Định lý cơ bản thứ hai của lý thuyết Nevanlinna và ứng dụng

Header Page 1 of 126.

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết phân bố giá trị (hay còn gọi là Lý thuyết Nevanlinna) đã
được hình thành và phát triển trong suốt gần một thế kỷ qua.
Có thể coi năm 1925 là cột mốc đánh dấu sự ra đời của Lý thuyết này
khi R. Nevanlinna công bố bài báo về phân bố giá trị của hàm phân hình
trên mặt phẳng phức.
Cột mốc quan trọng tiếp theo của Lý thuyết Nevanlinna là năm 1933
khi mà H. Cartan đã tổng quát kết quả của Nevanlinna cho đường cong
chỉnh hình trong không gian xạ ảnh phức có ảnh giao với một họ các siêu
phẳng ở vị trí tổng quát.
Trong gần một thế kỷ qua, Lý thuyết Nevanlinna liên tục thu hút được
sự quan tâm của đông đảo các nhà toán học ở cả hai khía cạnh: phát triển
lý thuyết nội tại và tìm kiếm những mối liên hệ với các lĩnh vực khác của
Toán học.
Nội dung cốt lõi của Lý thuyết Nevanlinna tập trung ở hai định lý
chính, được gọi là các Định lý cơ bản thứ nhất và Định lý cơ bản thứ hai.
Định lý cơ bản thứ nhất được suy ra từ công thức Jensen và nói chúng
chúng ta hiểu biết tương đối rõ về nó. Tuy nhiên, Định lý cơ bản thứ hai
thì không như vậy. Việc thiết lập Định lý cơ bản thứ hai là rất khó và
chúng ta mới chỉ thiết lập được nó trong một số ít trường hợp.
Có thể nói lịch sử phát triển trong suốt gần một thế kỷ qua của Lý
thuyết Nevanlinna gắn bó mật thiết với việc thiết lập các dạng của Định

1

Footer Page 1 of 126.

Header Page 2 of 126.
2

lý cơ bản thứ hai với các kết quả tiêu biểu của H. Cartan cho đường cong
chỉnh hình trong không gian xạ ảnh phức với mục tiêu là các siêu phẳng ở
vị trí tổng quát, E. Nochka cho đường cong chỉnh hình trong không gian
xạ ảnh phức với mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát, W.
Stoll và H. Fujimoto cho ánh xạ phân hình nhiều biến phức vào không gian
xạ ảnh phức với mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát, W. Stoll-M.
Ru và M. Ru cho đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh phức
với mục tiêu là các siêu phẳng di động...
Gần đây, nhờ việc kết hợp các tiến bộ của Lý thuyết xấp xỉ Diophantine
trong các công trình của Corvaja-Zannier, Evertse-Ferretii, với các kỹ thuật
của Hình học đại số và Đại số giao hoán, Ru, Dethloff-Tan, Dethloff-TanThai đã thiết lập các dạng định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp siêu
mặt. Các kết quả của các tác giả trên là nguồn cảm hứng và là định hướng
cách tiếp cận cho nhiều tác giả đi sau trong việc nghiên cứu Định lý cơ
bản thứ hai của Lý thuyết Nevanlinna cũng như định lý không gian con
Schmidt của Lý thuyết xấp xỉ Diophantine. Trong bối cảnh đó chúng tôi
chọn hướng nghiên cứu thứ nhất của đề tài luận án là nghiên cứu Định lý
cơ bản thứ hai cho trường hợp siêu mặt.
Song song với việc phát triển nội tại Lý thuyết Nevanlinna, việc tìm
kiếm mối liên hệ của nó với các lĩnh vực khác của toán học cũng được nhiều
nhà toán học quan tâm. Năm 1926, R. Nevanlinna thiết lập một ứng dụng
của Lý thuyết phân bố giá trị trong bài toán về xác định duy nhất hàm
phân hình trên mặt phẳng phức dưới một điều kiện về ảnh ngược của các
giá trị phân biệt. Cụ thể ông đã chứng minh rằng: Nếu hai hàm phân hình
khác hằng trên mặt phẳng phức có cùng ảnh ngược (không tính bội) của
5 giá trị phân biệt thì chúng trùng nhau. Năm 1975, H. Fujimoto và sau
đó vào năm 1983, L. Smiley đã lần lượt mở rộng kết quả của Nevanlinna
theo các hướng khác nhau sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào không

gian xạ ảnh phức có cùng ảnh ngược (với bội tính tới mức nào đó) của
các siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Vấn đề này được H. Fujimoto, S. Ji, W.

Footer Page 2 of 126.


Header Page 3 of 126.
3

Stoll tiếp tục quan tâm trong nhiều công trình sau đó. Gần đây, bằng việc
cải tiến đáng kể các phương pháp của các tác giả đi trước và với các kỹ
thuật tinh xảo, các tác giả Đỗ Đức Thái, Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang,
G. Dethloff, Z. Chen và Q. Yan đã thu được nhiều kết quả sâu sắc về chủ
đề này, theo hướng tinh giảm đáng kể các điều kiện đưa ra, đặc biệt là số
siêu phẳng cần thiết.
Tiếp nối các nghiên cứu này, chúng tôi chọn hướng nghiên cứu thứ hai
của đề tài luận án là thiết lập các định lý về sự suy biến tuyến tính của
tích các ánh xạ phân hình từ Cm vào CP n dưới điều kiện có cùng ảnh
ngược của một số ít các siêu phẳng.
2. Mục đích nghiên cứu
Năm 1997, P. Vojta và M. Ru đã thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho
trường hợp đường cong nguyên không suy biến tuyến tính trong không
gian xạ ảnh với mục tiêu là các siêu phẳng tùy ý (thay vì ở vị trí tổng
quát). Mục đích thứ nhất của chúng tôi là mở rộng kết quả trên sang
trường hợp đường cong chỉnh hình không suy biến đại số trong đa tạp xạ
ảnh phức với mục tiêu là các siêu mặt.
Năm 1985, H. Fujimoto nghiên cứu phân bố giá trị của ánh xạ phân
hình từ một đa tạp K¨ahler vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu là các
siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Mục đích thứ hai của luận án là mở rộng kết
quả trên sang trường hợp ánh xạ vào đa tạp đại số xạ ảnh với mục tiêu là

các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát.
Mục đích thứ ba của luận án là thiết lập định lý về tính suy biến tuyến
tính của tích các ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh có cùng ảnh
ngược của một số ít các siêu phẳng ở vị trí tổng quát.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Định lý cơ bản thứ hai của Lý thuyết Nevanlinna và ứng dụng của Lý
thuyết Nevanlinna vào việc nghiên cứu bài toán xác định duy nhất ánh xạ
phân hình.

Footer Page 3 of 126.


Header Page 4 of 126.
4

4. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi dùng các kỹ thuật của Giải tích phức, Hình học đại số, Xấp
xỉ Diophantine.
5. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài
- Thiết lập được một dạng mở rộng của Định lý cơ bản thứ hai tới
trường hợp các siêu mặt tùy ý. Kết quả này là một sự mở rộng kết quả
của Vojta, Ru từ trường hợp siêu phẳng sang siêu mặt.
- Thiết lập được định lý về quan hệ số khuyết, phản ánh sự phân bố
giá trị của ánh xạ phân hình từ một đa tạp K¨ahler vào đa tạp đại số xạ
ảnh với mục tiêu là các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát. Nó là một sự mở
rộng kết quả của Fujimoto từ trường hợp siêu phẳng sang siêu mặt.
- Thiết lập được định lý về tính suy biến tuyến tính của tích các ánh xạ
phân hình không suy biến tuyến tính từ Cm vào CP n có cùng ảnh ngược
của một số ít các siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Kết quả này tổng quát kết
quả của Ji tới trường hợp có ít siêu phẳng hơn.

6. Cấu trúc luận án
Ngoài các phần mở đầu, tổng quan, kết luận và kiến nghị, luận án bao
gồm 3 chương:
- Chương 1: Định lý cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa
tạp xạ ảnh, với mục tiêu là các siêu mặt tùy ý.
- Chương 2: Sự phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨
ahler
đầy vào đa tạp xạ ảnh, với mục tiêu là các siêu mặt.
- Chương 3: Tính suy biến tuyến tính của tích các ánh xạ phân hình từ
Cm vào CP n .

Footer Page 4 of 126.


Header Page 5 of 126.

TỔNG QUAN
Trước hết chúng ta điểm lại các sự kiện tiêu biểu của Lý thuyết
Nevanlinna trong việc thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp
đường cong trong không gian xạ ảnh giao các siêu phẳng:
- Năm 1925, Nevanlinna thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho hàm phân
hình khác hằng trên mặt phẳng phức, với mục tiêu là các điểm và các
không điểm được ngắt bội bởi 1 (nói cách khác không tính bội).
- Năm 1986, Steinmetz mở rộng kết của trên của Nevanlinna sang
trường hợp mục tiêu là các hàm phân hình "nhỏ" (so với hàm đang cần
xem xét sự phân bố giá trị). Tuy vậy, trong định lý cơ bản thứ hai của
Steinmetz, bội giao không được ngắt (nói cách khác, trong hàm đếm, ta
tính cả bội của các không điểm tương ứng). Năm 2006, Yamanoi đạt được
định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp mục tiêu là các hàm phân hình
"nhỏ" và bội cũng được ngắt bởi 1 như trong kết quả của Nevanlinna.

- Năm 1933, Cartan mở rộng kết của của Nevanlinna sang trường hợp
đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính trong không gian xạ
ảnh phức và các mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Kết quả
của Cartan không chỉ đánh dấu sự mở đầu cho việc nghiên cứu Lý thuyết
phân bố giá trị cho trường hợp chiều cao mà phương pháp của Cartan (có
khởi nguồn từ Nevanlinna) còn có ảnh hưởng trực tiếp tới cách tiếp cận
vấn đề của nhiều tác giả sau này. Chúng tôi sẽ mô tả rõ hơn kết quả quan
trọng này của Cartan phía sau.
- Năm 1953, Stoll thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp ánh
xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính từ Cm (nhiều biến) vào không
gian xạ ảnh phức và các mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát.
5

Footer Page 5 of 126.


Header Page 6 of 126.
6

- Năm 1983, Nochka thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho đường cong
chỉnh hình khác hằng trong không gian xạ ảnh với mục tiêu là các siêu
phẳng ở vị trí tổng quát (nói cách khác là đường cong chỉnh hình trong
không gian xạ ảnh không suy biến tuyến tính và mục tiêu là các siêu phẳng
ở vị trí dưới tổng quát). Kết quả của Nochka giải quyết trọn vẹn giả thuyết
năm 1933 của Cartan.
- Năm 1985, Fujimoto nghiên cứu sự phân bố giá trị của ánh xạ phân
hình từ một đa tạp K¨ahler vào không gian xạ ảnh phức và mục tiêu là các
siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát và dưới tổng quát.
- Năm 1991, Ru-Stoll thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp
mục tiêu là các siêu phẳng di động nhỏ.

- Năm 1997, Vojta, Ru thiết lập các dạng mở rộng của định lý cơ bản
thứ hai cho trường hợp họ các siêu phẳng tùy ý.
- Năm 2004, Ru thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh
hình không suy biến đại số trong không gian xạ ảnh phức và mục tiêu là
các siêu mặt ở vị trí tổng quát.
- Năm 2009, Ru thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh
hình không suy biến đại số trong đa tạp đại số xạ ảnh phức và mục tiêu
là các siêu mặt ở vị trí tổng quát.
- Năm 2010, Dethloff-Tan thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ
phân hình không suy biến đại số trong không gian xạ ảnh phức và mục
tiêu là các siêu mặt di động.
- Năm 2011, Dethloff-Tan-Thai thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho
đường cong chỉnh hình không suy biến đại số trong đa tạp đại số xạ ảnh
phức và mục tiêu là các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát.
Bây giờ chúng ta sẽ phân tích rõ khó khăn chính gặp phải khi nghiên
cứu định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp siêu mặt. Ta bắt đầu với kết
quả và cách tiếp cận của Cartan.

Footer Page 6 of 126.


Header Page 7 of 126.
7

Định lý 0.0.1 (Định lý cơ bản thứ hai của Cartan). Cho f là một ánh
xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính từ C vào CP n (có nghĩa ảnh của

f không nằm trong bất kỳ siêu phẳng nào). Giả sử Hj (1 ≤ j ≤ q) là các
siêu phẳng trong CP n ở vị trí tổng quát. Khi đó,
q

[n]

(q − n − 1)Tf (r) ≤

NHj (f ) (r) + o(Tf (r)).
j=1

[n]

ở đó Tf (r), N(f,Hj ) (r) lần lượt là các hàm đặc trưng, hàm đếm của f, các
khái niệm này sẽ được định nghĩa trong các chương sau.
Các bổ đề sau đóng vai trò quan trọng trong phép chứng minh định lý
trên.
Bổ đề 0.0.2 (Công thức Jensen). Đối với hàm phân hình ϕ bất kỳ khác
đồng nhất không, ta luôn có

Nϕ (r) =

1
2π

log |ϕ|dθ + O(1), với mọi r > 0,
|z|=r

ở đó Nϕ (r) là hàm đếm các không điểm của ϕ.
Bổ đề 0.0.3 (Bổ đề đạo hàm Logarit). Cho f là ánh xạ không suy biến
tuyến tính từ C vào CP n với biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fn ), và cho

H1 , . . . , Hq là các siêu phẳng trong CP n ở vị trí tổng quát. Khi đó toán tử
dk

fi
≡ 0 và
Wronskian W (f ) := W (f0 , . . . , fn ) = det
dz k
0≤k,i≤n
log+
|z|=r

|W (f )|
dθ = o(Tf (r)),
|Hj0 (f ) · · · Hjn (f )|

với mọi 1 ≤ j0 < · · · < jn ≤ q.
Bổ đề sau cho phép ta ngắt bội của các giao điểm của đường cong với
các siêu phẳng tương ứng.

Footer Page 7 of 126.


Header Page 8 of 126.
8

Bổ đề 0.0.4. Cho f là một ánh xạ không suy biến tuyến tính từ C vào
CP n và H1 , . . . , Hq là các siêu phẳng trong CP n ở vị trí tổng quát. Khi đó
q

ν H1 (f )···Hq (f ) ≤
W (f )

min{νHj (f ) , n},

j=1

ở đó νφ (z) là bội của không điểm z của φ.
Thật không may, các bổ đề 0.0.3 và 0.0.4 không mở rộng được sang
trường hợp mà ở đó các siêu phẳng Hj được thay thế bởi siêu phẳng di
động hay siêu mặt. Gần đây, Corvaja-Zannier, Evertse-Ferretii đạt được
các kết quả thú vị trong nghiên cứu xấp xỉ Diophantine, nó đồng thời thúc
đẩy việc nghiên cứu định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp siêu mặt. Hướng
nghiên cứu thứ nhất của luận án nằm trong chủ đề này.
Một trong những ứng dụng đẹp đẽ của Lý thuyết Nevanlinna là nó cho
ta các tiêu chuẩn xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình (hay phân hình) từ
Cm vào CP n . Năm 1926, Nevanlinna chứng minh rằng: Nếu hai hàm phân
hình khác hằng trên mặt phẳng phức có cùng ảnh ngược (không tính bội)
của 5 giá trị phân biệt thì chúng bằng nhau. Năm 1975, Fujimoto mở rộng
kết quả trên của Nevanlinna sang trường hợp ánh xạ phân hình, cụ thể
ông chứng minh rằng, nếu hai ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính
từ Cm vào CP n có cùng ảnh ngược (tính cả bội) của 3n + 2 siêu phẳng ở
vị trí tổng quát thì hai ánh xạ đó trùng nhau. Năm 1983, Smiley mở rộng
kết quả của Cartan như sau:
Định lý 0.0.5. Cho f, g là hai ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến
tính từ C vào CP n . Cho {Hj }qj=1 (q ≥ 3n + 2) là các siêu phẳng trong
CP n ở vị trí tổng quát. Giả sử
a)

f −1 (Hj ) = g −1 (Hj ) ,

b)

f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj ) = ∅ với mọi 1 ≤ i < j ≤ q, và

c)

f = g trên

Khi đó f ≡ g.

Footer Page 8 of 126.

với mọi 1 ≤ j ≤ q, (như các tập hợp)

q
−1
j=1 f (Hj ).


Header Page 9 of 126.
9

Với các cách tiếp cận khác nhau, năm 1989 Stoll và năm 1998 Fujimoto
tiếp tục nhận được kết quả trên. Gần đây, khởi đầu từ các tác giả Trần
Văn Tấn, Sĩ Đức Quang, Gerd Dethloff, Đỗ Đức Thái và tiếp nối là một
số tác giả khác đã đạt được nhiều dạng của định lý xác định duy nhất đối
với trường hợp có ít siêu phẳng; các kết quả này mở rộng mạnh mẽ hầu
hết các định lý trước đó về xác định duy nhất ánh xạ phân hình. Chẳng
hạn, định lý nêu trên của Smiley còn đúng cho trường hợp có 2n + 3 siêu
phẳng. Hướng nghiên cứu thứ hai của luận án là thiết lập định lý xác định
duy nhất ánh xạ phân hình cho trường hợp có ít siêu phẳng.

Footer Page 9 of 126.

Header Page 10 of 126.

Chương 1
Định lý cơ bản thứ hai cho đường
cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh,
với mục tiêu là các siêu mặt tùy ý.
Năm 1997, Vojta mở rộng Định lý cơ bản thứ hai của Cartan sang
trường hợp mà ở đó đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh giao các
siêu phẳng tùy ý (thay vì giả thiết ở vị trí tổng quát như trong kết quả
của Cartan). Ngay sau đó, Ru cải tiến kết quả của Vojta bằng cách đưa
một ước lượng rõ ràng hơn về đại lượng vô cùng bé và đưa sự ngắt bội vào
hàm đếm các giao điểm. Gần đây, Ru, Dethloff-Tan, Dethloff-Tan-Thai và
một số tác giả khác đạt những kết quả thú vị về Định lý cơ bản thứ hai
cho trường hợp siêu mặt ở vị trí tổng quát. Mục đích của chương này là
thiết lập một Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp các siêu mặt tùy ý,
nói cách khác là mở rộng các kết quả của Vojta và của Ru sang trường
hợp siêu mặt.
Chương 1 gồm hai mục: Mục thứ nhất được dành để trình bày một số
khái niệm và kết quả bổ trợ; mục thứ hai dành để trình bày cho việc phát
biểu và chứng minh định lý chính.
Chương 1 được viết dựa trên bài báo [3] (trong mục các công trình đã
công bố liên quan đến luận án).
10

Footer Page 10 of 126.


Header Page 11 of 126.
11

1.1

Một số khái niệm và kết quả bổ trợ

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm: Hàm đếm của một
divisor, hàm đặc trưng của một ánh xạ chỉnh hình, Hàm Hilbert HX của
đa tạp xạ ảnh X ⊂ CP N , trọng Hilbert thứ m của X . Từ đó trình bày
các bổ đề cho ta một sự đánh giá dưới cho trọng Hilbert và cho phép ta
ngắt bội các giao điểm trong các hàm đếm.
Bổ đề 1.1.1. Cho X ⊂ CP N là một đa tạp đại số có chiều n và bậc
+1
. Cho m >
là một số nguyên và c = (c0 , . . . , cN ) ∈ RN
≥0 . Giả sử
{i0 , . . . , in } là một tập con của {0, . . . , N } sao cho {x = (x0 : · · · : xN ) ∈
CP N : xi0 = · · · = xin = 0} ∩ X = ∅. Khi đó

1
mHX (m)

SX (m, c) ≥

1
(2n + 1)
(ci0 + · · · + cin ) −
(n + 1)
m

· max ci .

0≤i≤N

Bổ đề 1.1.2. Cho Y là một đa tạp xạ ảnh con của CP N và không có điểm
chung với P. Khi đó π|Y : Y → CP là một cấu xạ hữu hạn.
Hệ quả 1.1.3. Ánh xạ Φ : X → CP q−1 , cho bởi Φ(x) = (Q1 (x) : · · · :
Qq (x)) là một cấu xạ hữu hạn.
Bổ đề 1.1.4. Cho f là ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính từ
C vào CP N với biểu diễn thu gọn f = (f0 : · · · : fN ). Đặt W (f ) =
W (f0 , . . . , fN ) là Wronskian của f. Khi đó
N

ν f0 ···fN ≤
W (f )

1.2

min{νfi , N }.
i=0

Định lý cơ bản thứ hai cho họ các siêu mặt tùy
ý

Năm 1933, Cartan đã thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho các ánh xạ
chỉnh hình từ C vào CP n giao với các siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Năm
1997, Vojta đã đưa ra dạng mở rộng sau đây của Định lý cơ bản thứ hai.

Footer Page 11 of 126.


Header Page 12 of 126.

12

Định lý 1.2.1. Cho f là ánh xạ chỉnh hình không suy biến đại số từ C
vào CP n và cho {Hj }qj=1 là các siêu phẳng bất kỳ trong CP n . Khi đó với
mỗi > 0, ta có:
2π

λHj (f (reiθ ))

max
0

K∈K

j∈K

dθ
≤ (n + 1 + )Tf (r),
2π

ở đó K là tập tất cả các tập con K ⊂ {1, . . . , q} sao cho các siêu phẳng
Hj với j ∈ K là ở vị trí tổng quát.
Cũng trong năm 1997, Ru đã tổng quát hóa kết quả trên của Vojta
bằng việc đưa ngắt bội vào các hàm đếm và ước lượng rõ ràng hơn về phần
vô cùng bé.
Định lý 1.2.2. Cho f là ánh xạ chỉnh hình không suy biến đại số từ C
vào CP n và cho {Hj }qj=1 là các siêu phẳng tùy ý trong CP n . Cho ψ và φ
là các hàm tăng trong R+ với
∞
e

dr
< ∞ và
rψ(r)

∞
e

dr
= ∞.
φ(r)

Khi đó:
2π

λHj (f (reiθ ))

max
0

K∈K

j∈K

dθ
+ NW (f ) (r)
2π

≤ (n + 1)Tf (r) +

n(n + 1)
Tf (r)ψ(Tf (r))
log
+ O(1),
2
φ(r)

ở đó K là tập tất cả các tập con K ⊂ {1, . . . , q} sao cho các siêu phẳng
{Hj , j ∈ K} là ở vị trí tổng quát và W (f ) là Wronskian của f.
Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng trong các kết quả trên của Vojta và
Ru, các siêu phẳng H1 , . . . , Hq là tùy ý.
Gần đây, định lý cơ bản thứ hai đã được thiết lập cho trường hợp các
siêu mặt bởi Ru, Dethloff -Tan, Dethloff -Tan-Thai, An-Phuong.
Năm 2009, Ru đã chứng minh rằng.
Định lý 1.2.3. Cho V ⊂ CP N là đa tạp xạ ảnh phức, nhẵn có chiều
n ≥ 1. Cho f là các ánh xạ chỉnh hình không suy biến đại số từ C vào V.
Footer Page 12 of 126.


Header Page 13 of 126.
13

Cho D1 , . . . , Dq là các siêu mặt trong CP N có bậc dj và ở vị trí tổng quát
trong V. Khi đó với mỗi > 0
q

(q − n − 1 − )Tf (r) ≤
j=1

1

N (r, Dj ).
dj

Vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên là mở rộng các Định lý 1.2.1,
1.2.2 cho trường hợp siêu mặt. Nói cách khác là tổng quát hóa Định lý
1.2.3 tới trường hợp các siêu mặt tùy ý. Theo hướng đó, chúng tôi thiết
lập định lý sau:
Định lý 1.2.4. Cho V ⊂ CP N là đa tạp xạ ảnh phức, nhẵn có chiều

n ≥ 1. Cho f là ánh xạ chỉnh hình không suy biến đại số từ C vào V.
Cho D1 , . . . , Dq (V ⊂ Dj ) là các siêu mặt tùy ý trong CP n có bậc dj .
Khi đó với mỗi

> 0, tồn tại một số nguyên dương M phụ thuộc vào

, dj , q, n, deg V sao cho
2π
0

r

dθ
1
λDj (f (reiθ )) +
max
K∈K
d
2π
j∈K j

1

dt
max
t K∈K

j∈K,|z|
1
[M ]
νDj (z) − νDj (z)
dj

≤ (n + 1 + )Tf (r),
ở đó K là tập tất cả các tập con K ⊂ {1, . . . , q} sao cho các siêu mặt

{Dj , j ∈ K} là ở vị trí tổng quát trong V.
Định lý trên là kết quả chính thứ nhất của luận án. Việc chứng minh
định lý trên được thực hiện theo hai bước. Đầu tiên, chúng tôi chứng minh
rằng: Nếu R = ∅ và d1 = · · · = dq := d, thì với mỗi

> 0, tồn tại một số

nguyên dương M chỉ phụ thuộc vào , d, q, n, deg V, sao cho
2π
0

1
dθ
max

λDj (f (reiθ )) +
R∈R
d
2π
j∈R

r
1

dt
max
t R∈R

j∈R,|z|
1
[M ]
νDj (z) − νDj (z)
d

≤ (n + 1 + )Tf (r).
và sau đó là bước chứng minh định lý cho trường hợp tổng quát.

Footer Page 13 of 126.

(1.1)


Header Page 14 of 126.

Chương 2
Sự phân bố giá trị của ánh xạ phân
hình từ đa tạp K¨
ahler đầy vào đa
tạp xạ ảnh, với mục tiêu là các siêu
mặt.
Năm 1985, Fujimoto nghiên cứu về sự phân bố giá trị của ánh xạ phân
hình từ đa tạp K¨ahler đầy vào không gian xạ ảnh phức mà ở đó ảnh của
ánh xạ phân hình cắt các siêu phẳng. Mục đích của chương 2 là nghiên
cứu vấn đề trên cho trường hợp ánh xạ vào đa tạp xạ ảnh và có ảnh giao
các siêu mặt.
Chương 2 gồm hai mục: Mục thứ nhất được dành để trình bày một
số khái niệm và kết quả bổ trợ; mục thứ hai nhằm trình bày các kết quả
chính của chương.
Chương 2 được viết dựa trên bài báo [2] (trong mục các công trình đã
công bố liên quan đến luận án).

14

Footer Page 14 of 126.


Header Page 15 of 126.
15

2.1

Kiến thức chuẩn bị

Trong mục này chúng tôi tiếp tục đề cập tới các khái niệm cơ bản của

Lý thuyết Nevanlinna cho trường hợp ánh xạ nhiều biến phức vào không
gian xạ ảnh phức. Cụ thể chúng tôi trình bày các khái niệm: Hàm đếm
với bội được ngắt của một divisor; Hàm đặc trưng của một ánh xạ phân
hình; Số khuyết Nevanlinna-Cartan với bội được ngắt của một hàm phân
hình ứng với một siêu mặt.

2.2

Sự phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ đa
tạp K¨
ahler đầy vào đa tạp xạ ảnh.

Cho f là một ánh xạ phân hình từ một đa tạp phức, liên thông M có
chiều m− vào CP N . Cho p0 là một số nguyên dương hoặc bằng +∞ và

D là một siêu mặt trong CP N sao cho Imf ⊂ D. Ký hiệu ν(f,D) (a) là bội
giao của D với ảnh của f tại f (a); Ωf là dạng kéo lùi bởi f của metric
Fubini - Study Ω trên CP N .
Kí hiệu A(D, p0 ) là tập tất cả các hằng số không âm η sao cho tồn tại
hàm h liên tục, không âm và bị chặn trên M với các không điểm có bậc
không bé hơn min{ν(f,D) , p0 } thỏa mãn:

(deg D)ηΩf + ddc log h2 ≥ [min{ν(f,D) , p0 }],
ở đây ta ký hiệu [ν] là (1, 1)-dòng liên kết với divisor ν. Số khuyết của f
đối với D với bội ngắt bởi p0 được định nghĩa bởi:
[p ]

δf 0 (D) := 1 − inf{η ≥ 0 : η ∈ A(D, p0 )}.
[p +1]

Rõ ràng là 0 ≤ δf 0

[p ]

[p ]

(D) ≤ δf 0 (D) ≤ 1 và δf 0 (D) = 1 nếu

Imf ∩ D = ∅. Hơn nữa, nếu ν(f,D) (z) ≥ p với mọi z ∈ f −1 (D) thì
p0
[p ]
δf 0 (D) ≥ 1 − .
p

Footer Page 15 of 126.


Header Page 16 of 126.
16

Mệnh đề sau đưa ra sự so sánh về số khuyết theo nghĩa trên và số
khuyết theo nghĩa thông thường của Lý thuyết Nevanlinna.
Mệnh đề 2.2.1. Cho M = B(R0 ) là một hình cầu trong Cm và giả sử

limr→R0 Tf (r, r0 ) = +∞. Khi đó
[ ]

[ ]

0 ≤ δf (D) ≤ ∗ δf (D) ≤ 1.

(2.1)

Cho V ⊂ CP N là một đa tạp xạ ảnh phức, nhẵn và có số chiều n ≥ 1.
Cho D1 , . . . , Dk (k ≥ 1) là các siêu mặt trong CP N có bậc dj . Ta nói
các siêu mặt D1 , . . . , Dk là ở vị trí tổng quát trong V nếu với bất kỳ các
số 1 ≤ i1 < · · · < is ≤ k, (1 ≤ s ≤ n + 1), luôn tồn tại các siêu mặt

D1 , . . . , Dn+1−s trong CP N sao cho
V ∩ Di1 ∩ · · · ∩ Dis ∩ D1 ∩ · · · ∩ Dn+1−s = ∅.
Định nghĩa sau đây về các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát được đưa
ra bởi Dethloff -Tan-Thai.
Định nghĩa 2.2.2. Cho n1 ≥ n và q ≥ 2n1 − n + 1. Các siêu mặt

D1 , . . . , Dq trong CP N với V ⊆ Dj với mọi j = 1, ..., q được gọi là ở vị trí
n1 -dưới tổng quát trong V nếu 2 điều kiện sau thỏa mãn:
(i)
(ii)

với mọi 1 ≤ j0 < · · · < jn1 ≤ q, V ∩ Dj0 ∩ · · · ∩ Djn1 = ∅.
với mọi tập con J ⊂ {1, . . . , q} sao cho 1 ≤ #J ≤ n và

{Dj , j ∈ J} là các siêu mặt ở vị trí tổng quát trong V và V ∩ (∩j∈J Dj ) =
∅. Khi đó tồn tại một thành phần tối giản σJ của V ∩ (∩j∈J Dj ) với

dim σJ = dim V ∩ (∩j∈J Dj ) sao cho với mọi i ∈ {1, . . . , q} \ J , nếu
dim V ∩ (∩j∈J Dj ) = dim V ∩ Di ∩ (∩j∈J Dj ) thì Di chứa σJ .
Dethloff-Tan-Thai cũng đã chứng minh sự tồn tại của trọng Nochka và
hằng số Nochka đối với họ các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát. Ta phát
biểu lại các kết quả này như sau:

Mệnh đề 2.2.3. Cho D1 , . . . , Dq là các siêu phẳng ở vị trí N -dưới tổng
quát trong V , ở đó N ≥ n và q ≥ 2N − n + 1. Khi đó, tồn tại các hằng

Footer Page 16 of 126.


Header Page 17 of 126.
17

số ω(1), . . . , ω(q) và Θ lần lượt được gọi là trọng và hằng số Nochka, thỏa
mãn các điều sau:
(i) 0 < ω(j) ≤ Θ ≤ 1 (1 ≤ j ≤ q),
(ii) qj=1 ω(j) = Θ(q − 2N + n − 1) + n + 1,
n+1
(iii) 2Nn+1
−n+1 ≤ Θ ≤ N +1 ,

(iv) nếu R ⊆ Q và 0 < #R ≤ N + 1, thì

j∈R ω(j)

≤ c(R).

Mệnh đề 2.2.4. Cho D1 , . . . , Dq là các siêu mặt trong CP N và ở vị trí N tổng quát dưới đối với V, ở đó N ≥ n và q ≥ 2N −n+1. Gọi ω(1), . . . , ω(q)
là các trọng, hằng Nochka ứng với họ các siêu mặt trên. Xét R là một tập
con tùy ý của Q := {1, . . . , q} với 0 < #R ≤ N + 1 và đặt c∗ := c(R).
Khi đó với mỗi bộ số thực không âm E1 , . . . , Eq , tồn tại j1 , . . . , jc∗ ∈ R
sao cho các siêu mặt Dj1 , . . . , Djc∗ ở vị trí tổng quát và
c∗

ω(j)Ej ≤
j∈R

Eji .
i=1

Cho V ⊂ CP N là đa tạp xạ ảnh phức, nhẵn có số chiều n ≥ 1 và cho
D1 , . . . , Dq là các siêu mặt trong CP N có bậc dj và ở vị trí n1 - dưới tổng
quát trong V, ở đó n1 ≥ n và q ≥ 2n1 − n + 1. Ký hiệu d là bội chung nhỏ
nhất của d1 , . . . , dq . Cho là một hằng số tùy ý với 0 < < 1. Đặt

1
m := [4dn (2n + 1)(2n1 − n + 1) deg V · ] + 1
ở đó [x] := max{k ∈ Z : k ≤ x} với mỗi số thực x.
Với các ký hiệu trên, ta phát biểu kết quả chính của chương:
Định√ lý 2.2.5. Cho M là một đa tạp K¨
ahler đầy với dạng K¨
ahler
−1
ω= 2
i,j hij dzi ∧ dzj . Đặt

Ric ω = ddc log(det(hij )).
Giả sử phủ phổ dụng M của M là đẳng cấu chỉnh hình tới một hình
cầu B(R0 ) (0 < R0 ≤ ∞). Cho f là một ánh xạ phân hình không suy biến
đại số từ M vào V. Giả sử với ρ ≥ 0 nào đó, tồn tại một hàm liên tục bị
chặn h ≥ 0 trên M sao cho

ρΩf + ddc log h2 ≥ Ric ω.

Footer Page 17 of 126.

(2.2)


Header Page 18 of 126.
18

Khi đó với mọi

> 0 ta có:
q
[ ]

δf (Dj ) ≤ 2n1 − n + 1 + q + ρT
j=1

với , T nguyên dương thỏa mãn

≤

N + md
md

N + md
md
và T ≤
.
d(m − (n + 1)(2n + 1)dn deg V )
(2n1 − n + 1)

Chúng tôi muốn lưu ý rằng, một cách độc lập, Ru-Sogome cũng đạt
được kết quả tương tự như trên nhưng chỉ cho các ánh xạ vào CP n (thay
vì vào V như trên) và các siêu mặt là ở vị trí tổng quát. Sau khi kết quả
trên của chúng tôi được công bố, Yan đạt được một kết quả khác tương tự
kết quả của chúng tôi, ở đó Yan bỏ điều kiện (ii) trong định nghĩa các siêu
mặt ở vị trí dưới tổng quát nhưng đánh giá về số khuyết trong kết quả
của Yan là yếu hơn đánh giá ở định lý trên. Chúng tôi cho rằng phương
pháp của chúng tôi không áp dụng được vào tình huống của Yan (tức là
khi không có điều kiện ii)) và phương pháp của Yan cũng không cho phép
đi tới một quan hệ số khuyết tốt như trong Định lý 2.2.5. Để đạt được
một quan hệ số khuyết với chặn trên nhỏ trong tình huống không có điều
kiện ii) rõ ràng cần bước đột phá mới trong cách tiếp cận. Theo chúng tôi,
đây là một câu hỏi khó và thú vị hiện nay trong Lý thuyết Nevanlinna.
Từ định lý chính, chúng tôi suy ra được hai hệ quả sau:
Hệ quả 2.2.6. Tập D ∈ Dk với δf (D) > 0 cùng lắm là đếm được.
Hệ quả 2.2.7. Cho g : M −→ Cκ là một đa tạp con chính quy đầy,
có phủ phổ dụng đẳng cấu chỉnh hình tới B(R0 ) (0 < R0 ≤ ∞). Cho
G : M −→ CP N là ánh xạ Gauss của g. Cho V ⊂ CP N là một đa tạp xạ
ảnh phức nhẵn có số chiều n sao cho ImG ⊂ V và G : M −→ V không
suy biến đại số. Khi đó
q
[ ]

δG (Dj ) ≤ 2n1 − n + 1 + q + T
j=1

với các số nguyên dương , T nào đó thỏa mãn

≤

Footer Page 18 of 126.

N + md
md

N + md
md
và T ≤
.
d(m − (n + 1)(2n + 1)dn deg V )
(2n1 − n + 1)


Header Page 19 of 126.

Chương 3
Tính suy biến tuyến tính của tích
các ánh xạ phân hình từ Cm vào
CP n.
Mục đích của chương này là thiết lập định lý về tính suy biến tuyến
tính của tích các ánh xạ phân hình từ Cm vào CP n dưới điều kiện về ảnh
ngược (với bội được ngắt) của các siêu phẳng ở vị trí tổng quát.
Chương 3 gồm ba mục: Mục thứ nhất được dành để trình bày một số
khái niệm và kết quả bổ trợ; ở mục thứ hai, chúng tôi trình bày một kết
quả về hàm phụ trợ Cartan như là bổ đề trực tiếp cho phần sau; mục thứ
ba nhằm trình bày các kết quả chính.
Chương 3 được viết dựa trên bài báo [1] (trong mục các công trình đã
công bố liên quan đến luận án).

3.1

Một số khái niệm và kết quả bổ trợ

Bên cạnh các khái niệm và các kết quả trong Lý thuyết Nevanlinna
đã được trình bày ở các chương trước, trong phần này chúng tôi tiếp tục
trình bày các kết quả có liên quan tới phần phát biểu và chứng minh các
kết quả chính của chương như: Công thức Jensen; Hàm xấp xỉ; Hàm đếm;
Định lý cơ bản thứ nhất; Định lý cơ bản thứ hai và Bổ đề đạo hàm logarit.
19

Footer Page 19 of 126.


Header Page 20 of 126.
20

3.2

Hàm phụ trợ Cartan.

Hàm phụ trợ giúp chúng ta trong việc tính toán và đánh giá bội giao
của các siêu phẳng với ảnh của ánh xạ. Nó được thiết lập bởi Cartan cho
trường hợp hàm và được mở rộng sang trường hợp ánh xạ bởi Fujimoto.
Cho F, G, H là các hàm phân hình khác không trên Cm . Với mỗi s,

1 ≤ s ≤ m, ta định nghĩa hàm phụ trợ Cartan của F, G, H bởi
s

Φ (F, G, H) := F · G · H ·

∂
∂zs

1

1

1

1
F

1
G

1
H

1
F

∂
∂zs

1
G

∂
∂zs

.
1
H

Bổ đề 3.2.1. Cho F, G, H là các hàm phân hình khác đồng nhất không
trên Cm . Giả sử rằng Φs (F, G, H) ≡ 0 với mọi s ∈ {1, . . . , m}. Khi đó
tồn tại các hằng số α, β ∈ C sao cho
1
1
1
1
−
−
+β
≡ 0.
α
G F
H F
Cùng với các định lý cơ bản, hàm phụ trợ Cartan đóng vai trò quan
trọng trong bài toán duy nhất, chúng được sử dụng để đánh giá các hàm
đếm. Trong bổ đề sau đây, chúng tôi đạt được một sự đánh giá hàm đếm
nhờ hàm phụ trợ Cartan.
Bổ đề 3.2.2. Giả sử rằng tồn tại i0 , j0 ∈ {1, ..., q}, s ∈ {1, ..., m} và một
tập con giải tích đóng A của tập con giải tích có chiều thuần túy (m − 1)
của Cm sao cho:

1) Φsi0 j0 := Φs γ1i0 j0 , γ2i0 j0 , γ3i0 j0 ≡ 0, và
2) min ν(f1 ,Hk ) , + 1 = min ν(f2 ,Hk ) , + 1 = min v(f3 ,Hk ) , + 1
trên Cm \ A với k ∈ {i0 , j0 }, ở đó là một số nguyên không âm.
Khi đó

q
[1]

[ +1]

[ ]

[1]

N(fi ,Hj ) (r) + 2N(fi ,Hj ) (r) + N(fi ,Hi ) (r) − N(fi ,Hj ) (r)

2

0

0

j=1,j=i0 ,j0

≤ T (r) + 3 N [1] (r, A) + o(T (r))
với mọi i ∈ {1, 2, 3}.

Footer Page 20 of 126.

0


Header Page 21 of 126.
21

3.3

Định lý về sự suy biến tuyến tính của tích các
ánh xạ phân hình.

Cho f là ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ Cm vào CP n
với biểu diễn thu gọn (f0 : · · · : fn ) (có nghĩa rằng các hàm fi là chỉnh
hình và f (z) = (f0 (z) : · · · : fn (z)) tại mọi z ngoài tập có đối chiều không
bé hơn hai, I(f ) := ∩ni=0 {fi = 0}.
Cho q siêu phẳng H1 , ..., Hq trong CP n ở vị trí tổng quát và ánh xạ
phân hình không suy biến tuyến tính f từ Cm vào CP n sao cho

dim f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj ) ≤ m − 2, với mọi 1 ≤ i < j ≤ q.
Với số nguyên dương p, ta ký hiệu F({Hj }qj=1 , f, p) là họ các ánh xạ phân
hình không suy biến tuyến tính g : Cm −→ CP n thỏa mãn các điều kiện:
(a) min ν(g,Hj ) , p = min ν(f,Hj ) , p với mọi j ∈ {1, ..., q},
(thay cho điều kiện (a), chúng ta sẽ nói rằng bội giao được ngắt bởi p).
q

(b) g = f trên

f −1 (Hj ).

j=1

Bài toán xác định duy nhất ánh xạ phân hình từ Cm vào CP n được
hiểu là cần đưa ra điều kiện với q (là số các siêu phẳng) và p (là giá trị mà
bội được ngắt bởi) sao cho tập F {Hj }qj=1 , f, p) chỉ chứa đúng một ánh
xạ (định lý duy nhất) hoặc theo nghĩa rộng hơn, nghiên cứu về lực lượng
của tập hợp F {Hj }qj=1 , f, p) và tìm mối quan hệ giữa các ánh xạ trong

tập hợp này.
Năm 1988, S. Ji đã chỉ ra rằng
Định lý 3.3.1. Giả sử rằng q = 3n + 1 và p = 1. Khi đó với ba ánh xạ
g1 , g2 , g3 ∈ F({Hj }qj=1 , f, p), ánh xạ g1 ×g 2 ×g 3 : Cm −→ CP n × CP n ×
CP n là suy biến đại số, nghĩa là {(g1 (z), g2 (z), g3 (z)) , z ∈ Cm } được chứa
trong một đa tạp con thực sự của CP n × CP n × CP n .
Vào năm 2006, G. Dethloff và T. V. Tan đã chỉ ra kết quả của S. Ji
vẫn đúng với q ≥ 5(n+1)
2 .
Trước đó, năm 1998, H. Fujimoto đã chứng minh định lý sau.

Footer Page 21 of 126.


Header Page 22 of 126.
22

Định lý 3.3.2. Giả sử rằng q ≥ 2n + 2, p = n(n+1)
+ n và f1 , . . . , fn+2
2
q
là n + 2 ánh xạ tùy ý trong F({Hj }j=1 , f, p). Khi đó tồn tại n + 1 siêu
phẳng Hj0 , . . . , Hjn trong số các siêu phẳng Hj sao cho với mỗi cặp (i, k)
với 0 ≤ i < k ≤ n, ta có các hàm

(fn+2 , Hji ) (f1 , Hji )
(f2 , Hji ) (f1 , Hji ) (f3 , Hji ) (f1 , Hji )
−
,
−

,...,
−
(f2 , Hjk ) (f1 , Hjk ) (f3 , Hjk ) (f1 , Hjk )
(fn+2 , Hjk ) (f1 , Hjk )
là phụ thuộc tuyến tính.
Trong chủ đề này, chúng tôi đạt được kết quả sau theo hướng làm giảm
số siêu phẳng.
Định lý 3.3.3. Cho ba ánh xạ bất kỳ f1 , f2 , f3 trong F({Hj }qj=1 , f, p). Giả
sử rằng một trong các điều kiện
√ sau được thỏa mãn
n + 4 + 7n2 + 2n + 4
i) p = n và q >
, hoặc
2
ii) 1 ≤ p < n và tồn tại một số nguyên dương t trong {p, . . . , n − 1}
sao cho
18t
3qn
(q − n − 1)(2q + 3t − 3)
3q +
−q+n+1 <
.
n − t 2q + 3p − 6
n
Khi đó tồn tại các hằng số α, β ∈ C và một cặp số (i0 , j0 ) với 1 ≤ i0 =
(f ,H )
(f ,H )
(f ,H )
(f ,H )
j0 ≤ q, sao cho α (f22 ,Hji0 ) − (f11 ,Hji0 ) + β (f33 ,Hji0 ) − (f11 ,Hji0 ) ≡ 0.

0

0

0

0

Từ định lý trên chúng tôi cũng đạt được hệ quả trực tiếp sau:
Hệ quả 3.3.4. Với các giả thiết như trong định lý 3.3.3 thì ánh xạ f1 ×
f2 ×f3 là phụ thuộc tuyến tính (với cấu trúc đại số trong CP n × CP n × CP n
3
cho bởi phép nhúng Segre vào CP (n+1) −1 ).
Chúng tôi muốn lưu ý rằng trong năm 2014, Quang-Quynh chứng minh
rằng nếu hai ánh xạ không suy biến tuyến tính f, g từ Cm vào CP n có
cùng ảnh ngược của (2n + 2) siêu phẳng ở vị trí tổng quát (trong đó các
bội giao được ngắt bởi 1 đối với 2n + 1 siêu phẳng và ngắt bởi n + 1 đối
với siêu phẳng còn lại) và các điều kiện i), iii) tương ứng được thỏa mãn,
thì f × g là suy biến. Như vậy, kết quả của Quang-Quynh cần nhiều siêu
phẳng hơn trong trường hợp p = n nói trên của chúng tôi, nhưng bội được
ngắt ở mức nói chung là thấp hơn.

Footer Page 22 of 126.


Header Page 23 of 126.
23

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Kết luận

Luận án đã tập trung nghiên cứu sự phân bố giá trị của ánh xạ chỉnh
hình và phân hình vào không gian xạ ảnh phức và ứng dụng của Lý thuyết
phân bố giá trị trong việc nghiên cứu bài toán xác định duy nhất ánh xạ
phân hình. Cụ thể, chúng tôi đạt được các nhóm kết quả sau:
- Thiết lập Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp đường cong chỉnh
hình trong đa tạp đại số xạ ảnh, trong đó hàm đếm được tính dựa trên
các giao điểm của đường cong với các siêu mặt tùy ý. Các kết quả này
được xem là sự mở rộng các công trình của Vojta và Ru từ trường hợp
siêu phẳng lên siêu mặt.
- Thiết lập Định lý về quan hệ giữa các số khuyết ứng với các siêu mặt
ở vị trí tổng quát và ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler vào đa tạp xạ
ảnh. Kết quả này là một sự mở rộng kết quả của Fujimoto từ trường hợp
siêu phẳng trong không gian xạ ảnh sang trường hợp siêu mặt trong đa
tạp đại số xạ ảnh.
- Thiết lập tiêu chuẩn về tính suy biến tuyến tính của tích các ánh xạ
phân hình từ không gian affine phức vào không gian xạ ảnh phức có cùng
ảnh ngược (với bội được tính tới một mức cụ thể) của một số siêu phẳng ở
vị trí tổng quát. Kết quả này tiếp nối các kết quả của các tác giả đi trước,
theo hướng làm giảm số siêu phẳng cần thiết.
Các kết quả của luận án đều đã được đăng trên các tạp chí toán học
có uy tín (2 bài đăng trên tạp chí thuộc danh mục SCI; 1 bài đăng trên
tạp chí thuộc danh mục SCI-E).

Footer Page 23 of 126.


Header Page 24 of 126.
24

Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo

Liên quan tới chủ đề luận án, những vấn đề sau là mở và theo chúng
tôi là đáng quan tâm:
- Thiết lập Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp đường cong nguyên
không suy biến trong đa tạp đại số xạ ảnh với mục tiêu là các siêu mặt di
động.
- Thiết lập Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp họ các siêu mặt ở vị
trí N − dưới tổng quát (theo nghĩa N + 1 siêu mặt bất kỳ của họ đều có
giao khác rỗng, với số nguyên dương N nào đó) sao cho nó cho phép một
chặn trên không quá lớn đối với tổng các số khuyết tương ứng.
- Thiết lập các định lý duy nhất cho trường hợp có ít siêu mặt, chẳng
hạn số siêu mặt là hàm bậc nhất đối với chiều của không gian xạ ảnh.

Footer Page 24 of 126.