đề cương ôn thi tốt nghiệp THPT môn toán

BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

2016

LỜI NÓI ĐẦU
Hiện nay các tài liệu tham khảo về chuyên đề ôn thi Môn Toán dành cho kỳ thi TN THPT  có nhiều cách trình bày 
khác nhau, đôi lúc gây không ít khó khăn cho việc hệ thống một kiến thức tổng quát. Vì thế tôi đã sưu tầm chỉnh sữa 
và hệ thống lại toàn bộ các lý thuyết, các dạng toán sao cho phù hợp với chuyên đề gần gũi với kỳ thi học kỳ lớp 12, 
kỳ thi TN THPT Quốc Gia theo phương pháp mới nhất. Nhằm trang bị cho các em một kiến thức có hệ thống và 
vững chắc tôi biên soạn cuốn “ BỘ ĐỂ CƯƠNG ÔN THI KỲ THI QUỐC GIA THPT”  với các nội dung sau:  
Phần I :LÝ THUYẾT PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP “KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÂU HỎI PHỤ”. 
Phần II:LÝ THUYẾT PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP “ LOGARIT VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA”.
Phần III:LÝ THUYẾT PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP “LƯỢNG GIÁC”. 
Phần IV:LÝ THUYẾT PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP “ TÍCH PHÂN”.
Phần V:LÝ THUYẾT PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP “ SỐ PHỨC”.
Phần VI: LÝ THUYẾT PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP “ TỔ HỢP – XÁC SUẤT”.
Phần VII: LÝ THUYẾT PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP “ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ”.
Phần VIII: LÝ THUYẾT PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP “ HÌNH HỌC PHẲNG OXY”.
Phần IX: LÝ THUYẾT PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP “ PHƯƠNG TRÌNH –HỆ PHƯƠNG TRÌNH”.
Phần X: LÝ THUYẾT PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP “ BẤT ĐẲNG THỨC TÌM MAX - MIN”.
Phần VI :TUYỂN TẬP ĐỀ THI
Tài liệu này có thể giúp học sinh tóm gọn được toàn bộ hệ thống kiến thức để các em có thể hoàn thành tốt bài thi 
học kì ,tốt nghiệp và thi tuyển sinh vào CĐ - ĐH cũng như ôn thi học sinh giỏi. 
Tài liệu cũng giúp ích cho các giáo viên tham khảo để có thêm tư liệu giảng dạy và ôn thi cho các em học sinh. 
Trong quá trình biên soạn không tránh khỏi sai sót, rất mong các bạn thông cảm và nhận được sự đóng góp ý kiến 
xây dựng qua Email:   để bộ sách được hoàn thiện hơn. 
Chúc các em thành công!. 
 
 
 

Ngày: 6/8/2016

Biên soạn : Lê Sỹ Tài

 
 

1
Thầy Tài: 0977.096.808


BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

2016

MỤC LỤC
LỜI NÓ ĐẦU……………………..…………………………………………………….…….…....…………1 
MỤC LỤC……………………………………………..………………………………….….………...……..2 
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
1 -KHẢO SÁT HÀM BẬC BA………………………………………………………………….…….……10
2- KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG …………………………………………………….…..………11 
3- KHẢO SÁT HÀM NHẤT BIẾN……………………………………………………….…….….………12  
4 - CÁC DẠNG KHẢO SÁT THƯỜNG GẶP………………………………………….……….…………13 
4.1.Biện luận theo m số nghiệm của hàm f(x,m):Sự thương giao đồ thị……..…………..…………13 
4.2.Viết pttt (d) y =kx + D với (C) biết ………………………………………….….…….………..13 
4.3.CMR (C) luôn luôn……………………………………………………………………..…….….13 
4.4.Định m để hàm số luôn luôn …………………………………………………..…….........……..13 
4.5.Tìm m để thỏa mãn yêu cầu bài……………………………………………………….…….…..13 
5 – LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ…………………………………………………………...…….…….…….…..13
5.1. Chủ đề : Bài toán tương giao………………………………………………… ..……..…….…..13 

5.2. Phép biến đổi đồ thị………………………………………………………………..…….........…16 
5.3. Chủ đề : Bài toán về tiếp tuyến…………………………………………………… ..…………...20 
 

 5.3.1. Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm………………………….…………….….20 

 

 5.3.2 Dạng 2: Tuyến của đồ thi hàm số

 

 5.3.3. Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểmM (x0;y0) không thuộc đồ thị………………….……………..28 

 

  5.3.4. Dạng 4. Một số bài toán tiếp tuyến nâng cao……………………………………...…….......…29 

y  f ( x)

(C) khi biết trước hệ số góc của nó……….….25 

5.4.Chủ đề : Cực trị của hàm số……………………………………………………….……..……….36 
5.4.1. Các quy tắc tìm các điểm cực trị của hàm số………………………………….…...…………..36  
5.4.2. Sự tồn tại cực trị………………………………………………………………….……..………36 
 

 5.4.3. Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước………….……..37 

 

5.4.4. Ví dụ về cực trị hàm số………………………………………………………………...………..37 

6 – PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ BÀI TẬP TỔNG HỢP……………………………………..……..….……49 

2
Thầy Tài: 0977.096.808


BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

2016

6. 1.Phương trình tiếp tuyến:………………………………………………………………….………..….….49 
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị ……………………...…………………...…..49 
Dạng 2:Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm không thuộc đồ thị………………………..…….……51 
6.2.Biện luận theo m thỏa mãn yêu cầu đề bài……………………………………………………….………51
Dạng 1: Sự tương giao giữa 2 đồ thị…………………………………………………………………….…52 
Dạng 2 : Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình……………………………………….…..53 
Dạng 3 : Định m để hàm số có cực trị……………………………………………………………...……..…54. 
Dạng 4: Định m để hàm số đồng biến hoặc nghịch bến trên một khoảng cho trước……………………..…55 
6.3.Bài tập tồng hợp:...........................................................................................................................................55 
7.Tìm GTLN – GTNN của hàm số.....................................................................................................................67 
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT
I- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN:…………………………………………………………………….….…….75 
II-CÁC THỨC ĐẠO HÀM:……………………………………………………………………….….….……75 
III- CÁC DẠNG KHẢO SÁT ĐỒ THỊ:……………………………………………………………..….…….76 
IV: CÁC DẠNG TOÁN:……………………………………………………………………………....….……76 
1.
2.

3.
4.
5.

Dạng 1:Chuyển về cùng một cơ số……………………………………………………………..…..…..76
Dạng 2:Chuyển về phương trình tích……………………………………………………………..……79
Dạng 3:Đặt ẩn phụ - đổi biến…………………………………………………………………….…….80
Dạng 4:Mũ hóa – Logarit hóa………………………………………………………………………....83
Dạng 5:Sử dụng tính đơn điệu cùa hàm số…………………………………………………...………...86

V – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT...........................................................................................................88
1.
2.

Phương pháp đưa về cùng cơ số........................................................................................................88 
Phương pháp đánh giá, hàm số..........................................................................................................91 

VI – MỘT SỐ DẠNG ĐĂC BIỆT……………………………………………………………………….………93 
VII – BÀI TẬP TỒNG HỢP……………………………………………………………………..………………95
CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC 
I – CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠN BẢN……………………………………………………………107 
II – BẢNG XÁC ĐỊNH DẤU GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC……………………………………………...…...……107
III – CÁC GIÁ TRỊ LƯƠNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT…………………………….……….……107 
IV – DẤU CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT…………………………………………………...…108 

3
Thầy Tài: 0977.096.808


BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

2016

V – CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN…………………………………………………………...…108 
VI – CÁCH LẤY NGHIỆM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC…………………………………………..………...…109 
VII – CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT LƯỢNG GIÁC……………………………………….……109 
1.
2.
3.
4.

Dạng 1: Phương trình bậc hai đối với hàm lượng giác………………………………………...…...…….109 
Dạng 2: Phương trình bậc nhất đối với: sin và cos……………………………...……………...….…….110 
Dạng 3: Phương trình dạng: a.sin2x+b.sinxcosx +c.cos2x = d…………………………………..……….111 
Dạng 4. Phương trình đối xứng đối với sin và cos…………………………………….…………..………111

VIII – CÁC VÍ DỤ…………………………………………………………………………………..……………..112
IX: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT……………………………………………………………….115
1.
2.
3.
4.

Loại 1. Tìm giá trị của hàm số thông thường……………………………………...………..…….……….115 
Loại 2: Tìm giá trị của hàm số chứa trị tuyệt đối………………………………………….….……….…..116 
Loại 3. Tìm giá trị của hàm số chứa căn…………………………………………………….….…………117 
Loại 4. Tìm giá trị của hàm số đặc biệt……………………………………………………………………118

X - BÀI TẬP TỔNG HỢP…………………………………………………………………………………………119 
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

I- NGUYÊN HÀM ………………………………………………………………………………….….….………124
1. Định Nghĩa…………………………………………………………………………………………..………..124 
2. Các tính chất cơ bản của nguyên hàm…………………………………………………………...……………124 
     3.Các đạo hàm ứng dụng thường gặp…………………………………………………………………..………..124 
4. Một số công thức lượng giác thường được sử dụng trong nguyên hàm-tích phân……………….…..……….124 
     5. Các nguyên hàm cơ bản…………………………………………………………………………….….……...125 
6.Các phương pháp tính nguyên hàm……………………………………………………………..….…………125 
6.1.Phương pháp biến đổi biến số:Các dạng thường gặp………………………………..………..………125 
               6.2.Phương pháp nguyên hàm từng phần………………………………………………..….….…………125 
II - TÍCH PHÂN…………………………………………………………………………………….….….……….127 
1.Một số tính chất riêng………………………………………………………………………………….……….127 
2. Ứng Dụng của tích phân…………………………………………………………………..……..…….………127 
            2.1 Tính diện tích hình phẳng……………………………………………………………….....…....………127    
2.2 Tính diện tích bị giới hạn bởi hai đồ thị……………………………..………………………...….……..127 
2.3. Tính diện tích vật thể tròn xoay………………………………………….………...………...….……….127 

4
Thầy Tài: 0977.096.808


BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

2016

III - MỘT SỐ NGUYÊN HÀM – DẠNG TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT……………………….….…..….……128
1.Dạng và cách giải…………………………………………………………………….….…..……...….….128 
2 . Ví dụ minh họa.............................................................................................................................................129 
3. Dạng đặt t là căn, mũ, mẫu...........................................................................................................................132 
IV-MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC –CAO ĐẲNG CÁC NĂM………………..…………………………......…136 
V – BÀI TẬP TỰ LUYỆN…………………………………………………………………….………….…….136

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC
I- ĐỊNH NGHĨA…………………………………………………………………………..………………….…139

II- CÁC PHÉP CỘNG – TRỪ - NHÂN – CHIA SỐ PHỨC……………………………..………….….……139 
III- CĂN BẬC HAI SỐ PHỨC VÀ NGHIỆM PHỨC CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI………………139 
IV- DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG………………………..…………….……….140 
V- MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP……………………………………………………….…………………………140 
VI – VÍ DỤ MINH HỌA......................................................................................................................................141 
VII – BÀI TẬP RÈN LUYỆN…………………………………………………………..………………..……..156 
CHUYÊN ĐỀ TỒ HỢP XÁC SUẤT – NHỊ THỨC NEWTON
I – CÔNG THỨC CƠ BẢN VÀ QUY ƯỚC……………………………………………………………...……161
II – PHÂN DANG CÂU HỎI……………………………………………………………………..…….....……161 
III - XÁC SUẤT………………………………………………………………………….………………..……163 
1. Định nghĩa…………………………………………………………………………..…………..……163 
2.Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển………………………………………………………….…….163 
3.Tính xác suất theo các quy tắc...............................................................................................................164 
IV - NHỊ THỨC NEW TƠN……………………………………………………………………………...…….164 
V - MỘT SỐ DẠNG KHAI TRIỂN ĐẶC BIỆT………………………………………..……….………..……164 
VI – MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG KỲ THI………………………………………….……………..…165 
1. Cộng trừ các khai triển lại với nhau……………………………………………………………..……..…165 
2. Nhân thêm vào đại lượng một biểu thức khai triển……………………………………………………...…165 
3. Đạo hàm dạng khai triển biểu thức……………………………………………………………..……….....165
4.Lấy tích phân dạng khai triển…………………………………………………………………….….………165 

5
Thầy Tài: 0977.096.808


BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

2016

5. Dạng tổng hợp của 4 dạng trên………………………………………………………..………….…………165. 
VII – VI DỤ MINH HỌA........................................................................................................................................165 
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HOC KHÔNG GIAN OXYZ
I – HỆ TRỤC TỌA TRONG KHÔNG GIAN……………………………………………………….……..……185 
II – THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN………………………………..……………...………186 
III- MỘT SỐ PHÉP TOÁN MẶT CẦU………………………………………………..……………….………..188 
1- Tích có hướng của hai véc tơ………………………………………………………….…….………………. 188  
2- Vec tơ đồng phẳng …………………………………………………………………………..………………. 188  
3- Áp dụng véc tơ vào tính hình học……………………………………………………………..….....…………188 
4- Mặt cầu………………………………………………………………………………………..…….………….188 
IV- PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:………………………………………………………….….……………189 
1. Dạng tổng quát…………………………………………………..……………….…………………….189
2. Một số trường hợp đặc biệt…………………………………………………………………….………189 
3.Phương trình đoạn chắn.(Tức là mặt phẳng đi qua 3 điểm)……………….………………….………..189 
4.Vị trí tương đối của hai mặt phẳng………………………………………………………..……….……189 
5.Khoảng chách từ một điểm M (x0;y0;z0) đến mặt phẳng ( )…………………………………….…...….189 
V –PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG…………………………………………………………….………….189 
1.Phương trình tham số……………………………………………………………………………….…...…190
2.Phương trình chính tắc………………………………………………………………………...…………...190                 
3.Phương trình dạng mặt phẳng……………………………………….………………………………….…..190    
4.Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng…………………………………..…………………………..………190          
5.Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng………………………………………………….….…….190  
6. Khoảng cách…………………………………………………………………..…………...……..…...…….190

VI – HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỨ DIỆN CHÓP – TỨ DIỆN – LĂNG TRỤ……….…………..…………191                              
…….1. Quan hệ song song – vuông góc……………………………………………………………………………191         

2       2 . Hai mặt phẳng song song ………………………………………………………………….………………191                             

33333. Đường thẳng vương góc với mặt phẳng……………………………………….………………..………… 192                               

4.44 4. Hai mặt phẳng vuông góc………………………………………………………..……………….….……. 192                               

55555. khoảng cách……………………………………………………………… …………….………..…………193                              

6 6 66.Góc…………………………………………………………………………………………..…..…….…….193                               

VII - CÁC DẠNG TOÁN……..…………………………………………………………………..………………194                               
LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ…………………………………………………………………………………194 

6
Thầy Tài: 0977.096.808


BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

1.
2.
3.
4.

2016

Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy……………………………………….…………194
Dạng 2: Lăng trụ có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng………………………..………………………196
Dạng 3:Lăng trụ có góc giữa 2 mặt phẳng ……………………………………….…………………...….197      
Dạng 4: Khối lăng trụ xiên………………………………………………………………..…….…………199

LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP…………………………………………………………………….….………200 
1. Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy…………………………….………………..…………200
         2. Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy……………………………….……………………201   
         3. Dạng 3: Khối chóp đều ……………………………………………………………………… .………….203       
        4. Dạng 4: Khối chóp & PP tỉ số thể tích…………………………………………………………..…………204       
        5) Dạng 5 : Ôn tập khối chóp và lăng trụ…………………………………………..…………………………207 
VIII – MỘT SỐ BÀI TOÁN THÔNG DỤNG TƯ DUY…………………………….………..…………………211 
IX - MỘT SỐ ĐỀ THI CÁC NĂM………………………………………………………….……………………214
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG
I -LÝ THUYẾT VÉC TƠ………………………………………………………………….………...…………….222 
II- CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC…………………………………………….……...…………224 
         1.Công thức về tam giác vuông (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)………………..………….........……224 
2.Công thức về tam giác thường………………………………………………………………………….……224 
3.Diện tích tam giác thường……………………………………………………………………….......………224
4.Đinh lý hàm sin và cosin……………………………………………………………………………..………225 
III – DIỆN TÍCH – CHU VI CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐẶC BIỆT………………………………………..………225 
IV – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN – ELIP – PARAPOL…………………...……226 
1.Phương trình đường thẳng……………………………………………………………………..…..……..…226 
2.Phương trình đường tròn………………………………………………………………….....….….……..…226
3.Phương trình Elip…………………………………………………………………………..………..……..…226 
4.Phương trình Parapol………………………………………………………………………………..….……226 
V _ MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP………………………………………………………….…...……227
      1. Các Dạng Toán……………………………………………………………………………………….………227  
          1.1. Các dạng bài tập cơ bản……………………………………………………………...…….……………227
          1.2. Các bài toán liên quan đến góc và khoảng cách…………………………………..……….…....…..…..228 
          1.3. Các đường, điểm đặc biệt trong tam giác………………………………………...…………….……….233 

7
Thầy Tài: 0977.096.808

BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

2016

          1.4. Đường trung tuyến và trọng tâm……………………………………………………………….………..237
 
1.5. Đối xứng đỉnh của tam giác qua đường phân giác trong (ngoài)………………………..…….……….241 
1.6. Hình học giải tích trong tam giác đặc biệt……………………………………...……………………….248
          1.7 .Một số bải tập tổng hợp……………………………………………………………..………..…………252

 
 

     2. Bài Tập Tự Luyện…………………………………………………………………….……………….………261 
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
A - PHƯƠNG TRÌNH
I.PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG VẬN DỤNG:…………………………..…………………….……..……280
       1. Đưa về phương trình tích……………………………………………………….……………….…………..280 
       2. Áp dụng bất đẳng thức, phương pháp so sánh, đánh giá……………………………………………………284 
       3. Chứng minh nghiệm duy nhất………………………………………………………………………………..285 
       4. Đưa về hệ phương trình…………………………………………………………………………...…………287 
       5. Lũy thừa hai vế…………………………………………………………………….…………...…………….289 
       6 . Đặt ẩn phụ và đặt ẩn phụ không hoàn toàn……………………………………………………...………….290 
       7 . Chia để làm xuất hiện ẩn phụ……………………………………………………………………………….294 
       8. Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đưa về phuơng trình đẳng cấp……………………………………..…………..295 
      9. Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ để đưa về hệ phương trình…………………………………………………...…296 
       10. Phân tích thành nhân tử………………………………………………………………………..……..……300 
      11. Sử dụng công cụ khảo sát và tính chất hàm số………………………………………………………..……309 
      12.Phương pháp lượng giác hóa……………………………………………………………………..……..…..310 

II- MỘT SỐ BÀI TẬP……………………………………………………………………………………….……312 
B-

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I - PHƯƠNG PHÁP NHẶN DẠNG………………………..……………………………………………………316 
1. Hệ bậc nhất hai ẩn, ba ẩn đơn giản………………………………………………………….…………….316 
2. Hệ đối xứng loại 1………………………………………………………………………………………….316 
3. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai……………………….……………………………………….………..317 
II – PHÂN LOẠI PHƯƠNG PHÁP……………………………………………………………………..………..318
1.
2.
3.
4.

Phương pháp biến đổi tương đương………………………………………………………………………318 
Phương pháp thế…………………………………………………………………………………………..320 
Phương pháp cộng đại số……………………………………….………………………………………...322 
Phương pháp biến đổi thành tích………………………………………………………………………….327 

8
Thầy Tài: 0977.096.808


BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

2016

5. Phương pháp đặt ẩn phụ…………………………………………………………………………………..330 
6. Phương pháp hàm số…………………………………………..……………………………………….….338 

7. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức……………………….………………………………………….….348 
8.  Phương pháp đánh giá……………………………………………………………………………………349
III BÀI TẬP RÈN LUYỆN…………………………………………….………………………………………….356
CHUYÊN ĐỀ BẤT DẲNG THỨC TÌM GIÁ TRỊ MAX - MIN 
I. BẤT ĐẲNG THỨC………………………………………………………………..……...……………………..358
1. Khái niệm bất đẳng thức…………………………………………………………………………..…………358 
       2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức……………………………………………………………….…….358
II. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY……………………………………………………………….………………..359 
       1.Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ………………………………………..…………..………..…359 
       2. Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm …………………………………………………….…………….359 
III. BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHIA-CỐPSKI………………………..…………………………………………..359
      1. Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai cặp số………………………………………..……………..……….359 
      2. Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai bộ n số……………………………………….…………..…………..359 
IV. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI………………………………………..……………….360 
V. BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC…………………………………………………..………..…………………360 
      1. Bất đẳng thức cơ bản……………………………………………………………….……...…………………360 
      2.Bất đẳng thức khác……………………………………………………………….……………………………360 
      3.Phương pháp 1: Sử dụng các phép biến đổi, đánh giá thích hợp…………………………..…………………360 
      4.Bài tập rèn luyện………………………………………………………………………………………………365 
      5.Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy………………………………………………..……………366 
5.1 Dạng 1: Các biến không bị ràng buộc……………………………………….………………………366 
5.2 Dạng 2: Các biến bị ràng buộc………………………………………………………………………370 
5.3 Bài tập rèn luyện…………………………………………………………..………………………….375 
6.Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức Bu - nhia - cốpski………………………….…………………………376 
             6.1. Dạng 1: Các biến không bị ràng buộc…………………………………………………………………376 
            6.2.Dạng 2: C biến bị ràng buộc………………………………………………..……………...…………..377 
6.3. Dạng 3: Bất đẳng thức trong tam giác……………………………………..………………...……..…383 
            6.4. Bài tập rèn luyện………………………………………………………….……………...…….………384 
    7.Phương pháp 4 : Phương pháp dùng dấu của tam thức bậc hai………………………..…………………..…385 

9
Thầy Tài: 0977.096.808


BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

2016

    8. Phương pháp 5: Phương pháp đạo hàm………………………………………………….……...……………389 
9. Phương pháp 6: Phương pháp tọa độ…………………………………………………….……...……………396 
   10 Phương pháp7: Phương pháp sử dụng hàm số…………………………………………...…………….……..398 
CHUYÊN ĐỀ TỔNG HỢP ĐỀ THI 
1.
2.
3.
4.
5.
6.

ĐỀ THI HỌC KỲ 1………………………………………………………………………..….……421 
ĐỀ THI HỌC KỲ II…………………………………………………………..…………..…..……429 
ĐỀ THI MINH HỌA 2015………………………………………………..……………….….……437 
ĐỀ THI TN THPT 2015 ……………………………………………………………………...……444 
ĐỀ THI TN THPT 2016……………………………………………………………………………452 
ĐỀ THI THỬ TN THPT TT THÀNH TÀI 2017……………………………………….…...……454 

10
Thầy Tài: 0977.096.808

BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

2016

CHUYÊN ĐỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ
1- KHẢO SÁT HÀM BẬC BA: y = ax3+bx2+cx+d
Ví dụ: Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 – 4.
Nội dung

Giải thích

Tập xác định D =

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số 

 

y’ = 3x2 + 6x 
y’ = 0  3x2 + 6x = 0  x(3x + 6) = 0  
 x = 0; x = - 2 
 

Bước 2:Tìm y’ và lập phương trình y’ = 0 tìm 
nghiệm ( nếu có thì ghi ra nếu vô nghiệm thì 
nêu vô nghiệm – vì chủ yếu là để Tìm dấu của 
y’ sử dụng trong bảng biến thiên

Giới hạn:  lim y   ;  lim y    

Bước 3:Chỉ cần tìm giới hạn của số hạng có 

x

x

mũ cao nhất, ở đây là tìm 

lim x3  ??   hoặc 

x

3

lim ( x )  ??  

x 

Bảng biến thiên: 

Bước 4:BBT luôn gồm có “ 3 dòng”: dành cho 
x, y’ và y 

x 

-∞               -2                 0                   +∞ 

y' 

          +        0          -      0          + 

y 

                    0                                     +∞ 
 
CĐ
-∞                                - 4  CT

 
 

Điểm cực đại: x = - 2 ; y = 0:     Hàm số ĐB (-∞; −2) à (0; +∞) 
Điểm cực tiểu: x = 0; y = -4;       Hàm sồ NB ( -2; 0) 
y’’ = 6x + 6 
y’’ = 0  6x + 6 = 0  x = 1 ( điểm uốn I(1;-2)) 

Bước 5:Phải nêu điểm cực đại; điểm cực tiểu 
(nếu không có thì không nêu ra) (Điểm uốn 
cần thiết khi giúp vẽ đồ thị của hàm số không 
cực trị)

Đồ thị hàm số:

Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi 
ý sau: 
 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy 
 Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, điểm 
uốn, giao điểm với Ox,Oy 
 Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng đồ thị 
và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán 
của mình 

Giao điểm với Ox: 
y = 0  x = -2; x = 1 
Giao điểm với Oy: 
x = 0  y = - 4 

Bốn dạng đồ thị hàm số bậc 3
 

y

y

 


I



 
O

a>0

x

y

y

O

Dạng 1: hàm số có 2 cực trị   





x
a<0

I

I

I
O

a>0

x

O

x
a<0

Dạng 2: hàm số không có cực trị   

11
Thầy Tài: 0977.096.808


BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

2016

2- KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG : y = ax4+bx2+c
Ví dụ: Khảo sát hàm số y = x4 - 2x2 – 3.
Nội dung

Giải thích

Tập xác định D = 

Bước 1:Tìm tập xác định của hàm 
số 

 

y’ = 4x3 - 4x 
y’ = 0  4x3 - 4x = 0  x(4x2 – 4) = 0 
 x = 0; x = 1; x = - 1 

Bước 2: tính y’ và xét dấu ý

Giới hạn:  lim y   ;  lim y    

Bước 3: Chỉ cần tìm giới hạn của 

số hạng có mũ cao nhất, ở đây là 

x

x

tìm 
Bảng biến thiên: 

lim x4  ??  

x

Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3 
dòng”: dành cho x, y’ và y 

x 

-∞            -1                  0                      1              +∞ 

y' 

          -    0        +     
  0     -                0      + 
+∞                           -3                                        +∞ 
CT
CĐ
 
              -  4                                       -4 

y 
 

CT

Dấu từ phải qua trái là bắt đầu theo dấu của a. 
Điểm cực đại:   x =  0 ; y = -3; Hàm số ĐB (-1; 0) à (1; +∞) 
Điểm cực tiểu:  x = -1; y = -4 ; Hàm số NB (-∞; −1) à (0; 1) 
                          x =  1; y = -4 

Bước 5: Phải nêu các điểm cực 
đại; các điểm cực tiểu  

Đồ thị hàm số:  

Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện 
theo thứ tự gợi ý sau: 
 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy 
 Xác định các điểm cực đại, cực 
tiểu, điểm uốn, giao điểm với 
Ox,Oy 
 Dựa vào BBT và dạng đồ thị để 
vẽ đúng dạng

Giao điểm với Ox: 
x = 

; y = 0 

x = - 

; y = 0 

Giao điểm với Oy: 
x = 0 ; y = - 3 
Bốn dạng đồ thị hàm số trùng phương
 

y

y

y

y

 
O

x
a>0

O

x

a<0

Dạng 1: Hàm số có 3 cực trị   pt y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt 

O

x
a>0

O

x

a<0

Dạng 1: Hàm số có 1 cực trị   pt y’ = 0 có 1 nghiệm 

12
Thầy Tài: 0977.096.808


BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

3- KHẢO SÁT HÀM NHẤT BIẾN: y 
Ví dụ: Khảo sát hàm số  y 

ax  b
 ( tử và mẫu không có nghiệm chung) 
cx  d

x  2
. 
x 1

Nội dung

Giải thích

Tập xác định D = 

y’ = 

2016

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số 

\{-1} 

Bước 2:Tìm y’ và dựa vào tử số để 
khẳng định luôn luôn âm (hay luôn 
luôn dương) từ đó suy ra:  
Hàm số luôn luôn giảm ( hay luôn 
luôn tăng ).

3
< 0 xD. 
( x 1)2

Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định 
Giới hạn và tiệm cận: 
Tiệm cận đứng :   x = - 1 vì  lim y   ; lim y    
x1

Bước 3: Hàm số luôn có 2 tiêm cận là 

tiệm cân đứng và tiệm cận ngang                          

x1

Tiệm cận ngang: y = - 1 vì  lim y  1 lim y  1  
x 

 

x 

Bảng biến thiên: 

Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3 dòng”:  

x 

-∞                                   -1                          +∞ 

y' 

 

 

              -                                                  - 
y 
 

-1                                         +∞ 

 
                              -∞                                             -1 

 

Hàm số không có cực trị 

Bước 5:luôn không có cực trị 

Đồ thị hàm số:  

Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo 
thứ tự gợi ý sau: 
 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy và xác định 
giao điểm với Ox,Oy. 
 Vẽ 2 đường tiệm cận đứng và 
ngang. 
 Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng 
đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp 
cho bài toán của mình 

Giao điểm với Ox:         y = 0  x = 2 
Giao điểm với Oy: 
x = 0  y = 2 
 
 

Hai dạng đồ thị hàm số nhất biến

y

y

I
I
O

Dạng 1: Hàm số đồng biến 

Thầy Tài: 0977.096.808

x

O

x

Dạng 2: Hàm số nghịch biến 

13


BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

2016

4 - CÁC DẠNG KHẢO SÁT THƯỜNG GẶP
4.1. Biện luận theo m số nghiệm của hàm f(x,m):Sự thương giao đồ thị:






  f(x,m) 
:là hàm đa thức bình thường (gồm f(x) +g(m) hoặc là đường thẳng). 
  f(x,m) 
: là hàm chứa trị tuyệt đối. 
f(x,m) 
: là hàm mũ hoặc log… 
Tìm sự tương giao giữa hai đồ thị có liên quan đến  hệ thức Vi-et. 
 
4.2.Viết phương trình tiếp tuyến (d) : y =kx + b với (C) biết :
   (d) // (d’) 
  (d) ┴ (d’) 
  (d) đi qua một điểm thuộc (C). 
  (d) đi qua một điểm không thuộc (C). (với     (C) gồm dạng đa thức và phân thức). 
  (d) đi qua 2 điểm nào đó sao cho thỏa mản yêu cầu đề bài. 
4.3.Chứng minh rằng (C) luôn luôn :
  Đồng biến hoặc nghịch biến. 
  Có CĐ , CT. 
  H  Đi qua điểm cố định. 
  Tiếp tuyến tại 2 cực trị vuông góc với nhau. 
4.4.Định m để hàm số luôn luôn :
  Đồng biến trong khoảng (a,b) và (c,d) và nghịch biến trong khoảng (a,b) và (c,d). 
  Có cực trị lập thành cấp số cộng, đường thẳng, tam giác vuông, tam giác có diện tích    
bằng…,hoặc có trọng tâm… 
  Có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng hay qua gốc tọa độ. 
  Có CĐ,CT và viết phương trình đường thẳng nối CĐ,CT. 
4.5.Tìm m để : 
  Hàm số nhận tọa độ cực trị nguyên. 

  Chứng minh điểm x là giá trị CĐ hoặc cực tiểu. 
 Quỹ tích giá trị cực trị nằm trên đường  thẳng,đường tròn. 
 
5 – LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP
5.1. Chủ đề: Bài toán tương giao
5.1.1. Bài toán tương giao tổng quát:
Cho  hai  đồ  thị  hàm  số:  y  =  f(x,  m)  và  y  =  g(x,m).  Hoành  độ  giao  điểm  của  hai  đồ  thị  là  nghiệm  của  phương  trình:
f(x, m) = g(x,m)   
 
 
 
 
 
(1)                                                                       
Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số. Sau đó lập phương trình tương giao của d 
và (C). 
5.1.2. Bài toán cơ bản:
Cho đồ thị hàm số: y = f(x, m) và đường thẳng d: y =ax+b Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương 
trình f(x,m) = ax+b 
 
(1) 

Chú ý:  + Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và có hệ số góc k thì phương trình d có Dạng:y – y0 = k(x – x0).               
+  Khai  thác  tọa  độ  giao  điểm  (

M ( xM ; yM ) của  (C)  và  d,  ta  cần  chú  ý: xM là  nghiệm  của  (1);M  thuộc  d  nên 

yM  axM  b        + Nếu (1) dẫn đên một phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng định lý Viet 
14
Thầy Tài: 0977.096.808

BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

2016

 Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ
Cho phương trình: 

f ( x )  an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0  0 .                                                                         

x
Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ 

p
q  (p, q)=1 thì  q \ an  và  p \ a0 . 

5.1.3. Ví dụ và bài tập
Ví dụ 1. Cho hàm số 
a)

y  x3  3x2 1 

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên. 

b)  Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình  x

3

 3x 2  m  0 .

Lời giải:
a)  TXĐ:D = R.


y '  3x2  6x

x  0
y '  0  3x 2  6x=0  
x  2

lim y  , lim y  



Giới hạn: 



Bảng biến thiên:



Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên  (  ; 0)  và  (2;  ) .




Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = -1.
Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1)

b)
c)

x

x

x3 – 3x2 + m = 0 <=>x3 – 3x2 -1 = m-1
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số 

y  x3  3x2 1 với đường thẳng y = 

m – 1. 

15
Thầy Tài: 0977.096.808


BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

2016

Vậy 

m  1  3  m  4 : Phương trình có 1 nghiệm. 
m  1  3  m  4 : Phương trình có 2 nghiệm. 
3  m  1  1  4  m  0 : Phương trình có 3 nghiệm. 
m  1  1  m  0 : Phương trình có 2 nghiệm. 
m  1  1  m  0 : Phương trình có 1 nghiệm. 

Ví dụ 2.Cho hàm số 
a)

y   x4  3x 2  1  có đồ thị (C) 

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C). 

b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình  x
Lời giải:

4

 3x 2  m  0  có 4 nghiệm phân biệt. 

a)Thực hiện các bước tương tự như bài tập 2, ta được đồ thị hàm số sau:

 
b)

x 4  3x 2  m  0   x 4  3 x 2  1  m  1  




Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y=m+1. 



Dựa vào đồ thị, phương trình có 4 nghiệm phân biệt   1  m  1 

Ví dụ 3. Cho hàm số 

y

13
9
0m  
4
4

2x 1
 có đồ thị (C). 
x2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. 
Lời giải: a) HS tự trình bày. b)Đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương 
trình 



2x  1
 x  m  có hai nghiệm phân biệt  khác 2.
x2
Xét phương trình: 

2x 1
 x  m ( x  2)  
x2
16

Thầy Tài: 0977.096.808


BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

2016

 2 x  1  ( x  m )( x  2)
 x 2  4 x  mx  1  2m  0

 

 x 2  (4  m) x  1  2m  0  > với mọi m
 

Vậy với mọi m thì đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. 

5.2. Phép biến đổi đồ thị
5.2.1. Kiến thức liên quan
       Đồ thị chứa dấu trị tuyệt đối 
y = f(x) có đồ thị (C) 

y  f  x

 có đồ thị (C’) 

y  f  x   có 

y  f  x   0, x  D .  

Ta cã:  y =  f(

y  f  x   có đồ thị (C’’) 

f   x   f  x  ,   x  D   

x ) = 

nên đây là hàm số chẵn do đó có đồ 
thị đối xứng qua trục tung Oy. 

 f ( x) khi x  0.
 

 f (x) khi x  0.

Do đó: 
+) Ta phải giữ nguyờn phần (C) bên 
phải Oy  

Do đó: 
+Ta phải giữ nguyên phần (C) phía trên 
trục Ox 

+Bỏ đi phần (C) nằm ở bên trái Oy 

+Lấy đối xứng qua Ox với phần phía 
dưới trục Ox. 

+Lấy đối xứng qua Oy vớ́i phần đồ 

thị (C) ở bờn phải Oy 

+Bỏ đi phần (C) nằm ở phía dưới Ox 

 

 

 

y

y

y

(C')

(C)

(C'')

x

x

x

 

 

5.2.2. Ví dụ và bài tập

17
Thầy Tài: 0977.096.808


BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

2016

Ví dụ 1: Cho hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C) 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (đề thi đại học khối A- 2006) 
2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị các hàm số: 
a) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 
b) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 
Lời giải:
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:  y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C) 
*) Khảo sát sự biến thiên: 
(Bạn đọc tự giải)
Ta có:  y’ = 6x2 – 18x + 12. 
 

    y’’ = 12x - 18 

 

CĐ(1; 1) ; CT(2; 0) 

    *) Bảng biến thiên 
 

x -
y’   +
y

 

1
0
1

-

-

2
0

+
+
+

0

2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị các hàm số:
a) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 
 (Đặt f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4)      
 Ta có y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4= f(x) 

Do đó đồ thị hàm số: 
 y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 gồm: 
+) Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị hàm số y = f(x). 

18
Thầy Tài: 0977.096.808


BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

2016

+) Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của đồ thị hàm số y = f(x)  qua trục hoành 
y

y
4

.
.

1

.

o

-4

.

.
1

1

.
2

.

o

x

.

-4

.
. 1.

.

x

2

.

 

b) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 
 
(Đặt f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4)      
 
y

  Ta có: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 

 

      =  f(

Và y = f(

 f ( x) khi x  0.
 
 f (x) khi x  0.

x ) =  

x )  là hàm số chẵn nên đồ thị  có trục đối xứng là Oy. 

.
. .
-2 -1

1

.

o

.
. 2.
1

x

Do đó đồ thị hàm số: 
 y = f(

x ) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 gồm: 

-4

 

+) Phần bên phải Oy của đồ thị hàm số y = f(x). 

 

+) Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy 

Ví du 2. Cho hàm số 

y

x 1
có đồ thị (C) 
x 1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 

 

.

 C   của hàm số. 

2.  Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 

x 1
 m.  
 x 1

19
Thầy Tài: 0977.096.808


BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

2016

Lời giải:
* Tập xác định: D=R\{1} 
* Sự biến thiên: 

y' 

2

1  x

 0, x   ;1  1;   

2

  Hàm số đồng biến trên các khoảng   ;1  và  1;+  . 
Cực trị: Hàm số không có cực trị. 
Giới hạn, tiệm cận:

lim y  lim
x 1

x 1

x 1
x 1
 ; lim y  lim
   
x 1
x 1  x  1
x 1

Do đó đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng. 

x 1
 1;
x  x  1

lim y  lim

x 

x 1
 1  
x  x  1

lim y  lim

x 

Do đó đường thẳng y = - 1 là tiệm cận ngang. 
Bảng biến thiên:
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0; 1) và cắt trục hoành tại điểm (-1; 0).
Đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm I(1; -1) của hai tiệm cận. 
 

b)Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 

lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị 

y

x 1
 m.
 x 1

x 1
 x 1

1  

 C ' .  
 

Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của đthị 

y

x 1
 và đg thẳng y = m. 
 x 1

20
Thầy Tài: 0977.096.808


BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA
Suy ra đáp số:  m  1; m

2016

 1:  phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 

m  1:  phương trình có 1 nghiệm. 
1  m  1:  phương trình vô nghiệm. 
5.3. Chủ đề: Bài toán về tiếp tuyến

M(x0 , y0 ) (C) : y  f (x)

5.3.1. Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm
*Tính  

y '  f ' ( x)

 ;    tính  

* Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
 

k  f ' ( x0 )  (hệ số góc của tiếp tuyến)                                                         

y  f ( x)  tại điểm  M  x0 ; y0  có phương trình  

y  y0  f ' ( x0 )  x  x0 

 
Ví dụ 1: Cho hàm số 

y
 với  0

 f ( x0 )  

y  x3  3x  5   (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): 

a) Tại điểm A (-1; 7). 
b) Tại điểm có hoành độ x = 2. 
c) Tại điểm có tung độ y =5. 

Lời Giải:
a) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm  M0 (x0 ; y0 ) có dạng: 
Ta có  y '  3x

2

 3  y '(1)  0 . 

Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1; 7) là: 
 

b) Từ  x

y  y0  f '(x0 )( x  x0 )  

y  7  0  hay y = 7. 

 2  y  7 . 

y’(2)  =  9. Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2 là:  

y  7  9( x  2)  y  7  9 x  18  y  9 x  11  

x  0

3
3
c) Ta có:  y  5  x  3 x  5  5  x  3 x  0   x   3  
x  3


+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (0; 5). 
Ta cóy’(0) = -3.  
Do đó phương trình tiếp tuyến là:  

y  5  3( x  0) hay y = -3x +5. 
21

Thầy Tài: 0977.096.808


BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm  ( 
 

 

2016

3;5) . 

y '( 3)  3( 3) 2  3  6  

Do đó phương trình tiếp tuyến là:  

y  5  6( x  3)  hay  y  6 x  6 3  5 . 

+) Tương tự phương trình tiếp tuyến của (C) tại  ( 
Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số 

3;5)  là:  y  6 x  6 3  5 . 

y  x3  2x2  2 x  4 .  

a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. 
      c)  Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0. 
Lời giải:
 

Ta có  y '  3x

2

 4x  2 . Gọi  M  x0 ; y0   là tiếp điểm thì tiếp tuyến có phương trình: 

y  y0  y '(x0 )(x  x0 )  y  y '(x0 )(x  x0 )  y0 (1)  
a) Khi  M

 (C )  Ox  thì y0 = 0 và x0 là nghiệm phương trình:  

x 3  2 x 2  2 x  4  0  x  2 ; y’(2) = 6, thay các  giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: 
y  6( x  2)  
b) Khi  M

 (C )  Oy  thì x0 = 0  y0  y(0)  4  và  y '( x0 )  y '(0)  2 , thay các giá trị đã 

biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: 

y  2 x  4 . 

c) Khi x0 là nghiệm phương trình y”= 0. Ta có: y” = 6x – 4. 
y” = 0 

6x  4  0  x 

2
88
2
2 2
 x0  y0  y      ;  y '( x0 )  y '     
3
27
3
3 3

Thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: 

Ví dụ 3:Cho hàm số 

y

2
100
x
 
3
27

y  x3  3x  1 (C)

        a) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hoành độ x=2. 
        b)Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) tại điểm N, tìm tọa độ của điểm N. 
Lời Giải:

22
Thầy Tài: 0977.096.808


BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

a) Tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) có hoành độ  x0
Ta có  y '( x)  3x

2

2016

 2  y0  3  

 3  y '( x0 )  y '(2)  9  

Phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) là 

y  y '(x0 )(x  x0 )  y0  y  9(x  2)  3  y  9x 15  
Vậy phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) là 

y  9x  15  

b) Giả sử tiếp tuyến d cắt (C) tại N.    Xét phương trình 

x  2
x3  3x  1  9x  15  x3 12x  16  0   x  2  x2  2x  8  0  
 
 x  4
Vậy  N

 4; 51  là điểm cần tìm 

Ví dụ 4: Cho hàm số 

y  x3  3x  1 (C )   và  điểm  A(x0 , y0 )  (C), tiếp tuyến  của đồ thị (C)  tại điểm A 

cắt (C) tại điểm B khác điểm A. tìm hoành  độ điểm B theo  x0  
Lời giải:
                 Vì điểm  A(x0 , y0 )  (C)  

y0  x03  3x0  1   ,  y '  3x 2  3  y ' ( x0 )  3x02  3  

Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng:  

y  y ' ( x0 )( x  x0 )  y0  y  (3x02  3)( x  x0 )  x03  3x0  1
 y  (3x02  3)( x  x0 )  2 x03  1 (d )

 

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): 

x3  3x  1  (3x02  3)( x  x0 )  2 x03  1  x3  3x02 x  2 x03  0  ( x  x0 ) 2 ( x  2 x0 )  0
( x  x0 )2  0

 x  x0


( x0  0)
x


2
x
x

2
x

0
0

0

Vậy điểm B có hoành độ   xB

 

 2x0  

1
y  x3  2 x2  3x  (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm có hoành 
3
''
độ  x0  thỏa mãn  y ( x0 )  0  và chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

Ví dụ 5:Cho hàm số 

Lời Giải:

23
Thầy Tài: 0977.096.808


BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

Ta có  y

'

2016

 x2  4 x  3  y ''  2 x  4  

2
y ''( x0 )  0  2 x0  4  0  x0  2  M (2; )  
3
Khi đó tiếp tuyến tại M có hệ số góc  k0

 y ' ( x0 )  y ' (2)  1  



Vậy tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm  M  2;

suy ra 

y

2
'
  có phương trình  y  y0  f ( x0 )  x  x0   
3

2
8
 1 x  2   hay  y   x   
3
3

Tiếp tuyến d có hệ số góc  k0

 -1 

Mặt khác tiếp tuyến của đồ thi (C) tại điểm bấy kỳ trên (C) có hệ số góc 
2

k  y ' ( x)  x 2  4 x  3   x  2  1  1  k0  
Dấu “=” xảy ra  

 2
x  1  nên tọa độ tiếp điểm trùng với  M  2;  . Vậy tiếp tuyến d của (C) tại điểm 
 3

 2
M  2;   có hệ số góc nhỏ nhất. 

 3
Ví dụ 6:Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): 

y

x2
 tại các giao điểm của (C) với đường thẳng (d): 
x 1

y  3x  2 . 
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):  

x2
 3x  2  x  2  (3x  2)( x  1)    (x = 1 không phải là nghiệm phương trình) 
x 1
 3x 2  6 x  0  x  0 ( y  2)  x  2 ( y  4)  
Vậy có hai giao điểm là: M1(0; -2) và M2(2; 4) 
+ Ta có:  y ' 

3
( x  1)2

. 

+ Tại tiếp điểm M1(0; -2) thì y’(0) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: 

y  3x  2  
24

Thầy Tài: 0977.096.808

BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

+ Tại tiếp điểm M2(2; 4) thì y’(2) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: 
Tóm lại có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 

Ví dụ 7:Cho hàm số 

2016

y  3x  10  

y  3x  2  và  y  3x  10 . 

1
m
1
y  x3  x 2   (Cm).Gọi M là điểm thuộc đồ thị (Cm) có hoành độ bằng -1. Tìm m 
3
2
3

để tiếp tuyến với (Cm) tại M song song với đường thẳng d: 5x-y=0
Lời Giải
Ta có  y

'

 x2  mx  

Đường thẳng d: 5x-y=0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng d trước hết ta cần 
'

có  y (1)  5  m  1  5  m  4  

Khi  m

 4  ta có hàm số  y 

1 3
1
x  2 x 2   ta có  x0  1 thì  y0  2  
3
3

Phương trình tiếp tuyến có dạng 

y  y ' ( x0 )( x  x0 )  y0  y  5( x  1)  2  y  5 x  3  

Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d 
Vậy  m

 4  là giá trị cần tìm. 

Ví dụ 8: Cho hàm số 

y  x3  3x2  m  (1). 

Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B sao 

cho diện tích tam giác OAB bằng 

Lời Giải: Với  x0

3
. 
2

 1  y0  m  2  M(1 ; m – 2)
y  (3x02  6 x0 )( x  x0 )  m  2  

- Tiếp tuyến tại M là d: 

  d: y = -3x + m + 2. 
- d cắt trục Ox tại A:  0

 3x A  m  2  x A 

- d cắt trục Oy tại B:  yB

-  SOAB



m2

3

m2 
A

; 0  
 3


 m  2  B(0; m  2)  

3
1
3
m2
 | OA || OB | | OA || OB | 3 
m  2  3  (m  2) 2  9  
2
2
2
3
25

Thầy Tài: 0977.096.808