Toán cao cấp cho khối kinh tế dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng

UBND TỈNH QUẢNG NGÃI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG
------------

BÀI GIẢNG
TOÁN CAO CẤP C

NGƯỜI BIÊN SOẠN: NGUYỄN VIẾT TRÍ
ĐƠN VỊ: KHOA CƠ BẢN

QuảngNgãi, tháng 04 - 2016


GIỚI THIỆU HỌC PHẦN
Toán cao cấp C là chương trình Toán dành cho sinh viên khối ngành kinh tế.
Nội dung của toán cao cấp C gồm 2 phần: Giải tích và Đại số. Phần giải tích gồm
những kiến thức cơ bản hàm số, giới hạn và liên tục, đạo hàm và vi phân, nguyên
hàm và tích phân của hàm một biến số. Các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến
số thực. Phương trình vi phân. Phần đại số gồm ma trận, định thức, hệ phương
tuyến tính. Đặc biệt là các ứng dụng các nội dung nêu trên trong chuyên ngành kinh
tế
Tập bài giảng này được biên soạn theo chương trình qui định năm 2014 của
Trường Đại học Phạm Văn Đồng cho khối ngành kinh tế theo học chế tín chỉ.
Chương trình có 7 chương ứng với 3 tín chỉ (45 tiết lên lớp, 90 tiết tự học).
Chương I: Hàm số, giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến
Sinh viên cần nắm chắc các khái niệm cơ bản về hàm số, các hàm số thường
dùng trong ngành kinh tế, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục,
Chương II: Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến
Sinh viên nắm chắc khái niệm, cách tính và ý nghĩa đạo hàm, vi phân các cấp
của hàm số. Áp dụng của đạo hàm vi phân trong chuyên ngành kinh tế
Chương III: Tích phân của hàm số một biến

Sinh viên nắm vững định nghĩa, các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân xác
định của các hàm số (Hàm hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm vô tỷ...). Nắm và biết khai
thác các ứng dụng của tích phân trong ngành kinh tế và cuối cùng nắm được tích
phân suy rộng
Chương IV: Hàm số nhiều biến số
Sinh viên nắm vững các khái niệm cơ bản về hàm nhiều biến số, các vấn đề về
tính liên tục, vi phân, cực trị, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số nhiều biến
số. Áp dụng trong kinh tế.
Chương V: Phương trình vi phân
Sinh viên nắm vững định nghĩa, cách giải phương trình vi phân cấp 1, 2 thường
gặp.
Chương VI: Định thức - Ma trận
Sinh viên nắm được định nghĩa, tính chất, cách tính định thức, các phép toán và
tìm hạng của ma trận
Chương VII: Hệ phương trình tuyến tính
Sinh viên nắm được khái niệm hệ phương trình tuyến tính, điều kiện tồn tại
nghiệm và các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính. Các mô hình tuyến
tính trong phân tích kinh tế, ...
Trong mỗi chương sau việc trình bày lý thuyết đều có nêu lên các thí dụ để
minh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý hoặc thuật toán để giúp sinh viên dễ dàng
trong tiếp thu bài học, cũng như tự học. Cuối chương có các câu hỏi và bài tập
luyện tập, giúp sinh viên nắm chắc hơn lý thuyết và kiểm tra mức độ tiếp thu bài
học. Sinh viên cần trả lời các câu hỏi và làm đầy đủ bài tập sau mỗi chương.
Để học tốt học phần này, sinh viên cần chú ý những vấn đề sau:

2


+ Thu thập đầy đủ các tài liệu tham khảo.
- Tài liệu bắt buộc:

[1] Trần Ngọc Hội- Nguyễn Chính Thắng- Nguyễn Viết Đông, Giáo trình toán
cao cấp B và C, Trường ĐH Quốc gia Tp HCM.
[2] Lê Đình Thúy, Giáo trình toán cao cấp, Trường ĐH Kinh tế Quốc dân
- Tài liệu tham khảo:
[3] Đỗ Công Khanh, Toán cao cấp 1, ĐHQG Tp HCM.
[4] Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác (2003), Bài tập toán cao cấp tập II ,
NXBGD.
+ Nắm vững lịch trình giảng dạy, nghiên cứu nắm những kiến thức cốt lõi của bài
giảng trước khi lên lớp học.
+ Khi kết thúc mỗi chương sinh viên phải hoàn thành các bài tập do giảng viên yêu
cầu của chương đó vào tuần tiếp theo, cuối mỗi phần lớn có các bài tập tổng hợp.

3


MỤC LỤC
GIỚI THIỆU MÔN HỌC.............................................................................................2

Chương 1. HÀM SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC....................6
1.1.

Hàm số.......................................................................................................6

1.3. Các hàm số đặc biệt......................................................................................8
1.4. Các hàm số sơ cấp cơ bản...........................................................................10
1.5. Giới hạn hàm số...........................................................................................11
1.6. Sự liên tục của hàm số.................................................................................19
Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN.................................24
2.1. Đạo hàm......................................................................................................24
2.2. Sự khả vi và vi phân hàm số........................................................................29

2.3. Các định lý về hàm số khả vi.......................................................................31
2.4. Ứng dụng của đạo hàm................................................................................37
Chương 3. TÍCH PHÂN........................................................................................46
3.1. Nguyên hàm và tích phân không xác định...................................................46
3.2. Các phương pháp cơ bản tính tích phân......................................................47
3.3. Tích phân các hàm số thường gặp...............................................................49
3.4. Tích phân xác định......................................................................................53
3.6. Ứng dụng của tích phân trong kinh tế...........................................................61
Chương 4. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ.................................................................68
4.1. Các khái niệm cơ bản..................................................................................68
4.2. Giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến..........................................69
4.3. Đạo hàm riêng.............................................................................................71
4.4. Sự khả vi và vi phân toàn phần....................................................................73
4.5. Cực trị của hàm số hai biến.........................................................................75
Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN................................................................85
5.1. Các khái niệm cơ bản..................................................................................85
5.2. Phương trình vi phân cấp 1.........................................................................86
5.3. Phương trình vi phân cấp 2.........................................................................92

4


CHƯƠNG 6: MA TRẬN- ĐỊNH THỨC................................................................99
6.1. Ma trận.......................................................................................................99
6.2. Định thức....................................................................................................103
CHƯƠNG 7: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH............................................113
7.1 Hệ phương trình tuyến tính.........................................................................113
7.2 Các mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế...........................................117
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................126

5


1. HÀM SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
1.1. Hàm số
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1 Cho tập X  R
Hàm số một biến xác định trên tập X ( X  R ) là một một quy tắc sao cho
ứng với mỗi giá trị của biến x thuộc X có duy nhất một giá trị thực của biến y.
Kí hiệu y = f(x)
·
x được gọi là biến số độc lập, y được gọi là biến số phụ thuộc.
·
X được gọi là miền xác định của hàm số, kí hiệu là Df .
Tập Y  f ( X )   y  R x  X ; y  f ( x ) được gọi là tập giá trị của hàm số.
Nếu x  x0  X thì y0  f ( x0 ) gọi là giá trị của hàm số tại x0 .
1.1.2. Các phương pháp cho hàm số
1.1.2.1 Phương pháp giải tích
Cho hàm số bởi một đẳng thức mà vế thứ nhất là giá trị y của hàm tại x, vế thứ
hai là một hoặc nhiều biểu thức giải tích đối với x. Tập xác định của hàm số là tập
các giá trị của đối số x để biểu thức có nghĩa
Thí dụ 1.2.1 a. Hàm số y  4  x 2 có tập xác định là tập những giá trị của x sao
cho 4  x 2  0  2  x  2


khi x 
sinx
2





b. y  3x  4 khi
x
2
2



khi x 
cosx
2


có tập xác định là R

1.1.2.2 Phương pháp bảng
Phương pháp giải tích thường được dùng trong những nghiên cứu lý thuyết,
nhưng nhiều khi nó không tiện lợi trong thực hành vì phải tính đủ mọi phép toán khi
tính giá trị của hàm số. Để tránh điều đó, người ta thường dùng phương pháp cho
theo bảng. Phương pháp này thường được dùng trong vật lý, kỹ thuật
1
x

Thí dụ 1.2.2 Người ta lập bảng giá trị các hàm số y  x 2 , , lg x, x , s inx, t anx,...
1.1.2.3 Phương pháp đồ thị
2
Tập G   ( x, y )  R

x  X , y  f ( x) được gọi là đồ thị hàm số y = f(x) xác

định trên X và nó được biểu diễn bởi một đường trong mặt phẳng Oxy. Đồ thị của
hàm số cho ta có một hình ảnh hình học nhận biết dễ dàng nhiều tính chất của hàm
số đó. Vì thế, trong kinh tế và kỹ thuật người ta cho hàm số bằng cách cho đồ thị
của nó. Chẳng hạn đồ thị biểu biễn về chứng khoán, đồ thị biểu diễn điện áp của

6


lưới điện, đồ thị biểu diễn nhịp tim ... Nhược điểm của phương pháp cho hàm số
bằng đồ thị là không thật chính xác.
1.1.3. Các phép toán trên hàm số
1.1.3.1 Cộng trừ nhân chia hàm số
Định nghĩa 1.2.2 Cho hai hàm số f, g có tập xác định tương ứng là tập D và G.
Khi đó f + g, f – g, f.g,

Hàm số y  x  1  3  x là tổng của hàm số f ( x)  x  1 và hàm

Thí dụ 1.2.3
số

f
( g ( x )  0 ) là hàm số xác định trên X  D  G và
g

3  x có tập. xác định là  1,     , 3   1,3

1.1.3.2 Hàm số hợp
Định nghĩa 1.2.3 Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập X, nhận giá trị trên tập Y và
hàm z = g(y) xác định trên tập Y. Khi đó z cũng là hàm của x xác định trên tập X

z  g  f ( x)  .

z được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và g. Ký hiệu: go f
Vậy z ( x )   g 0 f  ( x)  g  f ( x)  .

Thí dụ 1.2.4 Cho hai hàm số f ( x) 2 x và g ( x)  x . Khi đó:


 go f  ( x)  g  f  x    g  2 x  





fo g  ( x)  f  g  x    f

2x

 x  2

x

1.1.3.3 Hàm số ngược
Định nghĩa 1.2.4 Cho hàm số: f : X  Y
x a y  f ( x)

Nếu tồn tại hàm số  : Y  X

y a x   ( y ) sao cho f ( x )  y

thì hàm số  được gọi là hàm số ngược của hàm số f. Ký hiệu:   f 1 .
1
1
Ta có:  ( y )  f ( y )  f  f  x    x .

Chú ý: Người ta thường viết lại hàm số ngược của hàm số y  f ( x) là y  f 1 ( x)
thay cho hàm x  f 1 ( y ) . Đồ thị hai hàm số ngược nhau đối xứng nhau qua đường
phân giác thứ nhất.
Thí dụ 1.1.5 Hàm số y = 3x có hàm số ngược là y 
1.3. Các hàm số đặc biệt
1.3.1 Hàm số đơn điệu
Định nghĩa 1.3.1 Hàm số y  f ( x) được gọi là:

7

x
3


- Tăng (hoặc giảm) trong khoảng  a, b  nếu x1 , x2  ( a, b) : x1  x2 thì
f ( x1 )  f ( x2 ) ( hoặc f ( x1 )  f ( x2 ) ).

- Tăng nghiêm ngặt (hoặc giảm nghiêm ngặt) trong khoảng  a, b  nếu
x1 , x2  (a, b) : x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ) (hoặc f ( x1 )  f ( x2 ) ).

Hàm tăng hoặc giảm được gọi là hàm số đơn điệu
Thí dụ 1.3.1
- Hàm số y  x 2 là hàm giảm nghiêm ngặt trong các khoảng  , 0  và tăng
nghiêm ngặt trong khoảng  0,  
- Hàm số y  x3 là hàm tăng nghiêm ngặt trong khoảng  ,  

1.3.2. Hàm số bị chặn
Định nghĩa 1.3.2 Hàm số f ( x) được gọi là bị chặn trên (hoặc dưới) trong tập
D  X (X là miền xác định), nếu tồn tại M  R sao cho ta có: f ( x )  M (hoặc
f ( x)  M ) với x  D .
Hàm số y  f ( x) được gọi là bị chặn trong tập D nếu nó vừa bị chặn trên, vừa
bị chặn dưới trong tập D. Nghĩa là tồn tại

M R:M 0

sao cho f ( x)  M ; x  D .

Thí dụ 1.3.2 Hàm số y  s inx là các hàm số bị chặn trong R vì sin x  1; x  R .
1.3.3. Hàm số chẵn lẻ
1.3.3.1 Định nghĩa 1.3.3 Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên tập đối xứng D.
Hàm số y  f ( x) được gọi là hàm số chẵn (hoặc hàm số lẻ) trên tập D nếu
x  D luôn có:  x  D và f (  x )  f ( x ) f (  x )  f ( x ) (hoặc f (  x)   f ( x) ).
Thí dụ 1.3.3 Hàm số y  x 2 là hàm số chẵn trên R. vì x  R   x  R và
f ( x)  f ( x)

Hàm số y  x3 là hàm số lẻ trên R vì x  R   x  R và f ( x)   x 3   f ( x) .
1.3.3.2 Tính chất
- Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
- Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
1.3.4. Hàm số tuần hoàn
1.3.4.1 Định nghĩa 1.3.4 Cho hàm số y  f ( x) xác định trên tập D.
Hàm số y  f ( x) được gọi là hàm số tuần hoàn trên D  [x  D,
L  R : L  0  x  L  D sao cho f ( x  L)  f ( x) ]
1.3.4.2 Chu kỳ của hàm tuần hoàn
Định nghĩa 1.3.5 Giả sử y  f ( x) là hàm số tuần hoàn trên tập D. Nếu tồn tại số
dương T nhỏ nhất sao cho: f ( x  kT )  f ( x); x  D; k  Z thì T được gọi là chu kỳ

của hàm tuần hoàn y  f ( x) .

8


Thí dụ 1.3.4 Hàm số y  tan x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T   .
1.3.5. Một số hàm số thường dùng trong kinh tế
Trong thực tiễn ngành kinh tế người ta thường xét đến nhiều hàm số như hàm
cung, hàm cầu, hàm sản xuất, hàm tiêu dùng, hàm thu nhập, hàm lợi nhuận, ...
1.3.5.1 Hàm cung và hàm cầu
- Hàm cung là hàm biểu thị sự phụ thuộc của lượng hàng cung đối với một loại hàng
hóa vào giá cả của hàng hóa đó. Hàm cung có dạng: Qs  S  p 
Khi giá cả càng cao thì người bán càng thi nhau bán hàng, nên hàm cung là hàm
đồng biến
- Hàm cầu là hàm biểu thị sự phụ thuộc của lượng hàng mua đối với một loại hàng
hóa vào giá cả của hàng hóa đó. Hàm cầu có dạng: Qd  D  p 
Khi giá cả càng cao thì người mua càng ít mua hàng, nên hàm cầu là hàm
nghịch biến
- Đồ thị hàm cung và hàm cầu (đường cung và đường cầu) cắt nhau tại một điểm

là điểm cân bằng thị trường: Điểm cân bằng thị trường là điểm  Q, p  trong đó Q là
lượng hàng hóa cân bằng và p là giá cân bằng.
1.3.5.2 Hàm sản xuất ngắn hạn
Trong kinh tế “Ngắn hạn là khoảng thời gian mà ít nhất một trong các yếu tố
sản xuất không thể thay đổi. Dài hạn là khoảng thời gian mà tất cả các yếu tổ sản
xuất có thể thay đổi”.
Khi phân tích sản xuất, người ta thường quan tâm đến hai yếu tố sản xuất quan
trọng là vốn và lao động được ký hiệu tương ứng là K và L. Trong ngắn hạn K
không đổi, do đó hàm sản xuất ngắn hạn có dạng: Q  f  L 
1.3.5.3 Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận

Tổng doanh thu, tổng chi phí và tổng lợi nhuận của nhà sản xuất phụ thuộc vào
sản lượng hàng hóa. Khi phân tích sản xuất các nhà kinh tế học còn sử dụng các
hàm số:
 Hàm doanh thu là hàm số biểu thị sự phụ thuộc của tổng doanh thu (ký hiệu
là TR) vào sản lượng (ký hiệu là Q): TR  TR  Q 
Chẳng hạn, tổng doanh thu của nhà sản xuất cạnh tranh là hàm bậc nhất: TR  p.Q
 Hàm chi phí là hàm biểu diễn sự phụ thuộc của tổng chi phí sản xuất (ký hiệu
là TC) vào sản lượng (ký hiệu là Q): TC  TC  Q 
 Hàm lợi nhuận là hàm số biểu thị sự phụ thuộc của tổng lợi nhuận (ký hiệu là

 ) vào sản lượng (ký hiệu là Q):     Q 

9


Hàm lợi nhuận có thể được xác định thông qua hàm doanh thu và hàm chi phí
(Chưa tính thuế):   TR (Q)  TC (Q )
1.4. Các hàm số sơ cấp cơ bản
1.4.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.4.1 Các hàm số sau được gọi là hàm số sơ cấp cơ bản
+ y = C ( C là hằng số).
+ Hàm số luỹ thừa y  x ,   R .
+ Hàm số mũ y  a x ; (0  a  1)
+ Hàm số lôgarit y  log a x; (0  a  1)
+ Các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.
+ Các hàm số lượng giác ngược: Có bốn hàm số ngược của các hàm số lượng
giác sau đây:
1.4.1.1 Hàm số y = arcsinx là hàm số ngược của y = sinx
sin y  x


arc sinx = y  
   
y


 2 , 2 

   
Hàm số y = arc sinx có tập xác định là [-1,1] và có miền giá trị là  , 
 2 2
1.4.1.2 Hàm số y = arccosx
cosy  x
arc cosx = y  
 y   0,  
Hàm số y = arccosx có tập xác định là [-1,1] và có miền giá trị là  0,  
1.4.1.3 Hàm số y =arctanx là hàm số ngược của hàm số y= tan x
  
arc tanx=y  x = tan y với y    ; .
 2 2
Hàm số y = arc tanx có tập xác định là (, ) và có miền giá trị là

  
 ; 
 2 2
1.4.1.4 Hàm số y = arccotx là hàm số ngược của hàm số y = cotx
arc cot x = y  cot y = x với y   0;  .

Hàm số y = arccotx có tập xác định là

( , ) và

có miền giá trị là  0,  

1.4.2. Hàm số sơ cấp
Định nghĩa 1.4.2 Hàm số sơ cấp là hàm số được tạo thành từ các hàm số sơ cấp cơ
bản nhờ các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, phép lập hàm số hợp, phép lập hàm số
ngược

10


Thí dụ 1.4.1 Hàm số y  2 x  x  1  log 3 ( x 2  5) là hàm số sơ cấp
1.5. Giới hạn hàm số.
1.5.1. Các khái niệm
1.5.1.1 Lân cận của một điểm
Định nghĩa 1.5.1 Cho điểm x0  R và   0 . Lân cận của điểm x0 bán kính  là tập
tất cả các điểm x  R sao cho x  x0   . Ký hiệu: U  ( x0 ) hoặc U(x0).
Vậy: U ( x0 )   x  R x0    x  x0      x0   , x0    .
Do đó lân cận của điểm x0 chính là khoảng nhận x0 làm tâm bán kính 
Thí dụ 1.5.1 Lân cận điểm x = 1 bán kính bằng 2 là khoảng  1  2,1  2    1,3
1.5.1.2 Các định nghĩa giới hạn của hàm số.
Định nghĩa 1.5.2 (Theo ngôn ngữ    ).
Cho hàm số y  f ( x) xác định trong lân cận U ( x0 ) , (có thể trừ x0 ).
Số L được gọi là giới hạn của hàm số f ( x) khi x dần về x0 nếu   0 cho trước bé
tùy ý,    ( )  0 sao cho x  U ( x0 ) : 0  x  x0    f ( x)  L   .
f ( x)  L hay f ( x)  L khi x  x0 .
Ký hiệu: xlim
 x0
x  1)  9 .
Thí dụ 1.5.2 Dùng định nghĩa chứng minh lim(4

x 2



. Khi đó:   0 ta chọn   sao
4
4
x  1)  9
cho x  U (2) : 0  x  2     4 x  1  9  4 x  2    lim(4
x 2

Giải: Xét  4 x  1  9  4 x  2    x  2 

Định nghĩa 1.5.3 (Theo ngôn ngữ dãy số).
Cho hàm số y  f ( x) xác định trong lân cận U ( x0 ) , (có thể trừ x0 ).
Số L được gọi là giới hạn của hàm số f ( x) khi x dần về x0 nếu với mọi dãy số

 x n  mà xn  U ( x0 ) và xn  x0 khi n   thì dãy các giá trị tương ứng của hàm
là  f ( x n ) luôn dần đến L.
f ( x )  L    xn  , xn  U ( x0 ) mà xn  x0  f ( xn )  L 
Vậy xlim
x
0

Chú ý: 1) Định nghĩa 1.5.2 (Theo ngôn ngữ    ) tương đương với định nghĩa
1.5.3 (Theo ngôn ngữ dãy số)
2) Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm theo ngôn ngữ dãy số ta áp dụng được
các kết quả giới hạn dãy số để nghiên cứu giới hạn của hàm số và nó thường áp
dụng để chứng minh một hàm số không có giới hạn.
1

x

Thí dụ 1.5.3 Chứng minh rằng hàm f ( x)  s in không có giới hạn khi

11

x0


Giải: Thật vậy lấy 2 dãy  xn  ,  x



xn 

1
; xn/ 
2n

1

 khi ấy xn  0;
2
/
xn  0 nhưng dãy giá trị tương ứng của hàm là dãy f ( xn )  0  0; f ( xn/ )  1  1
/
n

với

2n 

Vậy khi x  0 thì f(x) không có giới hạn
1.5.1.3 Giới hạn một phía
Định nghĩa 1.5.4 Cho hàm số y  f ( x) xác định trong lân cận trái của x0 (có thể
trừ x0 ). Số L được gọi là giới hạn trái của hàm số f ( x) khi x dần về x0 từ bên trái
nếu   0 cho trước bé tùy ý,    ( )  0 sao cho mọi x thuộc lân cận trái của
x0 thỏa mãn 0  x0  x    f ( x)  L   .
f ( x)  L hay f ( x)  L khi x  x  .
Ký hiệu: xlim
0
 x0

Tương tự cho hàm số y  f ( x) xác định trong lân cận phải của

x0

(có thể trừ x0 ).

Số L được gọi là giới hạn phải của hàm số f ( x) khi x dần về x0 nếu   0 cho
trước bé tùy ý,    ( )  0 sao cho mọi x thuộc lân cận phải của x0 thỏa mãn
0  x  x0    f ( x)  L  
f ( x)  L hay f ( x)  L khi x  x  .
Ký hiệu: xlim
0
 x0


f ( x)  L  lim f ( x)  lim f ( x)  L .
Định lý 1.5.1 xlim

x  x0
x  x0
x


0



1 khi x  0

f ( x)  1; lim f ( x)  1
Thí dụ 1.5.3 f ( x)  0 khi x  0  xlim
 0
x 0
1 khi x  0


Vậy f(x) không có giới hạn khi x  0
1.5.2. Giới hạn ở vô tận và giới hạn vô tận:
1.5.2.1 Giới hạn ở vô tận
Định nghĩa 1.5.5 Cho hàm số y  f ( x) xác định tại mọi x có x khá lớn.
Hàm f(x) được gọi là có giới hạn L khi x   , nếu   0 cho trước bé
tuỳ ý, luôn luôn tồn tại số M  0 lớn tùy ý sao cho khi x  M thì f ( x)  L   . Ký
f ( x)  L
hiệu: xlim


.

Hàm f(x) được gọi là có giới hạn L khi

x  

, nếu

  0

cho trước bé

tuỳ ý, luôn luôn tồn tại số M  0 lớn tùy ý sao cho khi x   M thì f ( x)  L   .
f ( x)  L .
Ký hiệu: xlim

1
x

0.
Thí dụ 1.5.4 Chứng minh rằng xlim
 

12


Với 

0

cho trước, nếu muốn có

tuỳ ý ta chọn M 

1
1
 0    x  Do đó   0 cho trước nhỏ
x


1
1
1
 0 lớn tùy ý, sao cho x  M   0   . Vậy lim  0 .
x  x

x

1.5.2.2 Giới hạn vô tận
Định nghĩa 1.5.6 Cho hàm số y  f ( x) xác định trong lân cận U ( x0 ) , ( có thể trừ tại
điểm x0 ). Hàm số f ( x) được gọi có giới hạn là  khi x  x0 , nếu với mỗi số A  0
lớn bao nhiêu tuỳ ý, luôn luôn     A   0 sao cho x  U ( x0 ) : 0  x  x0  
f ( x)  
Ký hiệu: xlim
x

thì f ( x)  A .

0

Hàm số f ( x) được gọi có giới hạn là  khi x  x0 , nếu với mỗi số

A0

lớn

bao nhiêu tuỳ ý, luôn luôn     A   0 sao cho x  U ( x0 ) : 0 x  x0   thì
f ( x )  
f ( x )   A . Ký hiệu: xlim
 x0

Thí dụ 1.5.5 Chứng minh lim
x 0
Với mọi số

A0

1
  .
x2

cho trước lớn tùy ý ta có

1
1
1
 A  0  0  x2 
hay 0  x 
2
A
A
x

1
. Do đó chỉ cần chọn   A

1.5.3. Một số tính chất của hàm số có giới hạn
Định lý 1.5.2
1. Giới hạn của một hàm số (nếu có) là duy nhất
f ( x)  C .
2. Nếu f ( x)  C (hằng số) thì xlim
 x0

3.

Nếu f ( x )  g ( x) trong lân cận nào đó của x0 và khi x  x0 các hàm f(x),

f ( x)  lim g ( x)
g(x) hội tụ thì xlim
x
xx
0

4.

0

lim f ( x)  L

Nếu

x  x0

và

nếu

tồn

tại

một

lân

cận

U ( x0 )

thoả

  f ( x)   ; x  U  x0  : x  x0 thì   L   .
f ( x )  lim g ( x ) thì tồn tại một lân cận U ( x0 ) , x  U ( x0 ), x  x 0 :
5. Nếu xlim
x
x x
0

0

f ( x)  g ( x) .
f ( x )  L thì lim f ( x )  lim f ( x)  L .

6. Nếu xlim
x
x x
x x
0

1.5.4.

0

0

Các phép toán về giới hạn

1.5.4.1 Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

13


Định lý 1.5.3 Nếu f(x) và g(x) hội tụ khi x  x0 thì f ( x)  g ( x); f ( x).g ( x);

f ( x)
g ( x)

cũng hội tụ khi x  x0 và
f ( x)  lim g ( x)
 f ( x)  g ( x)  xlim
a) xlim
x
x

xx
0

0

0

f ( x).g ( x)  lim g ( x). lim f ( x)
b) xlim
x
xx
xx
0

c) xlim
 x0

0

0

f ( x)
f ( x) xlim
 x0
g ( x)  0 .

; với xlim
 x0
g ( x) lim g ( x)
x  x0

f ( x) và k  const thì lim k . f ( x)  k . lim f ( x) .
Hệ quả 1 Nếu tồn tại xlim
x
x  x0
x  x0
0

Hệ quả 2 Nếu f1 ( x), f 2 ( x),..., f n ( x) là một số hữu hạn các hàm số có giới hạn khi
x  x0 thì ta có:

f1 ( x)  lim f 2 ( x)  ...  lim f n ( x) .
 f1 ( x)  f2 ( x)  ...  f n ( x)  xlim
a) xlim
x
x
xx
x x
0

0

0

0

f1 ( x). lim f 2 ( x)... lim f n ( x) .
 f1 ( x). f 2 ( x)... f n ( x)   xlim
b) xlim
x

x
x x
x x
0

0

0

0

1.5.4.2 Giới hạn hàm số hợp
Định lý 1.5.4 (Giới hạn của hàm số hợp)
  x   u0 , lim f (u )  L thì lim f   x    L
Cho hàm số hợp fo . Nếu xlim
x
u u0
x x
0

arctan
Thí dụ 1.5.6 Tính lim
x 1

Đặt u 

0

x2
x  x 1

2

x2
x2

arctan 2
 lim arctan u 
thì u  1 khi x  1  lim
x 1
4
x  x 1
x  x  1 u 1
2

1.5.4.3 Giới hạn hàm số sơ cấp
Định lý 1.5.5 (Giới hạn của hàm số sơ cấp)
f ( x)  f ( x0 )
Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 và lân cận x0 thì xlim
 x0
Thí dụ 1.5.7 lim
x1

5 x  2 5 1  2

7
4 x  3 4 1  3

1.5.5. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn
1.5.5.1 Tiêu chuẩn 1 (Nguyên lý kẹp)
Định lý 1.5.6

Nếu g ( x)  f  x   h  x  ; x  U  x0 

g ( x)  lim h( x)  L
và xlim
x
xx

f ( x)  L .
thì f(x) cũng hội tụ khi x  x0 và xlim
x
0

-

sinx
 1 (1)
x
s in u(x)
1
Áp dung (1) ta chứng minh được u lim
(2)
( x )0
u( x)

Áp dụng tiêu chuẩn1 ta chứng minh được lim
x 0

14

0

0


s in5x-sin3x
sin x
s in5x sin3x
5.
-3
s in5x-sin3x
5
x
3x  5  3  2
 lim
Giải: lim
x 0
x 0
sin x
sin x
1
x
1.5.5.2. Tiêu chuẩn 2 (đơn điệu bị chặn)
Định lý 1.5.7 Nếu hàm f(x) là hàm số tăng và bị chặn trên trong khoảng (a,b) thì
hàm f(x) có giới hạn bên trái khi x  b 
Định lý 1.5.8 Nếu hàm f ( x) là hàm số giảm và bị chặn dưới trong khoảng (a,b) thì
hàm f ( x) có giới hạn bên phải khi x  a 

Thí dụ 1.5.8 Tính các giới hạn sau lim
x 0

x

 1
Áp dụng tiêu chuẩn 2 chứng minh được sự tồn tại giới hạn của 1   khi
 x

-

x

1
x   và lim  1   = e (3)
x  
 x
u ( x)

-


k 
Áp dụng giới hạn (3) ta chứng minh được: lim 1 

u ( x )
 u ( x) 
1

. lim  1  x  x  e . (5) và
x 0

 e k ; (k  0).

(4)

1

lim  1  k . ( x)   ( x )  e k ; (k  0). (6)

 ( x ) 0

x2

 x 1
Thí dụ 1.5.9 Tính các giới hạn sau lim


x  x  1


x 2

 x 1
lim 

x  x  1



x 13

2 

 lim 1 

x 
x 1


x 1
3

2  
2  
2
 lim  1 
 . 1 
  e .
x 
x

1
x

1
 
 
x 1 


1.5.6. Vô cùng bé, vô cùng lớn

1.5.6.1 Định nghĩa:
Định nghĩa 1.5.7

Hàm   x  được gọi là một vô cùng bé khi x  x0

lim  ( x)  0 .

x  x0

 ( x)  
Hàm   x  được gọi là một vô cùng lớn khi x  x0 nếu xlim
 x0
Thí dụ 1.5.10 Khi

x 0

sin x  0 .
thì  ( x )  sin x là một VCB . Vì xlim
0

1
1
là một VCB . Vì lim  0 .
x x
x
1
1
Khi x  0 thì  ( x)  là một VCL . Vì lim  
x0 x
x

1.5.6.2 Liên hệ giữa VCB và hàm có giới hạn

Khi x   thì  ( x) 

15

nếu


 f ( x)  l   ( x)
lim f ( x)  l  
x  x0
 ( x) VCB khi x  x0
1.5.6.3 Các tính chất của vô cùng bé
Định lý 1.5.10 Trong quá trình nào đó thì tổng các VCB là VCB
Tích của một VCB và 1 đại lượng bị chặn là VCB và nghịch đảo của VCB là VCL.
Định lý 1.5.9

1
0
x
vì khi x  x0 thì x2 là VCB và sinx là đại lượng bị chặn
1.5.6.4 So sánh các vô cùng bé
Định nghĩa 1.5.8 Giả sử  ( x) ,  ( x) là hai VCB trong cùng một quá trình nào đó.
x 2 .sin
Thí dụ 1.5.11 lim
x 0

 ( x)
0 thì ta nói  (x) là một VCB bậc cao hơn VCB  (x)

 ( x)
hay  (x ) là một VCB bậc thấp hơn VCB  ( x) trong quá trình đó.
Khi đó: + Nếu lim

+ Nếu lim

 ( x)
 k  0 thì ta nói  (x) và  (x ) là hai VCB cùng bậc trong
 ( x)

quá trình đó. Đặc biệt:
+ Nếu k  1 thì ta nói  (x) và  (x) là hai VCB tương đương trong quá
trình đó, ký hiệu  ( x) :  ( x) khi x  x0 . ( hoặc x   )
sin x

1
Thí dụ 1.5.12 Khi x  0 thì s inx : x vì xlim
0 x
Khi x  0 ta chứng minh được các VCB sau tương đương sau:
sin ax ~ ax; (a  0) ;
arc tan ax ~ ax; (a  0)

log a (1  x) ~

1  cos x ~

1
x ;(0  a  1)
ln a

ln(1  x) ~ x ;

1 2
x ; ;
2

(1  x)  1 ~  x; (  R) ;

e x 1 ~ x

a x  1 ~ x. ln a; (0  a  1) ;
arcsin ax ~ ax; (a  0)

1.5.6.5 So sánh các VCL
Định nghĩa 1.5.9 Giả sử  ( x) ,  ( x) là hai VCL trong cùng một quá trình nào đó
( Chẳng hạn x  x0 ) . Khi đó:
 ( x)
 0 thì ta nói  ( x) là một VCL bậc thấp hơn VCL  ( x ) hay
+ Nếu lim
 ( x)
 ( x ) là một VCL bậc cao hơn VCL  ( x ) trong quá trình đó.

16


 ( x)
L 0 thì ta nói  ( x) và  ( x) là hai VCL cùng bậc trong
 ( x)
quá trình đó. Đặc biệt, nếu L 1 thì ta nói  ( x) và  ( x) là hai VCL tương đương
trong quá trình đó.

Thí dụ 1.5.13 Khi x   thì x 5 là VCL bậc cao hơn các VCL x 4 , x 3 , x 2 , x

+ Nếu lim

1.5.6.6 Áp dụng VCB hoặc VCL trong tìm giới hạn
a. Thay thế tương đương:
Định lý 1.5.11 Nếu   x  ,   x  là các VCB khi x  x0 và  ( x) ~  1 ( x) ;
  x
  x
 lim 1
và
x  x0   x 
0   x
1

 ( x) ~  1 ( x) khi x  x0 thì xlim
x
lim  ( x). ( x)  lim 1 ( x).1 ( x)

x  x0

x  x0

0
1  cos 2 x  tan 2 x
( có dạng vô định ).
x 0
0
x sin x

Thí dụ 1.5.14 Tìm lim

Giải:Khi x  0 ta có 1  cos 2 x ~

 2x
2

2

 2 x 2 ; tan 2 x ~ x 2 và sin x ~ x .

1  cos 2 x  tan x
1  cos 2 x
tan 2 x
2x 2
x2
 lim
 lim
 lim
 lim
3
Suy ra: lim
x 0
x 0
x 0 x sin x
x0 x.x
x 0 x. x
x sin x
x sin x
2

b. Ngắt bỏ VCB bậc cao
Định lý 1.5.12 Nếu   x  là một VCB bậc cao hơn VCB   x  trong quá trình nào
đó thì   x     x  :   x  trong quá trình đó
Quy tắc ngắt bỏ các VCB bậc cao
Nếu   x   1  x    2  x   ...   n  x  ;   x   1  x   2  x   ...   m  x  ; trong
một quá trình nào đó và  1 ( x) ;  1 ( x) là các VCB bậc thấp nhất

trong tổng

  x
  x
 lim 1
x  x0   x 
0   x
1

  x  ,   x  Thì lim
x x

x  sin 3 x  t an 7 x
x
1
 lim

4
8
x 0
x 0 3 x
3

3x  x  6 x
Vì khi x  0 thì sin 3 x, tan 7 , x 4 ,  6 x8 là các VCB bậc cao hơn x có thể ngắt bỏ
c. Quy tắc ngắt bỏ các VCL bậc thấp
Nếu f  x   f1  x   f 2  x   ...  f n  x  ; g  x   g1  x   g 2  x   ...  g m  x  là

Thí dụ 1.5.15 lim

các tổng VCL trong một quá trình nào đó và f1 ( x) ; g1 ( x) là các VCL bậc cao nhất
tương ứng trong các tổng f ( x), g ( x) thì lim

17

f ( x)
f ( x)
 lim 1
g ( x)
g1 ( x)


3

Thí dụ 1.5.16 xlim

Vì khi x  

thì

3

3x 3  2x  1  3 7x 2  8

x  2  x 1
2

 lim

3

3x 3  2x  1
x 2

x 

3

một VCL bậc thấp hơn

3

3

3x 3

x 

2

7 x 2  8 là một VCL bậc thấp hơn

 lim

x

3 x3  2 x  1 và

2
3

33
x  1 là

x 2  2 , nên các vô cùng lớn bậc thấp ở tử và mẫu bị lược

bỏ.
1.5.6.7 Một số ứng dụng khử dạng vô định

0 
; ;   ; 0.; 00 ; 1 ; 0 ;  0 ...
0 

Thí dụ 1.5.17 Tính các giới hạn:
x3  3x 2  2x

3. lim  1  x 2 

1.

lim
x2

2.

2x 2  3x  5
x
5x 1

x  x6
2

cot 2 x

x0

4. xlim
 1 x  x 


lim

Giải

x3  3x 2  2x 
0
( x  2)( x 2  x)
x( x  1)
2
Dang

lim
 lim


1. lim


2
x2 x  x  6
0  x2 ( x  2)( x  3) x2 x  3
5

2x 2  3x  5
2x 2
2 x  2
~
~
.

5x 1
5x
5 x
5

2. Khi x   ta có

2x 2  3x  5  2

x
5x 1
5

Vậy lim

2x 2  3x  5
2

x
5x 1
5

Tương tự lim
3. lim  1  x 2 

cot 2 x

x0

Ta có lim  1  x

2

x0



Dạng 1



cot 2 x

= lim  1  x 2
x0







1
x2





x2
tan 2 x

2
lim  x 
tan
x
1


 e x0
e e

 1  x  x  (Dạng    ) Ta biến đổi khử dạng vô định
4. xlim

lim

x 





1  x  x  lim



x 

1 x  x





1 x  x

1 x  x



  lim

x 



1
1 x  x



0

1.6. Sự liên tục của hàm số.
1.6.1. Định nghĩa
1.6.1.1 Sự liên tục của hàm số tại một điểm
Định nghĩa 1.6.1 Hàm số f (x) được gọi là liên tục tại
2 điều kiện:

18

x0

nếu và chỉ nếu thoả mãn


+ f ( x) xác định tại

x0 và

trong lân cận

x0

f ( x)  f ( x0 )

+ xlim
x
0

Thí dụ 1.6.1

 s inx
khi x  0

f ( x)   x
1 khi x  0

liên tục tại x = 0

s inx
 1  f (0)
x
Chú ý: Một hàm không liên tục tại một điểm được gọi là hàm số gián đoạn tại
điểm đó
1 khi x  0

Thí dụ 1.6.2 f ( x)  0 khi x  0 gián đoạn tại x = 0
 1 khi x  0

f ( x)  lim
Vì f(x) xác định trong lân cân x=0 và lim
x 0
x0

1.6.1.2 Sự liên tục một phía

Định nghĩa 1.6.2 Hàm số y  f ( x) được gọi là liên tục trái tại x0 nếu
+ f ( x) xác định tại x0 và trong lân cận trái x0
f ( x)  f ( x 0 )
+ xlim
x
0



Tương tự hàm số f ( x) được gọi là liên tục phải tại x0 nếu
+ f ( x) xác định tại x0 và trong lân cận phải x0
f ( x)  f ( x 0 ) .
+ xlim
x
0



Định lý 1.6.1 Điều kiện cần và đủ để hàm số y  f ( x) liên tục tại x0 là y  f ( x)
liên tục trái và liên tục phải tại x0 .
1.6.1.3 Sự liên tục trong khoảng
và trên một đoạn
Định nghĩa 1.6.3 Hàm số y  f ( x)
được gọi là liên tục trong khoảng
 a; b  nếu nó liên tục tại mọi

AA

B

x   a; b  .

Hàm số y  f ( x) được gọi là
liên tục trên đoạn  a; b nếu nó liên
tục trong khoảng  a; b  và liên tục
trái tại b , liên tục phải tại a .
1.6.1.4 Ý nghĩa hình học của hàm
số liên tục

Hình 1.1

19


Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  a; b thì đồ thị của nó là một đường liền nét
nối điểm A a; f (a )  và B b; f (b)  (Hình 1.1)
1.6.2. Các phép toán trên hàm số liên tục
1.6.2.1 Tổng, hiệu, tích, thương các hàm số liên tục
Định lý 1.6.2 Nếu hàm số f ( x ); g ( x) liên tục tại x0 thì f ( x)  g ( x), f ( x). g ( x ),

f ( x)
g ( x)

.với g ( x) 0 là những hàm số liên tục tại x0 .
1.6.2.2 Sự liên tục của hàm số hợp
Định lý 1.6.3 Nếu hàm u   ( x) liên tục tại x0 và hàm f (u ) liên tục tại u0    x0 
thì hàm hợp z   fo  ( x) cũng là hàm số liên tục tại x0 .
 ( x)  L và f liên tục tại
Nếu hàm xlim
x

0

L

 ( f 0 )( x) 
thì xlim
x
0

f  lim  ( x)   f  L 
 x x0


1.6.2.3 Sự liên tục của hàm số ngược
Định lý 1.6.4 Hàm số liên tục và đơn điệu trong một khoảng thì có hàm số ngược
và hàm số ngược cũng đơn điệu, liên tục
1.6.3. Sự liên tục của hàm số sơ cấp
Định lý 1.6.5 Mọi hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó
Thí dụ 1.6.3 Hàm số y  s inx  3 là hàm sơ cấp xác định trên R nên nó liên tục trên
toàn trục số.
1.6.4 Các tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn
1.6.4.1 Tính bị chặn cuả hàm số liên tục

Định lý 1.6.6 (Weierstrass) Nếu f ( x) liên tục trên đoạn  a, b  thì nó bị chặn trên
đoạn đó, tức là M , m  R sao cho m  f ( x)  M ; x  [ a, b] .
1.6.4.2 Đạt giá trị lớn nhất và bé nhất

Định lý 1.6.7 (Weierstrass) Nếu f ( x) liên tục trên đoạn  a, b  thì nó đạt giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó, tức là: x1 , x2   a, b  sao cho:
m  f ( x1 )  f ( x)  f ( x 2 )  M ; x   a, b  .

1.6.4.3 Nhận giá trị trung gian

Định lý 1.6.8 (Bolzano-Cauchy) Nếu f ( x) liên tục trên đoạn  a, b  và có
m    M với m; M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f ( x) trên đoạn
đó thì tồn tại ít nhất một điểm c   a, b  sao cho f (c)  
Hệ quả: Nếu f ( x) liên tục trên đoạn  a, b  và có f (a). f (b)  0 thì tồn tại ít
nhất một điểm c   a, b  sao cho f (c)  0 tức là phương trình f ( x)  0 có ít nhất
một nghiệm trong (a, b)

20


1.6.4.4 Bảo toàn dấu của hàm số liên tục

Định lý 1.6.9 Nếu f ( x) liên tục trên đoạn  a, b  , x0   a, b  và f ( x0 )  0 hoặc (
f ( x0 )  0) thì U ( x0 )  (a, b) sao cho x  U ( x0 ) : f ( x)  0 ( hoặc f ( x)  0 )

Chú ý: Các tính chất hàm số liên tục trên một đoạn có nhiều ứng dụng
Thí dụ 1.6.3 Chứng minh rằng phương trình x 5  3 x  1 có ít nhất một nghiệm
thuộc khoảng (1,2)
Giải: Đặt f ( x)  x5  3x  1 thì phương trình đã cho  f ( x)  0 ta có hàm số f ( x)
liên tục trên đoạn [1,2], f (1)  3  0; f (2)  35  0 theo hệ quả của Định lý 1.6.7 có
ít nhất c   1, 2  : f (c)  0 . Vậy phương trình x5  3x  1 có ít nhất một nghiệm thuộc
khoảng (1,2)

HƯỚNG DẪN TỰ HỌC, CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 1
Chương 1 sinh viên cần nắm chắc các khái niệm cơ bản về hàm số, giới hạn
của hàm số, hàm số liên tục, các hàm số thường dùng trong kinh tế. Đây là những
vấn đề cơ bản của giải tích toán học, làm công cụ nghiên cứu các chương tiếp theo

của toán cao cấp. Song các vấn đề này đã được học ở phổ thông và do thời lượng
học trên lớp hạn chế, sinh viên cần tự đọc kỹ nội dung từng phần, liên hệ với toán
phổ thông, vận dụng trong kinh tế, làm đầy đủ các bài tập. Tham khảo các tài liệu
[1]; [2] và sách toán giải tích lớp 11, lớp 12, trả lời các câu hỏi và làm đầy đủ các
bài tập sau:
1. Định nghĩa: Hàm số, các hàm số đặc biệt, hàm số và cho thí dụ các hàm số
trong kinh tế.
2. Định nghĩa hàm số hợp, hàm số ngược. Cho thí dụ.
3. Định nghĩa giới hạn của hàm số
4. Phát biểu các tính chất của giới hạn của hàm số.
5. Phát biểu các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số. Cho thí dụ
6. Định nghĩa VCB và VCL. Nêu các tính chất của nó.
7. Định nghĩa VCB tương đương và nêu ứng dụng của VCB tương đương.
8. Phát biểu và chứng minh định lí liên hệ giữa VCB và hàm có giới hạn hữu
hạn.
9. Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trong một khoảng và trên một
đoạn.Ý nghĩa hình học của hàm số liên tục trên một đoạn.
10. Nêu các tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn. Minh họa hình học từng
tính chất và nêu các ứng dụng của chúng
BÀI TẬP CHƯƠNG I

21


Bài 1 Tìm tập xác địnhcủa các hàm số sau:
2) y 

1) y  2  x 2
3x 2
1 x

Bài 2 Cho f(x) = x2, g(x) = 2x.

1
cos 2 x

4) y  lg  lg x 

3) y  arcsin

Hãy xác định các hàm số hợp sau:  fo g   x  ,  go f   x  ,  fo f   x  ,  go g   x 
Bài 3. Cho f(x) = ax + a-x. Chứng minh rằng: f(x+y) + f(x-y) = f(x).f(y)
Bài 4. Cho biết:
lim u ( x)  1, lim v( x)  , lim[u ( x)  1]v( x)  L
xa

x a

x a

v( x)

u ( x)]
Chứng minh: lim[
x a

 eL .

Áp dụng kết quả này hãy tính giới hạn sau:
1) lim  1  x

2

x 0



cot 2 x

2) lim(1  tan
x 0

cot g

1
1

3) lim  sin  cos 
x 
x
x

Bài 5 Tính các giới hạn

1) lim

x 



3

x2  1  3 x

 1  cos x 
3) lim
x 0

2



1
x

x)
1

 1  tgx  sinx
4) lim 

x  0 1  s inx





2) lim  x  x  x  x 
x 



x 2 1

2

 1  x2 
4) lim  2 
x 
 x 

x4

sin x

 sinx  x s inx
5) lim 
6) lim 1  4 x 2

x 0
x 
x 0 





cot 2 2 x

x 0

ln  x  ln x 

1  cos5 x
8)
lim
x 0 1  cos3x
x 0
x

7) lim

Bài 6

1
2x

So sánh các vô cùng bé sau:

1
 ( x)  n 1  x  1,  ( x )  x
khi
n
x
 ( x ) 1  cosx ,  ( x )  sin
2)
khi
3
Bài 7 Tính các giới hạn bằng thay thế VCB tương đương

1)

22

x0
x0


2
3
1  2 x  1 2) lim ln  1  x  3x  2 x 
1) lim
x 1 ln 1  3 x  4 x 2  x 3


tan 3x
x 0

sin 2
ln cos x
4) lim
3) lim 2
x 0 ln 1  x 2
x 0 ln (1  2 x )



e2 x  1
1  1  4x2
x 0 ln(1  4 x ) 6) lim
x 0 1  1  arctan x

5) lim

Bài 8

Xét sự liên tục của các hàm số sau:

 x2  4
khi x  2

1) f ( x)   x  2
4
khi x  2


1

 x sin khi x  0
2. f ( x )  
x

0
khi x  0


Bài 9 Tìm k để hàm số f(x) liên tục trên R:
 sin 3 x
khi x  0

1) f ( x)   x

khi x  0

k

Bài 10

e x
2) f ( x)  
x  k



neá
ux 
2sin x
2

-


u x
Cho f ( x)   A sin x.  B neá
2
2



neá
ux 
cos x
2


Tìm A và B để hàm số liên tục trên toàn trục số.

23

khi x  0
khi x  0


Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN
2.1. Đạo hàm
2.1.1. Định nghĩa
2.1.1.1 Đạo hàm hàm số tại một điểm:
Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm số f ( x) xác định trong lân cận U ( x0 ) của x0 . Cho đối
số x số gia x  x  x 0 sao cho x0  x  U ( x0 ) ; Khi đó hàm số y  f ( x) có số gia
tương ứng y  f ( x0  x)  f ( x0 ) . Giới hạn (nếu có) của tỷ số
y f ( x0  x)  f ( x0 )

x
x

khi x  0 được gọi là đạo hàm của hàm f(x) tại x0 và được ký hiệu f / ( x0 ) hay
y / ( x0 )

Vậy f / ( x0 ) lim
x 0

f ( x )  f ( x0 )
f ( x0  x)  f ( x 0 )
/

(1) hay f ( x0 )  xlim
.
 x0
x  x0
x

Thí dụ 2.1.1 Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số
1
 2
 x sin khi x  0
f ( x)  
x
tại x  0 .
0 khi x  0

Cho x số gia x  x  0 , ta có số gia của hàm số y  f  0  x   f (0)
y
1
 lim x.sin
 0  f / (0)  0 .
x 0 x
x 0
x

 lim

2.1.1.2 Đạo hàm hàm số trong một khoảng
Định nghĩa 2.1.2 Hàm số y  f ( x) được gọi là có đạo hàm trong khoảng ( a, b)
dy
nếu hàm f(x) có đạo hàm tại mọi điểm x  (a, b) . Ký hiệu là y / hay f ' ( x) hay

dx

y / cũng là một hàm số xác định trong khoảng  a, b 

Thí dụ 2.1.2 y  x3  y /  3x 2 ; x  (, )
2.1.1.3 Đạo hàm một phía
Định nghĩa 2.1.3 Trong giới hạn (1), ta hiểu x  0 từ cả 2 phía. Nếu xét giới hạn
(1) khi x  0 theo từng phía ta có các khái niệm đạo hàm một phía.
y
y
( hoặc lim ) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải
x 0 x
x 0 x
( hoặc bên trái) của hàm f ( x) tại x0 ký hiệu f / ( x0  ) ( hoặc f / ( x0  ))

Nếu tồn tại lim



Định lý 2.1.1

 f / ( x0 )  f / ( x0 )  f / ( x0 )

Thí dụ 2.1.3 Xét đạo hàm của hàm số y = f(x) = x tại x = 0
Ta có:

1 khi   0
x
y f  0  x   f  0 



. =
x
x
x
 1 khi   0

24


x
y
y
 1  f / (0 )  1
 lim 
 1  f / (0  )  1 và lim 

x

0
x
x 0 x
x0 x
Vậy y = f(x) = x không có đạo hàm tại x = 0

Do đó

lim 

Định nghĩa 2.1.4Hàm số y  f ( x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn  a, b  nếu
+ Hàm f(x) đạo hàm trong khoảng (a,b)
+ Hàm f(x) có đạo hàm bên phải tại x = a và có đạo hàm bên trái tại x = b
2.1.1.4 Mối liên hệ giừa đạo hàm và liên tục
Định lý 2.1.2 Nếu hàm số f ( x) có đạo hàm tại x = x0 thì f ( x) liên tục tại điểm đó
Tuy nhiên điều ngược lại không đúng
Thí dụ 2.1.4 Hàm số f ( x)  x liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0
2.1.1.5 Ý nghĩa của đạo hàm
a. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Nếu hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại x 0 thì đồ thị của y  f ( x ) có tiếp tuyến tại
/
M0(x0,f(x0)) và hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó là k  f ( x0 ) .

Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M 0 ( x0 , f ( x0 )) của đồ thị hàm y  f ( x) là:
y  f / ( x0 )  x  x0   f ( x0 )

b. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm
Xét một chuyển động thẳng có phương trình chuyển động là s  f (t ) (trong
đó s là quảng đường đi, t là thời gian).
Tại thời điểm t0 nó ở vị trí M0 với hoành độ s0  f (t0 )
Tại thời điểm t1 nó ở vị trí M1 với hoành độ s1  f (t1 )
Vậy trong khoảng thời gian t  t1  t0 nó đi được quảng đường s  s1  s0 . Xét tỷ
số

s
. Nếu chuyển động đều thì tỷ số này sẽ không đổi và bằng vận tốc của
t

chuyển động. Nếu chuyển động không đều thì tỷ số này là vận tốc trung bình trong
khoảng thời gian từ thời điểm t0 đến thời điểm t0  t và vtb 

f (t0  t )  f (t0 )
.
t

Vận tốc trung bình này càng gần vận tốc thực tế nếu khoảng thời gian t càng bé.
Cho nên nếu lim
t 0

f (t0  t )  f (t0 )
tồn tại hữu hạn thì giới hạn này được gọi là vận
t

tốc tức thời của chuyển động thẳng tại thời điểm t 0 . Ký hiệu vtt (t0 ) .
Vậy vtt (t0 )  lim
t 0

f (t0  t )  f (t0 )
 s / (t0 )
t

c. Ý nghĩa tổng quát của đạo hàm

25