lý thuyết

Phần I: đại số
Chuyên đềI: Các bài toán về phép biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số
1)Nhắc lại các hằng đẳng thức
( )
=+
2
ba
a
2
+2ab +b
2
a
2
- b
2
= (a-b)(a+b)
( )
=
2
ba
a
2
- 2ab +b
2
a
3
- b
3
= (a-b)( a
2
+ab +b

2
)
( )
=+
3
ba
a
3
+3a
2
b +3ab
2
+ b
3
a
3
+ b
3
= (a+b)( a
2
-ab +b
2
)
( )
=
3
ba
a
3
-3a

2
b +3ab
2
- b
3
2)Biến đổi đồng nhất các phân thứ đại số;
Cộng và trừ hai phân thức đậi số:
B
A

B
AA
B
A
''
+
=
Cộng và trừ hai phân thức đậi số:
1
1
B
A

21
1221
2
2
BB
BABA
B

A

=
Nhân hai phaan thức:
1
1
B
A
.
21
21
2
2
BB
AA
B
A
=
Nhân một đơn thức(hoăc một đa thức) với một đa thức, ngợc lại:
C
BA
A
C
B
C
B
A
.
..
==

(A+B).
D
C
=
D
C
.(A+B) =
D
BAC )(
+
Chia hai phân thức:
:
B
A
D
C
=
B
A
.
C
D
=
CB
DA
.
.
Đổi dấu của phân thức:
B
A

=
=


B
A
B
A


3) Các phép tính luỹ thừa
Với a,b,c....

R\ 0 và m,n

Z ta có
A
m+n
=A
m
. A
n
A
mn
=(A
m
)
n
m
B

A






=
m
m
B
A
A
m-n
=
n
m
N
A
(ABC)
m
= A
m
. B
m
. C
m
4)Biến đổi đồng nhất các căn bậc hai
a với a

0
baab .
=
(a,b

0 )
==
aa
2
-a với a <0
b
a
b
a
=
; (a

0, b

0) ;
( )
n
n
aa
=
;(a

0) ;
baba
=

2
;(a,b > 0);
b
ba
b
a
=
(b>0)
5) Những chú ý khi làm bài toán rút gọn biểu thức đại số và chứng minh hằng đẳng thức
a) Khi giải bài toán thực hiện phép tính hoặc rút gọn cần chú ý:
+ Thực hiện đúng thứ tự các phép tính hoặc rút gọn cần chú ý:
+ Thực hiện đúng thứ tự các phép tính trong mộy dãy tính
+Đặt điều kiện cho sự tồn tại của các biểu thức xuất hiện trong đề bài, chẳng hạn nh đặt điều
kiện cho mẫu số khác không, đặt điều kiện cho căn bậc hai có nghĩa...
+Đối với phân thức đại số lu ý đến việc phân tích tử số và mẫu số ra thừa số để làm xuất hiện
thừa số chung. Sau đó tiến hành rút gọn.
+ Gặp trờng hợp biểu thức có dấu giá tri tuyệt đối thì phải phá bỏ dấu giá tri tuyệt đối bằng
cách xét hai trờng hợp: biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối không âm; biểu thức trong dấu giá
trị tuyết đối âm.
b) Khi giải bài toán chứng minh hằng đẳng thức thông thờng ngời taãuất phát từ vế phức
tạp, rồi biến đổi thành vế còn lại. Trong quá trình biến đổi, luôn luôn nhìn vế còn lại để có ph-
ơng hớng biến đổi.
Chuyên đề II: phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình, bất đẳng thức
1) Ph ơng trình bậc nhất một ẩn
Xét phơng trình ax + b = 0 (1)
+ Nếu a

0 thì phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x =
a
b

+ Nếu a = 0. Lúc này phơng trình (1) có dạng 0x + b =0
Do đó: Nếu b

0 thì phơng trình (1) vô nghiệm
Nếu b = 0 thì phơng trình (1) có vô số nghiệm
2) Hệ ph ơng trình bậc nhất hai ẩn
ax + by = c
a

x + b

y = c

Cách giải: Giải bằng phơng pháp cộng đại số
Giải bằng phơng pháp thế
Giải bằng phơng pháp vẽ đồ thị
3) Ph ơng trình bậc hai một ẩn
a) Xét phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (1) (a

0)
Đặt

= b
2
- 4ac
+ Nếu

< 0 thì phơng trình (1) vô nghiệm
+ Nếu

= 0 thì phơng trình (1) có nghiệm kép x =
a
b
2

+Nếu

> 0 thì phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
=
a
b
2
+
, x
2
=
a
b
2

b) Hệ quả: Phơng trình (1) vô nghiệm


< 0
phơng trình (1) có nghiệm kép

= 0
Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt



> 0
c) Định lý Viete thuận đảo .
Định lý thuận: Giả sử phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) có hai nghiệm x
1
, x
2
thế thì:
x
1
+x
2
=
b
a

x
1
.x
2

=
a
c
Định lý đảo: Cho

,
là hai số thực thoả mãn

a
=+


b
=

.
Thế thì

,
là hai nghiệm thực của phơng trình bậc hai x
2
- ax + b = 0
d) Khi giải phơng trình có một ẩn số mà mẫu số chứa ẩn số thì trình tự theo các bớc sau
+ Đặt điều kiện cho ẩn số để mẫu số khác không
+ Quy đồng mẫu số ở 2 hai vế của phơng trình rồi bỏ mẫu số. Đa các số hạng chứa ẩn
sang một vế, sau đó ớc lợc các số hạng đồng dạng để đa về dạng ax + b = 0, hoặc ax
2
+ bx + c
= 0
+Giải phơng trình trên để tìm x.

+ Nghiệm lại điều kiện của ẩn số đặt ra ban đầu.Loại những nghiệm ngoại lai (nêu có)
+ Trả lời nghiệm của phơng trình.
4)Bất đẳng thức,bất ph ơng trình bậc nhất một ẩn
+ Trớc hết ta nhắc lại việc giải và biện luận bất phơng trình bậc nhất
ax + b > 0 (1) (a

0)
* Nếu a > 0 thì (1)

ax > -b

x >
a
b

* Nếu a < 0 thì (1)

ax > -b

x <
a
b

+ Để chng minh các bất đẳng thức, ngời ta thờng dùng một trong các cách sau
Cách 1: Chng minh A - B

0 thay cho A

B
Cách 2: Dùng phép biến đổi tơng đơng để đa bất đẳng thức phải chng minh về một bất

đẳng thức đã biết.
Cách 3: Xuất phát từ một bất đẳng thức đã biết, vận dụng các tính chất của bất đẳng
thức đã biết để suy ra bất đẳng thức phải chứng minh.
Cách 4: Chứng minh bằng phản chứng
5) Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một tam thức bậc hai
Giả sử: f(x) = ax
2
+ bx +c là một tam thức bậc hai.
Ta biết rẳng f(x) = a
aa
b
x
42
2








+
. Do đó: Nếu a . 0 thì f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là -
a4

tại
x =
a
b

2

Nếu a < 0 thì f(x) đạt giá trị lớn nhất là -
a4

tại x =
a
b
2

Một số bất đẳng thức th ờng dùng
| a | + | b |

| a+b | Dấu bằng xảy ra

ab

0
Chứng minh: | a | + | b |

| a+b |

a
2
+ 2 | a | | b | +b
2


a
2

+ 2ab +b
2


| ab |

ab
Bất đẳng thức B.C.S: | ax+by |


( ) ( )
2222
. yxba
++

Bất đẳng thức Côsi:
ab
ba

+
2
;
3
3
abc
cba

++
A
2

0,Xảy ra dấu đẳng thức : A=0
a 0
Xảy ra dấu đẳng thức a =0
-
a a a
Xảy ra dấu đẳng thức a=0
a b a b+ +
Xảy ra dấu đẳng thức
ab 0
a b a b
Xảy ra dấu đẳng thức
ab 0; a b
hoặc
a b 0;a b 0
6)Gi i b i toán b ng cách l p ph ơng trình, hệ ph ơng trình:
Đây là loại bài toán đợc giải bẳng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng trình. Để giải đợc
bài toán, cần phải phiên dịch ngôn ngữ thông thờng sang ngôn ngữ đại số( Newton), tức là
biểu thị các đại lợng trong bài toán theo các ẩn số và các số đã biết rồi thiết lập phơng trình
diễn đạt sự tơng quan giữa các đại lợng.
Các bớc chủ yếu để giải bài toán bằng cách lập phơng trình :
a)Lập phơng trình (hoặc hệ phơng trình)
_ Chọn ẩn (chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện)
_ Dùng ẩn và các số đã biết biểu thị các đại lợng cần thiết khác của bài toán
_ Căn cứ vào đề bài để lập phơng trình (hoặc hệ phơng trình )
b) Gải phơng trình ( hoặc hệ phơng trình )
c) Nhận định kết quả, thử lại và trả lời.