Thi thu chuyen thai binh

Cập nhật đề thi mới nhất tại />
ĐỀ THI THỬ THPTQG LẦN IV, MÔN TOÁ N

SỞ GD&ĐT THÁI BÌNH
Trường THPT Chuyên Thái Bình

Năm học: 2016-2017

Mã đề thi: 357
Câu 1:

Thời gian làm bài: 90 phút (50 Câu trắc nghiệm)


2 

Số nghiê ̣m nguyên củ a bấ t phương trıǹ h log 1 x + log 1  x +
2

A. vô số .

B. 0 .

1
 ≥ 1 là
2

C. 2 .

D. 1 .

Câu 2:

Đồ thị hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 có bao nhiêu tiế p tuyế n song song với tru ̣c hoà nh?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 0 .

Câu 3:

Tập xác định của hàm số y = ln(log x ) là
A. ( 0;1) .

Câu 4:

B. (1;+∞ ) .

x − 2 y + 3 z −1
=
=
. Viế t phương
1
2
3
trıǹ h đường thẳ ng d ′ là hıǹ h chiế u vuông gó c củ a d lên măṭ phẳ ng ( Oyz ) .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳ ng d :

x = 2 + t


A. d ′ :  y = −3 + 2t .
z = 0


Câu 5:

D. [ 0; +∞ ) .

C. ( 0;+∞ ) .

x = t

B. d ′ :  y = 2t .
z = 0


x = 0

C. d ′ :  y = −3 + 2t .
 z = 1 + 3t


x = 0

D. d ′ :  y = 3 + 2t .
z = 0


Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A.

∫ ( f ( x ) + f ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
1

2

1

2

B. Nếu F ( x ) và G ( x ) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) − G ( x ) = C (với C là

hằng số).
C. ∫ u ( x ) v′ ( x ) dx + ∫ v ( x ) u ′ ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) .
D. F ( x ) = x 2 là một nguyên hàm của f ( x ) = 2 x .
Câu 6:

(

Tính tıć h t của tất cả các nghiệm của phương trình 3 + 2 2
A. t = 0.

Câu 7:

)

x3 − 2

.

D. t = 1.

x −1 y − 2 z
=
= .
3
1
1
Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song d ′ . Phương trình nào sau đây không phải là phương
trình đường thẳng d ?
 x = −1 + 3t

B.  y = t
.
z = 2 + t


 x = 5 − 3t

C.  y = 2 − t .
z = 4 − t


 x = −4 + 3t

D.  y = −1 + t .
z = 2 + t


Cho hıǹ h chó p đề u S . ABCD , đá y ABCD là hıǹ h vuông canh

̣ a , cá c canh
̣ bên taọ với đá y gó c
45° . Diêṇ tıć h toà n phầ n củ a hıǹ h chó p trên theo a là
A. 2 3a 2 .

Câu 9:

C. t = −1 .

(

= 3− 2 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 2;1;3) và đường thẳng d ′ :

 x = 2 + 3t

A.  y = 1 + t .
z = 3 + t


Câu 8:

B. t = −2.

)

x2 − x + 2

B.

(

)

3 −1 a2 .

C. 4a 2 .

D.

(

)

3 + 1 a2 .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM = 2 j − k , ON = 2 j − 3i . Tọa độ của MN là
A. ( −3;0;1) .

B. (1;1; 2 ) .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. ( −2;1;1) .

D. ( −3;0; −1) .
Trang 1/25 - Mã đề thi 357

Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

( P ) : 2x + 2 y − z − 3 = 0

và điểm

I (1;2; −3) Mặt cầu ( S ) tâm I và tiếp xúc với măṭ phẳ ng ( P ) có phương trình là
2

2

B. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) 2 = 4 .

2

2

D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3)2 = 2 .

A. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) 2 = 4 .
C. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3)2 = 16 .

2

2

2

2

Câu 11: Chọn kết quả sai trong các kết quả sau?
−2

A. e < 1 .

π 
B.  
4

5−2

<1.

Câu 12: Cho log 49 11 = a , log 2 7 = b . Tính log 3 7

−5

8 −3

1
C.  
3

π 
D.   > 1 .
3

>1.

121
theo a, b .
8

121
9
= 3a − .
8
b
121 1 3
C. log 3 7
=
− .
8
3a b

121
9
= 12a −
8
b
121
D. log 3 7
= 12a − 9b
8

A. log 3 7

B. log 3 7

Câu 13: Cho hàm số f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị là đường cong trong

hình bên. Tım
̀ tấ t cả cá c giá tri ̣thực củ a tham số m đề phương
3

trıǹ h x − 3 x 2 + 2 = m có nhiề u nghiêm
̣ thực nhấ t.
A. −2 ≤ m ≤ 2 .
B. 0 < m < 2 .
C. −2 < m < 2 .
D. 0 ≤ m ≤ 2 .
Câu 14: Cho hà m số y = f ( x) = x ( x 2 − 1)( x 2 − 4 )( x 2 − 9 ) . Hỏi đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cắt trục hoành

tại bao nhiêu điểm phân biệt?
A. 3.
B. 5.

C. 6.

D. 4.

Câu 15: Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa. Hộp sữa có dạng khố i hộp chữ nhật hoặc
hộp sữa có dạng khố i trụ. Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì càng thấp càng tốt( tức diện tích
toàn phần của hộp nhỏ nhất), nhưng vẫn phải chứa được một thể tích xác định là V cho trước.
Khi đó diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất trong hai phương án là
A.

3

2π V 2 .

B. 6 3 V 2 .

C. 3 3 6V 2 .

D. 3 3 2πV 2 .

Câu 16: Đồ thi cu
̣ ̉ a hà m số nà o dưới đây không có đường tiêm
̣ cân?
̣
x +1
x+3
A. y =
.
B. y =
.
2
x −1
x +4
C. y = x 4 − 2016 .

D. y =

x2 − 2 x + 3
.
x −1

3

có đồ thi ̣ ( C ) . Mênh
̣ đề nà o sau đây là mênh
̣ đề sai?
x +1
A. Hà m số không có điể m cực tri. ̣
B. Đồ thi ̣ ( C ) không có tiệm cận ngang.

Câu 17: Cho hàm số y =

C. Đồ thi ̣ ( C ) nhâṇ I (−1; 0) là m tâm đố i xứng.
D. Hà m số nghich
̣ biế n trên mỗ i khoả ng xá c đinh.
̣
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 2/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Câu 18: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B , hai mặt bên SAB và SAC cùng vuông
góc với đáy, SB = 2a, AB = BC = a. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC là
A. R =

a 6
.
2

B. R =

a 3

.
2

C. R = a 2.

D. R =

a 5
.
2

Câu 19: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thi hàm
̣
số y = x 4 − 2mx 2 + m − 3 có ba điể m cực tri ta
̣ ọ
thà nh môṭ tam giá c cân.
A. m ≥ 0 .
B. m = 1 .
C. m > 0 .
D. m < 3 .
Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của a sao cho phương trình z 2 − az + 2a − a 2 = 0 có hai nghiệm phức
có mô-đun bằng 1 .
A. a = 1.

B. a = 1; a = −1.

C. a =

−1 ± 5
.

2

D. a = −1.

Câu 21: Tım
̣ ực củ a m để hà m số y = ( m − x3 ) 1 − x3 đồ ng biế n trên ( 0; 1) .
̀ tấ t cả cá c giá tri th
A. m ≥ −2.

B. m ≤ −2.

C. m > 1.

D. m < 1.

1

Câu 22: Tính đaọ hà m củ a hà m số y = ( x 2 + 3) 3 .
A. y ′ =

2
−
1 2
x
+
3
(
) 3.
3
1

3

B. y ′ =

C. y ′ = 2 x ( x + 3) ln ( x + 3) .
2

2
−
2
x ( x 2 + 3) 3 .
3
1
3

D. y ′ = ( x + 3) ln ( x 2 + 3) .

2

2

Câu 23: Biết chu kỳ bá n hủ y củ a chấ t phó ng xa ̣ plutôni Pu 239 là 24360 năm (tức là môṭ lươṇ g Pu 239
sau 24360 năm phân hủ y thı̀ chı̉ cò n laị môṭ nửa). Sự phân hủ y đươc̣ tıń h theo công thức
S = Ae rt , trong đó A là lươṇ g chấ t phó ng xa ̣ ban đầ u, r là tı̉ lê ̣ phân hủ y hà ng năm ( r < 0 ), t
là thời gian phân hủ y, S là lươṇ g cò n laị sau thời gian phân hủ y t . Hỏ i 10 gam Pu 239 sau
khoả ng bao nhiêu năm phân hủ y sẽ cò n 1 gam? Biết r được làm tròn đến hàng phần triệu.
A. 82230 (năm).
B. 82232 (năm).
C. 82238 (năm).
D. 82235 (năm).

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm E (2;1;1) , F (0;3; −1) . Mặt cầu ( S ) đường

kính EF có phương trình là
2

2

2

A. ( x − 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 3 .
2

2

2

B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 9 .

2

C. ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z + 1) = 9 .

2

D. ( x − 1) + y 2 + z 2 = 9 .

Câu 25: Cho hıǹ h chó p S . ABC có tam giá c SAB nhoṇ và nằ m trong măṭ phẳ ng vuông gó c với măṭ
đá y ( ABC ) , tam giá c ABC vuông taị C có AC = a, ABC = 30° . Măṭ bên ( SAC ) và ( SBC )
cù ng taọ với đá y gó c bằ ng nhau và bằ ng 60° . Thể tıć h củ a khố i chó p S . ABC theo a là
A. V =

3a 3

(

2 1+ 3

)

.

B. V =

2a 3
.
1+ 3

C. V =

2a 3

(

2 1+ 2

Câu 26: Chı̉ ra số mênh
̣ đề đú ng trong các mệnh đề sau:
I. Mọi số phức đều là số thực.
II. Số ảo là số phức có phần thực bằng 0 và phầ n ả o khá c 0 .
III. Cho số phức z = a + bi , z = 0 ⇔ a = 0, b = 0 .

IV. Cho số phức z bấ t kı.̀ Ta có zz luôn là số thực.
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

)

.

D. V =

a3

(

2 1+ 5

)

.

D. 4 .
Trang 3/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />1
2

Câu 27: Tım

̣ ̉ a hàm số y = sin 2 x + cos x − 2017 .
̀ tấ t cả cá c điể m cực tri cu
k 2π
A. x = +
( k ∈ℤ ) .
6
3

π

 x = 6 + k 2π
B. 
( k ∈ ℤ) .
 x = 5π + k 2π

6

π

 x = − 6 + k 2π
C. 
(k ∈ ℤ) .
 x = 7π + k 2π

6

D. x = −

π

π
6

+

k 2π
( k ∈ℤ ) .
3

Câu 28: Trong măṭ phẳ ng toạ đô ̣ Oxy , tâp̣ hơp̣ cá c điể m biể u diễn số phức z thỏa mãn z (1 + i ) là số
thực là
A. Đường trò n bá n kıń h bằ ng 1 .
B. Truc̣ Ox .
C. Đường thẳ ng y = − x .
D. Đường thẳ ng y = x .
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có toạ đô ̣ cá c đın̉ h là A ( 0;0;2 ) ,
B ( 3;0;0 ) , C ( 0;1;0 ) , D ( 4;1;2 ) . Độ dài đường cao hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ( ABC ) của tứ

diện ABCD bằng
A. 11 .

B. 3

C. 1 .

D. 2 .

Câu 30: Cho tứ diện đều ABCD . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCD ) bằng 6 . Tính thể tích

của tứ diện đã cho.

A. V = 27 3.

B. V = 5 3.

C. V =

27 3
.
2

D. V =

9 3
.
2

Câu 31: Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào sai?
π
2

1

0

0

A. ∫ sin xdx = ∫ dx .

π

π

2

2

0

0

B. ∫ sin xdx = ∫ cos tdt .

π

π

2

π

0

π

π

sin 3 x 2
D. ∫ sin 2 xdx =
.
x π

π
2

C. ∫ sin xdx = ∫ sin tdt .
2

6

6

Câu 32: Hà m số nà o trong bố n hà m số sau đồ ng biế n trên khoả ng ( 0; +∞ ) .
A. y = 1 − x 2 .

B. y = x ln x .

C. y = e x −

1
.
x

D. y = x −π .

Câu 33: Kí hiệu m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y =

[1;4]. Tính giá trị biểu thức d = M − m.
A. d = 3.
B. d = 4.

C. d = 5.

x+3
trên đoạn
2x −1

D. d = 2.

Câu 34: Phương trıǹ h 2017sin x = sin x + 2 − cos 2 x có bao nhiêu nghiêm
̣ thực trong [ −5π ; 2017π ] ?
A. vô nghiêm.
̣

B. 2017 .

Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn z (1 + i ) +
A. w = 3.

C. 2022 .

D. 2023 .

2
= 14 + 2i . Tìm môđun của số phức w = z + 1
1− i

B. w = 8 − 14 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. w = 9 − 2 14 .

D. w = 3 2.
Trang 4/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Câu 36: Cho khối trụ ( T ) có bán kính đáy R và diện tích toàn phần 8π R 2 . Tính thể tích của khối trụ ( T ) .
A. 6π R 3 .

B. 3π R 3 .

C. 4π R 3 .

D. 8π R 3 .

Câu 37: Bả ng biế n thiên trong hıǹ h vẽ dưới đây là bả ng biế n thiên củ a hà m số nà o?
x −∞
0
−1
1
+∞
y′
0
0
0
−
+
−
+
−3

+∞
+∞
y
−4
−4
A. y = − x 4 + 2 x 2 − 3 .
e

Câu 38: Biế t

∫x

3

1

B. y = x 4 − 2 x 2 − 3 .

C. y = − x 4 + x 2 − 3 .

D. y = x 4 + 2 x 2 − 3 .

1
dx = a ln ( e 2 + 1) + b ln 2 + c , với a , b , c là cá c số hữu tı.̉ Tıń h S = a + b + c .
+x

A. S = 1 .

B. S = −1 .

C. S = 0 .

D. S = 2 .

Câu 39: Cho hàm số x 3 − 3 x 2 + 3mx + m − 1 . Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục Ox có
diện tích phầ n nằ m phıá trên trục Ox và phầ n nằ m dưới tru ̣c Ox bằng nhau. Giá trị của m là:
2
4
3
3
A. .
B. .
C. .
D. .
3
5
4
5
Câu 40: Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện đã xả lũ trong 40 phút với tốc độ lưu lượng nước tại

thời điểm t giây là v ( t ) = 10t + 500 ( m3 / s ) . Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì hồ thoát nước của
nhà máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu?
A. 5.104 ( m3 ) .

B. 4.106 ( m3 ) .

C. 3.107 ( m3 ) .

D. 6.106 ( m3 ) .

Câu 41: Cho hai số phức z1 = 2 − i và z2 = 3 + 2i. Tìm số phức liên hợp của số phức w = 2 z1 + 3 z2 .
A. w = 13 + 4i.

B. w = 13 + 8i.

C. w = 13 − 8i.

D. w = 13 − 4i.
1

x

Câu 42: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giớ i hạn bởi các đường y = x 2 .e 2 , x = 1 , x = 2 ,
y = 0 quanh trục Ox là

A. π (e 2 + e) .

B. π (e 2 − e) .

D. π e 2 .

C. π e .

Câu 43: Cho hình lăng trụ đều ABC. A′B ' C ′ có cạnh đá y bằng a , canh
̣ bên a 3 . Thể tích của khố i
lăng trụ là
A.

a3 3
.

4

B.

3a 3
.
4

C.

a3 3
.
7

D.

a3 7
.
5

Câu 44: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền
bằng a 2 . Thể tích của khố i nón theo a là
A.

π a3 2
12

.

B.

π a3 2
4

.

C.

π a3
4

.

Câu 45: Cho hình lăng trụ đều ABC . A′B′C ′ có AB = a , AA ' =

D.

π a3 7
3

.

3a
. Gọi G là trọng tâm tam giác
2

A′BC . Tính thể tıć h tứ diện GABC theo a .

a3 3
A.

.
12

3a3 3
B.
.
8

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

a3 3
C.
.
24

a3 3
D.
.
16
Trang 5/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Câu 46: Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz , cho điểm

A ( 0;1; 0 ) ; mặt phẳng

x = 3


( Q ) : x + y − 4 z − 6 = 0 và đường thẳng d :  y = 3 + t . Phương trình mặt phẳng ( P ) qua A ,
z = 5 − t


song song với d và vuông góc với ( Q ) là
A. x + 3 y + z − 3 = 0 .
C. x + y + z − 1 = 0 .

B. 3 x − y − z + 1 = 0 .
D. 3 x + y + z − 1 = 0 .


e− x 
Câu 47: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x  2 +
?
cos 2 x 


A. F ( x ) = 2e x + cot x + C .

B. F ( x ) = 2e x − tan x + C .

C. F ( x ) = 2e x + tan x + C .

D. F ( x ) = 2e x − tan x .

Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : 2 x + 2 y − z − 4 = 0 và đường
x−2 y−2 z+2
=

=
. Tam giác ABC có A ( −1; 2;1) , các điểm B , C nằm trên (α )
1
2
−1
và trọng tâm G nằm trên đường thẳng d . Tọa độ trung điểm M của BC là

thẳng d :

A. M ( 0;1; −2 ) .

B. M ( 2;1; 2 ) .

C. M ( 2; −1; −2 ) .

D. M (1; −1; −4 ) .

Câu 49: Cho a , b là các số thực dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. ln ( ab ) = ln a + ln b .
B. ln ( a + b ) = ln a + ln b .
C. ln

a ln a
=
.
b ln b

D. ln

a

= ln b − ln a .
b

Câu 50: Cho số phức z = −7 + 5i . Phần ảo của số phức z là
A. 5i .
B. −2 .
C. 7 .
----------- HẾT ----------

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

D. 5 .

Trang 6/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
B A B C C A D D A A D B C C D C B D C A B B D A A
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
B B C D A D C A D A B B A C C D D B A C D C C A D
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:


2 

Số nghiêm
̣ nguyên củ a bấ t phương trıǹ h log 1 x + log 1  x +

2

A. vô số .

B. 0 .

1
 ≥ 1 là :
2

C. 2 .
Hướng dẫn giải

D. 1 .

Chọn B

x > 0
1
1


log 1 x + log 1  x +  ≥ 1 ⇔  
1 1 ⇔0< x ≤
2
2
2
2
x  x + 2  ≤ 2


 
Câu 2:

Đồ thị hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 có bao nhiêu tiế p tuyế n song song với truc̣ hoà nh?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Vì y = x 4 − 2 x 2 + 1 nên y ′ = 4 x3 − 4 x .
Gọi d là tiếp tuyến cần tìm. Vì d song song với trục hoành nên có hệ số góc bằng 0 , từ đó
hoành độ tiếp điểm của d với đồ thị hàm số đã cho là nghiệm của phương trình
x = 0 ⇒ y = 1
.
y ′ = 0 ⇔ 4 x3 − 4 x = 0 ⇔ 
 x = ±1 ⇒ y = 0

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 1 và y = 0 (chính là trục hoành). Vậy chỉ có một
tiếp tuyến thỏa đề bài là y = 1 .
Câu 3:

Tập xác định của hàm số y = ln(log x ) là
A. ( 0;1) .

B. (1; +∞ ) .

.C. ( 0; +∞ ) .

D. [ 0; +∞ ) .

Hướng dẫn giải:
Chọn B
log x > 0
x > 1
Hàm số có nghĩa ⇔ 
⇔
⇔ x >1
x > 0
x > 0
Câu 4:

x − 2 y + 3 z −1
=
=
. Viế t phương
1
2
3
trıǹ h đường thẳ ng d ′ là hıǹ h chiế u vuông gó c củ a d lên măṭ phẳ ng ( Oyz ) .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳ ng d :

x = 2 + t

A. d ′ :  y = −3 + 2t .
z = 0


x = t

x = 0


B. d ′ :  y = 2t .
C. d ′ :  y = −3 + 2t .
z = 0
 z = 1 + 3t


Hướng dẫn giải:

x = 0

D. d ′ :  y = 3 + 2t .
z = 0


Chọn C

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 7/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Đường thẳng d ′ có một véctơ chỉ phương ud ′ =  ud , n(Oyz)  , n(Oyz )  = (0; −2; −3) . Tọa độ giao



điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oyz ) : x = 0 là B (0; −7; −5) . Dễ thấy điểm này thuộc

đường thẳng ở đáp án C.

Chú ý: Học sinh chỉ cần giải được véctơ chỉ phương ud ′ là có thể chọn được đáp án C.
Câu 5:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A.

∫ ( f ( x ) + f ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
1

2

1

2

B. Nếu F ( x ) và G ( x ) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) − G ( x ) = C (với C là

hằng số).
C. ∫ u ( x ) v′ ( x ) dx + ∫ v ( x ) u ′ ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) .
D. F ( x ) = x 2 là một nguyên hàm của f ( x ) = 2 x .

Hướng dẫn giải
Chọn C

′

∫ u ( x ) v′ ( x ) dx + ∫ v ( x ) u′ ( x ) dx = ∫ ( u ( x ) v′ ( x ) + v ( x ) u′ ( x ) ) dx = ∫ ( u ( x ) v ( x ) ) dx = u ( x ) v ( x ) + C
Câu 6:

(

Tính tıć h t của tất cả các nghiệm của phương trình 3 + 2 2
A. t = 0.

B. t = −2.

)

x2 − x + 2

C. t = −1 .
Hướng dẫn giải

(

= 3− 2 2

)

x3 − 2

.

D. t = 1.

Chọn A

(

Ta có PT ⇔ 3 + 2 2

)

x2 − x + 2

(

= 3+ 2 2

)

− x3 + 2

 x1 = 0
⇔ x − x + 2 = −x + 2 ⇔ x + x − x = 0 ⇒ 
 x = −1 ± 5
 2,3
2
Suy ra t = x1.x2 .x3 = 0 .
2

Câu 7:

3

3

2

x −1 y − 2 z
=
= .
3
1
1
Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song d ′ . Phương trình nào sau đây không phải là phương
trình đường thẳng d ?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 2;1;3) và đường thẳng d ′ :

 x = 2 + 3t

A.  y = 1 + t .
z = 3 + t


 x = −1 + 3t

B.  y = t
.
C.
z = 2 + t

Hướng dẫn giải:

 x = 5 − 3t

y = 2 −t .
z = 4 − t



 x = −4 + 3t

D.  y = −1 + t .
z = 2 + t


Chọn D
Vì tất cả các đường thẳng trong các đáp án đều nhận véc tơ (3;1;1) làm một véctơ chỉ phương

nên ta kiểm tra xem điểm A (2;1;3) có thuộc các đường thẳng này hay không.
Thay tọa độ A ( 2;1;3) vào các đáp án, ta thấy D không phải là phương trình đường thẳng cần tìm,
2 = −4 + 3t
2 = t


vì 1 = −1 + t ⇔ 2 = t (vô lý)
3 = 2 + t
1 = t



TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 8/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Câu 8:

Cho hıǹ h chó p đề u S . ABCD , đá y ABCD là hıǹ h vuông canh
̣ a , cá c canh
̣ bên taọ với đá y gó c
45° . Diêṇ tıć h toà n phầ n củ a hıǹ h chó p trên theo a là
A. 2 3a 2 .

B.

(

)

3 −1 a2 .

C. 4 a 2 .

D.

(

)

3 + 1 a2 .

Hướng dẫn giải
Chọn D

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Khi đó SO ⊥ ( ABCD ) .
Suy ra OB là hình chiếu của SB trên ( ABCD ) nên góc giữa SB và ( ABCD ) là SBO = 45o .

BO
BO
2
2
⇒ SB =
=a
=a
:
o
SB
cos 45
2
2
Suy ra SB = SA = SC = SD = a hay SAB , SBC , SCD , SDA là các tam giác đều cạnh a .
Diện tích toàn phần của hình chóp S . ABCD là

Ta có cos 45o =

a2 3 a 2 3 a 2 3 a2 3
+
+
+
+ a2 = 1 + 3 a2 .
4
4
4
4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM = 2 j − k , ON = 2 j − 3i . Tọa độ của MN là

(

S = S ∆SAB + S∆SBC + S ∆SCD + S ∆SDA + S ABCD =

Câu 9:

A. ( −3;0;1) .

C. ( −2;1;1) .

B. (1;1; 2 ) .

)

D. ( −3;0; −1) .

Hướng dẫn giải
Chọn A

Ta có OM = 2 j − k ⇒ M (0;2; −1) và ON = 2 j − 3i ⇒ N ( −3;2;0) . Từ đó suy ra

MN = ( −3;0;1).
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y − z − 3 = 0 và điểm

I (1;2; −3) . Mặt cầu ( S ) tâm I và tiếp xúc với măṭ phẳ ng ( P ) có phương trình là
2

2

2

B. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 4 .

2

2

2

D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 2 .

A. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 4 .
C. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 16 .

2

2

2

2

2

2

Hướng dẫn giải:
Chọn A

Ta có R = d ( I ; ( P ) ) =
2

2

2.1 + 2.2 − (−3) − 3
2

2

2 + 2 + ( −1)

( S ) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z + 3)

2

2

= 2 . Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là

= 4.

Câu 11: Chọn kết quả sai trong các kết quả sau?
A. e −2 < 1 .

π 
B.  
4

5−2

1

C.  
3
Hướng dẫn giải

<1.

8 −3

−5

>1.

π 
D.   > 1 .
3

Chọn D

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 9/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />−5

5

5

3

π 
3
3
  > 1 ⇔   > 1 . Đây là điều vô lí vì < 1 ⇒   < 1
π
3
π 
π 
121
Câu 12: Cho log 49 11 = a ; log 2 7 = b . Tính log 3 7
theo a , b .
8
121
9
121
9
A. log 3 7
= 3a − .
B. log 3 7
= 12a −
8
b
8
b
121 1 3
121
C. log 3 7
=
− .
D. log 3 7

= 12a − 9b
8
3a b
8
Hướng dẫn giải
Chọn B
1
log 49 11 = a ⇔ log 7 11 = a ⇔ log 7 11 = 2a
2
121
9
9
log 3 7
= 3log 7 121 − 3log 7 8 = 6 log 7 11 − 9 log 7 2 = 6.2a − = 12a −
8
b
b

Câu 13: Cho hàm số f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị là đường cong trong

hình bên. Tım
̣ ực củ a tham số m để phương
̀ tấ t cả cá c giá tri th
3

trıǹ h x − 3 x2 + 2 = m có nhiề u nghiêm
̣ thực nhấ t.
A. −2 ≤ m ≤ 2 .
B. 0 < m < 2 .
C. −2 < m < 2 .

D. 0 ≤ m ≤ 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
3

Vì hàm số g ( x ) = x − 3 x2 + 2 là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Khi x ≥ 0 ta có g ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 .
3

⇒ Đồ thị hàm số g ( x ) = x − 3 x2 + 2 có dạng như hình vẽ.

3

Dựa vào đồ thị suy ra phương trình x − 3 x2 + 2 = m có nhiề u nghiêm
̣ thực nhấ t khi và chỉ khi
−2 < m < 2 .
Câu 14: Cho hà m số y = f ( x) = x ( x 2 − 1)( x 2 − 4 )( x 2 − 9 ) . Hỏi đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cắt trục hoành

tại bao nhiêu điểm phân biệt?
A. 3.
B. 5.

C. 6.
Hướng dẫn giải

D. 4.

Chọn C
Ta có f ( x ) = x ( x 2 − 1)( x 2 − 4 )( x 2 − 9 ) = ( x3 − x )( x 4 − 13 x2 + 36 ) = x7 − 14 x5 + 49 x3 − 36 x
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 10/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
f ′ ( x ) = 7 x 6 − 70 x 4 + 147 x 2 − 36

Đặt t = x 2 ≥ 0
Xét hàm g ( t ) = 7t 3 − 70t 2 + 147t − 36

Dễ thấy g là hàm liên tục trên [0; +∞) , đồng thời g (0) = −36 , g (1) = 48 , g (3) = −36 ,
g (8) = 244 , suy ra g (0) g (1) < 0 , g (1) g (3) < 0 và g (3) g (8) < 0 .

Vậy phương trình g (t ) = 0 có ba nghiệm dương phân biệt, thuộc vào các khoảng (0;1) , (1;3)
và (3;8) .
Do đó phương trình f ′ ( x ) = 0 có 6 nghiệm phân biệt.
Câu 15: Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa. Hộp sữa có dạng khố i hộp chữ nhật hoặc
hộp sữa có dạng khố i trụ. Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì càng thấp càng tốt (tức diện tích
toàn phần của hộp nhỏ nhất), nhưng vẫn phải chứa được một thể tích xác định là V cho trước.
Khi đó diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất trong hai phương án là
A.

3

2π V 2 .

B. 6 3 V 2 .
C. 3 3 6V 2 .
Hướng dẫn giải

D. 3 3 2πV 2 .

Chọn D

h
h

R

a

b

Trường hợp 1: Hộp sữa hình trụ
V
2V
, Stp = 2π R 2 + 2π Rh = 2π R 2 +
2
πR
R
V V
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ ba số dương 2π R 2 , , , ta có
R R

Thể tích không đổi V = π R 2 h ⇒ h =

Stp = 2π R 2 +

V V
V V

+ ≥ 3 3 2π R 2 . . = 3 3 2π V 2 (*)
R R
R R

Trường hợp 2: Hộp sữa hình hộp chữ nhật
Thể tích không đổi
V
V
V V
V

V = abh ⇒ h =
, Stp = 2ab + 2 ( a + b ) h = 2ab + 2a. + 2b. = 2  ab + + 
ab
ab
ab
b a

V V
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ ba số dương ab; ;
a b
V V
Ta có Stp ≥ 2.3 3 ab. . = 6 3 V 2 (**)
a b
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 11/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />

Xét hai kết quả ta thấy (*) nhỏ hơn
Vậy diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất là Stp = 3 3 2πV 2 (đvdt), xảy ra khi hộp sữa có hình
V
V
hay R = 3
.
R
2π
Câu 16: Đồ thi cu
̣ ̉ a hà m số nà o dưới đây không có đường tiêm
̣ câṇ ?

trụ có bán kính đáy thỏa mãn 2π R 2 =

x +1

A. y =

.

x2 + 4

B. y =

x+3
.
x −1

C. y = x 4 − 2016 .

D. y =

x2 − 2 x + 3
.
x −1

Hướng dẫn giải
Chọn C

x +1

= ±1 nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y = 1; y = −1.
x2 + 4
x+3
x+3
x+3
Ta có lim
= 1; lim+
= +∞; lim−
= −∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1,
x →±∞ x − 1
x →1 x − 1
x →1 x − 1
tiệm cận đứng x = 1.
Ta có lim ( x 4 − 2016 ) = +∞ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang (và cũng không có
Ta có lim

x →±∞

x →±∞

tiệm cận đứng).
3
có đồ thi ̣ ( C ) . Mênh
̣ đề nà o sau đây là mênh
̣ đề sai ?
x +1
A. Hà m số không có điể m cực tri. ̣
B. Đồ thi ̣ ( C ) không có tiệm cận ngang.

Câu 17: Cho hàm số y =

C. Đồ thi ̣ ( C ) nhâṇ I (−1; 0) là m tâm đố i xứng.
D. Hà m số nghich
̣ biế n trên mỗ i khoả ng xá c đinh.
̣
Hướng dẫn giải
Chọn B
3
Hàm số đã cho có y′ = −
< 0 , ∀x ∈ ℝ \ {−1} nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng
2
( x + 1)

xác định và không có cực trị ⇒ A và D đúng.
Do lim y = 0; lim+ y = +∞; lim− y = −∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang và đứng lần lượt
x →±∞

x →−1

x →−1

là y = 0; x = −1 ⇒ C đúng, B sai.
Câu 18: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B , hai mặt bên SAB và SAC cùng vuông
góc với đáy, SB = 2a , AB = BC = a . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC là
A. R =

a 6
.
2

B. R =

a 3
.
C. R = a 2.
2
Hướng dẫn giải

D. R =

a 5
.
2

Chọn D
Ta có ( SAB ) ⊥ ( ABC ) và ( SAC ) ⊥ ( ABC ) , mà ( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA ,

suy ra SA ⊥ ( ABC ) .
Gọi I là trung điểm của SC .

Ta có ∆SAC vuông tại A nên IS = IA = IC.
BC ⊥ ( SAB ) ⇒ ∆SBC vuông tại B nên IS = IB = IC .
Do đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 12/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
R=

SC
SB 2 + BC 2 a 5
=
=
.
2
2
2

Câu 19: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thi hàm
̣
số y = x 4 − 2mx 2 + m − 3 có ba điể m cực tri ta
̣ ọ
thà nh môṭ tam giá c cân.
A. m ≥ 0 .
B. m = 1 .
C. m > 0 .
D. m < 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn C
x = 0
TXĐ: D = ℝ. Ta có y ′ = 4 x3 − 4mx , y ′ = 0 ⇔  2
. Đồ thị hàm trùng phương có 3
 x = m ( *)
điểm cực trị luôn tạo thành một tam giác cân khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác
0 ⇔ m > 0.
Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của a sao cho phương trình z 2 − az + 2a − a 2 = 0 có hai nghiệm phức
có mô-đun bằng 1 .
A. a = 1.

B. a = 1 , a = −1.

C. a =

−1 ± 5
.
2

D. a = −1.

Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình đã cho. Theo định lý Viete, ta có
 z1 + z2 = a


(1).


2

z
z
=
2
a
−
a
 1 2

Bài toán yêu cầu phương trình có hai nghiệm phức có mô đun bằng 1, nên có những tình huống
sau đây:
2 = a
- Phương trình có nghiệm kép z = 1 : Khi đó (1) ⇒ 
nên không tồn tại a thỏa
1 = 2a − a 2

yêu cầu này
-

−2 = a
Phương trình có nghiệm kép z = −1 : Khi đó (1) ⇒ 
nên không tồn tại a thỏa
1 = 2a − a 2

yêu cầu này
-

-

0 = a

Phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 = 1 và z2 = −1 : Khi đó (1) ⇒ 
nên
2


−1 = 2a − a
không tồn tại a thỏa yêu cầu này
Phương trình có hai nghiệm phức có phần thực khác 0 :

Do phương trình z 2 − az + 2a − a 2 = 0 có các hệ số thực nên z2 = z1 . Vậy ta có
2

z1.z2 = z1 = 1 nên 2a − a 2 = 1 ⇔ a = 1. Thử lại, ta có kết quả đúng.
Câu 21: Tım
̣ ực củ a m để hà m số y = ( m − x3 ) 1 − x3 đồ ng biế n trên ( 0; 1) .
̀ tấ t cả cá c giá tri th
A. m ≥ −2.

B. m ≤ −2.

C. m > 1.
Hướng dẫn giải.

D. m < 1.

Chọn B
Cách 1.

+ Tập xác định: D = ( −∞; 1] .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 13/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
+ y ′ = −3 x 2 1 − x 3 −

3x 2
2 1− x

3

. ( m − x3 ) =

3x 2
2 1− x

3

( 3x

3

− m − 2) .

x = 0
y′ = 0 ⇔ 

.
x = 3 m + 2

3
* Trường hợp 1: m = −2 , ta có bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy y ′ > 0, ∀x ∈ ( 0; 1) ⇒ hàm số đồng biến trên ( 0; 1) .
* Trường hợp 2: m ≠ −2 .
Nếu 0 <

3

m+2
≤ 1 ⇔ −2 < m ≤ 1 , ta có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
3
x

0

−∞

3

m+2
3

1

0
0

+
−
+
Vậy trong trường hợp này hàm số ban đầu không thể đồng biến trên khoảng (0;1) .
y′

Nếu

3

m+2
< 0 ⇔ m < −2 , ta có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
3
x

3

−∞

m+2
3

0
+
Lúc này hàm số đồng biến trên (0;1) .
y′

1

0

−

0

+

Kết luận: Khi m ≤ −2 thì hàm số đồng biến trên ( 0; 1) .

Cách 2. y ′ = −3x 2 1 − x 3 −

3x 2
3

. ( m − x3 ) =

3x 2
3

2 1− x
2 1− x
Hàm số đồng biến trên (0;1) ⇔ y′ ≥ 0 với mọ i x ∈ ( 0;1)

( 3x

3

− m − 2)

⇔ 3x3 − m − 2 ≥ 0 với mọ i x ∈ ( 0;1)

⇔ m ≤ 3x3 − 2 với mọ i x ∈ ( 0;1)
⇔ m ≤ min ( 3x 3 − 2 )
[ 0;1]

.

⇔ m ≤ −2
1

Câu 22: Tính đaọ hà m củ a hà m số y = ( x 2 + 3) 3 .
A. y ′ =

2
−
1 2
3.
x
+
3
(
)
3
1

C. y ′ = 2 x ( x 2 + 3) 3 ln ( x 2 + 3) .

B. y ′ =

2
−

2
x ( x 2 + 3) 3 .
3
1

D. y ′ = ( x 2 + 3) 3 ln ( x 2 + 3) .

Hướng dẫn giải.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 14/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Chọn B
2
2
−
−
1 2
2
x + 3 ) 3 ( x 2 + 3)′ = x ( x 2 + 3) 3 .
(
3
3
Câu 23: Biết chu kỳ bá n hủ y củ a chấ t phó ng xa ̣ plutôni Pu 239 là 24360 năm (tức là môṭ lươṇ g Pu 239
sau 24360 năm phân hủ y thı̀ chı̉ cò n laị môṭ nửa). Sự phân hủ y đươc̣ tıń h theo công thức
S = Ae rt , trong đó A là lươṇ g chấ t phó ng xa ̣ ban đầ u, r là tı̉ lê ̣ phân hủ y hà ng năm ( r < 0 ), t
là thời gian phân hủ y, S là lươṇ g cò n laị sau thời gian phân hủ y t . Hỏ i 10 gam Pu 239 sau
khoả ng bao nhiêu năm phân hủ y sẽ cò n 1 gam? Biết r được làm tròn đến hàng phần triệu.

A. 82230 (năm).
B. 82232 (năm).
C. 82238 (năm).
D. 82235 (năm).
Hướng dẫn giải.
Cho ̣n D
Pu 239 có chu kỳ bán hủy là 24360 năm, do đó ta có
ln 5 − ln10
5 = 10.e r .24360 ⇒ r =
≈ −0, 000028 . (làm tròn đến hàng phần triệu)
24360

Ta có: y ′ =

ln 5− ln10
t
24360

239

Vậy sự phân hủy của Pu được tính theo công thức S = A.e
.
239
Theo đề, khoảng thời gian sao cho 10 gam Pu phân hủ y cò n 1 gam là nghiệm của phương
trình
ln 5− ln10
t
24360

− ln10

− ln10
≈
≈ 82235 (năm).
ln 5 − ln10 −0, 000028
24360
Chú ý: Theo đáp án gốc là D (SGK). Tuy nhiên, nếu không làm tròn r thì kết quả
1 = 10.e

ln 5− ln10
t
24360

⇒t =

− ln10
≈ 80922 ⇒ Kết quả gần A nhất.
ln 5 − ln10
24360
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm E (2;1;1) , F (0;3; −1) . Mặt cầu ( S ) đường
1 = 10.e

⇒t =

kính EF có phương trình là
2

2

2

A. ( x − 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 3 .
2

2

2

B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 9 .

2

2

D. ( x − 1) + y 2 + z 2 = 9 .

C. ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z + 1) = 9 .

Hướng dẫn giải.
Cho ̣n A
Gọi I là trung điểm EF ⇒ I (1; 2;0) .

Khi đó, mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2; 0) và bán kính R = IE = 3 .
2

2

Phương trình ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 3 .
Chú ý: Phương án nhiễu B, C, D chưa hợp lý. Vì như vậy thì chỉ cần bán kính đã chọn được
đáp án A.
Câu 25: Cho hıǹ h chó p S . ABC có tam giá c SAB nhoṇ và nằ m trong măṭ phẳ ng vuông gó c với măṭ

đá y ( ABC ) , tam giá c ABC vuông taị C có AC = a , ABC = 30° . Măṭ bên ( SAC ) và ( SBC )
cù ng taọ với đá y gó c bằ ng nhau và bằ ng 60° . Thể tıć h củ a khố i chó p S . ABC theo a là :
A. V =

3a 3

(

2 1+ 3

)

.

B. V =

2a 3
.
1+ 3

C. V =

2a 3

(

2 1+ 2

)

.

D. V =

a3
.
2(1 + 5)

Hướng dẫn giả i.
Cho ̣n A
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 15/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />S

P

C

A
H

Q
30°
B

.

+ Theo đề ( SAB ) ⊥ ( ABC ) theo giao tuyế n AB . Trong mặt phẳng ( SAB ) dựng SH ⊥ AB , suy
ra SH ⊥ ( SAB ) .
1
a2 3
AC
⇒ BC = a 3 . Suy ra S ∆ABC = AC .BC =
BC
2
2
+ Trong mặt phẳng ( ABC ) , dựng HP ⊥ AC và HQ ⊥ BC , suy ra
+ ∆ABC vuông nên tan 30° =

(1) .

SPH = SQH = ( ( SAC ) , ( ABC ) ) = ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = 60° .

⇒ ∆SPH = ∆SQH ⇒ HP = HQ .
⇒ HPCQ là hıǹ h vuông.
Đăṭ HQ = x

( 0 < x < a 3 ) ⇒ QB = BC − QC = a

3−x.

QB
a 3
⇒ x 3 =a 3−x⇒ x=
= HQ .
HQ
3 +1

SH
3a
⇒ SH =
(2) .
∆SHQ vuông nên tan 60° =
HQ
3 +1
∆HQB vuông nên tan 60° =

Từ (1) và (2) : V =

3a 3
2

(

)

3 +1

.

Câu 26: Chı̉ ra số mênh
̣ đề đú ng trong các mệnh đề sau:
I. Mọi số phức đều là số thực.
II. Số ảo là số phức có phần thực bằng 0 và phầ n ả o khá c 0 .
III. Cho số phức z = a + bi , z = 0 ⇔ a = 0, b = 0 .
IV. Cho số phức z bấ t kı.̀ Ta có zz luôn là số thực.
A. 1 .
B. 2 .

C. 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Mệnh đề I: Sai, kết luận đúng phải là “Mọ i số thực đều là số phức”.
Mệnh đề II: Sai, vì số 0 vừa là số thực, vừa là số thuần ảo.
Mệnh đề III: Đúng, vì z = 0 ⇔ a 2 + b 2 = 0 ⇔ a = 0, b = 0

D. 4 .

2

Mệnh đề IV: Đúng, vì zz = z là một số thực.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 16/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />1
2

Câu 27: Tım
̣ ̉ a hàm số y = sin 2 x + cos x − 2017 .
̀ tấ t cả cá c điể m cực tri cu
k 2π
A. x = +
(k ∈ℤ) .
6
3

π

 x = 6 + k 2π
B. 
( k ∈ ℤ) .
 x = 5π + k 2π

6

π

 x = − 6 + k 2π
C. 
(k ∈ ℤ) .
 x = 7π + k 2π

6

D. x = −

π

π
6

+

k 2π
(k ∈ℤ) .
3

Hướng dẫn giải
Chọn B
−π

 x = 2 + k 2π
sin x = −1 
π
2
′
′
y = cos 2 x − sin x . Xét y = 0 ⇔ 1 − 2sin x − sin x = 0 ⇔ 
⇔  x = + k 2π

sin x = 1
6

2

5
 x = π + k 2π
6


(k ∈ℤ)

π
5π
Ta có y ′′ = −2sin 2 x − cos x . Vì y ′′  + k 2π  < 0 ; y ′′  + k 2π  > 0 nên hàm số đã cho đạt cực
6


 6

π
5π
+ k 2π với k ∈ ℤ .
trị tại các điểm x = + k 2π và x =
6

6

 3π 
π
Xét các điểm x = − + 2k π với k ∈ ℤ . Xét hàm số đã cho trên đoạn − ; 0 , ta thấy
2
 4 
 3π 
2
2
y ′ = 1 − 2sin x − sin x = 1 − sin x − sin x (1 + sin x ) ≥ 0 ∀x ∈  − ; 0 
 4 

 3π 
vì sin x ≤ 0 ∀x ∈ − ;0 . Vậy hàm số đã cho đồng biến trên
 4 
không là một điểm cực trị của hàm số đã cho.

 3π 
π
− ; 0 , suy ra điểm x = −

 4 
2

π
Vì hàm số đã cho là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π nên các điểm x = − + 2k π với k ∈ ℤ đều
2
không là điểm cực trị của nó.

Chú ý:
-

π
π
Vì y ′′  − + k 2π  = 0 nên ta không kết luận được các điểm x = − + k 2π (với k ∈ ℤ ) có là
2
 2

điểm cực trị của hàm số hay không. Từ đó cần sử dụng phương pháp biến thiên.

Câu 28: Trong măṭ phẳ ng toạ đô ̣ Oxy , tâp̣ hơp̣ cá c điể m biể u diễn số phức z thỏa mãn z (1 + i ) là số
thực là
A. Đường trò n bá n kıń h bằ ng 1 .
B. Truc̣ Ox .
C. Đường thẳ ng y = − x .
D. Đường thẳ ng y = x .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi số phức z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ )
Ta có z (1 + i ) = ( x + yi )(1 + i ) = x + xi + yi + yi 2 = x − y + ( x + y ) i
z (1 + i ) là số thực khi và chỉ khi x + y = 0 ⇔ y = − x .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 17/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có toạ đô ̣ cá c đın̉ h là A ( 0;0;2 ) ,
B(3;0;0), C (0;1;0) , D ( 4;1;2 ) . Độ dài đường cao hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ( ABC ) của tứ

diện ABCD bằng
A. 11 .

B. 3 .

C. 1 .
Hướng dẫn giải

D. 2 .

Chọn D.
x y z
+ + = 1 ⇔ 2 x + 6 y + 3 z − 6 = 0 . Suy ra
3 1 2
2.4 + 6.1 + 3.2 − 6
= 2.
d ( D, ( ABC ) ) =
2 2 + 6 2 + 32
Câu 30: Cho tứ diện đều ABCD . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCD ) bằng 6 . Tính thể tích

Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là

của tứ diện đã cho.
A. V = 27 3.

B. V = 5 3.

C. V =

27 3
.
2

D. V =

9 3
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Tứ diện đều cạnh x thì có đường cao là
V=

x 6
x 6
. Ta có
= 6 ⇔ x = 3 6 . Khi đó thể tích là
3

3

1 x2 3
.6 = 27 3 .
3 4

Câu 31: Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào sai?
π
2

1

0

0

A. ∫ sin xdx = ∫ dx .

π

π

2

2

0

0

B. ∫ sin xdx = ∫ cos tdt .

π

π

2

π

0

π

π

sin 3 x 2
D. ∫ sin 2 xdx =
.
x π
π
2

C. ∫ sin xdx = ∫ sin tdt .
2

6

6

Hướng dẫn giải
Chọn D
1
x − sin 2 x
2
2
1
−
cos
2
x
2
Ta có ∫ sin 2 xdx = ∫
dx =
2
2
π
π
π

6

π

6

π
2

π

sin 3 x 2
.
≠
x π
6

π
6

Cách khác
Dùng máy tính kiểm tra các đáp án A, B, C đều đúng.
Câu 32: Hà m số nà o trong bố n hà m số sau đồ ng biế n trên khoả ng ( 0; +∞ ) .
A. y = 1 − x 2 .

B. y = x ln x .

C. y = e x −

1
.
x

D. y = x −π .

Hướng dẫn giải
Chọn C
1
Ta có y′ = e x + 2 > 0, ∀x ≠ 0 , suy ra hàm số này đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .
x

Câu 33: Kí hiệu m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y =

x+3
trên đoạn
2x −1

[1;4]. Tính giá trị biểu thức d = M − m.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 18/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
A. d = 3.

B. d = 4.

C. d = 5.
Hướng dẫn giải

D. d = 2.

Chọn A

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên tập [1;4]. Ta có y ′ =

−7
2

(2 x −1)

< 0 nên hàm số nghịch

biến trên khoảng (1; 4) .
Vậy, ta có M = y (1) =

1+ 3
4+3
= 4 ; m = y ( 4) =
= 1 . Suy ra d = M − m = 4 − 1 = 3.
2.1 − 1
2.4 − 1

Câu 34: Phương trıǹ h 2017sin x = sin x + 2 − cos 2 x có bao nhiêu nghiêm
̣ thực trong [ −5π ; 2017π ] ?
A. vô nghiêm.
̣

B. 2017 .

C. 2022 .
Hướng dẫn giải

D. 2023 .

Chọn D
Cách 1. Ta có hàm số y = 2017sin x − sin x − 2 − cos 2 x tuần hoàn với chu kỳ T = 2π .

Xét hàm số y = 2017sin x − sin x − 2 − cos 2 x trên [ 0; 2π ] .

Ta có

sin x 
= cos x.  2017sin x.ln 2017 − 1 −

2 2 − cos 2 x
1 + sin 2 x 

π
3π
.
Do vậy trên [ 0; 2π ] , y′ = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = ∨ x =
2
2
1
π 
 3π 
y   = 2017 − 1 − 2 > 0 ; y   =
−1− 2 < 0
2
 2  2017
Bảng biến thiên
π
3π
x
0
2π
2
2
y′

0
0
+
−
+

y′ = cos x.2017sin x.ln 2017 − cos x −

y

2 sin x.cos x

π
y 
2

0

0

 3π 
y 
 2

Vậy trên [ 0; 2π ] phương trình 2017sin x = sin x + 2 − cos 2 x có đúng ba nghiệm phân biệt.
Ta có y ( π ) = 0 , nên trên [ 0; 2π ] phương trình 2017sin x = sin x + 2 − cos 2 x có ba nghiệm
phân biệt là 0, π , 2π .
Vậy ta kết luận rằng các nghiệm của phương trình đã cho có dạng k π trong đó k là số nguyên.
Suy ra trên [ −5π ; 2017π ] phương trình có đúng 2017 − ( −5 ) + 1 = 2023 nghiệm.
Cách 2. Phương trình tương đương 2017sin x = sin x + 1 + sin 2 x

Đặt t = sin x , t ∈ [ −1;1] . Phương trình trở thành:

(

)

2017t = t + 1 + t 2 ⇔ t ln ( 2017 ) − ln t + 1 + t 2 = 0 (do t + 1 + t 2 > t + t ≥ 0 với mọ i t )

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 19/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
(

)

Xét hàm f ( t ) = t ln ( 2017 ) − ln t + 1 + t 2 , với t ∈ [ −1;1] . Ta có:
1

t 2 + 1.ln ( 2017 ) − 1

1.1 − 1

= 0 với mọ i t ∈ [ −1;1]
t2 +1
t2 +1
t2 +1
Suy ra: Hàm số f ( t ) đồng biến trên [ −1;1] , mà f ( 0 ) = 0 nên phương trình có nghiệm duy

f ′ ( t ) = ln ( 2017 ) −

=

>

nhất t = 0 .
Suy ra: sin x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ
Vì x ∈ [ −5π ; 2017π ] nên −5π ≤ kπ ≤ 2017π ⇔ −5 ≤ k ≤ 2017 , k ∈ ℤ
Suy ra: có 2071 − ( −5 ) + 1 = 2023 giá trị k . Do đó phương trình có 2023 nghiệm.
Chú ý: ta cũng có thể chứng minh phương trình 2017t = t + 1 + t 2 có nghiệm duy nhất t = 0
bằng phương pháp đồ thị

Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn z (1 + i ) +
A. w = 3.

2
= 14 + 2i . Tìm môđun của số phức w = z + 1 .
1− i

B. w = 8 − 14 .

C. w = 9 − 2 14 .

D. w = 3 2.

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Ta có z (1 + i ) +

(
w = z +1 =

2
= 14 + 2i ⇔ z =
1− i

) (

)

14 + 2 + 2 − 14 i
2

(

)

14 − 1 + i
1+ i

(

)

14 + 2 − 14 i
=

2

2

, suy ra

2

 14 + 2   2 − 14 
⇒ w = 
 + 
 = 3 .
2
2

 


Câu 36: Cho khối trụ ( T ) có bán kính đáy R và diện tích toàn phần 8π R 2 . Tính thể tích của khối trụ ( T ) .
A. 6π R 3 .

B. 3π R 3 .

C. 4π R 3 .
Hướng dẫn giải

D. 8π R 3 .

Chọn B
Gọi chiều cao của khối trụ là h . Ta có
STP = 8π R 2 ⇔ 2π R 2 + 2π Rh = 8π R 2 ⇔ h = 3R .

Vậy thể tích phải tìm là V = π R 2 h = 3π R3 .
Câu 37: Bả ng biế n thiên trong hıǹ h vẽ dưới đây là bả ng biế n thiên củ a hà m số nà o?
x −∞
0
−1
1
+∞
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 20/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
y′

−

0

0
−3

+

+∞

−

0

+
+∞

y
−4

A. y = − x 4 + 2 x 2 − 3 .

−4

B. y = x 4 − 2 x 2 − 3 .

C. y = − x 4 + x 2 − 3 .

D. y = x 4 + 2 x 2 − 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn B
Hàm số phải tìm có dạng y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 ) .
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 2 cực tiểu và 1 cực đại nên a > 0 , b < 0 .
e

Câu 38: Biế t

∫x

3

1

1
dx = a ln ( e 2 + 1) + b ln 2 + c , với a , b , c là cá c số hữu tı.̉ Tıń h S = a + b + c .
+x

A. S = 1 .

B. S = −1 .

C. S = 0 .
Hướng dẫn giải

D. S = 2 .

Chọn A
2
e
e
e
1
x 
1
1 d ( x + 1)
1
∫1 x3 + x dx = ∫1  x − x2 + 1  dx =∫1 x dx − 2 ∫1 x 2 + 1
e

e

1
1

1


=  ln x − ln ( x 2 + 1)  = − ln ( e 2 + 1) + ln 2 + 1 .
2
2
2

1
−1
1
, b = , c = 1 ⇒ a + b + c = 1.
2
2
Câu 39: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 3mx + m − 1 . Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục

Vậy a =

Ox có diện tích phầ n nằ m phıá trên trục Ox và phầ n nằ m dưới truc̣ Ox bằng nhau. Giá trị của
m là :
2
4
3
3
A. .
B. .
C. .
D. .
3
5

4
5
Hướng dẫn giải
Chọn C
TXĐ : D = ℝ .

y ′ = 3 x 2 − 6 x + 3m = 3 ( x 2 − 2 x + m ) .
Yêu cầu bài toán suy ra đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt nên phương trình
x 2 − 2 x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ′y′ > 0 ⇔ 1 − m > 0 ⇔ m < 1 .
Khi đó đồ thị hàm số đối xứng qua tâm I (1; −3 + 4m ) .
3
( t/m ) .
4
Câu 40: Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện đã xả lũ trong 40 phút với tốc độ lưu lượng nước tại

Yêu cầu bài toán tương đương với I ∈ Ox ⇔ −3 + 4m = 0 ⇔ m =

thời điểm t giây là v ( t ) = 10t + 500 ( m3 /s ) . Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì hồ thoát nước của
nhà máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu?
A. 5.104 ( m3 ) .

B. 4.106 ( m3 ) .

C. 3.107 ( m3 ) .

D. 6.106 ( m3 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn C
Lượng nước thoát ra là :

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 21/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />2400

∫ (10t + 500 ) dt = ( 5t

2

+ 500t )

0

2400
0

= 3.107 ( m3 ) .

Câu 41: Cho hai số phức z1 = 2 − i và z2 = 3 + 2i. Tìm số phức liên hợp của số phức w = 2 z1 + 3 z2 .
A. w = 13 + 4i.

B. w = 13 + 8i.

C. w = 13 − 8i.
Hướng dẫn giải

D. w = 13 − 4i.

Chọn D
w = 2 z1 + 3 z2 = 2(2 − i ) + 3(3 + 2i ) = 13 + 4i
w = 13 − 4i.
1
2

x
2

Câu 42: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giớ i hạn bởi các đường y = x .e , x = 1 , x = 2 ,
y = 0 quanh trục Ox là:

A. π (e 2 + e) .

B. π (e 2 − e) .

D. π e 2 .

C. π e .
Hướng dẫn giải

Chọn D
2

2

2

V = π ∫ ( x1/2e x /2 ) dx = π ∫ xe x dx

1

1

u = x ⇒ du = dx
Đặt : 
x
x
dv = e dx ⇒ v = e

)

(

2
2
2
2
V = π xe x − ∫ e x dx = π  xe x − e x  = π  2e 2 − e − (e 2 − e)  = π e 2 .
1
1
1
1



Câu 43: Cho hình lăng trụ đều ABC . A′B′C ′ có cạnh đá y bằng a , canh
̣ bên a 3 . Thể tích của khố i lăng
trụ là
A.

a3 3
.
4

B.

3a 3
.
4

a3 3
.
7
Hướng dẫn giải

C.

a3 7
.
5

D.

Chọn B
Vì ABC. A′B ' C ′ là hình lăng trụ đều nên đáy ABC là tam giác đều cạnh a .

1
a2 3
S ∆ABC = AB. AC.sin 60° =

2
4
2
a 3
3a 3
V = S ∆ABC . AA′ =
.a 3 =
.
4
4
Câu 44: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền
bằng a 2 . Thể tích của khố i nón theo a là
A.

π a3 2
12

.

B.

π a3 2
4

.

C.

π a3

4
Hướng dẫn giải

.

D.

π a3 7
3

.

Chọn A

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 22/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
2

Đường kính đáy d = a 2 nên diện tích đáy của hình nón là S đáy

Vì chiều cao của hình nón là h =

a 2
a2
= π 
.

 = π
2
 2 

a 2
nên khối nón có thể tích
2

1
1 π a 2 a 2 π a3 2
.
=
.
V = S đáy .h = .
3
3 2
2
12
3a
Câu 45: Cho hình lăng trụ đều ABC . A′B′C ′ có AB = a , AA′ = . Gọi G là trọng tâm tam giác A′BC .
2
Tính thể tıć h tứ diện GABC theo a .

a3 3
A.
.
12

3a3 3
.

B.
8

a3 3
C.
.
24
Hướng dẫn giải

a3 3
D.
.
16

Chọn C
A′

C′

B′

G
C

A
H
M

B

Theo Định lý Ta-lét, ta có

d [G; ( ABC ) ] MG 1
=
= , suy ra
d  A′; ( ABC ) MA′ 3

1
1
1
1
1
1 a 2 3 3a a3 3
VG. ABC = .S∆ABC .d [ G;( ABC )] = .S∆ABC . .d [ A′;( ABC )] = .S∆ABC . AA′ = .
. =
3
3
3
3
3
9 4
2
24

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 23/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />

Câu 46: Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz , cho điểm

A ( 0;1; 0 ) ; mặt phẳng

x = 3

( Q ) : x + y − 4 z − 6 = 0 và đường thẳng d :  y = 3 + t . Phương trình mặt phẳng
z = 5 − t


(P)

qua A ,

song song với d và vuông góc với ( Q ) là
A. x + 3 y + z − 3 = 0 .
C. x + y + z − 1 = 0 .

B. 3 x − y − z + 1 = 0 .
D. 3 x + y + z − 1 = 0 .
Hướng dẫn giải

Chọn D
Mặt phẳng ( Q ) có VTPT n(Q ) = (1;1; −4 ) .
Đường thẳng d có VTCP u = ( 0;1; −1) .

Vì mặt phẳng ( P ) song song với d và vuông góc với ( Q ) nên có một vecto pháp tuyến là
n( P ) =  n( Q ) , u  = ( 3;1;1) .

Vậy phương trình mặt phẳng ( P ) là: 3 x + ( y − 1) + z = 0 ⇔ 3 x + y + z − 1 = 0 .

e− x 
Câu 47: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x  2 +
?
cos 2 x 


A. F ( x ) = 2e x + cot x + C .

B. F ( x ) = 2e x − tan x + C .

C. F ( x ) = 2e x + tan x + C .

D. F ( x ) = 2e x − tan x .

Hướng dẫn giải
Chọn C
e− x 
1 
 x
x
x
f
x
d
x
=
e
2

+
∫ ( ) ∫  cos 2 x  dx = ∫  2e + cos2 x  dx =2e + tan x + C .
Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : 2 x + 2 y − z − 4 = 0 và đường
x−2 y−2 z+2
=
=
. Tam giác ABC có A(−1; 2;1) , các điểm B , C nằm trên (α )
1
2
−1
và trọng tâm G nằm trên đường thẳng d . Tọa độ trung điểm M của BC là
A. M (0;1; −2) .
B. M (2;1; 2) .
C. M (2; −1; −2) .
D. M (1; −1; −4) .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Vì G ∈ d ⇒ G ( 2 + t; 2 + 2t; −2 − t ) .

thẳng d :

Giả sử B ( x1 ; y1 ; z1 ) , C ( x2 ; y2 ; z 2 ) .
 x1 + x2 − 1
= 2+t

3
 x1 + x2 = 3t + 7

 y1 + y2 + 2


Vì G là trọng tâm ABC nên ta có: 
= 2 + 2t ⇔  y1 + y2 = 6t + 4 .
3

 z + z = −3t − 7
 1 2
 z1 + z2 + 1
= −2 − t

3

 3t + 7 6t + 4 −3t − 7 
Vậy trung điểm của đoạn BC là M 
;
;
.
2
2 
 2
Do B , C nằm trên (α ) nên M ∈ (α ) ⇒ t = −1 ⇒ M ( 2; −1; −2 ) .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 24/25 - Mã đề thi 357


Cập nhật đề thi mới nhất tại />
Câu 49: Cho a , b là các số thực dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. ln ( ab ) = ln a + ln b .
C. ln

a ln a
=
.
b ln b

B. ln ( a + b ) = ln a + ln b .
a
= ln b − ln a .
b
Hướng dẫn giải

D. ln

Chọn A
Câu 50: Cho số phức z = −7 + 5i . Phần ảo của số phức z là
A. 5i .
B. −2 .
C. 7 .
Hướng dẫn giải
Chọn D

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

D. 5 .

Trang 25/25 - Mã đề thi 357