độ lớn là: v =

ωR
cos(α / 2)

C
y

vD0
D

ω

O
v0

x

Bài 6:
Hai thanh cứng, cùng chiều dài L, được nối với nhau ở một đầu bằng một bản lề. Đầu kia của
một thanh được giữ cố định bằng một bản lề, còn đầu kia của thanh thứ hai thì cho chuyển động
với vận tốc véctơ v0 không đổi cả về độ lớn lẫn hướng, đồng thời tại thời điểm ban đầu véc tơ
vận tốc v0 song song với đường phân giác của góc tạo bởi hai thanh ở thời điểm đó (hình 4).
Hãy tìm độ lớn và hướng của véc tơ gia tốc của bản lề nối hai thanh sau thời điểm ban đầu một
khoảng thời gian rất ngắn.
Bản lề

Lời giải
- Quỹ đạo của B là tròn.
2α

- Do thanh BC cứng, hình chiếu của B và C lên phương

α

thanh bằng nhau:
v0 cos α = vB sin 2α ⇒ vB =

v0
2 sin α

(1)

+ Gia tốc B gồm hai thành phần:
vB 2
v0 2
* Pháp tuyến: an =
=
L
4 L sin 2 α

vB

(2)

v0

B

Bản lề cố định
vBC
β
Hình 4
- v0
an

at

α v0

9

A

C


uur
* Tiếp tuyến at hướng theo vB
Xét trong hệ quy chiếu quán tính gắn với C
uuur uuur uur
vBC = vBA − vo
Từ hình vẽ tính được: vBC =

v0
2 sin α

Vận tốc này vuông góc với BC do B quay quanh C.
Gia tốc pháp tuyến của B trong hệ này (hướng từ B về C):
anC = an.cos2α + at cosβ

uur
(vì an hướng theo thanh AB, còn at theo phương của vB )

vBC 2
v2 o
= an cos 2α + at sin 2α =
=
= an
L
4 L sin 2 α

v0 2
⇒ at sin 2α = an (1 − cos 2α ) = an .2 sin α =
2L
2

v0 2
⇒ at =
4 L sin α cos α

v0 2
⇒ aB = an + at =
L sin α

Hướng của aB hợp với AB góc ϕ ⇒ tgϕ =

2

2

sin α + cos α
sin 2α

at
= tgα
an

⇒ ϕ = α, tức là gia tốc của B hướng dọc theo phân giác góc 2α.

Bài 7:
Thanh AB chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng

B
với đầu A chuyển động theo phương ngang và đầu B
chuyển động theo phương đứng. Tại thời điểm khảo
sát đầu A có vận tốc VA = 40 cm/s và gia tốc
WA= 20 cm/s2. Trong đó AB = 20 cm và α = 30o
Tìm gia tốc điểm B và gia tốc của thanh AB
LG
α
Gia tốc điểm B và gia tốc của thanh AB
P là tâm vận tốc tức thời : Sin α =PA/L vậy PA=L.Sin α , AP = 10 cm
A
VA
40
= . = 4 rad/s
Vận tốc góc của thanh AB: ω AB =
B
A P 10
r r rτ
rn
Gia tốc của điểm B: aB = a A + aBA + aBA
(a)
r
aB
Trong đó :
rn
n
2
r
aBA
aτAB = γ BA . AB ; aBA

= ω AB
. AB = 320 cm/s2
aB
Chiếu biểu thức (a) lên phương AB, ta có:
α
0
0
n
2
⇒ aB = 674,64 cm/s
aB sin 30 = a A cos 30 + aBA

r
aA
r
VA

P

r
aA
A

Bài 8:
Tay quay OA có vận tốc góc ωOA không đổi . Hãy xác định gia tốc của con chạy B và gia tốc
góc của thanh truyền AB tại thời điểm khi góc BOA = 900 Cho biết OA = r, AB = l .

10

r

VA


Xác định gia tốc của con chạy B và gia tốc góc của thanh
truyền AB

Ao

ωOA
O

Vì tại thời điểm khảo sát tâm vận tốc tức thời
của thanh AB nằm ở vô cực
⇒ ωAB = 0. vậy tanα =

γ AB
= ∞ . ⇒ α = 900
2
ω AB

B
o

o

P

A
o

AB

r
aA
O

r
aB

o

o

B

Gia tốc của điểm A bằng aA = r.ωOA2 và hướng dọc theo OA. và điểm B chuyển động thẳng nên
gia tốc của B hướng dọc theo OB
⇒ P là tâm gia tốc tức thời
r ω 2 OA
a
γ AB = A = 2 2 ;
PA
l −r

aB = γ AB PB =

r 2 ω 2 OA
l2 −r2

(PB=AO=R)

Bài 9:
Bánh xe có bán kính R lăn trên đường ray thẳng
với vận tốc Vc của tâm C không đổi.
Hãy xác định gia tốc của điểm M ở trên vành bánh xe

M

•

C•

A

Xác định gia tốc của điểm M ở trên vành bánh xe
r
r rτ
rn
aM = aC + aMC
+ aMC
Trong đó:
M
•
• Vc = const ⇒ Wc = 0
C
Vc Vc
dω
r • A
= = const ⇒ γ =
= 0 ⇒ aτMC = 0

• ω=
aM
PC R
dt
V2
n
⇒ aM = aMC = CM ω2 = c
R
Chú ý: Có thể tìm gia tốc bằng phương pháp tâm gia tốc tức thời ( α = 0)

11


Bài 10:
Một tấm hình vuông cạnh a chuyển động trong mặt
phẳng như hình vẽ. Lúc khảo sát các đỉnh A,B có
gia tốc WA = WB=16 cm/s2 và tương ứng hướng theo
các cạnh AD, BA. Tìm gia tốc của đỉnh C

Hình vuông chuyển động song phẳng
r uuur
uur uur uuu
n
t
Chọn A làm cực : aB = aA + aBA
+ aBA
Chiếu (1) lên hai trục vuông góc
aB
n
aB = aBA = AB. ω2 = a.ω2 ⇒ ω =

a

r
aB

A

B

r
aA
D

C

(1)

A

r
aA

W
τ
τ
0 = - aA + aBA ⇒ aBA = aA = AB.γ ⇒ γ = A
a
r uuur
uur uur uuu
n

τ
Chọn B làm cực : aC = aB + aCB
(2)
+ aCB
Trong đó :
n
τ
aCB
= CB.ω2 = a.ω2 = WB ; aCB = CB.γ = a.γ = WA
Chiếu (2) lên 2 trục tọa độ.
τ
aCx = - aB + aCB = - aB + aA = 0

r
aτBA
B

n
aCB

D

C

n
aCy = aCB = aω2
⇒ aC = aCy = 16 cm/s2 hướng từ C đến B.
Chú ý: Có thể tìm gia tốc bằng phương pháp
tâm gia tốc tức thời

2b
b
α

A

rτ
aCB

B

Bài 11
Trong cơ cấu bốn khâu bản lề, tay quay OA=b
quay nhanh dần với vận tốc góc ω0 và gia tốc
γ0. Thanh truyền AB = 2.OA, tại thời điểm đã
cho tạo với đường thẳng OO1 góc α = 300 và
OA, O1B đều vuông góc với OO1. Tìm gia tốc
góc của thanh AB và gia tốc củaB tại vị trí đó

r
aB
rn
aBA

2b

a
γo
ωo

O1
O

Chọn điểm A làm cực, định lý về quan hệ gia tốc cho ta:
r r r rn rt
r r r r rn rt
aτB + aBn = a A + aBA
+ aBA ⇒ aτB + aBn = a At + a An + aBA
+ aBA (*)
Trong đó :
bω2
n
n
a An = bω02 , aBA
= 0 a tA = ε 0 .b ; VA = b.ω0 , aBA
= o
2
Chiếu hai vế của (*) lên trục AB
b
aτB cosα + aBn sin α = aτA cos α + a An sin α ⇒ aτB = ( 3 ωo2 − 6 ε o )
6
Chiếu hai vế của (*) lên trục vuông góc AB ta nhận được:

12


−aB = −a An sin α + aτBA cos α ⇒ aτBA =
⇒

ε BA =

a ωo2
3

ω rad
2
2 3 s

YA
B

YA

2
o

a

2

YA

a

2

α

A

YA

YA

YA

aε

o

ωo

O1
O

Bài 12.
Thanh thẳng AB = l chuyển động song phẳng. Tại thời điểm đã cho, gia tốc tại A và B có trị số
bằng nhau aA = aB = a, có phương vuông góc với nhau và gia tốc a A tạo góc α (α < 450) với
thanh AB.
Tìm tâm gia tốc tức thời của thanh và gia tốc tại điểm giữa C của thanh
B

A

C
A

α
A
Q

Tâm gia tốc tức thời:
Thanh AB chuyển động song phẳng:
r r r
r
r r rτ
rn
aB = aA + aBA ⇒ aBA = aB − a A = aBA
+ aBA
= aBA = a 2
n
aBA
= aBA sin(450 − α ) = a 2 sin(450 − α )

aτBA = aBA cos(450 − α ) = a 2 cos(450 − α )

A

A

A

B

45

A

α

A

45+α

A

α

C

A

A

a 2
a = lω ⇒ ω =
sin(450 − α )
l
a 2
aτBA = lε 2 ⇒ ε =
cos ( 450 − α )
l
ε
tgλ = 2 = cot g 45 0 − α = tg 45 0 + α
ω
aA
l 2
=
⇒ λ = 45 0 + α Và AQ =
2

ω4 + ε 2
r
rτ
l 2
Chiều ε theo chiều a AB . Quay gia tốc a A quanh A góc λ = 450 + α, lấy đoạn AQ =
tìm
2
l 2
được tâm gia tốc Q, tạo thành tam giác vuông cân ∠( AQB ) có cạnh QA = QB =
.
2
b. Gia tốc điểm giữa C :
Có phương tạo với đoạn CQ góc λ và có giá trị bằng:
n
BA

2

2

(

)

(

)

13

aC = CQ ω 4 + ε 2 =

l a 2 a 2
=
2 l
l

Bài 13.
Tay quay OA = r quay đều quanh trục O cố định với vận tốc góc ω0. Đầu B của thanh truyền
gắn bản lề với trục của con lăn D có bán kính R, lăn không trượt trên đường nằm ngang. Biết
chiều dài thanh AB = 1.
Tìm vận tốc và gia tốc tại hai điểm I, K trên chu vi con lăn tại thời điểm Ibán kính BI thẳng
đứng và bốn điểm O, A, B, K cùng nằm trên đường thẳng ngang
O

ωo

A

l
B

K

a. Vận tốc và gia tốc điểm I
n
2
τ
− Vận tốc và gia tốc điểm A: V A = rω 0 , a A = rω0 , a A = rε 0 = 0

− Thanh truyền AB chuyển động song phẳng : VB = VP1 = 0 , ω1 =
− Gia tốc điểm B:
r r r
r rn rτ
aB = aA + aBA = a An + aBA
+ aBA (1)
r
rτ
(Giả thiết chiều aB và aBA như hình vẽ)
Chiếu (1) lên hệ trục Oxy:
n
aB = aAn + aBA
= rω02 + lω12

A

O

ωo A

A

l
A

0 = − aτBA = −lε1

(2) ⇒ aB =

V A rω 0

=
AP1
l
I
D

ω1

K

B∼P1
A

A

A

r (l + r ) 2
ω0 , ε 1 = 0
l

A

(2)

VB
= 0 ⇒ VI = VK = 0
BP2
r r rn rτ
Chọn B làm cực, ta được: aI = aB + aIB + aIB

Xét con lăn D tại thời điểm đó: ω 2 =

n
2
τ
Trong đó: aIB = Rω2 = 0 , aIB = Rε 2
2
V&
WB R ( l − r ) ω0
Mà: ε 2 = ω& 2 = B =
=
R
R
Rl
r
τ
2
Do đó: aIB = (l + r )ω0
l
rτ
rτ
Hai véctơ: aB và aIB song song cùng chiều

τ
Giá trị của gia tốc tại I bằng: aI = aB + aIB =

2r
(l + r )ω02
l

b. Gia tốc tại điểm K như sau:
r
r
r rτ
rn
n
aK = aB + aKB
+ aKB
= Rω 22 = 0 , aτKB = Rε 2 = (l + r )ω02
Trong đó: WKB
l
r
rτ
Hai vectơ aB và aKB vuông góc với nhau do đó gia tốc của điểm K bằng:
2
aK = aB2 + (aKB
)2 =

r 2
(l + r )ω02
l

M1
r
Vo

Bài 14
O

M2

r
Wo

14


Bánh xe lăn không trượt trên đường thẳng nằm ngang.
Cho biết bánh xe có bán kính là R, khi chuyển động
r
r
tâm O của bánh xe có vận tốc là V0 và gia tốc W0 .
Hãy xác định vận tốc và gia tốc của điểm M1, M2.

Xác định vận tốc và gia tốc của điểm M1.M2
1. Xác định vận tốc và gia tốc của M1
•
Tâm vận tốc tức thời (I) ⇒
V0 V0
V
=
Vận tốc góc của bánh xe : ω =
⇒ VM1 = ω .IM 1 = 0 .2 R = 2V0
IO R
R
•
Gia tốc của điểm M1 :
r
r rτ
rn

Chọn O làm cực : aM1 = a0 + aM1O + aM1O

M1

r
aMτ 1O
r
Vo

r
aMn 1O

r

O ao

a0
.R = a0 = aτM 2O
R
V2
aMn 1O = ω 2 .OM 1 = 0 = aMn 2O
R
2
1
4R 2 a02 + V04
⇒ aM1 = a0 + aτM1O + aMn 1O 2 =
R
r r
2. Xác định vận tốc và gia tốc của M2 : VM 2 ; aM 2

r
aMτ 2O

)

Tương tự: ⇒ VM 2 = ω.IM 2 =
⇒ aM 2 =

M2

I

τ
Trong đó : aM1O = ε .OM 1 =

(

r
aMn 2O

(a

0

− aMn 2O

)

2

+ aτM 2O 2

V0
. 2 R = 2 Vo
R
V2
= (ao − o ) 2 + ao2
R

Bài 15.
Cơ cấu 4 khâu như hình vẽ. Tay quay OA quay

ωo

O

A

đều với vận tốc góc ωo = 4 rad/s , OA = r = 0,5 m
AB = 2r , BC = r 2 Hãy tìm:
Vận tốc góc, gia tốc góc thanh AB và BC.

C

•
Vận tốc góc, thanh AB,BC
Thanh AB chuyển động song phẳng có tâm vận tốc tức thời là P.

45
o

B

VA
= 2 rad/s
AP
và V B lên phương AB cho :

VA = ωo.OA = ωAB AP⇒ ωAB =
Chiếu V A

VA = VBcos45 ⇒ VB = VA. 2 = 2 2 m/s
VB
2 2
=
⇒ Vận tốc góc thanh BC là : ωBC =
= 4 rad/s
BC 0,5. 2
•
Gia tốc góc thanh AB,BC
Chọn A làm cực .
r
uur uur uur uur uuur uuur
uur uur uuur uuu
n
n
aB = aA + aτBA + aBA
⇔ aBn + aτB = a An + aτA + aτBA + aBA
Trong đó :

ωo

O


VA
A


VB
τ
BA

r
aBτ

n
aBA

45
o

a
(1)

P

r
a An
C

r
aBn

B

15


2
aBn = BC.ωBC
= 0,5 2.4 2 = 8 2 m/s2

aτB = BC.ε BC ; a An = OA. ωo2 = 0,5.42 = 8 m/s2
aτA = 0 ; aτBA = AB.εAB
n
2
aBA
= AB.ω AB
= 2.0,5.22 = 4 m/s2

τ
Giả sử aB có chiều như hình vẽ, và chiếu (1) lên phương AB cho :
n
aτB .cos45 = aBA
+ aBn cos45
n
aBA
+ aBn .cos 45
τ
=

a
⇒ B =
cos 45

4 + 8 2.

2
2

τ

⇒ aB = 12 2 m/s2

2
2
τ
a
12 2
aτB = BC.εBC ⇒ εBC = B =
= 24 rad/s2
BC 0,5. 2
Chiếu (1) lên phương vuông góc với AB cho :
aBn cos 45 − aτB cos 45 = −a An − aτBA ⇒ aτBA = aτB cos 45 − aBn cos 45 − a An
2
2
− 8 2.
−8 = - 4 < 0
2
2
ngược chiều hình vẽ

aτBA = 12 2.
τ
Vậy aBA

aτBA
−4
a = AB .εAB ⇒ εAB =
=
= - 4 rad/s2
AB 2.0,5
Vậy εAB quay ngược chiều kim đồng hồ
τ
BA

Bài 16.
Vật M rơi xuống theo quy luật x = 2t2 ( x tính bằng m) làm chuyển động ròng rọc 2 và ròng rọc
động 1. Ròng rọc 1 có bán kính bằng 0,2 m.
Tìm gia tốc các điểm C, B và D trên vành của ròng rọc 1 lúc t = 0,5 s ; OB ⊥ CD

2
A
1
C

O

D

M

x

2

B

Ròng rọc 1 chuyển động song phẳng,
VM = x& = VD = 4t (m/s)
V .R V
V
4t
⇒ VO = D = D = M = =2t m/s
2R
2
2
2
VO
2t
=
⇒ Vận tốc góc : ω =
= 10t
R 0,2
dω
⇒ Gia tốc góc : ε =
= 10 rad/s2
dt
• Gia tốc tại C: chọn O làm cực :

r
a0

rτ
aCO

1
C

rτ
aBO

rτ
aDO

VD

O

D

rn B
aBO

rτ
aDO

M

rn
aDO
x

r
 aM
VM

16


r uuur
uur uur uuu
n
T
(1)
aC = aO + aOC
+ aOC
dVO
Trong đó : - aO =
= 2 m/s2
dt
n
n
n
- aCO = aBO = aDO = R.ω2 = R.(10t)2 = 0,2(10.0,5)2 = 5 m/s2 ;
τ
τ
τ
T
- aCO = aBO = aDO = R.ε = 0,2.10⇒ aOC = 2 m/s2
T
n
(aCO

− aO ) 2 + (aCO
) 2 = (2 − 2) 2 + 5 2 ⇒ aC = 5 m/s2
r uuur
uur uur uuu
n
a. Gia tốc tại B : aB = aO + aBO
+ aτBO (2)

⇒ aC =

(1)

n
(aO + aBO
) 2 + (aτBO ) 2 ⇒ aB = (2 + 5) 2 + 2 2 = 7,28 m/s2
r uuur
uur uur uuu
n
Gia tốc tại D : aD = aO + aDO
(3)
+ aτDO

Từ (2) :⇒ aB =
•

Từ (3) : ⇒ aD =

n
( aO + aτDO ) 2 + ( aDO
) 2 = (2 + 2) 2 + 52 = 6,4 m/s2

Bài 17.
r
r
Hệ ròng rọc như hình vẽ. Ở thời điểm vật I được nâng lên với vận tốc v1 ,gia tốc a1 . Vật II hạ
r
r
xuống với vận tốc v 2 , gia tốc a2 . Ròng rọc động có bán kính R.
Tìm vận tốc ròng rọc động, vận tốc và gia tốc tâm C,
gia tốc điểm B.

I

II

r
V2
r
a2

B
C

Vật I và II chuyển động tịnh tiến. Hai ròng rọc nhỏ
quay chung quanh trục cố định. Ròng rọc động chuyển
động song phẳng. Ta có:

A

r

W1
r
V1

τ
τ
V1 = VA ; a1 = a A ; V2 = VB ; a2 = aB

a- Vận Tốc :
• Trên ròng rọc động, ta biết vận tốc hai điểm,
do đó tìm được tâm vận tốc tức thời P .
•

Vận tốc góc của ròng rọc :

ω=
•

V B V A V A + V B V1 + V2
=
=
=
PB PA PB + PA
2R

Vận tốc tâm C:

VB − V A V2 − V1
=
2

2
chuyển động lên
Vc =

II

r
V2

r
a2

rτ
aBC

r
VB

B

rn
aBC

r
a1
I

r
ac
r

Vc
C P

A

r
V1

r
VA

Vì V2 > V1 : tâm C đang

17


b- Gia tốc: ε =
và ac =
•

dω 1 d
a +a
=
( V1 + V2 ) = 1 2
dt 2 R dt
2R

d
d V −V
a −a

( Vc ) =  2 1 ÷= 2 1 Nếu a2 > a1 thì ac hướng lên
dt
dt  2 
2

r r rn rτ
Chọn C làm cực, ta có : aB = aC + aBC + aBC

Trong đó: aτBC = BC.ω 2 = (

V1 + V2 )
4R

2

,

a2 − a1 a1 + a2
+
= a2
2
2

a1 + a2
2

aτBC = BC. ε =

n
Chiếu (* ) lên hai trục tọa độ aBX = aBC

=

aBY = ac + aτBC =

(*)

(V1 + V2 ) 2
4R

Bài 18.
Cơ cấu 4 khâu bản lề như hình vẽ. Cho OA = r ; AB = 2r; O1B = r 2 . Lúc OA thẳng đứng,
các điểm OBO1 cùng nằm trên đường nằm ngang, khi đó thanh OA có vận tốc góc là ωo và gia
tốc góc εo = ωo2 3 . Tìm vận tốc góc và gia tốc góc của thanh AB
A

Tìm vận tốc góc và gia tốc góc của thanh AB.

r
aτA

A

r
VA

O

ωo
εo

O

r
a An

ωo

rn
aBA

rτ
aBA

P

r
aτA

B

r
a An

r
aBτ

O1
B

O1

r
aBn

a. Vận tốc thanh AB: Dùng tâm vận tốc tức thời
− Tâm vận tốc tức thời trùng với O .
− Tìm vận tốc góc của thanh AB : vA = rω0 = PA.ωAB ⇒ ω AB =

v A rω 0
=
= ω0
PA
r

vậy thanh AB quay ngược chiều kim đồng hồ.
- Điểm B thuộc thanh AB nên: v B = PB.ω AB = r 3ω 0 = BO1 ω BO1 ,
r 3ω 0
vB
3
=
= ω0
,
BO1
r 2
2
Và thanh BO1 quay quanh trục qua O1 theo chiều kim đồng hồ.
b. Gia tốc góc thanh AB:
− Chọn điểm A làm cực, định lý về quan hệ gia tốc cho ta:
r rn rt
r r r r rn rt

aB = a A + aBA
+ aBA ⇒ aBt + aBn = a At + a An + aBA
+ aBA (*)
⇒

ω BO1 =

18


−

Trong đó :
3r 2
n
2
ω0 ; a An = OAω02 = rω02 ;
aBA
= ω AB
. AB = 2rω02 ;
2
t
a A = ε 0 .OA = r 3.ω02 ;
rt
Để tính giá trị của aBA , chiếu hai vế của (*) lên trục OO1 , ta nhận được:
2
aBn = BO1.ωBO
=
1

n
t
t
aBn = − a tA − aBA
cos 300 + aBA
cos 600 ⇒ aBA
=

⇒ ε AB

6+4 6
r ωo2
2

t
aBA
3+ 2 6 2
=
=
ω0
BA
2

Bài 19.
Cần AB chuyển động nhanh dần đều từ trạng thái nghỉ, sau 4 giây trượt từ vị trí cao nhất xuống
đoạn h = 4cm làm cho cam có bán kính R = 10cm trượt ngang. Xác định vận tốc, gia tốc của
cam tại vị trí trên.
B
B

h
h

A

A

A

ϕ

R

R

I

A
YA

I

Vận tốc của cam:Phương trình chuyển động tuyệt đối: h =

t2
(cm)
4

t
1

2
⇒ vận tốc và gia tốc tuyệt đối: Va = = 2cm / s (khi t = 4 s) , Wa = cm / s
2
2
r r r
Áp dụng công thức: Va = Vr + Ve
(1)
Chiếu (1) lên phương AI: Vasinϕ = Vecosϕ

19


−

6
8
, cos ϕ =
⇒ Ve = Vatgϕ = 1,5cm/s
10
10
Chiếu (1) lên phương vuông góc với AI: Vacosϕ = -Vesinϕ + Vr
⇒ Vr = 2,5cm/s
Trong đó: sin ϕ =

B

a. Gia tốc của cam:
h
YA

A
A

r r r r r r
aa = ar + ae = arτ + arn + ae
r rτ
(Chiều vectơ gia tốc ae , ar là chiều giả định)

(2)

YA

ϕ

R

YA

I

Vr2
= 0, 625cm / s 2
R
Chiếu (2) lên phương AI:
aa sin φ = − ae cos φ + arn ⇒
aa = 0,5cm / s 2 , arn =

1
Wn
ae = tgφ + r = 0, 41cm / s 2 ⇒ ae = 0, 41cm / s 2

2
cos φ
A

Bài 20.

r
u

Bánh lệch tâm là một đĩa tròn bán kínk R quay quanh trục O theo
mép đĩa với vận tốc góc không đổi ω. Trên mép đĩa có điểm M

C

chuyển động từ điểm A với vận tốc tương đối u không đổi, chiều

ω

chuyển động chỉ trên hình vẽ.Hãy xác định gia tốc tuyệt đối của

O

điểm M tại thời điểm t ,

Xác định gia tốc tuyệt đối của điểm M tại thời điểm t ,
Tại thời điểm t điểm M cách điểmA một cung S = AM = u.t . Do đó góc α bằng AOM tại thời
điểm đó là :α =

S
u

=
t
2R 2 R

r r r r rn rn r
Định lí hợp gia tốc: aa = ar + ae + ac = a r + ae + ac
- Vr = u = const ⇒ arτ =

⇒

aa =

r
arn

du
u2
= 0 ; arn =
dt
R

- OM = 2Rcosα. Vì ω = const ⇒ ε = 0 ⇒ aeτ = 0 ;
aen = OM.ω2 = 2R ω2cosα , ac = 2ω.u
( aen ) 2 + ( arn − ac ) 2 + 2 aen ( arn − ac ) cos α

r
ac

M

A

r
u

r
aen
C

α
ω
O

Bài 21.
20


Hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh CD với vận tốc
π
π
ω=
rad/s = const . Dọc theo cạnh AB điểm M chuyển động theo qui luật ζ = a sin t
2
2
(cm).Cho biết DA = CB = a cm.
Hãy xác định gia tốc tuyệt đối của điểm M tại thời điểm t = 1 s

B

C

ω

M
ζ

D

A

B

C
ω

 Xác định gia tốc tuyệt đối của điểm M tại thời điểm t = 1 s
r r r r r rn r
Định lí hợp gia tốc: aa = ar + ae + ac = ar + ae + ac
π
Khi t = 1s thì: ω = ϕ& e = = const ⇒ ε = ω& = 0
2
π
π
π2
π
π2
Vr = ξ& = a cos t = 0 ⇒ ar = ξ&& = −a sin t = −a
2
2
4
2

4
2
r r
r
π
aπ 2
2
n2
Vr // ω e nên ac = 0 , aen = a
⇒ aa = ar + a e =
2
4
4

r
aen

M
r
ar

ζ

)

(

D

A

Bài 22.
Một cơ cấu culít OA quay quanh trục đi qua O với phương trình:
ϕ = 5t – 0,5t2 . Một con chạy M chuyển động dọc theo rãnh của culít với phương trình S = OM
= 0.5t3 ( S tính bằng cm , t tính bằng giây).
Tìm vận tốc và gia tốc tuyệt đối của con chạy M tại thời điểm t =
2s

A
M

• Tìm vận tốc tuyệt đối của con chạy M tại thời điểm t = 2s

r
rar
Vr

r
Ve

O

ω

M

A
r
Vr

O

ϕ

r
aτe

r
a en

ε
21


r
r r
Định lí hợp vận tốc: v M = ve + v r
3 2
Trong đó: - Vr = s& = t = 6 cm/s
2
1 3
- Khi t = 2 s thì OM = sr = 2 = 4 cm ⇒ Ve = OM ω = 4.3 = 12 cm/s
2
- Phương chiều các vectơ vận tốc biểu diễn trên hình vẽ
Va =

(V

2
r

) (

+ Ve2 =

)

6 2 + 12 2 = 13.4 cm/s

 Tìm gia tốc tuyệt đối của con chạy M tại thời điểm t = 2s
r r r r r rr rn r
Định lí hợp gia tốc: aa = ar + ae + ac = ar + ae + ae + ac
Trong đó:
τ
n
2
- ae = OM ε = 4 cm/s2 ; ae = OM ω = 4.32 = 36 cm/s2;
- ar = &&s = 3t = 6 cm/s2 ; ac = 2ωe .Vr = 2.3.6 = 36 cm/s2
Phương chiều các gia tốc biểu diễn trên hình vẽ
2


aa =  ( aen − ar ) + ( ac − aeτ ) 2 ÷⇒ aa = 302 + 32 2 = 43.86


2
cm/s

(

)

B
K

Bài 23.
A

Cam là một đĩa tròn bán kính R, tâm C quay đều quanh trục cố
định qua O với vận tốc ω0 làm cho cần đẩy AB chuyển động dọc
R
theo rãnh K. Độ lệch tâm OC =
.
2
Tìm vận tôc và gia tốc của cần đẩy tại thời điểm ứng với α=300; ϕ
= 450

α
α
ϕ

O

O

ωo

B

Vận tốc

r
r r
Định lí hợp vận tốc: v M = ve + v r

K
O

Ve = ω0 OA = lω0 .
Trong đó l=OA=

O
A

R
(1 + 3)
2

O

O

O

α
Oα
ϕ

3
⇒ vA = vetg300 = l
ω0

3
O

ve
2 3
⇒ và vr =
=
ω0 l
0
3
cos 30
•

Gia tốc

C

r r r r r r r r
a A = ar + ae + ac = arn + arτ + aen + ac

O

C

ωo

(*)

22

Trong đó: anr=

v r2 4l 2 2
4 3l
2
=
ω 0 , ane= l ω o , ac = 2ω0vr =
ω 02
R 3R
3

Các vectơ gia tốc được biểu diễn như hình vẽ
Chiếu (*) lên hai trục tọa độ
O = anrsinα + atr cosα - acsinα
aAcosα = anecosα + anr -ac
l ω2
2 3 l ωo2
aτr = ( ac − arn ) tgα =
( 3 −1) ; a A = o ( 4 3 − 3)
9
9

Bài 24.
Vấu có dạng nửa hình tròn bán kính r chuyển động tịnh tiến ngang sang phải với vận tốc không
đổi Vo làm cho thanh tựa lên nó phải chạy dọc theo rãnh thẳng đứng.
Tìm gia tốc của thanh thẳng đứng ứng với lúc ϕ = 300

ϕ

•

r r r
Vận tốc:: Định lý hợp vận tốc . Va = Vr + Ve

Trong đó: VA = lω0

n
a

r

Vo

XA

2

; aA = a = lω0

r
Phân tích V e theo hai phương vận tốc tương
A

đới và vận tốc tuyệt đối
Vo
cos ϕ
r r r
Gia tốc: Định lý hợp gia tốc : aa = ae + ar
Va = Vo.tgϕ ,

•

Vr =

A

YA
A

ϕ

YA
YA

Trong đó: ae = 0

r

Phân W a theo hai phương gia tốc tương đối pháp và gia tốc tiếp:
anr
Vo2
8 3 V02
A
a
=
=
=
⇒ a
cos φ r cos3 φ

9r

Bài 25.

Tam giác vuông OAB quay quanh O với vận tốc góc không
M đổi ωo=1rad/s. Điểm M chuyển
2
động từ A đến B với gia tốc không đổi bằng 2cm/s , vận tốc đầu bằng 0.
Tìm vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của M lúc t = 0,5s, biết lúc này OB=BM=4cm
ωo
B
O

23


A

Tìm vận tốc M:
r
r
r
Định lí hợp vận tốc : v M = v e + v r (*)
ve = OM.ω0 = OB. 2 ω0 = 4 2 cm/s
wr = 2cm/s2 ⇒ vr = wr t = 2t , lúc t = 0.5s ⇒ vr = 1 m/s
Chiếu 2 vế của phương trình (*) lên trục toạ độ ta có:
vMx= ve .cos45 = 4cm/s
2
vMy = -vr – vecos45 = -1-4 2 .
= -5 cm/s

2
⇒ vM =

r
ac

r
Vr
r
ar

r
ae n

ωo

2
2
v Mx
+ v My
= 4 2 + 5 2 = 41 cm/s

M

O

B

•
Gia tốc điểm M

uur uur uur
uur uur uur
r
Định lí hợp gia tốc : aM = ae + ar + ac = aer + ar + ac (*)
ane=OM.ω20 =4 2 .12 = 4 2 cm/s2
ac=2vr.ω0=2.1.1 = 2 cm/s2
ar=2cm/s2
Chiếu (*) lên 2 trục toạ độ ta được:
aMx = - ac – ane.cos45 = -6
aMy = - ar – ane.cos45 = -6
⇒

aM =

2
2
aMx
+ aMy
= (−6) 2 + (−6) 2 =6 2 cm/s2

Bài 26.
Nửa đĩa tròn bán kính R = 40cm quay đều với vận tốc góc ωo = 0,5 rad/s quanh đường kính AB.
Điểm M chuyển động theo vành đĩa với vận tốc không đổi u = 10 cm/s.
Tìm vận tốc và gia tốc tuyệt đối của điểm M lúc góc AOM = 45o.

B

ωo

B

O

r
u
45o

r
r
r
Vận tốc :Định lí hợp vận tốc : v M = v e +A v r (*)
O
ve = ωoRsin45o = 10 2 cm/s

ωo

M O

r
Wrn
45o

r
Wc

r
W ne
A

r r

Vr = u
r

M Ve
O

24

r
Ve


vr = u = 10m/s.
⇒ vM =

ve2 + u 2 = 10 3cm / s

• Gia tốc : Định lí hợp gia tốc :
uur uur uur
uur uur uur
r
aM = ae + ar + ac = aer + arn + ac (*)
aen = ωo2 R sin 450 = 5 2cm / s 2
u2
= 2,5cm / s 2
R
u 2
v r ' = 2.0,5
= 5 2cm / s 2
2

ac = 2ωo
Các véctơ gia tốc được biểu diễn như hình vẽ
Chiếu (*) lên trên trục tọa độ

 aMx = − ac = −5 2cm / s 2

25

n
n
0
2cm / s 2
 aMy = −ae − ar cos 45 = −
4


2
n
0
cm / s 2
 aMz = ar sin 45 = 5

4
arn =

aM = (5 2) 2 + (25

2 2
2 2
) + (5

) ≈ 11,5cm / s 2
4
4

Bài 27.
Vành tròn bán kính R = 20cm quay trong mặt phẳng của nó quanh
trục O với vận tốc góc không đổi ωo = 3 rad/s. Điểm M chuyển
động trên vành theo luật s = cung OM= 5πt cm.Tìm vận tốc và gia
tốc tuyệt đối của điểm M lúc t = 2s.
M

Vận tốc của M
r
r
r
Định lí hợp vận tốc : vM = v e + v r (*)
π
π
Tại t = 2s , s = 10π = R ⇒ ϕ =
2
2
ve = OA.ωe = ωoR 2 = 60 2 cm/s
và vr = s& = 5 π cm/s
Chiếu (*) lên hai trục tọa độ
0
vMx = −ve cos 45 = −60cm / s

0
vMy = −vc sin 45 + vr = 44,3cm / s
⇒ vM =

v

2
Mx

+v

2
My

O

r
Vr
r
ac

M

r
Ve

ωo

r
ar n
r
ae n

ωo
O

= 60 + (44,3) = 74,6cm / s
2

2

• Gia tốc của M
uur uur uur
uur uur uur
r
Định lí hợp gia tốc : aM = ae + ar + ac = aen + arn + ac (**)
aen = OA.ωo2 = R 2ωo2 = 180 2cm / s 2
vr2 5 2
= π
R 4
ac = 2ωo.vr = 2.3.5.π = 30π cm/s2.
Các véctơ gia tốc được biểu diễn như trên vẽ
arn =

25